Εισαγωγή. Herman Weyl

Transcript

1 Εισαγωγή Όσο σηµαντικές και αν είναι οι γενικές έννοιες και προτάσεις που απορρέουν από το σύγχρονο πάθος για αξιωµατική θεµελίωση και γενίκευση, είµαι όµως πεπεισµένος ότι τα ειδικά προβλήµατα µε όλη την πολυπλοκότητά τους αποτελούν το σώµα και τη ψυχή των µαθηµατικών Hera Weyl Οι σηµειώσεις αυτές αποτελούν µια εισαγωγή στη Μεταθετική Άλγεβρα Απευθύνονται στους φοιτητές του Μαθηµατικού Τµήµατος που γνωρίζουν τα βασικά στοιχεία από οµάδες, δακτύλιους και σώµατα όπως αυτά εξετάζονται στο µάθηµα Βασική Άλγεβρα και έχουν ετοιµαστεί για να καλύψουν τις ανάγκες του προπτυχιακού µαθήµατος Μεταθετική Άλγεβρα και Εφαρµογές Η ύλη που αναπτύσσεται αντιστοιχεί ουσιαστικά στα κεφάλαια -9 του κλασσικού συγγράµµατος των Atyah και Macdoald, Itroducto to Coutatve Algebra [] Έχουµε όµως προσθέσει στοιχεία Αλγεβρικής Γεωµετρίας και Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθµών που αποτελούν άλλωστε ιστορικές πηγές της Μεταθετικής Άλγεβρας Έχει καταβληθεί ιδιαίτερη προσπάθεια οι κεντρικές ιδέες των κεφαλαίων και οι αποδείξεις των θεωρηµάτων να είναι κατανοητές από το φοιτητή χωρίς να χρειάζεται εξωτερική βοήθεια Έτσι έχουµε συµπεριλάβει όλα όσα χρειάζονται από την Άλγεβρα στο Κεφάλαιο 0 Επίσης οι αποδείξεις δίνονται µε κάθε πληρότητα, πράγµα που ίσως έρχεται σε αντίθεση µε την αριστοτεχνική οικονοµία του βιβλίου των Atyah και Macdoald Ο χρονικός περιορισµός που υπάρχει σ ένα εξαµηνιαίο µάθηµα µας ανάγκασε να µην επεκταθούµε σε θέµατα όπως τανυστικά γινόµενα, οι συναρτητές Ext και Tor, κανονικές ακολουθίες, θεωρία διάστασης, κά Όµως αναπτύσσονται συγκεκριµένα σηµαντικά θέµατα σε τέτοιο βάθος που πιστεύουµε ότι δίνουν µια ικανοποιητική πρώτη γεύση της Μεταθετικής Άλγεβρας Τα κυριώτερα από αυτά

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ είναι: δακτύλιοι της Noether, δακτύλιοι του Art, κανονικοποίηση της Noether, Nullstellesatz και γεωµετρικές εφαρµογές, τοπικοποίηση, πρωταρχική ανάλυση ιδεωδών και δακτύλιοι διακριτής εκτίµησης Εννοείται ότι ο φοιτητής θα πρέπει να επιχειρήσει πολλές από τις ασκήσεις, οι οποίες κυµαίνονται από πολύ εύκολες έως απαιτητικές Μερικές χρησιµοποιούνται παρακάτω αυτές σηµειώνονται µε αστερίσκο * Ολοκληρώνουµε την εισαγωγή µε µια συντοµότατη αναφορά στις ιστορικές πηγές της Μεταθετικής Άλγεβρας (και έτσι απαντάµε έµµεσα στο ερώτηµα γιατί να µελετήσει κανείς Μεταθετική Άλγεβρα ) ) Αλγεβρική Θεωρία Αριθµών Το 847 ο Laé ανακοίνωσε ότι απέδειξε το τελευταίο θεώρηµα του Ferat: για 3 η ιοφαντική εξίσωση x + y = z δεν έχει µη τετριµµένες λύσεις Θέτοντας στο Ÿ[ ζ ] { a + aζ + + a π π ζ = συν + ηµ παρατήρησε ότι η παραγοντοποίηση ) ( x + y)( x + ζy) ( x + ζ = z r = 0 r ζ a Ÿ () } οδηγεί στο εξής συµπέρασµα: αν τα x και y δεν έχουν µη τετριµµένους κοινούς διαιρέτες, τότε το ίδιο συµβαίνει ανά δύο για τους παράγοντες x + y, x + ζy,, x + ζ y Από την () συµπέρανε ότι κάθε παράγοντας x + ζ y είναι -στή δύναµη στο Ÿ[ζ ] Συνεχίζοντας από εκεί έφθασε σε άτοπο Όµως αµέσως ο Louvlle επεσήµανε το λάθος: για να καταλήξει κάποιος στο συµπέρασµα ότι κάθε x + ζ είναι -στη δύναµη µε τον τρόπο του Laé, θα έπρεπε να ισχύει η µοναδικότητα της παραγοντοποίησης στο ο Kuer έδειξε ότι αυτή δεν ισχύει γενικά: περίπτωση y Ÿ[ζ ] Λίγο αργότερα = 3 είναι η πρώτη αρνητική Η προσπάθεια αποκατάστασης οδηγεί στη δηµιουργία του κλάδου της Μεταθετικής Άλγεβρας: ο Dedekd εισήγαγε την έννοια του ιδεώδους και απέδειξε ότι σε δακτύλιους όπως ο Ÿ[ζ ] ισχύει η µοναδικότητα παραγοντοποίησης ιδεωδών Λίγο αργότερα ο E Lasker θεώρησε το αντίστοιχο πρόβληµα για πολυωνυµικούς δακτυλίους Εισήγαγε µια ασθενέστερη

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 3 παραγοντοποίηση σε αυτούς (πρωταρχική ανάλυση) και απέδειξε τη µοναδικότητα (Κεφάλαιο ) Γύρω στο 90 η E Noether ενοποίησε τα προηγούµενα αποτελέσµατα, τα γενίκευσε σηµαντικά και τα έθεσε σε αξιωµατική βάση αναγνωρίζοντας το θεµελιώδη ρόλο που παίζει η συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας ιδεωδών που η ίδια εισήγαγε (Κεφάλαιο 4) Σηµειώνεται έτσι η απαρχή της σύγχρονης Μεταθετικής Άλγεβρας ) Αλγεβρική Γεωµετρία Το θεµελιώδες θεώρηµα της Άλγεβρας περιγράφει µία σύνδεση µεταξύ της Άλγεβρας και της Γεωµετρίας: ένα πολυώνυµο πάνω από το µιας µεταβλητής (αλγεβρικό αντικείµενο) προσδιορίζεται µονοσήµαντα (µε προσέγγιση αριθµητικού πολλαπλασίου) από το σύνολο των ριζών του µαζί µε τις πολλαπλότητες (γεωµετρικό αντικείµενο) Το Nullstellesatz επεκτείνει αυτή τη σύνδεση σε πολυώνυµα πολλών µεταβλητών Για να γίνουµε πιο κατανοητοί χρειαζόµαστε πρώτα κάποιους ορισµούς Έστω k ένα σώµα Μια οµοπαραλληλική πολλαπλότητα V (J ) είναι (για µας) το σύνολο κοινών ριζών στο k ενός συνόλου πολυωνύµων J k x,, x ] Μπορούµε να αντικαταστήσουµε το J µε το ιδεώδες που αυτό παράγει χωρίς να αλλάξει η οµοπαραλληλική πολλαπλότητα Κατά συνέπεια υποθέτουµε ότι το J είναι ιδεώδες Αν X k είναι µια οµοπαραλληλική πολλαπλότητα, µε I(X ) συµβολίζουµε το ιδεώδες των πολυωνύµων f k x,, x ] που µηδενίζονται στο Χ V I το k Έτσι έχουµε αντιστοιχίες: ιδεώδη του οµοπαραλληλικές πολλαπλότητες του [ [ (γεωµετρικά αντικείµενα) Τώρα αν είναι αλγεβρικά κλειστό, το Nullstellasatz (Hlbert, 893) µας πληροφορεί ότι I( V ( J )) = rad J, όπου rad J = { f k[ x,, x ] f J για κάποιο } Κατά συνέπεια, οι αντιστοιχίες k k[ x,, x ] (αλγεβρικά αντικείµενα) ριζικά ιδεώδη του k x,, x ] οµο/κές πολ/τες του [ είναι αντίστροφες και (Ένα ιδεώδες J λέγεται ριζικό αν rad J = J ) ηµιουργείται έτσι µια αµφίδροµη γέφυρα διαφορετικού χαρακτήρα από το V J k

4 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ πρόγραµµα Erlage µε τη βοήθεια της οποίας η µελέτη γεωµετρικών ιδιοτήτων οµοπαραλληλικών πολλαπλοτήτων ανάγεται στη µελέτη Μεταθετικής Άλγεβρας (Κεφάλαιο 8) ) Θεωρία Αναλλοιώτων Το κεντρικό πρόβληµα της θεωρίας αναλλοιώτων µπορεί να περιγραφεί ως εξής Έστω G µια οµάδα που δρα ως οµάδα αυτοµορφισµών στο δακτύλιο S = k x,, x ] Ποια στοιχεία του k x,, x ] παραµένουν αναλλοίωτα κάτω από [ [ τη δράση; Το σύνολο των αναλλοιώτων S G = { s S gs = s για κάθε g G} είναι µια υποάλγεβρα της S Αληθεύει ότι είναι πεπερασµένα παραγόµενη; (4 πρόβληµα του Hlbert) Αν ναι, ποιο είναι ένα συγκεκριµένο πεπερασµένο σύνολο γεννητόρων; ( ο θεµελιώδες πρόβληµα της θεωρίας αναλλοιώτων) Ο Hlbert (890 και 893) σε δύο καταπληκτικές εργασίες απέδειξε ότι η απάντηση στο 4 ο πρόβληµα είναι καταφατική για µια ευρεία κλάση περιπτώσεων Το αποφασιστικό βήµα στις αποδείξεις του ήταν αυτό που σήµερα ονοµάζεται θεώρηµα βάσης του Hlbert: Κάθε ιδεώδες του δακτυλίου k[ x,, x ] (k σώµα) και του Ÿ[ x,, x ] είναι πεπερασµένα παραγόµενο Αργότερα η E Noether αναγνώρισε ότι η κρίσιµη ιδιότητα των k x,, x ] και Ÿ x,, x ], απ όπου [ [ έπεται το θεώρηµα βάσης του Hlbert, είναι η συνθήκη αύξουσας ακολουθίας ιδεωδών Έτσι φθάνουµε στη σύγχρονη διατύπωση του θεωρήµατος του Hlbert: R δακτύλιος της Noether R[x] δακτύλιος της Noether (Κεφάλαιο 4, 74) Ευχαριστώ θερµά την κα Π Μπολιώτη για την επιµεληµένη δακτυλογράφηση Μιχάλης Π Μαλιάκας ο

5 Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη που είναι γνωστά από το µάθηµα Βασική Άλγεβρα Θα περιοριστούµε στα πλέον απαραίτητα για την ύλη που ακολουθεί 0 Συµβολισµοί Με Ÿ = {,, 0,, } και Õ = {0,, } συµβολίζουµε το σύνολο των ακεραίων αριθµών και το σύνολο των µη αρνητικών ακεραίων αριθµών αντίστοιχα Το σύνολο των ρητών αριθµών είναι σύνολο των πραγµατικών αριθµών συµβολίζεται µε µιγαδικών αριθµών είναι χρησιµοποιούµε το συµβολισµό { a + b a, } υποσύνολο του Β, ενώ ο συµβολισµός υποσύνολο του Β, δηλαδή =, Ÿ, 0, το, ενώ το σύνολο των = b, όπου = Για σύνολα Α και Β, A B A B και πεπερασµένου συνόλου Α συµβολίζεται µε #A Αν C A και για να δηλώσουµε ότι το Α είναι A B σηµαίνει ότι το Α είναι γνήσιο A B Ο πληθικός αριθµός ενός f : A B είναι συνάρτηση, D B γράφουµε f ( C) = { f ( c) c C} και f ( D) = { a A f ( a) D} 0 ακτύλιοι, Παραδείγµατα ακτύλιος είναι ένα µη κενό σύνολο R εφοδιασµένο µε δύο εσωτερικές πράξεις, πρόσθεση : R R R και πολλαπλασιασµός : R R R τέτοιες ώστε: α) το R ως προς την πρόσθεση είναι αβελιανή οµάδα, β) ισχύουν

6 Κεφάλαιο 0 r r ) = r ), r r + r ) = r r + r, ( r3 κάθε κάθε ( r r 3 ( 3 r3 ( r r ) r3 = r r3 + r r3 + για r, r, r 3 R, και γ) υπάρχει στοιχείο R R έτσι ώστε R r = r = r R για r R Ένας δακτύλιος R καλείται µεταθετικός αν ισχύει r r = r r για κάθε r, r R Εφεξής θα γράφουµε r r r στη θέση του r Επειδή στις σηµειώσεις αυτές θα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε µεταθετικούς δακτυλίους, όταν γράφουµε δακτύλιο θα εννοούµε µεταθετικό δακτύλιο Έτσι για παράδειγµα η φράση έστω R δακτύλιος σηµαίνει έστω R µεταθετικός δακτύλιος Τα σύνολα Ÿ,, και µε τις συνήθεις πράξεις είναι δακτύλιοι Το σύνολο των ακεραίων του Gauss Ÿ[ ] = { a + b a, b Ÿ} είναι επίσης δακτύλιος µε τις συνήθεις πράξεις Το σύνολο των κλάσεων υπολοίπων odulo ( Õ), Ÿ = {[ 0],[],,[ ]}, είναι δακτύλιος µε πράξεις [ a ] + [ b] = [ a + b] και [ a ][ b] = [ ab] όπως θυµόσαστε από το µάθηµα Βασική Άλγεβρα 0 Παράδειγµα (Τυπικές δυναµοσειρές) Έστω R ένας δακτύλιος Θεωρούµε το σύνολο Õ R των άπειρων ακολουθιών ( r ) Õ = ( r0, r,, r,) όπου r R για κάθε Õ Ορίζουµε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασµό όπου για κάθε = R R R t k = r ( r ) ) Õ + ( s j ) j Õ = ( r + s Õ ( r ) ( s ) ( t ), Õ j j Õ = k k Õ k 0sk + r sk + + rk s0 = r = 0 k Õ Ως προς αυτές τις πράξεις το s k Õ R είναι δακτύλιος µε Õ (,0,) και Õ (0,0,), όπου 0 είναι το µηδενικό στοιχείο του R 0 = R R R Συνήθως συµβολίζουµε το στοιχείο ( ) ( r 0, r,) = 0 r x r Õ = µε = r οπότε οι πράξεις λαµβάνουν τη γνωστή µορφή 0 R + r x +,

7 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 3 = 0 j + s j x = = 0 = 0 r x ( r + s ) x = 0 r x j= 0 s όπου t = r s + r s + r Με αυτόν το συµβολισµό γράφουµε k 0 k k + k s0 Õ R [[ x]] = R, και τα στοιχεία του δακτυλίου R[[x]] ονοµάζονται τυπικές j x j = k= 0 δυναµοσειρές Το σύνολο των τυπικών δυναµοσειρών t k x k,, όπου όλα τα εκτός από ένα πεπερασµένο πλήθος είναι ίσα µε το 0 είναι το σύνολο R[x] των πολυωνύµων µε συντελεστές από το R Ένα υποσύνολο S ενός δακτυλίου R ονοµάζεται υποδακτύλιος του R αν το S είναι δακτύλιος ως προς τις ίδες πράξεις και R =0 r x S = R Από το προηγούµενο παράδειγµα, ο R [x] είναι υποδακτύλιος του R[[x]] για κάθε δακτύλιο R r 0 Πρόταση Έστω S υποσύνολο του δακτυλίου R Τότε ο S είναι υποδακτύλιος του R αν και µόνον αν () () R S a, b S a b S και ab S Απόδειξη Άσκηση Έστω R δακτύλιος Η τοµή (οποιουδήποτε πλήθους) υποδακτυλίων του R είναι υποδακτύλιος του R, πράγµα που προκύπτει άµεσα από την προηγούµενη πρόταση Αν τώρα Α είναι ένα µη κενό υποσύνολο του R, και S υποδακτύλιος του R, µε S[A] συµβολίζουµε την τοµή όλων των υποδακτυλίων του R που περιέχουν το S και A Αν το Α είναι πεπερασµένο, A = { a,, a }, ο δακτύλιος συµβολίζεται και µε S a,, a ] Με S x,, x ] συµβολίζουµε το δακτύλιο των [ [ πολυωνύµων στις µεταβλητές x,, επί του S x S[A]

8 4 Κεφάλαιο 0 0 Πρόταση Έστω ένας R δακτύλιος και S ένας υποδακτύλιος του S Έστω { a,, a} R Τότε S a,, a ] = { f ( a,, a ) R f ( x,, x ) S[ x,, x ]} [ Απόδειξη Από την Πρόταση 0, το σύνολο { f ( a,, a ) R f ( x,, x ) S[ x,, x ]} είναι υποδακτύλιος του R Επιπλέον περιέχει το σύνολο { a,, a } Άρα από τον ορισµό έχουµε S [ a,, a ] { f ( a,, a ) R f ( x,, x ) R[ x,, x ]} Για την άλλη σχέση εγκλεισµού παρατηρούµε ότι ο { f ( a,, a ) R f ( x,, x ) S[ x,, x ]} περιέχεται σε κάθε υποδακτύλιο του R που περιέχει το S και το a,, a } Άρα ισχύει η ισότητα { Η προηγούµενη πρόταση εξηγεί το συµβολισµό Ÿ[] για τους ακέραιους του Gauss 03 Οµοµορφισµοί ακτυλίων, Ιδεώδη Έστω R και S δυο δακτύλιοι και φ: R S µια απεικόνιση Η φ καλείται οµοµορφισµός δακτυλίων αν () φ r + r ) = φ( r ) + φ( ) για κάθε r r R () ( r φ ( r r ) = φ( r ) + φ( r ) για κάθε r, r R, και () φ( ) = R S Ένας οµοµορφισµός δακτυλίων, φ: R S καλείται επιµορφισµός ή µονοµορφισµός αν η φ ως απεικόνιση είναι αντίστοιχα επί ή Ισοµορφισµός είναι οµοµορφισµός που είναι ταυτόχρονα επιµορφισµός και µονοµορφισµός Αν φ: R S είναι ένας ισοµορφισµός θα λέµε ότι οι δακτύλιοι R και S είναι ισόµορφοι και θα συµβολίζουµε αυτό µε φ: Ÿ Ÿ, φ ( ) = [ ], είναι επιµορφισµός R S Για παράδειγµα, η απεικόνιση Έστω φ: R S ένας οµοµορφισµός δακτυλίων Το σύνολο kerφ = { r R φ( r) = 0 S } ονοµάζεται πυρήνας του φ Η εικόνα του φ είναι Iφ = { s S s = φ( r) για κάποιο r R} Χρησιµοποιώντας την Πρόταση 0

9 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 5 εύκολα αποδεικνύεται ότι το έχουµε: Iφ είναι υποδακτύλιος του S (άσκηση) Επιπλέον 03 Πρόταση Έστω φ: R S ένας οµοµορφισµός δακτυλίων Τότε () ο φ είναι µονοµορφισµός ker φ = {0} () o φ είναι επιµορφισµός I φ = S Απόδειξη () Έστω φ µονοµορφισµός Αν r kerφ τότε φ( r) = 0 και άρα φ ( r) = φ(0 R ) Όµως ο φ είναι µονοµορφισµός σηµαίνει r = 0R Αντίστροφα έστω kerφ = {0 R} Αν φ ( r ) = φ( r ) µε r, r R, τότε φ( r r ) = 0S και άρα r r kerφ Συνεπώς r = r () Προφανές από τους ορισµούς Έστω R ένας δακτύλιος και Ι ένα µη κενό υποσύνολο του R Το Ι καλείται ιδεώδες του R αν ) a I πυρήνας αν a + b I για κάθε a, b I και ) ra I για κάθε r R και Για παράδειγµα, αν φ : R S είναι ένας οµοµορφισµός δακτυλίων, τότε ο I R ker φ είναι ιδεώδες του R (άσκηση) Ένα ιδεώδες Ι του R λέγεται γνήσιο Ένα ιδεώδες του δακτυλίου R λέγεται κύριο αν έχει τη µορφή I = { ra r R} για κάποιο a I Στην περίπτωση αυτή θα γράφουµε I = (a) και θα λέµε ότι το Ι παράγεται από το a Έστω Α ένα υποσύνολο του δακτυλίου R Το ιδεώδες που παράγεται από το Α είναι το ιδεώδες = και το συµβολίζουµε r a R =,,, r R, a A για κάθε =,,, (A) Αν το Α είναι πεπερασµένο A = a,, a } χρησιµοποιούµε και το συµβολισµό a,, a ) στη θέση του (A) ( { Έστω Ι ένα ιδεώδες του δακτυλίου R Το σύνολο των πλευρικών κλάσεων R / I = { r + I r R} έχει τη δοµή δακτυλίου µε τις πράξεις r + I) + ( r + ) = ( r + r ) + I, r + I)( r + I) = r r + I ( I ( Πράγµατι, το µόνο πράγµα που δεν είναι τελείως προφανές είναι ότι οι προηγούµενες πράξεις είναι καλά ορισµένες: έστω

10 6 Κεφάλαιο 0 r + I = r + I και r + I = r + I Τότε έχουµε πρόσθεση παρατηρούµε ότι r r I και r r I Για την r + r ) ( r + r ) = ( r r ) + ( r r ) I και άρα ( r + r ) + I = ( r + r ) + I Για τον πολλαπλασιασµό παρατηρούµε ότι ( r r r r = r ( r r ) + ( r r ) r I και άρα r r + I = r r + I Ο R / I καλείται δακτύλιος πηλίκο ker φ Είδαµε ότι σε κάθε µονορφισµό δακτυλίων φ : R S αντιστοιχεί ο πυρήνας που είναι ιδεώδες του R Αντίστροφα, έστω Ι ιδεώδες του R Τότε ο οµοµορφισµός δακτυλίων φ : R R / I, f ( r) = r + I (που καλείται φυσικός επιµορφισµός) έχει πυρήνα ker φ = I Έτσι υπάρχει στενή σχέση µεταξύ των εννοιών οµοµορφισµός, ιδεώδες και δακτύλιος πηλίκο Μία άλλη σχέση δίνεται από το παρακάτω αποτέλεσµα 03 Θεώρηµα (Το ο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων) Έστω ένας οµοµορφισµός δακτυλίων Τότε υπάρχει ισοµορφισµός δακτυλίων φ : R / ker φ Iφ, φ( r + ker φ) = φ( r) φ : R S Απόδειξη Η φ είναι καλά ορισµένη Πράγµατι, αν r + ker φ = r + ker φ, τότε r r ker φ και άρα φ ( r r ) = 0 ηλαδή φ ( r) = φ( r ) και κατά συνέπεια φ ( r + ker φ) = φ( r + ker φ) Το ότι ο φ είναι οµοµορφισµός δακτυλίων βεβαιώνεται µε έναν υπολογισµό ρουτίνας που παραλείπεται Προφανώς ο φ είναι επί Μένει να δείξουµε ότι είναι µονοµορφισµός Από την Πρόταση 03 () αρκεί να δείξουµε ότι ker φ = {0 } Πράγµατι, παρατηρούµε ότι R / ker φ φ( r ker φ) = 0 φ( r) = 0 r ker φ + S S r + ker φ = ker φ = 0R / ker φ Η επόµενη πρόταση περιγράφει τα ιδεώδη του δακτυλίου πηλίκου χρησιµοποιηθεί συχνά στα παρακάτω R / I και θα 033 Πρόταση Έστω Ι ένα ιδεώδες του δακτυλίου R Κάθε ιδεώδες του R / I έχει τη µορφή J / I όπου J είναι ιδεώδες του R που περιέχει το Ι

11 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 7 Απόδειξη Σηµειώνουµε πρώτα µία γενική παρατήρηση: αν φ : R S είναι ένας οµοµορφισµός δακτυλίων και Κ ένα ιδεώδες του S, τότε η αντίστροφη εικόνα K φ ( ) = { r R φ( r) K} είναι ένα ιδεώδες του R Πράγµατι,, r r r φ ( K) φ( ), φ( r ) K φ( r + r ) = φ( r ) + φ( r K r + r K, I ) K και a R, r φ ( ) φ( ar) = φ( a) φ( r) K ar φ ( ) Εφαρµόζουµε τώρα την προηγούµενη παρατήρηση στον φυσικό επιµορφισµό f : R R / I f K Έστω Κ ένα ιδεώδες του R / I Το ( ) είναι ιδεώδες του R, που προφανώς περιέχει το Ι, για το οποίο ισχύει f ( K) / I = K 04 Κατασκευή Νέων Ιδεωδών από Παλαιά Από τον ορισµό του ιδεώδους προκύπτει άµεσα ότι η τοµή µιας µη κενής οικογένειας ενός δακτυλίου είναι και πάλι ιδεώδες Όµως δεν συµβαίνει το ίδιο για την ένωση Για παράδειγµα η ένωση ( ) (3) των κύριων ιδεωδών () και (3) του δεν είναι ιδεώδες (γιατί;) Ένα υποκατάστατο της ένωσης ιδεωδών είναι η πράξη του αθροίσµατος ιδεωδών: έστω ( I λ ) λ Λ µια οικογένεια ιδεωδών του δακτυλίου R Το άθροισµα των I λ είναι το ιδεώδες του R που παράγεται από το σύνολο I λ, δηλαδή είναι το ιδεώδες λ Λ I λ = λ r c λ λ Ÿ λ Λ rλ R, cλ I λ, και rλ εκτός από ένα πεπερασµένο πλήθος λ Το συµβολίζουµε µε I λ Στην ειδική περίπτωση που το Λ είναι πεπερασµένο λ Λ σύνολο, Λ = {,,, } χρησιµοποιούµε συνήθως το συµβολισµό I ή και I + + I και παρατηρούµε ότι ισχύει = { c + + c c I για = } = 0 I =,, =

12 8 Κεφάλαιο 0 04 Παράδειγµα Έστω, Õ Τότε στο Ÿ ισχύει ( ) + ( ) = ( d), όπου d είναι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των και Απόδειξη Εφόσον το είναι πολλαπλάσιο του d, έχουµε ( ) ( d) Όµοια ( ) d Άρα από τον ορισµό ( ) + ( ) ( d) Για την άλλη σχέση εγκλεισµού, γράφουµε το d ως γραµµικό συνδυασµό των και (το d είναι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των και ) Έχουµε d = x + y, όπου x, y Ÿ Άρα από τον ορισµό d ( ) + ( ), και κατά συνέπεια ( d ) ( ) + ( ) Μια άλλη χρήσιµη πράξη ιδεωδών είναι το γινόµενο Έστω Ι και J ιδεώδη του R Με IJ συµβολίζουµε το ιδεώδες που παράγεται από το σύνολο { ab R a I, b J} Αυτό ονοµάζεται γινόµενο των I και J Η προσεταιριστικότητα του γινοµένου στο R µας επιτρέπει να ορίσουµε κατά τον προφανή τρόπο το γινόµενο πεπερασµένου πλήθους ιδεωδών: Έστω ιδεώδη του R Τότε ορίζουµε το ιδεώδες που παράγεται από το σύνολο ότι I I = = = I = I I I { aa a a I για =,,, } I,, I ως το ιδεώδες του R Παρατηρούµε Μετά την τοµή, το άθροισµα και το γινόµενο ολοκληρώνουµε την αριθµητική των ιδεωδών ορίζοντας το ιδεώδες πηλίκο: Έστω Ι και J ιδεώδη του R Θέτουµε ( I : J ) = { r R rj I} Αυτό είναι ένα ιδεώδες του R για το οποίο ισχύει I ( I : J ) Ονοµάζεται ιδεώδες πηλίκο Στην ειδική περίπτωση I = (0), το ιδεώδες πηλίκο ( 0 : J ) = { r R rj = 0} = { r R ra = 0 για κάθε ονοµάζεται µηδενιστής του J και συµβολίζεται µε A J a J} 05 Ακέραιες Περιοχές και Σώµατα Ένας δακτύλιος R (µεταθετικός όπως πάντα!) ονοµάζεται ακέραια περιοχή ή απλώς περιοχή αν 0 και η σχέση ab = 0 µε a R και b R ισχύει µόνο αν R R

13 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 9 a = 0 ή b = 0 Για παράδειγµα οι δακτύλιοι Ÿ, [x], Ÿ είναι περιοχές, ενώ ο Ÿ 4 δεν είναι Ÿ 3 05 Πρόταση Ο δακτύλιος Ÿ είναι περιοχή αν και µόνον αν ο είναι πρώτος Απόδειξη Έστω πρώτος Αν [ a ][ b] = [0] στο, τότε το διαιρεί το γινόµενο ab Εφόσον ο είναι πρώτος, θα διαιρεί έναν τουλάχιστον από τους a και b Άρα [a] ή [ b] = 0, και συνεπώς ο Ÿ είναι περιοχή Αντίστροφα, έστω ότι ο Ÿ Ÿ είναι περιοχή Τότε αν = ab ( a, b N) µε < a < και < b <, έχουµε [ 0] = [ a] [ b] όπου [ a ] 0 και [ b ] 0 Αυτό είναι άτοπο Ένας δακτύλιος R λέγεται σώµα αν 0 και κάθε a R {0} είναι R R αντιστρέψιµο Προφανώς κάθε σώµα είναι περιοχή 05 Πρόταση Κάθε πεπερασµένη περιοχή είναι σώµα Απόδειξη Έστω R πεπερασµένη περιοχή και a R µε a 0 Θα δείξουµε ότι το a είναι αντιστρέψιµο Έστω R = a, a,, a } Θεωρούµε τα στοιχεία { aa, aa,, aa Αυτά είναι διακεκριµένα µεταξύ τους πράγµατι αν aa = aa j τότε a( a a ) = 0 και αφού a 0 και R είναι περιοχή, έχουµε a = Το j πλήθος τους είναι και άρα κάποιο απ αυτά θα είναι το στοιχείο aa = R για κάποιο Άρα το a είναι αντιστρέψιµο a j R, δηλαδή 053 Πόρισµα Ο δακτύλιος Ÿ είναι σώµα αν και µόνον αν ο είναι πρώτος Απόδειξη Άµεση από τις Προτάσεις 05 και Ορισµός Έστω k σώµα Μια k-άλγεβρα R είναι ένας δακτύλιος R εφοδιασµένος µε µια απεικόνιση k R ( a, r) a r R που ικανοποιεί τις συνθήκες: Το R είναι k-διασµατικός χώρος και

14 0 Κεφάλαιο 0 a ( r r ) = ( a r ) r = r ( a r ) για κάθε a k, r, r R Για παράδειγµα, ο δακτύλιος k[x] είναι µια k άλγεβρα 055 Ορισµός Έστω R και S δύο k-άλγεβρες Μια απεικόνιση φ : R S ονοµάζεται οµοµορφισµός (αντίστοιχα, µονοµορφισµός, επιµορφισµός, ισοµορφισµός) αλγεβρών αν είναι οµοµορφισµός (αντίστοιχα, µονοµορφισµός, επιµορφισµός, ισοµορφισµός) δακτυλίων και επιπλέον ισχύει για κάθε a k και r R Για παράδειγµα, έστω είναι ένας επιµορφισµός k-αλγεβρών φ ( ar) = aφ( r) a k Η απεικόνιση ( εκτίµηση στο a ) k[ x] f ( x) f ( a) k 06 Πρώτα και Μέγιστα Ιδεώδη Θυµίζουµε εδώ τα πλέον βασικά περί πρώτων και µέγιστων ιδεωδών 06 Ορισµός Ένα ιδεώδες Ρ του R καλείται πρώτο αν () P R, και () αν a, b R µε ab P τότε a P ή b P 06 Πρόταση Έστω Ι ιδεώδες του R Τότε το Ι είναι πρώτο αν και µόνο αν ο δακτύλιος πηλίκο R / I είναι περιοχή Απόδειξη Έστω Ι πρώτο Τότε ιδιότητα b I I R και R / I 0 Έστω a, b R µε την ( + I)( b + I) = 0 Τότε ab + I = I και άρα ab I Συνεπώς a I ή a R / I δηλαδή ή a + I R / I b I R / I = 0 + = 0 Αντίστροφα, έστω R / I ακέραια περιοχή Τότε R / I 0 και άρα I R Έστω a, b R µ ε ab I Τότε a I R / I ab + I = 0 R / I ( a + I)( b + I) = 0 R / I + = 0 ή b I = 0 a I ή b I + R / I 063 Ορισµός Ένα ιδεώδες Μ του R ονοµάζεται µέγιστο αν

15 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη () M R, και () δεν υπάρχει ιδεώδες Ι του R µε την ιδιότητα M I R 064 Πρόταση Έστω Ι ένα ιδεώδες του R Τότε το Ι είναι µέγιστο αν και µόνο αν ο δακτύλιος πηλίκο R / I είναι σώµα Απόδειξη Έστω ότι το Ι είναι µέγιστο Τότε a I R / I I R και R / I 0 Έστω µε + I 0 Θα δείξουµε ότι το a + I είναι αντιστρέψιµο + a R / I Εφόσον + 0 ισχύει a I Το ιδεώδες ( a ) + I περιέχει γνήσια το Ι Αφού a I R / I το Ι είναι µέγιστο έχουµε ra + b = Συνεπώς αντιστρέψιµο ( a ) + I = R Άρα για κάποια r R και b I ισχύει ( r + )( a + I) = ra + I = ( b) + I = + I και το r + I είναι Αντίστροφα, έστω ότι ο R / I είναι σώµα Τότε R / I 0 και άρα I R Έστω J ιδεώδες µε Υπάρχει a J, a I Άρα I J R Θα δείξουµε ότι a I R / I ( a + I)( b + I) = + I για κάποιο b R Άρα J = R, οπότε το Ι είναι µέγιστο + 0 και, αφού το R / I είναι σώµα, ab I Εφόσον I J και a J συµπεραίνουµε ότι J, δηλαδή J = R 065 Πόρισµα Κάθε µέγιστο ιδεώδες είναι πρώτο Απόδειξη Άµεση από τις Προτάσεις 064 και 06 Για παράδειγµα, το ιδεώδες (x) του Ÿ [x] είναι πρώτο, γιατί Ÿ [ x]/( x) Ÿ που είναι περιοχή, και όχι µέγιστο αφού ο του Ÿ δεν είναι σώµα Το ιδεώδες (, x) Ÿ [x] είναι µέγιστο, αφού Ÿ [ ]/(, x) Ÿ (γιατί;) που είναι σώµα Στο x επόµενο κεφάλαιο θα περιγράψουµε όλα τα πρώτα (και µέγιστα) ιδεώδη του (Πρόταση 4) Ÿ [x] 07 Σώµα Πηλίκων Ακέραιας Περιοχής

16 Κεφάλαιο 0 Θυµίζουµε εδώ την κατασκευή του σώµατος πηλίκων µιας ακέραιες περιοχής R Ειδικότερα θα δούµε πως ο R εµφυτεύεται ως υποδακτύλιος σ ένα σώµα σε αναλογία µε την εµφύτευση του Ÿ στο 07 Πρόταση Έστω R µια περιοχή Τότε υπάρχει σώµα k και µονοµορφισµός δακτυλίων φ : R k έτσι ώστε κάθε στοιχείο του k γράφεται στη µορφή για κάποια r, s R, s 0 φ( r) φ( s) Απόδειξη Θέτουµε ισοδυναµίας S = R {0} Στο σύνολο ( a, b) ~ ( c, d) ad = bc R S ορίζουµε µια σχέση Η κλάση ισοδυναµίας που περιέχει το στοιχείο των κλάσεων ισοδυναµίας, έστω k, είναι σώµα µε πράξεις a c ad + bc + =, b d bd a B ( a, b) συµβολίζεται c d = ac bd a Το σύνολο b (Η επαλήθευση του καλώς ορισµένου των πράξεων και των αξιωµάτων είναι θέµα ρουτίνας και παραλείπεται) Το µηδέν του σώµατος αυτού είναι το 0 και το µοναδιαίο στοιχείο είναι το Τέλος η συνάρτηση a φ : R k, φ ( a) = για κάθε a R, είναι µονοµορφισµός δακτυλίων και το τυχαίο a k γράφεται φ( a) φ( b) b Το σώµα που κατασκευάσαµε πιο πάνω ονοµάζεται σώµα πηλίκων του R Για παράδειγµα, το σώµα πηλίκων του Ÿ είναι το και το σώµα πηλίκων του k[x] (k σώµα) είναι το σώµα των ρητών συναρτήσεων f ( x) k ( x) = f ( x), g( x) k[ x], g( x) 0 g( x) 08 Επεκτάσεις Σωµάτων

17 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 3 Αν E F είναι σώµατα (ως προς τις ίδιες πράξεις) θα λέµε ότι το Ε είναι επέκταση του F Συµβολικά γράφουµε E / F Ο βαθµός της επέκτασης E / F είναι η διάσταση του Ε ως F-διανυσµατικός χώρος Συµβολικά επέκταση σωµάτων a E πολυωνύµου E / F λέγεται πεπερασµένη αν [ E : F] = d E Μια [ E : F] < Ένα στοιχείο λέγεται αλγεβρικό επί του F αν είναι ρίζα κάποιου µη µηδενικού f ( x) F[ x] Για παράδειγµα το είναι αλγεβρικό επί του, γιατί είναι ρίζα του x [x] Μια επέκταση E / F λέγεται αλγεβρική αν κάθε a E είναι αλγεβρικό επί του F F 08 Πρόταση Κάθε πεπερασµένη επέκταση σωµάτων είναι αλγεβρική Απόδειξη Έστω E / F επέκταση µε [ E : F] = < Έστω a E Τα στοιχεία 0 = a, a, a,, a είναι γραµµικώς εξαρτηµένα επί του F γιατί το πλήθος τους είναι υπάρχουν Αν θέσουµε λ0, λ,, λ F (όχι όλα µηδέν) µε την ιδιότητα 0 = λ + λ a + + λ a 0 f ( x) = λ + λ x + + λ 0 x F[ x ] +> Άρα τότε f ( x) 0 και το a είναι ρίζα του f (x) Ένα σώµα F λέγεται αλγεβρικά κλειστό αν κάθε µη σταθερό πολυώνυµο f ( x) F[ x] έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο F Συνεπώς ένα σώµα F είναι αλγεβρικά κλειστό αν κάθε µη σταθερό πολυώνυµο γινόµενο πρωτοβάθµιων παραγόντων στο F[x] f ( x) F[ x] γράφεται ως Αναφέρουµε χωρίς απόδειξη ότι για κάθε σώµα F υπάρχει επέκταση F / F όπου το F είναι αλγεβρικά κλειστό σώµα Το F είναι µοναδικό (µε προσέγγιση ισοµορφισµού) και ονοµάζεται αλγεβρική θήκη του F Για παράδειγµα η αλγεβρική θήκη του είναι το, πράγµα που έπεται από το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας, που παραθέτουµε χωρίς απόδειξη 08 Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας Το σώµα είναι αλγεβρικά κλειστό

18 4 Κεφάλαιο Θεώρηµα Αν οι επεκτάσεις σωµάτων E / F και K / Eείναι πεπερασµένες, τότε η επέκταση K / F είναι πεπερασµένη και [ K : F] = [ K : E] [ E : F] Απόδειξη Έστω [ E : F] = και [ K : E] = Έστω a,, a µια βάση του Ε ως F-διανυσµατικός χώρος και b,,b µια βάση του Κ ως Ε-διανυσµατικός χώρος Θα δείξουµε ότι το σύνολο X = { a b K =,,, j,, } j = αποτελεί µία βάση του Κ ως F-διανυσµατικός χώρος b,,b Έστω c K Τότε το c είναι Ε-γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων Επειδή κάθε στοιχείο του Ε είναι F-γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων a,,a συµπεραίνουµε ότι το c είναι F-γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων a b j Άρα το Χ παράγει το Κ επί του F Έστω Γράφοντας συµπεραίνουµε ότι, j λjab j = 0 ( λj F), j λ a b j j = λ j λ j a = 0 j a b j = 0 γιατί τα b αποτελούν βάση Η τελευταία σχέση δίνει λ = 0, γιατί τα j αποτελούν βάση Συνεπώς το Χ είναι γραµµικά ανεξάρτητο επί του F j a 09 Θεµελιώδες Θεώρηµα Συµµετρικών Πολυωνύµων Ένα πολυώνυµο f x,, x ) R[ x,, x ] ονοµάζεται συµµετρικό αν για κάθε µετάθεση σ των στοιχείων (,,, ισχύει f x,, x ) = f ( x,, x ) ( σ( ) σ( )

19 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 5 Τα Για παράδειγµα, τα ακόλουθα πολυώνυµα είναι συµµετρικά e e = x + x + + x e = xx + + xx + + x e = x x x ονοµάζονται στοιχειώδη συµµετρικά πολυώνυµα Παρατηρούµε ότι αυτά εµφανίζονται ως συντελεστές (µε προσέγγιση προσήµου) του πολυωνύµου x x )( x x ) ( x x ) R[ x,, x ][ x] αφού ( ) ( x x ) = x e x + ex + ( ( x x ) e x 09 Θεµελιώδες Θεώρηµα Συµµετρικών Πολυωνύµων Κάθε συµµετρικό πολυώνυµο είναι πολυώνυµο στα στοιχειώδη συµµετρικά πολυώνυµα ηλαδή αν f ( x,, x ) είναι ένα συµµετρικό πολυώνυµο, τότε ισχύει f x,, x ) = g( e,, e ) για κάποιο g x,, x ) R[ x,, x ] Για παράδειγµα ( x + + x = e e ( Απόδειξη Θα δώσουµε µια στοιχειώδη απόδειξη που είναι µάλιστα κατασκευαστική Ορίζουµε µια ολική διάταξη στα µονώνυµα αν η πρώτη µη µηδενική διαφορά x a a a b b x > x x x x a a b είναι θετική (Η διάταξη αυτή συνήθως x καλείται λεξικογραφική) Για παράδειγµα x x > x x > x Έστω f ( x,, x ) ένα συµµετρικό πολυώνυµο και το µέγιστο µονώνυµο του f το f a x x το x x µε κάποια µετάθεση των a,, a Συνεπώς ισχύει a ( x,, x ) ως προς τη λεξικογραφική διάταξη Επειδή ( x,, x ) είναι συµµετρικό θα περιέχει κάθε µονώνυµο που λαµβάνεται από a a a a a Θεωρούµε τώρα το µέγιστο µονώνυµο που περιέχεται στο πολυώνυµο

20 6 Κεφάλαιο 0 Το µονώνυµο αυτό είναι το είναι το x a a e e a+ + a a + + a a x x Συνεπώς το µέγιστο µονώνυµο που περιέχει το πολυώνυµο a a a a e 3 e x e a a a x x Έστω c ο συντελεστής του x x στο f ( x,, x ) Τότε το µέγιστο µονώνυµο του πολυωνύµου είναι µικρότερο από το a a a a a f f x = (,, ) a a x a a ce a a a a a e 3 e x x Έχουµε deg f deg f ( x,, x ) γιατί 3 dege e e = a + + a Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία στο f, κοκ Όµως το πλήθος των µονωνύµων που είναι µικρότερα του a και έχουν βαθµό deg f ( x,, x ) είναι βέβαια πεπερασµένο Έτσι, µετά ένα πεπερασµένο πλήθος βήµατα, έχουµε f = 0, δηλαδή το f x,, x ) γράφεται ως πολυώνυµο k ( στα e,,e a x x a Τότε και Για παράδειγµα, έστω,, 3) = 3 και 3 x x3 3 3 f ( x x x = x x + x x + x + x + x x + x x a =, a =, a 0, 3 = f = f ( x x x e e,,, 3) σύµφωνα µε την απόδειξη Όµως µε πράξεις διαπιστώνουµε ότι e e = 3xx x3 Άρα,, 3) 3 3 f ( x, x, x3) f ( x x x = e e e Ασκήσεις

21 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 7 * Ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή αν και µόνο αν ο δακτύλιος R[x] είναι ακέραια περιοχή = 0 Το στοιχείο r x R[[ x]] είναι αντιστρέψιµο αν και µόνο αν το στοιχείο r R 0 είναι αντιστρέψιµο 3 ώστε ένα παράδειγµα ενός υποδακτυλίου του [x] που δεν είναι ιδεώδες του [x] 4 Αποδείξτε ότι το ιδεώδες (, x) του Ÿ [x] δεν είναι κύριο 5 Για τα κύρια ιδεώδη I = (), I = () του Ÿ ποια είναι τα ιδεώδη Ι J, I + J, IJ και ( I : J ); Η απάντηση να δοθεί συναρτήσει της παραγοντοποίησης των και σε γινόµενα πρώτων αριθµών 6 * Έστω I, J, K ιδεώδη του R, και έστω ( I ) µια οικογένεια ιδεωδών του R Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις () (( I : J ) : K ) = ( I : JK) = (( I : K) : J ) () I λ : K = ( I λ : K) λ Λ λ Λ () J : I λ = ( J : I λ ) λ Λ λ Λ λ λ Λ 7 Στον δακτύλιο x, x, x, ] θεωρούµε τα ιδεώδη I = x, x ) και [ 3 x4 J = x 3, x ) Αποδείξτε ότι IJ { fg f I, g J} ( 4 8 Έστω I, J, K ιδεώδη του δακτυλίου R () Ισχύει ότι IJ = I J ; () Αποδείξτε ότι I ( J + K) I J + I K ; () Αν I + J = R αποδείξετε ότι IJ = I J ( 9 Είναι ισόµορφοι οι δακτύλιοι Ÿ [] και Ÿ [ ] = { a + b a, b Ÿ }; 0 Έστω φ : R S οµοµορφισµός δακτυλίων όπου το S είναι περιοχή Αποδείξτε ότι το ιδεώδες ker φ είναι πρώτο Κάθε περιοχή µε πεπερασµένο πλήθος ιδεωδών είναι σώµα

22 8 Κεφάλαιο 0 Έστω R ένας πεπερασµένος δακτύλιος Τότε κάθε πρώτο ιδεώδες του R είναι µέγιστο 3 Ο δακτύλιος Ÿ [x] έχει άπειρο πλήθος µέγιστων ιδεωδών 4 * Σωστό (απαιτείται απόδειξη) ή Λάθος (αρκεί ένα αντιπαράδειγµα) Έστω φ : R S ένας οµοµορφισµός δακτυλίων () Ι ιδεώδες του R φ(i ) ιδεώδες του S () Ι ιδεώδες του R και φ επιµορφισµός φ(i ) ιδεώδες του S J () J ιδεώδες του S φ ( ) ιδεώδες του R (v) Ρ πρώτο ιδεώδες του R, φ επιµορφισµός φ(p) πρώτο ιδεώδες του S (v) Ρ πρώτο ιδεώδες του R, φ επιµορφισµός, ιδεώδες του S (v) Μ µέγιστο ιδεώδες του R, φ επιµορφισµός, ιδεώδες του S 5 Έστω I J ιδεώδη του R Τότε υπάρχει ισοµορφισµός ( R / I) /( J / I) R / J ( r + I) + J / I r + J (Υπόδειξη: Εφαρµόστε το Θεώρηµα 03) 6 * Έστω I J ιδεώδη του R Τότε (a) Το ιδεώδες J / I του R / I είναι πρώτο (b) Το ιδεώδες J / I του R / I είναι µεγιστο (Υπόδειξη: Άσκηση 5) ker φ P φ( P) ker φ M φ( M ) το J είναι πρώτο το J είναι µέγιστο πρώτο µέγιστο 7 * (Ταυτότητα διαίρεσης) Έστω f, g R[ x] Αν ο µεγιστοβάθµιος συντελεστής του g (x) είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του R, τότε υπάρχουν q, r R[ x] µε τις ιδιότητες () f = qg + r () deg r < deg q Επιπλέον, τα q, r είναι µοναδικά

23 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 9 (Υπόδειξη: για την ύπαρξη, χρησιµοποιήσετε επαγωγή στο = deg f Για το επαγωγικό βήµα, παρατηρήσετε ότι ο βαθµός του f f = a x + + a 0 και g = b x + + b0 είναι < ) a b x g, όπου = 0 8 * (Κριτήριο του Eseste) Έστω f a x + + a Ÿ [x] και p Ÿ πρώτος αριθµός Αν () p διαιρεί τους a0, a,, a () p δεν διαιρεί τον a () p δεν διαιρεί τον a0 τότε το f είναι ανάγωγο πολυώνυµο στο Ÿ [x] (Παρατήρηση: ισχύει το ισχυρότερο συµπέρασµα ότι το [x] Βλέπε Λήµµα 34 στο επόµενο Κεφάλαιο) f είναι ανάγωγο στο 9 Εφαρµόστε το θεµελιώδες θεώρηµα των συµµετρικών πολυωνύµων στο πολυώνυµο x + x x xx x + + ( = ) 0 Αποδείξτε ότι το [ ] είναι ισόµορφο µε το σώµα πηλίκων του Ÿ [ ] Στην απόδειξη της Πρότασης 07, που χρησιµοποιήθηκε η υπόθεση ότι το R είναι ακέραια περιοχή;

24 Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε ότι κάτι ανάλογο συµβαίνει στο δακτύλιο πολυωνύµων k[x], όπου k είναι σώµα Σκοπός µας εδώ είναι να µελετήσουµε ακέραιες περιοχές που έχουν την ιδιότητα της µοναδικής παραγοντοποίησης Για να γίνουµε πιο σαφείς απαιτούνται µερικοί ορισµοί που παραθέτουµε αµέσως παρακάτω Ορισµοί και Παραδείγµατα Έστω R ένας δακτύλιος και a, b R Ορισµός ) Θα λέµε ότι το a διαιρεί το b (συµβολισµός a b) αν υπάρχει c R τέτοιο ώστε b = ac ) Τα a και b ονοµάζονται συντροφικά στο R αν αντιστρέψιµο u R Η σχέση στο R που ορίζεται από σχέση ισοδυναµίας a = ub για κάποιο a ~ b a και b είναι συντροφικά, είναι Για παράδειγµα, τα µόνα συντροφικά στοιχεία του 3 στο είναι το 3 και 3 Τα συντροφικά στοιχεία του f ( x) k[ x], όπου k είναι σώµα, είναι τα όπου u k {0} Ÿ uf (x) Ορισµός Έστω R µια ακέραια περιοχή και p R ανάγωγο στο R αν () το p δεν είναι µηδέν και δεν είναι αντιστρέψιµο, και () p = ab µε a, b R ισχύει µόνο αν το a ή το b είναι αντιστρέψιµο Τότε το p ονοµάζεται

25 Κεφάλαιο Προφανώς οι πρώτοι αριθµοί είναι ανάγωγοι στο 5 δεν είναι ανάγωγο στοιχείο στο Ÿ Όµως ο πρώτος αριθµός Ÿ [ ] = { a + b a, b Ÿ } αφού 5 = ( + )( ) και τα στοιχεία +, δεν είναι αντιστρέψιµα στο Ÿ [] (Απόδειξη: ( + )( + ) = = και + = 0 το οποίο δεν έχει ακέραιες λύσεις Όµοια για το ες την Πρόταση 54 παρακάτω) 3 Ορισµός Μια ακέραια περιοχή R ονοµάζεται περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης αν ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες: () Κάθε στοιχείο του R που δεν είναι 0 ή αντιστρέψιµο γράφεται ως γινόµενο αναγώγων στοιχείων στο R () Αν a p και a = q q είναι γινόµενα αναγώγων στοιχείων του R τότε = p r s r = s και µετά από κάποια αρίθµηση, το p είναι συντροφικό του q για κάθε =,, r Γνωστά παραδείγµατα είναι οι δακτύλιοι Ÿ και k[x], όπου k σώµα Ένα άλλο παράδειγµα είναι ο δακτύλιος των πολυωνύµων πολλών µεταβλητων µε συντελεστές από µία ακέραια περιοχή R, όπως θα δείξουµε αργότερα στο κεφάλαιο αυτό Ο είναι επίσης περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης όπως θα δούµε παρακάτω Υπάρχουν πολλές περιοχές που δεν είναι περιοχές µοναδικής παραγοντοποίησης Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι το επόµενο R[ x,, x Ÿ [] ] 4 Παράδειγµα Θα δείξουµε ότι στην ακέραια περιοχή Ÿ [ 5] = { a + b 5 a, b Ÿ } δεν ισχύει η συνθήκη () του Ορισµού 3 Παρατηρούµε ότι 6 = 3 = ( + 5) ( 5) Πρώτα δείχνουµε ότι τα στοιχεία, 3, + 5, και 5 είναι ανάγωγα στο Ÿ [ 5] : Ορίζουµε µία συνάρτηση ( νόρµα ) N : Ÿ [ 5] a + b 5 a + 5b Õ

26 Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές 3 και παρατηρούµε ότι N ( xy) = N( x) N( y) για κάθε x, y Ÿ [ 5] Έστω τώρα ότι το u Ÿ [ 5] είναι αντιστρέψιµο Από τη σχέση uv = παίρνουµε N ( uv) = N() =, δηλαδή N ( u) N( v) = Άρα N ( u) =, γιατί N( u), N( v) Õ Γράφοντας u = u + u 5, παίρνουµε u + u ( u 0,u Ÿ ) Οι λύσεις της = τελευταίας ιοφαντικής εξίσωσης είναι προφανώς u 0 = ±, u = 0 Συµπέρασµα: τα µόνα αντιστρέψιµα στοιχεία του Ÿ [ 5] είναι τα ± Εποµένως τα, 3, ± 5 δεν είναι αντιστρέψιµα (συνθήκη ) του Ορισµού ) Θα δείξουµε τώρα ότι ισχύει η συνθήκη ) του Ορισµού για καθένα από τα, 3, + 5, 5 Έστω = ab µ ε a, b Ÿ [ 5] Έχουµε N ( ) = N( ab), δηλαδή 4 = N( a) N( b) Επειδή N( a), N( b) Õ, συµπεραίνουµε ότι N ( a) = ή N( a) = ή N ( a) = 4 Η περίπτωση N ( a) = αποκλείεται γιατί N( a) = a = ± Όµοια η περίπτωση N ( a) = 4 αποκλείεται γιατί N( a) = 4 N( b) = b = ± Άρα έχουµε N ( a) = Όµως γράφοντας a + a 5 µε a 0, a Ÿ παρατηρούµε ότι 0 = N( a) = a + 5a Συνεπώς το είναι ανάγωγο στο 0 Η τελευταία ιοφαντική εξίσωση δεν έχει λύσεις Ÿ [ 5] Με παρόµοιο τρόπο δείχνουµε ότι το 3, + 5, και 5 είναι ανάγωγα στο Ÿ [ 5] Τέλος είναι προφανές ότι από τα, 3, + 5, και 5 οποιαδήποτε δύο δεν είναι συντροφικά, γιατί τα αντιστρέψιµα στοιχεία του Ÿ [ 5] είναι τα ± I = (a) Υπενθυµίζουµε ότι ένα ιδεώδες I του δακτυλίου R ονοµάζεται κύριο αν για κάποιο a R ( 03) 5 Ορισµός Μια περιοχή R ονοµάζεται περιοχή κυρίων ιδεωδών αν κάθε ιδεώδες του R είναι κύριο 6 Παράδειγµα Οι δακτύλιοι Ÿ και k[x], όπου k είναι σώµα, είναι περιοχές κυρίων ιδεωδών

27 4 Κεφάλαιο Απόδειξη Έστω Ι ιδεώδες του Ÿ διάφορο από το ( 0) Έστω d I ο ελάχιστος µη µηδενικός φυσικός αριθµός του συνόλου I Õ Θα αποδείξουµε ότι I = (d) Προφανώς έχουµε Συνεπώς ( d) I Έστω λοιπόν I Από την ταυτότητα διαίρεσης στο = qd + r, 0 r < d r = qd I, γιατί το Ι είναι ιδεώδες Από την ανισότητα 0 r < d και τον ορισµό του d συµπεραίνουµε ότι r = 0 Τελικά = qd (d), δηλαδή I (d) Η απόδειξη για το k[x] είναι πανοµοιότυπη: χρησιµοποιήστε την ταυτότητα διαίρεσης πολυωνύµων (Άσκηση 07) Ένα παράδειγµα περιοχής που δεν είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών επισηµάνθηκε ήδη στην Άσκηση 04 Ένα άλλο τέτοιο παράδειγµα είναι ο δακτύλιος k[ x, y] των πολυωνύµων δύο µεταβλητών πάνω στο σώµα k (γιατί;) Έχοντας λοιπόν κατανοήσει τους προηγούµενους ορισµούς, µπορούµε να περιγράψουµε το στόχο αυτού του Κεφαλαίου, ο οποίος είναι να αποδείξουµε ότι: Κάθε περιοχή κυρίων ιδεωδών είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης ( Θεώρηµα) R περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης R[x] είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης (3 Θεώρηµα) Ÿ Κύρια Ιδεώδη και Παραγοντοποίηση Θα αποδείξουµε εδώ το ακόλουθο Θεώρηµα Κάθε περιοχή κυρίων ιδεών είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης Το πρώτο βήµα στην απόδειξη του παραπάνω θεωρήµατος είναι να δείξουµε ότι σε κάθε περιοχή κυρίων ιδεωδών κάθε µη µηδενικό, µη αντιστρέψιµο στοιχείο γράφεται ως γινόµενο αναγώγων στοιχείων (3 Πρόταση παρακάτω) Για το σκοπό αυτό χρειαζόµαστε το ακόλουθο λήµµα Λήµµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών και έστω

28 Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές 5 I I µια αύξουσα ακολουθία ιδεωδών του R Τότε υπάρχει Απόδειξη Θεωρούµε την ένωση I I = I = = + + I = = I Õ τέτοιο ώστε Θα δείξουµε ότι το Ι είναι ιδεώδες του R Πράγµατι, έστω a, b I και r R Για κάποια και j έχουµε a I, και b I λόγω της υπόθεσης Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι j Τότε a, b I j Κατά συνέπεια a + b I j και ra I j Άρα a + b I και ra I Συνεπώς το I είναι ιδεώδες Τώρα, επειδή ο R είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, έχουµε I = (c) για κάποιο c I Όµως αφού I = I, έχουµε = Άρα για κάθε έχουµε I = I c I για κάποιο j 3 Πρόταση Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών Τότε κάθε µη µηδενικό, µη αντιστρέψιµο στοιχείο του R είναι γινόµενο αναγώγων στοιχείων του R Απόδειξη Έστω a R µε a 0 και a µη αντιστρέψιµο Πρώτα θα αποδείξουµε ότι υπάρχει ανάγωγο που διαιρεί το a Αν το a είναι ανάγωγο, δεν υπάρχει τίποτε να αποδείξουµε Έστω ότι το a δεν είναι ανάγωγο Τότε υπάρχουν µη αντιστρέψιµα στοιχεία Πράγµατι κάποια p R a b R µε την ιδιότητα, ( a) ( a ) a = a b Αυτό σηµαίνει ότι a = ab ( a) ( a ) Αν ( a ) = ( a ) τότε a = xa και a = ya για x, y R Τότε a = yab = ayb a( yb ) = 0 yb = 0 b αντιστρέψιµο, που είναι άτοπο Επαναλαµβάνουµε την προηγούµενη διαδικασία για το a στη θέση του a κοκ Λαµβάνουµε λοιπόν µια γνησίως αύξουσα ακολουθία ιδεωδών του R a ) ( a ) ( ) a ( Από το Λήµµα, η παραπάνω ακολουθία τερµατίζει σε κάποιο p = a είναι ανάγωγο εξ ορισµού και διαιρεί το a ( a ) Το

29 6 Κεφάλαιο Έχουµε αποδείξει ότι είτε το a είναι ανάγωγο είτε a = p c, όπου ανάγωγο και c µη αντιστρέψιµο Στη δεύτερη περίπτωση έχουµε ( a) ( c ) p όπως και πριν Αν το c είναι ανάγωγο, δεν υπάρχει τίποτε να αποδείξουµε Έστω ότι το c δεν είναι ανάγωγο Τότε c = pc για κάποιο ανάγωγο p και µη αντιστρέψιµο c αύξουσα ακολουθία ιδεωδών του R Επαναλαµβάνοντας τη διαδικασία λαµβάνουµε µια γνησίως a ) ( c ) ( ) c ( Από το Λήµµα, αυτή κάπου τερµατίζει, έστω στο c ) Τότε το c είναι ανάγωγο και ισχύει a = p p p c ( Το δεύτερο βήµα στην απόδειξη του Θεωρήµατος είναι να δείξουµε τη µοναδικότητα της παραγοντοποίησης που παρέχει η Πρόταση 3 Χρειαζόµαστε για περιοχές κυρίων ιδεωδών µια πρόταση ανάλογη µε την ακόλουθη πρόταση για το Ÿ : αν ο πρώτος p διαιρεί το γινόµενο ab, τότε θα διαιρεί έναν τουλάχιστον από τα a και b Αυτή η πρόταση είναι το κύριο βήµα στην απόδειξη της µοναδικότητας της παραγοντοποίησης στο Ÿ 4 Λήµµα Έστω R περιοχή κυρίων ιδεωδών και p R ανάγωγο αν και µόνο αν το ιδεώδες ( p) είναι µέγιστο Τότε το p είναι Απόδειξη Έστω ( p) µέγιστο ιδεώδες Έστω p = ab µε a, b R Θα δείξουµε ότι το a ή το b είναι αντιστρέψιµο Έχουµε µεγίστου ιδεώδους έχουµε ( p) ( a) Από τον ορισµό του ( a ) = ( p) ή ( a ) = R Στην πρώτη περίπτωση ισχύει p = au για κάποιο αντιστρέψιµο u, πράγµα που σηµαίνει ότι b = a είναι αντιστρέψιµο Στη δεύτερη περίπτωση το a είναι αντιστρέψιµο Αντίστροφα, έστω ότι το p είναι ανάγωγο Έστω Ι ιδεώδες του R µε την ιδιότητα ( p) I Επειδή ο R είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών έχουµε I = (a) για κάποιο a R Άρα p = ab για κάποιο b R Αν το a είναι αντιστρέψιµο, έχουµε

30 Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές 7 ( a ) = R Αν όχι, τότε το b είναι αντιστρέψιµο γιατί το ισχύει ( a ) = ( p) Αποδείξαµε ότι p είναι ανάγωγο, οπότε I = R ή I = ( p) Άρα το ( p) είναι µέγιστο 5 Πρόταση Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών και p R ανάγωγο Αν p ab, όπου ab, R, τότε p a ή p b Απόδειξη Έχουµε p ab ( ab) ( p) Από το Λήµµα 4 το ιδεώδες ( p) είναι µέγιστο και κατά συνέπεια (Πόρισµα 065) πρώτο Άρα a ( p) ή b ( p) Με επαγωγή αποδείχνεται αµέσως το παρακάτω πόρισµα 6 Πόρισµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών και p R ανάγωγο Αν p a a, όπου a,, a R, τότε για κάποιο έχουµε p a Έχοντας υπόψη το προηγούµενο πόρισµα, η απόδειξη του δεύτερου βήµατος είναι απλούστατη: Απόδειξη του Θεωρήµατος Από την Πρόταση 3 αρκεί να δείξουµε τη συνθήκη () του Ορισµού 3 Έστω λοιπόν γινόµενα αναγώγων στοιχείων του R µε a = p p και s r Από τη σχέση r a = q και το Πόρισµα 6 συµπεραίνουµε ότι το p διαιρεί κάποιο q Μετά από κάποια αρίθµηση µπορούµε να υποθέσουµε ότι αντιστρέψιµο, γιατί το q είναι ανάγωγο Άρα u ο R είναι ακέραια περιοχή, p = pr uq q s p q s pr = q q s p q Άρα q = u p για κάποιο p = q και αφού pr u pq Συνεχίζοντας κατά αυτόν τον τρόπο καταλήγουµε σε µια σχέση της µορφής Επειδή τα u ur qr+ = q q r+,, q s είναι ανάγωγα και άρα µη αντιστρέψιµα θα ισχύει r = s s j s

31 8 Κεφάλαιο Αναφέρουµε εδώ ότι το αντίστροφο του Θεωρήµατος δεν ισχύει: ο δακτύλιος k[ x, y] είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης (δες το Πόρισµα 35 παρακάτω) αλλά όχι περιοχή κυρίων ιδεωδών Από το Θεώρηµα και το Παράδειγµα 6 λαµβάνουµε και πάλι το ακόλουθο αποτέλεσµα 6 Πόρισµα Οι δακτύλιοι Ÿ και k[x] (k σώµα) είναι ακέραιες περιοχές µοναδικής παραγοντοποίησης Αµέσως παρακάτω θα γενικεύσουµε το προηγούµενο πόρισµα όπου στη θέση του σώµατος k θα έχουµε τυχαία περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης 3 Περιοχές Μοναδικής Παραγοντοποίησης και Πολυώνυµα 3 Θεώρηµα Αν ο δακτύλιος R είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης τότε και ο R[x] είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης Θα δώσουµε εδώ την κλασσική απόδειξη που οφείλεται ουσιαστικά στον Gauss Έχει το πλεονέκτηµα ότι τα κύρια βήµατα είναι διαισθητικά προφανή Η κεντρική ιδέα είναι η ακόλουθη: έστω R µια περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης και f ( x) R[ x] Θεωρούµε το σώµα πηλίκων του R, έστω k, και την παραγοντοποίηση του f ( x) k[ x] σύµφωνα µε το Πόρισµα 6 Συγκρίνοντας τα ανάγωγα στοιχεία του R [x] µε τα ανάγωγα στοιχεία του k[x] λαµβάνουµε την παραγοντοποίηση του f ( x) R[ x] Αν a a,, 0, a είναι στοιχεία όχι όλα µηδέν µιας ακέραιας περιοχής µπορούµε να θεωρήσουµε στοιχεία d έτσι ώστε d a, d a,, d 0 Κάθε τέτοιο d ονοµάζεται κοινός διαιρέτης των a a,, Αν τώρα f ( x ) = a + a x + + a x είναι ένα µη µηδενικό πολυώνυµο, f ( x) R[ x] όπου 0 R ακεραία περιοχή, µε την ιδιότητα κάθε κοινός διαιρέτης των είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του R, τότε αυτό ονοµάζεται πρωταρχικό πολυώνυµο Για 0, a a a a,, 0, a

32 Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές 9 παράδειγµα το x + 3x 4 Ÿ [x] είναι πρωταρχικό, ενώ το x + x 4 Ÿ [x] δεν είναι Έστω a, b R {0} δύο στοιχεία της περιοχής µοναδικής παραγοντοποίησης a a k k R Αν a up k = p και b = vp p είναι αναλύσεις σε γινόµενα αναγώγων στοιχείων, όπου u και v είναι αντιστρέψιµα στοιχεία, τα b b k δεν είναι συντροφικά k ανά δύο, και a, Õ, τότε κάθε στοιχείο της µορφής c = wp p, όπου w b αντιστρέψιµο στοιχείο του R και c = { a, b } ονοµάζεται µέγιστος κοινός διαιρέτης (µκδ) των a, b Η έννοια του µκδ δεν ορίζεται µονοσήµαντα: αν c είναι µκδ των a και b, τότε και το uc είναι µκδ των a και b για κάθε αντιστέψιµο ένας µκδ των u Όταν γράφουµε µκδ p ( a, b) = c θα εννοούµε ότι κάθε uc είναι a, b Αν τώρα f ( x) R[ x] µε f ( x) 0 g( x) R[ x] είναι πρωταρχικό Κάθε τέτοιο c ονοµάζεται περιεχόµενο του f (x) 6x x + 4 = ( )( 3x + 6x ), οπότε ένα περιεχόµενο του 6x x + 4 c c k είναι φανερό ότι f ( x) = cg( x), όπου c είναι ένας µκδ των συντελεστών του f (x) και Για παράδειγµα, 6x x + 4 = (3x 6x + ) αλλά και είναι το και ένα άλλο είναι το Το παρακάτω προφανές λήµµα µας δίνει µια µορφή µοναδικότητας των c και g(x) 3 Λήµµα Έστω f ( x) R[ x] ένα µη σταθερό πολυώνυµο, όπου R περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης Έστω είναι περιεχόµενα του f ( x) = cg( x) και f ( x) = c g ( x), όπου c, c f (x) και g ( x), g ( x) είναι πρωταρχικά πολυώνυµα Τότε υπάρχουν αντιστρέψιµα u, v R έτσι ώστε c = uc και g ( x) = vg ( x) Απόδειξη Η σχέση c = uc Για τη δεύτερη σχέση παρατηρούµε ότι προκύπτει άµεσα από τον ορισµό του περιεχοµένου cg ( x) = c g ( x) uc g( x) = c g ( x) ug ( x) = g ( x) 33 Λήµµα (Gauss) Έστω R µια περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης Τότε το γινόµενο δύο πρωταρχικών πολυωνύµων στο R[x] είναι πρωταρχικό

33 30 Κεφάλαιο Απόδειξη Έστω f ( x), g( x) R[ x] πρωταρχικά Έστω ότι το γινόµενο f ( x) g( x) δεν είναι πρωταρχικό Τότε υπάρχει ανάγωγο συντελεστές του όπου a = a + ( p) R /( p) p R που διαιρεί όλους τους f ( x) g( x) Θεωρούµε τον επιµορφισµό δακτυλίων φ : R[ x] R /( p)[ x] + ax a0 είναι πρώτο αφού το p είναι ανάγωγο a a 0 Έχουµε φ ( f ( x) g( x)) = 0 και άρα φ ( f ( x)) φ( g( x)) = 0 Όµως το ιδεώδες ( p) περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης περιοχή (Πρόταση 06) Συνεπώς ο x ( ab ( p) p ab p a ή p b αφού R a ( p) ή b ( p) ) Άρα το R /( p) είναι R /( p)[ x] είναι ακέραια περιοχή (Άσκηση 0) Άρα φ ( f ( x)) = 0 ή φ( g( x)) = 0 Αυτό σηµαίνει ότι το p θα διαιρεί όλους τους συντελεστές είτε του f (x) είτε του g(x), πράγµα άτοπο 34 Λήµµα Έστω R µια περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης και k το σώµα πηλίκων του R Έστω f ( x) R[ x] ένα µη σταθερό πολυώνυµο () Αν το f (x) είναι ανάγωγο στο R [x], τότε είναι ανάγωγο και στο k [x] () Αν το f (x) είναι ανάγωγο στο k [x] και πρωταρχικό στο R[x], τότε είναι ανάγωγο και στο R [x] Απόδειξη () Έστω f ( x) = g( x) h( x) µε g( x) h( x) k[ x] Το k είναι το σώµα πηλίκων του R Άρα, απαλείφοντας τους παρονοµαστές των συντελεστών των g (x) και h(x), έχουµε df x) = g ( x) h ( ), ( x όπου d R, g( x) R[ x] deg g ( x) = deg g( x) και deg h ( x) = deg h( x) Γράφουµε f ( x) = cf( x), g x) = c g ( ), και h x) = c h ( ) για πρωταρχικά ( x ( x πολυώνυµα f x), g ( x), h ( x) R[ ] και c, c c R (δες την παράγραφο πριν το Λήµµα 3) Έχουµε ( x, dcf ( x) = cc g ( x) h ( x) 3

34 Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές 3 και από το Λήµµα 33, το g x) h ( ) είναι πρωταρχικό Από το Λήµµα 3 ( x έχουµε c c = dcu για κάποιο αντιστρέψιµο u Άρα R dcf x) = dcug ( x) h ( ) ( x Συνεπώς f x) = cf ( x) = cug ( x) h ( ) Συµπέρασµα: f ( x) = g( x) h( x) στο ( x F[x] συνεπάγεται f x) = cug ( x) h ( ) στο R [x] µε deg g ( x) = deg g( x) και Άρα ( x f (x) ανάγωγο στο R[ x] f ( x) ανάγωγο στο k[x] () Προφανές αφού R[ x] k[ x] Είµαστε σε θέση τώρα να αποδείξουµε το Θεώρηµα 3 Απόδειξη του Θεωρήµατος 3 Έστω f ( x) R[ x], όπου ο R είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης Υποθέτουµε ότι f ( x) 0 και επιπλέον δεν είναι αντιστρέψιµο Αν deg f ( x) = 0, δεν έχουµε να αποδείξουµε τίποτα λόγω της υπόθεσης στο R Έστω λοιπόν deg f ( x) > 0 Έστω k το σώµα πηλίκων του R ( 07) Θεωρούµε f ( x) k[ x] Λόγω του Παραδείγµατος 6 έχουµε Με απαλοιφή παρονοµαστών παίρνουµε f ( x) = p ( x) p ( x), p ( x) ανάγωγο df ( x) = q( x) q ( x), d R, q ( x) R[ x] Κάθε q (x) είναι ανάγωγο στο k [x], γιατί q ( x) = u p ( x) για κάποιο u k Θεωρώντας περιεχόµενα έχουµε f ( x) = cg( x) και q ( x) = c q ( x) όπου g( x), q ( x) R[ x] είναι πρωταρχικά Τότε ( dc) g( x) = ( c c ) q ( x) q ( x) Το γινόµενο q ( x) q ( x) R[ x] είναι πρωταρχικό λόγω του Λήµµατος του Gauss (Λήµµα 33) Τώρα από το Λήµµα 3 παίρνουµε dcu = c για κάποιο αντιστρέψιµο u R Εποµένως ( dc) g( x) = ( dcu) q ( x) q ( x) και κατά συνέπεια c f ( x) = cg( x) = ( cu) q ( x) q ( x) ()

35 3 Κεφάλαιο Κάθε q (x) είναι ανάγωγο στο R[x] λόγω του Λήµµατος 34() Επιπλέον το cu R ή είναι αντιστρέψιµο ή γράφεται ως γινόµενο αναγώγων στοιχείων του R λόγω της υπόθεσης στο R Άρα η σχέση () δείχνει ότι το γινόµενο αναγώγων παραγόντων στο µοναδικότητα της παραγοντοποίησης Έστω δύο παραγοντοποιήσεις του f f (x) αναλύεται σε R[x] Θα δείξουµε στη συνέχεια τη ( s t x x) = c c p ( x) p ( x) = d d q ( x) q ( ) () f (x) σε γινόµενα αναγώγων στοιχείων, όπου c, d R Μπορούµε να υποθέσουµε ότι τα p (x) και (x) είναι πρωταρχικά j Από το Λήµµα του Gauss, τα p ( x) p ( ) και q ( x) q ( ) είναι πρωταρχικά x Από το Λήµµα 3 τα στοιχεία c c s, d d t είναι συντροφικά Από τη µοναδικότητα της παραγοντοποίησης στο R παίρνουµε q j x s t = και (µετά κάποια αναδιάταξη) κάθε c είναι συντροφικό του d Επειδή ο R[x] είναι περιοχή, η σχέση () δίνει p ( x x) p ( x) = uq ( x) q ( ) (3) για κάποιο αντιστρέψιµο u R Θεωρούµε την (3) ως ισότητα στο k[x] Από το Λήµµα 34() κάθε p (x), q j (x) είναι ανάγωγο στο k[x] Από τη µοναδικότητα της παραγοντοποίησης στο k[x] (Παράδειγµα 6) παίρνουµε από αναδιάταξη) κάθε p (x) είναι συντροφικό του q (x) στο k[x] Άρα για κάποιο u F p ( x) u q ( x) = a Γράφοντας u = µε a, b R έχουµε b b p ( x) = aq ( x) = και (µετά Από το Λήµµα 3 παίρνουµε p ( x) = vq ( x) για κάποιο αντιστρέψιµο v R 35 Πόρισµα Οι δακτύλιοι Ÿ x,, x ] και k x,, x ] (k σώµα) είναι περιοχές µοναδικής παραγοντοποίησης [ [

36 Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές 33 Απόδειξη Επαγωγή στο χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 3 και το γεγονός ότι ο Ÿ και ο k είναι περιοχές µοναδικής παραγοντοποίησης 4 Εφαρµογή: Τα Πρώτα Ιδεώδη του Ÿ [x] Θα προσδιορίσουµε εδώ τα πρώτα ιδεώδη του Ÿ [x] Αν R είναι ένας δακτύλιος και επάγει έναν επιµορφισµό a R τότε ο επιµορφισµός R r r = r + ( a) R /( a) R[ x] f ( x) = r0 + + r x f ( x) = r0 + + r x R /( a)[ x], που έχει πυρήνα το ιδεώδες (a) του R [x] Η εικόνα του f (x) ονοµάζεται αναγωγή του f (x) odulo a (Την κατασκευή αυτή χρησιµοποιήσαµε στην απόδειξη του Λήµµατος του Gauss) 4 Πρόταση Κάθε πρώτο ιδεώδες Ρ του Ÿ [x] έχει µία από τις παρακάτω µορφές: () P = (0) () () P = ( f ) P = ( p, f ), όπου για κάποιο ανάγωγο f Ÿ [x] p Ÿ είναι πρώτος αριθµός και f Ÿ [x] είναι τέτοιο ώστε η αναγωγή του f odulo p είναι ανάγωγο στο Ÿ p [x] Τα ιδεώδη της περίπτωσης () είναι τα µέγιστα ιδεώδη του Ÿ [x] Απόδειξη Ας αποδείξουµε πρώτα ότι τα παραπάνω ιδεώδη είναι πρώτα Το () είναι άµεσο αφού ο Ÿ [x] είναι περιοχή Και το () είναι άµεσο αφού ο Ÿ [x] είναι δακτύλιος µονοσήµαντος παραγοντοποίησης (Θεώρηµα 3) Για το () παρατηρούµε ότι Ÿ [ x]/( p, f ) Ÿ [ x]/( f ), πράγµα που προκύπτει από το Θεώρηµα 03 γιατί ο πυρήνας της σύνθεσης των επιµορφισµών Ÿ [x] Ÿ [x] Ÿ [ x]/( f ) είναι το ιδεώδες ( p, f ) Τώρα ο p p p

37 34 Κεφάλαιο Ÿ p είναι σώµα (Πόρισµα 053) και συνεπώς ο Ÿ p [x] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών (Παράδειγµα 6) Από το Λήµµα 4, ο (Πρόταση 064) το ( p, f ) είναι µέγιστο ιδεώδες Έστω τώρα Ρ ένα πρώτο ιδεώδες του κύριο Θα δείξουµε ότι είναι της µορφής () µκδ Έστω Ÿ [ x]/( f ) είναι σώµα Άρα p Ÿ [x] Υποθέτουµε ότι το Ρ δεν είναι g, h P Χωρίς βλάβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι ( g, h) = (Ως πρώτο, το Ρ περιέχει έναν ανάγωγο παράγοντα κάθε στοιχείο του Αν όλοι αυτοί οι ανάγωγοι παράγοντες ταυτίζονταν, τότε το Ρ θα ήταν κύριο Άρα υπάρχουν δύο διακεκριµένοι ανάγωγοι παράγοντες και προφανώς ο µκδ αυτών είναι ) Και τώρα το λεπτό σηµείο της απόδειξης: Ισχυρισµός: Για το ιδεώδες ( g, h) του Ÿ [x] ισχύει ( g, h) Ÿ (0) Ας δεχτούµε προς στιγµή τον ισχυρισµό για να δούµε πως ολοκληρώνεται η απόδειξη της πρότασης Έχουµε από τον ισχυρισµό είναι πρώτο ιδεώδες υπάρχει πρώτος αριθµός αναγωγή odulo p φ : Ÿ [x] Ÿ [x] p P Ÿ (0) και αφού το Ρ p P Θεωρούµε τον επιµορφισµό Η εικόνα του Ρ είναι ιδεώδες του Ÿ p [x] γιατί ο φ είναι επί Ισχύει ker φ = ( p) P Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής εύκολα ελέγχουµε ότι το ιδεώδες φ (P) είναι πρώτο Όµως ο [x] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών και Ÿ p συνεπώς φ ( P) = ( φ( f )) για κάποιο f Ÿ [x] Εφόσον το ιδεώδες ( φ( f )) είναι πρώτο, το φ ( f ) είναι ανάγωγο στο Ÿ [x] Θα δείξουµε τώρα ότι P = ( p, f ) p Έχουµε φ ( f ) φ( P) φ( f ) = φ( a) για κάποιο a P f a ker φ P f P και άρα ( p, f ) P Για την άλλη σχέση, έστω b P Τότε φ ( b) ( φ( f )) φ( b) = φ( c) φ( f ) για κάποιο c Ÿ [ x] b cf ker φ = ( p) b ( p, f ) Άρα P ( p, f ) ίνουµε τώρα την Απόδειξη του Ισχυρισµού Πρώτα θα δείξουµε ότι