Кинематика флуида и напонско стање
|
|
- Νικηφόρος Ράγκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Кинематика флуида и напонско стање У механици флуида решавају се динамичке једначине кретања за разна струјања која су присутна у техничким, физичким, биолошким и другим областима. При томе упознају се све спољашње и унутрашње карактеристике, односно инерцијске, вискозне, притисне, турбулентне, спољашње, еластичне и остале силе (величина, карактер, повезаност, дејства, утицај и последице). Кинематика флуида, која се бави проучавањем геометријских и кинематских карактеристика струјања, само привидно је без нарочитог значаја у решавању струјних проблема. Њен значај лежи у чињеници да је до данас решен ограничен број стварних струјних проблема (реалан флуид), па је свака информација о струјању, без обзира са које стране долази (нпр. аналогија са оптиком, електротехником, магнетизмом, еластомехаником), драгоцена. Струјна слика са распоредом брзина формира се непосредно под дејством наведених динамичких величина. Флуид је непрекидна средина, врло покретна и деформабилна. Непрекидност се задржава и при изузетно високим деформацијама које су често присутне у струјном пољу. Уместо деформација разматрају се умереније изражене величине брзине деформација које су повезане са напонским стањем. За покретни флуид потребно је да се одреде следеће величине: v = ( v, v, v ), p, ρ, T x y z Свеукупност ових величина у посматраном простору и времену описује струјно поље. Струјно поље је стационарно, ако су све горе наведене величине само функције положаја. Када су ове величине променљиве функције и времена, поље је нестационарно. Постоје два начина за проучавање кретања флуида: o Лагранжов, када се за сваки флуидни делић одређује путања, брзина и убрзање; o Ојлеров, који се састоји у праћењу брзина, убрзања и других својстава флуидних делића у једној непокретној тачки поља. Иако се Лагранжовим начином у сваком тренутку задржава чврста физичка повезаност свих карактеристика посматраног флуидног делића, најчешће се због непрекидности флуидне средине и равноправног значаја било ког флуидног делића, користи Ојлеров начин. Практичну примену Ојлеровог начина омогућила је теорија поља математичка дисциплина која се бави проучавањем општих својстава скаларних, векторских и тензорских поља. Природне особине струјног поља, које је предмет интересовања, садрже се у скаларном пољу притиска, температуре, густине; векторском пољу брзине и убрзања, и тензорском пољу брзина деформације и напона. Струјно поље покривено наведеним пољима представља математички модел реалног флуида у кретању. Експериментална мерења, која је лакше извршити непокретним инструментима постављеним у једну тачку струјног поља, дају предност Ојлеровом начину описивања. Лагранжов метод Посматра се одређен флуидни делић на слици 1. Положај делића је функција његовог почетног положаја r0 = ( x0, y0, z0) и времена t. Путања делића зато се пише у облику: r = r( r0, t). Брзина и убрзање флуидног делића дати су тоталним изводима: 49
2 r r( t+ t) r( t) dr v = lim = lim = t 0 t t 0 t dt 2 v d r a = lim = t 0 2 t dt Oво описивање одговарајуће je за величине које су везане за одређене флуидне делиће, нпр. распростирање полутаната. Сви закони одржања (масе, количине кретања и енергије) такође се физички јасније представљају Лагранжовим методом. Међутим, Лагранжова метода захтева велики број једначина за једно струјно поље, због великог броја флуидних делића, те је стога неприхватљива за већину проблема. Такође, било каква мерења тешко су изводљива, јер би мерни апарати морали да прате флуидне делиће. Ојлеров метод Слика 1. Путања флуидног делића и слика материјалног извода Овим методом разматра се промена струјних величина у једном сталном месту простора, док делићи пролазе кроз ово место. Струјне величине могу да се мере непокретним мерним уређајима. Међусобна веза између Лагранжовог и Ојлеровог метода дата је у следећој једначини за својство флуидног делића ϕ: dϕ ϕ ϕ dx ϕ dy ϕ dz = = dt t x dt y dt y dt ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + vx + vy + vz = + vgradϕ t x y y t Материјална (супстанцијална) промена величине ϕ (тотални извод) (која може да се одреди Лагранжовом методом) једнака је збиру њене локалне и конвективне промене (Ојлеров метод). Локална промена представља промену својства ϕ у једној тачки флуидног простора током времена, а конвективна промена је промена својства флуида због тога што делић флуида прелази из једне у другу тачку струјног простора, тј. конвективна промена описује како поље брзина утиче на величину ϕ ( v gradϕ ). На пример, својство ϕ може да буде температура Т. Тада тотални извод температуре може да се прикаже у виду локалне временске промене температуре и конвективне промене која се односи на утицај поља брзина на ту промену. d T T = + v grad T dt t Кинематика флуида обрадиће се кроз упознавање са битним струјним својствима у скаларном, векторском и тензорском пољу. Скаларно поље Скаларно поље је простор у коме је дефинисана скаларна функција положаја U=U(x,y,z). Скаларна функција положаја може да описује простор, површину или линију, па су скаларна поља тада 50
3 просторна, површинска или линијска. Линије или површине на којима скаларна функција задржава исту вредност су еквискаларне. Градијент скаларне функције Слика 2. Градијент скаларне функције правац најоштрије промене Ради описивања правца промене скаларне величине, својства општег за све врсте скаларних поља, уводи се диференцијално-векторски оператор набла = i + j + k x y z који се примењује на скаларну функцију U=U(x,y,z) и одређује градијент скаларне функције U (gradu): U U U gradu = i + j + k. x y z gradu (вектор) има правац и смер нормале у произвољној тачки површине U=U(x,y,z), а пошто је нормала најкраће растојање између две вредности скалара U 1 и U 2, то gradu представља правац најјаче промене скалара U. Смер gradu је смер пораста промене скалара (слика 2). Са познатим gradu може да се одреди промена скаларне функције U у било ком првцу r. Тотални диференцијал U U U du = dx + dy + dz = ( grad U, r0 ) dr x y z где је доводи до du d dr = dr r 0 ( grad Ur, ) 0 r =. Градијент притиска (gradp) је израз који се врло често употребљава. Њим су представљене силе притиска по јединици масе флуида, а оне су значајне и у статици и у динамици флуида. Векторско поље брзине Скаларна поља притиска, густине и векторска поља брзине и убрзања, дефинишу струјно поље стационарног, идеалног (савршеног) и вискозно-ламинарног флуида. Поље брзине је од највећег утицаја на формирање струјног поља, па су све карактеристике везане за векторска поља дефинисане у пољу брзине. Струјница За векторско поље брзине везује се појам струјнице (струјне линије) и појам путање (трајекторије) флуидног делића. Струјница дочарава слику о струјању у било ком тренутку јер показује тенденцију 51
4 оријентације флуидних делића. Струјнице су линије којима је брзина флуидних делића тангента у сваком временском тренутку. Оне дају тренутну слику поља брзине. У следећем временском тренутку положај струјница може да буде сасвим другачији. Путања представља "траг" који за собом оставља један флуидни делић. При стационарном кретању струјнице су уједно и путање. Једначина струјнице одређена је векторском једначином: [ v,d s ] = 0 Развијањем векторског производа добија се: dx dy dz = = v v v x y z Увођење струјнице одговара Ојлеровом начину посматрања. Струјна цев Слика 3. Струјна цев Без неких значајнијих промена карактеристика струјнице, могуће је проширити струјницу на струјну цев (слика 3), тј. на скуп свих струјница које пролазе кроз све тачке затворене криве линије. У проточном пресеку струјне цеви брзине не морају бити једнаке, док се притисци сматрају непроменљивим, кад год су изводнице струјне цеви приближно паралелне. Дивергенција вектора брзине Примена оператора преко скаларног производа на векторску функцију доводи до скаларне величине дивергенције те векторске функције: x y z v = divv = i + j + k ( vxi + vyj + vzk) = + + x y z x y z Проток Слика 4. divv као мера запреминског протока кроз површину А 52
5 Дивергенција брзине може да се доведе у везу са запреминским протоком кроз произвољну флуидну запремину V омеђену површином А (слика 4). За стационарно струјање, ако тачкама елементарног проточног пресека припадају брзине v, мора бити: тј. dm = ρd Q= ρ( v,d A) m= ρ ( v,d A) где су: m - масени проток флуида кроз површину А [kg/s] Q - запремински проток флуида кроз површину А [m 3 /s]. За течности густина се не мења, па је m Q ( v,d A ) v d A v d A v d A ρ = = = + ± A A A A A где су: A - површина омотач запремине флуида V: A= A0 + A1+ A2 v - тј. v 0, v 1, v - брзине нормалне на одговарајуће делове површине А. 2 Површински интеграл може да се замени запреминским, те следи Q= divvdv V Ако већа количина флуида истиче из запремине V него што утиче, Q је веће од нуле, односно divv > 0, тј. из посматране запремине извире течност која се додаје струји. divv представља, дакле, разлику количине флуида која истече из јединице запремине простора у јединици времена, и количине флуида која у њу утече за исто време. Ово се може описати изразом d(d V ) divvv d =. dt Следећи симболи, према томе, представљају: o divv = 0 o divv > 0 o divv < 0 Једначина континуитета проток је константан, у посматраној запремини се налази извор (извор у пољу) у посматраној запремини се налази понор (понор у пољу). Промена количине флуида у некој запремини током времена описује се са divv. Ова промена је позната под називом једначина континуитета. Разни облици ове једначине добијају се полазећи од израза за елементарну масу флуида у уоченој непокретној запремини струјног простора dm= ρdv Промена елементарне (или коначне) масе током времена, може да буде већа, мања или једнака нули, што зависи од тога да ли у уоченој запремини постоје или не постоје извор или понор dm dt 0 Ако се пође од претпоставке да је овај простор без извора и понора, важи 53
6 d(d m) dρ d(d V) = dv + ρ = 0 dt dt dt заменом d(d V ) = div vdv dt добија се dρ + ρ divv dv = 0 dt или како је уочена елементарна непокретна запремина произвољна (dv 0) dρ + ρ divv = 0. dt У развијеном облику ова једнaчина постаје: ρ ρ v v x y vz v ρ x v ρ + + y + vz + ρ + + = 0 t x y z x y z или ρ + ( vgrad ρ) + ρdivv = 0 t или ρ + div( ρv) = 0. t Када је струјање стационарно, а флуид нестишљив, једначина континуитета представља се са divv = 0 односно dq = 0. Ако се у флуидној запремини налази извор или понор издашности ±ε, једначина континуитета је ρ + div( ρv) = ρε t где је ± ε ε = - специфична издашност извора или понора [m 3 /s/m 3 ]. dv Једначина континуитета представља закон одржања масе флуида и уз карактеристичну и динамичку једначину (законе кретања) служи за одређивање непознатих струјних параметара: ρ, p и v. Ротор брзине Ако се оператор набла примени на векторску функцију брзине преко векторског производа, добија се сложена векторско-диференцијална величина која се назива ротор брзине rot v. Математички израз у Декартовим координатама је 54
7 i j k v v z y v v x vz y vx rot v [, v] = = = i + j + k. x y z y z z x x y vx vy vz У физичком смислу ротор брзине представља меру обртања флуидног делића око сопствене тежишне осе. Ако је распоред брзине у раванском пољу (x,y) такав да обезбеђује, на слици 5 приказану, промену брзине, појавиће се обртање флуидног делића око z-осе. Интензитет овог обртања је 1 y x 2 x y јер је v ω = r па је y dx x dy ωz = x dx y dy пошто се обртање дешава равноправно под дејством обе промене брзине v y x и y x. Слика 5. Графички приказ rot v Вртлог Обртање се представља вектором угаоне брзине ω = ω i + ω j + ω k x y z где су пројекције 1 z y 1 x z 1 y x ωx = ; ωy = ; ωz = 2 y z 2 z x 2 x y rot v = 2 ω назива се вртлогом. Вртлог је позитиван уколико је обртање флуидних делића у смеру супротном од кретања казаљке на часовнику (слика 5). Ротор брзине показује колико је и какво обртање флуидног делића у ма којој тачки струјног поља око сопствене тежишне осе. 55
8 Када се сва течност обрће константном угаоном брзином ω=const. око неке осе (тачке), као да се ради о чврстом телу, а не флуиду; сви њени делићи обрћу се истом угаоном брзином око те исте осе (тачке). Ово је тзв. заробљен вештачки вртлог. Циркулација Слика 6. Циркулација Г Линијски интеграл по затвореној кривој С скаларног производа вектора брзине v и вектора елемента криве линије ds означава се са Г (гама) и назива се циркулација. Γ= ( v,d s) = vcosαd s= (rot v, da) = (2 ω, da). C C A A Коначна вредност циркулације означава присуство "протока вртлога 2( ω,d A) " кроз целу површину А. При томе, исто као и за вртлог, уколико се при обилажењу контуре С у правцу супротном од кретања казаљке на сату добија вредност већа од нуле, циркулација је позитивна и обрнуто. A Слика 7. Независност Г од облика и величине затворене контуре Ако се само у једној тачки В струјног поља (слика 7) флуидни делићи који стижу у њу обрћу, проток вртлога кроз елементарну површиницу da око те тачке има коначну вредност. Та вредност остаје непромењена уколико се елементарна површиница da прошири на површину А, јер се флуидни делићи ван тачке В не обрћу. Из овога следи да је вредност циркулације непромењена, без обзира на облик и величину затворене контуре око тачке В. Класификација струјних поља У кинематском смислу, струјна поља разврставају се према вредностима дивергенције и ротора брзине. Дивергенција брзине описује промену запремине уоченог дела флуидног простора, или проток флуида кроз уочени простор. Ротор брзине указује на постојање неког распореда брзине, односно вртложења флуидних делића. Неједнолике брзине, тј. вртложење, последица су вискозности 56
9 флуида, а промена запремине - деформације флуида, те ова кинематска класификација садржи важна струјна својства реалног флуида. Лапласово поље. Код Лапласовог поља divv = 0 и rot v = 0. Задовољена је једначина v = graddivv rot rot v = 0. У оваквом пољу нема вртлога, а проток је устаљен. Потенцијално поље. Код потенцијалног поља divv 0 и rot v = 0. Када је rot v = 0, мора бити v = gradφ, пошто је rot grad φ = [, ] φ = 0. Функција φ назива се потенцијал брзине. За познати потенцијал φ=φ(x,y,z) за стационарно струјање, познате су пројекције брзина: φ φ φ vx = ; vy = ; vz = ; тј. v = gradφ x y z Корист познавања потенцијала брзине φ огледа се у томе што се три пројекције брзине v x,v y и v z, које су непознате при проучавању струјања, замењују једном скаларном функцијом φ, тј. једном непознатом. Потенцијална поља су невртложна, али у пољу могу постојати извори или понори. Слика 8. Вртложно поље Вртложно (соленоидно) поље (слика 8). Код вртложног поља divv = 0 и rot v 0. Овакво поље је без извора и понора. Линије, чије тангенте одређују правац и интензитет вртложног вектора угаоне брзине ω, називају се вртложницама. Једначина вртложница гласи: dx dy dz = = ω ω ω x y z За вртложна влакна и цеви важи закон о неуништивости вртлога и представља се једначином (за ω = const. по пресеку А) ω A где су површине А 1 и А 2 нормалне на ω 1 и ω 2. = ω A Слика 9. Неуништивост идеалног вртлога 57
10 Вртложне линије не почињу и не завршавају се у вртложном пољу. Неуништивост вртлога важи за идеализовани случај вртложења без трења (идеалан флуид слика 9). У реалном флуиду вртлози, који се најчешће принудно формирају, нестају током времена. Њихова енергија претвара се у топлотну и предаје околном флуиду. Неуништивост вртлога објашњава дуго време постојања циклон, торнада, урагана, одн. вртложних формација у атмосфери. Сложено поље. Код сложеног поља важи divv 0 извора и понора. Компликовано је за проучавање. Векторско поље убрзања и rot v 0. У оваквом пољу има и вртлога и Поље убрзања значајно је јер репрезентује инерцијске силе. У свакој тачки овог поља одређен је вектор убрзања флуидних делића који се у датим тренуцима налазе у њој. Инерцијске силе, као и остале величине у механици флуида, изражавају се по јединици масе флуида, те су представљене убрзањем и имају такву димензију. dv v v x y z a = = + vx + vy + vz = + ( v, ) v dt t x y z t где су: dv - супстанцијални или тотални извод брзине по времену; dt - локални извод по времену, одн. како се мења брзина v у уоченој тачки струјног поља са t временом: ( v, ) v - назива се конвективни извод брзине v и представља промену брзине v у једној тачки поља при њеном померању у неком правцу. Тензорско поље У савременој физици проучавају се појмови који не могу да се опишу уобичајеним изразима Више математике. У ову групу спадају и тензори. Тензори су скупови више величина којима се дефинише неко физичко својство тела у простору. Простор где су тензори дефинисани назива се тензорским пољем. У таквим пољима као и у скаларним и векторским, тензори су функција положаја. У наставку помињу се тензори брзине деформисања флуидних делића и напони који су с тим повезани. Тензор брзина деформисања делића Потпуна слика о кретању делића течности добија се једино када се, поред кретања, познаје и начин на који се делићи деформишу. С обзиром на то што гасови и течности представљају веома покретљиве средине, делићи флуида се јако деформишу, тако да је важнија брзина деформисања од самих деформација. Овом одликом флуиди се битно разликују од чврстих тела где су деформације веома мале и споре. Слика 10. Раванска деформација флуидног делића 58
11 У равни (слика 10) флуидни делић представља се паралелограмом, дијагонале d која гради углове α и β са оближњим странама. При деформисању делића једна дијагонала се издужује, друга се скраћује, а мењају се и углови. Временско релативно издужење првобитних дијагонала назива се брзином линеарне деформације, а временска промена углова - брзином угаоне деформације. Ове две врсте деформисања су основне карактеристике деформацијског стања и сачињавају тензор брзине деформисања ε: x 1 y x 1 z x + + x 2 x y 2 x z 1 v v x y vy 1 v v z y ε y x y 2 y z 1 vx vz 1 y vz z z x 2 z y z где су: x y z,, - брзине линеарних деформација у x, y, z правцима, x y z а остали чланови одговарајуће брзине деформација у равнима нормалним на x, y, z правце. Слика 11. divv - брзина релативне запреминске промене делића У свакој тачки струјно-деформацијског поља, тензор ε може да има другачију вредност, али за једну, произвољну тачку је инваријанта која не зависи од употребљаваног координатног система, што представља његов основни физички значај. Збир три дијагонална члана даје: x y z divv = + + x y z што представља брзину релативне запреминске промене делића (слика 11), јер се под дејством нормалних напона првобитна запремина шири или скупља. Из раније поменуте једначине Q= divvdv divv представља и елементарни проток флуида. V 59
12 Тензор напона напонско стање Ако се из бестежинског вискозно-струјног флуидног простора издвоји флуидни елемент, његово равнотежно стање дато је одређеном конфигурацијом тангенцијалних и нормалних напона, који представљају дејство околне вискозне средине на издвојени флуидни делић. Нормални напони усмерени су у правцу спољашњих нормала граничних површина издвојеног делића и представљају дејство привлачних вискозних нормалних сила околине. Тангентни напони распоређени су у равнима омотачима издвојеног делића, а представљају дејствовање смичућих сила околине због издвајања њеног дела. Први индекс означава осу која је нормална на површиницу, а други правац осе по којој се напон испољава. Напони σ xx, σ yy и σ zz су нормални напони услед чисте вискозности, а τ yx =τ xy, τ zx =τ xz и τ zy =τ yz су тангентни напони. Нормални и тангентни напони имају позитиван знак кад смер нормале на површину и смер деловања напона имају исти знак у односу на оријентацију координата. У противном, напони су негативни (слика 12). Слика 12. Распоред напона на издвојеном флуидном делићу Тензор напона вискозних сила представљен је са: σxx τ yx τzx S τxy σ yy τzy. τxz τ yz σ zz Веза напона са брзинама деформисања Њутн је успоставио везу између напонског и деформацијског стања у виду следећих једначина x 1 x y σxx = 2η + λdiv v; τxy = τ yx = 2η + x 2 y x y 1 x z σ yy = 2η + λdiv v; τxz = τ yx = 2η + y 2 z x z 1 y z σzz = 2η + λdiv v; τ yz = τzy = 2η + z 2 z y 60
13 Постављене релације важе само за ламинарно струјање Њутновских флуида. Нормални вискозни напони доведени су у везу са брзинама релативног издужења (брзине линеарне деформације) и запреминске промене делића (div v је мера за промену запремине флуидних делића). Тангентни напони изазивају промену облика делића па су повезани са одговарајућим брзинама угаоних деформација. Фактор пропорционалности 2η (η је динамичка вискозност) утврђен је мерењима, а λ се одређује из претпоставке да је збир три нормална вискозна напона у једној тачки струјног простора једнак нули (такође потврђено мерењима): σ xx + σ yy + σzz = 0 Одатле следи да је: 2 λ = η 3 Изрази за везу напона са брзинама деформисања сада добијају облик x 2 x y σxx = 2η - ηdiv v; τxy = τ yx = η + x 3 y x vy 2 vx vz σ yy 2η - ηdiv v; τxz τ yx η = = = + y 3 z x v 2 v z y vz σzz 2η = - ηdiv v; τ yz = τzy = η + z 3 z y За једнолико струјање константним протоком divv = 0, v=f(y) нормални вискозни напони не постоје, а тангентни напон, супротан од смера струјања, је: dv τ = η dy што представља уобичајен поједностављен облик Њутнових законитости, а важи за ламинарно струјање преко равне плоче. Веза између напона и брзина деформисања користи се за извођење Навије-Стоксове једначине. Притисак Притисак у једној тачки струјног простора има константну вредност, без обзира на оријентацију површине на коју дејствује. Он је последица дејства спољашњих поремећаја (клип који притискује флуид) или запреминских спољашњих сила (привлачна сила Земљине теже тежина флуида). Притисак дејствује у истом правцу као и нормални вискозни напон, али је супротно оријентисан усмерен ка омотачу издвојене флуидне запремине. Разлика интензитета притиска и нормалног вискозног напона одређује општи нормални напон, који је усмерен ка површини на којој се мери (не важи правило са индексима). Три нормална (општа) напона дата су са: p = p σ ; p = p σ ; p = p σ xx xx yy yy zz zz Сабирање ова три нормална напона, водећи рачуна да је σ xx + σ yy + σzz = 0 добија се 1 p = ( pxx + pyy + pzz ) 3 Ова једначина служи за одређивање вредности притиска у једној тачки струјног простора. Притисак је непроменљив у једној тачки и одређује се преко нормалних напона p xx, p yy, p zz који се мере појединачно. 61
14 За флуид, у стању мировања, важи σ = σ = σ = 0, односно xx yy zz p = pxx = pyy = pzz. У динамици флуида статички притисак одговара горњој релацији. 62
предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА
Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем
Διαβάστε περισσότεραПоложај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.
VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне
Διαβάστε περισσότεραналазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm
1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:
Διαβάστε περισσότεραb) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:
Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног
Διαβάστε περισσότερα1.2. Сличност троуглова
математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)
Διαβάστε περισσότεραВектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.
Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,
Διαβάστε περισσότεραРотационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске
Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну
Διαβάστε περισσότεραТеорија електричних кола
др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,
Διαβάστε περισσότερα& 2. Брзина. (слика 3). Током кратког временског интервала Δt тачка пређе пут Δs и изврши елементарни (бесконачно мали) померај Δ r
&. Брзина Да би се окарактерисало кретање материјалне тачке уводи се векторска величина брзина, коју одређује како интензитет кретања тако и његов правац и смер у датом моменту времена. Претпоставимо да
Διαβάστε περισσότερα5.2. Имплицитни облик линеарне функције
математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.
Διαβάστε περισσότερα2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА
. колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност
Διαβάστε περισσότεραСИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ
СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни
Διαβάστε περισσότεραВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ
ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни
Διαβάστε περισσότεραДинамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:
Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом
Διαβάστε περισσότεραTAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА
TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични
Διαβάστε περισσότεραОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда
ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.
Διαβάστε περισσότεραПотенцијално струјање
Потенцијално струјање Значај модела потенцијалног струјања са граничним слојем Коришћењем модела потенцијалног струјања са граничним слојем добија се могућност аналитичког решавања унутрашњих и спољашних
Διαβάστε περισσότερα2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом
. Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0
Διαβάστε περισσότεραСтатика флуида. Хидростатички притисак
Статика флуида Проучавање флуида у стању мировања најстарија је дисциплина механике флуида, што обавезује на познавање свих проблема ове области. Појмови уведени у статици флуида: спољашње силе, притисак
Διαβάστε περισσότερα10.3. Запремина праве купе
0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка
Διαβάστε περισσότερα6.2. Симетрала дужи. Примена
6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права
Διαβάστε περισσότεραТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце
РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез
Διαβάστε περισσότεραМировање (статика) флуида
Мировање (статика) флуида Александар Ћоћић МФ Београд Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 1 / 25 Увод Основни услов мировања материjалног система Подсетник - механика 1 (статика) Ако се материjални систем
Διαβάστε περισσότεραРазлика потенцијала није исто што и потенцијална енергија. V = V B V A = PE / q
Разлика потенцијала Разлика потенцијала између тачака A и B се дефинише као промена потенцијалне енергије (крајња минус почетна вредност) када се наелектрисање q помера из тачке A утачку B подељена са
Διαβάστε περισσότεραСлика 1. Слика 1.2 Слика 1.1
За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика
Διαβάστε περισσότεραПредмет: Задатак 4: Слика 1.0
Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +
Διαβάστε περισσότεραЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),
Διαβάστε περισσότεραг) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве
в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу
Διαβάστε περισσότεραФлукс, електрична енергија, електрични потенцијал
Флукс, електрична енергија, електрични потенцијал 1 Електрични флукс Ако линије поља пролазе кроз површину A која је нормална на њих Производ EA је флукс, Φ Генерално: Φ E = E A cos θ 2 Електрични флукс,
Διαβάστε περισσότεραПрви корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.
СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању
Διαβάστε περισσότεραАнализа Петријевих мрежа
Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,
Διαβάστε περισσότερα(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.
Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону
Διαβάστε περισσότερα3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни
ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује
Διαβάστε περισσότεραПисмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.
Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2. За плочу
Διαβάστε περισσότεραУ к у п н о :
ГОДИШЊИ (ГЛОБАЛНИ) ПЛАН РАДА НАСТАВНИКА Наставни предмет: ФИЗИКА Разред: Седми Ред.број Н А С Т А В Н А Т Е М А / О Б Л А С Т Број часова по теми Број часова за остале обраду типове часова 1. КРЕТАЊЕ И
Διαβάστε περισσότεραTестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10
Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење
Διαβάστε περισσότερα7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ
7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,
Διαβάστε περισσότεραХомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)
ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки
Διαβάστε περισσότεραКРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.
КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг
Διαβάστε περισσότεραL кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје)
L кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје) i L u=? За коло са слике кроз калем ппзнате позната простопериодична струја: индуктивности L претпоставићемо да протиче i=i m sin(ωt + ψ). Услед променљиве
Διαβάστε περισσότεραЈедначина о промени количине кретања
Једначина о промени количине кретања Друго снажно оруђе за решавање инжењерских проблема добија се применом једначине о промени количине кретања. Ова једначина најчешће се употребљава за одређивање силе
Διαβάστε περισσότεραЗакони термодинамике
Закони термодинамике Први закон термодинамике Први закон термодинамике каже да додавање енергије систему може бити утрошено на: Вршење рада Повећање унутрашње енергије Први закон термодинамике је заправо
Διαβάστε περισσότερα7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде
математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,
Διαβάστε περισσότεραВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ
ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: МЕХАНИКА 1 студијски програми: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 3. 1 Садржај предавања: Статичка одређеност задатака
Διαβάστε περισσότεραВаљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:
Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине
Διαβάστε περισσότεραУниверзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала
Теоријски део: Вежба број ТЕРМИЈСКА AНАЛИЗА. Термијска анализа је поступак који је 903.год. увео G. Tamman за добијање криве хлађења(загревања). Овај поступак заснива се на принципу промене топлотног садржаја
Διαβάστε περισσότερα2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ
2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање
Διαβάστε περισσότερα4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима
50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?
Διαβάστε περισσότεραКоличина топлоте и топлотна равнотежа
Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина
Διαβάστε περισσότεραСеминарски рад из линеарне алгебре
Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити
Διαβάστε περισσότεραПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА
ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a
Διαβάστε περισσότεραОсцилације система са једним степеном слободе кретања
03-ec-18 Осцилације система са једним степеном слободе кретања Опруга Принудна сила F(t) Вискозни пригушивач ( дампер ) 1 Принудна (пертурбациона) сила опруга Реституциона сила (сила еластичног отпора)
Διαβάστε περισσότεραПисмени испит из Метода коначних елемената
Београд,.0.07.. За приказани билинеарни коначни елемент (Q8) одредити вектор чворног оптерећења услед задатог линијског оптерећења p. Користити природни координатни систем (ξ,η).. На слици је приказан
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
Διαβάστε περισσότεραПримена првог извода функције
Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ
Διαβάστε περισσότεραРЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА
РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА 006. Задатак. Одредити вредност израза: а) : за, и 69 0, ; б) 9 а) Како је за 0 и 0 дати израз идентички једнак изразу,, : : то је за дате вредности,
Διαβάστε περισσότεραМАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два
Διαβάστε περισσότεραЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 2 (13Е013ЕП2) октобар 2016.
ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ (3Е03ЕП) октобар 06.. Батерија напона B = 00 пуни се преко трофазног полууправљивог мосног исправљача, који је повезан на мрежу 3x380, 50 Hz преко трансформатора у спрези y, са преносним
Διαβάστε περισσότεραI Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате
Διαβάστε περισσότερα6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре
0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских
Διαβάστε περισσότεραФИЗИКА Час број 11 Понедељак, 8. децембар, Aвогадров закон. Увод. Авогадров закон. Гасовито агрегатно стање
ФИЗИКА Час број Понедељак, 8. децембар, 008 Једначина стања идеалног и реалног гаса Притисак и температура гаса Молекуларно кинетичка теорија идеалног гаса Болцманова и Максвелова расподела Средњи слободни
Διαβάστε περισσότερα6.5 Површина круга и његових делова
7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност
Διαβάστε περισσότεραРЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,
РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45
Διαβάστε περισσότεραОзнаке: f и. Парцијални изводи, парцијалних извода су парцијални изводи другог реда функције z = f (x, y): 2. извод другог реда по x 2 2
Довољан услов за M M Дефинисати парцијалне изводе I реда и II реда функције I реда: Ако постоје коначне граничне вредности количника парцијалних прираштаја функције у тачки са одговарајућим прираштајима
Διαβάστε περισσότερα6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23
6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо
Διαβάστε περισσότεραПисмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.
Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. = 0.2 dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2.
Διαβάστε περισσότερα8.2 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 2 Задатак вежбе: Израчунавање фактора појачања мотора напонским управљањем у отвореној повратној спрези
Регулциј електромоторних погон 8 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА Здтк вежбе: Изрчунвње фктор појчњ мотор нпонским упрвљњем у отвореној повртној спрези Увод Преносн функциј мотор којим се нпонски упрвљ Кд се з нулте
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО
Διαβάστε περισσότεραАксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011
Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна
Διαβάστε περισσότεραОснове теорије вероватноће
. Прилог А Основе теорије вероватноће Основни појмови теорије вероватноће су експеримент и исходи резултати. Најпознатији пример којим се уводе појмови и концепти теорије вероватноће је бацање новчића
Διαβάστε περισσότεραТЕХНИЧКА МЕХАНИКА Проф. Др Драган Т. Стојиљковић Мр Дарко Михајлов, асистент
Техничка Механика ТЕХНИЧКА МЕХАНИКА Проф. Др Драган Т. Стојиљковић Мр Дарко Михајлов, асистент Техничка Механика ОСНОВНИ ПОЈМОВИ МЕХАНИКЕ ПОДЕЛА МЕХАНИКЕ Процеси у Васељени (Универзуму) представљају непрекидно
Διαβάστε περισσότεραСлика 1 Ако се са RFe отпорника, онда су ова два температурно зависна отпорника везана на ред, па је укупна отпорност,
Температурно стабилан отпорник састоји се од два једнака цилиндрична дела начињена од различитих материјала (гвожђе и графит) У ком односу стоје отпорности ова два дела отпорника ако се претпостави да
Διαβάστε περισσότερα4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова
4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид
Διαβάστε περισσότεραI Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( )
Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P
Διαβάστε περισσότεραРИЗИК ОД МЕХАНИЧКИХ ДЕЈСТАВА
Ризик од механичких дјстава Увод РИЗИК ОД МЕХАНИЧКИХ ДЕЈСТАВА Ризик је вероватноћа настанка повреде, обољења или оштећења здравља запосленог услед опасности; ризик на раду се односи на могућност и на тежину
Διαβάστε περισσότεραЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије
ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ
Διαβάστε περισσότεραТангента Нека је дата крива C са једначином y = f (x)
Dbić N Извод као појам се први пут појављује крајем XVII вијека у вези са израчунавањем неравномјерних кретања. Прецизније, помоћу извода је било могуће увести појам тренутне брзине праволинијског кретања.
Διαβάστε περισσότεραСмер: Друмски саобраћај. Висока техничка школа струковних студија у Нишу ЕЛЕКТРОТЕХНИКА СА ЕЛЕКТРОНИКОМ
Испит из предмета Електротехника са електроником 1. Шест тачкастих наелектрисања Q 1, Q, Q, Q, Q 5 и Q налазе се у теменима правилног шестоугла, као на слици. Познато је: Q1 = Q = Q = Q = Q5 = Q ; Q 1,
Διαβάστε περισσότεραШтампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика
Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике
Διαβάστε περισσότεραАНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2
АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла
Διαβάστε περισσότεραФИЗИКА Веза протока и брзине струјања. Једначина континуитета. Проток запремински, масени,... Си јединица: кубни метар у секунди
ФИЗИКА 2008. Понедељак, 17. новембар 2008. године Статика флуида Густина и притисак флуида Промена притиска са дубином флуида Паскалов принцип Калибрација, апсолутни притисак и мерење притиска Архимедов
Διαβάστε περισσότεραМеханика флуида Б - уводни поjмови
Механика флуида Б - уводни поjмови Александар Ћоћић Машински факултет Београд Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-01 1 / 11 Информациjе o предмету, професору, итд. Александар Ћоћић, доцент email: acocic@mas.bg.ac.rs
Διαβάστε περισσότεραСИМУЛАЦИЈА ПРОЦЕСА ОБРАДЕ ПЛАСТИЧНИМ ДЕФОРМИСАЊЕМ (МЕТОД КОНАЧНИХ ЕЛЕМЕНАТА)
ТЕХНОЛОГИЈА МАШИНОГРАДЊЕ ЛЕТЊИ СЕМЕСТАР 3. лабораторијска вежба СИМУЛАЦИЈА ПРОЦЕСА ОБРАДЕ ПЛАСТИЧНИМ ДЕФОРМИСАЊЕМ (МЕТОД КОНАЧНИХ ЕЛЕМЕНАТА) Дефиниција Метод коначних елемената (МКЕ) се заснива на одређеној
Διαβάστε περισσότεραC кплп (Кпндензатпр у кплу прпстпперипдичне струје)
C кплп (Кпндензатпр у кплу прпстпперипдичне струје) i u За кплп са слике на крајевима кпндензатпра ппзнате капацитивнпсти C претппставићемп да делује ппзнат прпстпперипдичан наппн: u=u m sin(ωt + ϴ). Услед
Διαβάστε περισσότεραКинематика и динамика у структуралном инжењерству, Звонко Ракарић, Механика 2, грађевинарство, Факултет техничких наука, Нови Сад,2017
КИНЕМАТИКА ТЕЛА МЕХАНИКА 2 ГРАЂЕВИНАРСТВО ФТН НОВИ САД Верзија 3 Октобар 207 ГЛАВА V КИНЕМАТИКА КРУТОГ ТЕЛА 5. УВОД У претходним Поглављима смо научили како да се у потпуности дефинише кретање једне (било
Διαβάστε περισσότεραТеорија електричних кола
Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,
Διαβάστε περισσότεραЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ I група
ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ 21.11.2009. I група Име и презиме студента: Број индекса: Термин у ком студент ради вежбе: Напомена: Бира се и одговара ИСКЉУЧИВО на шест питања заокруживањем
Διαβάστε περισσότεραСкрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г.
Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 00/ г Универзитет у Бањој Луци Електротехнички факултет Др Момир Ћелић Др Зоран Митровић Иван-Вања Бороја Садржај Квалификациони испит одржан 9 јуна
Διαβάστε περισσότεραПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ
ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ 1. Удео снаге и енергије ветра у производњи електричне енергије - стање и предвиђања у свету и Европи. 2. Навести називе најмање две међународне организације
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
Διαβάστε περισσότεραУНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ ОТПОРНОСТ МАТЕРИЈАЛА. Машински факултет Београд, 2006.
УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ Милорад Милованчевић Нина Анђелић ОТПОРНОСТ МАТЕРИЈАЛА Машински факултет Београд, 2006. С А Д Р Ж А Ј СПИСАК УПОТРЕБЉЕНИХ ОЗНАКА... VII УВОД...1 1. ОДНОС СИЛЕ И ДЕФОРМАЦИЈЕ...9
Διαβάστε περισσότερα4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА
4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи
Διαβάστε περισσότεραp /[10 Pa] 102,8 104,9 106,2 107,9 108,7 109,4 r / 1,1 1,3 1,5 2,0 2,5 3,4
. РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 9/. ГОДИНЕ II РАЗРЕД Друштво Физичара Србије Министарство Просвете Републике Србије ЗАДАЦИ ГИМНАЗИЈА ВЕЉКО ПЕТРОВИЋ СОМБОР,.... Хомогена кугла
Διαβάστε περισσότερα0 нека се налази у равнотежи (Сл. ).
УВОД Отпорност материјала је део механике деформабилног тела, који изучава стање напона и деформације чврстог тела при различитим дејствима, увођењем извесних претпоставки и поједностављених математичких
Διαβάστε περισσότεραМИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА
МИЋО М МИТРОВИЋ ФИЗИКА 7 уџбеник за седми разред основне школе САЗНАЊЕ Београд, 013 ФИЗИКА 7 уџбеник за седми разред основне школе Аутор Проф др Мићо Митровић Редовни професор Физичког факултета Универзитета
Διαβάστε περισσότεραКоординатни системи у физици и ОЕТ-у
Материјал Студентске организације Електрон ТРЕЋА ГЛАВА Координатни системи у физици и ОЕТ-у Припремио Милош Петровић 1 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН- 1.ДЕКАРТОВ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ Декартов координанти
Διαβάστε περισσότεραРЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 2004
РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 004 ТРАНСФОРМАТОРИ Tрофазни енергетски трансформатор 100 VA има напон и реактансу кратког споја u 4% и x % респективно При номиналном оптерећењу
Διαβάστε περισσότερα