Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα"

Transcript

1 Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης

2 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για χώρους με νόρμα. Μιλήσαμε για υπόχωρους, για χώρους-γινόμενο και για χώρους-πηλίκο. Είπαμε τί είναι χώρος Banach και αποδείξαμε ότι κάθε απολύτως συγκλίνουσα σειρά σε χώρο Banach συγκλίνει. Είδαμε ότι ένας υπόχωρος χώρου Banach είναι χώρος Banach αν και μόνο αν είναι κλειστός. Είδαμε ότι χώρος-πηλίκο χώρου Banach είναι χώρος Banach. Είδαμε τί είναι ισομετρική εμφύτευση ενός χώρου με νόρμα σε έναν άλλο χώρο με νόρμα και πότε δύο χώροι με νόρμα λέγονται ισομετρικοί. Αποδείξαμε ότι κάθε χώρος X με νόρμα έχει μοναδική πλήρωση: δηλαδή ότι υπάρχει χώρος Banach X έτσι ώστε ο X να εμφυτεύεται ισομετρικά ως πυκνός υπόχωρος του X και ότι δύο τέτοιοι χώροι X είναι ισομετρικοί. Είπαμε πότε δύο νόρμες σε γραμμικό χώρο λέγονται ισοδύναμες και αποδείξαμε ότι σε χώρο πεπερασμένης διάστασης κάθε δύο νόρμες είναι ισοδύναμες. Ορίσαμε τις p-νόρμες σε χώρο πεπερασμένης διάστασης. 1

3 2η εβδομάδα. Αποδείξαμε ότι σε χώρο πεπερασμένης διάστασης με νόρμα τα συμπαγή υποσύνολα είναι τα ίδια με τα κλειστά και φραγμένα και ότι κάθε τέτοιος χώρος είναι πλήρης. Είδαμε ότι κάθε υπόχωρος πεπερασμένης διάστασης χώρου με νόρμα είναι κλειστός. Μελετήσαμε χώρους ακολουθιών, όπως τους l p, τον c 0 και τον c με τις αντίστοιχες p-νόρμες. Μιλήσαμε για τους χώρους συναρτήσεων B(A), BC(A) με την ομοιόμορφη νόρμα και για τους χώρους L p (Ω, Σ, µ) με τις p-νόρμες. Επίσης, μιλήσαμε για τους χώρους μέτρων M(Ω, Σ). Τέλος, είδαμε τον χώρο συναρτήσεων C k,p (U) και τον χώρο Sobolev W k,p (U) (την πλήρωση του προηγούμενου). Ορίσαμε την έννοια της διαχωρισιμότητας και είδαμε ότι οι l p είναι διαχωρίσιμοι αν 1 p < + και ότι ο l δεν είναι διαχωρίσιμος. Αποδείξαμε το Λήμμα του F.Riesz: αν ο Y είναι κλειστός υπόχωρος του χώρου με νόρμα X, υπάρχει x στον X με x = 1 ώστε η απόσταση του x από τον Y να είναι όσο θέλουμε κοντά στο 1. Βάσει αυτού αποδείξαμε ότι σε απειροδιάστατο χώρο με νόρμα η κλειστή μοναδιαία μπάλα (όπως και κάθε κλειστή μπάλα) δεν είναι συμπαγής. Ορίσαμε την έννοια της ομοιόμορφης νόρμας και αποδείξαμε ότι, αν το K είναι πλήρες και κυρτό υποσύνολο του χώρου X με ομοιόμορφα κυρτή νόρμα και το x είναι στον X, τότε υπάρχει μοναδικό στοιχείο του K το οποίο ανάμεσα σε όλα τα στοιχεία του K έχει την ελάχιστη απόσταση από το x. Ορίσαμε την έννοια του εσωτερικού γινομένου και αποδείξαμε την ανισότητα του Schwarz. Ορίσαμε την νόρμα που επάγεται από εσωτερικό γινόμενο. Μιλήσαμε για ισομετρική εμφύτευση χώρου με εσωτερικό γινόμενο σε χώρο με εσωτερικό γινόμενο. Τέλος, αποδείξαμε ότι κάθε νόρμα που επάγεται από εσωτερικό γινόμενο είναι ομοιόμορφα κυρτή. 2

4 3η εβδομάδα. Ορίσαμε την έννοια της ορθογωνιότητας και την έννοια του ορθογώνιου συνόλου A ενός συνόλου A. Αποδείξαμε ότι το A είναι κλειστός υπόχωρος, ότι cl A (A ), ότι από A B συνεπάγεται B A και ότι (cl A ) = A. Αποδείξαμε ότι αν ο X είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο και ο Y είναι πλήρης υπόχωρος του X, τότε για κάθε x X υπάρχει μοναδικό y Y το οποίο ανάμεσα σε όλα τα στοιχεία του Y έχει την ελάχιστη απόσταση από το x. Αυτό το y ονομάζεται προβολή του x στον Y και έχει την ιδιότητα: x y Y. Με τις ίδιες υποθέσεις (πληρότητα του Y ) αποδείξαμε ότι X = Y + Y, Y Y = και Y = (Y ). Επομένως, κάθε πλήρης υπόχωρος (ειδικότερα, κάθε κλειστός υπόχωρος χώρου Hilbert) έχει ορθογώνιο συμπλήρωμα. Επίσης, αν ο cl A είναι πλήρης (αυτό ισχύει αυτομάτως αν ο X είναι Hilbert), τότε cl A = (A ) ή, ισοδύναμα, ένα στοιχείο προσεγγίζεται από γραμμικούς συνδυασμούς στοιχείων του A αν και μόνο αν είναι ορθογώνιο σε όλα τα στοιχεία τα οποία είναι ορθογώνια στο A. Ορίσαμε τις έννοιες του ορθογώνιου συνόλου, του ορθοκανονικού συνόλου, του maximal ορθοκανονικού συνόλου και της ορθοκανονικής βάσης. Αποδείξαμε ότι ένα ορθογώνιο σύνολο είναι γραμμικώς ανεξάρτητο, ότι μία ορθοκανονική βάση είναι maximal ορθοκανονικό σύνολο και ότι ισχύει και το αντίστροφο αν ο X είναι Hilbert. Αποδείξαμε το εξής βασικό θεώρημα: κάθε χώρος με εσωτερικό γινόμενο έχει τουλάχιστον ένα maximal ορθοκανονικό σύνολο (και άρα κάθε χώρος Hilbert έχει τουλάχιστον μία ορθοκανονική βάση) και ότι το maximal ορθοκανονικό σύνολο μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε να περιέχει ένα δεδομένο ορθοκανονικό σύνολο. Για την απόδειξη χρησιμοποιήσαμε το Λήμμα του Zorn από την Θεωρία Συνόλων. Αποδείξαμε την ανισότητα του Bessel: (x a) 2 x 2 a A για κάθε ορθοκανονικό σύνολο A και κάθε x X. Αποδείξαμε το θεώρημα Riesz-Fischer: αν ο X είναι Hilbert και το A είναι ορθοκανονικό, τότε για κάθε κ a F (a A) με a A κ a 2 < +, η σειρά a A κ a a συγκλίνει σε στοιχείο του X και, αν x = a A κ a a, τότε (x a) = κ a για κάθε a A και x 2 = a A κ a 2, (x y) = a A κ a (y a) για κάθε y X. Είπαμε ότι οι αριθμοί (x a) (a A) ονομάζονται συντελεστές Fourier του x ως προς το ορθοκανονικό σύνολο A και η σειρά (x a) a a A 3

5 ονομάζεται σειρά Fourier του x ως προς το ορθοκανονικό σύνολο A. Τέλος, αποδείξαμε το θεώρημα: αν ο X είναι Hilbert και το A είναι ορθοκανονική βάση του X, τότε η σειρά Fourier καθενός x ως προς το A συγκλίνει στο x: x = a A(x a) a και ισχύουν οι ταυτότητες Parseval: x 2 = a A (x a) 2, (x y) = a A(x a)(y a). Στο δίωρο ασκήσεων/συζήτησης είδαμε με λεπτομέρεια την πληρότητα των χώρων ακολουθιών: l, c, c 0. (Την πληρότητα του l p, 1 p < +, την είχαμε δει στις διαλέξεις.) Επίσης είδαμε την πληρότητα των χώρων συναρτήσεων B(A), BC(A) και τονίστηκε η ομοιότητα όλων αυτών των αποδείξεων της πληρότητας χώρων ακολουθιών και χώρων συναρτήσεων. Ακόμη, είδαμε συνοπτικά την πυκνότητα του C c (R n ) στον L p (R n ) (1 p < + ). Τέλος αναφέρθηκαν δύο προτάσεις για ολοκληρώματα με παράμετρο: ποιές είναι οι προϋποθέσεις ώστε το ολοκλήρωμα να είναι (i) συνεχής και (ii) παραγωγίσιμη συνάρτηση της παραμέτρου. 4

6 4η εβδομάδα. Αποδείξαμε ότι αν ο Y είναι πλήρης υπόχωρος του χώρου με εσωτερικό γινόμενο X και A είναι ορθοκανονική βάση του Y, τότε η προβολή κάθε x X στον Y ισούται με a A (x a) a. Αποδείξαμε ότι αν ένας χώρος με εσωτερικό γινόμενο είναι διαχωρίσιμος και έχει άπειρη διάσταση τότε κάθε ορθοκανονική βάση του είναι άπειρη αριθμήσιμη. Αποδείξαμε το θεώρημα του Schmidt: κάθε χώρος με εσωτερικό γινόμενο ο οποίος είναι διαχωρίσιμος και έχει άπειρη διάσταση έχει ορθοκανονική βάση. Η απόδειξη του θεωρήματος του Schmidt είναι κατασκευαστική. Είδαμε ότι όλοι οι χώροι Hilbert οι οποίοι είναι διαχωρίσιμοι και έχουν άπειρη διάσταση είναι ανά δύο ισομετρικοί και άρα όλοι ισομετρικοί με τον l 2. Ορίσαμε τα φραγμένα γραμμικά συναρτησοειδή σε έναν χώρο με νόρμα και είδαμε ότι ένα γραμμικό συναρτησοειδές είναι φραγμένο αν και μόνο αν είναι συνεχές αν και μόνο αν είναι συνεχές στο 0. Ορίσαμε τον δυικό χώρο X ενός χώρου με νόρμα X και είδαμε ότι ο X είναι γραμμικός χώρος. Ορίσαμε την νόρμα x ενός φραγμένου γραμμικού συναρτησοειδούς x X και είδαμε ότι x x (x) = sup = sup x (x) = sup x (x). x 0 x x 1 x =1 Αποδείξαμε ότι η νόρμα στον X έχει τις ιδιότητες νόρμας και ότι ο X είναι χώρος Banach (ακόμη κι αν ο X δεν είναι πλήρης). Αποδείξαμε ότι, αν 1 p < +, τότε ο δυικός του l p είναι ισομετρικός με τον l q, όπου 1 p + 1 q = 1. Είδαμε ότι ο l 1 εμφυτεύεται ισομετρικά στον δυικό του l. Είδαμε ότι ο δυικός του c 0 είναι ισομετρικός με τον l 1. Αναφέραμε ότι, αν 1 < p < +, τότε ο δυικός του L p (Ω, Σ, µ) είναι ισομετρικός με τον L q (Ω, Σ, µ), όπου 1 p + 1 q = 1, και ότι, αν το μέτρο µ είναι σ-πεπερασμένο, τότε το ίδιο ισχύει και για p = 1. Αναφέραμε ότι ο L 1 (Ω, Σ, µ) εμφυτεύεται ισομετρικά στον δυικό του L (Ω, Σ, µ). Τέλος, αναφέραμε ότι, αν ο Ω είναι τοπικά συμπαγής και Hausdorff τοπολογικός χώρος και B είναι η Borel σ-άλγεβρα του Ω, τότε ο δυικός του C 0 (Ω) είναι ισομετρικός με τον M r (Ω), όπου C 0 (Ω) είναι ο χώρος των συνεχών συναρτήσεων στον Ω οι οποίες μηδενίζονται στο και M r (Ω) είναι ο χώρος των κανονικών φραγμένων μέτρων Borel στον Ω. Τέλος, αποδείξαμε το θεώρημα του Riesz: για κάθε φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές x στον χώρο Hilbert X υπάρχει μοναδικό x X ώστε να ισχύει x (u) = (u x) για κάθε u X. Επομένως, κάθε χώρος Hilbert είναι (αντι)ισομετρικός με τον δυικό του. Στο δίωρο ασκήσεων/συζήτησης λύσαμε τις ασκήσεις 3, 5 και 13[α] του φυλλαδίου 2. 5

7 5η εβδομάδα. Αποδείξαμε το θεώρημα Hahn-Banach στη γενική μορφή του: αν έχουμε έναν γραμμικό χώρο X επί του F = R, έναν γραμμικό υπόχωρο Y του X, ένα θετικά ομογενές υποπροσθετικό συναρτησοειδές p στον X, ένα γραμμικό συναρτησοειδές f στον Y και αν ισχύει f p στον Y, τότε υπάρχει γραμμικό συναρτησοειδές F στον X το οποίο είναι επέκταση του f ώστε να ισχύει F p στον X. Αν έχουμε έναν γραμμικό χώρο X επί του F = C, περιγράψαμε τη σχέση ανάμεσα σε C-γραμμικά συναρτησοειδή και σε R-γραμμικά συναρτησοειδή στον X. Αποδείξαμε το θεώρημα Bohnenblust-Sobczyk: αν έχουμε έναν γραμμικό χώρο X επί του F = C, έναν γραμμικό υπόχωρο Y του X, μία ημινόρμα p στον X, ένα γραμμικό συναρτησοειδές f στον Y και αν ισχύει f p στον Y, τότε υπάρχει γραμμικό συναρτησοειδές F στον X το οποίο είναι επέκταση του f ώστε να ισχύει F p στον X. Αποδείξαμε το θεώρημα Hahn-Banach στην μορφή του για χώρους με νόρμα: αν έχουμε έναν χώρο με νόρμα X, έναν υπόχωρο Y του X και ένα y Y, τότε υπάρχει x X το οποίο είναι επέκταση του y ώστε να ισχύει y = x. Είδαμε ότι αν τα x 1,..., x n είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στον χώρο με νόρμα X και a 1,..., a n F, τότε υπάρχει x X ώστε x (x j ) = a j για j = 1,..., n. Αποδείξαμε ότι για κάθε x σε έναν χώρο με νόρμα X ισχύει x = max x 1 x (x). Ορίσαμε την έννοια του μηδενιστή S X ενός S X και την έννοια του μηδενιστή S X ενός S X. Αποδείξαμε ότι, αν ο X είναι χώρος με νόρμα, ο Y είναι υπόχωρος του X και x X, τότε max x (x) = inf x y. x Y, x 1 y Y Αποδείξαμε ότι, αν ο X είναι χώρος με νόρμα, ο Y είναι υπόχωρος του X και x X, τότε sup x (y) = min x z. y Y, y 1 z Y Αποδείξαμε ότι, αν ο X είναι χώρος με νόρμα, x X και S X, τότε x cl S αν και μόνο αν x (x) = 0 για κάθε x S. Ορίσαμε τον δεύτερο δυικό X ενός χώρου με νόρμα X και περιγράψαμε την ισομετρική εμφύτευση J : X X του X μέσα στον X. Είπαμε ότι ο X ονομάζεται αυτοπαθής αν η ισομετρική εμφύτευση J είναι επί του X. Στο δίωρο ασκήσεων/συζήτησης μιλήσαμε για τις ασκήσεις 1, 2, 3 και 4 του φυλλαδίου 3. 6

8 6η εβδομάδα. Είδαμε ότι αναγκαία συνθήκη για να είναι ένας χώρος με νόρμα αυτοπαθής είναι να είναι πλήρης. Αποδείξαμε ότι κάθε χώρος Hilbert είναι αυτοπαθής καθώς και ότι οι χώροι l p (1 < p < + ) είναι αυτοπαθείς. Αναφέραμε ότι και οι χώροι L p (1 < p < + ) είναι αυτοπαθείς καθώς και κάθε πλήρης χώρος με ομοιόμορφα κυρτή νόρμα (χωρίς απόδειξη). Αποδείξαμε ότι, αν ο X είναι διαχωρίσιμος, τότε και ο X είναι διαχωρίσιμος. Βάσει του τελευταίου ο (l ) δεν είναι ισομετρικός με τον l 1 και άρα ο l 1 δεν είναι αυτοπαθής. Αποδείξαμε το θεώρημα του Baire: αν ο A είναι πλήρης μετρικός χώρος και τα U 1, U 2,... είναι ανοικτά και πυκνά υποσύνολα του A, τότε το + n=1 U n είναι πυκνό υποσύνολο του A. Αποδείξαμε την Αρχή Ομοιόμορφου Φράγματος: αν ο X είναι πλήρης μετρικός χώρος, αν ο Y είναι μετρικός χώρος, αν y 0 Y, αν F είναι οποιαδήποτε συλλογή συνεχών συναρτήσεων f : X Y και αν sup f F d(f(x), y 0 ) < + για κάθε x X, τότε υπάρχει (μη-κενό) ανοικτό O X ώστε sup x O sup f F d(f(x), y 0 ) < +. [Επεξήγηση: η υπόθεση sup f F d(f(x), y 0 ) < + για κάθε x X σημαίνει ότι η συλλογή συναρτήσεων F είναι φραγμένη κατά σημείο στο X ενώ το συμπέρασμα sup x O sup f F d(f(x), y 0 ) < + σημαίνει ότι η συλλογή F είναι φραγμένη ομοιόμορφα στο ανοικτό υποσύνολο O.] Αποδείξαμε το εξής θεώρημα: αν ο X είναι χώρος Banach, αν F X και αν sup x F x (x) < + για κάθε x X, τότε sup x F x < +. Αποδείξαμε το δυικό θεώρημα: αν ο X είναι χώρος με νόρμα, αν F X και αν sup x F x (x) < + για κάθε x X, τότε sup x F x < +. Ορίσαμε την ασθενή σύγκλιση στον χώρο με νόρμα X και την ασθενή- σύγκλιση στον X : x n w x αν x (x n ) x (x) για κάθε x X. x n w x αν x n(x) x (x) για κάθε x X. w Είδαμε ότι, αν x n x, τότε x n x και ότι, αν x n x, τότε x w n x. Γι αυτό οι συνήθεις συγκλίσεις (δηλαδή η σύγκλιση ως προς την νόρμα) στον X και στον X ονομάζονται και ισχυρές συγκλίσεις. Αποδείξαμε την μοναδικότητα του ασθενούς ορίου και του ασθενούς- ορίου. w Είδαμε ότι e n 0 στους l p w (1 < p < + ) και e n 0 στους l p (1 < p + ). Επίσης είδαμε την σχέση ανάμεσα στην ασθενή και την ασθενή- σύγκλιση και στις πράξεις στον X και τον X. Είδαμε ότι για κάθε χώρο με εσωτερικό γινόμενο X και κάθε ορθοκανονικό σύνολο {e 1, e 2,...} w ισχύει e n 0 και ότι για κάθε χώρο Hilbert και κάθε ορθοκανονικό σύνολο {e 1, e 2,...} ισχύει w e n 0. w Αποδείξαμε το εξής θεώρημα: αν στον χώρο με νόρμα X έχουμε x n x, τότε supn x n < + και x lim inf n + x n. Αναφέραμε και το δυικό θεώρημα: αν στον χώρο Banach X έχουμε x w n x, τότε sup n x n < 7

9 + και x lim inf n + x n. (Στο δεύτερο θεώρημα η πληρότητα χρειάζεται μόνο για το πρώτο συμπέρασμα.) 8

10 7η εβδομάδα. Αν ο X είναι γραμμικός χώρος επί του R και το A X είναι κυρτό, περιέχει το 0 και απορροφά τον X (δηλαδή, για κάθε x X υπάρχει t > 0 ώστε x ta) ορίσαμε το συναρτησοειδές Minkowski του A να είναι η p A : X R + 0 με τύπο p A (x) = inf{t > 0 x ta}. Αποδείξαμε ότι το p A είναι θετικά ομογενές και υποπροσθετικό. Αποδείξαμε το εξής θεώρημα: αν ο X είναι χώρος με νόρμα, το A X είναι κυρτό και περιέχει μια μπάλα B(0; R) και αν b X \ A, τότε υπάρχει x X ώστε να ισχύει sup a A Re x (a) 1 = Re x (b) και x 1 R. Αποδείξαμε το θεώρημα του Mazur: αν ο X είναι χώρος με νόρμα, το A X είναι κυρτό και περιέχει μια μπάλα B(0; R) και αν το B X είναι κυρτό και A B =, τότε υπάρχει x X ώστε να ισχύει sup a A Re x (a) 1 = inf b B Re x (b) και x 1 R. Ορίσαμε την έννοια του ακολουθιακά ασθενώς κλειστού A X και την έννοια του ακολουθιακά ασθενώς- κλειστού A X. Αποδείξαμε ότι αν το A X είναι ακολουθιακά ασθενώς κλειστό τότε είναι κλειστό και ότι αν το A X είναι ακολουθιακά ασθενώς- κλειστό τότε είναι κλειστό. Αποδείξαμε το εξής θεώρημα: αν το A X είναι κυρτό και κλειστό, τότε είναι ακολουθιακά ασθενώς κλειστό. Αποδείξαμε και το εξής ανάλογο θεώρημα: αν ο X είναι αυτοπαθής και το A X είναι κυρτό και κλειστό, τότε είναι ακολουθιακά ασθενώς- κλειστό. Ορίσαμε την έννοια του ακολουθιακά ασθενώς συμπαγούς K X και την έννοια του ακολουθιακά ασθενώς- συμπαγούς K X. Αποδείξαμε ότι αν το K X είναι ακολουθιακά ασθενώς συμπαγές τότε είναι ακολουθιακά ασθενώς κλειστό και φραγμένο. Αποδείξαμε ότι αν το K X είναι ακολουθιακά ασθενώς- συμπαγές τότε είναι ακολουθιακά ασθενώς- κλειστό και (αν ο X είναι πλήρης) φραγμένο. Αποδείξαμε το θεώρημα του Helly: αν ο X είναι διαχωρίσιμος και το K X είναι ακολουθιακά ασθενώς- κλειστό και φραγμένο τότε είναι ακολουθιακά ασθενώς- συμπαγές και, ειδικότερα, η κλειστή μοναδιαία μπάλα του X είναι ακολουθιακά ασθενώς- συμπαγής. Ορίσαμε την έννοια της τοπολογίας T σε ένα μη-κενό σύνολο X. Είδαμε τα παραδείγματα P(X) και {, X} καθώς και το παράδειγμα ενός μετρικού χώρου. Μιλήσαμε για ανοικτά, για κλειστά και για συμπαγή υποσύνολα ενός τοπολογικού χώρου. Ορίσαμε την έννοια του Hausdorff τοπολογικού χώρου και είδαμε ότι κάθε μετρικός χώρος είναι Hausdorff. Ορίσαμε την έννοια της συνεχούς συνάρτησης f : X Y ανάμεσα σε τοπολογικούς χώρους X, Y. Αναφέραμε ότι η f : X Y είναι συνεχής αν και μόνο αν για κάθε ανοικτό U Y το f 1 (U) X είναι ανοικτό. Αποδείξαμε ότι η τομή τοπολογιών στο X είναι τοπολογία στο X. Ορίσαμε την ελάχιστη τοπολογία T (A) στο X η οποία περιέχει δοσμένη συλλογή A υποσυνόλων 9

11 του X: λέμε ότι η T (A) παράγεται από την A. Αποδείξαμε ότι τα στοιχεία της T (A) είναι όλες οι ενώσεις πεπερασμένων τομών στοιχείων της A. Αν F = {f i i I} είναι συλλογή συναρτήσεων f i : X X i, όπου κάθε X i είναι τοπολογικός χώρος, ορίσαμε σ(x, F) να είναι η ελάχιστη τοπολογία στο X βάσει της οποίας όλες οι f i είναι συνεχείς. Είδαμε ότι η σ(x, F) είναι η τοπολογία στο X η οποία παράγεται από την A = {fi 1 (U i ) i I, U i ανοικτό στο X i }. Άρα τα στοιχεία της σ(x, F) είναι όλες οι ενώσεις συνόλων της μορφής fi 1 1 (U i1 ) fi 1 n (U in ), όπου κάθε U ik είναι ανοικτό στον αντίστοιχο X ik. Ένα παράδειγμα είναι η τοπολογία-γινόμενο σ(x, F) στο καρτεσιανό γινόμενο X = i I X i, όπου κάθε X i είναι τοπολογικός χώρος και F = {π i i I} είναι συλλογή των προβολών π i : X X i με π i (x) = x i για κάθε x = (x i ) i I X. Είδαμε ότι τα στοιχεία της τοπολογίας-γινόμενο είναι όλες οι ενώσεις συνόλων της μορφής πi 1 1 (U i1 ) πi 1 n (U in ) = {x = (x i ) i I x i1 U i1,..., x in U in }, όπου κάθε U ik είναι ανοικτό στον αντίστοιχο X ik. Αναφέραμε το θεώρημα του Tychonov: αν κάθε X i είναι συμπαγής τοπολογικός χώρος τότε το X = i I X i με την τοπολογία-γινόμενο είναι συμπαγής τοπολογικός χώρος. 10

12 8η εβδομάδα. Είδαμε ότι αν για κάθε i I ο τοπολογικός χώρος X i είναι Hausdorff και αν η συλλογή F συναρτήσεων f i : X X i είναι διαχωρίζουσα (δηλαδή, για κάθε x 1, x 2 X με x 1 x 2 υπάρχει i I ώστε f i (x 1 ) f i (x 2 )) τότε το X με την τοπολογία σ(x, F) είναι Hausdorff. Για παράδειγμα, είδαμε ότι αν όλοι οι χώροι X i είναι Hausdorff, τότε και ο X = i I X i με την τοπολογία-γινόμενο είναι Hausdorff. Κατόπιν, θεωρήσαμε γραμμικό χώρο X επί του F και οποιαδήποτε συλλογή F γραμμικών συναρτησοειδών f i : X F. Το F θεωρείται τοπολογικός χώρος με την γνωστή Ευκλείδεια μετρική. Άρα ορίζεται η αντίστοιχη τοπολογία σ(x, F) στον γραμμικό χώρο X. Επειδή το F είναι χώρος Hausdorff, αν η F είναι διαχωρίζουσα τότε ο X με την τοπολογία σ(x, F) είναι Hausdorff. Είδαμε ότι οι πράξεις του γραμμικού χώρου X είναι συνεχείς ως προς την τοπολογία σ(x, F). (Δηλαδή: (i) Αν U είναι ανοικτό στον X και x 1 + x 2 U, τότε υπάρχουν ανοικτά V 1, V 2 στον X ώστε x 1 V 1, x 2 V 2 και ώστε να ισχύει y 1 + y 2 U για κάθε y 1 V 1, y 2 V 2. (ii) Αν U είναι ανοικτό στον X και λx U, τότε υπάρχουν ανοικτό V στον X και ανοικτό A στο F ώστε x V, λ A και ώστε να ισχύει κy U για κάθε y V, κ A.) Αυτό σημαίνει ότι ο X με την τοπολογία σ(x, F) είναι ένας τοπολογικός γραμμικός χώρος, μία έννοια γενικότερη της έννοιας του χώρου με νόρμα. Κατόπιν, περιοριστήκαμε στην περίπτωση που ο X είναι γραμμικός χώρος με νόρμα. Αν ως F θεωρήσουμε την συλλογή όλων των φραγμένων γραμμικών συναρτησοειδών του X, δηλαδή F = X, τότε ορίζουμε την σ(x, X ), η οποία ονομάζεται ασθενής τοπολογία στον X. Είδαμε, ως πόρισμα του θεωρήματος Hahn-Banach, ότι η X είναι διαχωρίζουσα και άρα ο X με την ασθενή τοπολογία είναι Hausdorff. Αναφέραμε, γενικά, ότι αν σε ένα σύνολο X έχουμε δύο τοπολογίες T 1, T 2, τότε η T 1 ονομάζεται ασθενέστερη της T 2 αν T 1 T 2 (δηλαδή, κάθε υποσύνολο του X που είναι ανοικτό ως προς την T 1 είναι ανοικτό και ως προς την T 2 ). Είδαμε, ως προφανές, ότι η ασθενής τοπολογία σ(x, X ) είναι ασθενέστερη της τοπολογίας που έχει ο X ως χώρος με νόρμα. Γι αυτόν τον λόγο η τοπολογία που έχει ο X ως χώρος με νόρμα ονομάζεται και ισχυρή τοπολογία του X. Τελείως ανάλογα, στον X ορίζεται η ασθενής τοπολογία του, σ(x, X ), η οποία είναι κι αυτή τοπολογία Hausdorff. Όμως, αν θεωρήσουμε την φυσιολογική εμφύτευση J : X X, τότε έχουμε και την συλλογή J(X) X ως συλλογή γραμμικών συναρτησοειδών επί του X και άρα ορίζεται η τοπολογία σ(x, J(X)) στον X, η οποία ονομάζεται ασθενής- τοπολογία του X. Λόγω της συνήθους ταύτισης του X με το J(X), η ασθενής- τοπολογία στον X συμβολίζεται συνήθως σ(x, X). Είδαμε, ως προφανές, ότι η σ(x, X) είναι ασθενέστερη της σ(x, X ) και αυτή είναι, φυσικά, ασθενέστερη της ισχυρής τοπολογίας του X. Είδαμε, ως προφανές, ότι ο X είναι Hausdorff και με την σ(x, X). w Αποδείξαμε ότι x n x στον X αν και μόνο αν xn x ως προς την σ(x, X ) και ότι x w n x στον X αν και μόνο αν x n x ως προς την σ(x, X). Αποδείξαμε ότι, αν K X είναι ασθενώς συμπαγές (δηλαδή, συμπαγές ως προς την σ(x, X )), 11

13 τότε το K είναι ασθενώς κλειστό και φραγμένο. Αποδείξαμε ότι, αν το K X είναι ασθενώς- συμπαγές (δηλαδή, συμπαγές ως προς την σ(x, X)), τότε το K είναι ασθενώς- κλειστό και (αν ο X είναι πλήρης) φραγμένο. Αποδείξαμε το θεώρημα του Alaoglou. Αν το K X είναι ασθενώς- κλειστό και φραγμένο, τότε είναι ασθενώς- συμπαγές. Ειδικώτερα, η κλειστή μοναδιαία μπάλα του X είναι ασθενώς- συμπαγής. Για την απόδειξη αυτού και των προηγουμένων χρειαστήκαμε κάποια εύκολα γενικά αποτελέσματα για τοπολογικούς χώρους. Αν ο τοπολογικός χώρος X είναι Hausdorff και το K X είναι συμπαγές, τότε το K είναι κλειστό. Αν το K είναι συμπαγές υποσύνολο του τοπολογικού χώρου X και το F K είναι κλειστό, τότε το F είναι συμπαγές. Αν οι X, Y είναι τοπολογικοί χώροι, η f : X Y είναι συνεχής και το K X είναι συμπαγές, τότε το f(k) Y είναι συμπαγές. Στο δίωρο συζήτησης αποδείξαμε, ως εφαρμογή του θεωρήματος Riesz στους χώρους Hilbert, το Θεώρημα Radon-Nikodym: αν το µ είναι σ-πεπερασμένο μέτρο στον μετρήσιμο χώρο (Ω, Σ), αν το ν είναι μιγαδικό μέτρο στον (Ω, Σ) και αν ν µ, τότε υπάρχει μοναδική f L 1 (Ω, Σ, µ) ώστε να ισχύει ν(a) = f dµ, A Σ. Η απόδειξη έγινε μόνο στην περίπτωση που µ(ω) < +. A 12

14 9η εβδομάδα. Συμπληρώσαμε την απόδειξη του Θεωρήματος Alaoglou, αποδεικνύοντας ότι η κλειστή μοναδιαία μπάλα του X είναι ασθενώς- κλειστή. Αποδείξαμε το εξής θεώρημα: αν το A X είναι κυρτό και κλειστό, τότε είναι ασθενώς κλειστό. Ορίσαμε την έννοια του φραγμένου γραμμικού τελεστή και είδαμε ότι ένας γραμμικός τελεστής είναι φραγμένος αν και μόνο αν είναι συνεχής αν και μόνο αν είναι συνεχής στο 0. Ορίσαμε τον B(X, Y ) για δύο χώρους με νόρμα X, Y και είδαμε ότι ο B(X, Y ) είναι γραμμικός χώρος. Ορίσαμε την νόρμα T ενός φραγμένου γραμμικού τελεστή T B(X, Y ) και είδαμε ότι T x T = sup x 0 x = sup T x = sup T x. x 1 x =1 Αποδείξαμε ότι η νόρμα στον B(X, Y ) έχει τις ιδιότητες νόρμας και ότι, αν ο Y είναι χώρος Banach, ο B(X, Y ) είναι χώρος Banach (ακόμη κι αν ο X δεν είναι πλήρης). Αν X = Y, γράφουμε B(X) αντί B(X, X). Επίσης, είδαμε ότι B(X, F ) = X. Συμβολίζουμε, όπως στην Γραμμική Άλγεβρα, N(T ) = {x X T x = 0} X, R(T ) = {T x x X} Y. Αποδείξαμε ότι, αν T B(X, Y ), τότε ο N(T ) είναι κλειστός υπόχωρος του X. Αποδείξαμε ότι, αν T B(X, Y ), τότε ο τελεστής T : X/N(T ) Y που ορίζεται με τον τύπο T ([x] N(T ) ) = T x είναι γραμμικός και φραγμένος και T = T και R( T ) = R(T ). Αποδείξαμε το εξής θεώρημα. Αν X, Y είναι οι πληρώσεις των X, Y και αν T B(X, Y ), τότε υπάρχει μοναδικός T B(X, Y ) ο οποίος είναι επέκταση του T. Τότε T = T. Είδαμε ότι, αν T B(X, Y ) και S B(Y, Z), τότε S T B(X, Z) και S T S T. Ορίσαμε την έννοια της άλγεβρας με νόρμα. Είπαμε πότε μια άλγεβρα με νόρμα είναι μεταθετική, πότε έχει μοναδιαίο στοιχείο και πότε κάποιο στοιχείο της έχει αντίστροφο στοιχείο. Αν μια άλγεβρα με νόρμα είναι πλήρης τότε λέγεται άλγεβρα Banach. Είδαμε παραδείγματα αλγεβρών με νόρμα. Οι χώροι l, B(A) και BC(A) είναι παραδείγματα μεταθετικών αλγεβρών Banach με μοναδιαίο στοιχείο. Ο χώρος B(X) είναι μη-μεταθετική (εν γένει) άλγεβρα με νόρμα με μοναδιαίο στοιχείο (τον ταυτοτικό τελεστή I), όπου ως πολλαπλασιασμό στοιχείων του B(X) θεωρούμε την σύνθεση τελεστών. Είπαμε ότι ο T B(X) είναι αντιστρέψιμος ως στοιχείο της άλγεβρας B(X) αν και μόνο αν είναι ένα-προς-ένα και επί (δηλαδή αντιστρέψιμος ως απεικόνιση) και ο αντίστροφος τελεστής T 1 είναι φραγμένος (δηλαδή T 1 B(X)). 13

15 Αν T B(X, Y ), ορίσαμε τον δυικό τελεστή μέσω του τύπου: Αποδείξαμε ότι T B(Y, X ) και Αναφέραμε τις απλές ιδιότητες T : Y X (T y )(x) = y (T x), x X, y Y. T = T. (T + S) = T + S, (κt ) = κt, (ST ) = T S, I = I, 0 = 0, (T 1 ) = (T ) 1. Η τελευταία ιδιότητα ισχύει, φυσικά, με την προϋπόθεση ότι T B(X, Y ) κα T 1 B(Y, X). Αποδείξαμε το εξής θεώρημα. Αν T B(X, Y ), τότε N(T ) = R(T ), N(T ) = R(T ), cl R(T ) N(T ) και cl R(T ) = N(T ). Ως πόρισμα του τελευταίου αποδείξαμε ότι ο R(T ) είναι πυκνός στον Y αν και μόνο αν ο T είναι ένα-προς-ένα και ότι, αν ο R(T ) είναι πυκνός στον X, τότε ο T είναι ένα-προς-ένα. Στο δίωρο της συζήτησης χρησιμοποιήσαμε το Θεώρημα Radon-Nikodym για να αποδείξουμε ότι (L p (Ω, Σ, µ)) iso = L q (Ω, Σ, µ) όταν 1 < p, q < +, 1 p + 1 q = 1 καθώς και όταν p = 1, q = + και το µ είναι σ-πεπερασμένο. Η απόδειξη έγινε μόνο στην περίπτωση που µ(ω) < +. Πιο συγκεκριμένα, αποδείξαμε ότι για κάθε l (L p (Ω, Σ, µ)) υπάρχει f L q (Ω, Σ, µ) ώστε: l(g) = gf dµ, g L p (Ω, Σ, µ). Ω 14

16 10η εβδομάδα. Βάσει της Αρχής Ομοιόμορφου Φράγματος αποδείξαμε ότι: αν ο X είναι χώρος Banach και ο Y χώρος με νόρμα και αν F είναι μια συλλογή τελεστών στον B(X, Y ) τέτοια ώστε sup T F T x < + για κάθε x X, τότε sup T F T < +. Ομοίως, αποδείξαμε το ισχυρότερο: αν ο X είναι χώρος Banach και ο Y χώρος με νόρμα και αν F είναι μια συλλογή τελεστών στον B(X, Y ) τέτοια ώστε sup T F y (T x) < + για κάθε x X και κάθε y Y, τότε sup T F T < +. Αποδείξαμε το εξής λήμμα: αν ο X είναι χώρος Banach και ο Y είναι χώρος με νόρμα και T B(X, Y ), τότε από {y Y y < 1} cl{t x x < k} συνεπάγεται {y Y y < 1} {T x x < 2k}. Αποδείξαμε το Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης: αν X, Y είναι χώροι Banach και ο T B(X, Y ) είναι επί του Y, τότε (i) υπάρχει M ώστε για κάθε y Y με y < 1 υπάρχει x X με x < M και T x = y, (i) το T (U) Y είναι ανοικτό για καθε ανοικτό U X, (iii) αν, επιπλέον, ο T είναι ένα προς ένα τότε T 1 B(Y, X). Είπαμε ότι ένας γραμμικός τελεστής T : X Y λέγεται κλειστός αν από x n x και T x n y συνεπάγεται y = T x. Είναι προφανές ότι, αν ο T είναι φραγμένος, τότε είναι κλειστός. Αν οι X, Y είναι χώροι με νόρμα, ορίσαμε τον X Y = {(x, y) x X, y Y } με νόρμα (x, y) = x + y και είπαμε ότι αν οι X, Y είναι πλήρεις, τότε και ο X Y είναι πλήρης. Ορίσαμε το γράφημα G(T ) = {(x, T x) x X} X Y του γραμμικού τελεστή T : X Y και αποδείξαμε ότι ο T είναι κλειστός αν και μόνο αν το G(T ) είναι κλειστός υπόχωρος του X Y. Αποδείξαμε το Θεώρημα Κλειστού Γραφήματος: αν οι X, Y είναι χώροι Banach και ο γραμμικός τελεστής T : X Y είναι κλειστός, τότε ο T είναι φραγμένος. Είδαμε δύο παραδείγματα. Θεωρήσαμε τον τελεστή ακολουθιών στο F με τύπο T (x 1, x 2,...) = (κ 1 x 1, κ 2 x 2,...), όπου κ = (κ 1, κ 2,...) είναι μια σταθερή ακολουθία στο F. Αποδείξαμε ότι το να ισχύει T x L p για κάθε x l p είναι ισοδύναμο με το κ l και ότι, σ αυτήν την περίπτωση, ο T : l p l p είναι φραγμένος και T = κ. Για το δεύτερο παράδειγμα πήραμε τον τελεστή D : C 1 ([0, 1]) C([0, 1]) με τύπο Df = f και είδαμε ότι ο D είναι κλειστός αλλά όχι φραγμένος αλλά και ότι ο C 1 ([0, 1]) (ως υπόχωρος του C([0, 1])) δεν είναι χώρος Banach. Θεωρήσαμε χώρο με νόρμα X και T B(X). Είπαμε ότι το λ F ανήκει στο αναλύον σύνολο του T αν (i) ο λi T : X X είναι ένα προς ένα, (ii) ο R(λI T ) είναι πυκνός υπόχωρος του X και (iii) ο (λi T ) 1 : R(λI T ) X είναι φραγμένος. Το αναλύον σύνολο του T συμβολίζεται ρ(t ). Το συμπλήρωμα του ρ(t ) στο F ονομάζεται φάσμα του T και συμβολίζεται σ(t ). Το φάσμα του T χωρίζεται σε τρία ξένα ανά δύο υποσύνολα. Το σημειακό φάσμα του T συμβολίζεται σ p (T ) 15

17 και αποτελείται από τα λ για τα οποία ο λi T : X X δεν είναι ένα προς ένα. Το περιθωριακό φάσμα του T συμβολίζεται σ r (T ) και αποτελείται από τα λ για τα οποία ο λi T : X X είναι ένα-προς-ένα αλλά ο R(λI T ) δεν είναι πυκνός υπόχωρος του X. Το συνεχές φάσμα του T συμβολίζεται σ c (T ) και αποτελείται από τα λ για τα οποία ο λi T : X X είναι ένα-προς-ένα, ο R(λI T ) είναι πυκνός υπόχωρος του X αλλά ο (λi T ) 1 : R(λI T ) X δεν είναι φραγμένος. Αν λ σ p (T ), τότε το λ ονομάζεται ιδιοτιμή του T. Το λ είναι ιδιοτιμή του T αν και μόνο αν ο N(λI T ) είναι μη-τετριμμένος υπόχωρος του X και τότε ο N(λI T ) ονομάζεται ιδιόχωρος του λ ενώ τα μη-μηδενικά x N(λI T ), δηλαδή τα x X, x 0 που ικανοποιούν την T x = λx, ονομάζονται ιδιοδιανύσματα του λ. Αποδείξαμε ότι: αν ο X είναι χώρος Banach, o Y είναι χώρος με νόρμα, T B(X, Y ) και ο T : X R(T ) έχει φραγμένο αντίστροφο T 1 : R(T ) X, τότε ο R(T ) είναι κλειστός υπόχωρος του Y. Βάσει του προηγουμένου, είδαμε ότι, αν ο X είναι χώρος Banach, τότε το λ F ανήκει στο αναλύον σύνολο του T αν και μόνο αν (i) ο λi T : X X είναι ένα προς ένα, (ii)* R(λI T ) = X και (iii) ο (λi T ) 1 : R(λI T ) X είναι φραγμένος. Με άλλα λόγια: αν ο X είναι χώρος Banach, τότε το λ F ανήκει στο αναλύον σύνολο του T αν και μόνο αν (λi T ) 1 B(X). Είδαμε το εξής παράδειγμα. Πήραμε από το προηγούμενο παράδειγμα τον τελεστή T B(l 2 ) με τύπο T (x 1, x 2,...) = (κ 1 x 1, κ 2 x 2,...), όπου κ = (κ 1, κ 2,...) l. Όπως είδαμε πριν: T = κ. Αν θέσουμε K = {κ n n N} F, αποδείξαμε ότι σ p (T ) = K, ότι σ r (T ) = και ότι σ c (T ) = (cl K) \ K. Δηλαδή, σ(t ) = cl K. Αποδείξαμε το εξής, χρήσιμο για τα επόμενα, Λήμμα. Αν ο X είναι χώρος Banach, T B(X) και T < 1, τότε (I T ) 1 B(X), και (I T ) T. (I T ) 1 = I + T + T 2 + T

18 11η εβδομάδα. Αποδείξαμε ότι, αν ο X είναι χώρος Banach και T B(X), τότε (i) το σ(t ) είναι συμπαγές και, αν δεν είναι κενό, max λ σ(t ) λ T, (ii) ο αναλύων τελεστής R(λ, T ) = (λi T ) 1 B(X) είναι συνεχής συνάρτηση του λ στο ρ(t ) και (iii) R(λ, T ) R(µ, T ) = (µ λ)r(λ, T )R(µ, T ) για κάθε λ, µ ρ(t ). Αν το σ(t ) δεν είναι κενό, το r σ (T ) = max λ σ(t ) λ ονομάζεται φασματική ακτίνα του T. Αποδείξαμε ότι, αν ο X είναι χώρος Banach και T B(X), τότε (i) το lim n + T n 1/n υπάρχει και είναι T k 1/k για κάθε k, (ii) αν το σ(t ) δεν είναι κενό, τότε r σ (T ) lim n + T n 1/n, (iii) R(λ, T ) = + k=1 λ k T k 1 αν λ > lim n + T n 1/n και (iv) αν λ < lim n + T n 1/n τότε η σειρά + k=1 λ k T k 1 δεν συγκλίνει στον B(X). Είπαμε ότι, αν το U C είναι ανοικτό και ο Z είναι χώρος με νόρμα, τότε η f : U Z ονομάζεται ολόμορφη στο U αν το f (λ) = lim µ λ f(µ) f(λ) µ λ υπάρχει στον Z για κάθε λ U. Αποδείξαμε ότι αν η f : U Z είναι ολόμορφη στο U, τότε για κάθε z Z η z f : U C είναι ολόμορφη στο U. Επίσης, αποδείξαμε ότι, αν η f : C Z είναι ολόμορφη και φραγμένη στο C, τότε είναι σταθερή. Αποδείξαμε ότι, αν ο X είναι χώρος Banach επί του C και T B(X), τότε (i) ο R(λ, T ) είναι αναλυτική συνάρτηση του λ στο ρ(t ), (ii) το σ(t ) δεν είναι κενό και r σ (T ) = lim T n 1/n. n + Θεωρήσαμε τον τελεστή δεξιά μετάθεση S r B(l 2 ) με τύπο S r (x 1, x 2,...) = (0, x 1, x 2,...) και αποδείξαμε ότι σ(s r ) = {λ λ 1}, σ p (S r ) =, σ r (S r ) = {λ λ < 1} και σ c (S r ) = {λ λ = 1}. Άρα r σ (S r ) = 1 = S r. Αν οι X, Y είναι χώροι με νόρμα, είπαμε ότι ένας τελεστής T B(X, Y ) ονομάζεται συμπαγής ή τελείως συνεχής αν το cl(t (B X )) είναι συμπαγές υποσύνολο του Y. Το σύνολο των συμπαγών τελεστών συμβολίζεται K(X, Y ). Γράφουμε K(X) αν X = Y. Αποδείξαμε ότι ο T B(X, Y ) είναι συμπαγής αν και μόνο αν για κάθε φραγμένη ακολουθία (x n ) στον X η (T x n ) έχει συγκλίνουσα υπακολουθία στον Y. Αποδείξαμε ότι ο T B(X, Y ) είναι συμπαγής αν και μόνο αν για κάθε φραγμένο K X το 17

19 cl(t (K)) Y είναι συμπαγές. Αποδείξαμε ότι ο K(X, Y ) είναι γραμμικός υπόχωρος του B(X, Y ). Αποδείξαμε ότι, αν ο Y είναι πλήρης, τότε ο K(X, Y ) είναι κλειστός υπόχωρος του B(X, Y ). Αποδείξαμε ότι, αν T B(X, Y ) και S B(Y, Z) και ένας τουλάχιστον από τους T, S είναι συμπαγής, τότε ο ST B(X, Z) είναι συμπαγής. Αποδείξαμε ότι αν ο T B(X, Y ) έχει dim R(T ) < +, τότε ο T είναι συμπαγής. Θεωρήσαμε τον τελεστή T B(l 2 ) με τύπο T (x 1, x 2,...) = (κ 1 x 1, κ 2 x 2,...), όπου κ = (κ 1, κ 2,...) l, και αποδείξαμε ότι ο T είναι συμπαγής αν και μόνο αν κ n 0. 18

20 12η εβδομάδα. Αν ο X είναι χώρος Hilbert και T B(X), αποδείξαμε ότι υπάρχει μοναδικός T B(X) ώστε (T x y) = (x T y) για κάθε x, y X. Επίσης, T = T. Ο T ονομάζεται συζυγής τελεστής του T. Αν T = T, ο T ονομάζεται αυτοσυζυγής. Αν T B(X ) είναι ο δυικός τελεστής του T και αν S : X X είναι η ισομετρία του X επί του X που προκύπτει από το θεώρημα του Riesz, αποδείξαμε ότι T = S 1 T S. Έστω X = F n και έστω {e 1,..., e n } μια οποιαδήποτε ορθοκανονική βάση του F n. Αν T είναι γραμμικός τελεστής στον F n και αν ο αντίστοιχος πίνακας του T είναι ο A = [a ij ], είδαμε ότι ο πίνακας του T είναι ο A = [a ji ]. Άρα ο T είναι αυτοσυζυγής αν και μόνο αν A = A. Αν ο X είναι χώρος Hilbert και T B(X), είδαμε ότι T = sup (T x y). x 1, y 1 Συμβολίζουμε X λ = N(λI T ). Δηλαδή, αν το λ δεν είναι ιδιοτιμή του T, τότε X λ = {0} ενώ, αν το λ είναι ιδιοτιμή του T, τότε ο X λ {0} είναι ο αντίστοιχος ιδιόχωρος. Αν ο X είναι χώρος Hilbert και ο T B(X) είναι αυτοσυζυγής, αποδείξαμε ότι (i) αν ο Y είναι υπόχωρος του X και T (Y ) Y, τότε T (Y ) Y, (ii) ισχύει (T x x) R για κάθε x X και άρα κάθε ιδιοτιμή του T είναι πραγματική, (iii) ισχύει T = sup (T x x), x 1 και (iv) αν λ 1 λ 2, τότε X λ1 X λ2. Έστω X = F n, έστω {e 1,..., e n } μια οποιαδήποτε ορθοκανονική βάση του F n και έστω T αυτοσυζυγής γραμμικός τελεστής στον F n ή, ισοδύναμα, έστω A = A για τον αντίστοιχο πίνακα A του T. Από την γραμμική άλγεβρα γνωρίζουμε ότι υπάρχει ορθοκανονική βάση {e 1,..., e n} του F n η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του T. Αυτό δεν ισχύει για χώρους Hilbert άπειρης διάστασης και είδαμε το παρακάτω παράδειγμα. Έστω T : L 2 ([0, 1]) L 2 ([0, 1]) με τύπο T f(x) = xf(x) για κάθε f L 2 ([0, 1]). Είδαμε ότι ο T είναι φραγμένος τελεστής στον L 2 ([0, 1]) και ότι ο T είναι αυτοσυζυγής. Όμως, ο T δεν έχει καμία ιδιοτιμή. Μάλιστα, είναι σ p (T ) = σ r (T ) = και σ c (T ) = [0, 1] και άρα σ(t ) = [0, 1]. Αποδείξαμε το Φασματικό Θεώρημα για συμπαγείς αυτοσυζυγείς τελεστές. Αν ο X είναι χώρος Hilbert και ο T K(X) είναι αυτοσυζυγής, τότε υπάρχει ορθοκανονική βάση του X η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του T. Επίσης, για κάθε ιδιοτιμή λ 0 ισχύει dim(x λ ) < + και για κάθε ϵ > 0 υπάρχουν το πολύ πεπερασμένες ιδιοτιμές λ με λ > ϵ. Επομένως, αν ο T έχει άπειρες ιδιοτιμές, τότε οι μη-μηδενικές ιδιοτιμές του T σχηματίζουν μια ακολουθία η οποία 19

21 συγκλίνει στο 0 και το 0 ανήκει στο φάσμα του T (αλλά ενδέχεται να μην είναι ιδιοτιμή του T ). Θεωρήσαμε το εξής παράδειγμα. Πήραμε Lebesgue μετρήσιμη συνάρτηση K : [0, 1] [0, 1] C με M = ( K(x, y) 2 dxdy) 1/2 < + και ορίσαμε τον τελεστή T K f(x) = 1 0 K(x, y)f(y) dy για σ.κ. x [0, 1]. Αποδείξαμε ότι ο T είναι φραγμένος τελεστής στον L 2 ([0, 1]) με T M και, επιπλέον, ότι ο T είναι συμπαγής. Αν ισχύει K(y, x) = K(x, y) για σ.κ. (x, y) [0, 1] [0, 1], τότε ο T K είναι αυτοσυζυγής. 20

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση. 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x)

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x) Τελεστές σε χώρους Hilbert Γεωργάτος Σπυρίδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Επιτροπή Επιβλέπων: Φελουζής Ευάγγελος - Αναπληρωτής Καθηγητής Μέλη : Τσολομύτης Αντώνιος - Καθηγητής Νικολόπουλος Χρήστος

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στους Γραμμικούς Τελεστές! http://eclass.uoa.gr/courses/math122/ Εαρινό Εξάμηνο 2014-15 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Ορισμός Εστω E K-γραμμικός χώρος (K = R ή C). Ενα εσωτερικό γινόμενο (inner

Διαβάστε περισσότερα

j=1 x n (i) x s (i) < ε.

j=1 x n (i) x s (i) < ε. Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών Σημειώσεις Αριστείδης Κατάβο λος1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών telmasu, 11 Ιουνίου 2016

Θεωρία Τελεστών Σημειώσεις Αριστείδης Κατάβο λος1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών telmasu, 11 Ιουνίου 2016 Θεωρία Τελεστών Σημειώσεις Αριστείδης Κατάβολος 1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών 2014-15 1 telmasu, 11 Ιουνίου 2016 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα, χώροι Hilbert 1 1.1 Χώροι με νόρμα και τελεστές...................

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 14, 30 Απριλίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο (Ευκλείδειοι χώροι) 2. Βέλτιστες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1 Σημειώσεις για τους χώρους Hilbert και άλλα Αριστείδης Κατάβολος Από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Θεωρία Τελεστών», εκδ. «Συμμετρία», 2008. Περιεχόμενα I Χώροι Hilbert 1 1 Εσωτερικά γινόμενα 1 1.0.1 Παραδείγματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Sunarthsiak Anˆlush Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Μ. Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης νοιξη 2004 2 Perieqìmena 1 Εισαγωγικά 7 1.1 Διατάξεις............................... 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 Αρµονική Ανάλυση (2017 2018) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 0. (α) Εστω f L (T). είξτε ότι σ n ( f ) f n N. (ϐ) Εστω f L (T). είξτε ότι (γ) είξτε ότι S n ( f ) f + n k=1 sin(kt) k n k= n [Υπόδειξη: Για το (γ) ϑεωρήστε

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Συναρτησιακή Ανάλυση! http://eclass.uoa.gr/courses/math495/ Εαρινό Εξάμηνο 2015-16 Γραμμικοί χώροι K είναι το σώμα R ή C. Ορισμός Ενα X /0 λέγεται K-γραμμικός χώρος αν είναι εφοδιασμένο

Διαβάστε περισσότερα

convk. c i c i t i. c i u i c < c i φ i (F (ω)) c < ( ) c i m i < i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

convk. c i c i t i. c i u i c < c i φ i (F (ω)) c < ( ) c i m i < i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Ολοκλήρωση συναρτήσεων με τιμές σε χώρους Baach Αν (Ω, S, µ είναι χώρος μέτρου και (X, είναι χώρος Baach, μια συνάρτηση F : Ω X θα λέγεται ασθενώς μετρήσιμη (αντίστοιχα, ασθενώς ολοκληρώσιμη αν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βάσεις και υποβάσεις.

1.2 Βάσεις και υποβάσεις. . Βάσεις και υποβάσεις. Το «καθήκον» του ορισμού μιας τοπολογίας διευκολύνεται αν είμαστε σε θέση να περιγράψουμε αρκετά ανοικτά σύνολα τα οποία να παραγάγουν όλα τα ανοικτά σύνολα. Ορισμός.9. Έστω X,

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)

Διαβάστε περισσότερα

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Πτυχιακη Εργασια Ιωσηφιδης Ηλιας Α.Μ: 311/2329 Επιβλεπων : Τσολοµυτης Αντωνης A Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Σαµος 27 Εξεταστικη Επιτροπη : Τσολοµύτης

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach. A. Kατάβολος

Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach. A. Kατάβολος Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach A. Kατάβολος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 1999 Αναθεώρηση, 2019 Περιεχόμενα 1 Πρώτοι ορισμοί 2 2 Παραδείγματα 3 2.1...................................

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Τοπολογία! http://eclass.uoa.gr/courses/math451/ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-16 Υπενθύμιση: Η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης Εστω K ένα σύνολο (π.χ. K = [a,b]) και f n,f : K R φραγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, εαρινό εξάμηνο Έκτο φυλλάδιο ασκήσεων. Παραδώστε τις ασκήσεις 1, 3, 4, 8 και 10 μέχρι το μάθημα της Παρασκευής 24/3.

Συναρτησιακή Ανάλυση, εαρινό εξάμηνο Έκτο φυλλάδιο ασκήσεων. Παραδώστε τις ασκήσεις 1, 3, 4, 8 και 10 μέχρι το μάθημα της Παρασκευής 24/3. Συναρτησιακή Ανάλυση, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Έκτο φυλλάδιο ασκήσεων. Παραδώστε τις ασκήσεις 1, 3, 4, 8 και 10 μέχρι το μάθημα της Παρασκευής 24/3. 1. Αν ο X είναι χώρος Bnch, αποδείξτε ότι ο X είναι αυτοπαθής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach. A. Kατάβολος

Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach. A. Kατάβολος Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach A. Kατάβολος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 1999 Μερική Αναθεώρηση, 2017 Περιεχόμενα 1 Πρώτοι ορισμοί 2 2 Παραδείγματα 3 2.1...................................

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A}

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 11Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Μετά τη συνεκτικότητα, όπου είδαμε κάπως αναλυτικά την ιδιότητα εκείνη που επιτρέπει σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

H idiìthta prosèggishc kai to prìblhma thc bˆshc se q rouc Banach. Andreac Mhtropouloc

H idiìthta prosèggishc kai to prìblhma thc bˆshc se q rouc Banach. Andreac Mhtropouloc H idiìthta prosèggishc kai to prìblhma thc bˆshc se q rouc Banach Andreac Mhtropouloc Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na 2012 Perieqìmena 1 Περιγραφή της εργασίας 1 1.1 Το πρόβλημα..................................

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης Ενότητα 2: Πραγματική Ανάλυση Μιχ. Μ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε Κεφάλαιο 3 Συµπαγείς τελεστές 3.1 Τελεστές πεπερασµένης τάξης Ορισµός 3.1.1 Μια γραµµική απεικόνιση T : E F µεταξύ δύο γραµµικών χώρων E, F λέγεται τάξης n (n N) αν ο υπόχωρος T (E) = im T έχει διάσταση

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Περιεχόμενα Μέρος I Γνώσεις Θεωρίας Μέτρου 1 1 σ-άλγεβρες 3 1.1 σ-άλγεβρες 3 1.2 Παραγόμενη σ-άλγεβρα 5 1.3 Τα σύνολα Borel 6 Ασκήσεις 7 2 Μέτρα 9 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα Μιχάλης Παπαδημητράκης Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα 1 Παράγωγος στο. Ας θυμηθούμε ότι μια μιγαδική συνάρτηση f ορισμένη σε ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου λέμε ότι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα Χαράλαμπος Μαγιάτης Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 17/05/2019 1 / 56 Hilbert C

Διαβάστε περισσότερα

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών 2010-11 Περιεχόμενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισμός και παραδείγματα........................... 3 1.2 Χώροι με

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες

Διαβάστε περισσότερα

f x 0 για κάθε x και f 1

f x 0 για κάθε x και f 1 06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.

Διαβάστε περισσότερα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 08, 5 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Νόρμες πινάκων 2. Δείκτης κατάστασης πίνακα 3. Αριθμητική κινητής

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη)

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) (L) Θέμα 1 α) i Ένα σύνολο A X λέγεται γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΩΝΙΟΣ Η. ΨΑΛΛΙΔΑΣ ΗΜΙΟΜΑΔΕΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ L p ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Π.Μ.Σ. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΑΝΑΠΛ. ΚΑΘ. ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ ΜΠΑΡΜΠΑΤΗΣ ΕΘ

ΑΝΤΩΝΙΟΣ Η. ΨΑΛΛΙΔΑΣ ΗΜΙΟΜΑΔΕΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ L p ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Π.Μ.Σ. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΑΝΑΠΛ. ΚΑΘ. ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ ΜΠΑΡΜΠΑΤΗΣ ΕΘ ΑΝΤΩΝΙΟΣ Η. ΨΑΛΛΙΔΑΣ ΗΜΙΟΜΑΔΕΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ L p ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Π.Μ.Σ. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΑΝΑΠΛ. ΚΑΘ. ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ ΜΠΑΡΜΠΑΤΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim Άσκηση: Η προβολή στην τομή δύο υποχώρων Αν P, Q είναι δύο ορθές προβολές σε έναν χώρο Hilbert H και R = P Q είναι η προβολή στην τομή im P im Q, δείξτε ότι, για κάθε x H, Rx = lim (P QP ) x = lim (P Q)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 6: Μιγαδικά Μέτρα Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

B X Y : T X Y = U i V i : U i T X, V i T Y. (x, y) (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) = (U 1 U 2 ) (V 1 V 2 ) B X Y. ((0, 2) (1, 3)) ((1, 3) (1, 2)) B X B Y

B X Y : T X Y = U i V i : U i T X, V i T Y. (x, y) (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) = (U 1 U 2 ) (V 1 V 2 ) B X Y. ((0, 2) (1, 3)) ((1, 3) (1, 2)) B X B Y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 5Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΕΠΑΓΟΜΕΝΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Τοπολογια γινομενο και προβολες Εστω X, Y τοπολογικοί

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0}

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 6Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΚΛΕΙΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΚΑΙ ΚΛΕΙΣΤΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΧΩΡΟΙ HAUSDORFF ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Κλειστα συνολα Εχοντας

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Πραγματική Ανάλυση. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Πραγματική Ανάλυση. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Πραγματική Ανάλυση Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Το μέτρο Lebesgue.. Μήκη διαστημάτων..................................2

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

iωb = curl E. (Faraday s law) (2)

iωb = curl E. (Faraday s law) (2) Το φασματικό πρόβλημα σε μια διανισοτροπική κοιλότητα Ευτυχία Η. Αργυροπούλου, Ανδρέας Δ. Ιωαννίδης Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Linnaeus University, Σουηδία EME 2013, Καρδίτσα Ευτυχία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Τώρα θα μας απασχολήσουν τρία ερωτήματα σε σχέση με την κατά σημείο σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων. Και για τα τρία ερωτήματα θα υποθέσουμε ότι f f στο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html ευτέρα 23

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» Εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Συντελεστές και σειρές Fourier

Συντελεστές και σειρές Fourier Κεφάλαιο 3 Συντελεστές και σειρές Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 211. 3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Μαθηματική προτυποποίηση στις σύγχρονες επιστήμες και την

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Τοπολογίες στον B(H) Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Τοπολογίες στον B(H) Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Τοπολογίες στον B(H) Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

2

2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΥΧΝΑ ΥΠΕΡΚΥΚΛΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Βασίλης Κόκκοβας Μεταπτυχιακή Διατριβή ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 207 2 Η παρούσα Μεταπτυχιακή Διατριβή εκπονήθηκε στο πλαίσιο

Διαβάστε περισσότερα