2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων."

Transcript

1 Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων Συμβολίζουμε με το πεδίο ορισμού (που περιέχει υποσύνολα του Ω ) του P : 0, είναι μία μέτρου πιθανότητας Δηλαδή το μέτρο πιθανότητας [ ] συνολοσυνάρτηση από το στο [ 0, ] τέτοια ώστε για να έχουμε 0 P( ) Ποία είναι όμως η δομή του? Για παράδειγμα εάν B,, είναι λογικό να P B θέλουμε να μπορούμε να υπολογίζουμε πιθανότητες της μορφής P( ), ( ) είτε P( B) Για να υπολογίσουμε τις πιθανότητες P( ), ( ) γεγονός ότι B, εφόσον P( ) P( ) και P( B ) P( B) μεριά αυτό σημαίνει ότι θα έχουμε και, B Για την πιθανότητα P( B) έχουμε ότι P( B) P( B ) + P( B ) + P( B) P( B) P( ) + P( B ) P( B) P( B) + P( B ) P B μας αρκεί το Από την άλλη Προσθέτοντας κατά μέλη την 2 η και 3 η εξίσωση και αφαιρώντας την η παίρνουμε την γνωστή σχέση P B P + P B P B ( ) ( ) ( ) ( ) Είναι εμφανές λοιπόν ότι για να μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες P( ), P( B ), και P( B) θα πρέπει να ανήκουν στο εκτός από τα και B, και τα υποσύνολα του Ω B,, B, B, B, B Για πρακτικούς λόγους, θα θέλαμε να μπορούμε να βρούμε την πιθανότητα κάθε ενδεχομένου Ω δηλαδή θα θέλαμε να έχουμε πεδίο ορισμού της συνάρτησης P το δυναμοσύνολο του Ω, δηλαδή το σύνολο όλων των Ο χώρος Ω που καθορίζει το τυχαίο πείραμα ή φαινόμενο Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων

2 υποσυνόλων του Ω, που συμβολίζουμε με 2 Ω Αυτό όμως μπορεί να γίνει μόνο για διακριτά σύνολα Ω Αν και το δυναμοσύνολο συνεχών υποσυνόλων ορίζεται, μπορούμε να το κάνουμε μόνο όταν το Ω είναι διακριτό σύνολο Εάν για παράδειγμα το Ω είναι κάποιο πεπερασμένο υποσύνολο του, τότε το αξίωμα της επιλογής 2 μας λέει ότι εάν θέσουμε σαν μέτρο πιθανότητας 3 P ( ) legth( ) / legth( Ω) για υποσύνολα του Ω 4, τότε υπάρχουν παθολογικά υποσύνολα του Ω στα οποία η έννοια της πιθανότητας δεν μπορεί να οριστεί (για παράδειγμα σύνολα τύπου Vtal δεν έχουν μήκος) Δηλαδή σε αυτήν την περίπτωση, το δεν μπορεί να είναι το δυναμοσύνολο (power set) Ω ) αλλά 2 Ω του Ω (που συμβολίζουμε σαν 2 Ω είτε ( ) Έτσι το πεδίο ορισμού του μέτρου πιθανότητας, είναι μια οικογένεια μετρήσιμων υποσυνόλων του Ω, που όμως γενικά δεν περιέχει όλα τα δυνατά υποσύνολα του Ω δηλαδή 2 Ω Ορισμός: Ένα σ πεδίο (σ feld ή σ algebra ή Borel feld) πάνω στο δειγματικό χώρο Ω, είναι μια οικογένεια υποσυνόλων του Ω τέτοια ώστε: Ω 2 3, I, ( ) I Από τον ορισμό είναι εμφανές το card I 5 είναι κλειστό κάτω από τις πράξεις ( ),, Δηλαδή χρησιμοποιώντας αυτές τις προηγούμενες πράξεις πάνω στα στοιχεία του, το αποτέλεσμα βρίσκεται και πάλι μέσα στο Κάθε σ πεδίο Ω, (το πάνω στον δειγματικό χώρο Ω βρίσκεται μεταξύ των σ πεδίων { τετριμμένο σ πεδίο) και 2 Ω, δηλαδή { Ω, 2 Ω 2 Το αξίωμα της επιλογής μας λέει ότι από κάθε οικογένεια συνόλων { I ακριβώς στοιχείο x Sαπό κάθε σύνολο της οικογένειας, δηλαδή δοθέντος της { κατασκευάσουμε το { x I S μπορούμε να διαλέξουμε ένα S μπορούμε να 3 Για παράδειγμα εάν ( ab, ) τότε ορίζουμε σαν legth( ) ( b a) 2 b a τη μονοδιάστατη ευκλείδεια απόσταση 4 Δηλ η πιθανότητα εδώ είναι το κανονικοποιημένο μήκος του (κανονικοποιημένο μέτρο Lebesgue) 5 Ο πληθάριθμος του (cardalty) συμβολίζεται σαν card ( ) πλήθος των στοιχείων του I Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 2

3 Παράδειγμα Εάν οι οικογένεια υποσυνόλων είναι σ πεδίο, τότε το περιέχει και τις αριθμήσιμες τομές των στοιχείων του { { ( ) I I I I I 2 Εάν η ακολουθία ενδεχομένων { και k k Παράδειγμα k k ανήκουν στο { F, SF, FSF,, F S, S F,, S ανήκει στο, τότε τα ενδεχόμενα Ω card Ω, με F και S συμπληρωματικές καταστάσεις (πχ Falure, Success), όπου P S P F p Εάν ορίσουμε την συνάρτηση X : Ω, έτσι ώστε Εάν τότε ( ) 2 ( ) ( ) X ( ω ) ο αριθμός των S στο ω, παρατηρούμε ότι ο χώρος καταστάσεων της X είναι X ( ) { 0,,, θέτοντας 2 Ω έχουμε ότι X ( B) ω : X ( ω) B X B { { Ω και Ω για κάθε B (λέμε τότε ότι η συνάρτηση X είναι μια τυχαία μεταβλητή) και μάλιστα x x X ~ B(, p ) με P{ X x B( x, p) p ( p) Για ({ ) ω ( ω) x { { X : X SF, FSF 2,, F S Ω, έχουμε P X P X P S P F p p ( ({ )) { ( ) ( ) ( ) ενώ ({ ) Ω X 0,,, X { x X ({ x ) x 0 x 0 P( Ω ) P X ({ x ) P( { X 0 { X ) x 0 x x P{ X x p ( p) ( p+ ( p) ) x 0 x 0 x, Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 3

4 2 Για τον δειγματικό χώρο { S, FS,, F S, Ω μπορούμε να θέσουμε 2 Ω, X : Ω έτσι ώστε X ( ω ) ο αριθμός των F στο ω αριθμός των αποτυχιών έως την πρώτη επιτυχία, Y : Ω έτσι ώστε Y( ω) X ( ω) + ο αριθμός των S και F στο ω αριθμός των δοκιμών έως την πρώτη επιτυχία Για παράδειγμα x ( ({ )) { { ότι X ~ Geo( p ), x ( ) ( ) ( ) ( ) PX x P X x P FS PF PS p px, 0 και γνωρίζουμε x P( Ω ) P X ({ x ) p( p) p x 0 x 0 ( p) Ισοδύναμα y y ( ({ )) { ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ~+ ( ) y PY y PY y PF S PF PS p py,,ενώ X Y Geo p Y Geo p Για τον δειγματικό χώρο Ω { S, FS,, SFS,, S FS, F S,, S FS, θα έχουμε 2 Ω μπορούμε να θέσουμε: X : Ω έτσι ώστε X ( ω ) ο αριθμός των F στο ω αριθμός των αποτυχιών έως την οστη επιτυχία, X ( Ω ) { 0,, 2,, Y : Ω έτσι ώστε Y( ω) X ( ω) + ο αριθμός των S και F στο ω αριθμός Y Ω, +, + 2, των δοκιμών έως την οστη επιτυχία, ( ) { { y PY P{ επιτυχίες στις πρώτες y δοκιμές, επιτυχία στην y δοκιμή P{ επιτυχίες στις πρώτες y δοκιμές P{ επιτυχία στην y δοκιμή B( y, p) B(, p) y ( ) ( y ) ( ) y y p p p p ( p), y {, +, + 2, x Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 4

5 Δηλαδή όπως γνωρίζουμε P{ X x NB( x, p) X Y ~ NB(, p) Y ~ + NB(, p) και Παρατήρηση Το Ω αποτελείται από τα στοιχειώδη αποτελέσματα ενός τυχαίου πειράματος (είναι ο χώρος του πειράματος) ή τυχαίου φαινομένου Ω { δειγματικά σημεία { οι δυνατές ερωτήσεις μου μπορούμε να απαντήσουμε με τα δεδομένα που έχουμε από το τυχαίο πείραμα Το λοιπόν έχει δομή πληροφορίας Εάν μάλιστα όσο περνάει ο χρόνος η πληροφορίας που διαθέτουμε αυξάνεται, το μπορεί να αντικατασταθεί με μία αύξουσα δομή πληροφορίας 2 3, τη διήθηση (fltrato) Θεώρημα Για κάθε οικογένεια υποσυνόλων του Ω υπάρχει σ πεδίο σ ( ), που περιέχει όλα τα σύνολα της και είναι το μικρότερο σ πεδίο με αυτήν την ιδιότητα Λέμε ότι το σ ( ) είναι το σ πεδίο που παράγεται από την οικογένεια υποσυνόλων του Ω Παράδειγμα Εάν B Ω, ενδεχόμενα που βρίσκονται σε γενική θέση Να βρεθεί το σ πεδίο σ { B, που παράγεται από την οικογένεια {, B Εάν τα ενδεχόμενα B, βρίσκονται σε γενική θέση Δηλαδή B αλλά και B Ω 2 Ποία η μορφή του { B, 3 Ποία η μορφή του { B, έχουμε ότι και B 4 Ποία η μορφή του { B, B Αρχίζουμε να χτίζουμε το { B, σ στην ειδική περίπτωση που έχουμε ότι B σ στην ακόμα πιο ειδική περίπτωση (2) όπου σ στην ειδική περίπτωση που BΩ αλλά σ από τον ορισμό του σ πεδίου Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 5

6 { B Ω,, 2,, B { B, B, B, B, 3 2 B, B, B, B Η οικογένεια 3 δεν είναι ακόμα κλειστή κάτω από τις πράξεις ( ),, Για παράδειγμα τα σύνολα που μπορούμε να παράγουμε με ενώσεις από τα B, B, B, B είναι ( ) ( ) B B B B B B B B B B B 6 3 ( ) 3 ( ) ( ) B B B B B B B B B B B { Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε τώρα ότι το σύνολο B ( B) κλειστό ως προς τις πράξεις ( ),,, ή ότι: σ { B, Ω,, B,,, B, B, B, B, B, 4 B, B, B, B, ( B ) ( B),( B ) ( B) 2 Στην ειδική περίπτωση που B ( B B ) έχουμε: είναι 4 3, τότε από το() 6 Η συμμετρική διαφορά B των και B, ορίζεται σαν η ένωση των και B εκτός των κοινών τους σημείων: ( ) \ ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) B B B B B B B B B ( B) ( B) ( B) ( B ) ( B) Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 6

7 σ Ω,, B,,, B, B, B, B, B B B B Ω B, B, B, B, Ω,, B,,, B, B B, B ( B ) ( B),( B ) ( B) B ( B ) { B, 3 Στην ακόμα πιο ειδική περίπτωση όπου έχουμε B, αλλά και B B σ B, από το (2) έχουμε: ( ), χρησιμοποιώντας το { σ Ω,, B,,, B,,,,, B, B B Ω Ω { B { 4 Όταν BΩ και ταυτόχρονα B θα έχουμε ότι B B, τότε σ { B, Άσκηση Ω,, B,,, B, B, B, B, B Ω B B,, B,,, B Ω, B, B, B, B, B, ( B) B ( B ) B, ( B) Να βρεθεί το σ { B, όταν: Ω { abcd,,, και { ab,, B { bc, 2 Ω { abcde,,,, και { abc,,, B { cde,, Τα B, βρίσκονται σε γενική θέση στο Ω Γνωρίζουμε όμως ότι σε αυτή την card, B 6 card 2 Ω 6 ενώ και οι δύο περίπτωση ( { ) οικογένειες είναι σ πεδία, οπότε και σ { B σ και εμφανώς ( ), 2 Ω Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 7

8 σ { B { ab B { bc { cd B { ad {,,, {,,, {,,, {,, {, {, {, {, Ω,,,,,,,,,, B abc B abd B bcd B acd, 2 B b B a B c B d B { ac,,( B) { bd, 2 Σε αυτή τη περίπτωση τα B, δεν βρίσκονται σε γενική θέση εφόσον BΩ και B Αυτή είναι ακριβώς η περίπτωση (4) της προηγούμενης άσκησης σ { B, Πρόταση { { { { Ω,, abc,,, B cde,,, de,, B ab,, B, B, B B, B { a, b, d, e { c Ω B { c, B B, B, B, B { c, ( B) { c Δίνεται ότι τα για I είναι σ πεδία πάνω στον Ω, όπου το I είναι ένα πεπερασμένο είτε άπειρο σύνολο δεικτών Δείξτε ότι και η οικογένεια είναι σ πεδίο πάνω στον Ω I 2 Δείξτε ότι γενικά η ένωση σ πεδίων δεν είναι σ πεδίο Ω, I Ω I,, I, I, I I,,,, j J j J I I j I j j j I j J j J 2 Δείχνουμε το (2) με ένα αντιπαράδειγμα Επειδή σ { {,,, σ { B { Ω,, BB, και παρατηρούμε ότι { B, σ{ σ{ B σ{ B, Επειδή το { B, { B,, το σ{ σ{ B δεν είναι σ πεδίο Εμφανώς σ ( σ{ σ{ B ) σ{ B, σ πεδίων σ { και σ { B το συμβολίζουμε με σ{ σ{ B Ω και σ είναι το μικρότερο σ πεδίο που περιέχει την οικογένεια Το σ πεδίο που παράγεται από την ένωση των Ω Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 8

9 Ορισμός B( ) : Το σύνολο Borel του είναι το σ πεδίο που παράγεται από όλα τα διαστήματα της μορφής (, x] για x Δηλαδή ( ) σ {(, x]: x B Το B ( ) περιέχει όλα τα μετρήσιμα υποσύνολα (Borel sets) του Δηλαδή B( ) 2 \{ παθολογικά υποσύνολα του Ορισμός: Το μέτρο πιθανότητας P ( ) είναι μια συνάρτηση P : [ 0,] ώστε: τέτοια P( ) 0, P ( Ω ) P P, : j, j I ( ) ( ) { I I Ονομάζουμε την τριάδα ( Ω,,P( ) ) χώρο πιθανότητας Ορισμός { : Μια ακολουθία ενδεχομένων λέμε ότι είναι μονότονη όταν: Μη φθίνουσα (expadg ) όταν 2 3 Μη αύξουσα (cotractg ) όταν 2 3 Ορισμός : Το όριο μονότονης ακολουθίας ενδεχομένων { ορίζεται με τον εξής τρόπο: sup ( ), lm f ( ), οστης Ορίζουμε την τάξης ουρά (tal) της ακολουθίας { ακολουθία T( ) { στοιχείων της οστης τάξης ουράς της ακολουθίας σαν M( ) meet of the tal T ( ) ) και J( ) k (the jot of the tal ( ) Πρόταση σαν την Επίσης ορίζουμε την τομή και την ένωση των k k (the k T ) Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 9

10 { { k k { J { k k Η ακολουθίες τομής ( ) ( ) M και ένωσης ( ) ( ) ενδεχομένων της οστης τάξης ουράς της ακολουθίας {, είναι μονότονες 7 δηλαδή έχουν όριο ( ) ( ) ( ) ( ) M M M ( ) ( ) ( ) ( ) J J J Αυτό που μας λέει η προηγούμενη πρόταση είναι ότι οι ακολουθίες ενδεχομένων J έχουν όριο M ( ) και ( ) Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: lmf lm M( ) 2 lm sup lm J ( ), Επειδή ( ) έχουμε: lm ( ) sup ( ) ( ) ( ) k k M M, και επειδή ( ) έχουμε ότι: lm ( ) f ( ( )) ( ) k k J J Πρόταση Έστω ότι πραγματοποιείται το ενδεχόμενο, τότε αυτό είναι ισοδύναμο με την πραγματοποίηση άπειρων από τα ενδεχόμενα της ακολουθίας 8 2 Εάν πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο, τότε αυτό είναι ισοδύναμο με την πραγματοποίηση όλων των ενδεχομένων της ακολουθίας εκτός ίσως από κάποιο αρχικό πεπερασμένο πλήθος 9 7 Σημειώστε ότι η αρχική ακολουθία δεν χρειάζεται να είναι μονότονη 8 Το ενδεχόμενο lmsup συμβολίζεται και ως {, o δηλαδή τα ενδεχόμενα στην ακολουθία πραγματοποιούνται απείρως συχνά (ftely ofte) Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 0

11 Η πραγματοποίηση άπειρων από τα ενδεχόμενα της ακολουθίας είναι ισοδύναμη με το εξής: εάν ω τότε υπάρχει υπακολουθία { ω, Πράγματι ( ) ( 2 ) { k k k k k 2 k ω ω ω ω : : ω και ω και : ω, 2 τέτοια ώστε 2 Εάν ω τότε υπάρχει N τέτοιο ώστε για N να έχουμε ω Πράγματι k k ( k k k 2 k ) ( N : ω ω, N k N ) k ω ω ω ω Παράδειγμα Δίνεται η ακολουθία ενδεχομένων { {{ b { b2 { bm { α { β { α { β { α { β,,,,,,,,,,,, όπου b διαφορετικά μεταξύ τους και διαφορετικά των α και β, τότε ( ) lmf ( ) M M, { αβ { m, αβ,, { αβ,, m+ b m J( ) bm, bm,,, m lmsup J, { b, bm, bm, αβ,, ( ) { αβ 9 Το ενδεχόμενο lmf συμβολίζεται και ως {, aa δηλαδή τα ενδεχόμενα από κάποιο N και μετά, θα πραγματοποιηθούν όλα Ισοδύναμα λέμε ότι τα ενδεχόμενα πραγματοποιούνται σχεδόν πάντα (almost always) Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων

12 Εύκολα παρατηρούμε ότι για {{ α,{ β,{ α,{ β,, { α,{ β, και πάλι lm sup B { αβ, τότε δηλαδή η μη ύπαρξη του πεπερασμένου block { b { b2 { b Παρατηρείστε ότι εάν τα { b,{ b2,, { bm θέσεις μέσα στην ακολουθία, και πάλι θα είχαμε lm sup { αβ,,,, m στην ακολουθία, δεν επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα βρίσκονταν σε οποιεσδήποτε Επίσης παρατηρούμε ότι για κάθε στοιχείο του lm sup { αβ, υπάρχει υπακολουθία της { m υπακολουθίες { 2 {{ α,{ α, k+ και { {{ { 2 β, β, k Πρόταση Όταν η ακολουθία { και είναι η κοινή τιμή lmf που το περιέχει Για παράδειγμα εάν 2 k, οι + είναι μονότονη (το όριο της ακολουθίας υπάρχει) lmsup, δηλαδή lmf lm lmsup Εάν τότε γνωρίζουμε ότι k lm k M k k k k+ k+ 2 k ( ) lmf sup lm k k k k k 2 k k k k,,, ( ) lmsup f lm, k k k Εάν τότε γνωρίζουμε ότι k lm k k k k k k k lmsup k lmf k k k k k Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 2

13 Λήμμα: Ισχύει ότι Εάν τότε υπάρχει N τέτοιο ώστε ω k ή ότι ω k k k N k ω k, k N, αυτό όμως σημαίνει ότι το ω ανήκει σε όλες τις ενώσεις k για, που δίνει ω k k Άσκηση Να βρεθεί, εάν υπάρχει, το όριο των ακολουθιών ενδεχομένων 2 3 B, 2k, k C, 2k,2 +, /2, /2, 4 (, / 2 ], J B C B C k k k k M B C B C k k k k Επειδή δεν υπάρχει το όριο της ακολουθίας 2 J k, 2 0, 2 k k + + k k επειδή 0,, f ( ) J 0, 2 ( 0, 2] +, επειδή 2, M k,2,2 k k + k k, sup ( ) M, 2 ( 0, 2] Ενώ η δεν είναι μονότονη, έχει όριο, διότι τα lm 0, 2 τιμή ( ] Το όριο είναι η κοινή τους Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 3

14 , v, v, v v,, v, < Παρατηρούμε ότι [ ] J ( ),, k k k 2 k 2 k 2 f ( ) J, (,) 2 M, k k 2 2 ( ) k k k ( ) M sup Ενώ η δεν είναι μονότονη, έχει όριο διότι τα lmf και lmsup ταυτίζονται Το όριο είναι η κοινή τιμή lm 4 Η (, / 2 ], είναι k lm (, /2 ] (, 0 k k k Άσκηση Δίνεται η ακολουθία ενδεχομένων {, με [ a, b] για θετικά κ και λ Να βρεθεί το lm και κ < a < κ < b < λ, εάν υπάρχει, στις εξής περιπτώσεις: a a, b b, a, a b b, a, a b b, a, a b b a, b [ ] ( ( ) ( ( k [, ], sup ( ), (, J ak, bk a, b f J a, b a, b M a b k k k a b a b a b + + μονότονη, αλλά το όριο της υπάρχει και είναι lm ( a, b 2 a, b ( ) [, ] (, ) f ( ) (, ), ) k k, k, sup,, J a b a b a b a b k k ( ) [ ] ( ) ) M a b a b a b a b k μονότονη, αλλά το όριο της υπάρχει και είναι lm a, b ) 3 a, b Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 4

15 [ ] [ ], lm,, + a b a b a b 4 a, b a, b lm a, b a, b [ ] [ ] ( + ) k k k Πρόταση Δίνεται ακολουθία ενδεχομένων { Δείξτε ότι η ακολουθία ενδεχομένων { B που ορίζεται σαν B έχει τις ιδιότητες BB j, j ( ) \ j j > με B 2 Δείξτε την ανισότητα του Boole για άπειρα ενδεχόμενα, δηλαδή ότι για κάθε ακολουθία { ισχύει P ( ) P ( ) < < και B \ ( ) ( ) Υποθέτουμε j ενώ Bj j \, τότε BB j Το ίδιο για < j Παρατηρούμε επίσης ότι { ( ) ( 2) ( 2 3) ( 2 3 4) B 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ενώ B ( ) ( ) P B P P P B P 2 P ( ) P ( B ) P ( B ) που δίνει ( ) ( ) ( ) Παράδειγμα Δείξτε την ανισότητα του Boole για πεπερασμένα ενδεχόμενα Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 5

16 Για 2 ισχύει P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) Δεχόμαστε ότι P ( ) P ( ) + ( ) ( ) και αποδεικνύουμε την ανισότητα για ( + ) ( ) ( + ) + + P( ) ( ) ( ) P P + P P P P + { + Πρόταση (Η πιθανότητα είναι μια συνεχής συνολοσυνάρτηση) Θέλουμε να δείξουμε ότι εάν η είναι μια μονότονη ακολουθία ενδεχομένων, τότε Εάν ( ) ( lm ) lm P P { +, έχουμε lm ( \ ) και τα ενδεχόμενα B, B \, B \, είναι ξένα μεταξύ τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lm ) { ( \ ) \ { ( ) ( ) { ( ) + + P P P P lm P + P \ lm P \ lm P Εάν τότε και από τα προηγούμενα lm P ( ) P ( lm ) P ( ) lm ( P( ) ) P ( ) P ( ) Με αποτέλεσμα lm P ( ) P ( lm ) P ( ) Άσκηση Δίνεται ακολουθία ενδεχομένων { Εάν P( ), P( M ( )), 2 P( ) P( ) ( ) ( k) ( k) ( k) Δείξτε ότι: P M ( ) P P P, εφόσον ( ) 0 k k k P k Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 6

17 2 Παίρνοντας το όριο για στην εξίσωση P( M ( )) ( ), έχουμε lm P M ( ) P lm M P ( ) ( ) M ( ) ( ) δίνει P( ) P( ), ή ότι P ( ) Άσκηση Δείξτε ότι ισχύουν οι ανισότητες: και επειδή Το γεγονός,, ( ) ( ) ( ) P lmf lmf P lmsup P P lmsup { ( ) ( ) ( ) ( ) P P lm M lm P M sup P M : k k { P M k P f P : k για κάθε k, έχουμε Επειδή ( ) ( ) ( ) k { ( ) { ( ) P sup f P : k : k Εμφανώς f { P( ) : k sup { P( ) : k αλλά η ακολουθία ως προς k στα αριστερά της ανισότητας είναι και στα δεξιά της είναι, οπότε παίρνοντας το και από τα δύο μέλη έχουμε: lm ( ) { { ( ) { ( ) { sup f P : k : k f sup P : k : k, ή ισοδύναμα lmf P( ) lmsup P( ) Έως τώρα λοιπόν έχουμε δείξει ότι ισχύει: ( ) lmf ( ) lmsup ( ) P P P { P k P ( ) P ( J k) Επειδή sup ( ) : για κάθε k στα δύο μέλη της προηγούμενης ανισότητας έχουμε: ( ) { ( ) { { ( ) lm sup P f sup P : k : k f P J : k k ( ) ( lm ) ( ) lm P J P J P k, παίρνοντας f ( ) k Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 7

18 Έτσι παίρνουμε τελικά P( ) lmf P( ) lmsup P( ) P( ) Παρατήρηση { X x : Εάν θέσουμε, τότε, lmf { lmf X x από την ανισότητα P( lmf ) lmf P( ) έχουμε και x x { lmf lmf { lmf X ( ) lmf ( ) X P X x P X x f u du f u du u Το προηγούμενο αποτέλεσμα ονομάζεται Λήμμα Fatou Πρόταση { u Εάν για τις ακολουθίες a και { b με a 0 και b > 0, ισχύει a l 0 b > όταν, τότε και οι δύο σειρές a και b ή και οι δύο συγκλίνουν ή και οι δύο αποκλίνουν 2 Εάν { a με 0 a a < ( a ) < και a 0 όταν, τότε: 0 > είτε a ( a ) 0 a Για το (), επειδή l > 0 όταν σημαίνει ότι για κάθε b ε > 0 υπάρχει 0 a τέτοιο ώστε για 0 να έχουμε l < ε ( l ε) b < a < ( l+ ε) b Εάν b διαλέξουμε ε < l, τότε έχουμε: ( ε ) ( ε ) ( ε ) ( ε ) a l b a l b < + < + b < l a b < l a Για το (2), θεωρούμε τις ακολουθίες { a με 0 < και a b log a a τότε b 0, ενώ όταν Δηλαδή από το () έχουμε ότι οι δύο σειρές b a και b, συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα Εάν a b < <, Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 8

19 ( ( a) ) ( a) > log log 0 > a Εάν a b ( ( a) ) ( a) log log 0 a (Λήμμα των Borel Catell) Δίνεται ακολουθία ενδεχομένων { Εάν P( ) < P P lmsup P, o 0 τότε ( ) { και τα ενδεχόμενα 2 Εάν P( ) <, θα έχουμε ( ) lm ( ) lm lm lm k k lm ( ) P k P( k) s s 0, από όπου P ( ) 0 Εάν θέσουμε s P( ) είναι ανεξάρτητα, τότε P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k { k k P P J P J P P 2 Έχουμε ότι P M P P P ( ( )) ( k) ( k) ( k) k k k ( ) Επειδή P( ) με 0 P( ) < και ( ) 0 ( ( )) ( ( )) ( ( )) k k k k k k P M ( ) P 0,, 0 P P P, P όταν, θα έχουμε, οπότε και ( ) ( ( k) ) έτσι k ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) P lmf P lm M lm P M 0 P lmf 0 ή ισοδύναμα P lm sup Παράδειγμα Εάν για οι τμ P X 0 p X είναι ανεξάρτητες Beroull με P{ X d {, δηλαδή X ~ B(, p ), ορίζουμε για ενδεχομένων { X p και την ακολουθία Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 9

20 p <, για παράδειγμα p 2 Εάν P( ) έχουμε: δίνει p 2 π 6, θα ( ) { ( ) { P P X, o 0 P P X 0, a a Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι lm X 0 με πιθανότητα, και γράφουμε P { X lm 0 Εάν P( ) p, για παράδειγμα τμ τους ανεξάρτητα, έχουμε: p δίνει p, επειδή οι X είναι μεταξύ X είναι ανεξάρτητες ή ισοδύναμα τα ενδεχόμενα { ( ) { ( ) { { P P X, o P P X 0, a a 0 P lm X 0 0 Σύγκλιση ακολουθίας τμ με πιθανότητα ισχυρή σύγκλιση Λέμε ότι η ακολουθία τμ { X συγκλίνει στην τμ X με πιθανότητα, ή ότι η X συγκλίνει σχεδόν βεβαίως (almost surely) στην X και γράφουμε as X X, όταν τα ενδεχόμενα για τα οποία η X δεν συγκλίνει στην X έχουν μηδενική πιθανότητα, δηλαδή το ενδεχόμενο { ω : lm X ( ω) X ( ω) { lm X X Ω έχει μέτρο μηδέν Η σύγκλιση της ακολουθίας τμ εξής: για κάθε 0 X στην τμ X με πιθανότητα ορίζεται ως ε > ορίζουμε την ακολουθία ενδεχομένων ( ε) { ( ε) { { ( ) : ( ) ( ) ε ω Ω X ω X ω < ε X X < ε, τότε as { { ε ( ( )) ( ) X X P lm X X P X X <, aa, ε > 0 P lm f ε, ε > 0 P ε, ε > 0 k k P { X X < ε, ε > 0 k k Είτε ισοδύναμα χρησιμοποιώντας συμπληρώματα: με Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 20

21 { ( ε) as { X X P lm X X P, o 0, ε > 0 { ε P X X, o 0, ε > 0 P lm sup 0, > 0 P X X 0, > 0 k k Παρατήρηση 2 ( ε ) ε { ε ε Γνωρίζουμε από τα προηγούμενα ότι εάν {, με P( ), ( k ), k P { lmf ( ε r) r Έτσι θεωρώντας την ακολουθία ενδεχομένων έχουμε, όπου ε r 0 όταν r, τότε P lmf ( ε r) Έτσι ο r ορισμός της σύγκλισης με πιθανότητα, σε πιο συμπαγή μορφή είναι: { ( εr) { εr P lm X X P lmf P X X < r r k k Για παράδειγμα θα μπορούσαμε να θέσουμε ε / r r Πρόταση: Μια ικανή συνθήκη για σύγκλιση της ακολουθίας τμ { X P X X ε <, ε > 0 X με πιθανότητα είναι { στην τμ Θέτουμε m m X X m για m, έχουμε P( m ) <, m ε και για τα ενδεχόμενα ( ) από υπόθεση, ότι ( ) θεώρημα των Borel Catell έχουμε P lm sup m 0, m B lm sup m για m και επειδή P( B ) παίρνουμε Από το ο ( ) Θέτουμε ( ) m P B P B P B m m ( m), δηλαδή m m m P X X < από όπου και X m k m as m P Bm ή ισοδύναμα m X Παράδειγμα (Πιθανότητα ενδεχομένων σε πεπερασμένο και άπειρο χρονικό ορίζοντα) Κάποια, καθημερινά, ρίχνει m 5 νομίσματα του ενός ευρώ και εκείνα που Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 2

22 προσγειώνονται κεφαλή τα κάνει δωρεά Την πρώτη φορά όμως που όλα τα νομίσματα προσγειωθούν γράμματα, σταματάει οποιαδήποτε δωρεά για πάντα Έστω {,, X X η ακολουθία των ποσών που δίνονται σε δωρεά κάθε μέρα 2 Τότε, τουλάχιστον διαισθητικά, είμαστε 00% σίγουροι (δηλαδή σίγουροι με πιθανότητα ), ότι κάποια μέρα το ποσό δωρεάς θα πρέπει να γίνει 0 και θα παραμείνει 0 για πάντα (εδώ έμμεσα έχουμε χρησιμοποιήσει άπειρο χρονικό ορίζοντα, δηλαδή θεωρούμε ότι το πείραμα μπορεί να πραγματοποιηθεί άπειρες φορές) Όμως, εάν θεωρήσουμε οποιοδήποτε πεπερασμένο ορίζοντα ημερών, ας πούμε, η πιθανότητα του ενδεχομένου { την οστ ημέρα έγινε μη μηδενική > 0 πάντοτε θα παραμένει θετική δωρεά { X Για να το δούμε αυτό πρέπει πρώτα να παρατηρήσουμε ότι τα ενδεχόμενα δεν είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα { 0 { 0, 0 { 0, 0 P X > P X > X + P X > X >, επειδή P{ X > 0, 0 0, παίρνουμε X { 0, 0 { 0 { 0 0 P X > X > P X > P X > X >, με P{ X X P{ X X > 0 > 0 0 > 0 2 m, όπου m ο αριθμός των νομισμάτων Η πιθανότητα λοιπόν { 0 m { 0 ( 2 ) P{ X 0 P X > > Ανακυκλώνοντας την προηγούμενη σχέση παίρνουμε m { > 0 ( 2 ) P{ X > 0 m m ( ) ( P{ X ) ( ) P X > 0, P X > γίνεται Δηλαδή η πιθανότητα του ενδεχομένου { την οστ ημέρα έγινε μη μηδενική > 0 είναι θετική για κάθε δωρεά { X Όταν όμως το ζητούμενο είναι ο άπειρος χρονικός ορίζοντας (δηλαδή θέλουμε να απαντήσουμε στην ερώτηση: «το πείραμα μπορεί να πραγματοποιείται για πάντα;») θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το ο Λήμμα των Borel Catell: Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 22

23 m P( ) P{ X ( ) m > < ( ) ( ) { { { P 0 P P, aa P X 0, aa P lmx 0, δηλαδή είμαστε σίγουροι με πιθανότητα, ότι κάποια μέρα το ποσό δωρεάς θα γίνει 0 και θα παραμείνει 0 για πάντα Παράρτημα Α lmt feror και superor για πραγματικούς αριθμούς Έστω ( ) ( ) { a ακολουθία πραγματικών αριθμών Τότε f f a το μεγαλύτερο κάτω φράγμα της (greatest lower boud), sup sup a το μικρότερο άνω φράγμα της (lowest upper boud) f a το έχει μικρότερο στοιχείο m a f a sup a το έχει μεγαλύτερο στοιχείο max a sup a f ( ) sup( ) { x x { x x f : 0 < < f : 0 2 { x x sup : < 2 2 f ( ) :, sup ( ) : Ορίζουμε τις ακολουθίες z f a και Z sup a για Έχουμε ότι k k k ( ) { k { z lm z lm f a sup f a sup f a : k : lmf a, k k k k k { { Z lm Z lm sup a k f sup ak f sup ak : k : lmsup a k k Ισχύουν τα παρακάτω: lmf a lmsup( a ) 2 Εάν a a lmf a lm a a lmsup a 3 f a lm f a lm sup a sup a Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 23

24 Για να δείξουμε την τελευταία ανισότητα παρατηρούμε ότι: f a f a sup f a και f sup a sup a sup a ενώ k k k k k k k k ( ) f ak sup ak lm f ak lm sup ak sup f ak f sup ak k k k k k k Παρατηρήσεις: ( ) ( ) Έστω ότι lm a L lmf a f L, lmsup a sup L Εάν f ( L) sup( L) τότε L { a και το όριο της a υπάρχει, δηλαδή a a 2 Το σύνολο L αποτελείται από τα όρια όλων των συγκλινουσών υπακολουθιών, a στο { k Παράδειγμα { ( ) { {,,,, {, { lm 2, lm 2 a L a a από όπου a ( L) a ( L) lm f f, lm sup sup Παράδειγμα 2 s( π / 2) { a { a, a2, a3, a4, a5 5, a6, a7, a8, a9 9, 3 7 { lm 3 lm, lm a lm, L a4 4 2 lm a4 lm 0, lm a4 lm { 0,,, από όπου lm f a f ( L) 0, lm sup a sup( L) Παράδειγμα 3, odd + Θέτουμε { a με a, eve + 2k a2k, a2k 0 L { 0,, 2k 2k+ lm f a f L 0, lm sup a sup L από όπου ( ) ( ) Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 24

25 Παράδειγμα 4 { { a s ( π / 3) από όπου L, 0, lm f a f ( L), lm sup a sup( L) Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 25

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ), που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ). 2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της ένωσης δύο ξένων μεταξύ τους (ασυμβίβαστων) ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της ένωσης δύο ξένων μεταξύ τους (ασυμβίβαστων) ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P, που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ] και έχει τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ).. Η πιθανότητα της ένωσης δύο ξένων

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { } Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { } Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το

Διαβάστε περισσότερα

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

( t) ( ) ( 0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem Lindeberg Levy) τότε η τ.μ. Sn

( t) ( ) ( 0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem Lindeberg Levy) τότε η τ.μ. Sn Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Cetral Lmt Theorem Leberg Levy Εάν ~ f (, με [ ] µ, Var [ ] σ < και S τότε η τμ S ( S S µ συγκίνει ως προς κατανομή (coverges strbuto στη Var S σ ( N ( 0,, δηαδή N( 0, ή ισοδύναμα

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση : 1 λέγεται ακολουθία πραγματικών αριθμών ή

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές

Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός

Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη

17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη Στατιστική Ι 3 η Διάλεξη 1 2 Τυχαία μεταβλητή X στο δειγματικό χώρο Ω Μια πραγματική συνάρτηση που αντιστοιχίζει τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ Περιεχόμενα 1. Το εξωτερικό μέτρο Lebesgue 2 2. Mετρήσιμα σύνολα 4 3. Η κανονικότητα του μέτρου Lebesgue

Διαβάστε περισσότερα

G n. n=1. n=1. n=1 G n) = m (E). n=1 G n = k=1

G n. n=1. n=1. n=1 G n) = m (E). n=1 G n = k=1 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Επαναληπτικές Εξετάσεις στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση Θέμα. Εστω R Lebesgue μετρήσιμο σύνολο. (αʹ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ε

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B) Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

II. Τυχαίες Μεταβλητές

II. Τυχαίες Μεταβλητές II. Τυχαίες Μεταβλητές τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ : Αναφέρεται πάνω σε μία μετρούμενη ποσότητα του τυχαίου πειράματος Εκφράζει μία συνάρτηση (απεικόνιση) από τον δειγματικό χώρο (Ω) σε έναν αριθμητικό χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών - Περιεχόμενα Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες. Υπακολουθίες. Θεώρημα Bolzno Weierstrss.αʹ Απόδειξη με χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 1 η : Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/16/2017

Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/16/2017 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Εισαγωγή Από την πλευρά της θεωρίας πιθανοτήτων και της στατιστικής τα φαινόμενα-διεργασίες χωρίζονται σε δύο γενικές κατηγορίες:

Διαβάστε περισσότερα

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Περιεχόμενα Μέρος I Γνώσεις Θεωρίας Μέτρου 1 1 σ-άλγεβρες 3 1.1 σ-άλγεβρες 3 1.2 Παραγόμενη σ-άλγεβρα 5 1.3 Τα σύνολα Borel 6 Ασκήσεις 7 2 Μέτρα 9 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 02/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου - Πιθανοτήτων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου - Πιθανοτήτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου - Πιθανοτήτων Υπενθυμίζουμε συνοπτικά κάποιες βασικές έννοιες που θα μας χρειαστούν σε επόμενα κεφάλαια 3 σ-άλγεβρα: Έστω ένα μη κενό σύνολο Μία κλάση υποσυνόλων F του

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος

ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Πιθανότητες Πληροφορία Μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη Στατιστική Ι 1 η Διάλεξη 1 2 Φαινόμενα Πειράματα Αιτιοκρατικά Προσδιοριστικά Τυχαία Στοχαστικά Ένα αιτιοκρατικό πείραμα, κάθε φορά που εκτελείται, έχει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο μπορεί να προβλεφθεί

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 2: Το Θεώρημα Καραθεοδωρή και τα μέτρα Borel Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

n k=1 k=n+1 k=1 k=1 k=1

n k=1 k=n+1 k=1 k=1 k=1 Πιθανότητες ΙΙ - Λύσεις Ασκήσεων Άσκηση 1 Εστω A σ-άλγεβρα. Τότε, A και A κλειστή στα συμπληρώματα (ιδιότητες (i) και (ii) της σ-άλγεβρας). Εστω A 1, A 2,..., A πεπερασμένη ακολουθία στοιχείων της A. Αφού

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Συμβολισμοί Σε αναλογία με τους ορισμούς συμβολίζουμε μια ακολουθία: 1 είτε μέσω του διανυσματικού ορισμού, παραθέτοντας αναγκαστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Στα πλαίσια του προπτυχιακού μαθήματος Χρονικές σειρές Τμήμα μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα 1 Μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Τυχαία μεταβλητή είναι

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 3 η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Θεωρία Συνόλων, Συναρτήσεις Πραγματικής Μεταβλητής, Όριο και Συνέχεια Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις

Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις Μ. Παπαδημητράκης . Για καθεμία από τις ανισότητες ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ + >, +, + > +3 3+, ( )( 3) ( ) 0 γράψτε ως διάστημα ή ως ένωση διαστημάτων το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 1: Μέτρα Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης

Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης Μάθημα 7 ο Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης 2016-2017 Μια Ενοποιητική Προσέγγιση στην ΥΝ Η Θεωρία Πλεγμάτων στην ΥΝ. Υπολογιστικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ακολουθίες πραγματικών αριθμών Όταν διαδοχικές τιµές που παίρνει µία μεταβλητή προσεγγίζουν απεριόριστα µία συγκεκριµένη τιµή έτσι ώστε τελικά να διαφέρουν από αυτήν λιγότερο από όσο επιθυµεί

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0}

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 6Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΚΛΕΙΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΚΑΙ ΚΛΕΙΣΤΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΧΩΡΟΙ HAUSDORFF ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Κλειστα συνολα Εχοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη διακριτή πιθανότητα

Εισαγωγή στη διακριτή πιθανότητα Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στη διακριτή πιθανότητα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Ross 1976, Grinstead and Snell 2012 και Hoel, Port, and Stone 1971. 11.1 Πειράματα 11.1.1 Ρίψη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Τώρα θα μας απασχολήσουν τρία ερωτήματα σε σχέση με την κατά σημείο σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων. Και για τα τρία ερωτήματα θα υποθέσουμε ότι f f στο

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών N = {1, 2,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Διαγωνισμάτος 1 Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές

Λύσεις Διαγωνισμάτος 1 Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegea.gr Λύσεις Διαγωνισμάτος Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές Άσκηση. Έστω ακολουθία (a ), για την οποία ισχύει ότι Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» Εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2) Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 6 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ή δειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοωήsτου δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα