41 ГОДИНА ГРАЂЕВИНСКОГ ФАКУЛТЕТА СУБОТИЦА
|
|
- Ζένια Σεμέλη Ιωαννίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ПРИЛОГ САВРЕМЕНОM СРПСКОМ НЕИМАРСТВУ Део 2: Милутин Миланковић и његов небески торањ Мирко Д. Петковић 1 УДК: 62:929Milanković Milutin DOI: /konferencijaGFS Резиме: "Зашто се званично скоро нигде у свету не помињу имена и доприноси Срба историји светског градитељства? Да ли зато што осим епских прича и спорадичних случајева таквих доприноса заправо и нема или зато што је недостатак традиције у богатству и владању над другима онемогућио Србе да пређу пут од турских дунђера до савремених демијурга и тако остану забележени у историји светског градитељства? Другим речима, да буду и његови креатори, а не само мање приметни следбеници, вешти импровизатори или прости извршиоци туђих замисли и идеја. Без обзира каква да је истина презентирани рад кроз причу о инж. Милутину Миланковићу и његовом торњу даје допринос сагледавању и памћењу њене лепше стране испуњене том потребном креативношћу - без које се не рађа љубав према градитељској струци и науци нити подстичу опредељења младих за њу. Кључне речи: Миланковић, торањ модерне технике, једначине, Вавилон, детаљи 1. УВОД У однегованој и сачуваној тежњи за непоновљивошћу и покушајима да у борби са владајућом просечношћу једне мале, културно незреле и бирократизоване средине избегне судбину великих људи и истинских родољуба, Милутин Миланковић је оденуо у научни ореол једну загонетку и њену одгонетку која је од памтивека голицала људску машту. Користећи се при томе математиком, као својом омиљеном играчком, али и врло моћном инжењерском алатком из Техничке велике школе у Бечу, без које нема нити може бити ни једне праве науке или струке 2, успео је да срочи и са мало стручних зачкољица да исприча једну прелепу, а у бити дирљиву причу о себи, коју је он целог живота носио са собом и која је у древним временима и његовим дечачким данима припадала само боговима. Та прича почиње са старозаветном варијантом древних сведочанстава о Вавилонском торњу, као симболом људске тежње ка небеским висинама, преко витких конструкција средњовековних готских катедрала, Eiffel-овог торња и америчких 1 KECO Invest Engineering GmbH i KG Int. Exp. Group, mirkopetkovic7@gmail.com, тел: У основи се ради о ставу Имануела Канта да у свакој засебној науци има толико праве науке колико је у њој заступљена математика или, како је то оштроумно приметио Карл Маркс, писац "Капитала" и даровити математичар, да је свака наука онолико вредна колико се може описати математиком. 823
2 41 th ANNIVERSARY FACULTY OF CIVIL ENGINEERING SUBOTICA International conference Contemporary achievements in civil engineering 24. April Subotica, SERBIA облакодера, да би се завршила његовим "Торњем модерне технике", како га је назвао приликом свог излагања у Српској академији наука, сазданог од бетона који парајући небеса и као паукова нит одлазећи далеко у Космос даје одговор на питање "До које највеће висине и којим савременим средствима бисмо се могли попети увис грађевином која би надмашила све досадашње?". У овом раду ми ћемо ту исту причу, која је са зигуратима и њиховим магима још у време Утнапиштима 3 поникла у плодним равницама древних Сумера и Акађана, а потом Асираца и Вавилонаца, сличним језиком да препричамо, са критички нешто ширим освртом, мало више генерализовања проблема и изведених једначина, као и неопходним исправкама - уз дубоко поштовање и дивљење према њеном творцу. И поред више него полувековне старости она ни данас ништа није изгубила од своје научне и стручне актуелности. Чак напротив, после градње више савремених облакодера у Азији и Европи висина до 1000м, и разматрања могућих решења до 4000м, а у Србији презентације пројекта "Београд на води", са импровизацијом решења већ изграђених Twist-торњева 4 још више је добила на својој актуелности, Део те приче је презентиран на одржаној Конференцији поводом 40-годишњице Грађ. факултета у Суботици, док је Вавилонски торањ приказан на симпозијуму о Грађевинском наслеђу Милутина Миланковића одржаном на Грађевинском факултету у Београду - без ауторовог пристанка објављивања. Иако се у раду помиње торањ инж. Ђ. Лазаревића, још једног даровитог српског академика, насталој давне год. у нацистичком логору Остенбрик, рад у суштини представља део приче о једном мултидисциплинарном инжењеру широког образовања и породичне традиције - не само у родољубљу већ и у науци, али истовремено и практично врло ефикасном инжењеру са изграђеним и непромењеним хармоничним и реформаторским приступом према било ком проблему са којим се сусреће или питању којим се бави. Свеједно да ли са неспорним књижевним даром и по мало мешовитим језиком описује неустрашивог Расијана тј., Србина Ђорђа Колшицког током турске опсаде Беча, касније захваљујући томе и првог бечког кафеџију, решава проблем трисекције угла-свој први научни рад, даје идеје и савете млађем и мање искусном Карлу Терцагију, касније оснивачем нове науке - механике тла, решава математичке једначине преноса топлоте током Првог светског рата 5, предлаже реформу календара, уводи нове геофизичке поставке, користи векторску анализу, надзорише радове, предаје Теорију релативитета, врши експертизе и даје решења "из рукава" или у Другом светском рату мирно и без халабуке одбија да потпише апел српском народу. Иначе, знатно шира проблематика прорачуна и изградње најразноврснијих савремених конструкција је обрађена у оквиру још необјављених студија аутора о савременом српском градитељству и неимарству. Посвећене су сећању на управо 3 У новијој вавилонској варијанти Касисатра. Представља акадски превод имена сумерског Зиусудре из старог вавилонског царства. Асирско му је име Атрахасис, хеленско Ксисутрос, а старозаветно Ноје. 4 По истом принципу по коме се данас гради инфраструктура и преливају средства неразвијених земаља 5 Као интернирац у Мађарској академији наука и универзитетском астрономском институту где се обрео после кућног притвора у Даљу, концентрационог логора Нежидер и интервенције европских научника и политичара тј., његовог професора математике Czuber-a, иначе дворског саветника и таста члана царске породице, потом барона Еötvös-а, утицајног мађарског научника и магната и коначно грофа Tisza-е, министра-председника Угарске. 824
3 тог истог Милутина Миланковића, аутора "Вавилонског торња модерне технике " смелог и плодоносног инжењера, механичара и великог родољуба, једног од оних идеолошки не прихваћених стваралаца у Србији коме се у делу света са традицијом у струци и науци, као и култури уопште 6, никада нису оспоравали његови хумани квалитети и доприноси грађевинској пракси и светској науци. Иако је целог живота креативно стварао његов долазак и рад у Србији је обележен неприхватањем и неразумевањем, чиме је прекинута блистава каријера једног од најбољих грађевинских инжењера Аутроугарске монархије и првог доктора техничких наука међу Србима ПОСТАВКА И ОПШТЕ РЕШЕЊЕ МИЛАНКОВИЋЕВОГ ТОРЊА 6 У времену новог поретка иницираним проналаском чипа и последичном појавом врло даровитих људи, али у исти мах и времену системске контроле информација, легализације лоповлука и њему у циљ величања медиокритета и ниских вредности, уз ниподаштавање класе, традиције и свега што му на пут стоји, не баш случајно се заборавља и не наглашава оно чиме се развијене средине и зреле нације диче, а то је да се ради о комплетно даровитој, културно високо образованој и родољубивој спахијској, а не сељачкој породици из Славоније, као дела тадашње Аустро-Угарске монархије, као и то да је поред свих недаћа родослов те породице украшен са више факултетски образованих људи, а већ у првој половини 19. века и једним философом Урошом Миланковићем. Не баш случајно се ретко помиње да је Милутинов најмлађи брат Богдан Миланковић не само био доктор романистике и професор француског језика, већ као врхунски музичар, пијаниста и рукотворац гудачких инструмената члан Српске академије наука, а после 2. светског рата и члан Академије наука и уметности Босне и Херцеговине. Дакле, слично као и Миланковић који није био само добар инжењер, доктор техничких наука и професор примењене математике, већ као врхунски механичар и математичар члан Српске краљевске академије и члан Југословенске академије наука и уметности. 7 У контексту тога не чини се необичном одлука Грађевинског тј., тадашњег Техничког факултета у Београду којом је, по речима академика Јулија Хахамовића, његовог блиског сарадника и пријатеља, не по први пут у историји те институције онемогућено да прави човек дође на право место и у право време тј., да међу своје чланове не прими Милутина Миланковића као бољег, даровитијег и по практичним резултатима у струци далеко успешнијег инжењера од буквално свих чланова тог факултета. Или, како Јулије Хахамовић одмерено наводи "струке у којој је као млад човек постигао далеко више од свих својих колега тадашњих генерација", што чини и сам Миланковић у својим "Успоменама" говорећи "Из онога што сам о својој инжењерској пракси у Бечу саопштио види се да сам својим стручним знањем и практичним искуством стајао далеко изнад свих који се у нашој држави бавише том граном грађевинске делатности као почетници". У таквим околностима разумљиво је његово одбијање понуђене катедре на Грађевинском факултету, "као и сваке везе са том целином", па делом и срамна одлука послератног Суда части београдског универзитета о њему 8 године пре његове смрти и пре добијању Златне докторске дипломе у Бечу. Зато уопште није чудно што се за разлику од развијеног света "Миланковић код нас није прославио" нити је "досад оставио дубљи траг у нашем научном стваралаштву" - како уздржано и кабинетски наводи академик Татомир Анђелић пишући о животу и делу Милутина Миланковића и не наводећи ни једну чињеницу која би указала на одговорност и кривицу паланачке средине и владајућег система вредности у њој. У том окружењу шта је друго преостало таквом горостасу после доласка из света и понижења која је доживео на Техничком факултету него да расипа свој дар бавећи се и предавајући о свему и свачему, а потом вине у небеса и формира небеску механику. Успут и да презентира теорију небеског торња тек да се не заборави да је у основи изнад свега био врсни грађевински инжењер. На тај начин Србија је изгубила далеко најбољег грађевинског инжењера који је био кадар читаву грађевинску науку да реформише и по чијим би се приручницима и данас радило, а свет је као повратника у својим редовима добио небеског механичара. У тој нашој идеолошки не улепшаваној збиљи још мање је чудна чињеница да је Милутин Миланковић сахрањен у Београду ван алеје великана, да би потом његово тело било ископано и враћено у Хрватску у скромну гробницу његовог родног Даља где и данас почива. 825
4 41 th ANNIVERSARY FACULTY OF CIVIL ENGINEERING SUBOTICA International conference Contemporary achievements in civil engineering 24. April Subotica, SERBIA У својим разматрањима са ситним зачкољицама Милутин Миланковић полази од вертикалног ротационог тела оптерећеног сопственом тежином у коме се у свим његовим хоризонталним пресецима df(x) јављају дозвољена напрезања тј., где је: σ(x) = dg(x)/df(x) = σ p,dop = const 8 (1) Како је тежина одговарајућег елементарног пресека висине dx, dg(x) = F(x)dxρ, где је ρ густина односно специфична тежина материјала, то се сменом вредности (2) у једначину (1) добија диференцијална једначина а њеним интеграљењем, уз услов F(x=0) = F 0, df(x)/f(x) = ρ/σ p,dopdx, (2) F(x) = F 0 e x/λ, (3) при чему је уведена ознака λ = σ p.dop /ρ, коју Миланковић назива статичким параметром конструкције и која има димензију дужине. Она представља ништа друго до висину вертикалне призме оптерећене у својој основици дозвољеним напрезањем. Пошто важи једначина (3), дата у односу на врх ротационог тела онда важи и слична једначина, у односу на његову основу на одговарајућем растојању, F(x) = F u e -x/λ. (4) где F u означава доњи меридијански пресек посматраног тела. На тај начин се умногоме олакшавају прорачуни везани за произвољне делове - сегменте тела тј., примена принципа линеарне суперпозиције, а тиме и долажења до одговарајућих закључака 9. Тако например, користећи се једначином (4) може се доказати [2] да би запремина тела, мерена од основе F u па до пресека F 0 била: V = λ(f u F 0). (5) Потпуно исти принцип важи и за прорачун одговарајућег механичког рада. Наиме, путем посматрања рада потребног за подизање елементарног делића тела на 8 Иако се не помиње у радовима, насталим махом на описивању, а не и на анализи Миланковићевих дела, и на први поглед изгледа чудно, заправо ради се о истом математичком приступу проблему као у духовитој студији капи течности која виси о равној плочи, а која је садржана у његовом раду "О мембранама једнаког отпора" објављеним у "Раду Југословенске академије знаности и уметности". Сама студија је уско повезана са његовим пројектом водоторња у Осијеку у облику ротационог тела висине 45м при чему је примењено решење са искоришћењем дозвољене чврстоће бетона у свим тачкама тела резервоара и куполе решење са којим је уско повезано раније решење "резервоара једнаке чврстоће" проф. Форхајмера из Граца. Сличан прилаз Миланковић је имао и код решавања проблема опораца мостова из 1910., које се такође не анализира са аспекта порекла идеје, где поставља услов да се у свим хоризонталним пресецима опораца јављају једнака напрезања. 9 Тај исти принцип линеарне суперпозиције аутор овог рада je касније искористио код олакшања торња усвајањем претпоставке да се обавијањем торња путем ротационих тела код којих важе једначине (3) и (4) не мања напонско стање у полазном нити било ком тако насталом новом торњу. 826
5 висину x и интеграљења у границама (0, + ), добија се А = ρf u λ 2. Пошто ρf u λ представља укупну тежину тела то је укупни механички рад заправо онај рад који је неопходан за подизање комплетног тела на висину једнаку статичком параметру конструкције. У складу са тим, а слично претходном за подизање запремине произвољног дела - сегмента тела између основе тела F u и било ког његовог пресека, па тиме и пресека F 0, потребан механички рад биће A= ρ(f u - F 0) λ 2 односно, A= ρv λ (6) Сменом површина попречних пресека вертикалног шупљег тела променљиве дебљине у једначину (3) и њеним решавањем добија се једначина: y = [(y 02 -r 2 )e x/λ +r 2 ] 1/2. (7) која за случај тела са отвором по целој висини у облику цилиндра прелази у: y = (y 0 2 -r 2 ) 1/2 e x/(2λ) (8) што представља математичку зависност величине основе торња и његове висине 10. Свакако да зависност (8) има својих практичних, али такође и теоретских граница. Усвајајући за практичну границу ону вредност односа висине куле и њене основе до које торањ више расте него што се шири односно, до које је прираст по висини већи од прираста по ширини добија се (Слика 2. [2]): чему одговара: x = 2λln[2λ/(y 0 2 -r 2 ) 1/2 ] = x prakt(=h prakt) (9) y = 2λ = const = y prakt (=R t,prakt) (10) Занемарујући локалну промену идеализованог облика земљине површине на месту локације торња може се одредити и максимална могућа висина торња тј., она граница од које меридијански пресек тј., спољни омотач торња престаје да има контакт са Земљом. Обзиром да је на том месту дужина нормале меридијанског пресека y-криве једнака радијусу кривине Земљиног меридијана (Слика 3. [2] ) то се преуређењем израза и одговарајућим једнокорачним занемаривањем добија y = [2λ(R z-λ)] 1/2 = const = y max(=r t,max) (11) при чему је одговарајућа ширина тј., радијус таквог торња за одговарајући положај и одабрани материјал константна величина: 10 У односу на оригиналне Миланковићеве белешке и његов касније презентирани рад у Српској академији наука овај рад је проширен општим и посебним изразима, анализама и резултујућим закључцима који се односе на промену димензија, врсте и марке бетона, као и самог материјала, конструкције и локације торња, начина фундирања и др. Иначе, сви овде презентирани резултати, који се односе на Миланковићеву локацију конкретног торња и карактеристике бетона, са потребном исправком дубине контактне спојнице на месту осе ротације тела и очигледних омашки приликом писања су истоветни онима које је Миланковић прорачунао. 827
6 41 th ANNIVERSARY FACULTY OF CIVIL ENGINEERING SUBOTICA International conference Contemporary achievements in civil engineering 24. April Subotica, SERBIA x = λln[2λ(r z-λ)/(y o2 -r 2 )] = x max(=h max) (12) што представља максималну висину торња за одговарајући положај и одабрани материјал мерену од контактне спојнице периферног омотача до врха торња. Узимајући у обзир локалну закривљеност Земље то је максимално могућа висина предметног торња по оси ротације мања за ΔH = R z [1-cos(arcsin(y/R z)]. 3. КРАТКА АНАЛИЗА И КОМЕНТАР 11 МИЛАНКОВИЋЕВА РЕШЕЊА. Са напред изведеним једначинама (5)-(12) могу се добити сви посебни изрази и вредности који фигуришу у Миланковићевој раду, а истовремено извршити и додатна проширења. Тако например, користећи се Миланковићевим вредностима δ 0=0.25м, за дебљину зида на врху торња, r=10м, за унутрашњи радијус торња, ρ=2200кг/м 3 и σ p.dop=22мpa, за густину и дозвољена напрезања бетона као основног материјала торња, једначина (8) прелази у y = 2.25e x што у потпуности одговара Миланковићевој једначини Вавилонског торња [1]. Сменом усвојених параметара у једначине (9) и (10) добијају се вредности практичних граница висине и полупречника основе торња, x = м, y = 2.000м = const, респективно, које такође одговарају Миланковићевим резултатима, при чему се локална закривљеност Земље може занемарити. И коначно, сменом истих вредности у једначине (12) и (11), при томе користећи се вредношћу радијуса кривине Земљиног меридијана R z=6367km на географској ширини од 45 0, који је за 1.000м мањи од средњег радијуса Земље R z=6368км, добијају се максимално могуће границе висине и полупречника основе торња, x = м, y = м = const, које поново одговарају Миланковићевим резултатима. Како се ради о огромној ширини основе торња то је максимално могућа висина по оси ротације мања за ΔH = 1000m и износи 20646м 5). Као такав, а у односу на торањ инж. Ђ.Лазаревића висине 1700м и радијуса основе 150м, који се ослања на 32 шупља цилиндрична стуба пречника 15м са дебљином зидова од 5м, Миланковићев је, у зависности од усвојених димензија у врху, за исту висину и дебљину зида са 2 до преко 10 пута мањом основом. Одговарајући дијаграми и графичка упоређења решења тих и других могућих торњева су дати на Слици 6. и Слици 7. у раду [2]. 11 Више о идеји Миланковићевог торња сада и некада, о могуће примењеним материјалима, о идејама данас присутним, о торњу инж. Ђ. Лазаревића и др. сличним конструкцијама у ауторовом раду [2]. 5) У прорачунима Миланковића, као и свим радовима на ту тему уместо 1000м узвишење износи 1400м. 828
7 ДАНАШЊА РЕШЕЊА. Изузимајући малени и практично занемарљиви део који би био саграђен од класичног бетона торањ би до одређених висина, онако како га је Миланковић замислио, практично био саграђен од RC-бетона чија идеја и "Еarhfill" поступак градње заправо и потичу из Међуречја где је и никао Вавилонски торањ, заједно са око 30 мањих и сличних зигурата. Како у образложењу свог избора материјала Миланковић наводи куполу Пантеона "сачињену од неке врсте бетона у којој је наш садашњи цемент замењен природном пуцоланском земљом" није на одмет споменути да је управо и на том Пантеону употребљена техника и материјал RC-бетона. Дакле, кад би се искористила Миланковићева поставка на данашње параметре и технику градње, а при томе коришћени материјал био као за носеће стубове куле "Еволуција" и могуће класе RC-бетона може се прорачунати [2] да би торањ постигао димензије x = м, y = 3.000м = const, при чему би на истој географској ширини била надмашена и максимална теоретска граница коју је Миланковић одредио. Такође "тесањем" и олакшањем торња уз задржање полазне поставке о искоришћењу дозвољених напрезања у свакој тачки торња тј., уз услов да се "бушењем" торња путем експоненцијалних ротационих сврдала не мања напонско стање у полазном нити било ком тако насталом новом телу, торањ би и у том случају уз адекватно фундирање достигао ту већу висину. У том случају, без обзира на зачкољице његова изградња је теоретски лакша него у случају Миланковићевог примера, а проблем силе теже, понашања материјала, природног светла, комуникација, садржина н др. је премостив. Одговарајући дијаграми и графичка решења су дати на Слици 8. и Слици 9. у раду [2]. АНТИЧКА РЕШЕЊА. Примењујући сличне процене носивости тла који су користили и инжењери древни градитељи египатских пирамида, не користећи се при томе специјалним мерама темељења објекта нити подвргавајући критици Terzaghi-еву и њој сличне теоретске поставке механике тла, торањ онако како га је Миланковић замислио, могао би да достигне скромну практичну и максималну граничну висину од око 50м, са радијусом основе од око 10м. [2] Уколико би се пак променио материјал и торањ саградио од истог оног материјала од кога је био саграђен древни Вавилонски торањ (глинени блокови са битуменом као везивом) он би достигао значајније већу практичну и максималну граничну висину од преко 70м са радијусом основе поново од око 10м. [2] И коначно, идејно сличан торањ, сачињен од армираног бетона без коришћења савремених материјала, а са површином основе једнакој процењеној површини древног Вавилонског торња може постићи висину нешто већу од 2.000м [2] која је нешто већа од оне коју показују неке данашње врло софистициране анализе. 829
8 41 th ANNIVERSARY FACULTY OF CIVIL ENGINEERING SUBOTICA International conference Contemporary achievements in civil engineering 24. April Subotica, SERBIA При томе, у оба случаја, као што највеће позитивно изненађење може причинити земљина тежа, то исто у негативном смислу речи може учинити организација градње која и под претпоставком испуњења свих других услова може прекинути или трајно онемогућити завршетак његове градње. Укратко, инциденти током градње као последица пропуста у координацији и комуникацији свих учесника, а који су били присутни без изузетака приликом градње скоро свих савремених облакодера. Вршећи као позвани експерт обилазак градилишта највећих торњева у Европи аутор је био сведок инцидентних ситуација насталих из баналних разлога који остају неприметни у мору различитих информација које код таквих грађевина свакодневно треба контролисати. С друге стране и поред савремених помагала ауторово искуство говори да у теорији и пракси организације и контроле градње постоје далеко веће диспропорције него у конструктерским и другим решењима. Стога, колико да на први поглед то чудно звучи, без обзира на могући слом у самој грађевини и у тлу, ти исти разлози комуникације и међусобног разумевања су у суштини и онемогућили завршетак древног Вавилонског торња. 3. УМЕСТО ЗАКЉУЧКА Колико да на први поглед Миланковићев рад изгледа наиван и само литерално леп, он ипак представља дубоко софистицирано и инспиративно дело са апсолутно научно и стручно исправном поставком на којој би му многи антички инжењери, па и сâм Архимед одали признање. Врсни академик Данило Блануша је у свом предговору књиге о Теорији релативитета својевремено написао да само прави мајстори, који познају најсуптилније потанкости неког подручја могу своје знање популарно описати и на тај начин приближи га неупућеном читаоцу. То мишљење има своју вредност поготову данас када врхунска наука све више карактеристике магије поприма. На примеру овог рада види се да је то време магије још за живота мудрог инжењера Миланковића било дошло, а ми га тек сада препознајемо. ЛИТЕРАТУРА [1] МИЛАНКОВИЋ, М., Вавилонски торањ модерне технике, Глас CCXX, ОТН САН, књ. 3, Београд 1956 (Приказано на скупу ОТН од 8 XII 1955 [2] ПЕТКОВИЋ, М. Д., Вавилонски торањ модерне технике, Презентација на симпозијуму "Грађевинско наслеђе Милутина Миланковића", одржаног на Грађ. факултету у Београду, (без права објављивања 830
9 CONTRIBUTION OF SERBS IN MODERN BUILDING PRACTICE Part 2: Milutin Milanković 's concrete tower Summary: Why are officially almost anywhere in the world, do not mention the names of Serbian builders and their contribution to the world of construction? Is it because, besides the epic stories and sporadic cases, the lack of a tradition in wealth and authority disables the Serbs to cross the path from the ancient wageworkers and medieval bricklayer to the modern demiurge and so to be registered in the world of construction? In other words, to be its creators, not just less noticeable followers, skilled improvisers or simply executors. No matter what the truth is the presented paper through the Milutin Milankovic's tower contributes to the perception and memory of its bright side filled with the necessary creativity without which there is no love and commitment to the building profession and sciencе. Keywords: Milutin Milanković's tower, concrete,equations, tower of Babilon, details 831
1.2. Сличност троуглова
математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)
налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm
1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:
г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве
в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу
КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.
КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг
6.2. Симетрала дужи. Примена
6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права
2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА
. колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност
10.3. Запремина праве купе
0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка
Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.
VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне
СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ
СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни
7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ
7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,
Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске
Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки
Теорија електричних кола
др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,
7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде
математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ
предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА
Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем
РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА
РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА 006. Задатак. Одредити вредност израза: а) : за, и 69 0, ; б) 9 а) Како је за 0 и 0 дати израз идентички једнак изразу,, : : то је за дате вредности,
ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце
РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез
Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.
Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2. За плочу
Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:
Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине
2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом
. Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ
b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:
Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног
Количина топлоте и топлотна равнотежа
Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО
6.5 Површина круга и његових делова
7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност
5.2. Имплицитни облик линеарне функције
математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.
Анализа Петријевих мрежа
Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,
ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА
ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a
Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10
Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење
Предмет: Задатак 4: Слика 1.0
Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +
Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:
Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом
Примена првог извода функције
Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),
ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ
ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни
Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)
ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда
ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.
TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА
TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични
1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1
1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно
Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1
За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика
Теорија електричних кола
Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,
4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова
4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид
3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни
ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,
РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45
ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ
Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.
СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању
2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ
2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање
8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2
8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству 22. април Суботица, СРБИЈА
4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА ОСВРТ НА ПРОРАЧУН ТЕМЕЉА ТОРЊЕВА ДЕО 1 1 Мирко Д. Петковић 2 УДК: 624.151 DOI:10.14415/konferencijaGFS 2016.062 Резиме: Као што је инж. М. Миланковић пре скоро једног века знао
I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( )
Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P
6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c
6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно
Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала
Теоријски део: Вежба број ТЕРМИЈСКА AНАЛИЗА. Термијска анализа је поступак који је 903.год. увео G. Tamman за добијање криве хлађења(загревања). Овај поступак заснива се на принципу промене топлотног садржаја
Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011
Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна
ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 2 (13Е013ЕП2) октобар 2016.
ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ (3Е03ЕП) октобар 06.. Батерија напона B = 00 пуни се преко трофазног полууправљивог мосног исправљача, који је повезан на мрежу 3x380, 50 Hz преко трансформатора у спрези y, са преносним
ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ
ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева
ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2/13 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним
КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ. Формуле: 1. Написати комплексне бројеве у тригонометријском облику. II. z i. II. z
КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ z ib, Re( z), b Im( z), z ib b b z r b,( ) : cos,si, tg z r(cos i si ) r r k k z r (cos i si ), z r (cos i si ) z r (cos i si ), z r (cos i si ) z z r r (cos( ) i si( )), z z r (cos(
Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.
Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. = 0.2 dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2.
АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2
АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла
Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика
Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 1 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО
МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2016/17. бр. LI-4
МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 06/7. бр. LI-4 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред. а) 50 4 = 00; б) 0 5 = 650; в) 0 6 = 6; г) 4 = 94; д) 60 : = 0; ђ) 0 : = 40; е) 648 :
Осцилације система са једним степеном слободе кретања
03-ec-18 Осцилације система са једним степеном слободе кретања Опруга Принудна сила F(t) Вискозни пригушивач ( дампер ) 1 Принудна (пертурбациона) сила опруга Реституциона сила (сила еластичног отпора)
Могућности и планови ЕПС на пољу напонско реактивне подршке. Излагач: Милан Ђорђевић, мастер.ел.тех.и рачунар. ЈП ЕПС Производња енергије
Могућности и планови ЕПС на пољу напонско реактивне подршке Излагач: Милан Ђорђевић, мастер.ел.тех.и рачунар. ЈП ЕПС Производња енергије 1 Обавезе ЈП ЕПС као КПС... ЗАКОН О ЕНЕРГЕТИЦИ ЧЛАН 94. Енергетски
8.2 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 2 Задатак вежбе: Израчунавање фактора појачања мотора напонским управљањем у отвореној повратној спрези
Регулциј електромоторних погон 8 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА Здтк вежбе: Изрчунвње фктор појчњ мотор нпонским упрвљњем у отвореној повртној спрези Увод Преносн функциј мотор којим се нпонски упрвљ Кд се з нулте
6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре
0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских
4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима
50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?
Семинарски рад из линеарне алгебре
Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити
Једна од централних идеја рачунарства Метода која решавање проблема своди на решавање проблема мање димензије
Рекурзија Једна од централних идеја рачунарства Метода која решавање проблема своди на решавање проблема мање димензије Рекурзивна функција (неформално) је функција која у својој дефиницији има позив те
(од 4. до 155. стране) (од 4. до 73. стране) ДРУГИ, ТРЕЋИ И ЧЕТВРТИ РАЗРЕД - Европа и свет у другој половини 19. и почетком 20.
Драгољуб М. Кочић, Историја за први разред средњих стручних школа, Завод за уџбенике Београд, 2007. година * Напомена: Ученици треба да се припремају за из уџбеника обајвљених од 2007 (треће, прерађено
ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).
СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која
Закони термодинамике
Закони термодинамике Први закон термодинамике Први закон термодинамике каже да додавање енергије систему може бити утрошено на: Вршење рада Повећање унутрашње енергије Први закон термодинамике је заправо
Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.
Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
Слика бр.1 Површина лежишта
. Конвенционалне методе процене.. Параметри за процену рудних резерви... Површина лежишта Површине лежишта ограничавају се спајањем тачака у којима је истражним радом утврђен контакт руде са јаловином.
Енергетски трансформатори рачунске вежбе
16. Трофазни трансформатор снаге S n = 400 kva има временску константу загревања T = 4 h, средњи пораст температуре после једночасовног рада са номиналним оптерећењем Â " =14 и максимални степен искоришћења
Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г.
Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 00/ г Универзитет у Бањој Луци Електротехнички факултет Др Момир Ћелић Др Зоран Митровић Иван-Вања Бороја Садржај Квалификациони испит одржан 9 јуна
ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА
ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег
ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ
Универзитет у Крагујевцу Машински факултет Краљево ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Краљево, март 011. године 1 Публикација Збирка решених задатака за пријемни испит из математике
РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 2004
РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 004 ТРАНСФОРМАТОРИ Tрофазни енергетски трансформатор 100 VA има напон и реактансу кратког споја u 4% и x % респективно При номиналном оптерећењу
I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате
ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2015.
ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ
Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање. 1. вежба
Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање ОРГАНИЗАЦИЈА ПАРКИРАЛИШТА 1. вежба Место за паркирање (паркинг место) Део простора намењен, технички опремљен и уређен за паркирање једног
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО
МАШИНЕ НЕПРЕКИДНОГ ТРАНСПОРТА. ttl. тракасти транспортери, капацитет - учинак, главни отпори кретања. Машине непрекидног транспорта. предавање 2.
МАШИНЕ НЕПРЕКИДНОГ ТРАНСПОРТА предавање.3 тракасти транспортери, капацитет учинак, главни отпори кретања Капацитет Капацитет представља полазни параметар при прорачуну транспортера задаје се пројектним
Решења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака
Решења задатака са првог колоквиjума из Математике Б II група задатака Пре самих решења, само да напоменем да су решења детаљно исписана у нади да ће помоћи студентима у даљоj припреми испита, као и да
ДОЊА И ГОРЊА ГРАНИЦА ОПТЕРЕЋЕЊА ПРАВОУГАОНИХ И КРУЖНИХ ПЛОЧА
ДОЊА И ГОРЊА ГРАНИЦА ОПТЕРЕЋЕЊА ПРАВОУГАОНИХ И КРУЖНИХ ПЛОЧА Саша Ковачевић 1 УДК: 64.04 DOI:10.14415/zbornikGFS6.06 Резиме: Тема рада се односи на одређивање граничног оптерећења правоугаоних и кружних
Упутство за избор домаћих задатака
Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета
ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003.
Природно-математички факултет 7 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун 00.. Одредити све вредности параметра m за које су оба решења једначине x x + m( m 4) = 0 (a) реална; (b) реална и позитивна. Решење: (а) [ 5, + (б) [
ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ I група
ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ 21.11.2009. I група Име и презиме студента: Број индекса: Термин у ком студент ради вежбе: Напомена: Бира се и одговара ИСКЉУЧИВО на шест питања заокруживањем
4.4. Тежиште и ортоцентар троугла
50. 1) Нацртај правоугли троугао и конструиши његову уписану кружницу. ) Конструиши једнакокраки троугао чија је основица = 6 m и крак = 9 m, а затим конструиши уписану и описану кружницу. Да ли се уочава
Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља
Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/
Писмени испит из Метода коначних елемената
Београд,.0.07.. За приказани билинеарни коначни елемент (Q8) одредити вектор чворног оптерећења услед задатог линијског оптерећења p. Користити природни координатни систем (ξ,η).. На слици је приказан