Determinarea caracteristicilor termice ale polimerilor
|
|
- Τιτάνια Παπανικολάου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Determinarea caracteristicilor termice ale polimerilor Noţiunea de fază Aşa cum se ştie din chimia fizică, o fază reprezintă o parte omogenă a unui sistem, separată de alte faze prin interfaţă şi diferind de acestea prin proprietăţi. Cele 3 tipuri de faze sunt: cristalină, lichidă (amorfă) şi gazoasă. Faza cristalină implică existenţa unor reţele cristaline, structura fiind caracterizată prin ordine atât la mică cât şi la mare distanţă, nodurile reţelei putând avea doar mişcări de vibraţie în jurul unor poziţii de echilibru. Faza lichidă (amorfă) se caracterizează prin lipsa reţelei cristaline. Moleculele sau atomii, fiind apropiaţi, nu se pot aşeza la întâmplare, fiind vorba de o aşezare cvasi-ordonată la mică distanţă. Această stare se regăseşte la lichidele subrăcite: sticla, ceara, smoala, pentru care nu există structuri cristaline. Întrucât sticla este un corp amorf, se mai spune despre corpurile amorfe că sunt sticloase. Polimerii sunt, în majoritatea cazurilor, în fază amorfă. În cazul polimerilor, faza amorfă este împărţită în 3 substări: sticloasă, înalt-elastică şi fluid-viscoasă. Faza gazoasă se caracterizează printr-o densitate foarte mică, distanţele dintre molecule fiind mult superioare dimensiunilor moleculelor. În aceste condiţii sunt posibile mişcări libere de translaţie, rotaţie, vibraţie, mişcări ce determină lipsa oricărei ordini de aranjare a moleculelor. În cazul polimerilor este imposibilă existenţa lor în fază gazoasă datorită forţelor mari de coeziune existente între macromolecule. Tranziţii de fază Trecerea de la o fază la alta se numeşte tranziţie de fază. Aceasta implică o schimbare în modul de aranjare a particulelor ce alcătuiesc faza şi o modificare a proprietăţilor termodinamice ale substanţei. Tranziţiile de ordin I au loc la o temperatura strict determinată şi o serie de proprietăţi (de ex. energia internă, volumul specific) variază discontinuu, cu salt, în momentul atingerii acestei temperaturi. Exemple de astfel de tranziţii: topirea corpurilor cristaline, vaporizarea, sublimarea (ultimele două neaplicabile polimerilor). Tranziţiile de ordinul II nu au loc la temperaturi strict determinate, ci pe un interval de temperatură. Astfel, un corp amorf (sticla, smoala) suferă un proces de înmuiere într-un interval relativ larg. Tranziţiile de fază la polimeri sunt, în general, tranziţii de ordinul II. Fază cristalină şi fază amorfă la polimeri Polimerii sunt alcătuiţi dintr-o multitudine de macromolecule. Uneori, aceste macromolecule sunt bine ordonate, caz în care spunem că polimerul este cristalin. În alte cazuri, macromoleculele nu respectă nicio ordine, caz în care vorbim de un polimer amorf. Dacă echivalăm o macromoleculă cu o spaghetă, atunci spaghetele din cutie sunt perfect ordonate, ansamblul lor asemănându-se cu un polimer cristalin. Aceleaşi spaghete (după ce au fost fierte) răsturnate într-o farfurie sunt complet dezordonate şi încâlcite, asemănător unui polimer amorf. Păstrând asemănarea cu spaghetele, puţine sunt cazurile în care macromoleculele se aliniază complet, precum spaghetele în cutie. Singurele care reuşesc acest lucru sunt polietilena de masă moleculară ultra înaltă (UHMWPE, având masa moleculară g/mol) şi poliamidele aromatice Kevlar şi Nomex (datorită acestui fapt, fibrele din UHMWPE şi Kevlar se folosesc la confecţionarea de veste antiglonţ). (Fig.1.a) 1
2 În cea mai mare parte din cazuri, lanţurile polimerice nu se aliniază complet, ci doar pe zone scurte din lungimea lor. În unele cazuri, după ieşirea din zona cristalină macromolecula se repliază, revenind în aranjament cu zona anterioară (cristalină) de catenă. (Fig.1.b) De obicei însă, doar o parte din catenă face parte dintr-o zonă cristalină, cealaltă parte fiind "încâlcită" cu alte macromolecule şi formând zone amorfe, sau chiar din alte zone cristaline. Uneori este posibil ca în aceeaşi zonă cristalină o macromoleculă să apară de mai multe ori (să revină), mai aproape sau mai departe, cu zone diferite din catenă. (Fig.1.c) a b c d e Fig.1. Zone cristaline în polimeri Aceste zone cristaline se pot grupa formând un plan, zona numindu-se fibrilă (Fig.1.d) În cazul în care, pornind de la un nod central, zonele cristaline se grupează având în ansablul lor forma unei sfere vorbim de sferulite (Fig.1.e). În concluzie, niciun polimer nu este complet cristalin, fiind un amestec de zone cristaline şi zone amorfe. Există însă polimeri care tind către una din extreme: foarte cristalini sau foarte amorfi (exemple în tabelul de mai jos). Polimer foarte cristalin Polipropilenă (PP) izotactică Polistiren (PS) sindiotactic Kevlar şi Nomex Politetrafluoretilenă (PTFE) Poliacrilonitril (PAN) Polimer foarte amorf Polimetacrilat de metil (PMMA) Polistiren (PS) atactic Policarbonat (PC) Polibutadienă Poliizopren Parametrii care influenţează cristalinitatea: Structura polimerului influenţează foarte mult cristalinitatea. Dacă polimerul are o structură regulată sau ordonată, polimerul cristalizează mult mai uşor. De exemplu, polistirenul (PS) sindiotactic este cristalin, polistirenul atactic este amorf. Polietilena liniară (HDPE) este foarte cristalină (aprox. 92% fracţie cristalină), polietilena ramificată (LDPE) este amorfă (fracţie cristalină aprox. 40%) Polimetacrilatul de metil (PMMA) şi policlorura de vinil (PVC) fiind polimeri atactici sunt foarte amorfi (la PVC gradul de cristalinitate de aprox 10-11%) Polimerii stereoregulaţi, precum polipropilena (PP) izotactică şi politetrafluoretilena (PTFE, Teflon) sunt foarte cristalini. Forţele intermoleculare duc la creşterea cristalinităţii. Poliamidele, în mod special nylonul 6,6 şi Kevlarul, formează legături de hidrogen ce conduc la cristalinitate ridicată. 2
3 Un alt exemplu în care legăturile de hidrogen duc la creşterea cristalinităţii sunt poliesterii. În cazul polietilentereftalatului (PET), ciclurile aromatice se aranjează de manieră ordonată, ducând la creşterea rezistenţei zonei cristaline. Influenţa cristalinităţii asupra proprietăţilor polimerilor: Cu cât un polimer este mai cristalin (conţinutul de zone cristaline este mai mare) proprietăţile fizico-mecanice sunt mai bune, dar creşte în acelaşi timp şi fragilitatea (de evitat în cazul materialelor plastice). Zonele amorfe dau polimerului o mai bună capacitate de a se deforma, fără a se sparge. Pentru obţinerea de fibre se doresc polimeri cât mai cristalini, care să asigure pe direcţia fibrelor o rezistenţă mecanică ridicată. Temperatura de tranziţie vitroasă Temperatura de tranziţie vitroasă T g corespunde trecerii unui material amorf din faza sticloasă în fază înalt-elastică. Sub T g macromoleculele sunt "îngheţate" nefiind posibilă nici măcar mişcarea segmentelor de catenă. Peste T g, deşi macromolecula în ansamblul său nu are libertate de mişcare, segmentele de catenă pot participa la mişcări conformaţionale datorate mişcării termice. Se mai poate spune că T g reprezintă temperatura la care se învinge bariera energetică a rotaţiei libere. La temperaturi mai mari de T g legăturile necovalente dintre lanţurile macromoleculare devin slabe în comparaţie cu agitaţia termică, polimerul devenind capabil să se deformeze elastic sau plastic, fără ruptură. Acest comportament este caracteristic polimerilor termoplastici (nu si polimerilor termoreactivi reticulaţi). Trebuie menţionat că odată cu schimbarea de fază (trecerea de temperatura de tranziţie vitroasă T g, sau de intervalul de cateva grade din jurul acestei valori) se modifică şi căldura specifică, coeficientul de dilatare, volumul liber, constanta dielectrică (în cazul polimerilor polari) Temperatura de tranziţie vitroasă se determină uzual prin Calorimetria diferenţială de baleiaj (DSC) sau Analiză mecanică în regim dinamic (DMA) Temperatura de tranziţie sticloasă pentru câţiva polimeri: Polimer T g ( C) Polibutadienă cis -58 Polibutadienă trans -109 Policloropren trans -40 Poliizopren cis -73 Politetrafluoretilenă -73 Polietilenă de joasă densitate (LDPE) -110 / -30 Polipropilenă (PP) atactică -20 Poliacetat de vinil (PAcV) 28 3
4 Polietilen tereftalat (PET) Policlorura de vinil (PVC) 81 Alcool polivinilic (APV) 85 Poliacrilonitril (PAN) 87 Polistiren (PS) 100 Polimetacrilat de metil (PMMA) atactic 105 Aceste valori sunt orientative, căci în realitate T g depinde de viteza de încălzire/răcire, de distribuţia maselor moleculare şi poate fi influenţată de aditivi. Se poate observa din tabel că si factorii structurali, precum tacticitatea, influenţează valoarea T g. Pentru materialele semicristaline (ex PE, care este cristalină în procent de 60-80% la temperatura ambiantă) temperatura indicată reprezintă T g pentru partea amorfă a materialului, obţinută prin răcirea polimerului. Calorimetria diferenţială de baleiaj - DSC Calorimetria diferenţială de baleiaj (DSC - Differential Scanning Calorimetry) este o tehnică pentru studiul termic al polimerilor, atunci când sunt încălziţi. DSC este utilizat în general pentru studiul tranziţiilor termice ale polimerilor (schimbările care au loc în polimer la creşterea temperaturii). Se pot astfel determina : - temperatura de tranziţie vitroasă (T g ) - temperatura de topire/cristalizare, respectiv căldurile de topire/cristalizare DSC se mai utilizează pentru determinarea căldurii de reacţie şi de aici a gradului de avansare a unei reacţii (de exemplu la reticularea polimerilor termoreactivi se poate estima evoluţia gradului de reticulare). De obicei, analizele sunt efectuate în atmosferă inertă (azot, argon) pentru a evita reacţiile ce ar putea avea loc între polimerul studiat şi atmosfera din cuptor (oxidări). Principiul metodei DSC studiază efectele termice asociate tranziţiilor de fază şi reacţiilor chimice în funcţie de temperatură. Rezultatul dat de DSC este diferenţa dintre fluxurile de căldură între eşantion şi referinţă, în funcţie de temperatură.!!! Calorimetria diferenţială de baleiaj (DSC - Differential Scanning Calorimetry) şi Analiza termică diferenţială (DTA - Differential Thermal Analysis) nu trebuie confundate. Există o diferenţă fundamentală între cele două metode: prin DSC se măsoară diferenţele de energie (căldură), în timp ce DTA măsoară diferenţele de temperatură. DTA este puţin utilizat pentru caracterizarea polimerilor, căci semnalele ce rezultă în urma schimbărilor de fază sau stării materiei sunt de amplitudine mică. Referinţa este de obicei un creuzet (capsulă) gol, de acelaşi tip cu cel în care se află proba (formă, dimensiuni, material). Există şi posibilitatea de a utiliza ca referinţă un material inert (de exemplu alumina). Ambele creuzete (cu proba şi referinţa) sunt încălzite cu aceeaşi viteză. Cum presiune este constantă în interiorul DSC, fluxul de căldură este echivalent cu variaţia entalpiei : dq dt p = dh dt [dq/dt] = mw/s sau mcal/s 4
5 Diferenţa dintre eşantion şi referinţă este dată de relaţia: Δ dh dt dh = dt proba dh dt refer int a şi poate fi pozitivă sau negativă. În procesele endotermice (ex. topirea) se absoarbe căldură, fluxul de căldură pentru probă este mai mare decât pentru referinţă, deci ΔdH/dt > 0. În procesele exoterme (cristalizarea, reacţii de reticulare, de oxidare) se degajă căldură, ΔdH/dt < 0. Calorimetrul constă într-un cuptor, în care se găsesc 2 suporţi pe care se poziţionează cele 2 creuzete (referinţa şi cel cu proba). Sub fiecare suport se găseşte o rezistenţă pentru încălzire şi un senzor de temperatură. Se aplică un curent electric pe rezistenţe, pentru încălzirea probei cu viteza (dt/dt) stabilită (uzual 10 grd/min). PC-ul ce controlează aparatul trebuie să asigure o viteză de încălzire constantă la ambele creuzete (referinţă şi probă). Datorită prezenţei polimerului, creuzetul cu proba va trebui să primească mai multă căldură pentru a avea aceeaşi creştere în temperatură precum referinţa (creuzetul gol). Această cantitate de căldură suplimentară este măsurată în timpul unui experiment DSC. Odată cu creşterea temperaturii, cantitatea de căldură suplimentară necesitată de probă diferă, în funcţie de procesele/transformările ce au loc. Cum încălzirea se face electric prin intermediul rezistenţei, aparatul măsoară de fapt diferenţa de potenţial (μv) între cele două circuite electrice de încălzire. Transformarea acestui semnal (μv) în căldură (mw) se face prin calibrare periodică. Curba finală dată de aparat are pe abscisă timp sau temperatură (dependenţa lor fiind liniară), iar pe ordonată diferenţa între căldura furnizată probei şi cea furnizată referinţei la temperatura dată. 5
6 În timpul încălzirii polimerului, de exemplu de la temperatura camerei la temperatura de descompunere, pot fi înregistrate variaţii ale diferenţei de flux de căldură sau picuri (peak) pozitive sau negative, fiecare pic fiind asociat unui proces specific (topire, cristalizare). Din această curbă pot rezulta mai multe informaţii privind polimerul. Prima şi cea mai rapidă informaţie este determinarea temperaturii la care un proces are loc, de exemplu temperatura de topire a unui polimer, sau temperatura la care o reacţie începe să aibă loc (reticulare, descompunere). Temperatura vârfului picului este asociată cu temperatura la care viteza de reacţie este maximă. Determinarea temperaturii de tranziţie vitroasă Începând de la o anumită temperatură, curba îşi va schimba rapid alura (proba va avea nevoie de ceva mai multă căldură pentru a-şi creşte temperatura cu viteza impusă). Aceasta semnifică faptul că a crescut capacitatea calorică a polimerului (polimerul tocmai a trecut de temperatura de tranziţie vitroasă). Se remarcă faptul că nu este asociată nicio entalpie cu această tranziţie (din acest motiv, această tranziţie se mai numeşte tranziţie de ordinul 2). Efectul tranziţiei vitroase a polimerului pe curba DSC (saltul) este destul de slab şi este observabil la aparatele cu o sensibilitate suficient de mare. În curba de mai jos, acest salt este reprezentat principial şi în mod voit mult mai mare decât se observă în realitate. Se poate remarca faptul că această tranziţie nu are loc instantaneu, ci pe o plajă de temperatură (câteva grade). Trasându-se liniile de bază înainte şi după tranziţia vitroasă (prin extrapolare, linie punctată), se consideră temperatură de tranziţie vitroasă T g valoarea de temperatură corespunzătoare punctului de pe curbă situat la mijlocul distanţei ditre cele două linii de bază. Cristalizarea Odată cu trecerea deasupra T g, macromoleculele capătă mai multă mobilitate. Când polimerul ajunge la o anumită temperatură, macromoleculele au suficientă energie pentru a se aşeza într-o dispoziţie ordonată formând zone cristaline (cristalite, sferulite). Odată cu trecerea (parţială) în fază cristalină, polimerul va degaja căldură (cristalizarea fiind un proces exoterm). În aceste condiţii, sistemul de încălzire a creuzetului cu polimer va furniza mai puţină căldură decât anterior, căldura degajată prin cristalizare fiind utilizată şi ea pentru creşterea constantă a temperaturii cu viteza impusă, ceea ce are drept rezultat apariţia pe grafic a unui pic exoterm. Cel mai important fapt arătat de această curbă este că polimerul poate cristaliza. Dacă se analizează un polimer 100% amorf, cum este polistirenul atactic, nu se obţine acest pic, acest polimer nu cristalizează. 6
7 Temperatura punctului cel mai scăzut al curbei este considerat de obicei ca fiind temperatura de cristalizare a polimerului T c. Se poate de asemenea calcula suprafaţa picului, aceasta reprezentând căldura latentă de cristalizare a polimerului (în J-pentru întreaga cantitate de probă sau J/g). Topirea Aşa cum am văzut anterior, încălzirea polimerului poate permite macromoleculelor să se organizeze în zone cristaline (lamele şi sferulite), dar prea multă căldură poate duce la distrugerea acestora. Astfel, încălzirea în continuare a polimerului deasupra T c duce la topirea zonelor cristaline (macromoleculele nu mai sunt organizate şi se pot mişca liber). Pentru ca zonele cristaline ale polimerului să se topească este nevoie de un aport de căldură din exterior (topirea fiind un proces endoterm). În aceste condiţii, sistemul de încălzire situat sub creuzetul cu probă va trebui să furnizeze mai multă căldură decât anterior, pe de o parte pentru topirea zonelor cristaline, pe de altă parte pentru a menţine creşterea de temperatură impusă, similar cu creuzetul de referinţă. Acest aport suplimentar de căldură duce la apariţia unui pic endoterm pe curba DSC. Temperatura punctului cel mai înalt al curbei este considerat de obicei ca fiind temperatura de topire a polimerului T t. Se poate de asemenea calcula suprafaţa picului, aceasta reprezentând căldura latentă de topire a polimerului (în J-pentru întreaga cantitate de probă sau J/g). Aceste două picuri prezentate anterior (cristalizare şi topire) nu se regăsesc în cazul polimerilor amorfi. Procentajul de cristalinitate Am văzut mai sus că toţi polimerii conţin, într-o măsură mai mare sau mai mică, atât zone cristaline cât şi zone amorfe. Determinările DSC pot să ne dea informaţii privind conţinutul (procentajul) de zone cristaline şi amorfe, cunoscând căldura specifică de topire. 7
8 Folosind căldurile de topire H t şi de cristalizare H c determinate anterior (ariile, in J, pentru toată cantitatea de probă), se poate determina cantitatea de căldură H i ce corespunde topirii zonelor cristaline existente iniţial în polimer (înainte de a trece de T c ) H i = H t - H c (J) Cantitatea iniţială de zonă cristalină m c este dată de relaţia: m c = H i / h t unde h t este căldura specifică de topire (J/g polimer cristalin) Procentajul de cristalinitate pentru polimerul considerat este dat de: cristalinitate (%) = m c 100/ m p unde m p reprezintă masa de polimer (masa probei) supuse determinării DSC. 8
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
DETERMINAREA CĂLDURII LATENTE DE CRISTALIZARE
Lucrarea XI DETERMINAREA CĂLDURII LATENTE DE CRISTALIZARE Consideraţii teoretice Orice corp solid are volum propriu, caracteristică ce este întâlnită şi în cazul corpurilor lichide, şi formă proprie. Toate
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic
Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic Varianta iniţială O schemă constructivă posibilă, a unei centrale de tratare a aerului, este prezentată în figura alăturată. Baterie încălzire/răcire
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Stabilizator cu diodă Zener
LABAT 3 Stabilizator cu diodă Zener Se studiază stabilizatorul parametric cu diodă Zener si apoi cel cu diodă Zener şi tranzistor. Se determină întâi tensiunea Zener a diodei şi se calculează apoi un stabilizator
Noțiuni termodinamice de bază
Noțiuni termodinamice de bază Alexandra Balan Andra Nistor Prof. Costin-Ionuț Dobrotă COLEGIUL NAȚIONAL DIMITRIE CANTEMIR ONEȘTI Septembrie, 2015 http://fizicaliceu.wikispaces.com Noțiuni termodinamice
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Exerciţii şi probleme E.P.2.4. 1. Scrie formulele de structură ale următoarele hidrocarburi şi precizează care dintre ele sunt izomeri: Rezolvare: a) 1,2-butadiena;
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii în tehnică
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii în tehnică Sisteme de încălzire a locuinţelor Scopul tuturor acestor sisteme, este de a compensa pierderile de căldură prin pereţii locuinţelor şi prin sistemul
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
FENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar
Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Lucrul mecanic. Puterea mecanică.
1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea
REACŢII DE ADIŢIE NUCLEOFILĂ (AN-REACŢII) (ALDEHIDE ŞI CETONE)
EAŢII DE ADIŢIE NULEFILĂ (AN-EAŢII) (ALDEIDE ŞI ETNE) ompușii organici care conțin grupa carbonil se numesc compuși carbonilici și se clasifică în: Aldehide etone ALDEIDE: Formula generală: 3 Metanal(formaldehida
Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE. MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit
CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit CUPRINS 1. Avantajele si limitarile MMIC 2. Modelarea dispozitivelor active 3. Calculul timpului de viata al MMIC
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
VII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
2. CONDENSATOARE 2.1. GENERALITĂŢI PRIVIND CONDENSATOARELE DEFINIŢIE UNITĂŢI DE MĂSURĂ PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI CONDENSATOARELOR SIMBOLURILE
2. CONDENSATOARE 2.1. GENERALITĂŢI PRIVIND CONDENSATOARELE DEFINIŢIE UNITĂŢI DE MĂSURĂ PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI CONDENSATOARELOR SIMBOLURILE CONDENSATOARELOR 2.2. MARCAREA CONDENSATOARELOR MARCARE
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede
2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind
Reactia de amfoterizare a aluminiului
Problema 1 Reactia de amfoterizare a aluminiului Se da reactia: Al (s) + AlF 3(g) --> AlF (g), precum si presiunile partiale ale componentelor gazoase in functie de temperatura: a) considerand presiunea
Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg
Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei
CIRCUITE LOGICE CU TB
CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune
Circuite cu diode în conducţie permanentă
Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea
IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
COMPARATOARE DE TENSIUNE CU AO FĂRĂ REACŢIE
COMPARATOARE DE TENSIUNE CU AO FĂRĂ REACŢIE I. OBIECTIVE a) Determinarea caracteristicilor statice de transfer în tensiune pentru comparatoare cu AO fără reacţie. b) Determinarea tensiunilor de ieşire
ŞTIINŢA ŞI INGINERIA. conf.dr.ing. Liana Balteş curs 7
ŞTIINŢA ŞI INGINERIA MATERIALELOR conf.dr.ing. Liana Balteş baltes@unitbv.ro curs 7 DIAGRAMA Fe-Fe 3 C Utilizarea oţelului în rândul majorităţii aplicaţiilor a determinat studiul intens al sistemului metalic
Lucrarea Nr. 11 Amplificatoare de nivel mare
Lucrarea Nr. 11 Amplificatoare de nivel mare Scopul lucrării - asimilarea conceptului de nivel mare; - studiul etajului de putere clasa B; 1. Generalităţi Caracteristic etajelor de nivel mare este faptul
Câmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
Forme de energie. Principiul I al termodinamicii
Forme de energie. Principiul I al termodinamicii Există mai multe forme de energie, care se pot clasifica după natura modificărilor produse în sistemele termodinamice considerate şi după natura mişcărilor
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία
- Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,
Lucrarea nr. 5 STABILIZATOARE DE TENSIUNE. 1. Scopurile lucrării: 2. Consideraţii teoretice. 2.1 Stabilizatorul derivaţie
Lucrarea nr. 5 STABILIZATOARE DE TENSIUNE 1. Scopurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare serie şi derivaţie; -
Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni
Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine
Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in
I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare.
Capitolul 3 COMPUŞI ORGANICI MONOFUNCŢIONALI 3.2.ACIZI CARBOXILICI TEST 3.2.3. I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Reacţia dintre
* * * 57, SE 6TM, SE 7TM, SE 8TM, SE 9TM, SC , SC , SC 15007, SC 15014, SC 15015, SC , SC
Console pentru LEA MT Cerinte Constructive Consolele sunt executate in conformitate cu proiectele S.C. Electrica S.A. * orice modificare se va face cu acordul S.C. Electrica S.A. * consolele au fost astfel
Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()