Construction effective de connexions de Cartan sur des sous-variétés CR de dimension 5

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1 Construction effective de connexions de Cartan sur des sous-variétés CR de dimension 5 JOËL MERKER Département de Mathématiques d Orsay merker/ I. Theorema Egregium de Gauss II. Co-repères orthogonaux sur les surfaces III. Algèbres de Lie nilpotentes et modèles CR IV. Méthode d équivalence d Élie Cartan V. Hypersurfaces Levi non-dégénérées M 3 C 2 VI. Hypersurfaces M 5 C 3 de Levi-rang 1 VII. Déformations de la cubique de Beloshapka Journées du Groupement de Recherche «Théorie de Lie Algébrique et Géométrique» Université de Mulhouse, les 6 et 7 juin 2013 Organisées par Elisabeth Remm

2 2 I Theorema Egregium de Gauss Surfaces S plongées dans l espace R 3 : Exemple : Ellipsoïde d équation : x x 1 2 a 2 + y y 1 2 b 2 + z z 1 2 z c c 2 1 = 0, b y p 1 a x ayant comme centre un point p 1 de coordonnées x 1, y 1, z 1 et des demi-axes a > 0, b > 0, c > 0.

3 3 Question : Comment quantifier la manière dont les surfaces sont plus ou moins courbées? Tout d abord, le cas des courbes : Par exemple des cercles de rayons variés : Courbure := inverse du rayon = 1 R C O R rayon grand courbure petite rayon petit courbure grande droite : rayon infini ; courbure nulle COURBURE DES CERCLES DANS LE PLAN Chaîne de segments rectilignes et courbure : Segments alignés : pas de courbure Variation d angle Courbure Champ de vecteurs de longueur 1, tangents et orthogonaux : Np T p Np Np T p p p T p Np Np Np T p p p T p p T p p

4 4 Définition naturelle de la courbure d une courbe en l un de ses points : Np Np + dp dl C dθ p p + dp courbure en p = dθ dl O C Cercle osculateur : Lorsque les points distincts q et r situés sur C de part et d autre de p tendent vers p, l unique cercle C p, q, r passant par les trois points p, q et r se rapproche q indéfiniment du cercle osculateur à la courbe C au point p q p R p r r q O p r C CERCLE OSCULATEUR COMME LIMITE DE CERCLES SÉCANTS C p, q, r Formule : Pour une courbe graphée : y = fx la courbure en un point repéré par son abscisse x s exprime quantitativement par : f x courbure = 1 + f x f x 2.

5 5 Retour aux surfaces : application de Gauss : Transporter à l origine tous les vecteurs orthogonaux à la surface de longueur 1 : Courbure = lim AS p aire A Σ aire A S q q A S p q q Sphère unité auxiliaire : S A Σ Σ Courbure de Gauss : La courbure d une surface dans l espace en l un de ses points p est définie par : aire de la région A κp := lim Σ sur la sphère auxiliaire. A S p aire de la région A S sur la surface Formule pour la courbure de Gauss d une surface en l un de ses points : Supposons la surface représentée comme un graphe : z = ϕx, y au-dessus d un plan horizontal. Première formule pour la courbure : courbure = ϕ xx ϕ yy ϕ xy ϕ 2 x + ϕ 2. y

6 6 Coordonnées curvilignes bidimensionnelles u, v : Équations paramétriques : x = xu, v, y = yu, v, z = zu, v. Différentielles : dx = x u du + x v dv, dy = y u du + y v dv, dz = z u du + z v dv. Métrique pythagoricienne infinitésimale : dx, dy, dz 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2. Métrique induite dans les coordonnées curvilignes : dx 2 + dy 2 + dz 2 = x u du + x v dv 2 + y u du + y v dv 2 + z u du + z v dv 2 avec : = x 2 u + y 2 u + z 2 u du 2 + 2x u x v + y u y v + z u z v dudv+ =: E du 2 + 2F dudv + G dv 2, + x 2 v + y 2 v + z 2 v dv 2 E := x 2 u + y 2 u + z 2 u, F := x u x v + y u y v + z u z v, G := x 2 v + y 2 v + z 2 v.

7 7 Idée naturelle de Gauss : La courbure devrait se lire à l intérieur de la surface, sans utiliser la troisième dimension, seulement en termes des rapports métriques internes à la surface : du, dv 2 = E du 2 + 2F dudv + G dv 2. Calcul d élimination virtuose : Courbure = + F + G E 1 4 EG F 2 2 { E E v G v 2 F u G v + u G v E v G u 2 E v F v + 4 F u F v 2 F E u G u 2 E u F v + E v 2 ] 2 EG F 2 2 E v 2 2 F 2 u v + 2 G u 2 ]}. ] 2 G + u ] u G u Fondation de la géométrie différentielle intrinsèque! Chronologie sommaire de la genèse : D après Stäckel, Dombrowski] 1794 : Réflexions sur les géométries non-euclidiennnes : Application de Gauss. Concept de mesure de courbure. Formule κ = 1 r min r max.

8 : Schöne Theorem : invariance extrinsèque de la courbure par isométries extrinsèques : Copenhagen Preisschrift : Théorèmes pour les triangles géodésiques. Coordonnées isothermes : ds 2 = λ 2 du 2 + dv 2. Formule intrinsèque pour la courbure : κ = 1 2 log λ λ 2 u log λ v : Neue Untersuchungen. Somme des angles dans un triangle géodésique. Lemme d orthogonalité. Équations de Gauss. Coordonnées polaires géodésiques : ds 2 = dp 2 + Gp, q dq 2. Expression intrinsèque de la courbure : κ = 1 2 G. G u 2 Devise de Gauss : Nihil actum reputans si quid superesset agendum : Conception du plan final et rédaction des Disquisitiones generales circa superficies curvas.

9 9 I.1 Méthode d élimination de Gauss Courbure = lim AS p aire A Σ aire A S S q q p q q V ε p Sphère unité auxiliaire : n V ε p Σ Définition géométrique extrinsèque : aire n V ε p ] Courbure enp := lim. V ε p p aire V ε p Graphe : z = zx, y. Vecteur normal : nx, y = Xx, y, Y x, y, Zx, y. Composantes explicites : X = z x 1 + z 2 x + z 2 y 1/2, Y = z y 1 + z 2 x + z 2 y 1/2, Z = z 2 x + z 2 y 1/2. Quotient infinitésimal : Courbure = dσ dσ = dσπ dσ π.

10 10 Trois points horizontaux infiniment proches : x, y, x + dx, y + dy, x + δx, y + δy. Aire du parallélogramme infinitésimal : dx δy dy δx. Points correspondants sur la sphère auxiliaire : X, Y, X + dx, Y + dy, X + δx, Y + δy. Aire du parallélogramme correspondant sur la sphère auxiliaire : dx δy dy δx. Calculer le quotient : Courbure extrinsèque = dx δy dy δx dx δy dy δx. Serendipity : dx δy dy δx = X x Y x dxδx + X x Y y dxδy + X y Y x dyδx + X y Y y dyδy Y x X x dxδx Y x X y dxδy Y y X x dyδx Y y X y dyδy = X x Y y X y Y x dx δy dy δx.

11 Calcul direct : X x = z xx + z xx zy 2 z x z y z xy 3, 1 + zx 2 + zy 2 11 X y = z xy + z xy zy 2 z x z y z yy 3, 1 + zx 2 + zy 2 Y x = z xy + z xy zx 2 z x z y z xx 3, 1 + zx 2 + zy 2 Après simplifications : Y y = z yy + z yy zx 2 z x z y z xy zx 2 + zy 2 Courbure = X x Y y X y Y x = z xx z yy z 2 xy 1 + z 2 x + z 2 y 2. Théorème. Gauss 1810] La courbure en un point x, y d une surface graphée : z = zx, y vaut : z xx z yy z 2 xy 1 + z 2 x + z 2 y 2.

12 12 Insatisfactions de Gauss : La courbure semble être interne. Les formules en coordonnées isothermes et géodésiques sont indirectes. Principe de raison suffisante : Leibniz] : Il doit exister une formule générale qui n utilise aucune normalisation préalable. = Calcul d élimination virtuose de Gauss! Coordonnées p, q : dx = a dp + a dq, dy = b dp + b dq, dz = c dp + c dq. Représentation paramétrique : p, q xp, q, yp, q, zp, q =: xp, q. Notations : a := dx dp, a := dx dq, dy b := dp, b := dy dq, dz c := dp, c := dz dq. Composantes du vecteur normal : X = bc cb, Y = ca ac, Z = ab ba,

13 avec : := bc cb 2 + ca ac 2 + ab ba Notations pour les dérivées secondes : α := d2 x dp 2, β := d2 y dp 2, γ := d2 z dp 2, α := d2 x dp dq, β := d2 y dp dq, γ := d2 z dp dq, α := d2 x dq 2, β := d2 y dq 2, γ := d2 z dq 2. Poser pour abréger : bc cb = A, ca ac = B, ab ba = C. Théorème des fonctions implicites : z x = A C, z y = B C.

14 14 Différentielles complètes de z x et de z y : C 3 dz x = A dc dp C da b dx a dy+ dp + C da dq A dc b dx a dy, dq C 3 dz y = B dc dp C db b dx a dy+ dp + C db dq B dc b dx a dy. dq Dérivées des numérateurs des composantes normales : da dp = c β + b γ c β b γ, da dq = c β + b γ c β b γ, db dp = a γ + c α a γ c α, db dq = a γ + c α a γ c α, dc dp = b α + a β b α a β, dc dq = b α + a β b α a β.

15 Alors : C 3 z xx = α A b 2 + β B b 2 + γ C b 2 2 α A b b 2 β B b b 2 γ C b b + + α A b 2 + β B b 2 + γ C b 2, C 3 z xy = α A a b β B a b γ C a b + + α A ab + ba + β B ab + ba + γ C ab + ba α A a b β B a b γ C a b, C 3 z yy = α A a 2 + β B a 2 + γ C a 2 2 α A a a 2 β B a a 2 γ C a a + + α A a 2 + β B a 2 + γ C a 2. Poser pour abréger : 1 A α + B β + C γ = D 2 A α + B β + C γ = D 3 A α + B β + C γ = D. Obtenir : C 3 z xx = D b 2 2 D b b + D b 2, C 3 z xy = D a b + D ab + ba D a b, C 3 z yy = D a 2 2 D a a + D a 2. Théorème. Gauss 1810] Dans des coordonnées intrinsèques p, q sur une surface, la courbure s exprime par la formule : Courbure = DD D 2 A 2 + B 2 + C

16 16 Coefficients métriques en représentation paramétrique : a 2 + b 2 + c 2 = E, aa + bb + cc = F, a 2 + b 2 + c 2 = G. Objectif de Gauss : Exprimer la courbure : DD D 2 A 2 + B 2 + C 2 2. en fonction seulement de E, F, G. Première métamorphose vers l «intrinséquéité» : 1 + z 2 x + z 2 y = A 2 + B 2 + C 2 = EG F 2. Six autres notations systématiques : a α + b β + c γ = m, a α + b β + c γ = m, a α + b β + c γ = m, a α + b β + c γ = n, a α + b β + c γ = n, a α + b β + c γ = n. Première équation auxiliaire : A D = α + a nf mg + a mf ne.

17 Dérivées partielles : de dp = 2m, de dq = 2 m, dg dp = 2 n, df dp = m + n, dg dq = 2 n. df dq = m + n, 17 Expressions intrinsèques aisées : m = 1 de 2 dp, m = 1 de 2 dq, m = df dq 1 2 n = df dp 1 de 2 dq, n = 1 dg 2 dp, n = 1 2 dg dp, dg dq. Deux équations auxiliaires analogues : BD = β + b nf mg + b mf ne, CD = γ + c nf mg + c mf ne. Calculer le produit : DD = αα + ββ + γγ + + m nf mg + n mf ne. Il vient : AD = α + a n F m G + a m F n E, BD = β + b n F m G + b m F n E, CD = γ + c n F m G + c m F n E. Calculer aussi le carré : D 2 = α 2 +β 2 +γ 2 +m n F m G+n m F n E.

18 18 En soustrayant, l extrinsèque va disparaître : DD D 2 = αα + ββ + γγ α 2 β 2 γ E n 2 nn + + F nm 2 m n + mn + + G m 2 mm. Lemme. Un calcul direct donne : La soustraction miraculeusement intrinsèque] αα + ββ + γγ α 2 β 2 γ 2 = = 1 2 d2 E dq 2 + d2 F dp dq 1 2 d2 G dp 2. Conclusion : Toute la courbure s exprime en fonction des trois coefficients métriques E, F, G : 4 EG F 2 2 de courbure = E dq dg dq 2 df dp dg + F + G dg dp 2 ] + dq + de dp dg dq de dq dg dp 2 de dq df + 4 df dp df dq 2 df dp dg dp de dp dg dp 2 de dp df dq + + de dq dq + 2 ]. 2 EG F 2 d 2 E dq 2 d2 F 2 dp dq + d2 G dp 2

19 Vision alternative résumée : courbure = 1 EG F 2 2 E F F v 1 2 G u 1 F G 2 G v 1 2 E u F u 1 2 E v x uu x vv + y uu y vv + z uu z vv 1 E F 2 E v 1 F G 2 G u 1 2 E 1 v 2 G u x 2 uv + yuv 2 + zuv 2. Identité élémentaire entre déterminants : a b I c d J K L X a b I c d J K L X = a b I c d J K L X X a b I c d J K L 0. Deux quantités vraiment extrinsèques : X := x uu x vv + y uu y vv + z uu z vv, X = x 2 uv + y 2 uv + z 2 uv. Soustraction : X X = x uu x vv + y uu y vv + z uu z vv x 2 uv y 2 uv z 2 uv. Lemme. Élimination géniale de Gauss] Les trois coefficients E, F, G de la première forme fondamentale : ds 2 = E du 2 + 2F dudv + G dv 2 satisfont la relation : 2 1 E vv + F uv 1 2 G uu = x uu x vv + y uu y vv + z uu z vv x 2 uv yuv 2 zuv. 2 19

20 20 II Co-repères orthogonaux sur les surfaces Objectif expositionnel : Expliquer comment la méthode d Élie Cartan permet de «redécouvrir automatiquement» que la courbure de Gauss est un invariant isométrique des surfaces. Rappel : Métrique infinitésimale dans des coordonnées intrinsèques u, v sur une surface S : ds 2 = E du 2 + 2F dudv + G dv 2. Trois fonctions quelconques : E = Eu, v, F = F u, v, G = Gu, v. S θ 2 coordonnés u, v θ 1 Orthonormalisation de Gram-Schmidt : ds 2 = θ θ2 2. Avec : Sans calcul explicite pour l instant] θ 1 = Au, v du + Bu, v dv, θ 2 = Cu, v du + Du, v dv.

21 21 S S coordonnés u, v coordonnées u, v Difféomorphie locale à une autre surface S : u, v u, v = uu, v, vu, v. Autre métrique sur l autre surface : ds 2 = E du 2 + 2F du dv + G dv 2. Différentier : du = u u du + u v dv, dv = v u du + v v dv. Condition d isométrie infinitésimale : ds 2 = ds 2. Plus précisément : E du 2 + 2F dudv + G dv 2 = E u u du + u v dv F u u du + u v dv v u du + v v dv + + G v u du + v v dv 2.

22 22 Relations entre les coefficients métriques : E = E u u 2 + 2F u u v u + G v u 2, F = E u u u v + F u u v v + u v v u + G vu v v, G = E u v 2 + 2F u v v v + F v v 2. Abandonner volontairement ce type de relations! Angle t = tu, v S θ 2 S θ 2 coordonnés u, v θ 1 coordonnées u, v θ 1 Autre orthonormalisation de Gram-Schmidt : ds 2 = θ θ2 2. Avec de même : Sans calcul explicite pour l instant] θ 1 = Au, v du + Bu, v dv, θ 2 = Cu, v du + Du, v dv. Préservation de l orthogonalité au niveau infinitésimal : θ1 cos t sin t θ1 =, sin t cos t θ 2 où t = tu, v est une fonction a priori inconnue. θ 2

23 23 Co-repère relevé : Hypostasier l ignorance] Considérer t comme une nouvelle coordonnées indépendante : ω1 cos t sin t θ1 :=. sin t cos t ω 2 Relever symétriquement aussi le co-repère à droite : ω1 cos t sin t θ1 :=. sin t cos t ω 2 Théorème. Fondamental, simple, d Élie Cartan] Il existe une isométrie infinitésimale : u, v uu, v, vu, v qui transforme : ds 2 = ds 2. si et seulement si il existe une application : S SO2, R S SO2, R de la forme spécifique : { u, v = u, v u, v telle que l on ait : t = t u, v, t, ω 1 = ω 1, ω 2 = ω 2, après remplacement pull-back. θ 2 θ 2

24 24 Diagramme commutatif : M SO2, R M SO2, R M M. Co-repère relevé : ω1 cos t sin t := ω 2 sin t cos t }{{} matrice g orthogonale θ1 θ 2. Écriture abrégée : ω = g θ. Appliquer la différentiation extérieure d : dω = dg θ + g dθ. Inverser : Remplacer : dω = θ = g 1 ω. dg g 1 }{{} 1-forme invariante sur le groupe SO2,R ω + g dθ. Forme de Maurer-Cartan du groupe SO2, R : α := dg g 1 = dt.

25 Donc : dω = α ω + g dθ. Structure initiale : dθ = } torsion {{} θ θ. à calculer Dans notre cas : Cartan-Gauss] θ 1 = A du + B dv, θ 2 = C du + D dv. Différentier : dθ 1 = B u A v } du {{ dv }, à remplacer dθ 2 = D u C v } du {{ dv }. à remplacer 25 À remplacer : θ 1 θ 2 = AD BC du dv. Donc la structure initiale est : dθ 1 = B u A v AD BC θ1 θ 2, Abréger cela : dθ 2 = D u C v AD BC θ1 θ 2. dθ 1 = J θ 1 θ 2, dθ 1 = K θ 1 θ 2.

26 26 Avec : J := B u A v AD BC, K := D u C v AD BC. Proposition. Les équations de structure, au sens de Cartan, s expriment dans le co-repère relevé : dω 1 = α ω 2 + P ω 1 ω 2, dω 2 = α ω 1 + Q ω 1 ω 2, où les coefficients de torsion valent : P = J cos t K sin t, Q = J sin t + K cos t. Introduire la nouvelle 1-forme : Pour «absorber» la torsion] π := α P ω 1 Q ω 2. Après absorption de la torsion : dω 1 = π ω 2, dω 2 = π ω 1. Observation : Maintenant, toute la torsion a disparu! Rappel culturel : Connexion de Levi-Cività = unique connexion sans torsion compatible avec la métrique.

27 Appliquer à nouveau l opérateur d : Lemme de Poincaré d d = 0] 0 = d d ω 1 = dπ ω 1 + π dω 2 = dπ ω 1 + π π ω 1, 27 De même : 0 = d d ω 2 = dπ ω 2 π dω 1 = dπ ω 2 π π ω 2 Résultat : 0 = dπ ω 1, 0 = dπ ω 2. Observation : Dans l espace tridimensionnel des u, v, t, toute 2-forme telle que dπ se décompose sur la base des trois 2-formes ω 1 ω 2, ω 1 α, ω 2 α. Interprétation : Ces deux équations impliquent que dans une telle décomposition pour dπ, les deux coefficients devant ω 1 α et devant ω 2 α doivent s annuler. Déduire à l aide du Lemme de Cartan : Il existe une certaine fonction κ satisfaisant : dπ = }{{ κ } ω 1 ω 2. courbure de Gauss apparaissant miraculeusement

28 28 Émergence de la courbure : Il existe donc une fonction κ des trois variables t, u, v telle que : dπ = κ ω 1 ω 2. Ré-appliquer la différentiation extérieure : 0 = d d π = κ t dt ω1 ω 2. Conséquence importante : Le coefficient-courbure : est indépendant de t. κ = κu, v Theorema Egregium. Gauss re-développé par Cartan] À travers toute équivalence locale : u, v u, v entre deux surfaces qui est une isométrie infinitésimale : ds 2 = E du 2 + 2F dudv + G dv 2 = E du 2 + 2F dudv + G dv 2 = ds 2, la courbure de Gauss se transforme comme un invariant : κu, v = κu, v. Démonstration. L argument «à la Cartan» est particulièrement limpide.

29 Angle t = tu, v 29 S θ 2 S θ 2 coordonnés u, v θ 1 coordonnées u, v θ 1 Partir de la condition d équivalence : θ1 cos tu, v sin tu, v θ1 = sin tu, v cos tu, v θ 2 θ 2, Introduire un co-repère relevé à gauche : ω1 cos t sin t θ1 :=. sin t cos t ω 2 Introduire aussi un co-repère relevé à droite : ω1 cos t sin t θ1 :=. sin t cos t ω 2 Rappel du théorème simple et fondamental : On a une équivalence isométrique : ds 2 = ds 2 si et seulement si : ω 1 = ω 1, ω 2 = ω 2. θ 2 θ 2

30 30 Fonctorialité de l opérateur de différentiation extérieure : dω 1 = dω 1, dω 2 = dω 2. Absorption parallèle de la torsion : dω 1 = π ω 2, dω 1 = π ω 2, dω 2 = π ω 1, Comparaison : π = π. dω 2 = π ω 1. Nouvelle exploitation de la fonctorialité de d : dπ = dπ. Deux courbures parallèles : dπ = κ ω 1 ω 2 dπ = κ ω 1 ω 2. Déduire par comparaison : κ = κ, ce qui est l invariance de l invariant-courbure!

31 II.1 Objectifs 31 Exposer de manière succincte les principes généraux de la méthode d équivalence d Élie Cartan. Montrer comment elle fonctionne dans le cas, a priori le plus simple mais néanmoins déjà très élaboré, des sous-variétés réelles Cauchy-Riemann Levi nondégénérées : M 3 C 2. Exhiber des calculs explicites. Appliquer la méthode d équivalence aux sous-variétés Cauchy-Riemann à forme de Levi de rang 1 : M 5 C 3. Appliquer la méthode d équivalence aux déformations de la cubique de Beloshapka : M 5 C 4. Potentiellement, il existe un nombre infini de structures géométriques de type Cauchy-Riemann qui sont issues des algèbres de Lie nilpotentes. Les travaux impressionnants de classification dus à Michel Goze et à Elisabeth Remm produisent un réservoir de nouvelles structures que l on pourrait soumettre à la méthode d équivalence d Élie Cartan.

32 32 III Algèbre de Lie nilpotentes et modèles CR Sous-variété Cauchy-Riemann analytique réelle : Deux entiers n 1 et d 1. Espace complexe C n+d. Sous-variété réelle M 2n+d C n+d dont les plans tangents en des points p : T p M = C n R d Coordonnées : z1,..., z k,..., z n+d C n C d. avec z k = x k + 1 y k. Structure complexe de T C n+d : J := et J x k y k y k := x k. Espace tangent complexe invariant par J 1 : M T c M := T M JT M. p T c p M z -tangentiel TpM

33 Donc on prend une sous-variété CR générale : M 2n+d C n+d. 33 Fibré complexe tangent : Crochets de Lie itérés : D 1 M := T c M, T c M = T M JT M. D 2 M := Vect C ω D 1 M + T c M, D 1 M ], D 3 M := Vect C ω D 2 M + T c M, D 2 M ], D k+1 M := Vect C ω D k M + T c M, D k M ]. Distributions quotient : g k p := D k p / D k 1 p, munies des projections canoniques : proj k p: D k p D k p / D k 1 p. Algèbre de symbole de Tanaka : Somme graduée des espaces vectoriels quotients : mp := k=h M k=1 g k p. D 1 M D 2 M D k 1 M D k M.

34 34 Structure de crochet de Lie : Prolonger deux vecteurs en p comme champs : X p = x et Ỹ p = ỹ, calculer le crochet de Lie usuel entre ces deux champs, et projeter : x, y] := proj k+l p X, Ỹ ] }{{} p D k+l Mp g k l p. Lemme. Remonte à Lie] Munie de cette opération de crochet, l algèbre de symbole de Tanaka mp pour p M\Σ devient une algèbre de Lie nilpotente graduée avec : dim R mp = dim R M qui, de plus, est génératrice : g k p = g 1 p, g k+1 p ]. Lemme. Immédiat] Vecteurs de croissance n = 1 : dimension 3 : 2, 1, 2 ; dimension 4 : 2, 1, 1 ; dimension 5 : 2, 1, 2 ; dimension 5 : 2, 1, 1, 1.

35 35 III.1 Classification des algèbres de Lie nilpotentes en dimension 5 d après Michel Goze et Élisabeth Remm] Dimension 1 : Seulement : a 1 := R. Dimension 2 : Seulement la décomposable, commutative : a 2 = a 1 a 1 Dimension 3 : La décomposable : a 3 := a 1 a 1 a 1, et l algèbre irréductible de Heisenberg : n 1 3 : x 1, x 2 ] = x 3. Dimension 4 : Laissant de côté les deux décomposables : a 4 1 and a 1 n 3 1, il existe à nouveau une seule irréductible : n 1 4 : { x1, x 2 ] = x 3 x 1, x 3 ] = x 4. Dimension 5 : Laissant de côté les trois décomposables : a 5 1, n1 3 a 2, n 1 4 a 1, Dimension 5 irréductible : Il existe 6 algèbres de Lie nilpotentes réelles mutuellement non-isomorphes qui sont rassemblées comme suit en fonction de leurs invariants de Goze respectifs :

36 36 cg = 4, 1 cas filiforme : n 1 5 : x 1, x 2 ] = x 3 x 1, x 3 ] = x 4 n 2 5 : x 1, x 4 ] = x 5 cg = 3, 1, 1 : x 1, x 2 ] = x 3 n 3 5 : x 1, x 3 ] = x 4 n 4 5 : x 2, x 5 ] = x 4 x 1, x 2 ] = x 3 x 1, x 3 ] = x 4 x 1, x 4 ] = x 5 x 2, x 3 ] = x 5 x 1, x 2 ] = x 3 x 1, x 3 ] = x 4 x 2, x 3 ] = x 5 cg = 2, 2, 1 : cg = 2, 1, 1, 1 : n 5 5 : { x1, x 2 ] = x 3 x 1, x 4 ] = x 5 n 5 5 : { x1, x 2 ] = x 3 x 4, x 5 ] = x 3 Classification : Dimension 6 : Vergne, Seeley, Carles, Goze-Khakimdjanov]. Classification : Dimension 7 : Goze-Remm]. Nombreuses branches : Dimensions 8, 9 : Goze-Remm]. Équivalences des structures CR associées!

37 37 III.2 Modèles de sous-variétés CR en dimension 5 d après Cartan, Segre, Beloshapka] Seulement jusqu à la dimension 5! Dimension : 2n + d n 1 et d 1. Dimension 3 : n = 1, d = 1. Hypersurface Levi non-dégénérée : M 3 C 2. Dimension 4 : Beloshapka-Ezhov-Schmalz 2007] n = 1, d = 2. Dimension 5 : n = 2, d = 1, n = 1, d = 3 Lemme. Rappel] En dimension CR n = 1, les vecteurs de croissance possible sont : dimension 3 : 2, 1 ; dimension 4 : 2, 1, 1 ; dimension 5 : 2, 1, 2 ; dimension 5 : 2, 1, 1, 1.

38 38 Équivalences d hypersurfaces M 3 C 2 : Proposition. Facile] Toute hypersurface M 3 C 2 qui satisfait l hypothèse générique : D 1 M = T c M est de rang 2, D 2 M = T c M + T c M, T c M] est de rang 3, peut être représentée en coordonnées z, w C 2, par une équation de la forme : w w = 2i zz + O poids 3. Proposition. Beloshapka 1997] Toute variété CR M 5 C 4 de codimension d = 3 qui satisfait l hypothèse générique : D 1 M = T c M est de rang 2, D 2 M = T c M + T c M, T c M] est de rang 3, D 3 M = T c M + T c M, T c M] + T c M, T c M, T c M] ] est de rang maximal possible 5, peut être représentée, dans des coordonnées z, w 1, w 2, w 3, par trois équations de la forme spécifique : w 1 w 1 = 2i zz + O poids 4 w 2 w 2 = 2i zzz + z + O poids 4. w 3 w 3 = 2 zzz z + O poids 4.

39 Dimension 5 : 39 Toujours possible : n = 2, d = 1. w + w = z 1 z 1 ± εz 2 z 2 + O poids 3. Deux sous-cas rang de la forme de Levi : ε = 1. ε = 0. Hypersurfaces M 2n+1 C n+1 à forme de Levi nondégénérée : w+w = z 1 z 1 + +z p z p z p+1 z p+1 z n z n +O poids 3. Hachtroudi 1937 ; Chern-Moser 1974] Problème encore ouvert : Rendre explicites le corepère et les courbures de Chern-Moser en dimension n 2. Fait dans la thèse de Hachtroudi 1937 sous la direction d Élie Cartan dans le cas des systèmes d équations aux dérivées partielles complètement intégrables d ordre 2] Sous-cas restant : ε = 0. Ebenfelt, Duke Math. J., article erroné]

40 40 Proposition. Facile] Toute hypersurface M 5 C 3 de dimension CR n = 2 dont la forme de Levi est de rang constant égal à 1 et qui est 2-nondégénérée est toujours une déformations du cône de lumière : 0 = Re z Re z2 1 Re z3 1 + Opoids 3, ou encore, après une transformation bihlomorphe, une déformation de la cubique : w + w = 2z 1z 1 + z 2 1 z 2 + z 2 1 z 2 1 z 2 z 2 + O poids 4, qui préserve toutes les caractéristiques géométriques ce qui implique des contraintes spécifiques sur les restes. Subtilités cause d articles erronés : Ebenfelt Duke 2000 : Gaussier Ark. Mat. 2004] Tenir compte dans les calculs de l hypothèse de dégénérescence de la forme de Levi en tout point. Absence de graduation évidente dans l algèbre de Lie du modèle comme dans les cas nilpotents standard.

41 41 IV Méthode d équivalence d Élie Cartan Variété de dimension n : M. Coordonnées locales : x 1,..., x n. Structures géométriques variées : Système d équations aux dérivées partielles. Problème variationnel inverse. Distribution générique de 2-plans dans M 5 = R 5. Cartan 1910 ; Azzouz-Goze 2000]. Connexions affines, conformes, projectives. Structures de Cauchy-Riemann. Forme générale d un problème d équivalence : Cartan 1937 Séminaire Julia ; Gardner ; Olver] Base initiale de 1-formes sur M : θ 1,..., θ n.

42 42 Lemme. Formulation initiale] S il existe une équivalence géométrique avec une autre variété M munie d une base similaire de 1-formes : θ 1,..., θ n, alors : θ = g θ. pour une certaine application matricielle : x g G GLn, R. Exemple des hypersurfaces M 3 C 2 : Groupe de matrices pertinent : cc 0 0 g := b c 0 : c C, b C. b 0 c Exemple des hypersurfaces 1-Levi M 5 C 3 : Groupe de matrices pertinent : cc b c g := d e f 0 0 b 0 0 c 0 : c, f C, b, e, d C. d 0 0 e f

43 Exemple des M 5 C 4 de Beloshapka : Groupe de matrices pertinent : aaa aaa g := c c aa 0 0 e d b a 0 : a C, b, c, e, d C. d e b 0 a 43 Équivalence : θx = gx }{{} fonction inconnue θx. Co-repère relevé : Hypostasier l ignorance] ω := g θ. Différentier extérieurement : dω = dg θ + g dθ. Inverser : Remplacer : dω = g 1 ω = θ. } dg {{ g 1 } θ + g dθ. Forme de Maurer-Cartan invariante sur le groupe

44 44 Structure initiale pour le dernier terme : dθ = Torsion initiale θ θ. En fait, il y a des indices : Alléger pour l exposition] dθ i = T i j,k θi θ k. 1 j<k n Ré-exprimer en fonction du co-repère relevé : Début de calculs douloureux] T θ θ = T g 1 ω g 1 ω =: Ux, g ω ω. Lemme. En termes du co-repère relevé ω = g θ, la structure initiale est de la forme générale : dω = A Maurer Cartan ω + Torsion ω ω. Absorber au maximum la torsion dans A MC : Intuitivement, c est de l algèbre linéaire] dω = A MC modifiée + Torsion Essentielle ω ω. Lemme. Cartan] À travers toute équivalence géométrique : M, θ 1,..., θ n M, θ 1,..., θ n, la torsion essentielle, ineffaçable, est invariante : Torsion Essentielle x, g = Torsion Essentiellex, g. = Possibilité de réduire et de simplifier le problème

45 V Hypersurfaces Levi non-dégénérées M 3 C 2 Travail en commun avec Masoud Sabzevari] 45 Hypersurface analytique réelle locale : M 3 C 2. Fibré tangent réel : T M. Complexifé du fibré tangent réel : T M R C. Fibré tangent complexe : T c M := T M JT M. Fibré "holomorphe" complexe de rang 1 : T 1,0 M := T c M i JT M. Fibré "anti-holomorphe" complexe de rang 1 : T 0,1 M := T c M + i JT M = T 1,0 M. Somme directe : C R T M = T 1,0 M T 0,1 M.

46 46 Champs de vecteurs générateurs : L section génératrice de T 1,0 M, L section génératrice de T 0,1 M. Définition. L hypersurface Cauchy-Riemann M 3 C 2 est dite Levi non-dégénérée lorsque le crochet : T := i T, T ] est linéairement indépendant de L et de L en tout point, de telle sorte que les 3 champs de vecteurs : { } L, L, T forment un champ de repères sur la variété 3- dimensionnelle M. Autre hypersurface dans un autre espace complexe : M 3 C 2. Supposer que M est elle aussi Levi non-dégénéré. Application biholomorphe locale inversible : C 2 C 2 z, w z, w = z z, w, w z, w = Deux fonctions holomorphes de deux variables complexes.

47 Noter cette applications : 47 H : z, w z, w. Problème d équivalence : Étudier l équivalence des hypersurfaces analytiques réelles locales Levi nondégénérées de C 2 à travers les biholomorphismes locaux. Cartan 1932] Objectifs 1 : Rendre les calculs complètement explicites, comme dans le Theorema Egregium de Gauss. Objectifs 2 : Élaborer une technologie de calcul extrêmement systématique afin de maîtriser une fantastique explosion symbolique. Objectifs 3 : Formuler et résoudre d autres problèmes d équivalence pour les structures CR en dimension supérieure. Hypothèse que H est holomorphe : H L = c L, H L = c L.

48 48 Transfert du crochet] de Lie : H T = H i L, L = i H ] L, H L = i c L, c L ] = i c c L, L ] + i c L c L i c L c L =: c c T + b L + b L. Proposition. Formulation de type Cartan] S il existe une équivalence biholomorphe entre deux sousvariétés Cauchy-Riemann M 3 C 2 et M 3 C 2, alors il existe deux fonctions : b: M C 2 et c: M C 2 telles que : L L T = c c 0 b b cc L L T. Passage au co-repère dual : { ρ0, ζ 0, ζ 0 } dual de { L, L, T }. Groupe d ambiguïté matricielle : cc 0 0 g := b c 0 : c C, b C. b 0 c

49 Co-repère relevé : ρ ζ := ζ cc 0 0 b c 0 c 0 c Structure de Lie initiale : L, L ] = i T, T, L ] = P T, T, L ] = P T. ρ 0 ζ 0 ζ Structure initiale duale : Explicitation de P à effectuer ultérieurement] L écriture complète de P s étand sur une page] dρ 0 = P ρ 0 ζ0 + P ρ 0 ζ 0 + i ζ 0 ζ 0, dζ 0 = 0, dζ 0 = 0. Formes de Maurer-Cartan modifiées après absorption : dρ = α 0 + α 0 ρ + i ζ ζ, dζ = β 0 ρ + α 0 ζ. Avec : α 0 = dc c P c + 2 i b cc β 0 = db cc bdc c 2 c ζ ib cc ζ, P bc + i bb c 2 c 2 ζ P bc i b2 c 2 c 2 ζ.

50 50 V.1 Résumé intercalaire Trois types de structures CR : Hypersufaces Levi non-dégénérées M 3 C 2. Algèbre de Lie nilpotente : n 1 3 de Heisenberg. Déformations générales M 5 C 4 de la cubique de Beloshapka. Algèbre de Lie nilpotente : n 4 5. Hypersurfaces M 5 C 3 à forme de Levi de rang 1 et 2-non-dégénérées. Étudier les équivalences locales à travers les transformations biholomorphes. Expliciter les calculs.

51 51 V.2 Suite sur M 3 C 2 Absence de torsion essentielle : dρ = α 0 + α 0 ρ + i ζ ζ, dζ = β 0 ρ + α 0 ζ, Ambiguïté sur les 1-formes de Maurer-Cartan modifiées : α = α 0 + sρ, β = β 0 + r ρ + s ζ. Préservation des équations de structure : dρ = α + α ρ + i ζ ζ, dζ = β ρ + α ζ. Méthode géniale de prolongation de Cartan : ρ ρ ζ ζ ζ ζ α = s α 0. β r s β 0 α s α 0 β r 0 s β }{{} 0 nouveau groupe de matrices Nouvelles 1-formes de Maurer-Cartan : γ := dr, δ := ds,

52 52 Absorption : dρ = α ρ + α ρ + i ζ ζ, dζ = β ρ + α ζ, dζ = β ρ + α ζ, dα = δ ρ + 2 i ζ β + i ζ β + W ζ ζ, dβ = γ ρ + δ ζ + β α, dα = δ ρ 2 i ζ β i ζ β W ζ ζ, dβ = γ ρ + δ ζ + β α, Un seul coefficient de torsion essentielle : W = 1 b L P 2i cc c 2 c P + 2i b bb cc2p + 6 c 2 c i s 2 i s. Normaliser : s := s i 1 2cc L P b c 2 c P + b bb cc2p 3i c 2 c 2. Lemme. La différentielle extérieure : dg = L G ζ 0 + L G ζ 0 + T G ρ 0 d une fonction analytique réelle G définie sur la variété M C 2 se ré-exprime, en termes du corepère relevé, comme : 1 1 dg = c L G ζ + c L G ζ+ + b c 2 c L G b cc 2L G + 1 cc T G ρ.

53 Explicitation de la différentielle : ds = ds + + i P r c + P r c b 2 L P 9b2 b2 c 4 c4 + c 4 c 2 L L P b c 2 c 3 i L L P b 2 c 3 c 2 P s + c i 2 + P 2 b cc 3 + 3i bb + + P P b2 c 4 c 2 L P bb 3 c 3 c 3 2 P bs c 2 c 2 P P bb c 3 c 3 + 3i br cc i T L P 2 c 2 c 2 6i P bb2 c 3 c 4 L L P c 2 c L P b c 3 c + 6 b2 b c 3 c 3 + i L P P cc 2 + L P cc 3 L P cc P b cc 2 + P b c 2 c c 2 c 2 + i 2 3i bb c 2 c 2 + i L P P b 2 cc cc 2 + P b c 2 c + P P b2 c 2 c 4 b2 L P c 2 c 4 1 L P L P L L P b 4 c 2 c 2 + i c 3 c P bs P L P b L P s cc2 + i c 3 c 2 i i cc br + 3i cc 6 bbs c 2 c 2 + 6i P b2 b c 4 c 3 i 2 + 3i bs cc + i P L P 2 c bb2 c c 3 c L P b 2 c 2 c 2 3i P bb c 3 c 2 α + α + + 3i bs P b2 3i cc c 3 c 2 P s c P c 3i b β+ cc P c 3i b β. cc P L P b c 2 c 3 L L P c 2 c 3 ζ+ ρ+ P bb L P b + 3i c 2 c3 + c 2 c 2 + P P b c 2 c 2 i 2 53 L L P cc 2 ζ+ Ré-absorber la nouvelle torsion : dρ = α ρ + α ρ + i ζ ζ, dζ = β ρ + α ζ, dζ = β ρ + α ζ, dα = δ ρ + 2 i ζ β + i ζ β, dα = δ ρ 2 i ζ β i ζ β + W 2 ζ ρ W 2 ζ ρ, dβ = γ ρ + δ ζ + β α, dβ = γ ρ + δ ζ + β α + i W 1 ρ ζ + W 2 ζ ζ, Coefficients de torsion essentielle conduisant potentiellement à des normalisations : 0 = W 1, 0 = W 2. Seul W 2 fournit une normalisation : r := 1 3 L L P cc L L P cc 2 i 2 L P b c 2 c P L P cc 2 + P bb c 2 c 3 i b2 b c 3 c 3.

54 54 Finalisation des équations de structure : dρ = α ρ + α ρ + i ζ ζ, dζ = β ρ + α ζ, dζ = β ρ + α ζ, dα = δ ρ + 2 i ζ β + i ζ β, dβ = δ ζ + β α + I ζ ρ, dα = δ ρ 2 i ζ β i ζ β, dβ = δ ζ + β α + I ζ ρ. Ultime prolongation : dρ = α ρ + α ρ + i ζ ζ, dζ = β ρ + α ζ, dζ = β ρ + α ζ, dα = δ ρ + 2 i ζ β + i ζ β, dβ = δ ζ + β α + I ζ ρ, dα = δ ρ 2 i ζ β i ζ β, dβ = δ ζ + β α + I ζ ρ, dδ = δ α + δ α + i β β + T ρ ζ + T ρ ζ. Un seul invariant primaire : J := 1 L L L P 3 c c L L L P 2 c c P L L P 3 c c 3 7 P L L P 6 c c 3 1 L P L P 6 c c P P L P 3 c c 3 Invariant secondaire : T.

55 55 V.3. Réalisation de calculs explicites complets C 2 v 0 x, y u Les hypersurfaces analytiques réelles M 3 C 2 sont des graphes de la forme : v = ϕx, y, u, dans des coordonnées holomorphes locales : adpatées afin que : z, w = x + iy, u + iv, T 0 M = C z R u = {v = 0}. Ezhov-McLaughlin-Schmalz : Notices of the AMS, , no. 1, 20 27] : Construction d une connection normale, régulière, de type Cartan-Tanaka à valeurs dans l algèbre de Lie pgl 2 R du groupe projectif 2-dimensionnel qui est canoniquement associée à une hypersurface Levi nondégénérée analytique réelle M 3 C 2.

56 56 Objectif computationnel principal : Rendre tous les éléments d une telle connexion explicites en termes de l équation définissante ϕx, y, u, en ne supposant que la C 6 -régularité de M. Rappeler l équation de l hypersurface : v = ϕx, y, u. Fait a posteriori : Tous les éléments vont dépendre seulement de ϕx, y, u. Fibré tangent complexe : T c M = T M 1 T M engendré par les deux champs réels : H 1 := x + ϕ y ϕ x ϕ u 1+ϕ 2 u H 2 := y + ϕ x ϕ y ϕ u 1+ϕ 2 u u, u. Lien avec la formulation de type «problème d équivalence» : L = H 1 i H 2, L = H 1 + i H 2,

57 Crochet de Lie relié à la forme de Levi : T := 1 4 H 1, H 2 ] = ϕ 2 u 2 { ϕxx ϕ yy 2 ϕ y ϕ xu ϕ 2 x ϕ uu ϕ x ϕ yu ϕ 2 y ϕ uu + 2 ϕ y ϕ u ϕ yu ϕ x ϕ u ϕ xu ϕ 2 u ϕ xx ϕ 2 u ϕ yy } u. 57 Signification de l hypothèse de Levi non-dégénérescence : { H1, H 2, T } constitue un champ de repères sur M 3. Coefficient de la forme de Levi : Noter Υ le numérateur : T = 4 1 H 1, H 2 ] = 1 Υ 4 2 u. Admettre les deux coïncidences notationnelles : x 1 x, x 2 y. Introduire les deux crochets de longueur 3 : H1, T ] = 4 1 H1, H 1, H 2 ] ] =: Φ 1 T, H2, T ] = 4 1 H2, H 1, H 2 ] ] =: Φ 2 T. Fait 1 : Il sont tous les deux multiples de T au moyen de deux fonctions : Φ 1 := A 1 2 Υ, Φ 2 := A 2 2 Υ.

58 58 Fait 2 : Le développement complet de chacun de ces deux numérateurs s étend sur environ une page, e.g. : A 1 = ϕ xxx ϕ xyy + 2 ϕ x ϕ xyu 3 ϕ y ϕ xxu ϕ y ϕ yyu 3 ϕ 2 y ϕ xuu ϕ x ϕ y ϕ yuu ϕ 2 x ϕ xuu ϕ 2 x ϕ y ϕ uuu ϕ 3 y ϕ uuu 2 ϕ x ϕ y ϕ xu ϕ uu 3 ϕ x ϕ xx ϕ uu + ϕ 2 y ϕ uu ϕ yu 2 ϕ y ϕ uu ϕ xy + 3 ϕ 2 x ϕ yu ϕ uu ϕ x ϕ yy ϕ uu ϕ x ϕ 2 y ϕ 2 uu + 4 ϕ y ϕ xu ϕ yu ϕ 3 x ϕ 2 uu + ϕ yu ϕ yy ϕ xx ϕ yu 2 ϕ xu ϕ xy + 2 ϕ x ϕ 2 xu 2 ϕ x ϕ 2 yu+ + ϕ u 3 ϕ x ϕ xxu + 2 ϕ y ϕ xyu + ϕ x ϕ yyu + 4 ϕ x ϕ y ϕ xuu + 2 ϕ 2 y ϕ yuu 2 ϕ 2 x ϕ yuu + ϕ x ϕ 2 y ϕ uuu + ϕ 2 x ϕ uuu + 2 ϕ 2 x ϕ 2 uu ϕ y + 5 ϕ uu ϕ xu ϕ 2 x 8 ϕ x ϕ xu ϕ yu + 7 ϕ 2 y ϕ xu ϕ uu + ϕ yy ϕ xu + 2 ϕ 3 y ϕ 2 uu + 3 ϕ xx ϕ xu ϕ y ϕ 2 xu + 2 ϕ xy ϕ yu 2 ϕ x ϕ y ϕ yu ϕ uu + + ϕ 2 u 3 ϕ xxx 3 ϕ xyy 6 ϕ y ϕ xxu 2 ϕ y ϕ yyu + 4 ϕ x ϕ xyu 4 ϕ 2 y ϕ xuu + ϕ 3 u 4 ϕ 2 x ϕ xuu ϕ 3 y ϕ uuu ϕ y ϕ 2 x ϕ uuu 2 ϕ x ϕ uu ϕ yy + 7 ϕ 2 x ϕ yu ϕ uu 6 ϕ x ϕ uu ϕ xx 4 ϕ y ϕ uu ϕ xy 3 ϕ 2 y ϕ 2 uu ϕ x 3 ϕ 2 y ϕ uu ϕ yu 4 ϕ xu ϕ xy 3 ϕ 3 x ϕ 2 uu + 6 ϕ xx ϕ yu 4 ϕ x ϕ 2 yu 4 ϕ x ϕ 2 xu + 2 ϕ yu ϕ yy 10 ϕ x ϕ y ϕ xu ϕ uu 6 ϕ x ϕ xxu + 4 ϕ y ϕ xyu + 2 ϕ x ϕ yyu + 4 ϕ x ϕ y ϕ xuu 2 ϕ 2 x ϕ yuu + 2 ϕ 2 y ϕ yuu + + ϕ 3 x ϕ uuu + ϕ x ϕ 2 y ϕ uuu + 3 ϕ 2 y ϕ xu ϕ uu 8 ϕ xu ϕ yu ϕ x + 9 ϕ uu ϕ xu ϕ 2 x+ + 4 ϕ xy ϕ yu + 8 ϕ y ϕ 2 xy + 2 ϕ yy ϕ xu + 6 ϕ xx ϕ xu + 6 ϕ x ϕ y ϕ yu ϕ uu + + ϕ 4 u 3 ϕ xxx 3 ϕ xyy + 2 ϕ x ϕ xyu ϕ y ϕ yyu 3 ϕ y ϕ xxu 3 ϕ 2 x ϕ xuuu 2 ϕ x ϕ y ϕ yuu ϕ 2 y ϕ xuu 3 ϕ x ϕ uu ϕ xx ϕ x ϕ uu ϕ yy 6 ϕ x ϕ 2 xu 2 ϕ x ϕ 2 yu 2 ϕ y ϕ uu ϕ xy 4 ϕ y ϕ xu ϕ yu 2 ϕ xu ϕ xy + 3 ϕ xx ϕ yu + ϕ yu ϕ yy + + ϕ 5 u ϕ x ϕ yyu + 2 ϕ y ϕ xyu + 3 ϕ x ϕ xxu + ϕ yy ϕ xu + 3 ϕ xx ϕ xu + 2 ϕ xy ϕ yu + + ϕ 6 u ϕ xxx ϕ xyy.

59 59 Enfin : Introduire les H k -dérivées itérées des fonctions Φ i jusqu à l ordre 3 : H k1 Φ i = A i,k 1 4 Υ 2 H k2 H k1 Φ i = A i,k 1,k 2 6 Υ 3, H k3 H k2 H k1 Φ i = A i,k 1,k 2,k 3 8 Υ 4, où i, k 1, k 2, k 3 = 1, 2. Fait 3 : Le développement complet de chacun des seize A i,k1,k 2,k 3 s étend sur plus d une centaine de pages de long.

60 60 Proposition. AMS 2011] Tous les numérateurs qui apparaissent s expriment via les formules progressives : A i,k1 := 2 Υ A i,xk1 Υ xk1 A i + 2 xk1 Υ A i + Υ Λ k1 A i,u Υ u Λ k1 A i 2 u Υ Λ k1 A i A i,k1,k 2 := 2 Υ A i,k1,x k2 2 Υ xk2 A i,k1 + 3 xk2 Υ A i,k1 + Υ Λ k2 A i,k1,u i, k 1 = 1, 2, 2 Υ u Λ k2 A i,k1 3 u Υ Λ k2 A i,k1 i, k 1, k 2 = 1, 2, A i,k1,k 2,k 3 = 2 Υ A i,k1,k 2,x k3 Υ xk3 A i,k1,k xk3 Υ A i,k1,k 2 + Υ Λ k3 A i,k1,k 2,u 3 Υ u Λ k3 A i,k1,k 2 6 u Υ Λ k3 A i,k1,k 2 i, k 1, k 2, k 3 = 1, 2. De plus, la relations suivante est satisfaite : H 2 Φ 1 H 1 Φ 2 ainsi que les quatre relations tirées des identités de Jacobi : 0 H 1 H 2 H 1 Φ H 2 H 1 H 1 Φ 2 H 2 H 2 H 1 Φ 1 Φ 2 H 1 H 2 Φ 1 + Φ 2 H 2 H 1 Φ 1, 0 H 2 H 1 H 1 Φ H 1 H 2 H 1 Φ 2 H 1 H 1 H 2 Φ 2 Φ 1 H 2 H 1 Φ 2 + Φ 1 H 1 H 2 Φ 2, 0 H 1 H 1 H 1 Φ H 1 H 2 H 1 Φ 1 H 2 H 1 H 1 Φ Φ 1 H 1 H 1 Φ 2 Φ 1 H 2 H 1 Φ 1, 0 H 2 H 2 H 1 Φ 2 2 H 2 H 1 H 2 Φ 2 + H 1 H 2 H 2 Φ 2 Φ 2 H 2 H 1 Φ 2 + Φ 2 H 1 H 2 Φ 2.

61 Théorème. AMS 2011] Les deux courbures principales de la connexion de Cartan associée canoniquement à une hypersurface M 3 C 2 : s expriment comme : 1 = H 1 H 1 H 1 Φ 1 H 2 H 2 H 2 Φ H 1 H 2 H 1 Φ 2 11 H 2 H 1 H 2 Φ Φ 2 H 2 H 1 Φ 1 6 Φ 1 H 1 H 2 Φ 2 3 Φ 2 H 1 H 1 Φ Φ 1 H 2 H 2 Φ 1 3 Φ 1 H 1 H 1 Φ Φ 2 H 2 H 2 Φ 2 2 Φ 1 H 1 Φ Φ 2 H 2 Φ 2 ] 2 Φ 2 2 H 1 Φ Φ 1 2 H 2 Φ 2 2 Φ 2 2 H 2 Φ Φ 1 2 H 1 Φ 1, 4 = H 2 H 1 H 2 Φ 2 3 H 1 H 2 H 1 Φ H 1 H 2 H 2 Φ H 2 H 1 H 1 Φ Φ 1 H 1 H 1 Φ Φ 2 H 2 H 1 Φ 2 3 Φ 2 H 1 H 1 Φ 1 3 Φ 1 H 2 H 2 Φ 2 7 Φ 2 H 1 H 2 Φ 2 7 Φ 1 H 2 H 1 Φ 1 2 H 1 Φ 1 H 1 Φ 2 2 H 2 Φ 2 H 2 Φ 1 + ] + 4 Φ 1 Φ 2 H 1 Φ Φ 1 Φ 2 H 2 Φ Corollaire. AMS 2011] Une hypersurface de classe C 6 Levi non-dégénérée M 3 C 2 est localement biholomorphe à la sphère de Heisenberg H 3, si et seulement si l on a : 1 4 0, identiquement comme fonctions de x, y, u. Observation. Les deux numérateurs de ces deux courbures principales 1 et 4 incorporent : et monômes dans l anneau à 83 variables : Z ϕ x, ϕ y, ϕ x 2, ϕ xy, ϕ y 2,......, ϕ x 6,..., ϕ y 6].

62 62 Quelques formules tirées des textes : α tj = 3a 4 + 3b 4 4e 2 Φ 1 a 2 bc + caφ 2 b 2 Φ 1 ab 2 d Φ 2 a 2 bd 2Φ 2 bce 2Φ 1 ace 2Φ 2 ade + 2Φ 1 bde Φ 1 a 3 d + Φ 2 a 3 c Φ 1 b 3 c Φ 2 b 3 d + 6a 2 b H 1Φ H 2Φ 2 ] b 2 d H 2Φ 2 H 1 Φ H 1H 1 Φ 1 Φ H 2Φ Φ 2 2 H 2 Φ H 1Φ Φ2 1H 1 Φ H 1H 2 H 1 Φ H 2H 2 H 2 Φ H 1H 1 H 1 Φ Φ 2 2 H 1 Φ H 2H 2 Φ 2 Φ H 2H 1 H 1 Φ H 2H 1 Φ 1 Φ Φ 1H 2 H 1 Φ Φ 1 2 H 2 Φ H 2H 2 H 1 Φ H 1H 2 Φ 2 Φ H 1H 1 H 2 Φ Φ 2H 1 H 1 Φ 2 ] d H 2Φ 2 H 1 Φ H 2H 2 H 1 Φ H 2H 2 H 2 Φ H 1H 1 H 1 Φ H 1H 2 H 1 Φ H 2H 2 Φ 2 Φ H 1H 2 Φ 2 Φ Φ2 2H 1 Φ H 1H 1 H 2 Φ Φ2 2H 2 Φ H 1Φ Φ 2H 1 H 1 Φ H 2Φ H 2H 1 Φ 1 Φ H 1H 1 Φ 1 Φ Φ2 1H 2 Φ Φ2 1H 1 Φ Φ 1H 2 H 1 Φ H 2H 1 H 1 Φ 2 ] c 2 d H 1H 1 Φ H 2Φ 2 Φ H 1H 2 Φ H ] 1Φ 1 Φ 1 bcd H 2H 1 Φ H 2H 2 Φ H 2Φ 2 Φ H ] 1Φ 1 Φ 2 acd H 1H 1 Φ H 2Φ 2 Φ H 1H 2 Φ H ] 1Φ 1 Φ 1 ad H 2H 1 Φ H 2H 2 Φ H 2Φ 2 Φ H ] 1Φ 1 Φ 2 ac H1 Φ 1 + H 2 Φ 2 ] a 2 d H2 Φ 2 Φ 2 H 2 H 1 Φ 1 H 2 H 2 Φ 2 + H 1 Φ 1 Φ 2 ] bd H 1H 1 Φ H 2Φ 2 Φ H 1H 2 Φ H 1Φ 1 Φ 1 ] bc H1 Φ 1 + H 2 Φ 2 ] a 2 c H1 Φ 1 + H 2 Φ 2 ] b 2 c H2 Φ 2 Φ 2 H 2 H 1 Φ 1 H 2 H 2 Φ 2 + H 1 Φ 1 Φ 2 ] dbc H1 H 1 Φ 1 + H 2 Φ 2 Φ 1 H 1 H 2 Φ 2 + H 1 Φ 1 Φ 1 ] ac 2 d H 2Φ 2 H 1 Φ H 1H 1 Φ 1 Φ H 2Φ Φ2 2H 2 Φ H 1Φ Φ2 1H 1 Φ H 1H 2 H 1 Φ H 2H 2 H 2 Φ H 1H 1 H 1 Φ Φ2 2H 1 Φ H 2H 2 Φ 2 Φ H 2H 1 H 1 Φ H 2H 1 Φ 1 Φ Φ 1H 2 H 1 Φ Φ2 1H 2 Φ H 2H 2 H 1 Φ H 1H 2 Φ 2 Φ H 1H 1 H 2 Φ Φ 2H 1 H 1 Φ 2 ] c 4. 0 κ h 1h 2 t = T Ĥ1, Ĥ2] 4 T 1 κ h 1h 2 h 1 = Ĥ 1 Ĥ1, Ĥ2] 4 T 1 κ h1h2 h 2 = Ĥ 2 Ĥ1, Ĥ2] 4 T 1 κ h 1t t = T Ĥ1, T ] 1 κ h 2t t = T Ĥ2, T ] 2 κ h1h2 d = D Ĥ1, Ĥ2] 4 T 2 κ h 1h 2 r = R Ĥ1, Ĥ2] 4 T 2 κ h 1t h 1 = Ĥ 1 Ĥ1, T ] 2 κ h 1t h 2 = Ĥ 2 Ĥ1, T ] 2 κ h2t h 1 = Ĥ 1 Ĥ2, T ] 2 κ h2t h 2 = Ĥ 2 Ĥ2, T ] 3 κ h 1h 2 i 1 = Î 1 Ĥ1, Ĥ2] 4 T 3 κ h 1h 2 i 2 = Î 2 Ĥ1, Ĥ2] 4 T 3 κ h1t d = D Ĥ1, T ] 3 κ h2t d = D Ĥ2, T ] 3 κ h 1t r = R Ĥ1, T ] 3 κ h2t r = R Ĥ2, T ] 4 κ h 1h 2 j = Ĵ Ĥ1, Ĥ2] 4 T 4 κ h1t i 1 = Î 1 Ĥ1, T ] 4 κ h 1t i 2 = Î 2 Ĥ1, T ] 4 κ h 2t i 1 = Î 1 Ĥ2, T ] 4 κ h2t i 2 = Î 2 Ĥ2, T ] 5 κ h1t j = Ĵ Ĥ1, T ] 5 κ h 2t j = Ĵ Ĥ2, T ] H1, H 1, H 1, H 1, H 1, H ]]]] 2] = 1 H 1H 1H 1Φ 1 + 4Φ 1H 1H 1Φ H 1Φ 1H 1Φ 1 + 6Φ 1 2 H 1Φ 1 + Φ 1 4 H 1, H 2], H1, H 1, H 1, H 2, H 1, H ]]]] 2] = 2 H 1H 1H 1Φ 2 + 3Φ 1H 1H 1Φ 2+ + Φ 2 H 1 H 1 Φ 1 + 3H 1 Φ 1 H 1 Φ Φ 1Φ 2H 1Φ 1 + 3Φ 1 2 H 1Φ 2 + Φ 1 3 Φ 2 H1, H 2], H1, H 1, H 2, H 2, H 1, H ]]]] 2] = 3 H 1H 1H 2Φ 2 + 2Φ 1H 1H 2Φ Φ 2 H 1 H 1 Φ 2 + H 1 Φ 1 H 2 Φ 2 + 2H 1 Φ 2 H 1 Φ Φ 1 2 H 2 Φ 2 + Φ 2 2 H 1 Φ 1 + 4Φ 1 Φ 2 H 1 Φ 2 + Φ 1 2 Φ 2 2 H 1, H 2 ], H1, H 2, H 1, H 1, H 1, H ]]]] 2] = 4 H 1H 2H 1Φ 1 + 2Φ 1H 1H 1Φ 2+ + Φ 2 H 1 H 1 Φ 1 + Φ 1 H 2 H 1 Φ 1 + 3H 1 Φ 1 H 2 Φ Φ 1 Φ 2 H 1 Φ 1 + 3Φ 1 2 H 1 Φ 2 + Φ 1 3 Φ 2 H1, H 2 ],

63 63 H1, H 2, H 1, H 2, H 1, H 2 ] ]]]] 5 = H 1 H 2 H 1 Φ 2 + Φ 1 H 1 H 2 Φ 2 + 2Φ 2 H 1 H 1 Φ Φ 1 H 2 H 1 Φ 2 + H 1 Φ 1 H 2 Φ 2 + 2H 1 Φ 2 H 1 Φ Φ 1 Φ 2 H 1 Φ 2 + Φ 1 2 H 2 Φ 2 + Φ 2 2 H 1 Φ 1 + Φ 1 2 Φ 2 2 H 1, H 2 ], H1, H 2, H 2, H 2, H 1, H 2] ]]]] 6 = H 1H 2H 2Φ 2 + 3Φ 2H 1H 2Φ 2+ + Φ 1 H 2 H 2 Φ 2 + 3H 1 Φ 2 H 2 Φ Φ 2 2 H 1Φ 2 + 3Φ 1Φ 2H 2Φ 2 + Φ 1Φ 2 3 H 1, H 2], H2, H 1, H 1, H 1, H 1, H 2 ] ]]]] 7 = H 2 H 1 H 1 Φ 1 + 3Φ 1 H 2 H 1 Φ Φ 2 H 1 H 1 Φ 1 + 3H 1 Φ 1 H 1 Φ Φ 1 2 H 1 Φ 2 + 3Φ 1 Φ 2 H 1 Φ 1 + Φ 1 3 Φ 2 H1, H 2 ], H2, H 1, H 1, H 2, H 1, H 2] ]]]] 8 = H 2H 1H 1Φ 2 + 2Φ 1H 2H 1Φ 2 + Φ 2H 2H 1Φ 1+ + Φ 2 H 1 H 1 Φ 2 + 2H 1 Φ 2 H 1 Φ 2 + H 2 Φ 2 H 1 Φ Φ 1Φ 2H 1Φ 2 + Φ 1 2 H 2Φ 2 + Φ 2 2 H 1Φ 1 + Φ 1 2 Φ 2 2 H 1, H 2], H2, H 1, H 2, H 2, H 1, H 2 ] ]]]] 9 = H 2 H 1 H 2 Φ 2 + 2Φ 2 H 2 H 1 Φ Φ 1 H 2 H 2 Φ 2 + Φ 2 H 1 H 2 Φ 2 + 3H 1 Φ 2 H 2 Φ Φ 2 2 H 1 Φ 2 + 3Φ 1 Φ 2 H 2 Φ 2 + Φ 1 Φ 2 3 H 1, H 2 ], H2, H 2, H ]]]] 10 1, H 1, H 1, H 2] = H 2H 2H 1Φ 1 + 2Φ 1H 2H 1Φ Φ 2 H 2 H 1 Φ 1 + 2H 1 Φ 2 H 1 Φ 2 + H 1 Φ 1 H 2 Φ Φ 1Φ 2H 1Φ 2 + Φ 1 2 H 2Φ 2 + Φ 2 2 H 1Φ 1 + Φ 1 2 Φ 2 2 H 1, H 2], H2, H 2, H 1, ]]]] 11 H 2, H 1, H 2 ] = H 2 H 2 H 1 Φ 2 + Φ 1 H 2 H 2 Φ Φ 2 H 2 H 1 Φ 2 + 3H 1 Φ 2 H 2 Φ Φ 2 2 H 1 Φ 2 + 3Φ 1 Φ 2 H 2 Φ 2 + Φ 1 Φ 2 3 H 1, H 2 ], H2, H 2, H 2, ]]]] 12 H 2, H 1, H 2 ] = H 2 H 2 H 2 Φ 2 + 4Φ 2 H 2 H 2 Φ H 2 Φ 2 H 2 Φ 2 + 6Φ 2 2 H 2 Φ 2 + Φ 2 4 H 1, H 2 ].

64 64 VI Hypersurfaces M 5 C 3 de Levi-rang 1 Mémoire doctoral de Samuel Pocchiola] Hypersurface analytique réelle locale : M 5 C 3. Deux générateurs de T 1,0 M : L 1 = + A z 1 1 w, L 2 = Graphe proche du modèle : u = F z 1, z 2, z 1, z 2, v + A z 2 2 w, = z 1 z z2 1 z z2 1 z 2 + z 1 z 1 z 2 z 2 + O5. Forme de Levi de rang 1 : L1 A 1 L 1 A 1 1 L2 A 1 L 1 A 2 1 L1 A 2 L 2 A 1 1 L2 A 2 L 2 A 2 k 1 Champ générateur du noyau de la forme de Levi : K := L 2 + k L 1 Coefficient directeur du noyau : k := L 1 2 A + L1 A 2 1 L 1 A L1 A 1 = z 1 + O2.

65 Champ transverse : T := i L 1, L 1 ]. 65 Crochet : K, L1 ] = k L1 + L 2, L 1 ] = k L 1, L 1 ] + L, L1 ] L1 k L 1 = L 1 k L 1. Structure de Lie : T, L ] = P T, T, L ] = P T, T, K ] = L1 k T + T k L 1, T, K ] = L1 k T + T k L 1, L1, L 1 ] = i T, L1, K ] = L 1 k L 1, L1, K ] = L 1 k L 1, L1, K ] = L 1 k L 1 L1, K ] = L 1 k L 1 K, K ] = 0, Relations de Jacobi : K P = P L 1 k L 1 L 1 k, and K P = P L 1 k L 1 L1 k.

66 66 Structure de Darboux-Cartan du co-repère dual initial : dρ 0 = P ρ 0 κ 0 + P ρ 0 κ 0 L 1 k ρ 0 ζ 0 L 1 k ρ 0 ζ 0 + i κ κ 0 dκ 0 = L 1 k κ 0 ζ 0 + L 1 k ζ 0 κ 0 T k ρ 0 κ 0 dζ 0 = 0 dκ 0 = L 1 k κ 0 ζ 0 L 1 k κ 0 ζ 0 T k ρ 0 κ 0 dζ 0 = 0. Groupe d ambiguïté initiale : cc b c g := d e f 0 0 b 0 0 c 0, d 0 0 e f Première normalisation : f = c c L 1k. Formes de Maurer-Cartan à la deuxième étape : β 1 := dc c β 2 := db cc bdc c 2 c β 3 := dc + eb dc c 3 c β 4 := edc c 2 + edc cc + de c. dc + eb dc c 2 c 2 + dd cc bde c 2 c

67 Structure : dρ = β 1 ρ + β 1 ρ + U ρ ρκ ρ κ + U ρ ρζ ρ ζ + U ρ ρκ ρ κ + U ρ ρζ ρ ζ + i κ κ, dκ = β 1 κ + β 2 ρ + U κ ρκ ρ κ + U κ ρζ ρ ζ + U κ ρκ ρ κ + U κ ρζ ρ ζ + U κ κζ κ ζ + U κ κκ κ κ + ζ κ, dζ = β 3 ρ + β 4 κ + β 1 ζ β 1 ζ + U ζ ρκ ρ κ + U ζ ρζ ρ ζ + U ζ ρκ ρ κ + U ζ ρζ ρ ζ + U ζ κζ κ ζ + U ζ κκ κ κ + U ζ κζ κ ζ + U ζ ζκ ζ κ + U ζ ζζ ζ ζ. Coefficients de torsion : U ρ ρκ = i b cc + ec c 2 L 1 k L 1 k + P c, U ρ ρζ = c L 1 k c L 1 k, U ρ ρκ = i b cc + ec L 1 k c 2 + P L 1 k c, U ρ ρζ = c c L 1 k L 1 k, 67 U κ ρκ = T k cc eb c 2 c d c 2 L 1 k L 1 k + i bb c 2 c 2 + be c 3 L 1 k L 1 k + b c 2 c P, U κ ρζ = b cc, Uρκ κ = d cc + eb c 2 c i b2 c 2 c 2 + be L 1 k c 3 + b L 1 k cc 2 P, U κ ρζ = b c 2 L 1 k L 1 k,

68 68 U κ κζ = c c L 1 k L 1 k, U κ κκ = e c + i b cc, Uρκ ζ = d L 1 L1 k ed L 1 k c 2 c L 1 k cc 2 + eeb L 1 k L 1 k c 3 + c L 1 k + eb L 1 L1 k c 2 c 2 e T L 1 k L 1 k c 2 c L 1 k e c 2 c T k e2 b cc + i db 3 c 2 c 2 + d c 2 c P, U ζ ρζ = d L 1 k c 2 eb L 1 k L 1 k c 3 b L 1 L1 k L 1 k cc 2 b L 1 L1 k L 1 k c 2 c L 1 k + T L1 k + eb cc L 1 k c 2 c + be L 1 k c 3 L 1 k d L 1 k c 2 L 1 k, U ζ ρκ = 2 ed L 1 k c 3 eeb L 1 k L 1 k c 3 + d L 1 L1 k c L 1 k cc 2 L 1 k eb L 1 L1 k c 2 c 2 ed L 1 k c 2 c + e2 b cc i db 3 c 2 c 2 + d cc 2 P, U ζ = 2 d L 1 k ρζ c 2 + eb L 1 k L 1 k cc 2, L 1 k U ζ κζ = 1 L 1 L1 k ec L 1 k c L 1 k c 2 L 1 k, U ζ κκ = ee L 1 k c 2 + e L 1 L1 k e2 L 1 k cc L 1 k c + i d 2 cc,

69 69 U ζ = e L 1 k, κζ c L 1 k U ζ ζκ = ec L 1 k c 2 1 L 1 L1 k L 1 k c L 1 k U ζ ζζ = c L 1 k. c L 1 k + e c, Coefficient normalisable : b = i ce + i c L1 L1 k 3 L 1 k P. Troisième étape : Normalisation de : d = i 1 2 i 1 9 e 2 c c + i 2 9 c c c c P 2 + i 1 6.c c L 1 L 1 L1 k 2 + i 1 c L 1 L1 k P L 1 k 2 18 c L 1 k 1 c L 1 L1 L1 k P i. 6 c L 1 k Premier invariant imposant une bifurcation : W := L 1 L1 k + 2 L 1 L1 k + 1 K P L 1 k 3 L 1 k 3 L 1 k L 1 L1 k K L 1 k 1 K L 1 L1 k + P 3 L 1 k 3 3 L 1 k 2 3.

70 70 Second invariant imposant une bifurcation : J = 5 L 1 L1 k 2 P L 1 k 2 3 P L 1 L 1 L1 k 1 P P L 1 k + 20 L 1 L1 k 3 5 L 1 L1 k L 1 L1 L1 k + 27 L 1 k 3 6 L 1 k L 1 L1 k L 1 P 1 L 1 L1 L1 k P 6 L 1 k 6 L 1 k 2 27 P L 1 L1 P.

71 VII Déformations de la cubique de Beloshapka 71 Coordonnées dans C 4 : z, w1, w 2, w 3 C 4. Cubique modèle de dimension CR n = 1 dans C 4 : Beloshapka 2000] w 1 w 1 = 2izz, w 2 w 2 = 2izzz + z, w 3 w 3 = 2zzz z. Proposition. L algèbre de Lie : aut CR M = 2 Re holm des automorphismes CR infinitésimaux de la cubique modèle est 7-dimensionnelle, engendrée par les parties réelles des sept champs holomorphes R-linéairement indépendants suivants : T := w1, S 1 := w2, S 2 := w3, L 1 := z + 2iz w1 + 2iz 2 + 4w 1 w2 + 2z 2 w3, L 2 := i z + 2z w1 + 2z 2 w2 2iz 2 4w 1 w3, D := z z + 2w 1 w1 + 3w 2 w2 + 3w 3 w3, R := iz z w 3 w2 + w 2 w3.

72 72 Tableau de commutation : S 2 S 1 T L 2 L 1 D R S S 2 S 1 S S 1 S 2 T 0 4S 2 4S 1 2T 0 L 2 0 4T L 2 L 1 L 1 0 L 1 L 2 D 0 0 R 0. Poser : g := aut CR M, Décomposer : g 3 := Span R S1, S 2, g 2 := Span R T, g 1 := Span R L1, L 2, g 0 := Span R D, R. Graduation naturelle : g = g 3 g 2 g }{{ 1 g } 0 g 1. = n 4 5 classification de Goze-Remm Coordonnées : zx + iy, u1 + iv 1, u 2 + iv 2, u 3 + iv 3 C 4.

73 Graphe 5-dimensionnel : v 1 = ϕ 1 x, y, u1, u 2, u 3, v 2 = ϕ 2 x, y, u1, u 2, u 3, v 3 = ϕ 3 x, y, u1, u 2, u 3, 73 Champ générateur du fibré T 0,1 M : L = z + A 1 + A w 2 1 Expression de ses coefficients : Dénominateur : A 1 = Λ1 1 + iλ1 2, A 2 = Λ2 1 + iλ2 2, A 3 = Λ3 1 + iλ3 2, = σ 2 + τ 2. w 2 + A 3 w 3, Avec : σ = ϕ 3u3 + ϕ 1u1 + ϕ 2u2 ϕ 1u2 ϕ 3u1 ϕ 2u3 ϕ 1u3 ϕ 2u1 ϕ 3u2 + ϕ 1u2 ϕ 2u1 ϕ 3u3 ϕ 1u1 ϕ 2u2 ϕ 3u3 + ϕ 1u1 ϕ 2u3 ϕ 3u2 + ϕ 1u3 ϕ 3u1 ϕ 2u2, τ = 1 + ϕ 1u1 ϕ 2u2 ϕ 2u3 ϕ 3u2 ϕ 1u3 ϕ 3u1 + ϕ 2u2 ϕ 3u3 ϕ 1u2 ϕ 2u1 + ϕ 1u1 ϕ 3u3,

74 74 Numérateurs : Λ 1 1 = ϕ 3u3 ϕ 2x ϕ 1u2 ϕ 1u3 ϕ 3y + ϕ 2u2 ϕ 1x ϕ 3u3 + ϕ 3u3 ϕ 1y ϕ 1x ϕ 2y ϕ 1u2 + + ϕ 2u3 ϕ 3x ϕ 1u2 + ϕ 2u2 ϕ 1y ϕ 2u3 ϕ 3u2 ϕ 1x ϕ 2u2 ϕ 1u3 ϕ 3x + ϕ 2x ϕ 1u3 ϕ 3u2 σ+ + ϕ 1u3 ϕ 3x ϕ 1y + ϕ 2x ϕ 1u2 + ϕ 2u3 ϕ 1u2 ϕ 3y ϕ 2u2 ϕ 1x ϕ 2u3 ϕ 3u2 ϕ 1y ϕ 3u3 ϕ 1x ϕ 2u2 ϕ 1u3 ϕ 3y ϕ 3u3 ϕ 1u2 ϕ 2y + ϕ 1u3 ϕ 3u2 ϕ 2y + ϕ 2u2 ϕ 3u3 ϕ 1y τ, Λ 1 2 = ϕ 1u3 ϕ 3x ϕ 1y + ϕ 2x ϕ 1u2 + ϕ 2u3 ϕ 1u2 ϕ 3y ϕ 2u2 ϕ 1x ϕ 2u3 ϕ 3u2 ϕ 1y ϕ 3u3 ϕ 1x ϕ 2u2 ϕ 1u3 ϕ 3y ϕ 3u3 ϕ 1u2 ϕ 2y + ϕ 1u3 ϕ 3u2 ϕ 2y + ϕ 2u2 ϕ 3u3 ϕ 1y σ ϕ 3u3 ϕ 2x ϕ 1u2 ϕ 1u3 ϕ 3y + ϕ 2u2 ϕ 1x ϕ 3u3 + ϕ 3u3 ϕ 1y ϕ 1x ϕ 2y ϕ 1u2 + + ϕ 2u3 ϕ 3x ϕ 1u2 + ϕ 2u2 ϕ 1y ϕ 2u3 ϕ 3u2 ϕ 1x ϕ 2u2 ϕ 1u3 ϕ 3x + ϕ 2x ϕ 1u3 ϕ 3u2 τ, Λ 2 1 = ϕ 2x + ϕ 3u3 ϕ 2y + ϕ 1u3 ϕ 2u1 ϕ 3x ϕ 2u3 ϕ 3y ϕ 1u3 ϕ 3u1 ϕ 2x ϕ 2u1 ϕ 1y ϕ 2u1 ϕ 3u3 ϕ 1x + ϕ 1u1 ϕ 2y ϕ 1u1 ϕ 2u3 ϕ 3x + ϕ 3u1 ϕ 2u3 ϕ 1x + ϕ 1u1 ϕ 3u3 ϕ 2x σ+ + ϕ 1u1 ϕ 2u3 ϕ 3y + ϕ 1u3 ϕ 2u1 ϕ 3y ϕ 1u3 ϕ 3u1 ϕ 2y + ϕ 3u1 ϕ 2u3 ϕ 1y + ϕ 2u3 ϕ 3x ϕ 2u1 ϕ 3u3 ϕ 1y ϕ 3u3 ϕ 2x + ϕ 1u1 ϕ 3u3 ϕ 2y + ϕ 2u1 ϕ 1x ϕ 1u1 ϕ 2x ϕ 2y τ, Λ 2 2 = ϕ 1u1 ϕ 2u3 ϕ 3y + ϕ 1u3 ϕ 2u1 ϕ 3y ϕ 1u3 ϕ 3u1 ϕ 2y + ϕ 3u1 ϕ 2u3 ϕ 1y + ϕ 2u3 ϕ 3x ϕ 2u1 ϕ 3u3 ϕ 1y ϕ 3u3 ϕ 2x + ϕ 1u1 ϕ 3u3 ϕ 2y + ϕ 2u1 ϕ 1x ϕ 1u1 ϕ 2x ϕ 2y σ ϕ 2x + ϕ 3u3 ϕ 2y + ϕ 1u3 ϕ 2u1 ϕ 3x ϕ 2u3 ϕ 3y ϕ 1u3 ϕ 3u1 ϕ 2x ϕ 2u1 ϕ 1y ϕ 2u1 ϕ 3u3 ϕ 1x + ϕ 1u1 ϕ 2y ϕ 1u1 ϕ 2u3 ϕ 3x + ϕ 3u1 ϕ 2u3 ϕ 1x + ϕ 1u1 ϕ 3u3 ϕ 2x τ, Λ 3 1 = ϕ 2u1 ϕ 1u2 ϕ 3x ϕ 3u1 ϕ 1y + ϕ 2u1 ϕ 3u2 ϕ 1x + ϕ 1u1 ϕ 3y ϕ 3u1 ϕ 2u2 ϕ 1x ϕ 3u2 ϕ 2y + ϕ 3u1 ϕ 1u2 ϕ 2x + ϕ 2u2 ϕ 3y ϕ 3u2 ϕ 1u1 ϕ 2x + ϕ 1u1 ϕ 2u2 ϕ 3x ϕ 3x σ+ + ϕ 3u2 ϕ 1u1 ϕ 2y + ϕ 2u1 ϕ 3u2 ϕ 1y + ϕ 3u1 ϕ 1x + ϕ 3u1 ϕ 1u2 ϕ 2y ϕ 2u1 ϕ 1u2 ϕ 3y + + ϕ 3u2 ϕ 2x ϕ 1u1 ϕ 3x ϕ 3u1 ϕ 2u2 ϕ 1y + ϕ 1u1 ϕ 2u2 ϕ 3y ϕ 3y ϕ 2u2 ϕ 3x τ, Λ 3 2 = ϕ 3u2 ϕ 1u1 ϕ 2y + ϕ 2u1 ϕ 3u2 ϕ 1y + ϕ 3u1 ϕ 1x + ϕ 3u1 ϕ 1u2 ϕ 2y ϕ 2u1 ϕ 1u2 ϕ 3y + + ϕ 3u2 ϕ 2x ϕ 1u1 ϕ 3x ϕ 3u1 ϕ 2u2 ϕ 1y + ϕ 1u1 ϕ 2u2 ϕ 3y ϕ 3y ϕ 2u2 ϕ 3x σ ϕ 2u1 ϕ 1u2 ϕ 3x ϕ 3u1 ϕ 1y + ϕ 2u1 ϕ 3u2 ϕ 1x + ϕ 1u1 ϕ 3y ϕ 3u1 ϕ 2u2 ϕ 1x ϕ 3u2 ϕ 2y + ϕ 3u1 ϕ 1u2 ϕ 2x + ϕ 2u2 ϕ 3y ϕ 3u2 ϕ 1u1 ϕ 2x + ϕ 1u1 ϕ 2u2 ϕ 3x ϕ 3x τ,

75 Troisième champ indépendant : T := i L, L ]. 75 Calcul direct : T = Υ 1 3 u 1 + Υ 2 3 u 2 + Υ 3 3 u 3, Expressions des numérateurs : Υ 1 = 2 Λ 1 2x x Λ Λ 1 1y + y Λ Λ 1 1Λ 1 2u 1 Λ 1 2Λ 1 1u 1 Λ 2 2Λ 1 1u u2 Λ 1 1Λ 2 2 Λ 3 2Λ 1 1u 3 + u3 Λ 3 2Λ Λ 2 1Λ 1 2u 2 u2 Λ 2 1Λ Λ 3 1Λ 1 2u 3 u3 Λ 3 1Λ 1 2, Υ 2 = 2 Λ 2 2x x Λ Λ 1 1Λ 2 2u 1 u1 Λ 1 1Λ Λ 2 1y + y Λ 2 1 Λ 1 2Λ 2 1u u1 Λ 1 2Λ Λ 2 1Λ 2 2u 2 Λ 2 2Λ 2 1u 2 + Λ 3 1Λ 2 2u 3 u3 Λ 3 1Λ 2 2 Λ 3 2Λ 2 1u 3 + u3 Λ 3 2Λ 2 1, Υ 3 = 2 Λ 3 2x x Λ Λ 1 1Λ 3 2u 1 u1 Λ 1 1Λ Λ 3 1y + y Λ 3 1 Λ 1 2Λ 3 1u u1 Λ 1 2Λ 3 1 Λ 2 2Λ 3 1u 2 + u2 Λ 2 2Λ Λ 3 1Λ 3 2u 3 Λ 3 2Λ 3 1u 3 + Λ 2 1Λ 3 2u 2 u2 Λ 2 1Λ 3 2. Deux autres champs complétant un repère : S := L, T ], S := L, T ]. Expression notationnellement contractée : S = Γ1 1 iγ Γ2 1 iγ 2 2 u 1 5 Expansions partielles : + Γ3 1 iγ 3 2 u 2 5 u 3, Γ 1 i = Υ 1xi 3 xi Υ 1 + Λ 1 i Υ 1u1 2 u1 Λ 1 i Υ 1 Λ 1 iu 1 Υ 1 Λ 1 iu 2 Υ u2 Λ 1 i Υ 2 Λ 1 iu 3 Υ 3 + u3 Λ 1 i Υ 3 + Λ 2 i Υ 1u2 3 u2 Λ 2 i Υ 1 + Λ 3 i Υ 1u3 3 u3 Λ 3 i Υ 1, Γ 2 i = 2 2 Υ 2xi 3 xi Υ 2 + Λ 1 i Υ 2u1 3 u1 Λ 1 i Υ 2 Λ 2 iu 1 Υ 1 + u1 Λ 2 i Υ Λ 2 i Υ 2u2 2 u2 Λ 2 i Υ 2 Λ 2 iu 2 Υ 2 Λ 2 iu 3 Υ 3 + u3 Λ 2 i Υ 3 + Λ 3 i Υ 2u3 3 u3 Λ 3 i Υ 2, Γ 3 i = 2 2 Υ 3xi 3 xi Υ 3 + Λ 1 i Υ 3u1 3 u1 Λ 1 i Υ 3 + Λ 2 i Υ 3u2 3 u2 Λ 2 i Υ 3 Λ 3 iu 1 Υ 1 + u1 Λ 3 i Υ 1 Λ 3 iu 2 Υ 2 + u2 Λ 3 i Υ 2 + Λ 3 i Υ 3u3 2 u3 Λ 3 i Υ 3 Λ 3 iu 3 Υ 3. Même au départ initial, les données explosent!