Mourad Bellassoued 1

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1 ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations September 001, Vol. 6, URL: UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈMEDELAMÉ Mourad Bellassoued 1 Abstract. In this paper, we study the uniqueness problem for the Lamé system. We prove that we have the uniqueness property across any non characteristic surface. We also give two results which apply to the boundary controllability for the Lamé system. Résumé. Dans cet article on étudie le problème de l unicité localepourlesystème de Lamé. On prouve qu on a l unicité de Cauchy par rapport à toute surface non caractéristique. Nous donnons également deux résultats de densité qui s applique àlathéorie du contrôle pour le système de Lamé. Classification mathématique. 35A07, 73B05, 35Q75. Reçu le 6 janvier Révisé le 5 mai 000, et les 9 janvier et 8 mai 001. Sommaire 1. Introduction 56. Notations. Énoncés des résultats Unicité decauchy Adaptation àlathéorie du contrôle Transformation de Fourier Bros Iagolnitzer F.B.I Propriétés élémentaires Transformation F.B.I et opérateurs différentiels Localisation en fréquence Retour vers le réel Inégalité de Carleman pour l opérateur Q Inégalité de Carleman scalaire Inégalité de Carleman pour le système réduit Inégalité de Carleman pour le systèmedelamé Preuve du théorème Preuve de la proposition Fin de la preuve du théorème Preuve des théorèmes. et Appendice A 584 Appendice B 586 Références 59 Mots-clés et phrases: Uniqueness, controllability, elastic wave equation. 1 Faculté des Sciences de Bizerte, Département des Mathématiques, 701 Jarzouna Bizerte, Tunisie ; mourad.bellassoued@fsb.rnu.tn c EDP Sciences, SMAI 001

2 56 M. BELLASSOUED 1. Introduction Nous nous intéressons ici au problème de l unicité decauchypourlessolutionsdusystème de Lamé, qui représente les déformations élastiques d un solide. Dans le cas isotrope, le système de Lamé s écrit en n dimension de l espace : P t, x; t, x = t µt, x id n νt, x div +Rt, x; t, x 1.1 où R est un opérateur différentiel matriciel d ordre inférieur ou égal à 1. La première motivation pour étudier ce type de problèmes est la théorie du contrôle. En effet Lions [11 introduit la méthode H.U.M Hilbert Uniqueness Method qui consiste à étudier l ensemble des conditions initiales d un problème d évolution qui peuvent être annulées en un temps fini T en exerçant un contrôle d énergie fini sur le bord. Ce résultat repose d une façon fondamentale sur un théorème d unicité, qui permet de construire un espace de Hilbert dense dans l espace d énergie. Ce théorème d unicité est une conséquence du théorème de Holmgren dans le cadre analytique. Dans le cas d un opérateur hyperbolique, scalaire, d ordre deux, t At, x, x, Alinhac [1 et Alinhac Baouendi [ ont montré quelarégularité C des coefficients de l opérateur elliptique A ne suffit pas pour avoir l unicité par rapport à une surface de type temps. En effet il existe deux fonctions de classe C at, x etut, x telles que t +at, xut, x = 0 dans un voisinage V de t, x =0, 0 et Suppu {x =x 1,x ; x 1 δ x } où δ>0. Par la suite, il a été observé par Robbiano [1, que lorsque l opérateur A ne dépend pas du temps on a un résultat d unicité adapté à la théorie de contrôle. Ce résultat a été amélioré, dans un premier temps, par Hörmander [6 qui a donné une estimation précise et quasiment optimale du temps minimal pendant lequel le contrôle doit agir, puis par Tataru [15. Récemment, Robbiano Zuily [13 d une part et Hörmander [7 d autre part ont démontré unthéorème d unicité locale pour les opérateurs différentiels, scalaires, àcoefficientsc, partiellement holomorphes, où les hypothèses usuelles de Hörmander principale normalité et pseudo-convexité sont faites uniquement sur le conormal des variables analytiques. Dans ce travail, on se propose, en se restreignant au cas du système de Lamé, d étendre le résultat de [13 sous l hypothèse d analyticité en temps des coefficients µ et ν de l opérateur P. Puis nous adaptons ce théorème d unicité locale au contrôle du système de Lamé. La littérature concernant ce type de problèmes est peu fournie. En effet, on ne dispose pas de techniques générales de résolution d un tel problème autre que celle de multiplier le système par la matrice des cofacteurs, et d utiliser la méthode des inégalités de Carleman scalaires pour le déterminant voir Isakov [9. Mais cette méthode élève la multiplicité des caractéristiques ce qui rend très difficile la preuve des résultats permettant d établir une inégalité de Carleman. Dans le cas où les coefficients de l opérateur ne dépendant pas du temps et en dimension 3 d espace, Eller Isakov Nakamura Tataru [5 prouvent un résultat d unicité pour le système de Lamé sans aucune perturbation d ordre inférieure. La preuve est basée sur la décomposition de la solution u en une onde transversale divu et une onde longitudinale rotu ce qui est possible en dimension 3 vérifiant chacune une équation d onde scalaire, pour ensuite appliquer le théorème de Tataru dans le cas scalaire. Nous signalons aussi que dans le cas stationnaire du système de Lamé Dehman Robbiano [4 ont montré la propriété du prolongement unique. Dans le cas stationnaire du système de Lamé avec une perturbation d ordre inférieure assez particulière, Ang Ikehata Trang Yamamoto [3 donnent une preuve plus simple du prolongement unique que celle de [4. La preuve est basée sur la transformation du système de Lamé en un système de type principal. Ceci repose d une façon fondamentale sur la structure du terme d ordre inférieur et cette méthode semble très sensible pour une perturbation quelconque.

3 .1. Unicité de Cauchy UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈME DE LAMÉ 563. Notations. Énoncés des résultats Soit Ω un ouvert connexe de R n,lepointgénérique de R Ωestnotét, x avect R, x Ω ; les variables duales de t, x sontτ,ξ. On note D xj = 1 i x j. Le symbole principal du système de Lamé est donné par la matrice réelle pt, x; τ,ξ =τ µt, x ξ id n νt, xξ t ξ.1 id n désigne la matrice identité. On fait l hypothèse il existe une constante C 0 > 0 tel que si on pose ω = {z C; z <C 0 } et ω = {x R n ; x <C 0 } alors les coefficients µ et ν appartiennent à C ω ; Hω ; Hω désigne l espace des fonctions holomorphes.. En particulier si µ et ν ne dépendent pas du temps, la condition. est vérifiée. On suppose de plus que l opérateur R à coefficients analytiques en t est C en x. Définition 1. Soit ϕt, x une fonction de classe C telle que ϕ t, x 0etS l hypersurface donnée, localement au voisinage de t 0,x 0, par S = {ϕt, x =0}. On dit que S est non caractéristique pour P si la matrice pt, x, ϕ t,ϕ x est inversible au voisinage de t 0,x 0. Théorème.1. Soit P l opérateur différentiel défini par 1.1, S une hyper-surface orientée S = {ϕt, x = ϕ t 0,x 0 =0} non caractéristique par rapport à P en t 0,x 0. On suppose qu il existe un voisinage V de t 0,x 0 tel que Pu =0sur V et V suppu S + = {ϕ >0}. Alorsu 0 sur un voisinage de t 0,x 0. Autrement dit P possède l unicité de Cauchy par rapport à S près de t 0,x 0... Adaptation à la théorie du contrôle Dans ce qui suit on note Ω le bord de Ω, Γ un ouvert de Ω ;Σ=0,T[ Γ, n désigne le vecteur normal extérieur àσ,et n la dérivée dans cette direction et on suppose que µ et ν sont indépendants de t et x Ω, µx > 0, νx > 0. Introduisons les espaces E 0 =[H 1 0 Ωn [L Ω n, E =[L Ω n [H Ω n. Soit x 0 Γ ; on munit Ω de la métrique 1 µx dx et on introduit le temps d unicité T 0, où dx 0,xdésigne la distance entre x 0 et x, avec T 0 =sup{dx 0,x; x Ω} dx 0,x:=inf{longC :C[0, 1 Ω:C 1 et tel que C0 = x 0 et C1 = x} longc := On note l opérateur elliptique d ordre deux, dit le Laplacien élastique, par 1 0 e u = [ µ Cs C 1 s Ċns 1/ ds..3 n j µx j u+ νxdivu..4 j=1

4 564 M. BELLASSOUED..1. Contrôle du système delamé avec une action de type Dirichlet Pour T>T 0,soitF D l espace des conditions initiales u 0,u 1 tel qu il existe un contrôle g L Σ n et la solution du problème d évolution t u eu = 0 dans R Ω u t=0 = u 0 ; t u t=0 = u 1 dans Ω.5 u = g 1 Σ sur R Ω vérifie ut, = t ut, 0dansΩ. Théorème.. F D est dense dans E Contrôle du système delamé avec action de type Neumann Pour T>T 0,soitF N l espace des conditions initiales u 0,u 1 tel qu il existe g H 3/ R Ω n à support dans Σ et la solution du problème d évolution t u e u = 0 dans R Ω u t=0 = u 0 ; t u t=0 = u 1 dans Ω.6 µx u n +νxdivun = g 1 Σ vérifie ut, = t ut, 0dansΩ. Théorème.3. F N est dense dans H 1 Ω n L Ω n. La preuve du théorème. est basée sur l usage de la transformation de Fourier Bros Iagolnitzer F.B.I, qui permet, en utilisant l hypothèse d analyticité et des changements de contours dans C, de localiser l opérateur en fréquence modulo des restes. Après être revenu vers le réel par une transformation inverse, on montre une inégalité de Carleman par les techniques usuelles de Lerner [10. Dans la section 3 on rappelle quelques propriétés de la transformation F.B.I. On introduit tout d abord quelques notations : SR n+1 désigne l espace de Schwartz des fonctions sur R n+1 àdécroissance rapides. Si ξ R n,onnote ξ =1+ ξ 1/. Si m R, HscR m n désigne l espace de Sobolev semi-classique muni de la norme m/ûξ Hsc {u m = L ; 1+ } ξ L.7 m ûξ u H = 1+ ξ sc m dξ où est un paramètre destiné à tendre vers +. Demême on note u L R,H m sc = R ut, H m sc dt pour u SR n+1. Enfin on introduit la classe de symbole S ξ ; g où g est la métrique de Hörmander voir [8 g =dt +dx +dτ + dξ ξ et on note {, } le crochet de Poisson.

5 UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈME DE LAMÉ Transformation de Fourier Bros Iagolnitzer F.B.I 3.1. Propriétés élémentaires Dans ce paragraphe, rappelons quelques propriétés de la transformation de Fourier Bros Iagolnitzer F.B.I partiel, dans sa version la plus standard, définie par la formule suivante : u SR n+1, Tuz,x, =C e z y uy, xdy 3.1 pour z C, x R n, 1etC = 1 π 3/4. La fonction Tu est entière par rapport à z. Onnote R Φz = 1 Iz pour z C 3. Λ Φ = { z,τ C, τ = i Φ } z z = { z,τ C, τ = Iz } 3.3 K T t, τ =t iτ, τ. 3.4 Plus généralement on note la transformation F.B.I associée à la phase i 1 + z y avec un paramètre réel assez petit, T z,x; =C e 1+z y uy, xdy. 3.5 R On note ainsi, K T t, τ = t i 1+ τ,τ. 3.6 On introduit également L 1+Φ C,Hk R n = L C, e +Φt Ldt; H k R n 3.7 avec Ldt la mesure de Lebesgue dans C, H k R n l espace de Sobolev usuel. Si k =0 onnote L 1+Φ C,H 0 R n = L 1+Φ 3.8 où HC désigne l espace des fonctions holomorphes. Proposition 3.1. On a les propriétés suivantes : 1. T est une isométrie de L R,H k R n dans L 1+Φ C,Hk R n ;. T T = id L R n+1 avec T l adjoint de T ; 3. T T est la projection de L 1+Φ dans L 1+Φ. En particulier T T ṽ =ṽ si ṽ = Tv où v SR n+1. L 1+Φ = L 1+Φ HC 3.9

6 566 M. BELLASSOUED 3.. Transformation F.B.I et opérateurs différentiels Dans cette section, on va étudier l action de la transformation F.B.I sur un opérateur différentiel d ordre m. Précisons tout d abord quelques notions. P = op w p désigne l opérateur obtenu par la quantification de Weyl de symbole p en semi-classique. On a, pour u C0 R n+1 Pux = n+1 π x + y e ix y ξ p,ξ uydydξ Soit ψt, x un polynôme quadratique réel dans R n+1.ondéfinit l opérateur différentiel P On a par un calcul élémentaire P = e ψ P e ψ e ψ D xj e ψ = D xj + iψ x j 3.1 et par la formule de Segal le symbole de Weyl de P est exactement px, ξ + iψ. Proposition 3. voir [13. Pour v C 0 P Tvt, x; = R n+1 on a TP v = P Tv où e iy x ξ n+1 π τ= Im t+y 0 ω dydξ 3.13 au sens des intégrales oscillantes où ω est une forme différentielle donnée par t + ω = e it y0 τ y0 p + iτ, x + y t + ; τ + iψ t y0 + iτ, x + y ; t + ξ + iψ x y0 + iτ, x + y Tvy 0,y; dy 0 dτ Localisation en fréquence Soit d un nombre réel positif tel que d C 0,etsoitv C0 R n+1 à support dans {t, x R n+1 ; t + x <d} et P l opérateur défini dans la proposition 3.. Dans ce paragraphe, on microlocalise P en fréquence près de τ = 0, moyennant des restes exponentiellement petits. C est l objet de la proposition suivante: Proposition 3.3 voir [13. Il existe une troncature χ C 0 C,vérifiant χ = { 1 si t + τ d 0 si t + τ >d 3.15 telle que si on pose pour 0, 1 QT vt, x, = n+1 π e ix y.ξ τ=+i t+y 0 t + y0 χ,τ ω dy 0 dξ 3.16 où ω défini par 3.14, alors P Tv = Q Tv+ R Tv+ g 3.17

7 UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈME DE LAMÉ 567 avec, pour tout entier n N, R Tv L 1+Φ C N N Tv L 1+Φ C,H R n Retour vers le réel g Tv L 3 d Φ Soit Q l opérateur défini dans Soit v dans SR n+1 etsoitw = T Tv,onad après la proposition 3.1iii Il résulte alors d après la proposition 3. avec T àlaplacedet w = T Tv SRn+1 et T w = Tv. 3.0 Q Tv = Q T w = T Q w, 3.1 où Q est un opérateur différentiel dont le symbole de Weyl est avec σ w Q t, τ; x, ξ =σ w Q K T t, τ; x, ξ 3. σ w Q z,x; x, ξ =χz,τpz + iτ,x,τ + iψ tz + iτ, x,ξ+ iψ xz + iτ, x. 3.3 Revenons maintenant au système de Lamé dont la symbole principal de Weyl quantifié en semi-classique est donné par On a donc p t, x; τ,ξ = avec le symbole principale q donné par q t, x; τ,ξ = χ t i µ ν [τ + iψ t µ t ξ + iψ x ξ + iψ x id n νt, xξ + iψ x t ξ + iψ x. 3.4 σ w Q z,x; x, ξ = j q j t, x; τ,ξ 3.5 j=0 τ [ 1+,τ τ + iψ t 1+ τ,x 1+ τ,x t ξ + iψ x 1+ τ,x ξ + iψ x 1+ τ,x id n 1+ τ,x ξ + iψ x 1+ τ,x t ξ + iψ x 1+ τ,x. 3.6

8 568 M. BELLASSOUED Dans tout ce qui suit on pose ζ 0 = τ + iψ t 1+ τ,x ; ζ = ξ + iψ x 1+ τ,x On a alors µ = µ 1+ τ,x q t, x; τ,ξ =χ t i ; ν = ν τ [ 1+,τ 1+ τ,x. ζ0 µ t ζ.ζid n νζ t ζ Inégalité de Carleman pour l opérateur Q Dans cette section, on se propose d établir une inégalité de Carleman pour l opérateur Q de symbole principal q au moyen d une technique du type inégalité degårding. En toute généralité, on peut supposer t 0 =0,x 0 =0. Onprécise le choix de la fonction ψ, etonpose ψy =ϕ 0.y + 1 ϕ 0y, y+ϕ 0.y 1 y avec y =t, x. 4.1 Le paramètre sera fixé assez grand plus loin. Proposition 4.1. Il existe des constantes C 1 > 0, 0 > 0 telles que 0, 0, 0 et C tels que 0, 0, 0, θ C0 vérifiant 1 si t + τ + x 1 θt, x, τ = si t + τ + x > et telle que pour tout u SR n+1 à support dans {t, x R n+1 ; x 1 } on a : C 1 u L R,Hsc opw q u L + C opw 1 θ ξ 4 u. 4.3 L R,Hsc Corollaire 4.1. Il existe ε 0 > 0, C 1 > 0, C > 0, θ θ définie par la Prop. 4.1 et 0 tels que 0,et u SR n+1 à support dans {t, x; x ε 0 } on a : avec H m = { u L ; + ξ m/ û L }. Remarque 4.1. C 1 u L R,H 4 Q u L + C 3 op w 1 θu L R,H Pour démontrer le corollaire 4.1, il suffit de fixer dans l inégalité 4.3 assez grand, puis assez petit, de façon à absorber les termes d erreurs provenant du côté droit de l inégalité par le terme de gauche.. La preuve se décompose en plusieurs étapes. On va tout d abord réduire par une jordanisation le symbole q en un symbole presque diagonal ˆq, comportant un seul bloc de Jordan d ordre deux. Dans une deuxième étape, on utilise la géométrie particulière de ˆq pour établir une inégalité de Carleman. Enfin, l estimation sur ˆq sera traduite en estimation sur q.

9 4.1. Inégalité de Carleman scalaire UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈME DE LAMÉ 569 Dans cette section, on détermine les valeurs propres de q et on se propose de montrer une inégalité de Carleman scalaire. Commençons par chercher le déterminant de la matrice q. Pour ceci on va distinguer deux cas selon la position de ζ et ζ ; on rappelle que τ [ζ q t, x; τ,ξ =χ t i 1+,τ 0 µ t ζζid n νζ t ζ. 4.5 i Si ζ et ζ sont libres, on considère alors θ 1,...,θ n une base de ζ,ζ telle que θ j est orthogonal à ζ et ζ i.e. t θ j ζ = t θ j ζ = 0. Dans la base θ 1,...,θ n,ζ,ζ, la matrice q s écrit τ ζ0 µ t ζζid n 0 0 ˆq t, x; τ,ξ =χ t i 1+,τ 0 ζ0 µ + νt ζζ ν ζ0 µt ζζ ii Si t ζζ 0,soitθ 1,...,θ n une base de ζ,i.e. t θ j ζ = 0 alors q s écrit dans la base θ 1,...,θ n,ζ On en conclut que ζ 0 µ t ζζid n 0 D = 0 ζ0 µ νt ζζ det[q t, x; τ,ξ = χ n τ t i 1+,τ [ζ0 µ t ζζ n [ζ0 µ + ν t ζζ et que les valeurs propres de q près de t = τ =0sontζ 0 µt ζζ et ζ 0 µ+νt ζζ de multiplicité respectivement n 1 et 1 ; alors on a les trois cas suivants : 1 er cas. Loin de ζ 0 µt ζζ =0etζ 0 µ + νt ζζ = 0, la matrice q est inversible près de t =0etτ =0. e cas. Près de ζ 0 µt ζζ =0etζ 0 µ + νt ζζ = 0, alors nous sommes près de ζ 0 =0et t ζζ =0,etdoncζ et ζ sont libres et la matrice q est semblable à la matrice ˆq. 3 e cas. Près de ζ 0 µt ζζ = 0 et loin de ζ 0 µ + νt ζζ = 0 resp. loin de ζ 0 µt ζζ = 0 et près de ζ 0 µ + ν t ζζ = 0, alors t ζζ 0 et donc q est diagonalisable et a pour forme 4.7. On note V 1 un voisinage de {t, x; τ,ξ; ζ 0 µt ζζ =0} et V un voisinage de {t, x; τ,ξ; ζ 0 µ + νt ζζ =0} alors on a le lemme suivant : Lemme 4.1. On a les propriétés suivantes : 1. sur V 1 V la matrice q est semblable àlamatrice ˆq définie dans 4.6 ;. sur V 1 V c la matrice q est inversible ; 3. sur V 1 V c V V1 c la matrice q est diagonalisable et semblable àlamatriced définie dans 4.7. Remarque 4.. Dans le cas du système de Lamé les singularités se propagent dans Ω le long de deux rayons aux vitesses C 1 = µ et C = µ + ν qui sont interprétés comme vitesses de propagation des ondes de distorsion et ondes de dilation. Pour montrer la proposition 4.1 on va commencer par montrer une inégalité de Carleman pour les valeurs propres de q. Pour ceci on a besoin du lemme suivant, dont la preuve figure en appendice A.

10 570 M. BELLASSOUED Lemme 4.. Soit γt, x une fonction réelle analytique par rapport à t et C par rapport àlavariablex telle que γ0 ψ x0 ψ t0 0et soit at, x; τ,ξ =χ t i τ 1+,τ [ ζ0 γ t ζζ 1+ τ,x alors il existe C 1,C, ε et 0 des constantes positives telles que pour tout 0 et 0, 1, x + t + τ 1 4 on a 1. at, x; τ,ξ C 1 ξ si ξ C ;. a0, 0, 0,ξ=0et ξ tq ξ ξ { } <ε 1 i at, x; τ, ξ; at, x; τ, ξ C 1 γ0 ψ x 0 ψ t 0. Lemme 4.3. Sous les hypothèses du lemme 4., il existe des constantes positives A, C et 0, telles que, 0, 0, tels que 0, 0, 1 et t + x + τ 1 on a A at, x; τ,ξ + 1 { } C at, x; τ,ξ; at, x; τ,ξ i ξ Preuve. Raisonnons par l absurde, si 4.9 n a pas lieu, il existe des suites A k, 0,k, C k 0, 0k = k 8 et 0 < k < 1 et on a k at k,x k ; τ k,ξ k + 1 i {a, a}t k,x k ; τ k,ξ k < kc k ξ k k A k k A k 1 er cas. On suppose qu il existe une sous-suite notée aussi ξ k telle que ξ k,pourk grand d après le lemme 4.i, on a A k C 1 ξ k 4 A k at k,x k ; τ k,ξ k 4.11 d autre part on a { at k,x k ; τ k,ξ k ; at k,x k ; τ k,ξ k } 4 k C ξ k On déduit de 4.10 que A k C 1 ξ k 4 kc k k ξ k k C k ξ k ce qui implique A k C k + C, absurde puisque lim A k 3 k =+. e cas. Si ξ k est bornée quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer ξ k ξ. Montrons que a0, 0; 0,ξ= 0. En effet on a {a, a} 4 k C ξ k 4 alors 1 i k A k {a, a}t k,x k ; τ k,ξ k 0, 4.14 et donc a0, 0; 0,ξ = 0. D autre part si on prend k assez grand de sorte que ξ k ξ <ε alors le lemme 4.ii implique 1 { } at k,x k ; τ k,ξ k ; at k,x k ; τ k,ξ k k C 1 [γ0 ψ i x0 ψ t0 4.15

11 UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈME DE LAMÉ 571 et donc 4.10 implique 0 C γ0 ψ x 0 ψ t 0 Ck ξ k et donc γ0 ψ x0 ψ t0 = 0 ce qui est absurde avec le fait que ψ est une surface non caractéristique. Ceci achève la preuve du lemme 4.3. Introduisons maintenant une troncature presque analytique. Notation. Pour 0, 1,soit θ C C telle que 0 θ 1et θ z,τ = 1 si z + τ 1+ 0 si z + τ et θ z,τ C N τ +1+Iz N pour toute N N. On dit que θ est presque analytique sur Λ 1+Φ. Lemme 4.4. Il existe des constantes C>0, 0 > 0, telles que 0, 0 tel que 0, 0, 1,il existe une fonction θ C0 vérifiant 1 si t + τ + x 1 θt, x; τ = si t + τ + x et pour toute u SR n+1,ona Remarque La fonction θ dépend de et de.. C ne dépend pas des paramètres et. C u L R,Hsc opw au L R n+1 + C op w rid n u, u L Preuve. On considère la fonction θ C C, θ = θ Λ1+Φ K T avec K T la transformation canonique définie dans 3.6, alors on a 1 si t + τ 1 θ t, τ = si t + τ Définissons h C 0 Rn, 0 h 1 de sorte que 1 si x 1 hx = si x

12 57 M. BELLASSOUED Soit θ la fonction définie par 1 si t + τ + x 1 θt, x; τ =hxθ t, τ = si t + τ + x > On note A = op w a, et on décompose A = A R + ia I où A R = A+A et A I = A A i et par définition on a A R = op w Ra, A I = op w Ia eta K = A K où K = R, I. Pour toute u SR n+1, on a Au = A R u + A I u + 1 [A,Au, u. 4.3 Nous prétendons que le symbole 1 i {a, a} vérifie l estimation suivante : il existe C 1, C, 0 tels que 0, 0 tel que 0, 0, 1,ona 4 C 1 1 θ ξ 4 + C 1 at, x; τ,ξ + 1 i {a, a} C ξ En effet, l estimation 4.4 est triviale si t + x + τ 1, puisqu alors 0 θ 1etonpeutappliquerle 4 lemme 4.3. Par ailleurs, si t + x + τ > 1 alors θ 0 et comme 1 4 {a, a} 4 C ξ 4, il suffit de prendre C 1 assez grand, ce qui conduit à 4.4. Comme prévu on applique l inégalité degårding voir [RZ pour l opérateur de symbole bt, x; τ,ξ = 4 C 1 1 θ ξ 4 + C 1 at, x; τ,ξ + 1 {a, a} i et pour la métrique g =dx +dt +dτ + dξ ξ. On a donc, d après 4.4 et b 1 S ξ 4,g, l inégalité suivante C op w 1 θ ξ 4 u, u + C 1 AR u + A I u + 1 [A,Au, u + C 3/ u L R,Hsc C u L R,Hsc. 4.5 Pour assez grand en fonction de l estimation précédente devient alors C u L R,Hsc opw au L R n+1 + C op w 1 θ ξ 4 u, u Inégalité de Carleman pour le système réduit Dans cette section, nous montrons une inégalité de Carleman pour l opérateur de symbole ˆq. Pour cela, nous utilisons la forme particulière de ˆq. Introduisons tout d abord la notation suivante : où α est un paramètre réel. id n 0 0 u =u 1,...,u n, ũ =u 1,...,u n, M = 0 α

13 UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈME DE LAMÉ 573 Lemme 4.5. Il existe des constantes C 1, C, α et 0 > 0, telles que, 0, 0, 0, 0, 1, θ vérifiant 1 si t + x + τ 1 θt, x; τ = si t + x + τ > et telle que pour tout u SR n+1 à support dans { t, x; x 1 } on a : C Mu L R,H sc = C ũ L R,H sc + C Mop w ˆq u L + C u n L R,Hsc + α C u n L R,Hsc Mop w 1 θ ξ 4 u, Mu. 4.8 Remarque 4.4. α doit être plus petit qu une constante positive ne dépendant que de minorants et majorants de µ, ν et µ + ν. Preuve. La majoration de ũ et u n est une simple application du lemme 4.4. Pour l estimation de u n,onpose a = χ t i τ 1+,τ ζ0 µ + νt ζζ, on a I = α opw a u n + α opw ν τ χ t i 1+,τ u n α C u n L R,Hsc α C op w 1 θ ξ 4 u n,u n α op w νχ u n. 4.9 On utilise maintenant le fait que suppu { } t, x; x 1, ce qui implique χν C ξ sur le support de u avec C une constante ne dépendant pas du paramètre. χν S ξ ; g on a alors op w χν u n C un L R,Hsc + C u n L R,Hsc, 4.30 et par conséquent il découle de 4.9 I α C u n L R,Hsc α C op w 1 θ ξ 4 u n,u n α C u n L R,Hsc α C u n L R,Hsc Pour achever la démonstration du lemme 4.5, il suffit donc de prendre α assez petit en fonction de minorants et de majorants µ, ν et µ + ν Inégalité de Carleman pour le système de Lamé Cette section est consacrée àladémonstration d une inégalité de Carleman pour q ; cela repose sur un découpage microlocale des zones où la matrice q est soit sous forme de Jordan, soit diagonalisable, soit inversible Préliminaires et notations Commençons par traiter le cas où q est semblable à une matrice de Jordan ˆq i.e. près de la zone où les valeurs propres s annulent simultanément. Or près de chaque point de ζ0 µt ζζ =0etζ0 µ + νt ζζ = 0 nous sommes près de ζ 0 =0et t ζζ =0etd après la section a i on a vu qu il existe une base θ 1,...,θ n,ζ,ζ

14 574 M. BELLASSOUED dans laquelle q s écrit sous la forme ˆq,plusprécisément si on note P = 1 θ 1,...,θ n,ζ,ζ la matrice de passage, on a donc ˆq = P q P localement. Un argument élémentaire de compacité de { ζ 0 =0, t ζζ =0et =1 } assure qu il existe une famille de troncatures χ j, j =1,...,N et une famille P j de matrices de passage, telles que χ j à support dans le domaine de définition de P j.cedécoupage assure aussi la régularité C du symbole pseudo-différentiel P j. Introduisons maintenant quelques troncatures microlocales : soient χ 0 à support près de t, x =0, 0 et loin de ζ0 µ t ζζ =0 et ζ0 µ + ν t ζζ =0, χx à support loin de x = 0 telle que pour t petit on a χ 0 + χ + N χ j = 1 et de tel sorte que si u à support dans { } x 1 on a χu = 0. On introduit aussi une troncature χ à support dans { } x < 1 N,onau = χop w χ ju. On introduit également, j=0 χ j = 1 sur suppχ j et supporté dans le domaine de définition de P j ; ˆχ j = 1 sur supp χ j et supporté dans le domaine de définition de P j ; on note e j la base canonique de C n. Pour ε assez petit on introduit la fonction ψ ε définie par j=1 ψ ε t, x; τ,ξ = { 0 si ζ 0 µ t ζζ ε et ζ 0 µ + ν t ζζ ε 1 si ζ 0 µ + ν t ζζ > ε ou ζ 0 µ + ν t ζζ > ε. 4.3 Pour démontrer la proposition 4.1, on va procéder en deux temps, tout d abord, on montre la proposition 4. puis la proposition 4.3. Proposition 4.. Il existe des constantes C, 0 et ε 1 tels que pour 0 il existe 0 et C tels que pour tout 0 on a C u L R,Hsc op w q u + C opw ψ ε1 u L R,Hsc + C opw rid n u 4.33 L R,Hsc avec r =1 θ ξ 4 θ définie par la Prop Proposition 4.3. Avec les notations précédentes, on a C opw ψ ε 1 u L R,Hsc C opw q u + C 3 u L R,Hsc + C opw rid nu L R,Hsc Lemmes techniques Lemme 4.6. i Soit A =a ij S ξ m ; g où A vérifie Ae n =a n,n e n alors on a pour tout réel s et pour tout v SR n+1 Mop w Av L R,H s sc C Mv L R,H s+m sc 4.35 où C ne dépend que de semi-norme de A mais pas de. ii Pour tout w S ξ ; g, telle que w 0 sur {ζ 0 µ t ζζ =0} {ζ 0 µ + ν t ζζ =0} il existe une constante C > 0 tels que ε, ε 1 telle que l on ait pour tout v SR n+1 op w wv ε C v L R,Hsc + C op w ψ ε 1 v L R,Hsc + C,ε v L R,Hsc 4.36 où ψ ε1 est définie en 4.3.

15 UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈME DE LAMÉ 575 Preuve. i C est une simple vérification laissée au lecteur. ii On écrit v = op w ψ ε 1 v + op w 1 ψ ε 1 v où ε 1 est assez petit. On a donc op w wv op w wop w ψ ε1 v + op w wop w 1 ψ ε1 v C op w ψ ε1 v L R,H sc + opw wop w 1 ψ ε1 v On a d une part, op w wopw 1 ψ ε 1 =op w w1 ψε1 + 1 opw r, avec r un symbole dans S ξ ; g. D autre part on a w 0sur { ζ0 µt ζζ =0 } { ζ0 µ + νt ζζ =0 } alors par continuité on a pour tout ε petit, ε 1 tel que w1 ψ ε1 εc ξ. On applique alors l inégalité degårding pour la métrique g, eton obtient l estimation suivante op w w1 ψε1 v ε C v L R,Hsc + C ε, v L R,Hsc En reportant dans 4.37 l estimation 4.38 on trouve Notre objectif maintenant est d écrire essentiellement op w ˆq =op w P q P =op w P op w q op w P modulo évidemment des restes du calcul symbolique qui posent déjà un problème à cause de leur caractère matriciel. D une façon plus précise, on a sur le support de χ j,ˆq = P j q P j,etdonc avec l j S ξ ; g où j =0, 1. op w ˆq χ χ j = op w P j q P j χ χ j = op w Pj ˆχ j op w q op w P jχ χ j 1 opw l 1 1 opw l Lemme 4.7. Il existe des constantes C 1, C et 0 > 0 telles que 0, 0 ; 0 et 0, 1 on a 1. l 1 e n = γt, x; τ,ξe n + W t, x; τ,ξ où γ et W sont deux symboles dans S ξ ; g et W vérifiant W 0 sur {ζ 0 µt ζζ =0} {ζ 0 µ + νt ζζ =0} ;. on a C Mχopw χ jv L R,H sc Mop w j ˆχ j op w q op w P jχ χ j v P + 1 Mopw l Mopw l 0 v + C Mv L R,Hsc + C Mop w rid n χop w χ j v Mχop w χ j v avec r =1 θ ξ 4 θ définie par 4.7 et l j S ξ ; g où j =0, 1 ; 3. on a 4.40 Mop w l 1v C op w ψ ε 1 v L R,H sc + ε C v L R,H sc + C ε, v L R,H sc + C Mv L R,H sc Preuve. 1 La preuve de cette partie figure dans l appendice B.

16 576 M. BELLASSOUED On applique le lemme 4.5 àlafonctionu = χop w χ jv, ilvient C Mχopw χ j v L R,Hs c Mopw ˆq χop w χ j v + C Mop w rid n χop w χ j v; Mχop w χ j v 4.4 et compte tenu du calcul symbolique suivant op w ˆq χop w χ j =op w ˆq χ χ j + 1 opw h opw h avec h 1 et h 0 deux symboles dans S ξ ; g. Le point essentiel pour terminer la preuve réside dans la propriété suivante vérifiée par h 1,onah 1 = 1 i {ˆq χ, χ j } + {ˆq,χ} χ j et donc h 1 = 1 i [ ξ ˆq x χ χ j + ξ ˆq χ x χ j x ˆq χ ξ χ j On vérifie facilement, vu la structure de ˆq,queh 1 e n = γt, x; τ,ξe n où γ est un symbole dans S ξ ; g et donc le lemme 4.6i implique Mop w h 1u C Mu L R,H sc et on précise que C ne dépend que de la semi-norme de h 1, mais pas de. Ainsiona C Mχopw χ jv L R,Hsc Mop w ˆq χ χ j v + C Mv L R,Hsc + C Mop w rid n χop w χ j v; Mχop w χ j v 4.45 et l inégalité 4.40 découle de 4.45 et de On écrit l 1 sous la forme l 1 = l 1 + w avec l 1 e n = γt, x; τ,ξe n où γ S ξ ; g. On applique le lemme 4.6i à l 1 et ii à w, cequidémontre le lemme Preuve de la proposition 4. Lemme 4.8. Avec les notations utilisées précédemment on a pour tout entier j {1,...,N} C 1 Mχopw Pj χ j u L R,Hsc Mop w Pj ˆχ j op w q op w χχ ju + C N Mop w k=1 + ε C u L R,Hsc + C,ε 1 3 Preuve. Nous procédons par étapes. 1 re étape. En combinant les inégalités 4.41 et 4.40 on obtient : C Mχopw χ j v L R,H sc Mop w P j ˆχ j op w q op w P j χ χ j v Pk χ ku L R,Hsc + C opw ψ ε 1 u L R,Hsc u L R,H sc + C op w ru L R,H sc C opw ψ ε1 v L R,Hsc + ε C v L R,Hsc + C,ε 4 v L R,Hsc + C Mv L R,Hsc + C Mop w rid n χop w χ j v Mχop w χ j v.4.47

17 UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈME DE LAMÉ 577 On applique alors l inégalité précédente à la fonction v = op { } w t, x; x < 1,desortequeχu = u. Ilenrésulte : avec C Mχopw χ jøp j χ j u L R,H sc Pj χ j u, où u SR n+1 etàsupport dans Mop w Pj ˆχ j op w q op w P jχ χ j op w Pj χ j u + C opw ψ ε 1 u L R,Hsc + ε C + C ε, 4 opw Pj χ j u L R,Hsc opw Pj χ j u L R,Hsc + C Mopw Pj χ j u L R,Hsc + R 4.48 R = C Mop w rid nχop w χ jop w Pj χ j u Mχop w χ jop w Pj χ j u Par une application classique du calcul symbolique on a χop w χ jop w χ j =χop w r 0 est un reste dans S1,g. Par ailleurs la condition sur le support de u implique op w P j avec r 1 S1,g et compte tenu de 4.48 on en déduit C Mχopw P j χ j u L R,H sc P j Pj χ j + 1 opw r 0avec χ j u = op w P j χ j χu = χop w P j χ j u 1 opw r 1 u, 4.50 Mop w P j ˆχ j op w q op w P j χ χ j op w P j χ j u + C opw ψ ε1 u L R,Hsc + ε C + C ε, 4 χopw P j χ j u L R,H sc χopw P j χ j u L R,Hsc + C Mχopw P j χ j u L R,Hsc + C ε, 3 u L R,Hsc + R e étape. Dans cette étape on va estimer R, ona: R = C Mop w rid n χop w χ j op w P j χ j Mχop w χ j op w P j χ j u, 4.5 ce qui implique R C op w ξ Mop w rid n χop w χ j op w P j χ j + 1 op w ξ Mχop w χ j op w P j χ j u 4.53 et donc on a R C opw rid nu + C L R,Hsc Mχop w χ jop w j χ j u L R,Hsc P où C est une constante ne dépendant pas des paramètres et. Remarquons d autre part que, en utilisant la forme de la matrice M, et, χop w P j χ j u L R,Hsc Mχopw P j χ j u L R,Hsc, 4.55

18 578 M. BELLASSOUED de plus on a C Mχopw Pj χ j u L R,Hsc 1 4 C Mχopw Pj χ j u L R,Hsc Ensuite, prenant ε assez petit par rapport à, de sorte que ε et en reportant dans 4.51 les inégalités 4.54, 4.55 et 4.56 on trouve l estimation suivante pour tout j =1,...,N C 1 Mχopw P j χ j u L R,H sc 4C Mop w P j χ j op w q op w P j χ χ j op w P j χ j u + C opw ψ ε 1 u L R,Hsc + C,ε 3 u L R,Hsc + C opw rid nu L R,Hsc 3 e étape. Évaluons maintenant, par un calcul symbolique, le symbole [ op w P j ˆχ j op w q op w P j χ χ j op w P j χ j où r k, k =0, 1 sont deux symboles dans S1,g. D autre part, on a : op w P j ˆχ j q r u = N k=0 op w [ = op w P j ˆχ j op w q op w χ χ j + 1 opw r = op w P j ˆχ j op w q op w χχ j + 1 opw P j ˆχ j q r + 1 opw r P j ˆχ j q r P k χ k op w P k χ ku + 1 opw r 0 u 4.59 nous rappelons que u = N op w χ ku ;avecr 0 S1,g. k=0 Remarquons maintenant, par un calcul élémentaire, que pour tout k 1, on a : [ [ P j ˆχ j q r P k χ k en = Pj ˆχ j ζ 0 µ t ζζid n νζ t ζ r χ k P k e n [ = ζ0 µ t ζζp j ˆχ j r P k χ k e n [ν χ t j ζr P k χ k e n e n On applique alors le lemme 4.6 à l opérateur op w P j ˆχ j q r P k χ k et àlafonctionv = op w P k χ ku, ilvient pour tout k 1: Mop w P j ˆχ j q r P k χ k op w P k χ ku Mop w C P L R,Hsc k χ ku L R,H sc +C op w ψ ε1 u L R,H sc +ε C u L R,H sc + C,ε u L R,Hsc Par ailleurs, pour k =0ona P j ˆχ j q r χ 0 0sur{ζ 0 µ t ζζ =0} {ζ 0 µ + νt ζζ =0} 4.6

19 UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈME DE LAMÉ 579 On en déduit d après le lemme 4.6 que l estimation 4.61 reste vraie pour k = 0,d où on a: Mop w P j ˆχ j op w q op w P j χ χ j op w P j χ j u Mop w P j ˆχ j op w q op w χχ j u + C N Mop w P k χ ku L R,Hsc k=1 + C op w ψ ε1 u L R,H sc + ε C u L R,H sc + C,ε 3 u L R,Hsc Ce qui achève, compte tenu de 4.57 et 4.63, la démonstration de l inégalité Fin de la preuve de la proposition 4. Nous commençons par le calcul symbolique suivant : op w q op w χχ j =op w χχ j op w q + 1 opw r opw r avec r 1,r 0 S ξ ; g et r 1 = 1 i { } ξ q x χχ j x q ξ χχ j = 1 { } q ; χχ j i 4.65 et on a également : op w P j ˆχ j op w r 1 χop w χ k =op w P j ˆχ j r 1 P k χ k χop w P k χ k 4.66 modulo 1 S ξ ; g. Remarquons d abord que l on a la propriété et par un calcul élémentaire on a : P j r 1 P k e n = 1 P j r 1 ζ et ξl q ζ = µ + ν t e l ζζ + t ζζe l 4.67 P j ξl q ζ = γe n + α et xl q ζ = γ e n + α, 4.68 où α, γ, α et γ sont des symboles dans S ξ ; g avec α = α = 0 sur {ζ0 µt ζζ =0} {ζ0 µ + νt ζζ =0}. D après le lemme 4.6 on a Mop w P j ˆχ j op w r 1 χop w χ k u C Mχop w P k χ ku L R,Hsc + C op w ψ ε1 u L R,Hsc +εc u L R,Hsc + C,ε 1 u L R,Hsc. 4.69

20 580 M. BELLASSOUED On déduit du lemme 4.6, après avoir sommer par rapport à j et en sommant 4.69 par rapport à k, que pour grand C N Mχop w P j χ j u L R,Hsc j=1 N Mop w P j χ j op w χχ j op w q u j=1 + C op w ψ ε1 u L R,Hsc + εc u L R,Hsc + C,ε 1 3 u L R,Hsc + C opw rid n u L R,Hsc C + C op w q u + C opw ψ ε u L R,Hsc + εc u L R,Hsc + C,ε 1 3 u L R,Hsc + C opw rid nu L R,H sc Il ne nous reste plus qu à remarquer C u L R,Hsc C C χop w Mχop w En reportant 4.71 dans 4.70 on obtient la proposition 4.. Pj χ j u L R,Hsc + C,ε 3 u L R,Hsc Pj χ j u + C,ε L R,Hsc 3 u L R,Hsc Preuve du théorème Preuve de la proposition 4.3 Cette partie est consacrée pour l essentiel à la démonstration de la proposition 4.3. Pour cela, comme nous l avons déjà indiqué, on va étudier les zones où la matrice q est soit diagonalisable, soit inversible. Commençons par introduire quelques notations : pour ε assez petit on note 0 : = { ζ0 µ t ζζ ε et ζ0 µ + ν t ζζ ε } { ζ0 µ t ζζ ε } et ζ 0 µ + ν t ζζ ε 5.1 D après l étude faite dans la section 4 on a q localement diagonalisable dans la zone 0. On note cette fois P = 1 θ 1,...,θ n,ζ la matrice de passage. On a D = P q P et P dépend localement d une manière C en t, x; τ,ξ. Soit ϕ j une famille finie de troncatures, telles que ϕ j = 1 dans la zone 0 et une famille P j de matrices de passage. Bien sûr, on peut choisir ϕ j à support dans le domaine de définition de P j. On introduit également les troncatures ϕ j = 1, sur le support de ϕ j et supporté dans le domaine de définition de P j ; ˆϕ j = 1, sur le support de ϕ j et supporté dans le domaine de définition de P j. Revenons maintenant à la preuve de la proposition 4.3.

21 UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈME DE LAMÉ re étape. On écrit op w ψ ε1 = op w = op w 1 ϕ j ψ ε1 + op w ϕ j ψ ε1 1 ϕ j ψ ε1 q op w q + op w ϕ j op w ψ ε1 5. modulo 1 S1,g. q est une matrice inversible sur le support de ψ ε1 1 ϕ j. Comme 1 ϕ j ψ ε1 q S ξ ; g ona op w 1 ϕ j ψ ε1 q op w q u C,ε1 op w L R,Hsc q. 5.3 Nous allons maintenant estimer le second terme de 5.. On commence par appliquer le lemme 4.4 àlafonction donnée par op w ϕ jop w Pj ϕ j op w ψ ε 1 u. Ilenrésulte C op w ϕ jop w Pj ϕ j op w ψ ε 1 u L R,Hsc op w Dop w ϕ j op w P j ϕ j op w ψ ε1 u + C op w rid n op w ϕ j op w P j ϕ j op w ψ ε1 u/op w ϕ j op w P j ϕ j op w ψ ε1 u }{{} = R 5.4 et en remarquant que ce qui conduit à op w Dopw ϕ j = op w Pj q P j ϕ j modulo 1 S ξ ; g = op w P j ˆϕ j op w q op w P j ϕ j modulo 1 S ξ ; g 5.5 op w Dop w ϕ j op w P j ϕ j op w ψ ε1 =op w P j ˆϕ j op w ϕ j op w ψ ε1 op w q modulo 1 S ξ ; g. 5.6 On combine 5.6 et 5.4 et on trouve la majoration C op w ϕ j op w Pj ϕ j op w ψ ε 1 u C ε, L R,Hsc opw q u + C ε, 3 u L R,Hsc + 1 R. 5.7 e étape. Évaluons maintenant R. Comme op w rid n est diagonale les commutateurs avec cet opérateur sont dans la classe 1 S ξ 4 ; g alors on a : op w rid nop w ϕ jop w avec r 0 S ξ 4 ; g, ce qui implique l inégalité 1 R C,ε 1 Pj ϕ j =op w ϕ jop w Pj ϕ j op w rid n + 1 opw r opw rid n u L R,Hsc + C,ε 1 3 u L R,Hsc. 5.9

22 58 M. BELLASSOUED D autre part on a op w ϕ jop w ψ ε 1 = op w ϕ j ϕ j op w ψ ε 1 = op w ϕ jop w P j ˆϕ j op w Pj ϕ j op w ψ ε 1 mod 1 S1,g = øp j ˆϕ j op w ϕ j op w P j ϕ j op w ψ ε1 mod 1 S1,g 5.10 et donc on a op w ϕ j op w ψ ε 1 u L R,Hsc C,εop w ϕ jop w j ϕ j op w ψ ε 1 u + C,ε 1 L R,Hsc u L R,Hsc P En reportant 5.11 et 5.9 dans 5.7 et en combinant avec 5.3 on tire Ce qui achève la démonstration de la proposition Fin de la preuve du théorème.1 Proposition 5.1. Soit Q l opérateur défini par Alors il existe des constantes positives C 1, C, 0 et ε telles que pour tout v C 0 Rn+1, suppv {t, x; t + x ε} et 0, avec σ>0 ne dépendant que de et ε. Tv L 1+Φ C,H Rn C 1 6 Q Tv L 1+Φ + C e σ 5.1 Corollaire 5.1. Soit P l opérateur défini par Alors il existe des constantes positives C 1, C, 0 et ε telles que pour tout v C 0 Rn+1 à support dans {t, x; t + x ε} et 0, Tv L 1+Φ C,H Rn C 1 6 P Tv L 1+Φ + C e σ Remarque Pour montrer le corollaire 5.1 il suffit d utiliser la proposition 3.3 et l inégalité 5.1. De l inégalité 5.13 on prouve, exactement de la même façon que dans [13, le théorème.1. Preuve de la proposition 5.1. On applique le corollaire 4.1 à la fonction u = T Tv. De plus les propositions 3.1 et 3. permettent d écrire u L R,H = T u L 1+Φ C,H = Tv L 1+Φ C,H 5.14 On déduit de 4.4 Q u = T Q T Tv L 1+Φ = Q Tv L 1+Φ Tv L 1+Φ C,H C 1 6 Q Tv L 1+Φ C,H + C 5 Ru L 1+Φ C,H 5.16 avec R = op w 1 θ ; or d après la proposition 3. on a Ru L R n+1 = T Ru L 1+Φ = RT u L 1+Φ = RT v L 1+Φ 5.17

23 UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈME DE LAMÉ 583 or d après [13 Prop. 4.6, on a RT v L 1+Φ C,H C N N Tv L 1+Φ C,H + Oe σ, N N 5.18 ce qui achève la démonstration. 6. Preuve des théorèmes. et.3 On se propose, dans cette section, de montrer les théorèmes. et.3 ; pour ceci on va montrer qu il suffit d obtenir le résultat d unicité suivant: Proposition 6.1. Soit T>T 0 et u solution du problème au bord t u eu =0 dans 0,T[ Ω u Σ =0 6.1 µ u n +ν div un =0 sur Σ. Alors u vérifie u0,x= t u0,x 0 pour tout x Ω. Nous allons voir tout de suite comment cette proposition entraîne le théorème. et le théorème.3. En effet, soit T>T 0 et g L Σ. On peut résoudre le problème d évolution t u eu = 0 dans 0,T[ Ω u t=t =0; t u t=t =0 6. u R Ω = g 1 Σ. La solution de ce problème de Cauchy est telle que u, u t t=0 E. On note cette valeur Sg. On a ainsi défini S : L Σ E. On note classiquement F D =ImS, F D est l espace vectoriel nommé espace des états contrôlables. Pour v 0,v 1 deux fonctions régulières on introduit le problème t v ev = 0 dans 0,T[ Ω v t=0 = v 0, t v t=0 = v v Σ =0. Soit v la solution de 6.3 ; en multipliant l équation 6. par v et en intégrant sur 0,T[ Ω on obtient par intégration par parties v 0 u 1 v 1 u 0 dx µ u Ω Σ n +νdiv un v + µ v Σ n +νdiv vn u =0, 6.4 et donc Ω v 0 u 1 v 1 u 0 dx = Σ g µ v n +νdiv vn. 6.5 Soit maintenant v 0,v 1 F on a alors µ v n + νdiv vn = 0 sur Σ, comme v vérifie 6.3 alors v est une solution de 6.1 et d après la proposition 6.1 on a v 0 = v 1 =0. Onendéduit que l espace des données contrôlables est dense dans l espace E.

24 584 M. BELLASSOUED De la même façon on prouve le théorème.3. Preuve de la proposition 6.1. Soit x 0 Γetr>0 tel que Bx 0,r ΩıΓ. On pose Ω =Ω Bx 0,r. Soit u une solution de 6.1 on a u C0,T[; H0Ω 1 n C 1 0,T[; L Ω n et on prolonge u de la façon suivante : ũ = { u dans 0,T[ Ω 0 dans 0,T[ Ω \ Ω. 6.6 La fonction ũt, x est aussi dans C0,T[; H 1 0 Ωn C 1 0,T[; L Ω n. D après les conditions au bord on a : { t ũ e ũ = 0 dans 0,T[ Ω ũ 0 dans 0,T[ Ω \ Ω. 6.7 Par propagation des surfaces non caractéristiques, on montre, comme dans le cas d un opérateur àcoefficients analytiques, que ũ T,x = eu T t,x 0dans Ω voir par exemple Lions [11, Chap. 1 et donc ũ 0dans 0,T[ Ω, ce qui achève la preuve de la proposition 6.1. Appendice A Preuve du lemme 4. On utilise les notations de ce lemme. i Soit assez grand tel que x + t + τ 1 implique t i τ τ d.ona: at, x, τ, ξ =p 1+ τ,x,τ + iψ t 1+ τ,x ; ξ + iψ x τ,x 1+ avec pt, x; τ,ξ=τ γt, x ξ.onécrit at, x; τ,ξ = [ τ + iψ t 1+ τ,x γ 1+ τ,x t ξ + iψ x 1+ τ,x ξ + iψ x 1+ τ,x ce qui implique at, x; τ,x C 1 ξ C t ξψ x τ 1+ τ,x + iψ t 1+ τ,x C3 C 1 ξ C ξ C C ξ A.3 A.1 A. pour ξ assez grand. ii Remarquons d abord que a0, 0; 0,ξ=0 p0, 0,iψ t 0; ξ + iψ x 0 = 0 ψ t 0 γ ξ ψ x 0 +iξ ψ x 0 = 0 ξ ψ x0 = 0 ξ = ψ x0 1 γ ψ t0. A.4

25 UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈME DE LAMÉ 585 Dans la suite on note ξ =τ,ξ, ξ =τ, ξ Z = Z = X représente l ensemble des variables t, x; τ. On a 1+ τ,x, ξ + iψ 1+ t i 1+ τ,x, ξ iψ t i 1+ τ,x ; τ,x. A.5 { } { } [ P at, x; τ, ξ; at, x, τ; ξ = pz :pz = i 1+ t Z+ P τ Z+i P i 1+ +i i ψ P [ P tx 1+ ξ Z P t Z+iψ tt τ Z+iψ tx [ P P P + x Z+iψ tx τ Z+iψ xx ξ Z P ξ Z [ P P Z iψ tt Z iψ xt P [ t τ ξ Z i 1+ +i i ψ P tt 1+ τ Z+i i ψ tx 1+ P ξ Z [ P P P Z iψ tx Z iψ xx x τ ξ Z P ξ Z. On note ainsi ζ 0 = τ + iψ t 1+ τ,x, ζ = ξ + iψ x 1+ τ,x et δ = 1+, on a alors : 1 i { } at, x; τ, ξ; at, x; τ, ξ = I [iδ t γ t ζζ+ζ 0 ψ ttδζ 0 +δψ [ +I x γ t ζζ+iψ txζ 0 iγψ xxζ Or par un calcul élémentaire on a txζ τ Zψ tt P ξ Z P t Z+ P τ Z A.6 [ t γ t ζζ+iψ ttζ 0 iγψ txζ [ γζ. A.7 { ζ = ξ + iϕ x 0 + O X ζ 0 = iϕ A.8 t 0 + O X ce qui implique 1 { } [ at, x, τ, ξ; at, x; τ, ξ = I iψ i t0 + iδψ tt0ψ t0 +δγψ tx 0 ξ iγδψ tx 0ψ x 0 + Oδ+O X [ ψ tt 0ψ t 0 iγψ tx 0 ξ +γψ tx 0ψ x 0 + Oδ+O X [ + I iγψ xx0 ξ +γψ xx0ψ x0 ψ tx0ψ t0 + Oδ+O X [iγψ x 0 γ ξ + O X. A.9 Par ailleurs, on a ψ tt 0 = ϕ tt 0 + ϕ t 0 0 = ϕ xx 0 + ϕ x 0t ϕ x 0 id n tx0 = ϕ tx0 + ϕ t0ϕ x0. ψ xx ψ A.10

26 586 M. BELLASSOUED De plus on a On en déduit ψ tx 0 ξ = ϕ tx 0 ξ +ϕ t 0ϕ x 0 ξ = ϕ tx0 ξ +ϕ t0ϕ x0 ξ ξ = ϕ tx 0 ξ + Oε. 1 { } [ at, x; τ, ξ; at, x; τ, ξ = 4δ ψ i tt0ψ t0 γψ tx0ψ x0 +4ψ t0 [ ψ tt0ψ t0 γψ tx0ψ x0 +4γ ψ xx0ψ x0ψ x0 4γψ tx0ψ x0ψ t0 + Oδ+Oε δ +O 3 X + 01, A.11 A.1 or : ψ tt 0ψ t 0 γψ tx 0ψ x 0 = ϕ t 0 γ ϕ x 0 ϕ t 0 + C 1 + C avec C 1 et C deux constantes ψ xx 0ψ x 0ψ x 0 = ϕ x C 1 + C ψ tx 0ψ x 0ψ t 0 = +ϕ t 0 ϕ x 0 + C 1 et donc on a 1 { } at, x, τ, ξ; at, x, τ, ξ C δϕ i t0 [ ϕ t0 γϕ x0 Cδ ϕ t 0 γ ϕ x0 8ϕ t 0 γ ϕ x0 ϕ t0 +8γ ϕ x0 4 8γϕ t0 ϕ x0 C 1 δ C δε C 3 A.13 1 { } at, x; τ, ξ; at, x; τ, ξ 8 C δ [ γ ϕ x i 0 ϕ t 0 Cδ ϕ t 0 γ ϕ x 0 C ε k C 3 C 1 δ. A.14 Ainsi pour 1 et ε assez petit, on a 1 i {a, a} C[ ϕ t0 γ ϕ x0. Appendice B A.15 L objet de cet appendice est de montrer le lemme Par le calcul symbolique on a en oubliant les indices, l 1 = 1 [ ξ P x qpχ χ x P ξ qpχ χ + ξ P q x P χ χ + ξ P qp x χ χ i + P ξ q x P χ χ + P ξ qp x χ χ x P q ξ P χ χ x P qp ξ χ χ P x q ξ P χ χ P x qp ξ χ χ + 1 [ τ P t qpχ χ t P τ qχ χ i + τ P q t Pχ χ + τ P qp t χ χ+p τ q t P χ χ + P τ qp t χ χ t P q τ P χ χ t P qp τ χ χ P t q τ P χ χ P t qp τ χ χ = 1 [ 1 [ B.1 i i Faisons tout d abord les remarques techniques : rappelons que q =ζ0 µ t ζζid νζ t ζ.

27 UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈME DE LAMÉ 587 Pe n = ζ, qζ =ζ 0 µ + νt ζζζ, ξj P e n = e j + ζ 1 ξ j ξj P = P ξj PP xj P e n = iψ j +[ e n xj P ζ = P iψ j +[ en ξj P ζ = P ξj P e n = P ej + ζ ξ j 1 = P e j +[ e n. Calcul de 1 : 1 = ξ P x qpχ χ, donc [ ξj P xj qpe n = ξj P ζ xj µ t ζζid xj νζ t ζ [ = iζ 0 ψ tj iµ t ζψ j xj µ + xj ν t ζζ iν t ζψ j = iµ + ν t ζψ j P e j iζ 0 ψ tj iµ t ζψ j id iνζ t ψ j + ψ modulo les termes du lemme. j t ζ ξj P ζ t iν ζζ ξ j P ψ j B. Calcul de : = x P ξ qpχ χ, donc xj P ξj qpe n = xj P µ t ζe j id νe t j ζ + ζ t e j ζ = µ + ν t ζe j xj P ζ + νt ζζ xj P ζ Calcul de 3 : 3 = ξ P q x P χ χ t ζe j = iµ + ν P ψ j modulo les termes du lemme. ξj P q xj P e n = ξj P q i ψ j 1 + ζ x j = ξj P q i ψ j modulo les termes du lemme = ξj P ζ 0 µ t ζζi ψ j iνt ζψ j ζ modulo les termes du lemme = iν t ζψ j ξj P ζ modulo les termes du lemme t ζψ j = iν P e j modulo les termes du lemme. Calcul de 4 : 4 = ξ P qp x χ χ, alors ξj P qpe n = ξj P q ζ alors = ζ 0 µ + ν t ζζ ξj P ζ, = 0 modulo les termes du lemme.

28 588 M. BELLASSOUED Calcul de 5 : 5 = P ξ q x P χ χ P ξj q xj P e n = P ξj q i ψ j 1 + ζ x j, donc = P µ t ζe j id νζ t e j + e t j ζ i ψ j 1 + ζ x j t ζe t j = iµ P ψ j iν ζψ j P e j modulo les termes du lemme. Calcul de 6 : 6 = P ξ qp x χ χ Calcul de 7 : 7 = x P q ξ P χ χ P ξj qpe n = P µ t ζe j id νζ t e j + e t j ζ ζ t ζζ = ν P e j +[ e n, et donc = 0 modulo les termes du lemme. xj P q ξj P e n = xj P q = xj P ej + ζ ξ j 1 ζ0 µ t ζζ e j νt ζe j ζ = ν t ζe j P i ψ j + ζ x j 1 modulo les termes du lemme modulo les termes du lemme = iν t ζe j P ψ j modulo les termes du lemme. B.3 Calcul de 8 : 8 = x P qp ξ χ χ xj P 1qPe n = xj P q ζ = ζ 0 µ + ν t ζζ xj P ζ = 0 modulo les termes du lemme. B.4 Calcul de 9 : 9 = P x q ξ P χ χ P xj q ξj P e n = P ej 1 xj q + ζ ξ j = P [ iζ 0 ψ tj iµt ζψ j id iνζt ψ j + ψ j t ζ =iµ t ζψ j P e j + iν t ζe j P ψ j ej 1 + ζ ξ j modulo les termes du lemme.

29 UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈME DE LAMÉ 589 Calcul de 10 : 10 = P x qp ξ χ χ P xj qpe n = P xj q ζ = iν t ζζ P ψ j +[ e n = 0 modulo les termes du lemme. Pour conclure, il ne nous reste plus qu à remarquer que, modulo les termes du lemme, on a [ j = iµ + ν t ζψ t ζψ j + iν +iµ t ζψ j j P e j iµ + ν t ζe j P e j iµ P e j + iν t ζe j P ψ j P ψ j t ζe j P ψ j t ζe j iν P ψ j alors [ j = [ iµ + ν t ζψ j +iµ t ζψ j P e j [iµ + ν t ζe j +iµ t ψ j ζe j P = i4µ + ν 1 P t ζψ j e j t ζe j ψ j et donc [ j = i4µ + ν 1 P t ζψ j e j t ζe j ψ j j = i4µ + ν 1 P j j k t ζe k t ψ j e ke j t ζe j t ψ j e ke k. Comme ψ est une matrice symétrique, alors ψ j e k = ψ k e j, ce qui implique j les termes du lemme. De la même façon, on introduit le calcul suivant : t P e n = i ψ tx + ζ 1 t τ P e n = ψ tx 1+ + ζ 1 τ t P ζ = ip ψ tx +[ e n τ P ζ = P τ P P ζ = P = 1+ P ψ tx +[ e n. 1+ ψ tx + ζ 1 τ [ j 0 modulo

30 590 M. BELLASSOUED Calcul de 1 : 1 = τ P t qpχ χ τ P t qpe [ n iζ0 = τ P ψ tx iµ t ζψ tx t µ t ζζ id t νζ t ζ iν ζ t ψ tx + ψ tx t ζ ζ = iµ + ν t ψ tx ζ τ P ζ modulo les termes du lemme = iµ + ν 1+ Calcul de : = t P τ qpχ χ t ψ tx ζ P ψ tx modulo les termes du lemme. t P τ [ qpe n = t P { ζ0 ψ tx +µ t ζψ tx i t µ t ζζ id 1+ } ζ i t νζ t ζ + νζ t ψ tx + ψ tx t ζ t ψ = iµ + ν txζ 1+ Calcul de 3 : 3 = τ P q t P χ χ P ψ tx modulo les termes du lemme. B.5 τ P q t P e n = τ P q i ψ tx 1 + ζ t = τ P [ζ 0 µt ζζi ψ tx t iν ζψ t ζψ tx = iν P ψ tx 1+ Calcul de 4 : 4 = τ P qp t χ χ Calcul de 5 : 5 = P τ q t P tx ζ modulo les termes du lemme modulo les termes du lemme. τ P qpe n = τ P ζ 0 µ + νt ζζ ζ = 0 modulo les termes du lemme. B.6 P τ q t P e n = P τ q i ψ tx 1 + ζ t = 1+ P [ ζ0 ψ tt +µt ζψ + νζ t ψ tx + ψ tx t ζ [i ψ = iµ + ν 1+ t ζψ tx + ζ t ψ tx txp tx i tµ t ζζ id i t νζ t ζ 1 modulo les termes du lemme.

31 UNICITÉ ET CONTRÔLE POUR LE SYSTÈME DE LAMÉ 591 Calcul de 6 : 6 = P τ qp t χ χ P τ qpe n = P τ qζ = 1+ νt ζζp ψ tx = 0 modulo les termes du lemme. B.7 Calcul de 7 : 7 = t P q τ P χ χ t P q τ P e n = t P q ψ tx ζ τ = ψ 1+ tp tx q modulo les termes du lemme = 1+ tp ζ 0 µt ζζ ψ tx νt ζψ tx ζ modulo les termes du lemme = iν 1+ t ζψ txp ψ tx modulo les termes du lemme. Calcul de 8 : 8 = t P qp τ χ χ t P qpe n = t P q ζ = 0 modulo les termes du lemme. Calcul de 9 : 9 = P t q τ P χ χ P t q τ Pe n = P t q 1+ ψ tx 1 + ζ t = P [ iζ0 ψ tt iµt ζψ tx tµ t ζζ id t νζ t ζ iνζ t ψ tx + ψ tx t ζ ψ tx ζ t = iµ + ν 1+ t ζψ txp ψ tx modulo les termes du lemme. Calcul de 10 : 10 = P t qp τ χ χ P t qpe n = P t q ζ t ζζ = iν P ψ tx +[ e n = 0 modulo les termes du lemme. On trouve finalement : =0 ce qui achève la démonstration du lemme. Le Professeur Luc Robbiano a joué un rôle essentiel aussi bien dans la conception que dans la réalisation de ce travail. Je tiens à lui exprimer ma vive gratitude pour sa patience, sa disponibilité et ses nombreuses lectures du manuscrit. L auteur remercie aussi les rapporteurs pour leurs précieuses remarques.

32 59 M. BELLASSOUED Références [1 S. Alinhac, Non unicité duproblèmedecauchy. Ann. Math [ S. Alinhac et M.S. Baouendi, A non uniqueness result for operators of principal type. Math. Z [3 D. Ang, M. Ikehata, D. Trong et M. Yamampto, Unique continuation for a stationary isotropic Lamé system with variable coefficients. Comm. Partial Differential Equations [4 B. Dehman et L. Robbiano, La propriété du prolongement unique pour un système elliptique. Le système de Lamé. J. Math. Pures Appl [5 M. Eller, V. Isakov, G. Nakamura et D. Tataru, Uniqueness and Stability in the Cauchy Problem for Maxwell and elasticity systems. Preprint. [6 L. Hörmander, On the uniqueness of the Cauchy problem under partial analy-ticity assumptions. Preprint [7 L. Hörmander, Linear partial differential operators. Springer Verlag, Berlin [8 L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, I-III. Springer Verlag. [9 V. Isakov, A non hyperbolic Cauchy problem for a. and its applications to elasticity theory. Comm. Pure Math. Appl. b [10 N. Lerner, Unicité de Cauchy pour des opérateurs faiblement principalement normaux. J. Math. Pures Appl [11 J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisation des systèmes distribués. Masson, Collection RMA, Paris [1 L. Robbiano, Théorème d unicité adapté aucontrôle des solutions des problèmes hyperboliques. Comm. Partial Differential Equations [13 L. Robbiano et C. Zuily, Uniqueness in the Cauchy problem for operators with partially holomorphic coefficients. Invent. Math [14 J. Sjöstrand, Singularités analytiques microlocales. Astérisque [15 D. Tataru, Unique continuation for solutions to P.D.E s between Hörmander s theorem and Holmgren s theorem. Comm. on P.D.E [16 C. Zuily, Lectures on uniqueness and non uniqueness in the Cauchy probem. Birkhäuser, Progress in Math