ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 6-7 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΥΕΝΑΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΤΟΥ Ε.Α.Π. ΣΕΤ 4. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΣ ΣΩΤΗΡΙΟΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΕΠΙ ΣΕΙΡΑ ΕΤΩΝ (8-6) ΣΤΗΝ Θ.Ε ΔΕΟ 3 Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. από 46

2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Σελ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Γ.Π. 3 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ z( x, x ) x x 5 Θετικό και αρνητικό ημιεπίπεδο μιας ευθείας 5 Εντοπισμός-Ταυτοποίηση- του θετικού και του αρνητικού 5 ημιεπιπέδου στα οποία η ευθεία χωρίζει το επίπεδο Ιδιότητα των σημείων που ανήκουν στο θετικό ή στο αρνητικό ημιεπίπεδο μιας ευθείας ε 6 Επίλυση των γραμμικών ανισοτήτων 7 Μελέτη της αντικειμενικής συνάρτησης (Α.Σ.) z( x, x ) x x 9 Η έννοια της ισοσταθμικής 9 3 ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Γ.Π.(παραδείγματα) Εύρεση του συνόλου S των εφικτών λύσεων ενός προβλήματος Γ.Π.. 8 Εύρεση της βέλτιστης λύσς ενός προβλήματος Γ.Π.. 8 Ταξινόμηση περιορισμών 8 4 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ (ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ) ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Γ.Π. ΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ 9 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΗΣ 5 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Γ.Π. 5 Πρόβλημα (Προγραμματισμός παραγωγής) 5 Πρόβλημα (Προγραμματισμός προώθησης πωλήσεων) 9 Πρόβλημα 3 (Βέλτιστη χρήση παραγωγικών πόρων) 33 Πρόβλημα 4 (πρόβλημα ανακεφαλαίωσης) 34 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ 43 Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. από 46

3 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.) Σε αυτές τις σημειώσεις, παρουσιάζεται η τεχνική της γραφικής επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού προγραμματισμού (Γ.Π) με τη χρήση της ισοσταθμικής, και αναπτύσσεται η μεθοδολογία Μοντελοποίησης προβλημάτων Γ.Π. αυτών. Ειδικότερα σε αυτές περιέχονται τα παρακάτω θέματα. Παρουσίαση του προβλήματος Γ.Π. με δυο μεταβλητές. Μελέτη της γραμμικής συνάρτησης z( x, x ) x x με στόχο: Την κατανόηση και τυποποίηση της διαδικασίας εύρεσης του χώρου των εφικτών λύσεων του προβλήματος Γ.Π. Την κατανόηση της συμπεριφοράς της αντικειμενικής συνάρτησης (Α.Σ.) του προβλήματος Γ.Π. ως ισοσταθμικής καμπύλης Την τυποποίηση της διαδικασίας επίλυση ςπροβλημάτων Γ.Π. με την μέθοδο της Ισοσταθμικής. 3. Επιλύονται (υποδειγματικά), παραδείγματα προβλημάτων Γ.Π. με δυο μεταβλητές, με την γραφική μέθοδο και με χρήση της σταθμικής. 4. Παρουσιάζονται, και επιλύονται, πρόσθετα προβλήματα με στόχο τόσο την εξοικείωση στην Μοντελοποίηση, όσο και στην γραφική επίλυση επίλυση των προβλημάτων Γ.Π. 5. Δίδονται μερικές ασκήσεις για επίλυση.. ΔΟΜΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ (Γ.Π.) Ένα πρόβλημα Γ.Π. με δυο μόνο μεταβλητές έχει την δομή-μορφή του παρακάτω παραδείγματος. Αντικειμενική Συνάρτηση (Α.Σ) Περιορισμοί (C) max Z 4x 3x () 5x x ( 4x 3x 6 (3) x, x (4) Δηλαδή σε ένα πρόβλημα Γ.Π. έχουμε: Μια γραμμική συνάρτηση, εδώ η Z 4x 3x, η οποία καλείται αντικειμενική συνάρτηση (Α.Σ.). Αυτής της συνάρτησης θέλουμε να βρούμε το μέγιστο ως προς ( x, x. Κάποιες γραμμικές ανισότητες των ( x, x, εδώ τις,,3,4. Οι ανισότητες αυτές καλούνται περιορισμοί του προβλήματος. Αυτές οι ανισότητες προσδιορίζουν τον χώρο μέσα στον οποίο επιβάλλεται-επιτρέπεται-μπορούν να κινούνται οι τιμές των ( x, x. Εναλλακτικά, οι τιμές των ( x, x πρέπει να είναι τέτοιες ώστε να ικανοποιούν-επαληθεύουν όλους τους περιορισμούς. Οι μεταβλητές x, x λέγονται μεταβλητές αποφάσεως του προβλήματος Το χαρακτηριστικό στο παραπάνω πρόβλημα είναι ότι η Α.Σ. είναι γραμμική συνάρτηση και οι περιορισμοί είναι επίσης γραμμικές ανισότητες. Αν αυτό δεν συμβαίνει τότε δεν μιλάμε για πρόβλημα Γ.Π. Σχόλια Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 3 από 46

4 . Αντί για πρόβλημα μεγιστοποίησης (max) μπορεί να έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης (min).. Η γενική μορφή της Α.Σ. είναι Z z( x, x ) x x. 3. Η γενική μορφή των περιορισμών είναι ανισότητες της μορφής kx x ή cx dx m. Στο παραπάνω πρόβλημα έχουμε τρείς γραμμικούς περιορισμούς, Όμως σε κάθε πρόβλημα Γ.Π. με δυο ή και περισσότερες μεταβλητές μπορεί να έχουμε από ένα μέχρι και πάρα πολλούς περιοσρισμούς. 4. Οι ανισότητες x, x αποτελούν τους φυσικούς περιορισμούς διότι τα μεγέθη που παριστάνουν οι μεταβλητές απόφασης x, x είναι φυσικά μεγέθη και ως τέτοια πρέπει να είναι θετικά. 5. Ένα πρόβλημα Γ.Π. μπορεί να έχει περισσότερες από δυο μεταβλητές, π.χ. τρείς οπότε η Α.Σ. θα είναι της Z z( x x, x ) x x x και αντίστοιχα μορφές θα έχουν οι περιορισμοί. μορφής, 3 3 Για να λύσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα Γ.Π. είναι φανερό ότι πρέπει να κάνουμε τα εξής. Να βρούμε το σύνολο των ζευγών τιμών ( x,x ) που ταυτόχρονα επαληθεύουν τις ανισότητες των περιορισμών, ή όπως σύντομα λέμε να βρούμε που συναληθεύουν οι ανισότητες (),(,(3),(4). Από αυτές τις τιμές να επιλέξουμε εκείνο το ζεύγος τιμών ( x, x ), (ή εκείνα τα ζεύγη αν υπάρχουν περισσότερα από ένα) που δίνει την μεγαλύτερη (max) τιμή στην Α.Σ αν το πρόβλημα είναι μεγιστοποίηση (ή την ελάχιστη- min αν το πρόβλημα είναι πρόβλημα ελαχιστοποίησης). Το σύνολο των τιμών ( x, x ) για τις οποίες συναληθεύουν οι περιορισμοί καλείται σύνολο των εφικτών λύσεων του προβλήματος, ή και απλά εφικτή περιοχή ή εφικτός χώρος και συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα S. Για το παράδειγμα μας είναι, S={το σύνολο των ζευγών τιμών ( x, x ) για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισότητες,,3,4} Το ζεύγος (ή τα ζεύγη), τιμών ( x,x ) που θα δώσει το βέλτιστο, μέγιστο ή ελάχιστο καλείται λύση βελτίστου ή και απλά λύση του προβλήματος. Παρατηρήσεις Ενδέχεται να μη υπάρχουν τιμές ( x, x ) που να επαληθεύουν ταυτόχρονα τους περιορισμούς,,3, και 4. Σε μια τέτοια περίπτωση είναι φανερό ότι δεν υπάρχει λύση για το πρόβλημα και αυτό το διατυπώνουμε λέγοντας ότι το πρόβλημα είναι αδύνατο. Ενδέχεται το πρόβλημα να έχει περισσότερες από μια λύσεις ( x, x ). Αν αυτό συμβαίνει το πρόβλημα θα έχει άπειρες λύσεις. Στα προβλήματα Γ.Π. τα σύμβολα (,) της ανισότητας έχουν την ίδια σημασία και χρησιμοποιούνται αδιάκριτα και το ίδιο ισχύει και για τα σύμβολα (,) Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 4 από 46

5 . ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ z( x, x ) x x. Ένα πρόβλημα Γ.Π. της μορφής που παρουσιάσαμε στην αρχή, μπορεί να επιλυθεί πολύ εύκολα, με μια γραφική μέθοδο την οποία θα δούμε παρακάτω. Για να το πετύχουμε όμως αυτό θα πρέπει να ξέρουμε μερικά βασικά πράγματα για την γραμμική συνάρτηση τα οποία και θα παρουσιάσουμε στην συνέχεια Θετικό και αρνητικό ημιεπίπεδο μιας ευθείας x x Για την παρουσίαση του παραπάνω θέματος θα προχωρήσουμε με ένα παράδειγμα. Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση z( x, x ) 3x 4x και στο επίπεδο την ευθεία 4x 3x z =. Σε σύστημα ορθογωνίων συντεταγμένων σχεδιάζουμε την ευθεία, βλέπε σχήμα. Για να την σχεδιάσουμε πρέπει να βρούμε δυο σημεία αυτής. Τέτοια σημεία είναι το Α(3,) (βρίσκεται αν στην εξίσωση 4x 3x θέσω x = και λύσω την εξίσωση 4x, ομοίως βρίσκεται και το Β(,-4). Η ευθεία χωρίζει το επίπεδο σε δυο μέρη που ονομάζονται ημιεπίπεδα. Αυτά ταυτοποιούνται με τα ονόματα θετικό ημιεπίπεδο και αρνητικό ημιεπίπεδο αντίστοιχα, και το κάθε ένα από αυτά έχει κάποιες ιδιότητες. Πιο από τα δυο ημιεπίπεδα θα ταυτοποιηθεί ως το θετικό ημιεπίπεδο και πιο ως το αρνητικό, και τι ιδιότητες έχουν τα σημεία που ανήκουν στο κάθε ένα από αυτά; Εντοπισμός -ταυτοποίηση-του θετικού και του αρνητικού ημιεπιπέδου στα οποία η ευθεία 4x 3x z = χωρίζει το επίπεδο ΧΨ. Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, η ευθεία χωρίζει το επίπεδο ΧΥ σε δυο ημιεπίπεδα. Ο εντοπισμός του θετικού και του αρνητικού γίνεται πολύ εύκολα, όπως θα δούμε στο παράδειγμα, με αναφορά στην ευθεία 4x 3x z =. Αν πάρουμε στο επίπεδο ένα τυχόν σημείο π.χ το σημείο Ο(,) (αντιστοιχεί στην αρχή των αξόνων) και αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του στην συνάρτηση z 4x 3x βλέπουμε ότι z, δηλαδή z z z(,) 4 3 (,) X Αρνητικό (-) ημιεπίπεδο της ε Γ(γ,γ 4x 3x z = 4 3 z O(,) N(3,) Θετικό (+) ημιεπίπεδο της X M(-4) Σχήμα Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 5 από 46

6 Όταν συμβαίνει αυτό τότε λέμε ότι το ημιεπίπεδο στο οποίο βρίσκεται το σημείο Ο(,) είναι το αρνητικό ημιεπίπεδο, από τα δυο στα οποία η χωρίζει το επίπεδο. Πάμε στο σχήμα το εντοπίζουμε και το επισημαίνουμε με την ετικέτα αρνητικό (-) ημιεπίπεδο της ε, ή με την (-) της, ή (-) ε ή και απλά με την ετικέτα (-). Στο σχήμα και για έμφαση το έχουμε δείξει και με το διάνυσμα. Έχοντας εντοπίσει το αρνητικό ημιεπίπεδο το άλλο θα είναι το θετικό. Πάμε στο σχήμα και το επισημαίνουμε με την ετικέτα θετικό (+) ημιεπίπεδο της ε. ή (+) της ε, ή (+) ε ή απλά με (+) είναι αυτό που δείχνει το διάνυσμα. Με αυτήν την απλή διαδικασία εντοπίζουμε και επισημαίνουμε, το θετικό (+) και αρνητικό (-) ημιεπίπεδα στα οποία η ευθεία 4x 3x z =. χωρίζει το επίπεδο ΧΨ. Γενικότερα Η ευθεία x x χωρίζει το επίπεδο ΧΥ σε δυο ημιεπίπεδα. Αν για το τυχόν σημείο H(, με συντεταγμένες (, έχουμε z(, ) τότε λέμε πως το σημείο H(, βρίσκεται στο θετικό ημιεπίπεδο, της ε. Πάμε στο σχήμα που είναι το γράφημα της ευθείας x x και εντοπίζουμε τη θέση του σημείου H(, ) ως προς την ευθεία x x. Το ημιεπίπεδο στο οποίο βρίσκεται το σημείο H(, είναι το θετικό το επισημαίνουμε με το (+). Το άλλο θα είναι το αρνητικό ημιεπίπεδο το οποίο το επισημαίνουμε με την ετικέτα (-). Εναλλακτικά, αν z(, ) τότε το (, οπότε το άλλο θα είναι το θετικό (+) ημιεπίπεδο. H βρίσκεται στο αρνητικό (-) ημιεπίπεδο Ιδιότητα των σημείων που ανήκουν στο θετικό ή στο αρνητικό ημιεπίπεδο μιας ευθείας ε Πάλι θα προχωρήσουμε με το παράδειγμα. Ποιά ιδιότητα έχουν τα σημεία που ανήκουν στο θετικό ημιεπίπεδο της 4x 3x z =, και ποια εκείνα που ανήκουν στο αρνητικό της ημιεπίπεδο; Από τον τρόπο με τον οποίο ταυτοποιήσαμε τα ημιεπίπεδα, θετικό και αρνητικό, συμπεραίνουμε εύκολα ότι τα σημεία τους έχουν την ακόλουθη ιδιότητα. Αν το τυχόν σημείο R( r, r ) με συντεταγμένες ( r, r είναι στο θετικό ημιεπίπεδο της τότε πάντα έχουμε z( r, r >, ενώ αν το τυχόν σημείο W( w, w με συντεταγμένες ( w, w είναι στο αρνητικό ημιεπίπεδο της τότε πάντα έχουμε z( w, w <. Για να πεισθείτε ας κάνουμε μερικές δοκιμές επαλήθευσης, με την ευθεία 4x 3x z = Τα τυχαία σημεία με συντεταγμένες ( x, x =(,, ( x, x = (,- βρίσκονται στο αρνητικό (-) ημιεπίπεδο της ευθείας 4x 3x z =, όπως εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε στο σχήμα. Έτσι θα πρέπει να έχουμε z(, z και z(, z. Πράγματι με αντικατάσταση στην z( x x ) 4x 3x προκύπτει, z(, 4 3 z, z(, z που συμφωνεί, με την πρόβλεψη.. Η διαπίστωση εδώ είναι εμφανής. Αν αυτό δεν είναι εμφανές πρέπει να τοποθετήσουμε τα σημεία στο σχήμα Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 6 από 46

7 Για τα σημεία με συντεταγμένες ( x, x =(5,) και ( x, x = (3,-3), που είναι στο θετικό (+) ημιεπίπεδο της 4x 3x z = πρέπει να έχουμε z(5,) z και z(3, 4) z. Πράγματι z(5,) z, και z(3, 4) 43 3 ( 4) 4. Για το σημείο με συντεταγμένες ( x, x = (4.5, 3) έχουμε z (4.5, = z = διότι αυτό είναι πάνω στην ευθεία 4x 3x z =. Αυτή η ιδιότητα των σημείων του θετικού ημιεπιπέδου (αντίστοιχα του αρνητικού ημιεπιπέδου), που εδώ την διαπιστώσαμε με παραδείγματα είναι μια ιδιότητα που αποδεικνύεται ότι ισχύει σε κάθε περίπτωση. Έτσι μπορούμε να την χρησιμοποιούμε όπου και όποτε μας χρειάζεται. Αμέσως θα δούμε μια εφαρμογή της. Επίλυση των γραμμικών ανισοτήτων Από την δομή ενός προβλήματος Γ.Π. είναι φανερό ότι,για να μπορέσουμε να το επιλύσουμε πρέπει να είμαστε σε θέση να επιλύουμε γραμμικές ανισότητες με δυο μεταβλητές, δηλαδή ανισότητες της μορφής x x (5) ή x x (6) δηλαδή να βρούμε το σύνολο των λύσεων για κάθε μια από τις παραπάνω ανισότητες. Είναι φανερό ότι οι ανισότητες αυτές έχουν πολλές -άπειρες λύσεις. Τις λύσεις αυτές δεν μπορούμε να τις καταγράψουμε γιατί είναι άπειρες. Μπορούμε όμως να προσδιορίσουμε στο επίπεδο τον χώρο στον οποίο ανήκουν όλα τα σημεία ( x, x που είναι λύσεις της κάθε ανισότητας. Αυτή η διαδικασία λέγεται γραφική επίλυση της ανισότητας. Αν έχουμε κατανοήσει την διαδικασία εντοπισμού του θετικού (+) και του αρνητικού (-) ημιεπιπέδου μιας ευθείας και την ιδιότητα που έχουν τα σημεία που ανήκουν σε κάθε ένα από αυτά (τα ημιεπίπεδα) τότε πολύ εύκολα μπορούμε να επιλύσουμε τις παραπάνω ανισότητες γραφικά. Η ανισότητα (5) επαληθεύεται για κάθε σημείο ( w, w ) που ανήκει στο θετικό ημιεπίπεδο της ευθείας που ορίζεται από την εξίσωση x x, ενώ η ανισότητα (6) επαληθεύεται για κάθε σημείο ( m, m ) που ανήκει στο αρνητι8κό ημιεπίπεδο της ευθείας x x. Η διαδικασία εύρεσης του συνόλου αυτών των άπειρων λύσεων τυποποιείται στα παρακάτω βήματα. Βήμα. Φτιάξε ένα σύστημα συντεταγμένων και σε αυτό σχεδίασε την ευθεία x x. Αυτή (η ευθεία) χωρίζει το επίπεδο σε δυο ημιεπίπεδα. Ας τα καλέσουμε Ε και Ε. Βήμα. Πάρε στο επίπεδο ένα οποιοδήποτε σημείο H( h, h (όταν λέμε σημείο εννοούμε τις συντεταγμένες του). Χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες ( h, h, τοποθέτησε το σημείο στο επίπεδο και δες σε ποιο από τα δυο ημιεπίπεδα Ε ή Ε ανήκει πέφτει. Ας υποθέσουμε ότι το H( h, h ανήκει στο Ε (δεν μπορεί να πέσει και στα δυο) Βήμα3. Υπολόγισε την τιμή της παράστασης z( h, h ) h h z( x, x ) x x στο σημείο H( h, h Βήμα 4. Σύγκρινε αυτή την τιμή z( h, h με το γ. δηλαδή την τιμή της Βήμα 5. Αν z( h, h ) τότε οι συντεταγμένες κάθε σημείου που βρίσκεται στο ημιεπίπεδο Ε θα επαληθεύουν την ανισότητα ( δηλαδή την x x. Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 7 από 46

8 Έτσι το σύνολο των λύσεων της ανισότητας x x είναι το ημιεπίπεδο Ε, δηλαδή όλα τα σημεία (οι συντεταγμένες τους) που ανήκουν στο Ε Οι συντεταγμένες κάθε σημείου που βρίσκονται στο άλλο, το αρνητικό ημιεπίπεδο, δηλαδή στο Ε θα επαληθεύουν την αντίστροφη ανισότητα x x και αυτά τα σημεία αποτελούν το σύνολο των λύσεων της ανισότητας x x Παρατήρηση Η τυποποίηση της διαδικασίας παρουσιάζεται εδώ για καθαρά εκπαιδευτικούς σκοπούς και για σκοπούς καλύτερης κατανόησης. Στην πράξη όλα αυτά γίνονται με πολύ απλό τρόπο, χωρίς να τηρούμε την τυπολατρία, και αποφεύγοντας τις άσκοπες λεπτομέρειες. Αυτό θα το δούμε στο παράδειγμα που ακολουθεί. Εφαρμογή. Σαν εφαρμογή θα επιλύσουμε, (θα βρούμε γραφικά τα σύνολα των λύσεων) των ανισοτήτων z( x, x 4x 3x και της z( x, x 4x 3x Στο σχήμα έχει κατασκευασθεί η ευθεία 4x 3x z =. Δοκιμάζοντας με το σημείο Ο(,) (αρχή των αξόνων) έχουμε, z(,) 4 3 z. Άρα το σημείο Ο(,) είναι στο αρνητικό (-) ημιεπίπεδο της ε. Το εντοπίζουμε στο σχήμα και το επισημαίνουμε με την ετικέτα (-) της. Σε κάθε σημείο του, επαληθεύεται η ανισότητα z( x, x 4x 3x. Ταυτόχρονα εντοπίζουμε και το θετικό (+)ημιεπίπεδο, της, σε κάθε σημείο του οποίου επαληθεύεται η ανισότητα z( x, x 4x 3x. X Αρνητικό (-) Ημιεπίπεδο της Σε κάθε σημείο του W ( w, w ) αληθεύει η ανισότητα 4w wx W( w, w i 4x 3x z = i R( r, r Θετικό (+) ημιεπίπεδο της Σε κάθε του σημείο R( r, r αληθεύει η ανισότητα 4r 3r O H X Σε κάθε σημείο ( h, h ) πάνω στην Έχουμε 4h 3h z Σχήμα Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 8 από 46

9 Υπόδειξη. Για εξάσκηση δοκιμάστε να επαληθεύσετε τις ανισότητες παίρνοντας κάποια σημεία στα δυο ημιεπίπεδα Με την βοήθεια των παραπάνω μπορούμε πολύ εύκολα να επιλύσουμε γραφικά, να βρούμε στο επίπεδο τον χώρο στον οποίο αληθεύει η κάθε μια από αυτές τις ανισότητες που αποτελούν τους περιορισμούς ενός προβλήματος Γ.Π. Στην συνέχεια παίρνοντας την τομή αυτών των χώρων (συνόλων λύσεων) προσδιορίζουμε γραφικά τον χώρο S των εφικτών λύσεων κάθε προβλήματος Γ.Π. με δυο μεταβλητές αποφάσεως. Στο σχήμα έχουμε βρει τις λύσεις των δυο ανισοτήτων. Προς το παρόν θα αφήσουμε αυτό το θέμα και θα ασχοληθούμε με την μελέτης της αντικειμενικής συνάρτησης. Μελέτη της αντικειμενικής συνάρτησης (Α.Σ.) z( x, x ) x x Η έννοια της ισοσταθμικής Γενικός ορισμός ισοσταθμικών καμπύλων. Ας πάρουμε τη συνάρτηση z f ( x, x των δυο μεταβλητών x, x Για κάθε τιμή του z το γράφημα της συνάρτησης f ( x, x z στο επίπεδο ΧΨ παριστά μια καμπύλη η οποία ονομάζεται ισοσταθμική καμπύλη σε στάθμη z, ή και απλά σταθμική. Η έννοια γενικεύεται και για συναρτήσεις περισσοτέρων των δυο μεταβλητών. Εδώ θα περιοριστούμε στην γραμμική συνάρτηση των δυο μεταβλητών x, x z( x, x ) 4x 3x =z Για κάθε τιμή του z το γράφημα της συνάρτησης αυτής στο επίπεδο ΧΨ παριστά μια ευθεία. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα την ευθεία (εξίσωση) 4x 3x z (7) όπου z είναι ένας τυχόν αριθμός Οι ευθείες που αντιστοιχούν σε διάφορες τιμές του z λέγονται ισοσταθμικές καμπύλες (εδώ βέβαια πρόκειται για ευθείες και όχι για καμπύλες) ή και απλώς ισοσταθμικές, ή και σταθμικές της z 4x 3x. Π.χ. η 4x 3x z είναι η ισοσταθμική της z 4x 3x σε στάθμη, η 4x 3x z είναι η ισοσταθμική της z σε στάθμη. Στο εξής θα χρησιμοποιούμε ισοδύναμα και αδιάκριτα τους όρους ισοσταθμική ή σταθμική Γιατί λέγονται ισοσταθμικές; Απλά διότι κάθε σημείο (οι συντεταγμένες κάθε σημείου) που είναι πάνω π.χ. στην ευθεία 4x 3x (που προκύπτει όταν z =, δίδουν στην συνάρτηση z( x, x ) 4x 3x την τιμή. Δηλαδή αν το οποιοδήποτε σημείο H( h, h (σχήμα είναι πάνω στην ευθεία, τότε για την συνάρτηση z( x, x ) 4x 3x σίγουρα θα έχουμε z( h, h ) 4h 3h z =. Προηγουμένως διαπιστώσαμε, βλέπε σχήμα, ότι αυτή, η, χωρίζει το επίπεδο σε δυο ημιεπίπεδα. Το θετικό ημιεπίπεδο σε κάθε σημείο του οποίου επαληθεύεται η ανισότητα 4x 3x και το αρνητικό ημιεπίπεδο σε κάθε σημείο του οποίου επαληθεύεται η 4x 3x. f ( x, x ) πρόκειται για την προβολή στο επίπεδο ΧΥ της καμπύλης που ορίζεται από την τομή της επιφάνειας το επίπεδο z z στον χώρο ΧΥΖ των τριών διαστάσεων. z με Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 9 από 46

10 Ας σχεδιάσουμε τώρα μερικές ακόμη ισοσταθμικές ευθείες της z( x, x ) 4x 3x για τιμές του z μεγαλύτερες από το z, π.χ. z=6, 4 και για τιμές του z μικρότερες από το z, π.χ. z=6,,-8. Σχήμα 3. Από το σχήμα αυτό διαπιστώνουμε τα εξής σημαντικά πράγματα. Οι ισοσταθμικές ευθείες 4x 3x z που προκύπτουν για διάφορες τιμές του z είναι ευθείες παράλληλες μεταξύ τους. Αυτό το γνωρίζαμε ήδη. Όσο μεγαλώνει η τιμή του z πάνω από το z = τόσο η αντίστοιχη σταθμική απομακρύνεται από την προς το θετικό ημιεπίπεδο της, παραμένουσα παράλληλος προς αυτήν (την ). Όσο μικραίνει η τιμή του z κάτω από το z = τόσο η αντίστοιχη σταθμική απομακρύνεται από την προς το αρνητικό ημιεπίπεδο της., παραμένουσα παράλληλος προς αυτήν (την ). Όλες αυτές οι παράλληλες ευθείες έχουν το θετικό ημιεπίπεδο προς την ίδια κατεύθυνση, {εδώ προς τα δεξιά των) και ομοίως το αρνητικό ημιεπίπεδο, (εδώ προς τα αριστερά των). Αυτές οι διαπιστώσεις δεν είναι συμπωματικές και δεν σχετίζονται με το παράδειγμα που επεξεργαζόμαστε. Αποτελούν θεωρητικά συμπεράσματα που ισχύουν για κάθε σύνολο ισοσταθμικών ευθειών, και συνεπώς μπορούμε να τα χρησιμοποιούμε σε κάθε περιπτωση που μπορεί να μας 4x 3x z x 3x z 4 4 4x 3x z x 3x z 4x 3x z 8 4x 3x z 4 X Αρνητικό (-) Ημιεπίπεδο της ε O(,) N(3,) X M(-4) Θετικό (+) ημιεπίπεδο της ε Σχήμα 3: Ισοσταθμικές της, 4x 3x z σε διάφορα επίπεδα z χρειασθούν. Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. από 46

11 Τίθεται τώρα το εξής βασικό ερώτημα Πως μπορούμε να βρούμε στο επίπεδο ΧΥ σημεία που δίδουν, στην συνάρτηση, z ax bx (δηλαδή στην Α.Σ του προβλήματος Γ.Π. ) τιμές που μπορεί να γίνουν όσο μεγαλύτερες θέλουμε από την τιμή z, (αντίστοιχα όσο μικρότερες θέλουμε από την z ;) Το γενικότερο πρόβλημα τίθεται ως εξής. Πως βρίσκουμε στο επίπεδο ΧΥ σημεία που οι συντεταγμένες τους δίδουν στην συνάρτηση z( x, x ax x τιμές που συνεχώς γίνονται όλο και μεγαλύτερες από το z ax x = k Από την ανάλυση που προηγήθηκε (περιοριζόμενοι στο παράδειγμα) προέκυψε ότι: Τέτοια σημεία υπάρχουν μόνο στο θετικό ημιεπίπεδο (+) της ευθείας ax x z. Αυτά είναι πάνω σε ευθείες ax x z z, που είναι παράλληλες προς την και κείνται στο θετικό της ημιεπίπεδο. Όσο η ε απομακρύνεται από την αρχική της θέση κινούμενη προς το θετικό ημιεπίπεδο της, και παραμένουσα παράλληλος προς την, ( // της συνάρτησης z ax x. ), τόσο τα σημεία της ε θα μεγαλώνουν την τιμή Αυτές οι διαπιστώσεις µας οδηγούν στην εξής απάντηση στο ερώτηµα. Για να εντοπίσουµε στο επίπεδο ΧΨ σηµεία ( x,x ) που όλο και περισσότερο µεγαλώνουν την τιµή της συνάρτησης z 4x 3x πάνω από την τιµή z =, θα πρέπει, αφού σχεδιάσουµε την ευθεία z 4x 3x z και εντοπίσουµε το θετικό της ηµιεπίπεδο, να µετακινήσουµε την παράλληλα προς τον εαυτό της αποµακρύνοντας αυτήν σταδιακά από την αρχική της θέση προς την κατεύθυνση του θετικού ηµιεπιπέδου της, (κατεύθυνση διανύσµατος ) και να πάρουµε σηµεία (οποιαδήποτε σηµεία) που να είναι πάνω στις νέες θέσεις που παίρνει η κατά την µετακινησή της. Αντίστοιχα. Για να εντοπίσουµε στο επίπεδο ΧΨ σηµεία ( x,x )που όλο και περισσότερο µικραίνουν κάτω από το z = την τιµή της συνάρτησης z 4x 3x θα πρέπει να µετακινήσουµε την ευθεία παράλληλα προς τον εαυτό της αποµακρύνοντας αυτήν σταδιακά από την αρχική της θέση προς την κατεύθυνση του αρνητικού ηµιεπιπέδου, της, (κατεύθυνση διανύσµατος ) και να πάρουµε σηµεία (οποιαδήποτε) που είναι πάνω στις νέες θέσεις που παίρνει η κατά την µετακίνησή της. Η διαπίστωση αυτή για την συμπεριφορά των ισοσταθμικών είναι το βασικό εργαλείο, που μας βοηθάει για να επιλύσουμε γραφικά, με την μέθοδο της ισοσταθμικής, προβλήματα Γ.Π. όταν αυτά έχουν δυο μόνο μεταβλητές (ή όπως απλά λέμε γραμμικά προβλήματα στο χώρο των δυο διαστάσεων) διότι σε τέτοια προβλήματα ψάχνουμε για το μέγιστο ή ελάχιστο συναρτήσεων της μορφής zx x Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. από 46

12 3. ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Γ.Π. (παράδειγμα) Αυτό απαιτεί να γίνουν τα παρακάτω τρία βήματα.. Να βρούμε γραφικά τον χώρο S των εφικτών λύσεων. Να σχεδιάσουμε μια σταθμική της Α.Σ. και να εντοπίσουμε τα ημιεπίπεδα, θετικό (+) και αρνητικό (-) αυτής. Σε πρόβλημα max, μετακινούμε προοδευτικά την σταθμική, από την αρχική της θέση προς το θετικό (+) ημιεπίπεδο, κρατώντας την παράλληλα προς τον εαυτό της. Αν το πρόβλημα έχει λύση, αυτή η μετακίνηση θα φέρει την ισοσταθμική σε θέση που θα έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον χώρο S, ή θα συμπέσει με μια από τις ευθείες που ορίζουν το σύνορο του S. Όταν συμβεί αυτό σταματάμε. Σε οπουδήποτε από τις δυο περιπτώσεις η ισοσταθμική θα περνά οπωσδήποτε από μια τουλάχιστον κορυφή του S. 3. Οι συντεταγμένες αυτής της κορυφής, εφόσον υπάρξει, είναι μια λύση του προβλήματος 3. Τις υπολογίζουμε αλγεβρικά (ή τις μετράμε με τον χάρακα, αν δεν υπάρχει ανάγκη για απόλυτη ακρίβεια) 4. Με αυτές τις συντεταμένες υπολογίζουμε την τιμή της Α.Σ. και αυτή είναι και η βέλτιστη τιμή Παράδειγμα Θα δούμε την διαδικασία αυτή αναφερόμενοι στο πρόβλημα Γ.Π. που θέσαμε στην αρχή, το οποίο ήταν. Αντικειμενική Συνάρτηση (Α.Σ) Περιορισμοί (C) max Z 4x 3x 3x 5x 5 () 5x x ( 4x 3x 6 (3) x, x (4) Εύρεση (γραφικώς) του συνόλου S των εφικτών λύσεων του προβλήματος Το σύνολο S των εφικτών λύσεων ενός προβλήματος Γ.Π. βρίσκεται αν βρούμε το σύνολο στο οποίο επαληθεύεται η ο κάθε περιορισμός και μετά πάρουμε την τομή αυτών των συνόλων. Φτιάχνουμε ένα σύστημα ορθογωνίων συντεταγμένων. σχήμα 4. Στο πρόβλημα Γ.Π. έχουμε τους περιορισμούς x, x. Ο χώρος στον οποίο ικανοποιούνται αυτοί οι περιορισμοί, είναι το πρώτο τεταρτημόριο, και ο χώρος των εφικτών λύσεων θα είναι προφανώς ένα υποσύνολο αυτού του χώρου. Το πρόβλημα έχει πάντα μια τουλάχιστον λύση αν ο χώρος των εφικτών λύσεων είναι φραγμένος Αν το πρόβλημα δεν έχει λύση, αυτό δεν θα συμβεί ποτέ. Όσο και αν μετακινήσουμε την σταθμική απομακρύνοντας αυτήν από την αρχική της θέση, θα υπάρχει ακόμη χώρος για μετακίνηση. Αυτό μπορεί να συμβεί μόνον όταν ο χώρος δεν είναι φραγμένος. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι το πρόβλημα είναι μη φραγμένο. Τέτοιες περιπτώσεις θα δούμε παρακάτω. 3 Δεν θα ασχοληθούμε με την περίπτωση ύπαρξης πολλαπλών λύσεων. Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. από 46

13 Προχωράμε με τον πρώτο () περιορισμό 3x 5x 5. Παίρνουμε την ευθεία, 3x 5x 5 βρίσκουμε δυο σημεία της, τα σημεία (5,) και (3,) είναι τα πιο εύκολα να βρεθούν, και την σχεδιάζουμε στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Δοκιμάζοντας με το σημείο Ο(,), βλέπουμε ότι, z(,) Άρα το σημείο Ο(,) βρίσκεται στο αρνητικό ημιεπίπεδο στα οποία η, 3x 5x 5 χωρίζει το επίπεδο ΧΨ. Το επισημαίνουμε (-) στο σχήμα 5 (κίτρινο χρώμα) και έτσι βρήκαμε γραφικά το σύνολο των λύσεων της ανισότητας. 3x 5x 5. (Στο σχήμα 5 έχει επισημανθεί και το θετικό ημιεπίπεδο της αν και δεν μας χρειάζεται). X Σε κάθε σημείο αυτού του χώρου συναληθεύουν οι περιορισμοί x και x O(,) X M(-4) Σχήμα 4 Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 3 από 46

14 Γ Γ X Β Χώρος που επαληθεύεται οπεριορισμός (+) ημιεπίπεδο της 3x 5x 5 Δ O(,) M(-4) Α Σχήμα 5 X 3x 5x 5 (-) ημιεπίπεδο της 3x 5x 5 Αν πάρουμε την τομή των δυο χώρων που δείχνουν τα σχήματα 4 και 5 βρίσκουμε τον χώρο που συναληθεύουν οι περιορισμοί και 4, δηλαδή οι: 3x 5x 5 x x. σχήμα 6. Αυτός είναι το γραμμοσκιασμένο με θαλλασί χρώμα τρίγωνο ΟΔΓ. X Χώρος που συναληθεύουν οι περιορισμοί και 4 (+) ημιεπίπεδο της 3x 5x 5 O Δ X 3x 5x 5 M(-3) Σχήμα 6 (-) ημιεπίπεδο της 3x 5x 5 Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 4 από 46

15 Τώρα ας προχωρήσουμε προσθέτοντας στους περιορισμούς και 4 και τον που είναι ο 5x x. Στο σχήμα 7 φαίνεται ο χώρος όπου αληθεύει η ανισότητα, είναι ο μαρκαρισμένος με την ετικέτα (-). της Η τομή αυτού του χώρου με το τρίγωνο ΟΔΓ δίδει τον χώρο που συναληθεύουν οι περιορισμοί,,4 και είναι το πολύγωνο με (ΟΑΒΓ) με κόκκινο περίγραμμα και κορυφές τα σημεία Ο,Α,Β,Γ. X Γ Χώρος που συναληθεύουν οι περιορισμοί, και 4 Β (+) της O Α Δ X 3x 5x 5 (-) της M(-4) (-) της (+) της Σχήμα 7 5x x Τέλος αν προσθέσουμε και τον περιορισμό 3, βλέπε σχήμα 8, βλέπουμε ότι ο χώρος (ΟΑΒΓ) των εφικτών λύσεων δεν αλλάζει. Παρατήρηση. Ο περιορισμός 3 δεν συμβάλει, (δεν επηρεάζει) στον προσδιορισμό του χώρου S. Κάθε τέτοιος περιορισμός, λέγεται περιττός, διότι και αν τον επιβάλουμε ή τον αγνοήσουμε ο χώρος των εφικτών λύσεων δεν αλλάζει. Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 5 από 46

16 X Χώρος που συναληθεύουν οι περιορισμοί,,3, 4 Γ Β (+) της O Α Δ X 3x 5x 5 M(-4) Σχήμα 8 (-) της 5x x (-) της (-) της 3 (=) της (+) της 3 4x 3x 6 3 Έχοντας βρει τον χώρο S των εφικτών λύσεων μεταφέρουμε εδώ, σχήμα 9, το σύστημα των ορθογωνίων συντεταγμένων απαλλάσσοντας αυτο από περιττές ενδείξεις, κρατώντας μόνο τον χώρο των εφικτών λύσεων, τις εξισώσεις των ευθειών και τα βέλη που δείχνουν προς το ημιεπίπεδο) στο οποίο αληθεύει κάθε ένα από τους περιορισμούς. Σε πραγματικό περιβάλλον εργασίας, π.χ. εξετάσεις, αυτά είναι τα απαραίτητα στοιχεία που πρέπει να υπάρχουν πάνω στο σχήμα. Το επόμενο βήμα είναι να κατασκευάσουμε μια σταθμική της Α.Σ. Πάνω στο σχήμα αυτό, στο οποίο έχουμε προσδιορίσει τον χώρο S των εφικτών λύσεων σχεδιάζουμε μια ισοσταθμική π.χ. την 4x 3x z =4. Επιλεγούμε το z έτσι ώστε η ισοσταθμική να έχει κοινά σημεία με τον χώρο S. Αυτό γίνεται δοκιμάζοντας με τιμές του z. Αυτό δεν είναι απολύτως απαραίτητο και αργότερα θα δούμε τι κάνουμε αν δεν μπορέσουμε να το πετύχουμε. Στην συνέχεια με την διαδικασία που έχουμε ήδη περιγράψει, (δοκιμάζοντας με το σημείο π.χ.. το Ο(,) ) εντοπίζουμε τα ημιεπίπεδα θετικό (+),και αρνητικό (-) της και τα επισημαίνουμε, σχήμα. Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 6 από 46

17 X Γ Χώρος των εφικτών λύσεων S Β O Α Δ X 3x 5x 5 4x 3x 6 3 M(-4) Σχήμα 9 5x x X Θέση min της z( x, x ) 4x 3x Σταθμική στο z=4 4x 3x z =4 S: Χώρος Εφικτών λύσεων Γ S Β (-) (+) Θέση max της z( x, x ) 4x 3x O Α Δ X N(3,) 3x 5x 5 4x 3x 6 3 Σχήμα 5x x Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 7 από 46

18 Εύρεση της βέλτιστης λύσης Έχοντας σχεδιάσει την σταθμική 4x 3x z =4 και εντοπίσει τα ημιεπίπεδα, θετικό και αρνητικό είμαστε έτοιμοι να βρούμε την λύση γραφικά. Σε αυτό, και μόνο σε αυτό το σημείο κοιτάζουμε να δούμε αν το πρόβλημά μας είναι πρόβλημα max, δηλαδή πρόβλημα εύρεσης μεγίστου της z 4x 3x, ή min. Εδώ είναι πρόβλημα max. Με τον τρόπο που περιγράψαμε παραπάνω, μετακινούμε προοδευτικά την σταθμική, από την αρχική της θέση προς το θετικό (+) ημιεπίπεδο, κρατώντας την παράλληλα προς τον εαυτό της. Η μετακίνηση την φέρει στην κορυφή Α που θα έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον χώρο S. Το σημείο αυτό θα δώσει την λύση του προβλήματος δηλαδή το μέγιστο-max, στην z 4x 3x Το Α προσδιορίζεται από την τομή των ευθειών 5x x και x και οι συντεταγμένες θα βρεθούν από την λύση του συστήματος. 5x x x που είναι η x, και x. (Προσοχή. Αυτή είναι η εξίσωση του οριζόντιου άξονα των ΟΧ) Απάντηση. Η λύση του προβλήματος είναι x, x, και η τιμή της α.σ. είναι z(,) 8. Αν δεν θέλουμε τις ακριβείς συντεταγμένες της λύσης τότε δεν λύνουμε το σύστημα αλλά τις μετράμε με τον χάρακα,(αν βέβαια έχουμε φτιάξει ένα σχήμα με ακρίβεια) Ακμές Αν κάτω από τους ίδιους περιορισμούς, θέλουμε να λύσουμε και το πρόβλημα min z 4x 3x η σταθμική θα πρέπει να κινηθεί με τον ίδιο τρόπο στο αρνητικό (-) ημιεπίπεδο της. Είναι φανερό ότι η λύση είναι στην κορυφή Γ, με x, x 4 και τιμή της α.σ. την z(, 4) Σημαντική Παρατήρηση. Αν κατά την μετακίνηση της η σταθμική ε ο, συμπέσει-ταυτισθεί με μια από τις ακμές που περιορίζουν τον χώρο S Δηλαδή με μια από τις ευθείες των περιορισμών), τότε έχουμε περισσότερες από μια λύσεις. Αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις που θα τις δούμε παρακάτω. Ταξινόμηση των περιορισμών Δεσμευτικοί (biding), μη Δεσμευτικοί (non biding), περιττοί-πλεονάζοντες (redundant), περιορισμοί Έχοντας επιλύσει το πρόβλημα Γ.Π. θα ασχοληθούμε λίγο με την ταξινόμηση των περιορισμών του σε σχέση με τον ρόλο που διαδραματίζουν στον προσδιορισμό της βέλτιστης λύσης αλλ α και του χώρου S των εφικτών λύσεων. Το σημείο A με συντεταγμένες (,) στο οποίο πετυχαίνετε το max ορίζεται από την τομή των ευθειών. 5x x και x Έτσι στο σημείο Α, ο περιορισμός 5x x ισχύει ως ισότητα, δηλαδή έχουμε 5. Κάθε τέτοιος περιορισμός, δηλαδή περιορισμός που οι συντεταγμένες της λύσης τον κάνουν να ισχύει ως ισότητα λέγεται δεσμευτικός περιορισμός. Ποιο απλά, οι περιορισμοί που ορίζουν την κορυφή στην οποία πετυχαίνετε το μέγιστο λέγονται δεσμευτικοί. Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 8 από 46

19 Ο περιορισμός 3x 5x 5 δεν συμβάλλει στον προσδιορισμό του σημείου Α και συνεπώς στο σημείο Α αυτός ισχύει ως αυστηρή ανισότητα, Κάθε τέτοιος περιορισμός λέγεται μη δεσμευτικός περιορισμός. Για το πρόβλημα min z 4x 3x το ελάχιστο πετυχαίνετε στην κορυφή Γ(,3) η οποία ορίζεται από την τομή των ευθειών 3x 5x 5, x. Έτσι για το πρόβλημα min ο περιορισμός 3x 5x 5 είναι δεσμευτικός ( ), ενώ ο 5x x είναι μη δεσμευτικός (5 3 6 ). Ο περιορισμός 4x 3x 6 δεν είναι δεσμευτικός σε κανένα από τα δυο προβλήματα max ή min Προσεκτική παρατήρηση στο σχήμα 8 (ή το 9) δείχνει ότι ο τρίτος περιορισμός 4x 3x 6 δεν συμμετέχει στον προσδιορισμό του χώρου των εφικτών λύσεων με την έννοια ότι αν τον αγνοήσουμε εντελώς ο χώρος των εφικτών λύσεων δεν θα αλλάξει και θα είναι ίδιος με αυτόν του σχήματος 7. Ένας τέτοιος περιορισμός λέγεται περιττός ή πλεονάζων (redundant). Οι περιττοί ή πλεονάζοντες περιορισμοί δεν επηρεάζουν την λύση του προβλήματος και συνεπώς αν τους εντοπίσουμε μπορούμε να τους αγνοήσουμε. Το θέμα όμως είναι ότι δεν είναι εύκολο να τους εντοπίσουμε εκ των προτέρων. Ενημέρωση Όπως είδαμε στο παράδειγμα, όταν λύνουμε ένα πρόβλημα Γ.Π. στο χώρο των δυο διαστάσεων γραφικά με τη μέθοδο της ισοσταθμικής οι δεσμευτικοί ή οι μη δεσμευτικοί περιορισμοί και οι περιττοί περιορισμοί εντοπίζονται εύκολα. Το ερώτημα που, εύλογα, τίθεται είναι το ακόλουθο. Πως σε ένα γενικό πρόβλημα Γ.Π, δηλαδή πρόβλημα με περισσότερες από δυο μεταβλητές, εντοπίζουμε τους δεσμευτικούς, μη δεσμευτικούς, και περιττούς περιορισμούς αν υπάρχουν; Η απάντηση: Ο εντοπισμός τους γίνεται στην πορεία αναζήτησης της λύσης, και ο αλγόριθμος (διαδικασία) επίλυσης τέτοιων προβλημάτων, μας δίνει, αυτόματα αυτή την πληροφορία. 4. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ (ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ) ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Γ.Π. ΓΡΦΙΚΆ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΗΣ Αν κάποιος φοιτητής διαβάσει τα παραπάνω και δεν κάνει τίποτε ίσως απελπισθεί και πεί στον εαυτό του εγώ δεν πρόκειται ποτέ να καταφέρω να λύσω γραφικά ένα πρόβλημα Γ.Π. Όμως ψυχραιμία. Όταν έχουμε να επιλύσουμε γραφικά ένα πρόβλημα Γ.Π. δεν κάνουμε σχεδόν τίποτε από όσα έγιναν στο παραπάνω παράδειγμα. Αυτά έγιναν μόνο για να βοηθήσουν στην καλύτερη κατανόηση των πραγμάτων. Τότε τι κάνουμε; Κάνουμε τα παρακάτω πολύ απλά βήματα. Φτιάχνουμε ένα σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο χαράσσουμε όλες τις ευθείες που ορίζονται από τους περιορισμούς.. Για κάθε μια από αυτές εντοπίζουμε και υποδεικνύουμε, μαρκάροντας με βέλος (ή με όποιον τρόπο θέλετε) το ημιεπίπεδο στο οποίο επαληθεύεται η αντίστοιχη ανισότητα. 3. Μετά παίρνουμε την τομή αυτών των ημιεπιπέδων και του πρώτου τεταρτημορίου και έτσι βρίσκουμε τον χώρο S των εφικτών λύσεων (αν η τομή είναι το κενό σύνολο το πρόβλημα είναι αδύνατο) 4. Κατασκευάζουμε (χαράσσουμε) μια σταθμική (φροντίζουμε να έχει κοινά σημεία με τον χώρο S,αν δεν έχει θα δούμε στα παραδείγματα τι κάνουμε), και εντοπίζουμε το θετικό και αρνητικό ημιεπίπεδο αυτής. 5. Αν το πρόβλημα μας είναι max μετακινούμε την σταθμική προς το θετικό της (+) ημιεπίπεδο με τον τρόπο που αναλύσαμε παραπάνω μέχρι να βρούμε την κορυφή, (αν υπάρχει) που δίνει to βέλτιστο max, (αν είναι min κινούμαστε στο (-)). Οι συντεταγμένες της κορυφής αποτελούν την λύση του προβλήματος.. Αν δεν βρούμε τέτοια κορυφή λέμε ότι το πρόβλημα είναι μη φραγμένο. Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 9 από 46

20 6. Αν μας ζητείται (ενδέχεται να ζητείται), εντοπίζουμε τους δεσμευτικούς και μη δεσμευτικούς περιορισμούς με βάση την κορυφή που μας δίνει την λύση. Επισήμανση Για την Γραφική επίλυση προβλημάτων Γ.Π, το βιβλίο σας, Επιχειρησιακή έρευνα και Εφαρμοσμένη Οικονομετρία, Βασίλης Αγγελής, χρησιμοποιεί την προσέγγιση της ισοσταθμικής, είναι η μέθοδος, αλλά και την προσέγγιση της σύγκρισης των τιμών της Αν. Συνάρτησης σε κάθε κορυφή του S, είναι η μέθοδος. Από την εμπειρία μου, σας συνιστώ ανεπιφύλακτα: Όταν σας ζητηθεί να επιλύσετε γραφικά ένα πρόβλημα Γ.Π. να εργασθείτε με τη χρήση της ισοσταθμικής. Είναι προτιμότερο από κάθε άποψη. Προσοχή. Η τεχνική της εύρεσης των κορυφών του S και της σύγκρισης των τιμών της Α.Σ. σε αυτές,δεν επιτρέπεται να χρησιμοποιείται όταν ο χώρος των εφικτών λύσεων δεν είναι φραγμένος διότι ενδέχεται να σας οδηγήσει σε λάθος αποτέλεσμα Αν από κεκτημένη ταχύτητα ή και άγνοια το κάνουμε είναι δυνατόν να καταλήξουμε σε λάθος λύσεις. Αλλά και όταν ο χώρος είναι φραγμένος δεν συνιστάται ιδιαίτερα στην περίπτωση που ο χώρος έχει πολλές κορυφές διότι αυτό απαιτεί να λύσετε πολλά συστήματα για να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του S, εργασία που θέλει και πολύ χρόνο και ενέχει και τον κίνδυνο λαθών. Για να βεβαιωθείτε για τα παραπάνω ας επιχειρήσουμε να επιλύσουμε τα παρακάτω προβλήματα Παράδειγμα Να επιλύσετε τα δυο προβλήματα (P) και (Pπου δίδονται παρακάτω. max Z 4x 3x s. t. 3x 5x 5 (P) 5x x x, x min Z 4x 3x s. t. 3x 5x 5 (P 5x x x, x Και για τα δυο προβλήματα P, P, ο χώρος των εφικτών λύσεων S είναι ίδιος, και είναι το γραμμοσκιασμένο κυρτό μη φραγμένο (ανοικτό, μέρος) του επιπέδου που έχει τις κορυφές Ε,Β,Δ. Αυτόν θα τον βρούμε ως εξής. Σχεδιάζουμε τις ευθείες 3x 5x 5, 5x x. Μετά δοκιμάζοντας με το σημείο Ο(,) εντοπίζουμε τα ημιεπίπεδα στα οποία αληθεύει ο κάθε προορισμός- ανισότητα. Στο σχήμα τα δείχνουμε με τα αντίστοιχα βέλη. Παίρνουμε την τομή των ημιεπιπέδων και του πρώτου τεταρτημορίου και έτσι βρίσκουμε τον S. Τέλος κατασκευάζουμε μια σταθμική 4x 3x z =. Οι αντικειμενικές συναρτήσεις στα P,P είναι ίδιες, μόνο που το ένα είναι πρόβλημα max και το άλλο min. Προσεκτική παρατήρηση δείχνει ότι μπορούμε να μετακινούμε την σταθμική 4x 3x z = στο θετικό της ημιεπίπεδο (ή αντίστοιχα και στο αρνητικό) όσο θέλουμε και αυτή να μη φτάσει ποτέ σε θέση Οι τιμές ( x,x ) που επαληθεύουν του περιορισμούς μπορεί να γίνουν όσο θέλετε μεγάλες, πρακτικά άπειρο.. Προσοχή δεν πρόκειται για πολύγωνο. Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. από 46

21 Χ Χώρος ανοικτός προς την κατεύθυνση που δείχνει το διάνυσμα Ε (-) της Σταθμική στο z= 4x 3x z = Γ S: Χώρος εφικτών λύσεων μη φραγμένος (+) της Β O(,) Α Δ X 3x 5x 5 Β(,-4) Σχήμα 5x x να έχει ένα κοινό σημείο με τον χώρο ή να συμπέσει-ταυτισθεί με μια από τις περιοριστικές ευθείες του S. Έτσι τα x,x (εδώ και τα δυο, σε άλλες περιπτώσεις το ένα εκ των δυο) μπορούν να πάρουν όσο μεγάλες θετικές τιμές θέλουμε ακόμη και μέχρι το άπειρο, και το σημείο να είναι μέσα στον χώρο S. Συνεπώς δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε μέγιστο στο πρόβλημα P αλλά ούτε ελάχιστο στο πρόβλημα P. Αυτό το δηλώνουμε λέγοντας ότι κάθε ένα τα δυο προβλήματα είναι μη φραγμένο. Συμπέρασμα. Τα δυο προβλήματα είναι μη φραγμένα. Εδώ λέμε ότι έχουμε ένα μη φραγμένο πρόβλημα Γ.Π. σε μη φραγμένο χώρο εφικτών λύσεων Στα παραπάνω παραδείγματα ο χώρος των εφικτών λύσεων είναι μη φραγμένος και όπως επισημάναμε παραπάνω δεν επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο του υπολογισμού της Α.Σ. στις κορυφές του S. Ας δούμε που θα καταλήξουμε αν από κεκτημένη ταχύτητα την χρησιμοποιήσουμε. Για να βρούμε τις κορυφές (τρείς_ θα πρέπει να επιλύσουμε τρία συστήματα Κορυφή Ε Β Δ 5x x 5x x 3x 5x 5 Σύστημα x 3x 5x 5 x 45 Λύσης ( x, x ) (,5) ( x, x (, ) ( x, x ) (5,) 9 9 Τιμή α.σ. Ζ Ε=-5 Ζ Β=-55/9 Ζ Δ= Με αυτά τα δεδομένα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το μέγιστο συμβαίνει στην κορυφή Δ και είναι και το ελάχιστο στην κορυφή Ε και είναι -5. Και τα δυο είναι λάθος συμπεράσματα διότι εδώ ο χώρος των εφικτών λύσεων είναι μη φραγμένος. και η εφαρμογή αυτής της τεχνικής μας οδηγέι σε λάθος αποτέλεσμα. Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. από 46

22 Παράδειγμα 3. Να επιλύσετε τα προβλήματα min Z 4x x s. t. 3x 5x 5 (P3) 5x x x, x max Z 4x 3x s. t. 3x 5x 5 (P4) 5x x x x 7, x Πρόβλημα (P3) Ο χώρος των εφικτών λύσεων δεν είναι φραγμένος, σχήμα. Για το πρόβλημα min η σταθμική ε πρέπει να μετακινηθεί προς το αρνητικό της (-) ημιεπίπεδο. Αν αυτό γίνει φθάνει στην κορυφή Ε(,5). Η λύση του προβλήματος είναι ( x, x (,5) και η τιμή της α.σ. είναι z(,5) Θέση min της ε Ε X (-) της Σταθμική του P3 4x x z 4 (+) της Γ Β S: Χώρος εφικτών λύσεων O(,) Α Α(3,) Δ Θ(7,) X 3x 5x 5 Σχήμα 5x x Οι ευθείες. 5x x και x ορίζουν την κορυφή Ε, συνεπώς ο περιορισμός 5x x είναι δεσμευτικός, ενώ ο 3x 5x 5 δεν είναι. Εδώ έχουμε ένα πρόβλημα Γ.Π. με μη φραγμένο χώρο και πεπερασμένη λύση Κάτω από τους ίδιους περιορισμούς θα επιλύσουμε και το πρόβλημα: max Z 4x x Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. από 46

23 Για το πρόβλημα max η σταθμική ε πρέπει να μετακινηθεί προς το θετικό της (+ ημιεπίπεδο της ε. Αν αυτό γίνει αυτή μπορεί να απομακρύνεται συνεχώς από την αρχική της θέση μέχρι το άπειρον. Συνεπώς το πρόβλημα είναι μη φραγμένο. Παρατήρηση. Αν επιχειρήσετε να επιλύσετε τα δυο προβλήματα με την μέθοδο του υπολογισμού της Z 4x x στις τρείς κορυφές Δ, Β, Ε, τότε για το πρόβλημα min θα οδηγηθείτε στην σωστή απάντηση που είναι η κορυφή Ε. ενώ για το πρόβλημα max θα οδηγηθείτε στην κορυφή Δ που είναι λάθος.. Τώρα είναι σίγουρο ότι έχετε πεισθεί γιατί όταν ο χώρος S δεν είναι φραγμένος δεν επιτρέπεται καθόλου η χρήση της μεθόδου υπολογισμού της Α.Σ. στις κορυφές. Πρόβλημα (P4) Για το πρόβλημα P4 έχουμε τον παρακάτω χώρο S των εφικτών λύσεων ο οποίος επίσης δεν είναι φραγμένος, Σχήμα 3 Εδώ η μετακίνηση της ε πρέπει να γίνει προς το θετικό της (+) ημιεπίπεδο. Το max συμβαίνει στην κορυφή Θ(7,). Η λύση είναι ( x, x (7,) και τιμή της α.σ. είναι z (7,) =8. Ο περιορισμός x 7 είναι δεσμευτικός. Οι άλλοι δυο είναι μη δεσμευτικοί. Εδώ έχουμε ένα πρόβλημα Γ.Π. με μη φραγμένο χώρο και πεπερασμένη λύση Αν κάτω από τους ίδιους περιορισμούς επιλύσετε το πρόβλημα min Z 4x 3x, μετακινώντας την σταθμική ε προς (-) της ημιεπίπεδο θα διαπιστώσετε ότι αυτό είναι μη φραγμένο, X Σταθμική του P4 4x 3x z 8 (-) της (+) της Ε S: Χώρος εφικτών λύσεων μη φραγμένος Γ Β O(,) Α Α(3,) Δ Θ(7,) X 3x 5x 5 5x x x 3 7 Σχήμα 3 Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 3 από 46

24 Παρατηρήσεις. Όταν ο χώρος των εφικτών λύσεων δεν είναι φραγμένος (και φυσικά δεν είναι κενός) μπορεί να μη υπάρχει κορυφή που να δίδει το βέλτιστο (max, ή min). Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι το πρόβλημα είναι μη φραγμένο.. Όταν ο χώρος των εφικτών λύσεων είναι κενός τότε λέμε ότι το πρόβλημα είναι αδύνατο. Στην προσπάθεια να λύσουμε ένα πρόβλημα Γ.Π με την χρήση της ισοσταθμικής, είναι ενδεχόμενο να σχεδιάσουμε μια σταθμική ε σε θέση που δεν έχει κανένα κοινό σημείο με το χώρο των εφικτών λύσεων S. Προς τα πού θα μετακινήσουμε την ε ; Σε αυτή την περίπτωση (και για να αποφύγουμε τυχόν λάθη) πρέπει πρώτα να την μετακινήσουμε (πάντα παράλληλα προς τον εαυτό της) για να τη φέρουμε να έχει κοινά σημεία με το χώρο S. Η μετακίνηση αυτή μπορεί να γινει νοερά. Αφού κάνουμε αυτό, μετά θα τη μετακινήσουμε προς το (+) για να βρούμε το max σε πρόβλημα μεγιστοποίησης (ή προς το (-) για να βρούμε το min σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης). Αυτά δείχνονται στο σχήμα 4 όπου για το πρόβλημα (Ρ3) έχουμε σχεδιάσει την σταθμική 4x x z που πέφτει έξω από τον χώρο S. Σταθμική στο P3 4x x z X (-) της (+) της Ε Γ S: Χώρος εφικτών λύσεων Σταθμική στο P4 4x 3x z 8 Β O(,) Α Α(3,) Δ Θ(7,) X 5x x 3x 5x 5 Β(, -4) (-) της (+) της Σχήμα 4 x 3 7 Τέλος αλλά όχι τελευταία πρέπει να σημειώσω τα εξής Προσεκτική παρατήρηση της διαδικασίας με την οποία βρίσκουμε την λύση (όταν υπάρχει), ενός προβλήματος Γ.Π με τη γραφική μέθοδο, μας δείχνει ότι: Αν το πρόβλημα μας έχει λύση αυτή θα βρίσκεται οπωσδήποτε σε μια (τουλάχιστον) κορυφή του χώρου S των εφικτών λύσεων. Η διαπίστωση αυτή είναι δεν είναι συμπωματική, αλλά αντιστοιχεί σε ένα σημαντικό θεώρημα του Γ.Π. που είναι ανεξάρτητο από την διάσταση (αριθμός μεταβλητών) του προβλήματος και διατυπώνεται ως εξής ΘΕΩΡΗΜΑ Αν ένα πρόβληµα Γ.Π. έχει λύση, αυτή θα πετυχαίνεται σε µια τουλάχιστον κορυφή του συνόλου S των εφικτών λύσεων. Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 4 από 46

25 Παράδειγμα 4. Να λυθεί το πρόβλημα. max Z x x s. t. 3x 5x 5 5x x x, x Παράδειγμα 5. Να λυθεί το πρόβλημα. min Z x x s. t. 3x 5x 5 5x x x, x Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 5 από 46

26 5. ΜΟΝΤΕΛΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Γ.Π. Αυτή η ενότητα περιέχει λυμένα τρία προβλήματα Γ.Π. με ένα λιτό τρόπο όπως θα πρέπει να γίνει στις εξετάσεις, αν τεθεί τέτοιο θέμα. Πρόβλημα. (Θέμα Α.5 στις τελικές εξετάσεις (5-5-8) Μια εταιρεία εισάγει στην αγορά δύο νέους τύπους προϊόντων Π και Π. Ιστορικά στατιστικά στοιχεία που τηρεί η εταιρεία δείχνουν ότι για την πώληση ενός προϊόντος Π απαιτούνται 3 ώρες ενώ για την πώληση ενός προϊόντος Π 6 ώρες. Για τον επόμενο μήνα η εταιρεία διαθέτει συνολικό χρόνο 63 ωρών για την πώληση των δύο αυτών προϊόντων και έχει θέσει ως στόχο την πώληση τουλάχιστον 5 μονάδων προϊόντων από τον κάθε τύπο. Επιπλέον είναι γνωστό ότι από την πώληση κάθε μονάδας προϊόντος Π ή Π η εταιρεία κερδίζει 4 ή 5 Ευρώ αντίστοιχα. Με βάση τα στοιχεία αυτά:. Να διαμορφωθεί το μαθηματικό μοντέλο που η λύση του θα προσδιορίσει τον βέλτιστο αριθμό από τον κάθε τύπο προϊόντων που πρέπει να πωληθούν κατά τον επόμενο μήνα, με στόχο τη μεγιστοποίηση των κερδών. Να εξηγηθούν με σαφήνεια τα στοιχεία του προβλήματος.. Να χρησιμοποιηθεί η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού για να βρεθεί η άριστη λύση και η άριστη τιμή του προβλήματος. Να βρεθούν τα κέρδη που θα προκύψουν από το κάθε προϊόν καθώς και η ποσοστιαία συμμέτοχη του κάθε προ»ιόντος στα κέρδη 3. Υποθέτουμε ότι η διοίκηση της εταιρείας θέτει ως επιπλέον στόχο για τον επόμενο μήνα, ότι ο αριθμός των προϊόντων τύπου Π που θα πουληθούν να είναι τουλάχιστον ίσος με τον αριθμό των προϊόντων τύπου Π. Να διατυπωθεί μαθηματικά ο νέος περιορισμός, να επαναπροσδιορισθεί η εφικτή περιοχή και να βρεθεί η νέα άριστη λύση και η άριστη τιμή του προβλήματος Απαντήσεις. Ερώτημα Ορισμός μεταβλητών αποφάσεως. Έστω: x = Ο αριθμός προϊόντων Π που θα πωλήσει η εταιρεία τον επόμενο μήνα x = Ο αριθμός προϊόντων Π που θα πωλήσει η εταιρεία τον επόμενο μήνα Αντικειμενική συνάρτηση. Αφού κάθε μια μονάδα από το προϊόν Π αποφέρει 4 ευρώ οι x μονάδες θα αποφέρουν 4 x ευρώ. Ομοίως οι x του Π θα αποφέρουν 5 x.τα συνολικά κέρδη θα είναι, η Α.Σ. του προβλήματος και είναι Α.Σ. z= z( x, x ) = 4 x +5 x Περιορισμοί Αφού κάθε μια μονάδα από το προϊόν Π απαιτεί 3 ώρες για να πωληθεί οι x μονάδες θα αποφέρουν 3 x ώρες. Ομοίως οι x μονάδες του Π απαιτούν 6 x ώρες και οι συνολικές απαιτούμενες ώρες για την πώληση των xκαι x μονάδων θα είναι 3x 6x, και αυτές δεν μπορούν να ξεπερνούν τι διαθέσιμες 63 ώρες. Έτσι έχουμε τον περιορισμό 3x 6x 63. Οι υπόλοιποι περιορισμοί σχετίζονται με τους ελάχιστους στόχους πωλήσεων της εταιρείας και τελικά έχουμε το παρακάτω σύνολο περιορισμών Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 6 από 46

27 3x 6x 63 Επιβάλλεται από τον μέγιστο διαθέσιμο χρόνο πώλησης x 5 Επιβάλλεται από τον ελάχιστο στόχο πωλήσεων για το προϊόν Π x 5 Επιβάλλεται από τον ελάχιστο στόχο πωλήσεων για το προϊόν Π x, x Περιορισμοί μη αρνητικότητας (φυσικοί περιορισμοί) Το μαθηματικό μοντέλο η λύση του οποίου θα δώσει την απάντηση στο πρόβλημα είναι Ερώτημα Α.Σ. Max z = 4 x +5 x 3x 6x 63 Περιορισμοί Επιβάλλεται από τις διαθέσιμες ώρες x 5 Επιβάλλεται από την πολιτική της εταιρείας x 5 Επιβάλλεται από την πολιτική της εταιρείας x, x Είναι οι φυσικοί περιορισμοί Ακολουθώντας τα γνωστά βήματα χαράσσουμε τις τρείς ευθείες των περιορισμών (βρίσκοντας δυο σημεία για κάθε μια. Προσοχή στις ευθείες x=5 και x=5, αυτές είναι παράλληλες προς τους άξονες Χ και Χ. Με τις κατευθύνσεις των κόκκινων βελών έχουν επισημανθεί τα ημιεπίπεδα στα οποία επαληθεύονται οι περιορισμοί. Η τομή αυτών δίδει τον χώρο S των εφικτών λύσεων που είναι το τρίγωνο ΑΒΓ. Χαράσσουμε την σταθμική 4x 5x z 4,, περνά από τα σημεία (,8), (), και εντοπίζουμε και επισημαίνουμε το θετικό (+) και αρνητικό (-) ημιεπίπεδο αυτής. Όλα αυτά δίδονται στο σχήμα Επειδή έχουμε πρόβλημα max η σταθμική θα μετακινηθεί προς το θετικό της ημιεπίπεδο και θα φθάσει στην κορυφή Γ η οποία δίδει την λύση του προβλήματος. Το Γ ορίζεται από την τομή των ευθειών και 3 Οι συντεταγμένες του Γ θα βρεθούν από την λύση του συστήματος 3x 6x 63. x 5 και είναι ( ( x, x (6,5) Απάντηση. Από τα προϊόντα Π,Π η εταιρεία θα πρέπει να πουλήσει 6 και 5 μονάδες αντίστοιχα. Το κάθε ένα από αυτά θα δώσει στην εταιρεία κέρδος 4x6=64 και 5x5=5, ενώ το συνολικό κέρδος θα είναι zmax Η ποσοστιαία συμμετοχή του κάθε προϊόντος στα κέρδη είναι ή 83.6 % 5.63ή 6.3 % αντίστοιχα. 765 Οι περιορισμοί και 3 είναι δεσμευτικού, ενώ ο δεν είναι. Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 7 από 46

28 5 x x 6x Β Δ Σταθμική στο zmax Α S (-) (+) Γ 3 x 5-5 ή 4x 5x 4 ε: Σταθμική στο z=4 ε: Χρόνος πώλησης ε:ελάχιστη ποσότητα Π ε3:ελαχιστη ποσότητα Π Σχήμα Ερώτημα 3. Ο νέος περιορισμός διατυπώνεται με την ανισότητα x x. Για να βρούμε με σιγουριά που αυτή επαληθεύεται δεν την αφήνουμε έτσι αλλά την γράφουμε στην ισοδύναμη μορφή x x ή στην x. Προσοχή σε αυτόν τον περιορισμό. Η ευθεία x x περνά από την αρχή των x αξόνων και για να την χαράξουμε πρέπει να βρούμε ένα κόμη σημείο της, π.χ. το (3,3). Για να βρούμε τα ημιεπίπεδα, θετικό-αρνητικό της x x, δοκιμάζουμε με το σημείο π.χ. (5,5) το οποίο μπορούμε πολύ εύκολα να δούμε που βρίσκεται σε σχέση με την ευθεία x x. Για αυτό έχουμε 5 5, Άρα αυτό βρίσκεται στο αρνητικό (-) ημιεπίπεδο της x x και σε αυτό επαληθεύεται η ανισότητα x x. Η ανισότητα x x επαληθεύεται στο άλλο ημιεπίπεδο, που είναι το (+). Το εντοπίζουμε και το επισημαίνουμε με(+) όπως φαίνεται στο σχήμα. Είναι η διχοτόμος της γωνίας του πρώτου τεταρτημορίου. Προσοχή στις ευθείες που περνούν από την αρχή. Το σημείο (,) δεν μας βοηθάει να βρούμε το θετικό και αρνητικό ημιεπίπεδο αυτών, και πρέπει να πάρουμε κάποιο άλλο σημείο. Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 8 από 46

29 Παίρνουμε την τομή του παλαιού χώρου S με το ημιεπίπεδο στο οποίο επαληθεύεται ο νέος περιορισμός και βρίσκουμε τον νέο χώρο Sπου είναι το τρίγωνο. ΑΔΒ. Η σταθμική είναι ίδια και αν την μετακινήσουμε προς το θετικό της (+) ημιεπίπεδο θα μας δώσει την λύση στην κορυφή Δ. Το Δ προσδιορίζεται από την τομή των ευθειών, 4 και οι συντεταγμένες του θα βρεθούν από την επίλυση του συστήματος x 6x 63 και x x. Η λύση είναι ( x, x (7,7) και η τιμή της Α.Σ. είναι zmax x 5 3x 6x 63 x x (+) (-) 4 x x Β Α S Δ S (-) (+) Σταθμική στο zmax Γ 3 x 5-5 ή 4x 5x 4 ε: Σταθμική στο z=4 ε: Χρόνος πώλησης ε:ελάχιστη ποσότητα Π ε3:ελαχιστη ποσότητα Π ε4: Π >Π Σχήμα Σημαντικές Υποδείξεις. Για να αποκτήσετε μεγάλη ευχέρεια κάντε οπωσδήποτε τα παρακάτω Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 9 από 46

30 Στο χώρο S λύστε κάθε ένα από τα προβλήματα. max( x x και min( x x καθώς και τα max( x x και min( x x. Υπόδειξη Ακόμη προσπαθήστε να διατυπώσετε με ανισότητες κάθε ένα από τους παρακάτω περιοσρισμούς.. Η συνολική ποσότητα που θα πωληθεί να ξεπερνά (να είναι τουλάχιστον) τις 5 μονάδες. Οι μονάδες του προϊόντος Π που θα πωληθούν θα πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσιες από αυτές του προϊόντος Π. 3. Οι μονάδες του προϊόντος Π που θα πωληθούν θα πρέπει να είναι το πολύ ίσες με το 75% εκείνων του Π. 4. Οι μονάδες του προϊόντος Π που θα πωληθούν θα πρέπει να ξεπερνούν κατά 5 τις μονάδες του προϊόντος Π (εναλλακτική διατύπωση. Οι μονάδες του προϊόντος Π που θα πωληθούν θα πρέπει να είναι τουλάχιστον κατά 5 περισσότερες από αυτές του Π) 5. Οι μονάδες του προϊόντος Π που θα πωληθούν δεν θα πρέπει να ξεπερνούν τα ογδόντα εκατοστά του συνόλου των μονάδων που θα πωληθούν από τα δυο προϊόντα. Τους παραπάνω περιορισμούς να φέρετε στην μορφή x x ή στην x x Παρατηρήσεις. Στο ερώτημα, αν κάποιος θελήσει να βρει τις κορυφές του χώρου, και να υπολογίσει την τιμή της Α.Σ. σε αυτές και στην συνέχεια να συγκρίνει τις τιμές αυτές για τον προσδιορισμό της λύσης (μέθοδος του βιβλίου Αγγελή) τότε εκτός των παραπάνω που έτσι και αλλιώς θα τα κάνει (εκτός από την σταθμική) θα έχει να λύσει τρία συστήματα εξισώσεων. Σύστημα Κορυφή Τιμή της Α.Σ. x 5, x 5 Α(5,5) 5 x 5 και 3x 6x 63 Β(5, 9.5) 565 x 5 και 3x 6x 63 Γ(6, 5) 765 Αυτό απαιτεί κόπο και εγκυμονεί κινδύνους για λάθη κατά τους υπολογισμούς.. Με αυτή την μέθοδο, για να απαντήσει κάποιος στο ερώτημα 3 θα έπρεπε να βρει τις συντεταγμένες της κορυφής Δ και να κάνει νέες συγκρίσεις. 3. Η τεχνική της σταθμικής αποφεύγει την δουλειά της εύρεσης όλων των κορυφών και βέβαια εξαφανίζει και τον κίνδυνο λάθους, ιδιαίτερα στην περίπτωση που ο χώρος των εφικτών λύσεων δεν είναι φραγμένος. Πρόβλημα. Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει τις πωλήσεις λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνσή του αποφάσισε να διαθέσει τα βιβλία αυτά σε πολύ χαμηλές τιμές. Συγκεκριμένα εξετάζει μια ενέργεια προώθησης των πωλήσεων όπου οι τιμές των βιβλίων είναι τόσο χαμηλές ώστε, το βιβλιοπωλείο για κάθε λογοτεχνικό που θα πωληθεί στην προώθηση αυτή χάνει 3 ευρώ και αντίστοιχα ευρώ για κάθε βιβλίο τέχνης. Σε αυτή την διαφημιστική προώθηση, ο διευθυντής του βιβλιοπωλείου έχει αποφασίσει να διαθέσει προς πώληση τουλάχιστον τίτλους βιβλίων συνολικά. Κάθε βιβλίο που θα διατεθεί προς πώληση πρέπει να εκτεθεί στον διαθέσιμο εκθεσιακό χώρο του βιβλιοπωλείου με ένα αντίτυπο. Γ.Π Γραφική επίλυση-μοντελοποίηση προβλημάτων Γ.Π. Σελ. 3 από 46