I.2. Problema celor două corpuri. Legile lui Kepler

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "I.2. Problema celor două corpuri. Legile lui Kepler"

Καπανεύς Ἄδραστος Φραγκούδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 I.. Poblma clo ouă coui. gil lui Kl Fi ouă coui mas m și m ; să s stuiz mișcaa acstoa în iotza că intacționază cioc. Amitm că nu xistă foț xtioa, în afaa clo cioc; notat că în mcanica clasică nu s iscută natua foțlo ci s amit oa at și s iau ca ata, astfl încât intacțiuna satisfac lga acțiunii și acțiunii. Consiăm cl ouă coui aflat în unctl P ( m, ) și P ( m, ), cum ilustat în Figua I... S obsvă că cl ouă coui ot fi caactizat chivalnt in oi vctoi oziți față oigina sistmului catzian sau in ci oi vctoi, unul al cntului masă față oigina sistmului catzian și al vctoului oziții cioc a clo ouă coui. Ultima znta aa mai acvată stuiul intacții int cl ouă coui oac imlică vctoul oziți cioc: st ca și cum coul P s-a mișca în juul coului P un și așa numita mișcăii coului în câmul cntal al imului. Figua I... Vctoii oziți imotanți în oblma clo ouă coui, înt-un sistm catzian și față cntul masă (CM). Vom caactiza oblma clo ouă coui in aganganul asociat în zntaa cntului masă /4

2 D. Mihai V. Putz, FIZICA MEDIUUI- cția : gil lui Kl T, ( v ) V( ) cu ngia cintică scisă (confom tomi lui König) CM T ( ) m + m CM + m ' + m ' fata sistmul FIX fata sistmul CM aganganul cunt s oat aanja acă s consiă cuația cntului masă culată cu lgătua int vctoii oziți față cntul masă un zultă soluțiil și noul agangan m ' + m ' ' ' m m ', ' m + m m + m în funcți masa usă a sistmului ( m + m ) + m V( ) CM v m mm m + m D obsvat că la alicaa cuațiilo lui lagang cooonat t x i x i, x x x 3 x y z Tmnul lgat CM în aganganul total nu a nici o contibuți, fiin o constantă; ca ata aganganul fctiv al oblmi clo ouă coui va fi /4

3 D. Mihai V. Putz, FIZICA MEDIUUI- cția : gil lui Kl m V v ( ) Ca c iljuișt și fomulaa oblmi: să s stuiz mișcaa uni co (unct matial) masă gală cu m c s mișcă înt-un câm simti sfică (sub acțiuna uni foț cntal). Figua I... Echivalnța înt umla sațiului în sistmul D catzian și cl ola. Fiin imlicat oa ouă coui mișcaa oat fi consiată lană, astfl încât aganganul mai sus oat fi mai at consiat in vaianta D catziană în ca olaă ( x, y ) m( x + y ) V( x y ) + (, ) m( + ) V( ) baza tansfomăilo cooonat, vzi Figua I.., ntu vitza aială și vitza tangnțială sctiv 3/4

4 D. Mihai V. Putz, FIZICA MEDIUUI- cția : gil lui Kl v v a acst unct s imun câtva obsvații. În ăimul ân in foma aganganului ola s obsvă că acsta nu in cooonata unghiulaă, s sun că st cooonată ciclică și ntu o astfl cooonată, imulsul conjugat st o constantă (intgală imă) a mișcăii. În cazul față avm: m mv mω ct., ca c iljuișt fomulaa așa numiti gi a II a a lui Kl în mișcaa în câm cntal: vctoul oziți al unctului matial c s mișcă în câm cntal sci aii gal în timi gali; în tmni mcanică analitică însamnă că momntul cintic obital (sau momntul ai) s consvă în mișcaa ti cntal. Mai mult, aganganul ola mai a o cooonată ciclică: timul! În acst caz s un oblma: c intgală imă (lg consva) cosun innnți aganjanului tim? Răsunsul îl aflăm combinân vitza unghiulaă in momntul cintic obital mai sus cu cuația agang aială m t m m ca c gnază în imă instanță o lați osbit utilă în cl cumază și ca o utm numi in uma cuația agang-bint + V 4/4

5 D. Mihai V. Putz, FIZICA MEDIUUI- cția : gil lui Kl m m 3 + V Pin multilicaa ultimi lații cu foma / t, acasta s oat aanja sub t m + + V ( ) m ca c nu zintă alcva cât consvaa ngii total a mișcăii în câm cntal E m m ngi cintica ngi cintica obitala V { ( ) ct. ngi otntiala Acasta obsvați mai iljuișt și vificaa lgătuii înt cl ouă fom ngi funcțională al unui sistm: aganganul și Hamiltonianul H q cu q cooonata gnalizată și imulsul conjugat. S vifică imiat H ( ) +, ( + ) V( ) m + m m + ( + ) V( ) m + intică cu ca mai sus in înlocuia vitzi aial ca funcți momntul cintic obital. Cl ouă cuații/lgi consva, a momntului cintic obital și al ngii toal tbui să fi suficint ntu tminaa cuații în oblma clo ouă coui. Pntu acasta l vom mișca ( ) 5/4

6 D. Mihai V. Putz, FIZICA MEDIUUI- cția : gil lui Kl 6/4 combina în mo otivit ntu a xima convnint (și cu intta fizică) zultatul. Astfl, s consiă cuația agang aială sub foma ) ( F m m un am cunoscut gaintul ngativ al otnțialului ca fiin foța in sistm V F ) ( Ia bază st să facm o substituți (tansfoma) în acastă cuați astfl încât să să nu mai am ivat la tim ci vitza unghiulaă a căi xsi o știu mai sus in lga consvăii momntului cintic obital, și o ot îlocui imiat oi cât oi aa. Astfl ot consia tansfomăil m m t t, m m m t t cu ajutoul căoa cuația aială (cu foța) mai sus vin ) ( 3 F m m c s oat simlifica sub foma cuații lui Bint ) ( m F + În continua n ounm să zolvăm acastă cuați ntu o fomă scifică a otnțialului și imlicit a foți; vom luca cu un otnțial gnalizat atacți foma V ) ( ) ( F

7 D. Mihai V. Putz, FIZICA MEDIUUI- cția : gil lui Kl astfl încât in tataa acsti oblm s caactizază simultan atât mișcaa lctonică în atomul sfic hiognoi (la nivlul micocosmosului!) Z, 4πε cu sacina lctică lmntaă, Z număul atomic, cât și ca a mișcăii gnat atacția gavitațională înt ouă coui (la nivlul macocosmosului!) GmM cu G constanta gavitațională univsală. Figua I..3. Paamtii cintici inițiali ai miscăii în câm cntal. Cu acsta cuația zolvat aată + m ca st o cuați ifnțială oinul II nomognăș zolvaa st stana și soluția st comusă in tmnii cuații omogn la ca s aaugă tmnul nomogn, aică 7/4

8 D. Mihai V. Putz, FIZICA MEDIUUI- cția : gil lui Kl C cos( ) soluti a cuatii omogn m { soluti aticulaa cu constantl intga ( C ) și a căi coniții inițial ( ),, s ot cola cu vitzl aială și tangnțială inițial cum și cu unghiul stat (vzi Figua I..3) v cosα v sinα Soluția mișcăii cntal oat fi convnabil scisă in notațiil C, m astfl încât s cunoașt cuația gnală a mișcăii o conică în cooonat ola cu - xcnticitata conici, + cos ( ) > hibola aabola (,) lisa cc Acst zultat st foat lvant și iljuișt fomulaa gii I a lui Kl: mișcaa în câm cntal s fac în aco cu cuația coniclo în cooonat ola, oigina aflânu-s înt-unul in foca. Pntu o iscuți xcnticitata conici- ngia totală a sistmului, vom folosi cuația gnală a conici ntu o aticulaiza la momntul inițial în mo ict cât și ntu ima sa ivată cos( ) 8/4

9 D. Mihai V. Putz, FIZICA MEDIUUI- cția : gil lui Kl t cos [ + cos( )] [ ( )] t sin ( ) sin ( ) ( ) sin cosα sinα Pin iicaa la ătat și aunaa clo ouă xssi s obțin xsia ntu ătatul xcnticității + sin α Ramintinu-n xsia vitzi inițial mai sus, alătui notația lui în lați cu momntul cintic obital (constantă a mișcăii), cum și xsia momntului cintic obital (gal cu cl la momntul inițial) ultima xsi s sci succsiv 4 m v + m m mv + m E + m un, ntu ultima fomă s-a folosit consvaa ngii total E, mai sus justificată, gală cu ca la momntul inițial 9/4

10 D. Mihai V. Putz, FIZICA MEDIUUI- cția : gil lui Kl E mv Acum utm juca stabilitata uni mișcăi în câm cntal în funcți valoil ngii total, ca in omniul să xistnță, va fixa flul conici (hibolă și aabolă sistm instabil, lisă și cc sistm stabil/lgat/închis). Astfl avm cazuuil in Tablul I... Tablul I... Analiza tiului conică în mișcaa în câm cntal în funcți valoil ngii total. Excnticitata/flul Engia totală conici > /hibolă E > /aabolă E < < /lisă /cc m < E< m E Coniția obitală v > m v m v < < m m v m S cunoașt că ultima lini cosun ngii în staa funamntală a atomilo hiognoizi, sctiv coniția cuantifica Bogli-Boh, ntu mișcaa ciculaă. În schim, nultima lini cosun mișcăii litic, ca atoită intvalului ngtic mis, mit xistnța nivllo ngtic gnat, cum în molul Sommfl al atomului hiogn. În oic caz, vnin la mișcaa lantaă în sistm stabil (închis) tiul lisi (cazul gnal), ultima i s fă la cuantificaa smi-axlo, vzi Figua I..4. Astfl, s folossc lațiil gnal ntu conic + b a( ) ±, cu a lisa hibola c a cum și cuația gnală a coniclo avm /4

11 D. Mihai V. Putz, FIZICA MEDIUUI- cția : gil lui Kl /4 + min max π Figua I..4. Paamtii mișcăii o lisă; xcnticitata lisi s calculază cu lația c/a. Cu acsta s oat sci ntu smiax ( ) + max min a b a ia in scificaa xssilo și a lui cu fomull mai sus, și consiân ntu fomaliza E E,obținm imiat m E b E a Inttaa acsto zultat st ofună și în luma mico-cosmosului (luma atomică) xlică în fat gnaa nivllo ngtic în funcți

12 D. Mihai V. Putz, FIZICA MEDIUUI- cția : gil lui Kl momntul cintic obital: în tim c smiaxa ma a nu in cât ngi, ntu o ngi ată (nivl lctonic în atom) smiaxa mică b in valoaa momntului cintic obital. Figua I..5. gil lui Kl molază mișcaa lantlo în sistmul Sola: ga I statutază mișcaa obit litic a lantlo in sistm; lga a II a clama aii gal acus în timi gali fica obită a ficăi lant; ga a III a st int-lantaă și fixază ca invaiant al sistmului Sola aotul int ătatul timului voluți o obită și cubul smiaxi sal mai gal ntu toat lantll sistmului. a nivl macoscoic (al miscăii lantlo) acst zultat au asmna conscint intsant. Astfl, acă s notază cu t timul voluți lisă, și aia lisi st π ab, atunci vitza acug a aii (ca am /4

un, înlocuin aloaa lui cu scializaa gavitațională zultă că m t 4π 3 a GM icolaus Conicus 6 Fbuai 473 Thon Pusia Rgală, Rgatul Polonii - 4 Mai 543 (la 7 ani) Faunbug, Pinc-Bishoic Wamia, Rgatul

13 D. Mihai V. Putz, FIZICA MEDIUUI- cția : gil lui Kl vazut chia la incutul lcții că st o contantă a mișcăii) s oat sci în ouă flui și anum πab t Ω m Pin înlocuia zultatlo mai sus, s ajung ict la cuația t a 3 4π un, înlocuin aloaa lui cu scializaa gavitațională zultă că m t 4π 3 a GM icolaus Conicus 6 Fbuai 473 Thon Pusia Rgală, Rgatul Polonii - 4 Mai 543 (la 7 ani) Faunbug, Pinc-Bishoic Wamia, Rgatul Polonii; a avut contibuții în matmatică, astonomi, lga canonică catolică, micină, conomi; a fost asociat la Univsitata in Kacovia, Univsitata in Bolonia, Univsitata in Paova, Univsitata in Faa; st faimos ntu iotza hliocntismului. Johanns Kl (7 Dcmbi 57 Wil Stat, lângă Stuttgat - 5 oimbi 63 (la 58 ani) Rgnsbug Bavaia, Gmania; a avut contibuții în astonomi, astologi, matmatică și filosofii natuală; a fost asociat la Univsitata in inz; cu Alma Mat la Univsitata in Tübingn; st faimos ntu lgil Kl al mițcăilo lantlo și conjctua Kl a îmachtăii otim a couilo intic sfic. 3/4

14 D. Mihai V. Putz, FIZICA MEDIUUI- cția : gil lui Kl Conscința st funamntală: amițân că masa m st a couilo ca s mișcă în juul Soalui, s obsvă că lația ultimă nu in masa lanti c s mișcă în câmul gavitațional al Soalui ci oa Masa Soalui (și constanta gavitațională ca univsală); așaa, aotul int ătatul timului voluți și cubul axi mai ntu mișcaa oicăi lant in sistmul sola st o contantă (la fl ntu toat lanl unui sistm sola) ca c zintă ga a III a a lui Kl. O mică iscuți aa ntu lantl ca au masa comaabilă cu ca a Soalui, cum cazul lanti Juit; în acst caz, în loc m s va lua / µ / m + / M, s zvoltă în si și s țin imii oi tmni in si, cu ca s găsșt valoaa astonomică obsvată. gil lui Kl sunt sinttizat gafic în Figua I..5, claifică stabilitata sistmului sola, și confimă viziuna hliocntică a lui Conic baz matmatic și fizic iguoas, lgant zntat în caul fomalismului agangan combint cu lga atacți univsal a lui Nwton. În final, valiitata lgilo lui Kl confimă valiitata lgii atacții univsal ( ca s bazază); cioca st asmni avăată. 4/4

Σχετικά έγγραφα

Teorema Rezidurilor şi Bucuria Integralelor Reale

Teorema Rezidurilor şi Bucuria Integralelor Reale Torma Ridurilor şi Bucuria Intgrallor Ral Prntar d Alandru Ngrscu Intgral cu funcţii raţional c dpind d sin t şi cos t u notaţia it, avm: cos t ( + sin t ( i dt d i, iar intgrara s va fac d-a lungul crcului