Marin Chirciu INEGALITĂŢI TRIGONOMETRICE DE LA INIŢIERE LA PERFORMANŢĂ EDITURA PARALELA 45

Transcript

1 Main Chiiu INEGLITĂŢI TIGONOMETICE DE L INIŢIEE L PEFOMNŢĂ

2 Cuins Consideații eliminae... 7 Soluţii Caitolul Inegalități u unghiui. Inegalitatea lui Jensen Caitolul Funții tigonometie ale jumătății de unghi Caitolul Teoema osinusului. Teoema sinusuilo Caitolul 4 Inegalitatea lui Geetsen. Inegalitatea lui Mitinovič. Inegalitatea lui Eule Caitolul 5 Inegalitatea lui Begstöm Caitolul 6 Inegalități tigonometie obținute din inegalități algebie Bibliogafie

3 . Notații Consideații eliminae, B, C măsuile unghiuilo unui tiunghi. a, b, lungimile latuilo BC, C, B. ha, hb, h lungimile înălțimilo. ma, mb, m lungimile medianelo. la, lb, l lungimile bisetoaelo inteioae. a, b, azele euilo exînsise. O entul eului iumsis. I entul eului însis. H otoentul. G entul de geutate. aza eului însis. aza eului iumsis. S aia tiunghiului. semieimetul.. Egalități (identități) emaabile în tiunghi Un om de sues este aela ae oate onstui o fundaţie solidă u ăămizile e ae alţii le aună în el. David Chales Bink (n. 99) ( 5 6 ) 4 4 IG = + IH = + + IO = 9 OH = OG = ( a + b + ) 9 b = a = 4 a = 6 ( ) ( ) 4 4 a = (4 + ) + (4 + ) ( b + ) = ( + + ) 4 ( ) b = (4 ) + (4 + a ) = ( b + ) = b a ( ) = 6 a b = a a 4 ( ) = 4 a + (4 + ) = ( b)( ) (4 ) a( a) 4 = + b + (4 + ) = 4 a b + 8 a + 8 = a 4 = ( b)( )

4 CONSIDEŢII PELIMINE os = 4 sin + = a sin os ab ab I = ai = os I BI = sin. Inegalități uzuale sin II b 4os =. tg (în tiunghiul asuțitunghi) tg 9 (în tiunghiul asuțitunghi) tg (în tiunghiul asuțitunghi) B tg tg ( + ) tg S tg tg n, n tg (în tiunghiul asuțitunghi) 9 ( ) ( ) sin S S sin B sin sin 4 6 sin os B 9 os os 4 se 6 (în tiunghiul asuțitunghi) se se B (în tiunghiul asuțitunghi) se 4 n B sin sin os 6 (în tiunghiul asuțitunghi) se (în tiunghiul asuțitunghi) ose ose 4 ose 6 B ose ose ose (Petovič). a

5 Inegalități u unghiui. Inegalitatea lui Jensen,,i mii de motive să eșuezi în viață, da nii măa o suză. udyad Kiling (865 96) Să se aate ă în oie tiunghi au lo inegalitățile:.. a) 0 < sin + sin B+ sinc, în oie tiunghi. Peiod. Math. 95,. Padoa b) < sin + sin B+ sinc, în tiunghi asuțitunghi. ) 0 < sin + sin B+ sinc < +, în tiunghi obtuzunghi. O. Bottema, Eulid 954/55.. a) 0 < sin + sin B+ sin C, în oie tiunghi. 4 9 b) < sin + sin B+ sin C, în tiunghi asuțitunghi. 4 ) 0 < sin + sin B+ sin C <, în tiunghi obtuzunghi.. Kooista, Nieuw Tijdsh. Wisk. 45, 957/58.. a) sin + sin B+ sinc sin + sin B+ sin C. O. Bottema, d b) ătați ă sin + sin B+ sin C = sin + sin B+ sin C daă și numai daă BC este ehilateal. GM /007, Vasile Beghea, vig, Sibiu ) sin + sin B+ sin C =. d) sin + sin B+ sin C. GM /004, *** e) sin sin Bsin C. 4 GM 4/05, Floin otau, Foșani.4. a) sin + sin B + sinc 4. 4 GMB 96, Toma lbu, Buuești 9

6 itolul Inegalități u unghiui. Inegalitatea lui Jensen Nu ontează ât de înet megi, atâta veme ât nu te oești. Confuius ( î.h.) () a+ b+.. a) sin = =, unde () ( a+ b+ ) ( a + b + ) Leibniz 9. () a ( 4 ) 9.. a) sin = =, unde () , adevăată din inegalitatea lui Geetsen Înt-adevă () ( ) , unde () 4, evident din inegalitatea lui Eule. a S S.. a) sin = = sin = sin os = aos = Inegalitatea, evident, inegalitatea lui Eule. b) Egalitatea în a) ae lo daă şi S S ab 4 numai daă = tiunghiul este ehilateal. ) sin = 4 sin = 4 8 = = =. d) Confom a) inegalitatea se sie, adevăată din inegalita- 4 tea lui Mitinovič: şi inegalitatea lui Eule:. e) sin = sin os = ( + ) = 8 sin os = 8 4 ( ( + ) ) 4 4 din inegalitatea lui Geetsen: ămâne de demonstat ă:, adevăată ( ) , inegalitatea lui Eule. Egalitatea ae lo daă şi numai daă tiunghiul este ehilateal. ( x+ y+ z) x + y + z, x = sin, y = sin B, z = sin C. M = sin.4. a) Folosim ( ) sin = = 4 M d α. b) În ) luăm α =. ) f( x) = sin x este onavă e n s