CAPITOLUL I ECUAŢII DIFERENŢIALE. α, astfel că tgα=f(x,y).

Transcript

1 APITOLUL I EUAŢII DIFERENŢIALE Ecuaţii difţial Soluţia gală Soluţii aticula Ittaa gotică El Pobla auch Dfiiţi Fi F o fucţi ală dfiită [ab] YY R avâd agut vaiabila ală [ a b ] şi fucţia ală îuă cu divatl i Rlaţia: F s uşt cuaţi difţială d odiul dacă s c să s dti fucţiil f dfiit itvalul [ab] avâd divat âă la odiul iclusiv î oic uct al itvalului [ab] astfl îcât să av: Fff f tu oic [ a b] Fucţiil al f ca îdlisc codiţiil d ai sus s usc soluţii al cuaţii difţial Dacă oat fi scisă: f - atuci s uşt foa oală a cuaţii Dacă di av F ca st o cuaţi difţială d odiul îtâi sau f foa licită Soluţiil cuaţii F s ot u sub foa φ costată şi s usc soluţii gal Dacă dă lui o valoa aticulaă obţi o soluţi aticulaă Ecuaţia a soluţia gală şi 4 uită soluţi sigulaă Di uct d vd gotic cuaţia d f D ită u câ d dicţii gaficul ui soluţii d φ st o cubă situată î D cu oitata că î fica uct al său tagta la cubă tată it-u vcto fac cu aa O u ughi astfl că tgf 8

2 Ecuaţii difţial d odiul îtâi olvat î aot cu itgabil i tod lta Ecuaţii cu vaiabil saat Ecuaţia difţială PdQd s uşt cuaţi cu vaiabil saat Soluţia gală s obţi astfl: P d Q d Ecuaţii oog Ecuaţiil difţial oog sut d foa: d f d Dacă s fac schibaa d fucţi: t cuaţia s tasfoă ît-o cuaţi cu vaiabil saat Ît-advă av: d dt t d d dt dt d şi cuaţia dvi: t f t sau d f t t ca st o cuaţi cu vaiabil saat Elu Să s olv cuaţia: d d Efctuâd substituţia t d t cuaţia dvi: dt d ud itgâd şi vid la t t obţi itgala gală: l actg Ecuaţii ductibil la cuaţii oog Ecuaţia d foa: 9

3 a b c f a b c d ud a b c R st ductibilă la o cuaţi oogă d Dacă c c cuaţia st oogă d tiul atio Dacă c c şi ab ab dtl a b c şi a b c u sut aall şi s itsctaă î uctul Î acst ca fac substituţia: u v dv au bv şi cuaţia dvi: f u ajutoul substituţii vu t s du au bv obţi o cuaţi cu vaiabil saat a a Dacă c c ab ab dtl sut aall doac b Î acst ca cuaţia s oat sci sub foa: b a b c f şi dacă fac substituţia a b a b c cuaţia dvi: d c a f ca s oat tasfoa ît-o cuaţi cu vaiabil b d c saat Elu Să s itg cuaţia : Dtl - s itsctaă î uctul ; cu ajutoul schibăii u v obţi cuaţia: dv du u v u v oogă Efctuâd substituţia vtu obţi o cuaţi cu vaiabil saat: t du dt ca duă itga dă soluţia: actgt l t lu sau t u cu ajutoul vaiabillo şi găsi: actg l

4 4 Ecuaţii difţial liia d odiul îtâi O cuaţi d foa: 4 PQ ud P şi Q sut fucţii cotiu [ab] s uşt cuaţi difţială liiaă d odiul îtâi Ptu olvaa cuaţii 4 vo olva ai îtâi cuaţia P uită cuaţia liiaă oogă d Acasta st cu vaiabil saat: P d cu soluţia gală P d ăută tu cuaţia oogă 4 o soluţi d foa: P d Îlocuid acastă soluţi î 4 ultă: P d P d P P sau P d Q Itgâd obţi fucţia : 5 Q P d d costată P d Q Rultă soluţia gală a cuaţii 4 sub foa: 6 P d P d Q d Mtoda folosită tu dtiaa soluţii gal 6 s uşt toda vaiaţii costati 5 Ecuaţia lui Boulli Ecuaţia lui Boulli st d foa: 7 P Q ud P Q sut cotiu [ab] st o costată şi altfl av o cuaţi liiaă Dacă s fctuaă schibaa d vaiabilă - cuaţia 7 a lui Boulli s duc la o cuaţi liiaă Ît-advă dacă s îat cu î 7 obţi

5 8 Q P Obsvă că d ud şi cuaţia 8 dvi: 9 Q P ca st o cuaţi difţială liiaă d odiul I î Aoi s obţi di laţia - 6 Ecuaţia Riccati O cuaţi difţială d foa R Q P cu P Q R fucţii cotiu u itval [ab] s uşt cuaţia Riccati Dacă s cuoaşt o soluţi aticulaă a cuaţii i schibaa d vaiabilă cuaţia s tasfoă ît-o cuaţi liiaă Av: şi cuaţia dvi: R Q P sau [ ] P Q P R Q P şi tu că st soluţi a cuaţii obţi cuaţia: - PQ-P ca st o cuaţi liiaă î 7 Ecuaţia lui Lagag şi laiaut Ecuaţia lui Lagag st d foa: ψ ϕ Itgaa cuaţii lui Lagag s duc la itgaa ui cuaţii liia î odul uăto Î îlocui şi obţi: ψ ϕ Divă î aot cu şi obţi: ψ ϕ ϕ

6 sau: ϕ ψ ϕ d Dacă ϕ obţi cuaţia liiaă: d d ϕ ψ d ϕ ϕ Rolvâd cuaţia liiaă obţi soluţia cuaţii sub foă aatică: f ϕ f ψ aatul fiid ia o costată abitaă Dacă î cosidă ϕ obţi cuaţia 4 ψ uită cuaţia lui laiaut Notă cu şi av ψ Divă î aot cu şi obţi: ψ sau ψ Sut două osibilităţi: dci şi îlocuid î 4 obţi: 5 ψ ca st o faili d dt şi st soluţi gală a cuaţii laiaut ψ ca dacă o îlocui î 4 obţi soluţia: ψ 6 [ ab] ψ ψ uită itgala sigulaă Obsvaţi S oat aăta că itgala sigulaă st îfăşuătoaa failii d cub ca o ită soluţia gală Ecuaţii difţial d odi suio O cuaţi difţială d foa: F st d odi suio daca N Fucţia ϕ st soluţi gală a cuaţii Pobla auch st obla dtiăii soluţii ϕ [ a b] ca îdlişt codiţiil iiţial

7 valoil fiid dat Ecuaţii difţial itgabil i cuadatui Ecuaţia a ca soluţi gală u olio abita d gadul - Ecuaţia F s tasfoă i substituţia u ît-o cuaţi difţială d odiul : F u u u u Ecuaţia F oogă î i s duc odiul cu o uitat i schibaa d fucţi u Ît-advă u u u u u tc Elu Să s itg cuaţia difţială u şi calculaţi ai sus cuaţia dvi: u u u 4 4 sau u u ca st o cuaţi liiaă î u u cu soluţia: 4 4 u Îlocuid u ultă cuaţia: ca st o cuaţi cu vaiabil saat şi ca a soluţia gală: 5 4 Ecuaţii difţial d odiul liia Ddţa liiaă Wosia Soluţia gală a ui cuaţii difţial liia O cuaţi difţială d foa: a a a a f s uşt cuaţi difţială d odiul liiaă şi oogă; o cuaţi difţială d foa: 4

8 a a a a s uşt cuaţi difţială d odiul liiaă şi oogă Dacă sut soluţii al cuaţii atuci şi ud sut costat abita st d asa soluţi a cuaţii Dfiiţi Fi fucţii u itval [ab] S su că acst fucţii sut liia iddt [ab] dacă u istă u λ λ λ u toat ul astfl îcât să av λ λ tu oic [ a b] λ Elu Fucţiil sut liia iddt R doac codiţia λ λ λ tu oic R ilică λ λ λ Fi fucţii divabil cotiu âă la odiul - iclusiv itvalul [ab]; dtiatul uăto 4 W s uşt wosiaul fucţiilo Dacă fucţiil divabil cotiu âă la odiul - iclusiv [ab] sut liia ddt [ab] atuci wosiaul lo st ul î oic uct di [ab] A loc: Toa Dacă sut liia iddt [ab] şi dacă wosiaul: W tu oic [ a b] atuci st o cobiaţi liiaă d fucţiil adică: 5 ud sut costat Să cosidă cuaţia difţială d odiul oogă 6 a a cu a a a fucţii cotiu [ab] 5

9 Fi soluţii al cuaţii dat dfiit [ab] atuci oic soluţi a cuaţii 6 [ab] st d foa 7 [ a b] ud sut costat Fucţia di 7 s uşt soluţi gală a cuaţii 6 [ab] U sist d soluţii al cuaţii 6 dfiit [ab] cu W [ab] s uşt sist fudatal d soluţii al cuaţii 6 Astfl dacă foaă u sist fudatal d soluţii [ab] atuci [ a b] s uşt soluţi gală a cuaţii 6 [ab] Dacă foaă u sist fudatal [ab] atuci l sut liia iddt [ab] şi cioc Fi cuaţia difţială liiaă d odiul oogă: 8 a a a a Dacă cuoaşt o soluţi aticulaă a cuaţii dat i schibaa d vaiabilă îi ut icşoa odiul cu o uitat Obţi succsiv: Îlocuid î 8 av: [ a a a ] [ a a ] a oficitul lui st ul tu că st soluţi a cuaţii dat u o ouă schiba d vaiabilă u obţi o cuaţi difţială liiaă şi oogă d odiul -: A u A u A u 5 Ecuaţii difţial d odiul liia şi oog Soluţia gală Mtoda vaiaţii costatlo tu dtiaa ui soluţii aticula a cuaţii oog Elu Fi cuaţia difţială d odiul liiaă şi oogă: 6

10 7 f a a a a L cu coficiţii şi f a cotiui ia a [ab] Soluţia gală a cuaţii s obţi adăugâd la soluţia gală a cuaţii oog: a a a a L o soluţi aticulaă oaca a cuaţii oog Ît-advă fi o soluţi aticulaă a cuaţii oog [ab] Fac schibaa Av L st liia ; f L L L cu f L ultă L ; i ua dacă st u sist fudatal d soluţii al cuaţii oog [ab] ultă că soluţia gală a cuaţii oog st: ] [ b a A loc uătoaa toă: Toă Fi cuaţia şi u sist fudatal d soluţii [ab] al cuaţii O soluţi aticulaă a cuaţii oog [ab] st dată d: 4 d d d ud st soluţia sistului : 5 a f Dacă fctuă cuadatuil : { } A d ϕ şi l îlocui î 4 obţi soluţia gală a cuaţii oog: 6 A A A ϕ ϕ ϕ

11 Dostaţi Fi u sist fudatal d soluţii al cuaţii oog Soluţia gală a cuaţii oog va fi aşada: 7 H ud sut costat abita Dacă uşi să aătă că fucţia ϕ ϕ ϕ cu ϕ ϕ ϕ dtiat [ab] duă cu st ciat î uţul toi st o soluţi aticulaă a cuaţii oog atuci cofo clo sus la aliatul cdt fucţia: 8 H st soluţia gală a cuaţii oog [ab] N ăâ aşada să vifică că st o soluţi a cuaţii oog Î acst sco să cosidă fucţia: 9 [ a b] ca s obţi di soluţia gală a cuaţii oog îlocuid costatl cu fucţiil cuoscut şi să aătă că fucţia dată d 9 cu vificâd sistul 5 Dacă divă di 9 obţi: îsă cofo ii cuaţii di 5 au ai ăâ Î cotiua dacă divă obţi: îsă cofo cuaţii a doua di 5 au ai ăâ: Î od asăăto obţi: Î ca c ivşt divata d odiul obţiută i diva di ultia laţi av: sau ţiâd saa d ultia laţi di 5: f a 8

12 9 Dacă îulţi acu dat d 9 cu a dat d cu a - şad dat d cu a obţi i îsua: ; ] [ ] [ ] [ ] [ f L L L L îsă L [ ] astfl îcât ai ăâ L []f; i ua dat d 9 cu vificâd sistul 5 st soluţi a cuaţii Să obsvă că dtiatul sistului 5 st W [ab] Fi soluţia sistului 5 cu a f W Pi cuadatui obţi: } { A d ϕ ud A A A sut costat abita Îlocuid î 9 obţi: A A A ϕ ϕ ϕ ca st soluţia gală a cuaţii oog Fucţia ϕ ϕ ϕ st o soluţi a cuaţii liia oog şi st i ua soluţia aticulaă căutată Toa st dostată Mtoda folosită tu a dtia o soluţi aticulaă a cuaţii oog s uşt toda vaiaţii costatlo şi s datoaă lui Lagag Elu Să s găsască soluţia gală a cuaţii: 8 5 Două soluţii al cuaţii oog sut 4 cu W 5 R\{}; soluţia gală a cuaţii st 4 Dtiă o soluţi aticulaă a cuaţii oog i toda vaiaţii costatlo Av: 4 4 cu soluţiil: 4 şi aoi 6 Soluţia gală a cuaţii st aşada:

13 4 R\{} a otat 6 Ecuaţii difţial d odiul liia cu coficiţi costaţi O cuaţi difţială liiaă a a a a a ud a R { } st o cuaţi d odiul cu coficiţi costaţi oogă Ptu acastă clasă ut dtia totdaua u sist fudatal d soluţii V dacă i j i j îtucât st dtiatul lui Vadod Soluţia gală a cuaţii st: R Elu Să s găsască soluţia cuaţii: -- Ecuaţia caactistică -- a ădăciil - - dci soluţia gală st: - - Dacă căută soluţii d foa A a obţi succsiv A A A ; dacă l îlocui î av: A a a a a ; doac A u s aulaă tu R va tbui să av a a - a - a Pi ua uăul al sau col tbui să fi ădăciă a cuaţii ca s uşt cuaţia caactistică a cuaţii difţial Să obsvă d la îcut că dacă cuaţia caactistică a toat ădăciil sil atuci soluţiil aticula foaă u sist fudatal d soluţii al cuaţii Ît-advă calculâd wosiaul lui obţi:

14 V W şi s obsvă că st difit d o tu oic R doac oţiala u s aulaă R ia V dacă j i j i V st dtiatul lui Vadod Soluţia gală a cuaţii st: Dacă cuaţia caactistică a ădăciil col sil i i i i i i β β β β β β atuci fucţiil } { si cos β β foaă u sist fudatal d soluţii al cuaţii Î acst ca soluţia gală a cuaţii st: 4 si cos β β Obsvaţi Dacă cuaţia caactistică a ădăcii al şi col atuci soluţia gală a cuaţii st foată dit-o cobiaţi d tiul şi 4 Să cosidă caul câd cuaţia a ădăcii ultil Dacă a st o ădăciă ală ultila d odiul atuci 5 a - st o soluţi a cuaţii Dacă iβ st ultilă d odiul atuci: 6 [ ] β β si cos st o soluţi a cuaţii 7 Ecuaţii oog Dtiaa soluţii aticula Să cosidă cuaţia oogă a a - a - a f Soluţia gală a cuaţii st: h

15 ud h st soluţii oog ataşat cuaţii ia st o soluţi aticulaă a cuaţii oog Ptu dtiaa lui ut folosi toda vaiaţii costatlo ca it cuoscâd soluţia gală a cuaţii oog să găsi o soluţi aticulaă a cuaţii oog i cuadatui Î alicaţii sut caui fcvt câd î fucţi d foa lui f ut găsi i idtifica Euă ai jos acst caui: a Fucţia f st u olio P Soluţia va fi tot u olio d aclaşi gad Q daca u st ădăciă a cuaţii caactistic a a Vo îlocui Q î şi i idtifica vo găsi soluţia aticulaă Dacă st ădăciă a cuaţii caactistic ultilă d odiul N atuci vo alg Q şi i îlocui î şi idtifica vo găsi b Fucţia f st u olio d foa d foa P P olio d gad Dacă u st ădăciă a cuaţii caactistic atuci alg Q şi i idtifica vo afla Dacă st ădăciă ultilă d odiul N a cuaţii caactistic atuci o soluţi aticulaă a cuaţii o vo căuta sub foa Q şi vo ocda aoi ca îait c Dacă f st d foa P cos Q si atuci dacă ± i u st ădăciă a cuaţii caactistic atuci vo alg P cos Q si ud a ia P şi sut olioa abita ca s dtiă aoi i idtifica Dacă ± i st ădăciă ultilă d odiul atuci vo alg [ P cos Q si] d Fucţia f a foa [ P cos β Q si ] β Soluţia aticulaă va ava sia: [ P cos β Q si β] a dacă ± iβ u sut ădăcii al cuaţii caactistic sau va ava sia: [ P cos β Q si β] dacă ± iβ sut ădăcii ultil d odiul al cuaţii caactistic Polioal P şi Q vo fi dtiat i idtifica Elu Să s găsască soluţia gală a cuaţii: cos 4 Q

16 Ecuaţia caactistică s sci 4 cu ădăcia dublă - şi ădăciil sil i -i Soluţia gală a cuaţii oog st: h si 4 cos R O soluţi aticulaă a cuaţii oog o căută d foa A Bcos si Îlocuid-o î cuaţi şi idtificâd obţi A 4 B dci soluţia gală a cuaţii dat st: 6 si 4 cos si 4 R 6 8 Ecuaţia lui Eul Elu O cuaţi difţială liiaă d odiul d foa: a a a a f cu a a a costat al ia f cotiuă u itval [ab] s uşt cuaţia lui Eul Toă O cuaţi difţială Eul s tasfoă i substituţia t î cuaţi difţială liiaă cu coficiţi costaţi Dostaţi Ptu > u t şi av: d d dt d t d d sau d dt d dt d dt d d d t d t d t d d d d d dci d d d dt dt dt dt d dt dt d d d t d t d d d d d d sau d dt dt d dt dt dt d d dt d S obsvă că toat odusl s iă liia cu ajutoul d d divatlo { } { } îulţit cu factoi uici dt dci dacă îi îlocui î cuaţia a s va tasfoa ît-o cuaţi cu coficiţi costaţi : d d d t b b b b f dt dt dt ud b b b sut costat al Ecuaţia oogă

17 d d d b b b b dt dt dt adit soluţii d foa t ud st o ădăciă a cuaţii caactistic t t Rvid la cuaţia şi obsvâd că dduc că cuaţia Eul oogă adit soluţii d foa Acst ultat silifică ult dtiaa soluţii gal a ui cuaţii Eul Fi cuaţia Eul oogă 4 a a a a Vo căuta soluţii d foa A A st costată; av succsiv A A A divat ca dacă l îlocui î şi obsvă că s dă facto cou A obţi A K ud K st cuaţia caactistică K a a a a Fi ădăciil cuaţii caactistic Duă atua lo şi odiul lo d ultilicitat dtiă la fl ca şi la cuaţii difţial liia cu coficiţi costaţi sistul fudatal d soluţii al cuaţii Eul cosidat Elu Ecuaţia caactistică - a ădăciil col ± i Ecuaţia difţială va ava soluţiil aticula cos l si l şi dci soluţia gală: u cos l si l Obsvaţi Ptu dtiaa ui soluţii aticula a ui cuaţii Eul oog s folosşt toda vaiaţii costatlo sau dtiaa lui duă foa bului dt al cuaţii 9 Sist d cuaţii difţial Elu 4

18 Dfiiţia Rlaţiil F t; ; ; F t; ; ; F t; ; ; ud fucţiil F F F sut dfiit [ab] X Y Z cu X R Y R Z R foaă u sist d ti cuaţii difţial cu ti fucţii cuoscut dacă s c să s dti fucţiil t t t divabil sctiv âă la odiul tu t [ a b] fucţii ca îuă cu divatl lo vifică tu oic t [ a b] Dfiiţia U sist d ti fucţii al t t t ca vifică codiţiil d ai sus s uşt o soluţi a sistului Obsvaţii Dacă sistul s uşt sist d odiul îtâi; dacă cl uţi uul dit ul st ai a dcât uu sistul s uşt sist d odi suio U sist olvat î aot cu divatl d odiul cl ai îalt s uşt sist caoic sau licit Dacă sistul oat fi olvat î aot cu divatl adică: f t; ; ; g t; ; ; h t; ; ; s obţi sistul caoic sctiv Dfiiţia U sist d cuaţii difţial d odiul îtâi cu cuoscut st d foa: d f t dt d f t dt d f t dt şi s uşt sist sub foa oală a lui auch 5

19 U sist d cuaţii difţial d odi suio st chivalt cu u sist d odiul îtâi Acasta s obsvă uşo di dacă itoduc fucţiil cuoscut: d d d d dt dt dt dt şi la fl î şi obţi: d f t ; ; dt şi la fl î şi U sist d cuaţii difţial d odiul îtâi st î gal chivalt cu o siguă cuaţi difţială d odiul Obsvaţi U sist d odi suio st chivalt cu u sist d odiul îtâi ia olvaa acstuia s duc î gal la olvaa ui cuaţii difţial d odiul Elul Să s olv sistul: d dt t R d 4 dt d Di ia cuaţi av ; divâd s obţi dt d d d şi îlocuid î ca d-a doua cuaţi a sistului ultă dt dt dt d d d d d 4 sau 6 dt dt dt dt dt Acasta st o cuaţi d odiul doi cu coficiţi costaţi Ecuaţia caactistică cosuătoa --6 a ădăciil ; - Soluţia gală a cuaţii st t t şi t t 4 Soluţia gală a sistului dat st: t t t R t t 4 6

20 şi ită o faili d cub c did d două costat abita al Ptu olvaa sistlo d cuaţii difţial di uct d vd actic st ai idicată toda liiăii ca coduc la o cuaţi difţială d odiul cu coficiţi costaţi Dacă sistul d cuaţii st oog acaşi todă st fabilă Elul Să s olv sistul: t t R 4 si t Di ia cuaţi -t şi - Îlocuid î a doua cuaţi obţi: 4-4sit Soluţia cuaţii st h ud h st soluţia cuaţii -4 Ecuaţia caactistică st t t -4 cu -; dci H ; îl alg d foa ABsitcost Pi îlocuia lui î 4 şi idtificâd obţi: si t Dci : 4 5 t t 4 5 si t şi di galitata -t obţi: t t cost t 5 Soluţia gală a sistului dat st dci: t t cost t 5 t t si t 4 5 Sist sitic Dfiiţi Itgal i obiaţii itgabil El Dfiiţia U sist d cuaţii difţial d odiul îtâi s uşt sist sitic dacă a foa 7

21 d d d P P P ud fucţiil P u s aulaă siulta tu D R Soluţia gală a sistului st d foa: F F F ud F F F - sut cotiu cu divatl aţial d odiul îtâi cotiu î D R Oic laţi F s uşt itgală iă Di cl d ai sus ultă că dacă s cuosc - itgal i al sistului s cuoaşt soluţia gală a sistului Di av galitata: d d d λd λd λd P P P λp λp λp ud λ sut fucţii abita cotiu î D Dfiiţia U sist d fucţii λ λ cotiu î D ca îdlisc codiţiil λ d λ d λ d dφ λ P λ P λ P tu oic D s uşt o cobiaţi itgabilă a sistului î D Fucţia Φ a căi difţială totală î D st λ d λ d λ d st o itgală iă a sistului Dacă s dtiă - cobiaţii itgabil distict s obţi - itgal i ca dau soluţia gală a sistului sub foa Elu Folosid toda cobiaţiil itgabil să s dti soluţia sistului d d d dti soluţia sistului Sistul dat oat fi scis sub foa: d d d d d d d d d 8

22 D aici ultă că d şi d d d Soluţia gală va fi foată di două itgal i: şi Ecuaţii cu divat aţial d odiul îtâi liia şi oog Sist caactistic Soluţi gală Elu Dfiiţia O laţi d foa u u u P P P cu P cotiu şi aulâdu-s siulta ît-u doiu D R s uşt cuaţi cu divat aţial d odiul îtâi liiaă şi oogă dacă s c să s dti fucţia uf avâd divatl aţial d odiul îtâi cotiu ca vifică Dfiiţia Sistul sitic d d d P P P dfiit î D s uşt sist caactistic al cuaţii cu divat aţial Pobla itgăii cuaţii difţial s duc la obla itgăii sistului caactistic aşa duă cu is di uătoaa: Toă Fi ϕ o itgală iă a sistului caactistic ; fucţia u ϕ st o soluţi a cuaţii cu divat aţial Dostaţi Itgala iă ϕ a difţiala ulă d-a lugul ui cub itgal a sistului : ϕ ϕ ϕ d d d Îsă d-a lugul ui cub itgal difţiall d d d sut ooţioal cu P P P cofo laţiilo dci galitata ai oat fi scisă şi sub foa: ϕ ϕ ϕ 4 P P P 9

23 valabilă tu oic situat o cubă itgală a sistului Egalitata 4 fiid advăată tu oic costată st advăată tu oic cubă itgală a sistului situată î D; i ua u ϕ st o soluţi a cuaţii î D Toa st dostată A loc uatoaa: Toă Fi cuaţia cu divat aţial Fi - itgal i iddt al sistului caactistic ϕ Fucţia u dată d: [ ϕ ϕ ] u Φ ϕ st o soluţi a cuaţii cu divat aţial Elu Să s dti soluţia gală a cuaţii u u u Sistul caactistic cosuăto st d d d d d Di ultă itgala iă ia di galitata d d obţi ţiâd saa d ia itgală Astfl sistul caactistic a itgall i Soluţia gală a cuaţii st u ϕ ud ϕ st o fucţi abitaă divabilă Ecuaţii cu divat aţial d odiul îtâi cvasiliia Elu O cuaţi difţială cu divat aţial d odiul îtâi cvasiliia st d foa: u u u P u P u P u P u

24 Ptu dtiaa soluţiilo ui cuaţii cu divat aţial cvasiliia s ocdaă astfl: a S sci sistul caactistic cosuăto cuaţii adică: d d d du P P P P b Folosid toda cobiaţiilo itgal s dtiă itgal i: F u { } c Soluţia gală a cuaţii cvasiliia st dată sub foa ilicită d laţia: 4 Φ F F F Elu Să s dti soluţia gală a cuaţii cu divat aţial u u u u Ataşă sistul caactistic: d d du u u Av: d d udu du u u u u u sau d ud d d udu u du u u u u d d udu du u Av astfl o itgală iă: u u Di galitat ilo două aoat al sistului caactistic av şi a doua itgală iă: Soluţia gală st: Φ u u sau u u f Pobl ous

25 Să d itg cuaţia difţială d odiul îtâi liiaă: tg cos Să s itg cuaţia difţială oogă galiată: d 4 d Să s itg cuaţia cuaţia difţială a lui Boulli: Să s itg cuaţia difţială a lui Riccati: 4 a a a > si b si cos cos 5 Să s itg cuaţia difţială a lui laiaut şi Lagag: a ; b 6 Să s itg cuaţiil difţial liia d odi suio cu coficiţi costaţi oog: a b c d f ; -6 6 ; ; ; 4 ; 7 Să s itg cuaţiil difţial liia d odi suio cu coficiţi costaţi oog:

26 a b 4 ; c 4 5cos 8 Să s itg cuaţia d ti Eul: 9Folosid toda vaiaţii costatlosă s itg cuaţia: cos Să s olv sistl d cuaţii difţial: 4 4 a 5 t t 6 b t t t Folosid toda cobiaţiilo itgabil să s dti soluţia sistlo sitic: d d d a ; b d d d ; c d d d Să s itg sistul d cuaţii difţial cu divat aţial cvasiliia: u u u u u u