Mişcarea kepleriană. fmm. () r

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Mişcarea kepleriană. fmm. () r"

Ευλάλιος Αντωνιάδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 itolul Mişc klină Poblm lui Kl ivşt mişc uni lnt d msă m cnttă în P în ot cu Sol vând cntul S şi ms M sub cţiun oţi d tcţi univslă Duă cum m văzut în citolul 5 cstă oţă st cntlă în ot cu un inţil vând oigin în S şi xsi: mm x F x SP x În cst cz ngi otnţilă v v om: V () mm în tim c ngi otnţilă ctivă v i: mm µ V () + mm Aici µ st ms chivlntă constnt tcţii univsl i st m + M constnt iilo În cst cz cuţi lui liut (99) v dvni: D ici zultă: ( mm + µ u) u( θ ) d µ u dθ ( θ ) ( m M ) d u + u + dθ cuţi dinţilă c soluţi: ( ) ( ) u θ Acos θ θ +

2 om: ximând constntl A şi obţinm soluţi ntioă sub ( ) ( θ ) + cos ( θ θ ) Acstă omulă n tă că tictoi unctului mtil P st o conică în lnul mişcăii Rlţi () s mi numşt şi cuţi oclă scţiunii conic Pntu dtmin mtilo şi i conici vom olosi intgll im l mişcăii în câm cntl d oţ Astl din tom d consv momntului cintic: x x& x x& notând cu x v x& şi α ( x x& ) obţinm mtul l conici sub om: v ( ) > xcnticitt conici ot i dtmintă din condiţiil iniţil d u u u( θ ) şi u Mi cis din () zultă: dθ θ θ u ( θ θ ) cos + su: θ ( 3) cos( θ ) Divând () şi olosind intgl iilo & θ obţinm: u d & & sin dθ & θ ( ) ( θ θ ) θ d und zultă: & sin θ ( θ )

3 su: v cosα ( 4) sin( θ θ) ctgα În in din (3) şi (4) obţinm xcnticitt conici sub om umăto: ( 5) ctg α + + Având în vd omul (5) utm clsiic conic () duă cum umză: ) Dcă < < dică: < su ximându-l mtul din () dcă: ( 6) v < tunci tictoi v i o lisă ) Dcă dică: su dcă: ( 7) v tunci tictoi v i o bolă 3) Dcă > dică: > su dcă: ( 8) v > tunci tictoi v i o hibolă

4 4) Dcă din () zultă că tictoi v i un cc Figu În Figu sunt igut tictoiil osibil l lnti P în ot cu Sol S lt în ocul coniclo În czul mişcăii litic ( < <) m nott cu şi distnţl l ocntu sctiv icntu Din om () tictoii zultă: + ( 9) + * Pntu cctiz tictoiil în czul mişcăii klin utm olosi cşi thnică ngtică znttă în citolul 7 Astl onim d l studiul intgli im ngii totl: µ ( ) & + V const und ngi otnţilă ctivă xsi: mm µ V () + ngi otnţilă ctivă V st znttă în Figu

5 Din () zultă că: Figu & ± ( V () ) µ cuţi dinţilă similă cu cuţi (96) În cst cz V ( ) v v un unct d µ ( mm ) * minim ntu vând ici vlo mm µ < tinzând l ininit u jutoul iguii utm nliz comotmntul tictoii ) Dcă > tictoi v i hibolică şi v tind l zo cu Punctul P vin d l ininit ting icntul şi s întoc l ininit Obit st dschisă Vitz dilă mximă v i tinsă în unctul * und ngi otnţilă & mx ctivă un minim L ininit l ăstză o vitză zidulă nnulă ) Dcă tictoi v i bolică & µ omotmntul st simil cu cl din czul tictoii hibolic vitz dilă iind mi mică i vitz zidulă l ininit st nulă Obit bolică st obit dschisă l cl mi scăzut nivl l ngii otnţil ctiv v i cusă cu vitz d măim v

( ) mm 3) Dcă < < tictoi v i litică µ În cst cz obit v i închisă mişc iind iodică înt şi 4) Dcă ( mm ) tictoi v i ciculă µ v i cusă cu vitz d măim v * < smi-xl lisi u vloil: În czul mişcăii litic (

6 ( ) mm 3) Dcă < < tictoi v i litică µ În cst cz obit v i închisă mişc iind iodică înt şi 4) Dcă ( mm ) tictoi v i ciculă µ v i cusă cu vitz d măim v * < smi-xl lisi u vloil: În czul mişcăii litic ( <) ( ) b ( + ) Pntu zolv comlt oblm mişcăii klin tbui ddusă lg timului în dsci obiti litic Vom not cu unghiul ϕ θ θ nomli dvătă şi cu unghiul nomli xcntică (vzi Figu 3) Doc Figu 3 SR OR OS zultă că :

7 ( ) cos ( cos ) ϕ x y Din cuţi lisi + vm: b b y x bsin P x y : und m ţinut cont d coodontl unctului ( ) x cos y sinϕ Pin um obţinm: ( 3) sin sin ϕ liminând unghiul ϕ înt () şi (3) zultă: ( 4) ( cos) Din () şi (4) vm: ϕ ( 5) cos + cos ( ) cos P d ltă t (3) s mi ot sci sub om: ( 6) ϕ ϕ sin cos sin cos Îmăţind lţi (6) l (5) obţinm lgătu dint nomli dvătă ϕ şi nomli xcntică : ( 7) ϕ tg + tg Dcă vom div (7) în ot cu timul şi vom olosi (5) zultă: & & ϕ θ & b& Din intgl iilo şi (4) obţinm: ( ) & 8 & ϕ b& b( cos )& θ

8 În in intgând lţi (8) în ot cu timul t dducm cuţi lui Kl: ( 9) sin n( t t ) T und n 3/ S vd uşo că cuţi lui Kl soluţi unică Înt-dvă notând cu: ( ) sin doc < < uncţi zultă stict cscăto R um st continuă R şi (R)R tunci zultă că uncţi st bijctivă R Pin um cuţi ( ) T v v soluţi unică Din lţi (7) s vd că dcă ϕ viză cu π tunci şi viză cu π Din cuţi lui Kl (9) zultă iod mişcăii litic: ( ) T π π b n π 3/ D ici obţinm lg ti lui Kl: ( ) T 4π b 4π 3 const Pim lg lui Kl st dtă d cuţi conici () în tim c dou lg s ă l lg iilo (vzi itolul 6) xciţii şi oblm: ) Ponind d l lgil lui Kl să s dducă om oţi d tcţi univslă * ) În czul mişcăii hibolic utilizând lţi ϕ tg + th să s obţină cuţi timului sub om sh n ( t t ) n 3/ 3) În czul mişcăii bolic să s dducă cuţi timului sub om ϕ tg + tg 3 3 ϕ ( t t )

9 4 * ) Să s studiz oblm intcţiunii Pământului vând omă sică cu ms M uniom distibuită cu un stlit similt unui unct mtil d msă m Rz Pământului st R 638 km Stlitul s dsind d cht utăto l înălţim H ţă d suţ Pământului măsută vticl locului în unctul P vând vcto d oziţi x cu vitz iniţilă v Psuunm că ms stlitului ămân constntă în timul voluţii d l suţ Pământului ână în P În lus suunm că otul m/m ot i nglijt În ticul dcă lns v loc d suţ Pământului (H) şi dcă unghiul dint x şi v i π / să s dducă vloil imi vitz cosmic şi cli d dou vitz cosmic

Σχετικά έγγραφα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul