În spectrul de rotaţie al moleculei HCl s-au identificat linii spectrale consecutive cu următoarele lungimi de undă: λ
|
|
|
- Θάλεια Χατζηιωάννου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 PROBLMA 5 În spctrul d rotaţi al molculi HCl s-au idntificat linii spctral conscutiv cu următoarl lungimi d undă: λ 6.4 m; λ 69. m ; λ 8. 4 m ; λ ; λ. 6 m ; 4 5 a Prsupunând molcula un rotator rigid să s afl momntul d inrţi al molculi şi distanţa dintr cl două nucl. b Să s dtrmin numrl cuantic al nivllor d rotaţi într car s produc tranziţiil corspunzătoar lungimilor d undă idntificat. c Car dintr liniil spctral idntificat st ca mai intnsă dacă spctrul s înrgistrază la tmpratura camri? Rzolvar Molcula st asimilată unui rotator rigid în jurul cntrului d masă C: nrgia d rotaţi a molculi st: I ω ( und I st momntul d inrţi al molculi în jurul ai prpndicular p linia car unşt ci doi atomi şi car trc prin C, iar ω st vitza ungiulară d rotaţi. Momntul d inrţi st: I m r + mr r und mm m + m st masa rdusă a molculi. Pntru a afla nivll nrgtic al unui astfl d rotator simplu rigid s rzolvă cuaţia Scrodingr: Ψ Ψ al cări valori proprii sunt: rot J ( J + ( I cu J,,, numărul cuantic d rotaţi Trmnul spctral d rotaţi st: F(J rot J ( + c 8 J ( π ci und: s numşt constantă d rotaţi. Atunci: B 8π ci (4
2 rot BcJ( J + (5 Rgula d slcţi pntru mişcara d rotaţi arată că sunt prmis numai tranziţiil în car: J ± (6 Difrnţa nrgtică dintr două nivl al căror numr cuantic J difră cu ( J + J crşt cu crştra lui J. umărul d undă al radiaţii absorbit st: J J + F(J+-F(JB(J+ (7 Difrnţa dintr numrl d undă a două linii conscutiv va fi dci: & & B Aşadar spctrul rotatorului rigid st constituit dintr-o sri d linii al căror numr d undă difră succsiv cu cantitata B (vzi fig.. Fig. a Clor cinci lungimi d undă idntificat în spctru l corspund următoarl numr d undă: ~ λ ( m ( cm λ ~ ~ λ 69. ~ ~ ~ λ 8.4 ~ ~ ~ ~ ~.66cm λ ~ ~ ~ λ5.6 ~ Având în vdr că liniil spctral sunt cidistant la B, s obţin: B.cm Ţinând cont d prsia constanti d rotaţi B (4 s obţin:
3 Cum I r, I.796 8π cb r I. 47 kg 7 Dar.64 kg r.96 b Din rlaţia (7 s obţin numărul cuantic al nivlului infrior d rotaţi corspunzător rspctivi tranziţii: J J J + (8 B umric: 7. B 6.4 B 5.9 B 4 4. B 5 7. B adică ~ corspund tranziţii într nivll J7 J8 adică ~ corspund tranziţii într nivll J6 J7 adică ~ corspund tranziţii într nivll J5 J6 adică ~ 4 corspund tranziţii într nivll J4 J5 adică ~ 5 corspund tranziţii într nivll J J4 Fig. c Intnsităţil liniilor unui spctru d rotaţi sunt dtrminat d : - gradul d dgnrar al trmnilor spctrali F(J
4 - probabilitata d ocupar trmică a nivllor d rotaţi -rgulil d slcţi Ficar valoar propri d rotaţi ( ar propria sa funcţi propri d momnt cintic: L J ( J + (9 Ficar valoar propri cu număr cuantic J ar gradul d dgnrar J+ dacă nu istă nici o intracţiun car să ridic acastă dgnrar. Pntru înţlgra compltă a distribuţii intnsităţilor liniilor spctrului vom ţin cont că nrgia trmică la tmpratura camri st cm, mult mai mar dcât constanta d rotaţi B şi dasmna comparabilă cu nrgia nivllor d rotaţi. Aşadar, în cilibru trmic la tmpratura camri vor fi ocupalt mai mult nivl d rotaţi. Cantitativ, probabilitata d ocupar ( J a unui nivl d rotaţi cu număr cuantic J st dată d: g J BcJ ( J + / KT J ( g und g J sunt pondril statistic al stărilor corspunzătoar numrlor cuantic J ( g. Acst pondri sunt gal cu gradul d dgnrar al nivlului:j+. Ţinând cont d acasta şi d faptul că rot (J s obţin: BcJ ( J + / KT J (J + ( Rapoartl intnsităţilor liniilor în spctrul d absorbţi sunt proporţional cu probabilitata d ocupar J şi ( J /. Conform rlaţii (, pntru valori mici al lui J, intnsitata liniilor crşt cu crştra lui J. pntru valori mai mari al lui J, dvin dominant trmnul ponnţial. Într acst limit istă o lini d intnsitat imă a d cări numr cuantic s obţin galând cu zro drivata ( J /. dj d BcJ ( J + / KT Bc BcJ ( J + / KT ( J /. (J + (J + dj KT Bc BcJ ( J + / KT ( (J + KT galând cu zro acastă ultimă galitat s obţin: KT J + Bc d und KT J maz ( Bc Aşadar ca mai intnsă lini corspund tranziţii J J4 (cu numărul d undă ~. 5 PROBLMA În spctrul d rotaţi al molculi CO s-a idntificat linia spctrală corspunzătoar tranziţii J J, lungima d undă corspunzătoar fiind λ.6 mm. Aflaţi lungima lgăturii C-O în molculă prcum şi nrgia şi vitza ungiulară a molculi corspunzătoar stării d rotaţi J. 4
5 Dar Rzolvar S şti că numărul d undă corspunzător tranziţii J J+ st: J J + B(J+ J fiind numărul cuantic d rotaţi corspunzător nivlului infrior. În cazul nostru J. Aşadar : & & B λ astfl încât: sau D aici r B λ 8π ci 4π ci λ 4π c r. λ 4π c mc mo 6.8 kg. mc mo umric: r.å. c J J ( J + I J I r ( λ c J adică st act difrnţa dintr nivll J şi J. Acst lucru st normal λ doarc J. 4 J 4.78 V. 856cm Obsrvaţi La TC, KT.6 V practic toat molcull dintr-o probă aflată la TC vor fi citat în stăril d rotaţi. Iω ω I r Ţinând cont d ( şi ( ω.4 πc ω. λ rad s ( PROBLMA 4. Dtrminaţi cu c valoar s modifică momntul cintic al molculi CO la misia uni linii spctral în spctrul d rotaţi pură, cu lungima d undă λ.9 mm. Rzolvar Variaţia momntului cintic va fi: 5
6 L J Aşadar trbui aflat numrl cuantic J al nivllor d rotaţi într car s produc tranziţia. Fi J numărul cuantic corspunzător nivlului infrior. inf J(J+ I sup (J+(J+ I sup inf ( J + J + J J I (J+ I c Totodată: λ c (J+ λ r 4π c r J - J λ tranziţia st J J L L scad cu valoara. PROBLMA 5 Liniil spctrului d rotaţi al molculi HBr sunt distanţat ţn frcvnţă la 5. Hz. Să s găsască distanţa intrnuclară din acastă molculă. Rzolvar Obsrvaţi: Doarc mbr >> mh mh R.4Å ~ ( J J + B(J+ ~ ( J + J + B(J+ ~ ~ ( ( J + J + - J J + B λ λ B ~ B sau c c c ~ c 8π c r r 4π 6
7 PROBLMA 6 Molcula Hg 5 Cl mit un foton cu λ 4.4 cm la o tranziţi în spctrul d rotaţi într nivll cu J şi J. Să s găsască distanţa intrnuclară. Rzolvar nrgia nivllor d rotaţi st: J J(J+ I I c λ I r λ λ c 4π c r λ r 4π c r.4å PROBLMA 7 Ca mai scăzută frcvnţă în spctrul d rotaţi al molculi H 9 F.5 Hz. Să s afl distanţa intrnuclară. st Rzolvar J J + B(J+ Ca mai scăzută frcvnţă corspund tranziţii J J. B c 8π c r r 4π r.9å PROBLMA 8 Liniil d absorbţi din spctrul d rotaţi corspunzătoar tranziţii J J au frcvnţl Hz pntru molcula.5 C 6 O rspctiv. Hz pntru molcula C 6 O. Să s găsască numărul d masă al izotopului ncunoscut şi distanţa intrnuclară. Rzolvar Ştim că: 7
8 J J + λ B(J+ B ( J + ( J + c 8π c r B ( J + ( J + c 8π c Făcând raportul ultimlor două cuaţii obţinm: mmo m + m m + C C O m( mc m ( m + + m O C mo m m m O O r Din ultima galitat rzultă: m c O.68 m C m m + m m O m C C Pntru a afla distanţa intrnuclară: (J+ c 8π ci ( J + I r 4π Apoi: ( J + mcmo r cu şi J. 4 m + m π C r.5 O PROBLMA 9 5 În spctrul d rotaţi al molculi HCl s-au găsit următoarl valori primntal pntru poziţiil liniilor d absorbţi: J J+ ~ ( p cm calc ~ ( cm 4 D ( cm D ( cm a Folosind modlul rotatorului rigid şi o distanţă intrnuclară d.87 calculaţi poziţiil liniilor rspctiv. b plicaţi difrnţa dintr valoril calculat şi cl primntal 8
9 Rzolvar a După cum s şti, numărul d undă corspunzător tranziţii J J+ în cazul rotatorului rigid st: B(J+ cu B. 8π ci 8π c r Constanta d rotaţi B ar valoara numrică B.4 cm şi B.8 cm. Aşadar valoril calculat vor fi: ~. 8cm ; ~ 4 8. cm ; ~ ~ cm ; 9 8cm. b În primul rând s obsrvă că valoril calculat pntru poziţiil liniilor în cazul modlului rotatorului rigid sunt toat mai mari dcât cl primntal. Difrnţa st cu atât mai mar cu cât J st mai mar. Acastă difrnţă poat fi plicată p baza fctlor cntrifugal, adică p baza modificării distanţi intrnuclar cu numărul cuantic d rotaţi J. Ca urmar a distorsii cntrifugal a molculi, momntul d inrţi crşt astfl încât modlul rotatorului rigid poat fi abandonat în favoara rotatorului nrigid. Forţa cntrifugală produc o întindr a molculi. Clasic, noua distanţă intrnuclară s dduc din: ω R k(r- R ( und R rprzintă distanţa intrnuclară d cilibru iar ω st vitza ungiulară d rotaţi. Calitativ, alungira molculi duc la crştra distanţi dintr atomi şi dci la crştra momntului d inrţi. Acasta conduc la scădra constanti B şi a valorilor J. Cantitativ: ω R R ω Iω I ω L R R R ( k kr kr kr kr nrgia molculi va fi: 4 Iω k I ω k L kl R R 6 I I k R sau: 4 L L 6 R kr Dacă trcm acum d la mcanica clasică la mcanica cuantică şi înlocuim L cu J ( J + obţinm: Trmanii d rotaţi vor fi: rot R kr 4 J ( J + J ( J 6 trmn cntrifugal + ( 9
10 F(J rot c J 8π ci π kcr 4πkcI R J( J + BJ( J + J ( BJ ( J + DJ ( J + und am notat: D (4 4πkcR I 4 D/B astfl că trmnul DJ ( J + st nglijabil cât timp J st mic, dar poat dvni important pntru valori mari al lui J. Frcvnţl liniilor spctral vor fi dat d: ~ F(J+-F(JB(J+(J+-D ( J + ( J + -BJ(J+-D J J J + ( J + 4 B ( J + J + D[ ( J + J + ( J + 4J + 4 ] B( J + J + D( J + J + J B(J+-4D ( J J J + + Rvnind la problmă, d mplu pntru tranziţia J9 J.6cm. Dacă punm acastă difrnţă p sama trmnului cntrifugal: 4 D( J + avm: D 4 ( J + adică 4 D 4.5 cm sau 4D.6 cm. Din rlaţia (4 poat fi obţinută constanta d forţă:
11 k 4πDcR I k54.6 /m. Frcvnţa oscilaţii d valnţă în lungul ai intrnuclar st: k π PROBLMA 9.47 Hz. Luând în considrar dgnrara nivllor d rotaţi, să s calculz raportul molcullor d idrogn aflat în stăril d rotaţi cu J şi J la tmpratura camri. Rzolvar J g J g g J J + ( J / KT J J ( J + I g ; ; Făcând raportul cuaţiilor ( şi ( obţinm: / g / g KT g / KT g / ( ( KT g ( / KT KT g ( 6 KT I I / 5 r KTI KT 5 5 Pntru H, r.74 ; TK; K 8 J/K şi..95 PROBLMA Pntru dtrminara lungimilor lgăturilor în molcula triatomică liniară OCS s-au înrgistrat spctrl d rotaţi al molcullorsubstituit cu izotopul S, rspctiv 4 S. S-a dtrminat primntal că sparara dintr priml două linii din spctrul d rotaţi st 4 d.48 cm pntru molcula OC S, rspctiv.94 cm pntru molcula OC S. Să s afl lungima lgăturilor CO şi CS.
12 Rzolvar După cum st dja cunoscut, pntru molcull biatomic măsurara constanti d rotaţi B prmit dtrminara momntului d inrţi şi apoi a distanţi intrnuclar. În cazul molcullor triatomic, pntru dtrminara clor două lungimi d lgături sunt ncsar dtrminări al momntlor d inrţi al molculi analizat substituită cu cl puţin doi izotopi. Să calculăm momntul d inrţi al uni molcul triatomic liniar: I m R + mc RC + ms RS ( Dar propritata cntrului d masă impun: m ORO + mc RC ms RS ( şi mai avm: R O RCO + RC ; RS RCS RC ( Înlocuind ( în ( avm: morco + mo RC + mc RC ms RCS ms RC d und: ms RCS mo RCO RC M (4 în car am notat: M m O + mc + ms Rvnind acum la cuaţia ( obţinm: I m R + R + m R + m ( R R O( CO C C C S CS C CO + CO C O C C C S CS S CS C SRC m R m R R + m R + m R + m R m R R + m O I m ORCO + ms RCS + Rc ( morco ms RCS + MRC Ţinând cont şi d rlaţia (4 avm în continuar: ( ms RCS mo RCO I m ORCO + ms RCS ( ms RCS mo RCO( mo RCO ms RCS M M M ( ms RCS mo RCO I m ORCO + ms RCS (5 M
13 După cum s vd, acastă cuaţi conţin două ncunoscut: RCO şi RCS şi d aca trbui dtrminat momntl d inrţi pntru doi substitunţi izotopici ai molculi. În cazul problmi noastr avm: B. 48cm ~ 4 B4. 94cm D aici: B I 8π ci ~ 4π c 4 B4 I 4 8π ci 4π c kg m kg m I P baza clor două cuaţii car rzultă din rlaţia (5 s obţin: R.7 ; PROBLMA I R CO CS.55. nrgia d intracţiun dintr atomii uni molcul biatomic st dscrisă cu o bună aproimaţi d potnţialul propus d Mors: V α ( R R [ ] D und R st distanţa d cilibru intrnuclară, D st adâncima gropii d potnţial, iar α st o constantă caractristică molculi considrat. Calculaţi valoar D şi a paramtrului α pntru molcula O. Rzolvar nrgiil nivllor d vibraţi pntru o molculă biatomică în aproimaţia oscilatorului armonic s obţin rzolvând cuaţia Scrodingr: Ψ + ( Ψ v k R R ( şi sunt dat d: v ω ( v + ( cu v,,, - număr cuantic d vibraţi, iar k ω ( 4 k fiind constanta d forţă şi - masa rdusă a molculi. ivll nrgtic al oscilatorului armonic sunt cidistant: Trmnul spctral al oscilatorului armonic st: G(v v ~ ( v + ( v (4 c c +
14 nrgia ca mai joasă, corspunzătoar lui v s numşt nrgi d zro (zro point nrgy: ω v (5 istnţa acsti nrgii rzultă din principiul d incrtitudin pntru poziţi şi impuls. Rgula d slcţi pntru oscilatorul armonic st: ±. umărul d undă al vibraţiilor absorbit st: ~ k G( v + G( v (7 πc Acasta însamnă că spctrul d vibraţi al uni molcul biatomic constă dintr-o singură bandă intnsă în IR apropiat sau mijlociu. OBS. ~ k π c 7 Pntru H, k5 /m,, ~.8 kg 4cm, λ. 7m ~ Pntru HCl, 885cm, λ. 46 m În ralitat, intracţiuna dintr atomii uni molcul biatomic st rprzntată corct prin potnţialul oscilatorului armonic numai pntru valori mici al difrnţi R R, adică numai în vcinătata distanţi intrnuclar d cilibru. O curbă d potnţial rală trbui să fi asimtrică faţă d R întrucât micşorara lui R duc la o crştr a rpulsii dintr atomi doarc potnţialul Coulombian atractiv st suprapus pst unul rpulsiv d distanţă scurtă. Aşadar pntru R< R, curba d potnţial dvin mai abruptă. P d altă part, crştra distanţi intratomic conduc la o slăbir a lgăturii cimic şi în final la disocira molculi. În acst domniu, R> R, curba d potnţial dvin mai aplatizată. 4
15 O aproimaţi mpirică, dsori utilizată, pntru curba d potnţial anarmonică a fost propusă d Mors: α ( R R [ ] V D. Rzolvând cuaţia Scrodingr cu acst potnţial s obţin nrgia nivllor d vibraţi al oscilatorului anarmonic: v ω ( v + ω ( v + + ω y( v din car s rţin d obici doar primii doi trmni: v ω ( v + ω( v + (9 st constantă d anarmonicitat şi st d forma ω / 4D având valori d ordinul. Trmnul spctral al oscilatorului anarmonic st: Iar rgula d slcţi: G(v ~ ~ ( v + ( v ( v ±, ±, ±,... astfl încât spctrul acstui oscilator va conţin p lângă banda fundamntală corspunzătoar lui v ± şi o sri d armonic cu o probabilitat rdusă d tranziţi, al căror intnsităţi vor fi aproimativ în raportul: : : :... nrgiil tranziţiilor cu v ± nu mai sunt aclaşi pntru toat valoril lui v ci dscrsc cu crştra lui v. Aşadar pntru un potnţial anarmonic s obţin o sri d linii cu intnsitat dscrscătoar. Tranziţiil din stara fundamntală cu v sunt d dpart cl mai important doarc nivll d vibraţi mai înalt sunt trm d puţin populat la cilibru trmic şi dci nu joacă un rol important ca stări iniţial în procsl d absorbţi. nrgia d zro în acst caz st: v ω ( 4 umărul d undă corspunzător tranziţii v st: ~ v ω( v + ( v + ω( c c 4 ~ v v ( v + v ~ v v[ ( v + ] ( astfl că: (. Armonicl cu v şi v vor fi dat d: ( ( 4. Obsrvaţi: Doarc la tmpratura camri KT cm, iar ~ pntru HCl d mplu st 886cm însamnă că practic la acastă tmpratură cl mai mult molcul sunt în 5
16 stara fundamntală cu v, iar spctrul d absorbţi conţin în principiu doar banda corspunzătoar tranziţii. Dacă s dorşt obsrvara tranziţiilor d p nivl cu v mai mari st ncsară crştra tmpraturii probi sau citara molcullor prin iradira cu radiaţi lasr sau prin racţi cimică. Dacă s ţin cont şi d mişcara d rotaţi: ω ( v + ( + ( + ( + ( + ( + v + J J c J J c v J J I trmn d cuplaj al mişcării d rotaţi-vibraţi Rvnind la problmă: V ω α ( R R [ ] D ω D D + k D D 4π + Pntru O: D 6.57 V, k55 /m D 6.6 V. Constanta α s dtrmină în flul următor: S dzvoltă ponnţiala din prsia potnţialului Mors în sri d putri: α R α R +... V D ( + α R D α R În vcinătata lui astfl încât: d und: R Obsrvaţi: Dsori s folosşt paramtrul:, acst potnţial poat fi uşor suprapus pst potnţialul armonic k R D D α k α sau R α ω α.74. α α r. k D *** Să s arat că: Rzolvar ω. 4D otăm v ω( v + ( v + v + A şi căutăm să dtrminăm v. 6
17 D ω A( D A A + ω 4 D ω st clar că cuaţia ( ar o singură soluţi. Aşadar impunm condiţia ca: 4 D ω ( sau: sau: 4D ω 4D k k. k 4( D + PROBLMA Dutriul ar masa d aproimativ două ori mai mar dcât idrognul. Car dintr molcull H şi HD va ava nrgi d punct zro mai mar? C s poat spun dspr nrgia d lgătură a clor două molcul? Rzolvar Doarc m D > m H HD > H ( >. Cum frcvnţa d vibraţi st π însamnă că molcula HD va ava o frcvnţă d vibraţi mai mică şi o nrgi d punct zro mai mică. Acst lucru însamnă că molcula HD va ava o nrgi d lgătură mai mar doarc nrgia i d punct zro va contribui mai puţin la disocira molculi. k PROBLMA 4 Dacă s dizolvă CO în CCl 4 s absoarb radiaţi IR d frcvnţă 6.4 Hz. Doarc CCl 4 st transparntă la acastă frcvnţă, însamnă că absorbţia obsrvată s datorază molcullor d oid d carbon. Să s găsască constanta d forţă a lgăturii CO şi sparara nrgtică într nivll d vibraţi al acsti molcul. 7
18 Rzolvar v - nrgia d punct zro k v ( v + ( v + v,,,... ; v ± ; k k 4π k.86 /m π v + v 4.6 J.66 V Obsrvaţi: st considrabil mai mar dcât sparara nivllor d rotaţi. Doarc >kt la TC (kt.6 V însamnă că la acastă tmpratură cl mai mult molcul dintr-o probă s vor afla în stara cu v, având doar nrgi d punct zro. PROBLMA 5 Aflaţi lungima d undă asociată fotonului car cită tranziţia într ultiml două nivl (discrt d vibraţi al molculi HCl. S cunosc: nrgia d disocir D 4.47 V, factorul d anarmonicitat.95 şi numărul d undă al frcvnţi ~ fundamntal d vibraţi: 885.6cm. Rzolvar Pntru un oscilator anarmonic, nrgia nivllor vibraţional st dată d: ( v ω ( v + ω( v +. umărul total al nivllor d vibraţi şi dci valoara numărului cuantic d vibraţi im s obţin din: D ω ( v + ( v + ( und v st numărul cuantic al ultimului nivl discrt vibraţional. otăm: v + A. ω ~ c În plus: D D + D + astfl încât c ~ D + c( A A. ( Dar c /. 8 V astfl încât cuaţia ( dvin: şi poat fi pusă sub forma: ( A A 8
19 A A +.9. D aici A5.64 şi dci v 5. Aşadar fotonul car induc tranziţia într ultiml două nivl va ava nrgia: ~ 5 4 D c[ 4.5 (4.5 ].44 V c λ λ 8. m. PROBLMA 6 Pntru molcula H 9 F s cunosc următoarl dat primntal: constanta d forţă: 88 /m, lungima lgăturii:.9, nrgia d disocir: V. Calculaţi numărul nivllor d rotaţi corspunzătoar nivllor d vibraţi cu v în următoarl două cazuri: a aproimaţia potnţialului armonic b aproimaţia potnţialului anarmonic. Rzolvar a v ω ( v + ω ω ω rot J ( J + I ω J ( J + R sau J + J R ω 4π R k 4πR J + J k J + J J b În aproimaţia potnţialului anarmonic: 9
20 v ω( v + ( v + iar: Aşadar: ω 4D ω D D + ω. 4( D + ω ( ω ( ω 6 ω ( + ( 4 ω ( J ( J R + R k πr J ( J + ( k ( J ( J J 6 (6.65 PROBLMA 7 Să s dtrmin nrgia d disocir a molculi d dutriu ştiind că nrgia d disocir pntru molcula d idrogn st 4.48 V, iar nrgia clui mai jos nivl nrgtic vibraţional st.6 V. Rzolvar D Obsrvaţi: O mtodă modrnă d sparar a molcullor cu difrit compoziţii izotopic s bazază p difrnţa nrgiilor d disocir al molcullor izotopic-difrit, datorată difrnţi nrgiilor d punct zro. Astfl molcull c trbui sparat sunt iradiat intns cu radiaţia unui lasr a cărui nrgi a fost slctată astfl încât să dtrmin disocira unui tip d molcul din amstcul izotopic şi nu a clorlalt.
21 D D + ω Pntru, ( D H 4.74 V Dar: H Z H Z D ( D ( D H D ω D ( D D ( D H - ( ω D k D D kd k H şi ( Cum: ( H ω H ω H k H H k H H. 4( H k H H ( ( ω D 4( H D H ( ( ( D D ( D - H ( D D ( + ( - ( ( D ( H H D H H D ( + ( (- D H ( D D 4.56 V. D H H D D H H D PROBLMA 8 Cl mai coborât două nivl d vibraţi al molculi a 5 Cl sunt sparat nrgtic la.6 V. Aflaţi constanta d forţă a molculi în douş cazuri: a aproimaţia oscilatorului armonic b aproimaţia oscilatorului anarmonic Rzolvar a ω ω
22 ω k k /m k 4π b otăm: α α D + α ω ( ω ( ω 9 ω ( + ( 4 ω ω Dar 4D ω 4( D + ω ω (- ω. D + ω α α α ( D + D α + α αd + α α ( D D D α D α adică: D D k 6π ( D k (D k4 /m PROBLMA 9 Să s afl c procnt din distanţa intrnuclară d cilibru îl rprzintă amplitudina vibraţiilor molculi CO în stara fundamntală şi în stara cu numărul im d vibraţi prmis. Folosiţi modlul oscilatorului armonic.
23 Rzolvar a Pntru stara fundamntală: În ipotza oscilatorului armonic: v ω ka astfl încât şi D aici: A ω k A R ka ω. πk R k. π π Pntru CO: R. şi k87 /m. A.4 (4. % sau A 4.77 R b Pntru ultima star d vibraţi prmisă: Din: ω D ( v + ( v + notăm: v + A ω D + ω A ( A D A A + + ω Având în vdr că ( ω 4D Dar v D A ω v D -. ω corspund nrgii d disocir ca c însamnă că ultima star d v vibraţi prmisă va ava un număr cuantic -. umric:
24 v 84 v8 ka ω ( v + ( v + A ω k ( v + ( v + A. A.74 (7.4 % R PROBLMA Aflaţi numărul cuantic d vibraţi car corspund nrgii d disocir a molculi. S şti: k5 /m, D 4.5 V. H Rzolvar P d altă part: otăm: D + D ω D + 4π k ω D ( v + ( v + ω ω. 4D ω 4( D + D + v + A. ω ω D +A- ω A A + A( A A D + ω cuaţia ar. (condiţia pntru ω 4D D A ω D v - ω v 8 4
25 PROBLMA În spctrul d absorbţi d rotaţi-vibraţi al molculi HBr, numrl d undă corspunzătoar tranziţiilor intrzis ( J într nivlul fundamntal şi cl mai apropiat nivl d vibraţi (v şi v, sunt ~ 559. cm şi ~ 58.. cm Dtrminaţi frcvnţa d vibraţi şi coficintul d anarmonicitat al acsti molcul. Rzolvar nrgiil clor tri nivl sunt: J ω ( + J ( J + I J ω ( + J ( J + I 5 5 J ω ( + J ( J +. I Cum J J - J ω( şi dci: ω( c ~ ( 4 J - J ω( 4 4 şi dci: ω( c ~ ( 4 Împărţind cuaţiil ( şi ( ~ 4 ~. 4 D aici s obţin: ~ Înlocuind acum.7. în cuaţia ( sau ( s obţin: ω 5 4 s PROBLMA Dtrminaţi tmpratura la car nrgia cintică mdi d translaţi a molcullor Cl st gală cu nrgia ncsară tranziţii acstor molcul din stara fundamntală în stara d vibraţi cu v. 5
26 Rzolvar nrgia cintică mdi st: ω ω ( v + ω cin K B T ω ω K B T k T K B Pntru molcula Cl, k /m. K B.8 J/K T5 K. PROBLMA Pntru molcula OH să s găsască difrnţa dintr nrgiil stărilor cu numrl cuantic v, J şi v, J5. Rzolvar v, J ω( v + ( v + + J ( J + - c J ( J + c( v + J ( J + I c 4πkR I Fi nrgia stării cu v şi J şi nrgia stării cu v şi J5. Dacă în ( nu luăm în considrar fctl cntrifugal şi cuplajul mişcării d rotaţi-vibraţi avm: ω( şi ω( + J ( J + I astfl încât ω 9 - ( + - J ( J + I ω( - J ( J +. I Pntru molcula OH: k75 /m.7 V. 6
27 PROBLMA 4 8 Aflaţi raportul molcullor HBr aflat în stăril d vibraţi pură cu numrl cuantic v şi rspctiv v, la tmpratura T9 K. La c tmpratură acst raport va fi :? Rzolvar Cunoscând: Din: v.774 V şi k8 /m D ( / K BT ω( v + ( v ω( ω( - ω( 4 ω ω 4D ω 4( D ω J.7.46 K T B / K BT ln - KBT T K ln B T 464 K PROBLMA 5 Luând în considrar dgnrara nivllor d rotaţi dtrminaţi raportul numrlor d molcul d idrogn în stăril cu numrl cuantic v, J rspctiv v, J5 la tmpratura T5 K. Rzolvar J + J + J + ( / K BT / K BT 7
28 Pntru molcula H :. ω( ω( + J ( J + I ω( - J ( J + I D 4.5 V k5 /m R.74 B6.8 cm PROBLMA 6 Calculaţi distanţa intrnuclară şi constanta d anarmonicitat pntru molcula 9 HF dacă numrl d undă a patru linii spctral conscutiv al structurii d rotaţi din banda d vibraţi sunt: 874, 96, 4 şi 44 cm. S şti că acst linii corspund tranziţiilor J ± şi v v. Frcvnţa d vibraţi a molculi corspund numărului d undă ~ 48.5 cm. S prsupun acaşi constantă d rotaţi pntru toat nivll. Rzolvar umrl d undă corspund tranziţiilor ilustrat mai jos: B4 cm B cm B r 8π c r 8π c B r.9å Linia st absntă datorită rgulii J. ~ 958 Dar adică: c cm ~ ω( ω( 8
29 c ~ ω( ω ~ πc c ~ c ( - ~ ( ~.8 PROBLMA 7 Pntru molcula d idrogn să s calculz: a amplitudina clasică d vibraţi corspunzătoar stării cu v; b valoara pătratică mdi a longaţii în stara fundamntală car st Rzolvar dscrisă d fubcţia d undă Ψ( rdusă iar ω frcvnţa d vibraţi., und α ω /, fiind masa / α a Din galitata nrgii oscilatorului armonic cu nrgia stării fundamntal obţinm: ka ω k5 /m ω A k k A.6 Å b Trbui calculată valoara:. Ψ( Ψ ( d ( / Ψ ( α Constanta d normar a funcţii d undă s obţin din condiţia: Ψ adică: Rzultă: Obsrvaţi: Intgrala: α α d ( d ( 9
30 p d π p (* d π p d 4 π p (** Rvnind la cuaţia (: Aşadar, rvnind la (: Folosind (** avm: adică: şi α (4 π π α Ψ d ( α π 4 π α α α 6 ω ω k k d.89å
Teorema Rezidurilor şi Bucuria Integralelor Reale
Torma Ridurilor şi Bucuria Intgrallor Ral Prntar d Alandru Ngrscu Intgral cu funcţii raţional c dpind d sin t şi cos t u notaţia it, avm: cos t ( + sin t ( i dt d i, iar intgrara s va fac d-a lungul crcului
Eşantionarea semnalelor
Eşantionara smnallor Eşantionara = prlvara d prob dintr-un smnal la momnt d timp dcalat intr l cu cu frcvnta d şantionar, f =/. xˆ t x k t k k = ( = δ ( Smnalul şantionat idal:. Spctrul Xˆ = X ( k k =
2.CARACTERIZAREA GENERALĂ A RADIOACTIVITǍŢII
2.CARACTERIZAREA GEERALĂ A RADIOACTIVITǍŢII Radioactivitat -fnomnul d misi d radiaţii d cătr unl substanţ numit substanţ radioactiv. Procsul constă în misia a tri tipuri d radiaţii: α, β şi γ, priml două
Modele matematice pentru îmbunătăţirea calităţii sistemelor electrice
Modl matmatic pntru îmbunătăţira calităţii sistmlor lctric Lct.univ.dr.ing. Ghorgh RAŢIU. Introducr Ţinând sama d tndinţl modrn al proictării sistmlor lctric (chipamntlor lctric) d înlocuir a uni proictări
Lucian Maticiuc. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 9.
Capitolul V: Şiruri şi srii d fucţii. Lct. dr. Lucia Maticiuc Facultata d Hidrothică, Godzi şi Igiria Mdiului Matmatici Suprioar, Smstrul I, Lctor dr. Lucia MATICIUC SEMINAR 9. Cap. V Şiruri şi srii d
Complemente teoretice. Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D; DefiniŃii ale limitei DefiniŃia 1.1.
Analiza matmatică clasa axi-a, problm rzolvat Complmnt tortic Limit d funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct d acumular a lui D; DfiniŃii al limiti DfiniŃia lim f = l, l R, dacă pntru oric vcinătat V
2.CARACTERIZAREA GENERALĂ A RADIOACTIVITǍŢII
2.CRCTERIZRE GEERLĂ RDIOCTIVITǍŢII Radioactivitat -fnomnul d misi d radiaţii d cătr unl substanţ numit substanţ radioactiv. Procsul constă în misia a tri tipuri d radiaţii: α, β şi γ, priml două fiind
Capitolul I ECUAŢII DIFERENŢIALE. 1 Matematici speciale. Probleme. 1. Să de integreze ecuaţia diferenţială de ordinul întâi liniară
Mamaici spcial Problm c solţia apioll I EUAŢII DIFERENŢIALE Să d ingrz caţia difrnţială d ordinl înâi liniară g cos d Solţi: Ecaţia omognă aaşaă s: - g sa g d ln - ln cos ln sa Pnr rzolvara caţii cos nomogn
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
6.4.Convecţia. unde T s -temperatura termodinamică a suprafeţei corpului solid, -temperatura termodinamică medie a fluidului, 6.
Trmothnică 77 6..Convcţia Convcţia căldurii st fnomnul lmntar d transfr trmic car s manifstă în mdii fluid şi la supafaţa d sparaţi a fazlor. Est caractristică mdiilor în mişcar, căldura fiind transportată
5.7 Modulaţia cu diviziune în frecvenţă ortogonală
5.7 Modulaţia cu diviziun în frcvnţă ortogonală Transmisiuna datlor cu dbit mar prin modulaţia multinivl a unui purtător, p un canal cu distorsiuni d amplitudin şi d fază, st afctată d intrfrnţa simbolurilor.
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Fizica Plasmei şi Aplicaţii Probleme
Fizica Plasmi şi Aplicaţii Problm. Exprimaţi valoara prsiunii atmosfric în difrit unităţi d măsură (N/m, Torr, mm Hg, atm) şi stabiliţi rlaţiil dintr l?. Calculaţi dnsitata unui gaz idal (în m - ) în următoarl
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
FIZICĂ. Oscilatorul amortizat si oscilatorul fortat. ş.l. dr. Marius COSTACHE
FIZICĂ Oscilarul amriza si scilarul fra ş.l. dr. Marius COSACHE 3.4 Mişcara scilari amrizaă Oscilarii rali frţ d frcar > amliudina scilaţiilr scad în im Oscilar rsr k, PM d masă m şi frţă d frcar F f rrţinală
Sistem analogic. Sisteme
Sistm Smnall pot fi supus prlucrarii in scopul obtinrii unor alt smnal, sau al obtinrii unor paramtri ai acstora. Prlucraril s aplica unui smnal intrar x(t) si s obtin un alt smnal, isir, y(t). Moulara/moulara,
Mircea Radeş. Vibraţii mecanice. Editura Printech
Mirca Radş Vibraţii mcanic Editura Printch Prfaţă Lucrara s bazază p cursuril d Vibraţii mcanic prdat la Univrsitata Polithnica Bucurşti, la facultata I.M.S.T. (97-6), la cursul postunivrsitar d Vibraţii
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
TERMOSTAT ELECTRONIC DIODA SENZOR
EPSCOM Rady Prototyping Colccţ ţia Hom Automation EP 0261... Cuprin Przntar Proict Fişa d Aamblar 1. Funcţionar 2 2. Schma 2 3. PCB 3 4. Lita d componnt 3 5. Tutorial dioda miconductoar 4 5 Rgimul trmic
METODE DE DIAGNOSTICARE A PLASMEI
S.D.Anghl Fizica lasmi şi alicaţii Caitolul VIII METODE DE DIAGNOSTICARE A PLASMEI Duă cum ris chiar din dfiniţia stării d lasmă, a st un mdiu foart comlx, cu mult grad d librtat ntru comonntl i şi cu
LEGI CLASICE DE PROBABILITATE
7. LEGI CLASICE DE PROBABILITATE Fi (Ω, K, P u câmp d probabilitat şi f : Ω R, o variabilă alatoar. Am văzut că varibili f i s poat asocia o fucţi d rpartiţi F, cotiuă la stâga şi o fucţi caractristică
5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
I 1 I 2 V I [Z] V 1 V 2. Z11 impedanta de intrare cu iesirea in gol 2 I 1 I 21 I
![I 1 I 2 V I [Z] V 1 V 2. Z11 impedanta de intrare cu iesirea in gol 2 I 1 I 21 I](/thumbs/80/82406840.jpg "I 1 I 2 V I [Z] V 1 V 2. Z11 impedanta de intrare cu iesirea in gol 2 I 1 I 21 I")
urs 5 4/5 ar ca scop sparara unui circuit complx in blocuri individual acsta s analiaa sparat (dcuplat d rstul circuitului) si s caractriaa doar prin intrmdiul porturilor (cuti nagra) analia la nivl
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Capitolul III CIRCUITE DE MULTIPLEXARE ŞI EŞANTIONARE-MEMORARE
II.4. CIRCUITE DE CALCUL ANALOGIC Capitolul III CIRCUITE DE MULTIPLEXARE ŞI EŞANTIONAREMEMORARE III.1. CIRCUITE DE MULTIPLEXARE III.1.1. GENERALITĂŢI Un multiplxor analogic (MUX) st un bloc funcţional
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Transformari de imagini - probleme rezolvate - I. Transformari sinusoidale transformata Fourier:
ransormari d imagini - problm rzolvat - I ransormari sinusoidal transormata ourir: i următorul bloc d pixli dintr-o imagin digitală: 7 7 7 7 a) Dducţi matrica transormati ourir, [ ], ncsară transormării
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
L4. Măsurarea rezistenţelor prin metoda de punte
L4. Măsurara rzistnţlor prin mtoda d punt. Obictul lucrării În prima part a lucrării s utilizază punta simplă (Whatston) ca mtodă d prcizi ridicată, pntru măsurara rzistnţlor cuprins într 0-0 0 Ω, ralizându-s
Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg
Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
DETERMINAREA CONSTANTEI PLANCK DIN STUDIUL EFECTULUI FOTOELECTRIC EXTERN
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICĂ ATOMICĂ ŞI FIZICĂ NUCLEARĂ BN-031A DETERMINAREA CONSTANTEI PLANCK DIN STUDIUL EFECTULUI FOTOELECTRIC EXTERN DETERMINAREA
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Lucrarea de laborator nr. 2 VERIFICARILE METROLOGICE ALE MIJLOACELOR DE MASURARE
Lucrara d laborator nr. 2 VERIFICARILE METROLOGICE ALE MIJLOACELOR DE MASRARE 1. SCOPL LCRARII Scopul lucrarii îl rprzinta: cunoastra principallor mtod d vrificar mtrologica a unor mijloac d masurar, analogic
lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
CURS 10 ANALIZA PERFORMANŢELOR PE BAZA CONTULUI DE PROFIT ŞI PIERDERE
CURS ANALIZA PERFORMANŢELOR PE BAZA CONTULUI DE PROFIT ŞI PIERDERE Obictiv: însuşira concptului d cont d profit şi pirdr; însuşira concptului d rntabilitat; dtrminara soldurilor intrmdiar d gstiun; stabilira
8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU. Soluţii, indicaţii, schiţe de rezolvare
FZCA CAPTOLL: LCTCTAT CNT CONTN Souţii, indicţii, schiţ d rzovr. răspuns corct c;. răspuns corct d; 3. răspuns corct b; 4. răspuns corct ; 5. răspuns corct c ( t nrgi ctrică) ; 6. răspuns corct ( putr
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
PLASMA ŞI PARAMETRII EI
S.D.Anghl Fizica plasmi şi aplicaţii Capitlul I PLASMA ŞI PARAMETRII EI 1.1 C st stara d plasmă? Pntru că dfiniţi a acsti nţiuni nu st tcmai uşr d frmulat, vm da la încput câtva xmpl d stări al matrii
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Algebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
7. INTEGRALA IMPROPRIE. arcsin x. cos xdx
7 INTEGRALA IMPROPRIE 7 Erciţii rzolv Erciţiul 7 Să s sudiz nur urăorlor ingrl irorii şi să s drin vloril csor în cz d convrgnţă: d c sin d 3 / rcsin d cos d d sin d > R Soluţii Funcţi f : - R f s ingrilă
FIZICĂ. Bazele fizice ale mecanicii cuantice. ş.l. dr. Marius COSTACHE
FIZICĂ Bazele fizice ale mecanicii cuantice ş.l. d. Maius COSTACHE 1 BAZELE FIZICII CUANTICE Mecanica cuantică (Fizica cuantică) studiază legile de mişcae ale micoaticulelo (e -, +,...) şi ale sistemelo
4.6. Caracteristicile motoarelor de curent continuu
Maşia lctrică d curt cotiuu 8D 017 4.6. Caractristicil motoarlor d curt cotiuu Pricipall caractristici al motoarlor d curt cotiuu sut: caractristica mcaică = ( M ) caractristica curtului = ( I i ) caractristica
SERII RADIOACTIVE. CINETICA DEZINTEGRĂRILOR Serie radioactivă- ansamblu de elemente radioactive care derivă unele din altele prin dezintegrări α şi β
SERII RDIOTIVE. IETI DEZITEGRĂRILOR Sr radoacvă- ansamblu d lmn radoacv car drvă unl dn all prn dzngrăr α ş β ca rzula al lg ransmuaţ radoacv -prn dzngrar α, numărul d masă scad cu 4 unăţ ş numărul aomc
7. CONVOLUŢIA SEMNALELOR ANALOGICE
7. CONVOLUŢIA SEMNALELOR ANALOGICE S numş funcţi (prous) convoluţi în imp smnllor şi ingrl: f ( ) Noţi conscră prousului convoluţi în imp s urmăor: no Convoluţi unui smnl cu (7.) (7.) δ su u conuc l rzul
Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος
- Επίδειξη Συμφωνίας În linii mari sunt de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Cineva este de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου D'une façon générale,
z a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )
Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am
CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
2. JONCŢIUNEA pn. Fig. 2.1 Joncţiunea pn
JOCŢUE pn ntroducr Joncţiuna pn st rgiuna din vcinătata suprafţi d contact dintr două smiconductoar cu tip d conducţi difrit, una d tip p şi ata d tip n Linia d dmarcaţi dintr c două rgiuni s numşt joncţiun
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului