Esantionarea semnalelor

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Esantionarea semnalelor"

Μόνιμος Μακρής
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Esantionaa smnallo Distizaa vaiatii in timp a smnalului. oma santionaii Esantionaa idala 1 u () t σ t+ σ t xtu t x u t () () ( 0) () () ( ) ( ) ( ) xtu t x u t () ( ) ( ) ( ) () δ() x t u t x u t lim u t t 0 ( ) δ( ) δ () 0 ; xt () xt () δ () t x ( ) δ( t ) lim u t t t 1

2 () () () ( ) ( ) x t x t t x t δ δ Sptul smnalului santionat idal () ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) π π δ π δ π π δ π π δ π δ ^ X X X t t x X t F ;

3 ^ X 1 ( ) π X Eoaa d ali. oma santionaii smnallo d banda limitata > () 0 H Nu apa ali. 3

4 4 ( ) ( ) () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () a.p.t, 1 0 t x t x, X p X H Xˆ X t h t xˆ t x,, p H > Apa alia. <

5 H x ( ) p ( ) h ( t) () t h () t xˆ () t x( ) δ( t ) x ( ) δ( t ) x( ) dvin: x x ( ) ( t ) ( t ) () t x( ) sin t πt sin sint πt sin t πt sin Fvnta d santiona minima st santionaii la fvnta ( t ) ( t ) sin π ( t ) ( t ) dnumia d fvnta d santiona Nyquist. In azul Nyquist fomula d onstuti si poata x oma WKS (Whitta, Kotlniov, Shannon) x() t st d banda limitata la,in snsul a X ( ) >, atuni x() t st uni dtminatd multima { x( n ) n Z}, daa, Daa smnalul pntu sal putin dublulfvntimaxim.in onditiild mai sus smnalulinitial x () t x( ) sin s poat onstitui din santioanl sal,a.p.t pin latia: ( t ) ( t ) u onditia a sa fi astflals inat sa satisfaa latia: 0 santioanlo adia fvntad santiona st l () t. 5

6 Ronstutia pin filta tjos idala ( ) ( t ) ( ) ( n ) sin t x() t x( ) sin n x( n) x( ) π sin π( n ) x( n) x( ) π( n ) x( ) δ n, x( n) 1, n δ n, 0, n Ronstutia pin intpola H sin ( ) 6

7 Ronstutia pin xtapola d odinul zo h() t p t j sin j sin j sin H ( ) sin π jπ π Sptul smnalului onstuit: ( ) sinπ 1 jπ X X( ) H( ) X ( ) π sinπ jπ X ( ) π Eoaa sad daa. 7

8 Esantionaa idala a smnallo piodi π N ; ; ( ) Pntu a sa nu apaa supapuna lobilo ntali st nsa a: ( ) ( ) si N < N N Difnta dint N N tbui sa fi d foma: N N R sau ( N + R) 0 adia ( ) 0 0 0, R1,,... N + R + R ; R1,, , H p N 0, > Pntu a vita apaitia oilo d ali st nsa a: ( ) ( ) ; N 0 < < 0 N > N sau > N Sp dosbi d smnall apiodi und pntu smnall piodi tbui sa santionam astfl inat > P pioada li mai apid omponnt sptal. tbui sa plvam mai mult d doua santioan (adia l putin 3)., 8

9 Daa 0 st pioada fundamntali si daa santionaa s π π fa onfom latii ( N + R) 0 atuni ( N + R) ; 0 0 R1,,...sau N + R Doa N+R santioan pot fi distint a uma a piodiitatii smnalului supus santionaii. oat pot fi plvat int-o singua pioada a fundamntali. 0 Alasi zultat s poat obtin si pluand santioan susiv din pioad susiv. ( ) ( + ) ( + ) x x x ' N + R Aasta posibilitat st valoifiata in onstutia osilosoaplo u santiona. 9

http://www.jhu.du/~signals/sampling/indx.

() ( ) W x t dt x Pntu smnal piodi santionat st valabila latia d tip Pasval: 1 1

10 0 Rlatii ngti Pntu smnal apiodi santionat st advaata latia d tip Rayligh: () ( ) W x t dt x Pntu smnal piodi santionat st valabila latia d tip Pasval: () ( ) P x t dt x 1 0 ; N+R, R1,,... Engia sau puta pot fi alulat fi din foma d vaiati in timp fi in domniul fvnta. 10

11 Esantionaa u mmoa xt () xt () δ () t ht () xt () ht () t t t t j sin j sin t ht () p t t t t Sptul smnalului santionat u mmoa t t 1 j sin t t t j sin ( ) t X X ( ) t t sin π t X( ) t π X( ) t X ( ) 11

12 Pntu a limita oil aftaza lobul sptal ntal st nsa sa avm: π t a implia sutaa duati t a impulsuilo. Ronstutia pin xtapola d odinul zo st un az patiula PA u t. Esantionaa natuala x () t x() t q () t x() t h() t δ () t x() t x() t h( t ) x() t h( t ) t und ht p t H () ( ) t j t t sin 1

13 Sptul smnalului santionat natual t t 1 j sin ( ) { () () ()} ( ) π X F x t h t t δ ( ) X t δ t π t t j sin ( ) t X δ( ) t t t j sin t X( ) t Lobii sptali obtinuti in uma santionaii natual nu sunt dfomati a in azul santionaii u mmoa. Lobul ntal st asmanato u l obtinut la santionaa idala. Filtand t jos u si o amplifia / t, s poat upa () smnalul initial, xt. H, t 0, ( ) > 13

14 S sti a Rlatia dint sptul unui smnal dist si sptul smnalului analogi din a povin 1 X( ) Xa( ) st sptul smnalului santionat idal. ( ) s poat alula si pin apliaa dita a tansfomati Foui smnalului () X x t. X ( ) F xa( t) δ( t ) F xa( ) δ( t ) ( ) F { ( )} ( ) x δ t x a a j S-au obtinut xpsii hivalnt pntu sptul 1 X X x ( ) a( ) a( ) Sptul smnalului dist obtinut in uma santionaii : S obsva a: jω jω d ( Ω ) d[ ] a( ) X x x x a si di : ( ) x ( ) j 1 1 Ω π Xd ( Ω ) Xa( ) Ω Xa adia : j jω Ω a 1 Ω π Xd ( Ω ) Xa 14

15 Int l doua ax d fvnta ospunzatoa sptului smnalului analogi santionat sptiv sptului smnalului dist xista latia: Ω. S xplia aum si natua piodia a sptului π smnalului dist X d ( Ω). Int Ω si xista latia: Ω ;. Esantionaa smnallo dist In pluaa numia a smnallo apa situatii in a, ultio ahizitionaii santioanlo, s onstata a fvnta d santiona a fost pa ma. In astfl d situatii, and nu s mai poat santiona smnalul analogi, st posibila santionaa smnalului numi, tinandu-s tot a N-a valoa. Fi: N [ n] [ n-n] δ δ [ ] Smnalul dist santionat, x n, s obtin pin podusul: xn [ ] xn [ ] δ N [ n] xn [ ] δ[ n N] [ ] [ ] xnδ n N. 15

16 N3. π δn[ n] ΩδΩ ( Ω ) Ω ( ) δ Ω Ω, Ω. N 1 π π X Ω F xnδ n X Ω δ Ω Ω ; Ω. π N N ( ) { [ ] N[ ]} ( ) ( ) Pntu alulul onvolutii iula s ug la stitionaa la pioada pinipala a lo doi tmni, la alulul onvolutii niula si la plungia pin piodiitat a zultatului obtinut. X ( ) X( ) ( ) X( ) N 1 N π Ω Ω δ Ω Ω Ω Ω, Ω N N N 0 0 N3. 16

17 Cum Ω, und st fvnta maxima din [ ] sptul smnalului analogi din a povin xn, ia pasul u a ast smnal analogi a fost santionat, zulta: π π N ; ' ; ' N S-a fi sptat toma WKS hia daa smnalul () a fi fost santionat u pasul Daa xt '. Ω Ω <Ω apa supapuna lobilo sptali vini, adia oi d tip "alias". Ronstuia smnalului dist din santioanl sal H N, Ω π Ω Ω Ω Ω Ω Ω 0, in st ( ). 17

18 Raspunsul la impuls al filtului d onstuti st: h [ n] sin nω Ω π ; Ω. nω N [ ] [ ] [ ] [ ] x n x n h n x n [ ] [ ] [ ] xn xh n x [ ] Nm xnm [ ] xnm [ ] Da 0 pntu si si di π [ ] sin n πm N xn xnmh [ ] [ n Nm] xnm [ ] π m m n π m N Esantionaa si dimaa unui smnal dist Int doua valoi nnul si onsutiv al unui smnal santionat sunt intalat N 1 valoi nul. Pin omita astoa s obtin un nou D [ ] smnal, numit dimatul smnalului santionat, a s va nota u x n. Din smnalul dimat s poat onstui smnalul ndimat pin simpla insa a at N 1 zoui int doua valoi onsutiv. ( ) D [ ] n { } [ ] X Ω x n x n F D D n jωn Ω j m jωn xnn [ ] xm [ ] N Ω X. N m 18

19 inand sama d faptul a sptul smnalului santionat pzinta plungia pin piodiitat a sptului smnalului d santionat, latia ( ) Ω X D Ω X N s mai si: X D ( ) N 1 1 Ω π Ω X. In onsinta X D ( Ω π ) N N 0 N l 1 Ω ( + 1) π 1 Ω lπ Ω Ω X X. Da X X π N N N N N N 0 l 1 N a uma a piodiitatii u π a tansfomati Foui in timp dist. In onsinta N 1 1 Ω lπ suma din mmbul dpt poat fi sisa sub foma X, a pzinta N N l 0 D( Ω) D( Ω π ) D( Ω) tomai X. Asada, s-a dmonstat a: X X, sptul smnalului santionat si dimat st o funti piodia d pioada π. Pntu 0 s obtin 1 Ω Ω lobul ntal, X a s anulaza pntu Ω. Intinda lobilo sptali N N N X D ( ) N [ ] ai lui st d oi mai ma dat intinda lobilo sptali ai smnalului x n. 19

20 N. Esantionaa sptului unui smnal dist d duata finita [ ] ( Ω) X ( ), pin inmulti u ( ). X( ) X( ) ( ) Fi xn un smnal apiodi in timp dist u sptul X. S santionaza idal sptul Ω δ Ω Ω Ω δ Ω ( ) ( ) ( ) ( ) Da N[ ] Ω ( ) X Ω δω Ω X Ω δω Ω. δ n Ωδ Ω Ω δ Ω ( Ω Ω ) Ω δ [ ] δ ( Ω) { Ω } ( ) [ ] ( ) ( ) π 1 ;, d und N n Ω. D aa N Ω { } ( ) { Ω } [ ] N [ ] xn F X Ω δ Ω F X Ω F δ Ω xn δ n Ω N sau xn [ ] xn [ N], smnalul xn [ ] pzinta plungia pin piodiitat a π smnalului xn. [ ] Pntu a smnalu l xn [ ] sa poata fi upat din smnalul xn [ ] st n sa a supotul sau sa fi maginit. Ω 0

21 [ ] Fi xn u supotul 0 n 1. In uma santionaii sptului astui smnal s obtin π smnalul xn [ ] piodi d pioada N. Daa N nu s podu supapuna Ω gupuilo tmpoal ospunzatoa divslo valoi. 1

22 π, 0 n N 1 Pin multipliaa smnalului xn [ ] u fasta tmpoala tangulaa w [ n] N 0, in st [ ], idnti u smnalul [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] s obtin smnalul onstuit x n x n : x n x n x n w n. ( ) Daa sptul X Ω s santionaza pa a, < N, apa supapuna gupuilo tmpoal, adia oi d tip "alias". Smnalul xn fi onstuit din sptul santionat. [ ] nu mai poat

23 asui pati la santionaa smnallo analogi D obii nu s unoast lagima d banda a smnalului umaza a fi santionat. Asta poat ava omponnt sptal d fvnta ma, nintsant in apliatia onsidata. Asta pot fi d xmplu auzat d zgomotul insotst smnalul util. Exista di isul apaitii oilo d tip "alias". Pntu vitaa lo s pvd in stutua lantului d plua a smnalului, inainta iuitului d santiona, un filtu t jos numit filtu "anti-alias" sau filtu d gada. Esantionaa tbui fauta u o fvnta d l putin oi mai ma dat fvnta d opi s s. D asmna tbui sa avm p. Di: p <s. Cu at banda d tanziti s p st mai ma, u atat fvnta d santiona tbui sa fi mai ma dat fvnta Nyquist. 3

Banda d tanziti mai ma odin d filtu mai dus, mai putin lmnt onstutiv, mai iftin. Cu sada lui ε sad oil d tip "alias" da s si di si s. Sistm d tlfoni numia - f 3, 4 KHz, f 8 KHz.

24 Banda d tanziti mai ma odin d filtu mai dus, mai putin lmnt onstutiv, mai iftin. Cu sada lui ε sad oil d tip "alias" da s si di si s. Sistm d tlfoni numia - f 3, 4 KHz, f 8 KHz. Sistm d tlviziun - f 5 Hz, f 18 Hz. Esantionaa smnallo t banda Smnal d tip "t jos" - sptul onntat in bnzi a inlud fvnta nula. Smnal d tip "t banda" - au supotul sptului d foma [, m] [ m, ]. Ronstutia pfta a unui smnal t banda santionat idal s poat aliza p baza tomi WKS,. Unoi smnall t banda pot fi onstuit din santioanl lo hia daa s-a folosit o fvnta d santiona mai mia dat fvnta Nyquist. 4

25 Cazul smnallo t banda d banda ingusta m < 1. m Supotul sptului unui smnal t banda d banda ingusta santionat idal st d foma: supp X n, n n, n. { } { ( )} [ + + ] [ + + ] m m n Z Smnalul t banda d banda ingusta poat fi onstuit pft din santioanl sal hia daa a fost folosita o fvnta d santiona mai mia dat fvnta Nyquist. Conditia d onstuti pfta st: [ +, m + ] [ m + l, + l ],, l Z. Pntu 0 onditia dvin [ ] [ ] l, +, +, Z. m m adia: - + m m sau. + ( + 1) + 1 Daa xista valoi intgi, pntu a aasta onditi st satisfauta, atuni xista valoi al fvnti d santiona infioa fvnti Nyquist pntu a smnall t banda d banda ingusta pot fi onstuit in uma santionaii idal. 5

26 Solutia din multima numlo intgi a dubli inuatii m obtinut st: 0 <. Notand u n0 pata intaga ( ) a fatii / m m m, zulta a fvnta d santiona m va apatin uno intval d foma, u { 1,...,n 0 }. 1 + Exmplu m m 8 π si 10 π. Valoaa fatoului n 0 st 4. Valoil admisibil pntu sunt 1,, 3 si 4. Asto valoi l ospund umatoal domnii pntu fvnta d santiona: { 4π} [ 5 π, 5,33π] [ 6 66 π, 8π] [ 10 π, 16π] [ 0 π, ],. m 6

Σχετικά έγγραφα

Eşantionarea semnalelor

Eşantionarea semnalelor Eşantionara smnallor Eşantionara = prlvara d prob dintr-un smnal la momnt d timp dcalat intr l cu cu frcvnta d şantionar, f =/. xˆ t x k t k k = ( = δ ( Smnalul şantionat idal:. Spctrul Xˆ = X ( k k =