Calcul Simbolic Aplicat

Transcript

1 Calcul Simbolic Aplicat Lucrari de laborator pentru disciplina Dispozitive si Circuite Electronice

2

3 Calcul Simbolic Aplicat Lucrari de laborator pentru disciplina Dispozitive si Circuite Electronice Analiza circuitelor cu tranzistor bipolar Modele pentru tranzistor bipolar Etaj de amplificare elementar cu TB in conexiune emitor comun Etaj de amplificare elementar cu TB in conexiune colector comun [ModeleBJT] [TB-EC] [TB-CC] Analiza circuitelor cu amplificator operational Modele pentru amplificatorul operational Topologi elementare pentru AO in functionare liniara: Topologie inversoare Topologie neinversoare Topologie diferentiala Trigger Schmitt cu AO Circuit activ de ordin I integrator Circuit activ de ordin I derivator Analiza circuitelor cu reactie Reactie in circuite electronice Topologii de reactie Oscilatoare armonice. Criteriul Barkhausen Oscilatoare armonice cu retea Wien Retea Wien Circuit rezonant LC LC paralel LC serie Descrierea pachetului Syrup Help Syrup [ModeleAO] [LiniarAO] [Trigger Schmitt] [IntegratorAO] [DerivatorAO] [ReactieI] [Barkhausen] [Barkhausen] [FTBII] [Syrup]

4

5 Modele pentru tranzistor bipolar Circuitul echivalent natural p - hibrid (Giacoletto)... Modele Syrup pentru tranzistor bipolar...2 Circuitul echivalent natural p - hibrid (Giacoletto) Este cel mai utilizat circuit echivalent de semnal mic, valabil in toate conexiunile in care poate functiona tranzistorul bipolar. Acest circuit are avantajul ca elementele sale au semnificatii fizice clare, nu depind de frecventa si pot fi determinate usor experimental. Fig.. Modelul de semnal mic natural π - hibrid al tranzistorului bipolar Parametrii principali ai circuitului π - hibrid sunt:. Transconductanta (panta): di I C C gm = = dube UT La temperatura normala de functionare (t=25 0 )se utilizeaza frecvent relatia: ( ) g 40 I ma/ V daca curentul de colector se exprima în ma. 2. Rezistenta de intrare: 3. Rezistenta de iesire: r m du în care U A este tensiunea Early. 4. Rezistenta de reactie (colector-baza): C du di β BE BE C π = = i = dib dic dib gm r r du CE 0 = dic U CE CE C µ = = i = β I C du du di di di di A B C B Nu s-au mai dat expresiile dependentei capacitatilor C π si C µ de punctul static de functionare. r 0 ModeleBJT -

6 Modele pentru tranzistor bipolar Modele Syrup pentru tranzistor bipolar > restart: > with(syrup): > BJTheader:= "Libraria de modele utilizate pentru analiza simbolica a unor * circuite Toate modelele vor avea urmatoarele notatii pentru * terminale (conectori): c (colector), b (baza), e (emitor) *Ordinea conectorilor este aceeasi in toate modelele: c b e *Modelul de curent continuu al tranzistorului npn.subckt npn_dc_generic_model c b e Vbe b e Vd Ic e c -beta[dc]*i[vbe].ends *Modelul de curent continuu al tranzistorului pnp.subckt pnp_dc_generic_model c b e Vbe b e -Vd Ic e c -beta[dc]*i[vbe].ends *Modelul pi-hibrid complet.subckt ac_generic_model c b e rx b bprim rx rpi bprim e rpi cpi bprim e cpi rmiu bprim c rmiu cmiu bprim c cmiu gm c e bprim e gm ro c e ro.ends *Modelul pi-hibrid simplificat cu sursa de tip VCCS.subckt pihs_vc_generic c b e rx b bprim rx rpi bprim e rpi gm c e bprim e gm.ends *Modelul pi-hibrid simplificat cu sursa de tip CCCS.subckt pihs_cc_generic c b e rx b bprim rx rpi bprim e rpi ic c e i[rpi]*beta[ac].ends ": > `syrup/lib/bjt`:=makeckttable(bjt): > save `syrup/lib/bjt`,"c:/maple/r6/mylib/syrup/lib/bjt.m"; ModeleBJT - 2

7 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune emitor comun Circuitul echivalent natural π - hibrid (Giacoletto)... Etaj de polarizare cu TB in conexiune emitor comun...2 Analiza de punct static de functionare...2 Raspunsul circuitului la frecvente medii...3 Raspunsul circuitului la frecvente joase...4 Raspunsul circuitului la înalta frecventa...6 Simulare SPICE...7 Punctul static de functionare (PSF) si parametrii de model pentru tranzistor:...7 Diagramele Bode de modul si faza...8 Calcul simbolic...8 PSF...8 Analiza la semnal mic...9 Aproximarea in banda...0 Aproximarea la joasa frecventa...0 Aproximarea la frecventa inalta... Circuitul echivalent natural p - hibrid (Giacoletto) Fig.. Modelul de semnal mic natural π - hibrid al tranzistorului bipolar Este cel mai utilizat circuit echivalent de semnal mic, valabil in toate conexiunile in care poate functiona tranzistorul bipolar. Elementele sale au semnificatii fizice clare, nu depind de frecventa si pot fi determinate usor experimental. Parametrii principali ai circuitului π - hibrid sunt:. Transconductanta (panta): IC gm = UT 40 IC ( ma/ V), cu IC[ ma ]. 2. Rezistenta de intrare: β rπ = gm 3. Rezistenta de iesire: U A r0 în care U A este tensiunea Early. I 4. Rezistenta de reactie (colector-baza): rµ = β r0 C TB EC -

8 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune emitor comun Etaj de polarizare cu TB in conexiune emitor comun In schema din Fig.2 se prezinta amplificatorul în conexiune emitor comun, atacat de o sursa de semnal Vg cu rezistenta interna Rg si lucrând pe o sarcina rezistiva R s cuplata prin condensatorul de cuplaj C S. Rb Rc Cs Ec Vg Rg Cb Q Rs Rb2 Re Ce Fig. 2. Etaj de amplificare în conexiune emitor comun Analiza de punct static de functionare Rc Ec Se calculeaza sursa echivalenta de tensiune si rezistenta echivalenta în baza tranzistorului: RB2 RBRB2 EB = EC, RB = I. RB+ RB2 RB+ RB2 Curentul de colector se poate scrie: I = βi + β + I I. 2 TB EC - 2 ( ) 0 C B CB Pe circuitul de intrare aplicam K II: Eliminând variabila colector: ( ) ( ) ( β ) E = V + RI + R I + I = V + R + + R I I. 3 B BE B B E C B BE B E B I C I B între ecuatiile de mai sus, se obtine expresia exacta a curentului de ( ) ( ) + ( + ) + ( + ) R + ( β + ) R β E V β R β R I = B BE B E CB0 B Termenul in ICB este neglijabil la temperaturi normale, mai ales la tranzistoare cu siliciu, astfel 0 încât se poate aproxima: β ( E V B BE ) I. 5 IC RB + ( β + ) RE Tensiunea colector-emitor rezulta din relatia: V = E RI RI E R + R I E ( ) CE C C C E E C C E C Eb Rb I. 4 I. 6 Q Re

9 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune emitor comun Relatiile se pot utiliza pentru determinarea rapida a punctului static de functionare (PSF). Rezistenta din emitor RE are un rol important în stabilizarea PSF la variatiile temperaturii (a mediului ambiant si datorate încalzirii dispozitivului în cursul functionarii), actionând printr-un mecanism de reactie negativa serie în curent continuu. De asemenea, R reduce deplasarea PSF proiectat datorata dispersiei tehnologice a dispozitivului activ (parametrii β, I CB ) si a 0 tolerantelor elementelor pasive (rezistentele de polarizare). Astfel, R E are în general un efect de desensibilizare a PSF. Pentru aceasta, la proiectare trebuiesc îndeplinite conditiile: ( β + ) RE RB, RI E C VBE Cunoscând valoarea lui I C, se pot calcula parametrii circuitului de semnal mic g,, m rπ r0 cu relatiile descrise în breviarul teoretic. Exemplu de calcul: Se considera urmatoarele valori ale elementelor schemei: R = 36 kω ; R = 5 kω ; R = 2 kω ; R = 2 kω ; R = 2 kω ; B B2 E C S C = C = 5 µ F; C = 00 µ F; E = 0 V; B E S C Pentru tranzistorul Q se considera in calcule β = 00; VBE = 0.6V Se obtin urmatoarele valori de punct static de functionare: I =. ma; g = 44 ma/ V; r = 2.27 kω ; C m π E Raspunsul circuitului la frecvente medii Schema de semnal mic a întregului etaj de amplificare se prezinta în Fig.3. Condensatoarele de cuplaj-separare CB, C E si C s sunt considerate de reactanta neglijabila (scurtcircuit pe semnal) la frecventa de lucru. Modelul de semnal mic se considera simplificat, condensatoarele C π, C µ se considera de reactanta neglijabila iar r µ este. Rezistenta r 0 apare în paralel cu rezistentele si R iar r 0 R, R si atunci se poate neglija. S C S R C (b) r x (b') (c) 0 R g V g R B v i r pi g V m b'e R C R S v 0 Fig. 3. Schema de semnal mic a etajului în conexiune emitor comun aproximatala frecvente medii Se pot scrie relatiile: v0 = βib( RC RS ) I. 7 ( ) v = r + r i I. 8 i x π b Se obtine expresia amplificarii în mijlocul benzii (la frecvente medii) fata de intrare: v β ( R R o C S) Aui = = gm( RC RS) = gmrse vi ( rx+ r π ) si cu R ( R R ) = am notat (rezistenta echivalenta din colector pe semnal). se C S I. 9 TB EC - 3

10 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune emitor comun Daca etajul de amplificare lucreaza în gol ( Rs ), rezulta: A g R = I. 0 ui m C Rezistenta de intrare în tranzistor este: Rit = rx+ r π I. Rezistenta de intrare în etaj este: Ri = RB Rit = RB RB2 Rit = RB RB 2 ( rx+ r π ) I. 2 Amplificarea în tensiune fata de generator va fi: vo vi Ri Ri Aug = = Aui = Aui gmrse v v R + R R + R g g i g i g In cazul unei surse ideale de tensiune, R g = 0 si Aug = Aui. I. 3 Raspunsul circuitului la frecvente joase In Fig.4 se prezinta schema echivalenta de semnal la frecvente joase, în care apar si capacitatile de cuplaj-separare din circuit. Pentru modelul tranzistorului în semnal mic se neglijeaza reactantele C π, C µ si rezistentele r µ si r 0 au valori mari si pot fi neglijate. Z i Zo C B (b) r x (b') (c) r pi g V m b'e R g R v B i R C R S v 0 R E C E V g Pentru impedanta Fig. 4. Schema de semnal a etajului emitor comun la frecvente joase Z s se obtine expresia: ( + sc R ) ( ) RC S S ZS( s) = RC RS + = sc + sc R + R Impedanta grupului R C din emitor este: E E S S C S RE ZE( s) = RE = sce + srece Utilizând expresia de mai sus, rezulta impedanta de intrare i ( ) ( β ) ( ) i π x E ib Z i vazuta în baza tranzistorului: I. 4 I. 5 v Z s = = r + r + + Z s I. 6 Rezulta urmatoarea expresie: rπ + rx + β + RE + scere rπ + rx Zi ( s) = + scere sau în forma mai convenabila: ( ) ( ) I. 7 TB EC - 4

11 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune emitor comun ( π + ) ( β ) CERE r rx + s r π + r x+ + R E Zi( s) = ( rπ + rx + ( β + ) RE) i + scere Daca se definesc urmatoarele pulsatii caracteristice: r + r + ( β + ) R π x E ω = ; ω2 = ; ω3 = ; ω4 = CR C R + R r + r RC RC rezulta expresiile impedantelor ( ) ( ) S S S C S π x E E E E Z s si Z i în functie de pulsatiile ω, 2 s + ω ZS( s) = RC Z ( s) = rπ + r + ( β + ) R s + ω2 Tensiunile de la intrare si iesire se pot exprima: v = Z si s + ω s + ω ( ) 3 i x E i i( ) b ( ) ( ) v = Z si = Z s β i Amplificarea în tensiune fata de intrare este: v ( s) β Z o S ( s) Aui ( s) = = v s Z s o S C S b i ( ) i ( ) 4 ω, respectiv ω 3, ω 4: I. 8 I. 9 i I. 20 Utilizând relatia (27) si trecând la variabila pulsatie ω, se poate scrie sub forma: s s + + β RC ω ω4 Aui ( s) = i i I. 23 r rx ( ) R s s π + + β + E + + ω2 ω3 Daca se doreste exprimarea în functie de variabila complexa s, amplificarea ia forma: βrc ωω ( s+ ω )( s+ ω 2 3 4) I. 24 Aui ( s) = i i rπ + rx + ( β + ) RE ωω 4 ( s+ ω2)( s+ ω3) sau echivalent: β RR ( s+ ω C S )( s+ ω4) I. 25 Aui ( s) = i R + R r + r s+ ω s + ω ( )( ) C S π x ( )( ) 2 3 In expresia raspunsului în frecventa al etajului în conexiune emitor comun se pun în evidenta zerourile ω si ω 4 precum si polii ω 2, ω 3. Amplificarea în mijlocul benzii se poate obtine din relatia (30), daca se trece la limita pentru ω : β RR C S Auio = lim Aui( ω ) = gm( RC R I. 26 S) ω ( RC + RS)( rπ + rx) Aceasta coincide cu expresia amplificarii calculata de pe schema echivalenta în mijlocul benzii (la frecvente medii), în care condensatoarele sunt considerate scurtcircuite pe semnal la frecventa de lucru. Amplificarea la frecvente foarte joase si în curent continuu se obtine daca în expresia (29) se face trecerea la limita ω 0 : βrc RC Auio = Aui ( 0) = I. 27 rπ + rx + ( β + ) RE RE Amplificarea în curent continuu are aceeasi expresie cu cea a unui etaj cu sarcina distribuita (etaj în conexiune emitor comun, în care emitorul nu este decuplat la masa prin condensator). I. 2 I. 22 TB EC - 5

12 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune emitor comun Raspunsul circuitului la înalta frecventa Schema echivalenta a etajului emitor comun la frecvente înalte este data în Fig.5. In schema apar capacitatile interne C π si C µ precum si o capacitate la iesire C. r C (b) x (b') miu 2 (c) 3 o 0 R g V g R B C pi r pi g V m b'e r o C 0 R C R S v 0 Fig. 5. Schema de semnal mic a etajului emitor comun la frecvente înalte Capacitatea de la iesire Co cuprinde capacitatea parazita colector-emitor a tranzistorului, capacitatea de intrare a etajului urmator (a sarcinii) si alte capacitati parazite. Se poate înlocui portiunea de circuit de la intrare cu o sursa echivalenta de tensiune (Thèvenin) V si având rezistenta interna R. Se pot scrie relatiile: ' g V ' g g ' g RB = R + R B V ' g g B x g I. 28 R = R R + r I. 29 Putem scrie ecuatiile TTN cu numerotarea nodurilor din figura avem sistemul de ecuatii: (nodul) ( G + G + g ) V () s gv () s = GV g B x 0 x 20 g g (nodul2) gv () s + ( g + g + sc + sc ) V () s sc V () s = 0 x 0 x π π µ 20 µ 30 (nodul3) sc V () s + ( sc + g + sc + G + G ) V () s = gv () s µ 20 µ 0 0 C S 30 m 0 I. 30 (b) C miu (c) 2 R g R B C pi r pi g V m be r o 0 C R R v 0 C S 0 V g Fig. 6. Schema echivalenta simplificata la frecvente înalte Daca vom considera schema de semnal mic simplificata cu rx=0 si renumerotind nodurile avem: (nodul)( g + g + sc + sc ) V () s sc V () s = GV TB EC - 6 x π π µ 0 µ 20 g g (nodul2) scµ V0() s + ( scµ + g0 + sc0+ GC + GS) V20() s = gv m 0 () s Rezolvind sistemul obtinem amplificarea in raport cu sursa de semnal: V20() s gm + scµ Avg ( s) = = V0() s g0+ GC+ GS+ sc ( µ + C0) S-au pus in evidenta un pol si un zerou de pulsatie: gm go + GC+ GS ω5 = ; ω6 = Cµ Cµ + Co Cu aceste notatii formula amplificarii este: Cµ s+ ω5 Avg ( s) = C + Cs+ ω µ 0 6 I. 3 I. 32 I. 33 I. 34

13 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune emitor comun Daca vom aproxima formula amplificarii calculata la frecvente mica vom calcula amplificarea in banda: A = lim A ω = g R R I. 35 ( ) ( ) vgo vg m C S ω Daca vom aproxima formula amplificarii calculata la frecvente foarte inalta avem: C A = µ vg C + C µ 0 I. 36 Un calcul aproximativ se poate face folosind teorema Miller. Capacitatea de reactie interna a tranzistorului C µ se va reflecta la intrarea si la iesirea etajului prin doua capacitati echivalente: Marimea expresia: v ( ) Cei Av C µ = I. 37 Av Ceo = Cµ C I. 38 µ A v A din relatiile de mai sus este amplificarea în banda a etajului emitor comun, cu ( ) A = g R R = gr I. 39 ' v m C S m s Capacitatile echivalente totale de la intrare si iesire vor fi: ' C = C + C = C + + g R C ' o ( ) i π ei π m s µ C = C + C o µ I. 40 Simulare SPICE Schema de semnal mic valabila in toata gama de frecvente: r miu R C g B r C x miu C S () (2) (3) (b) (b') (b') (c) (5) (6) V g R B r pi C pi g V m b'e r o R C R S 0 0 (4)(e) 0 0 R E CE 0 0 Punctul static de functionare (PSF) si parametrii de model pentru tranzistor: MODEL IB IC VBE VBC VCE BETADC GM RPI BC07A 6.53E-06.0E E E E+00.68E E E+03 RX RO CBE CBC CJS BETAAC CBX/CBX2 FT/FT2 0.00E+00.E E- 2.62E E+00.92E E+00.6E+08 TB EC - 7

14 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune emitor comun Diagramele Bode de modul si faza mHz.0Hz 00Hz 0KHz.0MHz 00MHz 0GHz.0THz 00THz DB(V(Q3:c)/V(Q3:b)) Frequency 300d 200d 00d 0d 0mHz.0Hz 00Hz 0KHz.0MHz 00MHz 0GHz.0THz 00THz P(V(Q3:c)/V(Q3:b)) Frequency Calcul simbolic PSF > restart:with(syrup):libname:="c:\\maple/scslib",libname: Schema de semnal mic valabila in toata gama de frecvente: > TB_EC:= "schema pentru TB in conexiune EC Vcc vcc 0 Vcc Vg ing 0 Vg Rg ing inc Rc Cb inc In Cb Rb vcc In Rb Rb2 In 0 Rb2 Qnpn c In e BJT[pnp_dc_generic_model] Rem e 0 Rem Cem e 0 Cem Rc vcc c Rc Cs c Out Cs TB EC - 8

15 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune emitor comun Rs Out 0 Rs.end": Calculul simbolic: > syrup(tb_ec, dc, 'curr','tens'): Syrup/parsedeck: Analyzing SPICE deck "schema pentru TB in conexiune EC" (ignoring this line) syrup: There may be an unconnected component. The following component(s) have zero current: {Vg, Rg, Rs}. Curentul de colector: > collect(simplify(eval(i[rc],curr)),{vcc,vd}); Rb2 β dc Vcc Rb2 β dc Rem + Rem Rb β dc + Rem Rb + Rem Rb2 + Rb Rb2 + β dc ( Rb2 + Rb ) Vd Rb2 β dc Rem + Rem Rb β dc + Rem Rb + Rem Rb2 + Rb Rb2 Tensiunea colector - emitor: > collect(simplify(eval(v[c]-v[e],tens)),{vcc,vd}); ( β dc Rc Rb2 Rem Rb β dc Rem Rb Rb Rb2 ) Vcc ( β dc Rc Rb + β dc Rc Rb2 β dc Rem + Rem Rb β dc + Rem Rb + Rem Rb2 + Rb Rb2 Rb2 β dc Rem Neglijind curentul din baza ( β dc mare) putem calcula curentul de colector si tensiunea colectoremitor: > limit(eval(i[rc],curr),beta[dc]=infinity); Rb2 Vcc + Rb Vd + Rb2 Vd Rem ( Rb2 + Rb ) > collect(simplify(limit(eval(v[c]- v[e],tens),beta[dc]=infinity)),{vcc,vd}); ( Rc Rb2 Rem Rb ) Vcc ( Rc Rb + Rc Rb2 + Rem Rb + Rem Rb2 ) Vd Rem ( Rb2 + Rb ) Rem ( Rb2 + Rb ) Analiza la semnal mic > restart:with(syrup):libname:="c:\\maple/scslib",libname: Schema de semnal mic valabila in toata gama de frecvente: > TB_EC:= "schema de semnal mic pentru TB in conexiune EC Vcc vcc 0 0 Vg ing 0 Vg Rg ing inc Rc Cb inc In Cb Rb vcc In Rb Rb2 In 0 Rb2 Qnpn c In e BJT[ac_generic_model] Rem e 0 Rem Cem e 0 Cem Rc vcc c Rc Cs c Out Cs Rs Out 0 Rs.end": Calculul simbolic: > syrup(tb_ec, ac, 'curr','tens'): Syrup/parsedeck: Analyzing SPICE deck "schema de semnal mic pentru TB in TB EC - 9

16 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune emitor comun conexiune EC" (ignoring this line) Calculul functiei de transfer: > H:=eval(v[c]/v[In],tens): Expresia functiei de transfer este complicata. Exista 4 poli si 3 zerouri care determina comportarea circuitului in toata gama de frecventa. Se analizeaza circuitul simplificat in banda, la joasa frecventa si la inalta frecventa. Aproximarea in banda se considera scurt circuit la frecventa de lucru capacitatile: Cb, Ce, Cs; se neglijeaza din modelul π hibrid capacitatile Cpi (sc), Cmiu (gol) si rezistentele rmiu(gol) si ro(gol); > eval(v[c]/v[in],tens): limit(%,{cs=infinity,cb=infinity,cem=infinity}): limit(%,{cpi=0,cmiu=0, co=0,rmiu=infinity,ro=infinity}): Hs:=simplify(%); Rc Rs rpi gm Hs := Rs rpi + Rc rpi + Rc rx + Rs rx Daca neglijam rezistenta rx, amplificarea este: > limit(%,{rx=0}); Rc Rs gm Rc + Rs Aproximarea la joasa frecventa se iau in considera la frecventa de lucru capacitatile Cb, Ce, Cs; se neglijeaza din modelul π hibrid capacitatile Cpi (sc), Cmiu (gol) si rezistentele rmiu(gol) si ro(gol); > eval(v[c]/v[in],tens): limit(%,{cpi=0,cmiu=0,co=0,rmiu=infinity,ro=infinity}): Hs:=simplify(%): Expresia lui Hs este un raport de doua polinoame in s. Calculam polii functiei de transfer Hs: > solve(collect(denom(hs),s)=0,s); gm Rem rpi + Rem + rx + rpi, Cs ( Rc + Rs ) Rem Cem ( rpi + rx ) Calculam zerourile functiei de transfer Hs: > solve(collect(numer(hs),s)=0,s);, Cs Rs Rem Cem Calculam amplificarea in curent continuu Aui0: > limit(subs(s=i*omega, Hs),omega=0);limit(%,rx=0); Rc gm rpi gm Rem rpi + Rem + rx + rpi TB EC - 0 Rc gm rpi gm Rem rpi + Rem + rpi Modelul este valabil numai pentru joasa frecventa. Daca crestem frecventa ar trebui sa regasim formula amplificarii in banda:

17 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune emitor comun > limit(subs(s=i*omega, Hs),omega=infinity);limit(%,rx=0); Rs Rc gm rpi Rs rpi + Rs rx + Rc rx + Rc rpi Rs Rc gm Rs + Rc Aproximarea la frecventa inalta se iau in considera la frecventa de lucru capacitatile Cb, Ce, Cs; se neglijeaza din modelul π hibrid capacitatile Cpi (sc), Cmiu (gol) si rezistentele rmiu(gol) si ro(gol); > eval(v[c]/v[in],tens): limit(%,{cs=infinity,cb=infinity,cem=infinity}): limit(%,{rmiu=infinity,ro=infinity}): Hs:=simplify(%): Expresia lui Hs este un raport de doua polinoame in s. Calculam zerourile functiei de transfer Hs: > solve(collect(numer(hs),s)=0,s); gm cmiu Calculam polii functiei de transfer Hs: > simplify({solve(collect(denom(hs),s)=0,s)}): > collect(denom(hs),s): S-au gasit doi poli a caror valoare nu este intuitiva. Daca neglijam rezistenta rx atunci circuitul are un singur pol: > solve(collect(denom(limit(hs,rx=0)),s)=0,s); Rc + Rs Rc cmiu Rs Modelul este valabil pentru inalta frecventa. Daca scadem frecventa ar trebui sa regasim formula amplificarii in banda: > limit(subs(s=i*omega, Hs),omega=0);limit(%,rx=0); Rs Rc gm rpi Rs rpi + Rs rx + Rc rx + Rc rpi Rs Rc gm Rc + Rs Neglijind rezistenta rx calculam amplificarea la frecventa mare: > limit(subs(s=i*omega, limit(hs,rx=0)),omega=infinity); Diagrama Bode Pentru valorile de model ale tranzistorului determinate in analiza Spice se traseaza diagrama Bode de modul si faza. > H:=limit(H, {rmiu=infinity}): > schema := {Rem=2000, Cem=5*0^(-6), Rc=2000, Rs=2000, Cs=0^(- 4)}; TB EC -

18 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune emitor comun schema := { Rem = 2000, Rs = 2000, Cs =, Rc = 2000, Cem = } > tranzistor:={gm=0.0424, rx=0, rpi=4530, cpi=3.93*0^(-), cmiu=2.62*0^(-2), ro=.*0^5 }; tranzistor := { cmiu = , rpi = 4530, rx = 0, gm =.0424, ro = , cpi = } > Hs:=simplify(eval(H,schema union tranzistor )); Hs := ( s + 5. ) ( s s) s s s > PZ[numeric](Hs,s); z.68 0 z z p p p >plot({[log0(omega),20*log0(abs(subs(s=i*omega,hs))),omega=0^( -)..0^3],[log0(omega),20*log0(abs(subs(s=I*omega,Hs))),omega =0^3..0^8],[log0(omega),20*log0(abs(subs(s=I*omega,Hs))),ome ga=0^8..0^2]},numpoints=300,color=black,thickness=2,title="di agrama Bode de castig"); >plot({[log0(omega),argument(subs(s=i*omega,hs)),omega=0^(- )..0^3],[log0(omega),argument(subs(s=I*omega,Hs)),omega=0^3..0^8],[log0(omega),argument(subs(s=I*omega,Hs)),omega=0^8..0 ^2]},numpoints=300,color=black,thickness=2,title="Diagrama Bode de faza"); TB EC - 2

19 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune colector comun (repetorul pe emitor) Circuitul echivalent natural π - hibrid (Giacoletto)... Etaj de polarizare cu TB in conexiune colector comun (repetorul pe emitor)...2 Analiza de punct static de functionare...2 Raspunsul circuitului la frecvente medii...2 Raspunsul circuitului la joasa frecventa...4 Raspunsul circuitului la înalta frecventa...5 Simulare SPICE...6 Punctul static de functionare (PSF) si parametrii de model pentru tranzistor:...6 Diagrame Bode de modul si faza...7 Calcul simbolic...7 PSF...7 Analiza la semnal mic...8 Aproximarea in banda...9 Aproximarea la joasa frecventa...9 Aproximarea la frecventa inalta...0 Circuitul echivalent natural p - hibrid (Giacoletto) Fig.. Modelul de semnal mic natural π - hibrid al tranzistorului bipolar Este cel mai utilizat circuit echivalent de semnal mic, valabil in toate conexiunile in care poate functiona tranzistorul bipolar. Elementele sale au semnificatii fizice clare, nu depind de frecventa si pot fi determinate usor experimental. Parametrii principali ai circuitului π - hibrid sunt: IC. Transconductanta (panta): gm = 40 IC ( ma/ V), cu IC[ ma ]. U 2. Rezistenta de intrare: β rπ = gm 3. Rezistenta de iesire: U A r0 în care U A este tensiunea Early. IC 4. Rezistenta de reactie (colector-baza): rµ = β r0 T TB CC -

20 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune colector comun Etaj de polarizare cu TB in conexiune colector comun (repetorul pe emitor) În schema din Fig.2 este etajul in conexiune colector comun (denumit uzual si repetor pe emitor). Colectorul tranzistorului este cuplat direct la sursa de alimentare E C, deci pe semnal este la potentialul masei. Semnalul de la iesire se preia din emitor prin condensatorul de cuplaj C C. Rezistenta R S reprezinta de regula rezistenta de intrare în urmatorul etaj de amplificare, iar sursa de semnal reala de la intrare de rezistenta R g reprezinta iesirea etajului de amplificare anterior. S Fig. 2. Etaj în conexiune colector comun (repetor pe emitor) Analiza de punct static de functionare Schema de polarizare este similara cu cea folosita in montajul emitor comun. Pentru determinarea curentului de colector si a tensiunii colector emitor se foloseste modul de calcul descris. Curentul de colector este: RB2 unde EB = R + R B B2 E C I C β R R R B B2 si RB = RB+ RB2 B ( E V B BE ) + ( β + ) R V = E RI E RI E. Tensiunea colector-emitor este: CE C E E C E C III. III. 2 Relatiile se pot utiliza pentru determinarea rapida a punctului static de functionare (PSF). Raspunsul circuitului la frecvente medii Fig. 3. Schema de semnal mic a repetorului pe emitor Pe schema de semnal mic a circuitului din Fig.3 se pot scrie relatiile: V = ( β + )( R R ) I III. 3 o E S b TB CC - 2

21 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune colector comun ( ) ( β )( ) V = r + r I + + R R I III. 4 i π x b E S b Se obtine urmatoarea expresie a amplificarii fata de intrare: V ( β + )( R R o E S) Aui = = V r + r + β + R R i π x ( )( E S) Pentru valori uzuale ale elementelor schemei, avem ( )( ) E S π x III. 5 β + R R >> r + r si deci amplificarea rezulta subunitara, dar foarte aproape de : Aui. Repetorul pe emitor se utilizeaza ca etaj tampon între doua etaje de amplificare în tensiune, datorita valorilor rezistentei de intrare si de iesire. El joaca rolul de adaptor de impedanta, evitând pierderea de tensiune de semnal pe rezistenta de iesire la cuplajul între doua etaje cuplate în cascada. Astfel, la cuplarea prin repetor a mai multor etaje, amplificarea întregului lant de amplificare este practic egala cu produsul amplificarilor etajelor componente. Rezistenta de intrare în tranzistor rezulta imediat: Vi Rit = = rπ + rx + ( β + )( RE RS) III. 6 Ib Se observa ca pentru valori uzuale, R it rezulta de ordinul sutelor de ko. Rezistenta de intrare în etaj cuprinde si rezistentele de polarizare din baza: Ri = Rit RB RB R B RB III Fig. 4. Schema echivalenta pentru calculul rezistentelor de iesire Rezistentele de iesire din tranzistor respectiv din etaj se pot calcula de pe schema echivalenta din Fig.4, în care etajul s-a pasivizat la intrare iar sarcina (rezistenta R S ) este înlocuita cu o sursa de semnal de test U t, care da curentul de test I t. Se poate exprima curentul de test I t astfel: Ut Ut Ut It = = + ( β + ) III. 8 Ro RE rπ + rx + Rg RB de unde rezulta rezistenta de iesire din etaj: U ( r ) t π + rx + Rg RB III. 9 Ro = = RE = RE Rot Rot It ( β + ) în care R ot este rezistenta de iesire din emitorul tranzistorului. Deoarece în general R ot <<R E, avem R o R ot (de ordinul zecilor de O). Exemplu de calcul: Se considera urmatoarele valori ale elementelor schemei: R B =0kO ; R B2 =5kO ; R E =3.3kO ; C B = C S =00nF ; E C =2V ; Pentru tranzistor se considera in calcule ß =00; ;V BE =0.6V Se obtin urmatoarele valori de punct static de functionare: I C = 2mA; V CE = 5.4V; g m = 80mA/V; r π =.25kO; Rezistenta de intrare în tranzistor (în gol, R S? 8): R i? r π +(ß+) R E?334kO TB CC - 3

22 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune colector comun Raspunsul circuitului la joasa frecventa In schema de semnal mic a etajului în conexiune colector comun (repetor pe emitor) apar condensatoarele de cuplaj C B si C S (în baza si cu sarcina R S }). Fig. 5. Schema echivalenta a repetorului pe emitor la frecvente joase Vom analiza comportarea etajului la frecvente joase, la care reactantele celor doua condensatoare de cuplaj nu mai sunt neglijabile. Am notat cu Z B si Z E impedantele vazute în baza si respectiv în emitorul tranzistorului. Impedanta Z E are expresia: RE RS + scs RE( + srscs) ZE ( s) = = R s( R R ) C E + RS scs Tensiunea la iesire se poate exprima: RS srscs Vo = VE = VE R srscs S + + scs Tensiunile V i si V E se pot scrie în functie de curenti: V = r + r I + β + IZ s TB CC - 4 ( π ) ( ) ( ) ( β ) ( ) i x b b E E S S VE = + IZ b E s Se obtine raportul: V ( β + ) Z ( s E E ) = Vi rπ + rx + ( β + ) ZE( s) care se scrie detaliat sub forma urmatoare: V ( β + ) R ( + sr C E E S S) = Vi rπ + rx + ( β + ) RE + scs[ ( RE+ RS)( rπ + rx) + ( β + ) RR E S] Amplificarea fata de intrare va avea expresia: V ( o Vo V β + ) RRC E S S s E Avi ( s) = = = Vi VE Vi rπ + rx + ( β + ) RE + scs ( RE + RS)( rπ + rx) + ( β+ ) RR E S Daca se defineste pulsatia: rπ + rx+ ( β + ) RE ω = ( RE + RS)( rπ + rx) + ( β + ) RR E S CS amplificarea se poate scrie: ( β + ) RR E S s Avi ( s) = ( RE + RS )( rπ + rx) + ( β + ) RR E S s+ ω Impedanta de intrare este: III. 0 III. III. 2 III. 3 III. 4 III. 5 III. 6 III. 7

23 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune colector comun ( β + ) R ( + sr C E S S) + ( + ) Vi III. 8 Zi( s) = = rπ + rx + ( β + ) ZE( s) = rπ + rx+ Ib s RE RS CS Se poate exprima si raportul fata de tensiunea sursei: V scb( RB Z i i) III. 9 = V + sc R + R Z ( ) g B g B i dar explicitarea sa duce la o expresie destul de complicata. Raspunsul circuitului la înalta frecventa În Fig.6 se da schema echivalenta de semnal la frecvente înalte a repetorului pe emitor, în care apar capacitatile interne ale tranzistorului. Fig. 6. Schema echivalenta a repetorului pe emitor la frecvente înalte Se observa ca atât capacitatea C µ cât si rezistenta proprie de iesire a tranzistorului r o au un capat la masa pe semnal; schema se poate reprezenta mai simplu ca mai jos: Fig. 7. Schema echivalenta simplificata In aceasta schema se observa ca etajul este unilateralizat, deci nu mai exista reactie interna. Rezistenta parazita r x nu mai apare în schema, având o valoare neglijabila si complicând inutil expresia amplificarii etajului. Rezistentele R E, R S si r o formeaza o rezistenta echivalenta de sarcina R S: ' R = R R r R R III. 20 s E S o E S Din baza pâna la masa se poate scrie relatia: undey π ( π ) V = V + R YV + gv III. 2 ' i ' be s ' be m ' be = este admitanta grupului r π -C π din baza. Expresia de mai sus devine: Z π ( ) ' ' V = i + R g + g + sc V s m π π III. 22 be Tensiunea la iesire este: ' ' V = R g + Y V ' = R g + g + sc V ' III. 23 ( ) ( ) o s m π be s m π π Se obtine amplificarea etajului fata de intrare: be TB CC - 5

24 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune colector comun ( m + π + π) ' ( ) ' V Rs g g sc o III. 24 Avi ( s) = = Vi + Rs gm + gπ + scπ Schema echivalenta la intrare daca se înlocuieste etajul cu impedanta sa echivalenta Z i este: Fig. 8. Schema echivalenta raportata la intrare Impedanta de intrare în baza se poate scrie: ' V i V + R i s( gm + gπ + scπ) Zi ( s) = = = I YV g + sc π π ' be π π III. 25 Admitanta echivalenta totala vazuta de sursa de semnal este:. gπ + scπ Yech ( s) = gb + scµ + Yi( s) = gb + scµ + III. 26 ' + Rs( gm + gπ + scπ) Se poate atunci scrie si amplificarea fata de tensiunea sursei de semnal, dar expresia finala explicitata rezulta complicata: Vo Vo V G i g III. 27 Avg ( s) = = = Avi ( s) V V V G + Y g i g g ech Simulare SPICE Punctul static de functionare (PSF) si parametrii de model pentru tranzistor: MODEL IB IC VBE VBC VCE BETADC GM RPI BC07A 9.09E-06.59E E E E+00.75E E E+03 RX RO CBE CBC CJS BETAAC CBX/CBX2 FT/FT2 0.00E E E- 2.77E E+00.99E E+00.92E+08 TB CC - 6

25 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune colector comun Diagrame Bode de modul si faza mHz.0Hz 00Hz 0KHz.0MHz 00MHz 0GHz.0THz 00THz DB(V(Rs:2)/V(Q3:b)) Frequency 00d 50d 0d 0mHz.0Hz 00Hz 0KHz.0MHz 00MHz 0GHz.0THz 00THz P(V(Rs:2)/V(Q3:b)) Frequency Calcul simbolic PSF > restart:with(syrup):libname:="c:\\maple/scslib",libname: Schema de semnal mic valabila in toata gama de frecvente: > TB_CC:= "schema pentru TB in conexiune CC Vcc vcc 0 Vcc Vg ing 0 Vg Rg ing inc Rc Cb inc In Cb Rb vcc In Rb Rb2 In 0 Rb2 Qnpn vcc In e BJT[pnp_dc_generic_model] Rem e 0 Rem Cs e Out Cs Rs Out 0 Rs.end": Calculul simbolic: TB CC - 7

26 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune colector comun > syrup(tb_cc, dc, 'curr','tens'): Syrup/parsedeck: Analyzing SPICE deck "schema pentru TB in conexiune CC" (ignoring this line) syrup: There may be an unconnected component. The following component(s) have zero current: {Vg, Rg, Rs}. Curentul de colector: > collect(simplify(eval(i[rem],curr)),{vcc,vd}); ( Rb2 β dc + Rb2 ) Vcc TB CC - 8 Rb2 Rb + Rem β dc Rb + Rb Rem + Rb2 β dc Rem + Rem Rb2 + ( Rb2 β dc + Rb2 + β dc Rb + Rb ) Vd Rb2 Rb + Rem β dc Rb + Rb Rem + Rb2 β dc Rem + Rem Rb2 Tensiunea colector - emitor: > collect(simplify(eval(vcc-v[e],tens)),{vcc,vd}); ( Rb2 Rb + Rem β dc Rb + Rb Rem ) Vcc Rb2 Rb + Rem β dc Rb + Rb Rem + Rb2 β dc Rem + Rem Rb2 + ( Rb2 β dc Rem Rem Rb2 Rem β dc Rb Rb Rem ) Vd Rb2 Rb + Rem β dc Rb + Rb Rem + Rb2 β dc Rem + Rem Rb2 Neglijind curentul din baza ( β dc mare) putem calcula curentul de colector si tensiunea colectoremitor: > limit(eval(i[rc],curr),beta[dc]=infinity); i Rc >collect(simplify(limit(eval(vcc-v[e],tens),beta[dc]=infinity)), {Vcc,Vd}); Rb Vcc ( Rb Rb2 ) Vd + Rb + Rb2 Rb + Rb2 Analiza la semnal mic > restart:with(syrup):libname:="c:\\maple/scslib",libname: Schema de semnal mic valabila in toata gama de frecvente: > TB_CC:= "schema de semnal mic pentru TB in conexiune CC Vcc vcc 0 0 Vg ing 0 Vg Rg ing inc Rc Cb inc In Cb Rb vcc In Rb Rb2 In 0 Rb2 Qnpn vcc In e BJT[ac_generic_model] Rem e 0 Rem Cs e Out Cs Rs Out 0 Rs.end": Calculul simbolic: > syrup(tb_cc, ac, 'curr','tens'): Syrup/parsedeck: Analyzing SPICE deck "schema de semnal mic pentru TB in conexiune CC" (ignoring this line) Calculul functiei de transfer: > H:=eval(v[Out]/v[In],tens):

27 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune colector comun Expresia functiei de transfer este complicata. Exista 3 poli si 2 zerouri care determina comportarea circuitului in toata gama de frecventa. Se analizeaza circuitul simplificat in banda, la joasa frecventa si la inalta frecventa. Aproximarea in banda se considera scurt circuit la frecventa de lucru capacitatile: Cb, Ce, Cs; se neglijeaza din modelul π hibrid capacitatile Cpi (sc), Cmiu (gol) si rezistentele rmiu(gol) si ro(gol); > eval(v[out]/v[in],tens): limit(%,{cs=infinity,cb=infinity,cem=infinity}): limit(%,{cpi=0,cmiu=0, co=0,rmiu=infinity,ro=infinity}): Hs:=simplify(%); Rs Rem ( + rpi gm) Hs := Rem rx + gm rpi Rem Rs + Rem Rs + Rs rx + rpi Rem + rpi Rs Daca neglijam rezistenta rx, amplificarea este: > limit(%,{rx=0});limit(%,{rpi=0}); Rs Rem ( + rpi gm) gm rpi Rem Rs + Rem Rs + rpi Rem + rpi Rs Aproximarea la joasa frecventa se iau in considera la frecventa de lucru capacitatile Cb, Ce, Cs; se neglijeaza din modelul π hibrid capacitatile Cpi (sc), Cmiu (gol) si rezistentele rmiu(gol) si ro(gol); > eval(v[out]/v[in],tens): limit(%,{cpi=0,cmiu=0,co=0,rmiu=infinity,ro=infinity}): Hs:=simplify(%): Expresia lui Hs este un raport de doua polinoame in s. Calculam polii functiei de transfer Hs: > solve(collect(denom(hs),s)=0,s); gm rpi Rem + Rem + rx + rpi Cs ( Rem rx + gm rpi Rem Rs + Rem Rs + Rs rx + rpi Rem + rpi Rs ) Calculam zerourile functiei de transfer Hs: > solve(collect(numer(hs),s)=0,s); 0 Calculam amplificarea in curent continuu Aui0: > limit(subs(s=i*omega, Hs),omega=0);limit(%,rx=0); 0 0 Modelul este valabil numai pentru joasa frecventa. Daca crestem frecventa ar trebui sa regasim formula amplificarii in banda: > limit(subs(s=i*omega, Hs),omega=infinity);limit(%,rx=0);limit(%,rpi=0); ( + rpi gm) Rem Rs Rem rx + gm rpi Rem Rs + Rem Rs + Rs rx + rpi Rem + rpi Rs TB CC - 9

28 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune colector comun ( + rpi gm ) Rem Rs gm rpi Rem Rs + Rem Rs + rpi Rem + rpi Rs Aproximarea la frecventa inalta se iau in considera la frecventa de lucru capacitatile Cb, Ce, Cs; se neglijeaza din modelul π hibrid capacitatile Cpi (sc), Cmiu (gol) si rezistentele rmiu(gol) si ro(gol); > eval(v[out]/v[in],tens): limit(%,{cs=infinity,cb=infinity,cem=infinity}): limit(%,{rmiu=infinity,ro=infinity}): Hs:=simplify(%): Expresia lui Hs este un raport de doua polinoame in s. Calculam zerourile functiei de transfer Hs: > solve(collect(numer(hs),s)=0,s); + rpi gm cpi rpi Calculam polii functiei de transfer Hs: > simplify({solve(collect(denom(hs),s)=0,s)}): > collect(denom(hs),s): S-au gasit doi poli a caror valoare nu este intuitiva. Daca neglijam rezistenta rx atunci circuitul are un singur pol: > solve(collect(denom(limit(hs,rx=0)),s)=0,s); rpi Rs + Rem Rs + gm rpi Rem Rs + rpi Rem cpi rpi Rem Rs Modelul este valabil pentru inalta frecventa. Daca scadem frecventa ar trebui sa regasim formula amplificarii in banda: >limit(subs(s=i*omega, Hs),omega=0);limit(%,rx=0);limit(%,rpi=0); ( + rpi gm) Rem Rs Rem rx + gm rpi Rem Rs + Rem Rs + Rs rx + rpi Rem + rpi Rs TB CC - 0 ( + rpi gm ) Rem Rs rpi Rs + Rem Rs + gm rpi Rem Rs + rpi Rem Neglijind rezistenta rx calculam amplificarea la frecventa mare: > limit(subs(s=i*omega, limit(hs,rx=0)),omega=infinity); Pentru valorile de model ale tranzistorului determinate in analiza Spice se traseaza diagrama Bode de modul si faza. > H:=limit(H, {rmiu=infinity}): > schema := {Rem=3300, Rs=2000, Cs=0^(-4)}; schema := { Rem = 3300, Rs = 2000, Cs = } 0000 > tranzistor:={gm=0.064, rx=0, rpi=3240, cpi=4.80*0^(-), cmiu=2.77*0^(-2), ro=7.58*0^4 };

29 Etaj de amplificare elementar cu tranzistor bipolar în conexiune colector comun tranzistor := { cmiu = , rx = 0, cpi = , rpi = 3240, gm =.064, ro = } > Hs:=simplify(eval(H,schema union tranzistor )); s ( 243. s ) Hs := s s > PZ[numeric](Hs,s); z 0. z p p >plot({[log0(omega),20*log0(abs(subs(s=i*omega,hs))),omega=0^( -)..0^3],[log0(omega),20*log0(abs(subs(s=I*omega,Hs))),omega =0^3..0^8],[log0(omega),20*log0(abs(subs(s=I*omega,Hs))),ome ga=0^8..0^2]},numpoints=300,color=black,thickness=2,title="di agrama Bode de castig"); > plot({[log0(omega),argument(subs(s=i*omega,hs)),omega=0^(- )..0^3],[log0(omega),argument(subs(s=I*omega,Hs)),omega=0^3..0^8],[log0(omega),argument(subs(s=I*omega,Hs)),omega=0^8..0 ^2]},numpoints=300,color=black,thickness=2,title="Diagrama Bode de faza"); TB CC -

30

31 Modele pentru amplificatorul operational Modele liniare... Modele neliniare... 2 Model Spice pentru AO... 3 Amplificatorul operational (AO) este un circuit (integrat sau discret) prevazut cu doua borne de intrare si o borna de iesire, furnizând la iesire o tensiune (fata de masa) egala cu replica amplificata a tensiunii dintre cele doua borne de intrare. Simbolul utilizat pentru AO este prezentat mai jos: U U V+ V- OUT Vo(t)=a(U-U2) 4 Amplificatorul operational realizeaza amplificare mare, banda de frecventa suficient de larga în aplicatii uzuale, impedanta de intrare mare si cea de iesire mica. În functie de aplicatia concreta, modelul adoptat pentru AO poate fi diferit. Aceste modele se împart în doua categorii: liniare si neliniare. Modele liniare Cel mai simplu (si mai utilizat) model liniar este cel numit nulator norator; aceste doua cuvinte desemnând denumirile uniportilor degenerati ce modeleaza intrarea, respectiv iesirea amplificatorului operational. În acest model, denumit amplificator operational ideal, acceptabil în majoritatea aplicatiilor, se considera amplificarea, banda de frecventa si impedanta de intrare infinite, iar impedanta de iesire nula. Simbolul si relatiile matematice sunt prezentate mai jos: Se pot face o serie de observatii în legatura cu acest model: - nulatorul si noratorul apar întotdeauna în pereche; - noratorul are întotdeauna un terminal legat la masa; - nulatorul impune doua restrictii semnalelor aplicate la bornele sale, iar noratorul nici una; - pe model nu sunt precizate bornele de intrare inversoare si neinversoare, însa într-o aplicatie concreta ele se precizeaza în asa fel încât stabilitatea circuitului sa fie asigurata. Analiza circuitelor cu AO se face în cazurile simple cu legile lui Kirchoff, iar în cazuri mai complicate cu metoda Nathan, care este în esenta o generalizare a teoremei tensiunilor nodale pentru circuite cu elemente degenerate. În ambele metode ideea este de a folosi cele 2 restrictii pe care le impune modelul nulor-norator. Un alt model liniar care se apropie din ce în ce mai mult de amplificatorul operational real, care are amplificare finita si dependenta de frecventa, impedanta de intrare mare, dar finita, impedanta de iesire mica, dar nenula este: modeleao -

32 Modele pentru AO Modele neliniare În cazul în care nivelul semnalului de intrare este suficient de mare pentru a obliga tensiunea de iesire sa atinga valoarea tensiunii de alimentare este necesara adoptarea unui model neliniar. Cel mai simplu model neliniar pentru AO este: Pentru a modela saturatia se cupleaza la circuit cele doua diode Zener. Deoarece circuitul este neliniar nu se poate folosi Laplace. Pentru acest model avem relatiile: du ( t) U= α s + α A VI +αu(t)=αav I dt Doua sunt neliniaritatile principale care se manifesta în functionarea AO: intrarea în saturatie si viteza maxima de variatie a semnalului la iesire (slew-rate). Prima este pusa în evidenta mai jos cu ajutorul unor caracteristici de tip comparator, respectiv de amplificator cu limitare: A doua manifestare neliniara consta în aceea ca, în functionarea cu nivel mare al semnalului de intrare si la frecventa ridicata, semnalul de la iesirea AO nu mai reuseste sa urmareasca variatiile rapide ale semnalului aplicat la intrare, astfel încât forma tensiunii de iesire apare distorsionata (la frecvente foarte mari, practic triunghiulara). Se pune astfel în evidenta o viteza maxima de variatie a semnalului la iesirea AO, denumita slew-rate (SR), masurata în V/µs si care constituie un parametru de catalog. Pentru scopul acestei lucrari de laborator ne vom multumi cu un calcul simplu care ilustreaza relatia dintre acest parametru si marimile din circuit. Sa presupunem ca la iesirea AO avem un semnal sinusoidal cu amplitudinea V o si pulsatia? o : v0 (t)=v osin ω0t Se stie ca viteza de variatie a unei marimi este data de derivata acesteia în raport cu timpul, în consecinta viteza de variatie a tensiunii la iesirea AO se calculeaza cu relatia: dvo =V oω o cosω ot dt de unde rezulta ca valoarea maxima a acesteia este: dvo SR = ( ) dt Se pot face acum o serie de observatii: modeleao - 2 max = V o ω o [V/ µ s]

33 Modele pentru AO - aceasta manifestare neliniara apare mai întâi la trecerile prin zero ale semnalului de iesire; - SR se determina masurînd panta semnalului triunghiular de la iesire - într-o aplicatie concreta, cunoscând valoarea tensiunii de alimentare ( egala cu valoarea maxima la care ar putea ajunge V o ) si citind din catalog valoarea SR pentru amplificatorul operational folosit se poate determina valoarea maxima a frecventei de lucru pâna la care aceasta manifestare neliniara nu va apare, marime denumita banda de câstig integral: SR Model Spice pentru AO ω max = + In macromodelul pentru AO de mai jos avem: V Vcc+ 2 Dln IN+ IN- 2 Dp Rp 2 3 Rc C Re 3 Q Q2 Rc2 2 Re2 Fb Egnd Ro2 Vlim Ree Cee R2 C2 Vb Gem Ga 2 Ro 2 Vc Dc Vo De Ve Dlp 2 Hlim Vlp Vln IFF Vcc- -Q,Q2 constituie etajul diferential de intrare; -Ree modeleaza impedanta de intrare pe modul comun; -C modeleaza rezerva de faza, adaugand un defazaj suplimentar; -Rp modeleaza puterea absorbita din sursele de alimentare; -Ro,Ro2 modeleaza impedanta de iesire; -Ga realizeaza trecerea de la etajul de intrare la etajul de iesire;.subckt ua c E-2 c E-2 de 54 5 dy dlp 90 9 dx dln dx dp 4 3 dx egnd 99 0 poly(2),(3,0),(4,0) fb 7 99 poly(5) vb vc ve vlp vln 0 0.6E6 -E3 E3 0E6-0E6 ga E-6 gcm E-9 iee 0 4 dc 5.6E-6 hlim 90 0 vlim K q 2 3 qx q2 2 4 qx r E3 rc E3 rc E3 re E3 re E3 ree E6 ro ro rp E3 vb 9 0 dc 0 vc 3 53 dc ve 54 4 dc vlim 7 8 dc 0 vlp 9 0 dc 40 vln 0 92 dc 40.model dx D(Is=800.0E-8 Rs=).model dy D(Is=800.00E-8 Rs=m Cjo=0p).model qx NPN(Is=800.0E-8 Bf=93.75).ends modeleao - 3

34

35 Topologii elementare pentru AO in functionare liniara Topologie inversoare Scopul lucrarii... Calculul functiei de transfer... 2 Metoda I:divizor de tensiune... 2 MetodaII:ecuatii TTN... 2 Metoda III: calcul simbolic... 2 Analiza in cazul ideal... 3 Analiza in cazul neideal... 4 Analiza SPICE... 5 Functionarea cu limitare... 5 Limitarea unui semnal sinusoidal:... 6 Diagrame Bode de castig si faza:... 6 Topologie neinversoare Scopul lucrarii... 7 Calculul functiei de transfer... 7 Metoda I: divizor de tensiune... 7 MetodaII: ecuatii TTN... 7 MetodaIII: calcul simbolic... 8 Analiza in cazul ideal... 9 Analiza in cazul neideal... 0 Analiza SPICE... Functionarea cu limitare... Limitarea unui semnal sinusoidal:... 2 Diagrama Bode de cistig si faza:... 2 Modelarea AO... 3 AO in bucla deschisa... 3 Topologie inversoare... 4 Topologie neinversoare... 5 Scopul lucrarii Se doreste analiza circuitului din figura: R2 Topologie inversoare () V VOFF = 0 VAMPL = 00m FREQ = k R k 2 (2) v k V3 0v 7 4 V+ V- OS OUT OS2 V2 U ua74 6 (3) 5 Componente: R=kO R2=kO (0) Amplificator inversor cu AO liniarao -

36 Conexiuni elementare pentru AO Calculul functiei de transfer Metoda I:divizor de tensiune Calculul functiei de transfer folosind divisor de tensiune: H( s ) = R2 R MetodaII:ecuatii TTN Pentru circuitul cu nodurile din figura se scriettn: () V 0 (s)=e(s); (2) G V 0 (s)+(g +G 2 )V 20 (s)-g 2 V 30 (s)=0; (3) V 30 (s)=-av 20 (s); ecuatia de iesire:v 30 (s)=y(s); unde amplificatorul operational s-a modelat ca o sursa de tensiune comandata in tensiune. In urma rezolvarii acestor ecuatii rezulta functia de transfer: H( s ) = AR2 AR + R + R2 Metoda III: calcul simbolic > restart:with(syrup): > libname:="c:\\maple/scslib",libname: Caracterizarea circuitului Descrierea circuitului folosind un netlist de tip spice > AmpInversor:= "Amplificatorul Inversor cu AO R 2 R R2 2 3 R2 E A Vg 0 Vg.end"; AmpInversor := "Amplificatorul Inversor cu AO\nR 2 R\nR2 2 3 R2\nE A \ \nvg 0 Vg\n.end" Pentru circuit, calculul tensiunilor nodale si a curentilor prin laturi > syrup(ampinversor,dc,curenti,tensiuni): Syrup/parsedeck: Analyzing SPICE deck "Amplificatorul Inversor cu AO" (ignoring this line) > tensiuni; R2 Vg A R2 Vg { v 2 =, v =, } A R + R + R2 3 v = A R + R + R2 Vg > curenti; i R = Vg R2 Vg R2 Vg A R2 Vg + A R + R + R2 A R + R + R2 A R + R + R2, i = R R2, R2 Vg ( A + ) Vg ( A + ) i E =, i = A R + R + R2 Vg A R + R + R2 liniarao - 2

37 Calculul functiei de transfer H(s): > Ha:=eval(v[3]/v[],tensiuni); A R2 Ha := R + R A + R2 Conexiuni elementare pentru AO Analiza folosind TTN Scriem TTN pentru circuitul echivalent al inversorului: > eqttn:={(vg-v[2])*/r+(v[3]-v[2])*/r2=0,v[3]=- A*v[2],v[]=Vg}; Vg v 2 v 3 v 2 eqttn := { + = 0, v =, } R R2 Vg v 3 = A v 2 > solttn:=solve(eqttn,{v[2],v[3],v[]}); R2 Vg A R2 Vg solttn := { v 2 =, v =, } A R + R + R2 3 v = A R + R + R2 Vg Functia de transfer: > Ha:=eval(v[3]/v[],solTTN); Ha := A R2 R + R A + R2 Analiza in cazul ideal Se considera o comportare in frecventa constanta. Functia de transfer calculata: > Ha; A R2 A R + R + R2 Pentru amplificare infinaita relatia se poate aproxima: > H:=limit(Ha,A=infinity); H := R2 R Evaluare numerica pentru R=000, R2=000 in cele doua cazuri (amplificare infinita si amplificare finita): > Ainfinit:=evalf(eval(H,[R2=0^3,R=0^3])); Afinit:=evalf(eval(Ha,[R2=0^3,R=0^3,A=0^5])); Ainfinit := -. La intrare aplicam un semnal sinusoidal: > Vg:=sin(w0*t); Afinit := Vg := sin( w0 t ) La iesire vom avea semnalul de la intrare inversat: > eval(limit(eval(v[3],tensiuni),a=infinity),[r2=0^3,r=0^3]); evalf(eval(limit(eval(v[3],tensiuni),a=0^5),[r2=0^3,r=0^3])) ; sin( w0 t ) sin( w0 t ) liniarao - 3

38 Conexiuni elementare pentru AO Reprezentarea grafica :semnalul de intrare (verde) si semnalul de iesire (rosu): >plot([eval(limit(eval(v[3],tensiuni),a=infinity),[r2=0^3,r=0^ 3,w0=2*Pi*0^3]),eval(eval(v[],tensiuni),[w0=2*Pi*0^3])],t= ); Analiza in cazul neideal Se considera o comportare depinzind de frecventa. Pentru amplificatorul operational s-a luat in considerare un singur pol (pol dominant). > A:=A0/(+s/p); A := A0 s + p Pentru modelul considerat functia de transfer este: > Ha; A0 R2 s + A0 R + R + R2 p s + p Pentru amplificare de cc finita si pentru valorile rezistentelor avem: > Hs:=simplify(eval(Ha, [R2=0^3, R=0^3, A0=0^5,p=2*Pi*5*0^3])); π Hs := π + s > Bode[castig](evalf(Hs));Bode[faza](evalf(Hs)); liniarao - 4

39 Conexiuni elementare pentru AO Amplificarea finita de c.c. a A.O. determina o scadere o amplificarii de c.c. a circ. inveersor. > evalf(eval(hs,s=i*0)); Analiza SPICE () V VOFF = 0 VAMPL = 00m FREQ = k R k 2 (2) 3 R2 k 0v - + 0v 7 4 V+ V- V3 OS OUT OS2 V2 U (0) Amplificator inversor cu AO ua (3) *Amplificator inversor cu AO.lib "c:\msim62i\lib\jopamp.lib" R in in- K R2 in- out {Rval} Vcc Vcc 0 0V Vee Vee 0-0V Xopamp 0 in- Vcc Vee out upc74c Vg in 0 dc 0 ac 00m sin(0 00m 0k).param Rval k.step param Rval list 0k 5k 20k.tran u 0.5m.ac dec Meg.dc Vg -2 2 m.probe.end Functionarea cu limitare Limitarea in tensiune: 0V 5V 0V -5V -0V -2.0V -.5V -.0V -0.5V 0.0V 0.5V.0V.5V 2.0V V(out) Vg liniarao - 5

40 Conexiuni elementare pentru AO Limitarea in frecventa: 20V 5V 0V 5V 0V 0mHz 00mHz.0Hz 0Hz 00Hz.0KHz 0KHz 00KHz.0MHz 0MHz 00MHz V(out) Frequency Limitarea unui semnal sinusoidal: 0V 5V 0V -5V -0V 0s 50us 00us 50us 200us 250us 300us 350us 400us 450us 500us V(out) Time Diagrame Bode de castig si faza: mHz 00mHz.0Hz 0Hz 00Hz.0KHz 0KHz 00KHz.0MHz 0MHz 00MHz DB(V(out)/V(in)) Frequency liniarao - 6

41 Conexiuni elementare pentru AO 80d 35d 90d 45d 0d 0mHz 00mHz.0Hz 0Hz 00Hz.0KHz 0KHz 00KHz.0MHz 0MHz 00MHz P(V(out)/V(in)) Frequency Topologie neinversoare Scopul lucrarii Se doreste analiza circuitului din figura : () V VOFF = 0 VAMPL = 00m FREQ = k U ua74 7 V+ V- 4 V3 0v OS2 OUT OS V2 5 6 (3) Componente: R=kO, R2=2kO; (2) R2 R 2k k 0v Amplificator neinversor cu AO Calculul functiei de transfer Metoda I: divizor de tensiune Calculul functiei de transfer folosind divisor de tensiune: R2 + R H(s)= R MetodaII: ecuatii TTN Pentru circuitul din figura se scriettn: () V 0 (s)=e(s); (2) (G +G 2 )V 20 (s)-v 30 (s)=0; (3) V(s)=A(V 0 (s)-v 20 (s)); ecuatia de iesire este: V 30 (s)=y(s); unde amplificatorul operational s-a modelat ca o sursa de tensiune comandata in tensiune. liniarao - 7

42 Conexiuni elementare pentru AO In urma rezolvarii acestor ecuatii rezulta functia de transfer: A H() s = R + A R + R 2 MetodaIII: calcul simbolic > restart:with(syrup): > libname:="c:\\maple/scslib",libname: Caracterizarea circuitului Descrierea circuitului folosind un netlist de tip spice > AmpNeinversor:= "Amplificatorul Neinversor cu AO R 0 Inminus R R2 Inminus Out R2 E Out 0 In Inminus A Vg In 0 Vg.end": Pentru circuit, calculul tensiunilor nodale si a curentilor prin laturi > syrup(ampneinversor,dc,curenti,tensiuni): Syrup/parsedeck: Analyzing SPICE deck "Amplificatorul Neinversor cu AO" (ignoring this line) syrup: There may be an unconnected component. The following component(s) have zero current: {Vg}. > tensiuni; A Vg ( R2 + R ) A Vg R { v Out =, v =, } R + A R + R2 Inminus v = R + A R + R2 In Vg > curenti; i R = A Vg R + A R + R2 Calculul functiei de transfer H(s): > Ha:=eval(v[Out]/v[In],tensiuni); A ( R + R2 ) Ha := R2 + R + A R i E A Vg R A Vg ( R2 + R ) R + A R + R2 R + A R + R2, i R2 =, R2 A Vg =, i = R + A R + R2 Vg 0 Analiza folosind TTN Scriem TTN pentru circuitul echivalent al inversorului: > restart:with(syrup): > libname:="c:\\maple/scslib","../dcelib",libname: > eqttn:={(v[out]-v[inminus])*/r2+(0- v[inminus])*/r=0,v[out]=a*(v[in]-v[inminus]),v[in]=vg}; v Out v Inminus v Inminus eqttn := { = 0, v =, } R2 R Out A ( v In v Inminus ) v In = Vg liniarao - 8

43 Conexiuni elementare pentru AO > tensiuni:=solve(eqttn,{v[out],v[inminus],v[in]}); A Vg ( R + R2 ) R A Vg tensiuni := { v Out =, v =, } R A + R + R2 In Vg v Inminus = R A + R + R2 Functia de transfer: > H:=eval(v[Out]/v[In],tensiuni); A ( R + R2 ) Ha := R2 + R + A R Analiza in cazul ideal Se considera o comportare in frecventa constanta. Functia de transfer calculata: > Ha; A ( R + R2 ) R A + R + R2 Pentru amplificare infinaita relatia se poate aproxima: > H:=limit(Ha,A=infinity); R + R2 H := R Evaluare numerica pentru R=2000, R2=000 in cele doua cazuri (amplificare infinita si amplificare finita): > Ainfinit:=evalf(eval(H,[R2=2*0^3,R=0^3])); Afinit:=evalf(eval(Ha,[R2=2*0^3,R=0^3,A=0^5])); Ainfinit := 3. Afinit := La intrare aplicam un semnal sinusoidal: > eval(v[in],tensiuni); sin( w0 t ) La iesire vom avea semnalul de la intrare amplificat: > eval(limit(eval(v[out],tensiuni),a=infinity),[r2=2*0^3,r=0^3 ]); evalf(eval(limit(eval(v[out],tensiuni),a=0^5),[r2=2*0^3,r=0 ^3])); 3 sin( w0 t ) sin( w0 t ) Obs : Diferenta intre a considera o amplificare finita sau una infinita este mica! Reprezentarea grafica: semnalul de intrarea (verde) si semnalul de iesire (rosu): > plot([eval(limit(eval(v[out],tensiuni),a=infinity),[r2=2*0^3,r =0^3,w0=2*Pi*0^3]),eval(eval(v[In],tensiuni),[w0=2*Pi*0^3])],t= ); liniarao - 9

44 Conexiuni elementare pentru AO Analiza in cazul neideal Se considera o comportare depinzind de frecventa. Pentru amplificatorul operational s-a luat in considerare un sinur pol (pol dominant). > A:=A0/(+s/p); A0 A := s + p Pentru modelul considerat functia de transfer este: > Ha; A0 ( R + R2 ) s + R A0 + R + R2 p s + p Pentru amplificare de cc finita si pentru valorile rezestentelor avem: > Hs:=simplify(eval(Ha, [R2=2*0^3, R=0^3, A0=0^5, p=2*pi*5*0^3])); Hs := π π + 3 s > Bode[castig](evalf(Hs));Bode[faza](evalf(Hs)); liniarao - 0

45 Conexiuni elementare pentru AO Amplificarea finita de c.c. a A.O. determina o scadere o amplificarii de c.c. a circ. neinveersor. > evalf(eval(hs,s=i*0)); Analiza SPICE () V VOFF = 0 VAMPL = 00m FREQ = k (2) 3 R 2k k U 2 - ua74 R2 + 7 V+ V- 4 V3 0v OS2 OUT OS V2 0v Amplificator neinversor cu AO 5 6 (3) *Amplificator neinversor cu AO.lib "c:\msim62i\lib\jopamp.lib" R 0 in- K R2 in- out 0k Vcc Vcc 0 0V Vee Vee 0-0V Xopamp in+ in- Vcc Vee out upc74c Vg in+ 0 dc 0 ac 00m sin(0 00m 0k).tran u 0.5m.ac dec Meg.dc Vg -2 2 m.probe.end Functionarea cu limitare Limitarea in tensiune: 0V 5V 0V -5V -0V -2.0V -.5V -.0V -0.5V 0.0V 0.5V.0V.5V 2.0V V(out) Vg liniarao -

46 Conexiuni elementare pentru AO Limitarea in frecventa 30V 20V 0V 0V 0mHz 00mHz.0Hz 0Hz 00Hz.0KHz 0KHz 00KHz.0MHz 0MHz 00MHz V(out) Frequency Limitarea unui semnal sinusoidal: 0V 5V 0V -5V -0V 0s 50us 00us 50us 200us 250us 300us 350us 400us 450us 500us V(out) Time Diagrama Bode de cistig si faza: mHz 00mHz.0Hz 0Hz 00Hz.0KHz 0KHz 00KHz.0MHz 0MHz 00MHz DB(V(Out)/V(IN+)) Frequency liniarao - 2

47 Conexiuni elementare pentru AO -0d -50d -00d -50d -200d 0mHz 00mHz.0Hz 0Hz 00Hz.0KHz 0KHz 00KHz.0MHz 0MHz 00MHz P(V(Out)/V(IN+)) Frequency Modelarea AO AO in bucla deschisa > restart:with(syrup): > circuitao:= "amplificator operational in bucla deschisa Vin In 0 Vcc Vcc 0 Vee Vee 0 Xopamp In 0 Vcc Vee Out ua74 *Modelarea A.O..subckt ua74 In_plus In_minus Vcc_plus Vcc_minus Out V Out 0 f(v[in_plus],v[in_minus],v[vcc_plus],v[vcc_minus]).ends.end": > syrup(circuitao,dc,curenti,tensiuni); Modelarea amplificatorului operational se face la modul general, tensiunea de iesire depinde de tensiunile de intrare (nodul + si nodul -) si de tensiunile de alimentare Vcc si Vee printr-o functie in general neliniara. > v[out]:=eval(eval(v[out],tensiuni),f=fsat); v Out := fsat ( Vin, 0, Vcc, Vee ) Un model simplu este amplificator liniar cu saturatie: > fsat:=(x,x2,y,y2)->piecewise(x-x2<y/a0 and y2/a0<x- x2,a0*(x-x2),y/a0<=x-x2,y,x-x2<=y2/a0,y2); y y2 fsat := ( x, x2, y, y2 ) piecewise x x2 < and < x x2, A0 ( x x2), A0 A0 y y2 x x2 y x x2 A0,, A0, y2 > #fsat:=(x,x2,y,y2)->(y-y2)/2*tanh(alpha*(x-x2))+(y+y2)/2; Pentru conexiunea in bucla deschisa: > Vout:=eval(eval(v[Out],tensiuni),f=fsat); liniarao - 3

48 Conexiuni elementare pentru AO Vcc Vee A0 Vin Vin < 0 and Vin < 0 A0 A0 Vcc Vout := Vcc Vin A0 Vee Vee Vin A0 Consideram semnalul de intrare sinusoidal: > Vin:=V0*sin(2*Pi*f0*t); Vin := V0 sin( 2 π f0 t ) Caracteristica de intrare-iesire cu limitare: >plot([eval(vin,[v0=0.2,f0=0^3]),subs([v0=0.2,f0=0^3,a0=0^3,vc c=0,vee=-0],vout),t= ]); Obs : Amplificarea A0 a modelului este constanta. O modelare mai amanuntita poate considera amplificarea depinzind de frecventa. Limitarea tensiunii de iesire: >plot({eval(0*vin,[f0=0^3,v0=0.5]),eval(vout,[f0=0^3,a0=0^2, Vcc=0,Vee=-0,V0=0.5])},t= ); Topologie inversoare > restart:with(syrup): > inversorao:= "amplificator operational inversor Vin In 0 Vcc Vcc 0 Vee Vee 0 R In Inm R2 Inm Out Xopamp 0 Inm Vcc Vee Out ua74 liniarao - 4

49 Conexiuni elementare pentru AO *Modelarea A.O..subckt ua74 In_plus In_minus Vcc_plus Vcc_minus Out V Out 0 f(v[in_plus],v[in_minus],v[vcc_plus],v[vcc_minus]).ends.end": > sol:=syrup(inversorao,dc,curenti,tensiuni): Un model simplu este amplificator liniar cu saturatie: > fsat:=(x,x2,y,y2)->(y-y2)/2*tanh(alpha*(x-x2))+(y+y2)/2; Tensiunea de iesire: > Vout:=eval(eval(v[Out],tensiuni),f=fsat): Consideram semnalul de intrare sinusoidal: > Vin:=V0*sin(2*Pi*f0*t): Caracteristica de intrare-iesire: >plot([eval(vin,[v0=0,f0=0^3]),eval(vout,[v0=0,f0=0^3,vcc=0, Vee=-0,alpha=0^3,R=,R2=2]),t= ]); Obs: caracteristica intrare - iesire este cu limitare si corespunde unui amplificator inversor. Pentru functionare liniara, amplificarea este A=-2 si este determinata de rezistentele R si R2. Functionarea liniara (pentru tensiuni de intrare de amplitudine mica V0<Vsat/A): > plot({eval(vin,[f0=0^3,v0=4]),eval(vout,[f0=0^3,vcc=0,vee=- 0,alpha=0^3,V0=4,R=, R2=2])},t= ); Limitarea tensiunii de iesire (pentru tensiuni de intrare de amplitudine mare V0>Vsat/A): > plot({eval(vin,[f0=0^3,v0=6]),eval(vout,[f0=0^3,vcc=0,vee=- 0,alpha=0^3,V0=6,R=, R2=2])},t= ); Topologie neinversoare > restart:with(syrup): > neinversorao:= "amplificator operational neinversor Vin In 0 liniarao - 5

50 Conexiuni elementare pentru AO Vcc Vcc 0 Vee Vee 0 R 0 Inm R2 Inm Out Xopamp In Inm Vcc Vee Out ua74 *Modelarea A.O..subckt ua74 In_plus In_minus Vcc_plus Vcc_minus Out V Out 0 f(v[in_plus],v[in_minus],v[vcc_plus],v[vcc_minus]).ends.end": > sol:=syrup(neinversorao,dc,curenti,tensiuni): Un model simplu este amplificator liniar cu saturatie: > fsat:=(x,x2,y,y2)->(y-y2)/2*tanh(alpha*(x-x2))+(y+y2)/2; Tensiunea de iesire: > Vout:=eval(eval(v[Out],tensiuni),f=fsat): Consideram semnalul de intrare sinusoidal: > Vin:=V0*sin(2*Pi*f0*t): Caracteristica de intrare-iesire: >plot([eval(vin,[v0=0,f0=0^3]),eval(vout,[v0=0,f0=0^3,vcc=0, Vee=-0,alpha=0^3,R=,R2=2]),t= ]); Obs: caracteristica intrare - iesire este cu limitare si corespunde unui amplificator neinversor. Pentru functionare liniara, amplificarea este A=3 si este determinata de rezistentele R si R2. Functionarea liniara (pentru tensiuni de intrare de amplitudine mica V0<Vsat/A): > plot({eval(vin,[f0=0^3,v0=3]),eval(vout,[f0=0^3,vcc=0,vee=- 0,alpha=0^3,V0=3,R=, R2=2])},t= ); Limitarea tensiunii de iesire (pentru tensiuni de intrare de amplitudine mare V0>Vsat/A): > plot({eval(vin,[f0=0^3,v0=6]),eval(vout,[f0=0^3,vcc=0,vee=- 0,alpha=0^3,V0=6,R=, R2=2])},t= ); liniarao - 6

51 Topologie diferentiala Scopul lucrarii... 7 Calculul functiei de transfer... 7 Analiza liniara... 7 Calcul simbolic... 8 Caracterizarea circuitului... 8 Functii de transfer... 8 Particularizari... 8 Amplificator inversor... 8 Amplificator neinversor... 9 Amplificator diferential... 9 Scopul lucrarii Se doreste analiza circuitului reprezentind un A.O. conectat in topologie diferentiala ci in figura: R2 () R -Vee Vg Vg2 (2) 2 (3) 3 R V+ V- OS OUT OS2 Vcc ua74 6 (4) 5 R4 Calculul functiei de transfer Analiza liniara Circuitul are doua intrari notate V g si V g2 si o iesire. Fuctionarea schemei este liniara. Pentru a putea calcula semnalul de iesire pastram o singura sursa in intrare si restul le pasivizam: ) daca V g =0, atunci vom obtine o structura neinversoare cu un divizor de tensiune R3/R4 rezultand functia de transfer: R4( R+ R2) H 2 = R( R3 + R4) 2) daca V g2 =0,atunci vom obtine o sructura inversoare rezultand functia de transfer: R2 H = R Prin suprapunerea efectelor putem calcula semnalul de iesire Y(s): R2 R4( R + R2) Y() s = H() svg() s + H2() svg 2() s = Vg() s + Vg2() s R R( R3+ R4) sau expresia pentru y(t): R2 R4( R+ R2) yt () = A Vg() t + A2 Vg2() t = Vg() t + Vg2() t R R ( R + R ) 3 4 liniarao - 7

52 Topologie diferentiala Calcul simbolic > restart:with(syrup): > libname:="c:\\maple/scslib",libname: Caracterizarea circuitului Descrierea circuitului folosind un netlist de tip spice > Amp:= "Amplificatorul cu AO Vg 0 Vg2 3 0 R 2 R2 2 5 R3 3 4 R4 4 0 E A.end": Pentru circuit, calculul tensiunilor nodale si a curentilor prin laturi > syrup(amp,ac,curenti,tensiuni); { v 5 = A ( R R4 Vg2 + Vg R4 R2 R2 R4 Vg2 + Vg R3 R2 ) R4 R2 + R4 R + R4 R A + R3 R2 + R3 R + R3 R A, Vg R4 R2 + Vg R3 R2 + R R4 A Vg2 R4 Vg2 v 2 =, v = R4 R2 + R4 R + R4 R A + R3 R2 + R3 R + R3 R A 4, v = R3 + R4 3 Vg2, v = Vg } Tensiunea de iesire este: > Y:=collect(factor(eval(v[5],tensiuni)),{Vg,Vg2}); A ( R4 R2 + R3 R2 ) Vg A ( R4 R R4 R2 ) Vg2 Y := ( R3 + R4 ) ( R2 + R + R A ) ( R3 + R4 ) ( R2 + R + R A) Pentru amplificare infinita: > Y:=collect(factor(limit(Y,A=infinity)),{Vg,Vg2}); ( R4 R2 + R3 R2 ) Vg ( R4 R R4 R2 ) Vg2 Y := ( R3 + R4 ) R ( R3 + R4 ) R Functii de transfer Formula pentru calculul iesirii: Y(s)=H(s)Vg(s)+H2(s)Vg2(s) unde > H:=limit(eval(v[5]/v[],tensiuni), Vg2=0); R2 A H := R2 + R + R A > H2:=factor(limit(eval(v[5]/v[3],tensiuni), Vg=0)); A R4 ( R + R2 ) H2 := ( R3 + R4 ) ( R2 + R + R A) Particularizari Amplificator inversor Schema inversorului: liniarao - 8

53 Topologie diferentiala R2 -Vee Vg R3 R R V+ V- OS OUT OS2 Vcc ua Functia de transfer calculata: > H; R2 A R2 + R + R A Pentru amplificare infinaita relatia se poate aproxima: > limit(h,a=infinity); R2 R Amplificator neinversor Schema neinversorului: R2 -Vee Vg2 R R3 R V+ V- OS OUT OS2 Vcc ua Functia de transfer calculata: > H2; A R4 ( R + R2 ) ( R3 + R4 ) ( R2 + R + R A) Pentru amplificare infinaita relatia se poate aproxima: > limit(h2,a=infinity); R4 ( R + R2 ) ( R3 + R4 ) R Amplificator diferential Shema montajului diferential: liniarao - 9

54 Topologie diferentiala R2 R -Vee Vg R3 R V+ V- OS OUT OS2 Vcc ua Functia de transfer calculata: > H:=simplify(subs({Vg=Vg/2, Vg2=-Vg/2},Y)/Vg); H := A ( 2 R4 R2 + R3 R2 + R4 R ) 2 ( R3 + R4 ) ( R2 + R + R A ) Pentru amplificare infinaita relatia se poate aproxima: > limit(h,a=infinity); 2 R4 R2 + R3 R2 + R4 R 2 ( R3 + R4 ) R O schema simplificata pentru amplificatorul diferential are rezistentele egale R3=R, R4=R2. In acest caz amplificarea este: > H:=simplify(subs({Vg=Vg/2, Vg2=-Vg/2, R3=R, R4=R2},Y)/Vg); R2 A H := R2 + R + R A Pentru amplificare infinaita relatia se poate aproxima: > limit(h,a=infinity); R2 R liniarao - 20

55 Trigger Schmitt cu AO Trigger Schmitt neinversor... Simulare Spice pentru trigger Schmitt neinversor... 2 Trigger Schmitt inversor... 3 Simulare Spice pentru trigger Schmitt neinversor... 4 Trigger Schmitt neinversor Trigger-ul Schmitt este un circuit cu AO având reactie pozitiva: Fig. - Trigger Schmitt neinversor Circuitul este neinversor deoarece semnalul de iesire este in faza cu semnalul de la intrare, sursa de semnal se aplica pe intrarea neinversoare. Pentru circuitul din figura (circuit ce nu functioneaza liniar, ci saturat, R 2 face reactia pozitiva) putem scrie relatiile intre tensiuni: ( G + G2) Vi = Ge ( t) + G2Vo sau G2 G2 Vi = e( t) + Vo G + G2 G+ G2 R2 R Vi = e( t) + Vo R + R2 R+ R2 unde: + Vsat, Vi > 0 Vo = Vsat, Vi < 0 CAZ I: Presupunem V i > 0 ; in acest caz Vo = V + sat Aceasta implica: R 2 () R 0 () R + et + Vo > et > V R+ R2 R+ R2 R2 sat Cat timp: R + et () > V R2 sat tensiunea de iesire ramane neschimbata: Vo = V + sat Daca modificam e(t) astfel încât: R + et () < V R2 sat atunci circuitul comuta si avem: V = V ( V < 0) o sat i Trigger Schmitt -

56 Trigger Schmitt cu AO CAZ II: Presupunem V i < 0; in acest caz Vo = V sat Aceasta implica : R et () < V R2 sat Cat timp relatia de mai sus e valabila tensiunea de iesire ramane neschimbata: Vo = V + sat. Daca modificam e(t) astfel încât: R et () > V R2 sat atunci circuitul comuta si avem: Vo = V + sat ( V i > 0 ) Reprezetând grafic cele doua situatii,se obtine figura de mai jos: Vsat+ Vo H e(t) -(R/R2)Vsat+ -(R/R2)Vsat- Vsat- R + Latimea ferestrei de histerezis este: H = ( Vsat Vsat ) Simulare Spice pentru trigger Schmitt neinversor Se vizualizeaza dependenta lui V(3) functie de timp si V() este considerat reper: R2 0V 0V -0V 80ms V(3) V()@ TIME 220ms Trigger Schmitt - 2

57 Trigger Schmitt cu AO Se vizualizeaza caracteristica intrare iesire: 0V 0V -0V -0V 0V 0V V(3) Trigger Schmitt inversor Fig.2 - Trigger Schmitt inversor Circuitul se numeste inversor,deoarece tensiunea de la iesire este in antifaza cu tensiunea de la intrare (semnalul se aplica pe intrarea inversoare a AO). Circuitul se analizeaza similar cu trigger Schmitt neinversor si se obtine caracterisica de iesire: Vo(t) Vsat+ H e(t) R V R+ R2 sat R + V R+ R2 sat Vsat- R + Latimea ferestrei de histerezis este: H = ( Vsat Vsat ) R2+ R. Trigger Schmitt - 3

58 Trigger Schmitt cu AO Simulare Spice pentru trigger Schmitt neinversor Se vizualizeaza dependenta lui V(3) functie de timp si V() este considerat reper: 0V 0V -0V 80ms 00ms 20ms 40ms 60ms 80ms 200ms 220ms V(3) Time Se vizualizeaza caracteristica intrare iesire: 0V 0V -0V -0V -8V -6V -4V -2V 0V 2V 4V 6V 8V 0V V(3) Descrierea Spice pentru Trigger Schmitt inversor si neinversor: *Trigger Smitt neinversor V 0 sin(0 0 0) V V R 2 {R} R k X ua74.param R = 5k.STEP PARAM R LIST 2.5k 5k 7.5k.TRAN 0u u.PROBE.END *Trigger Smitt inversor V 0 sin(0 0 0) V V R 2 0 {R} R k X ua74.param R = 5k.STEP PARAM R LIST 2.5k 5k 7.5k.TRAN 0u u.PROBE.END Trigger Schmitt - 4

59 Circuit activ de ordin I integrator Scopul lucrarii... Caracterizarea circuitului... 2 Circuit real cu rezistenta paralel... 2 Descrierea circuitului... 2 Calculul tensiunilor nodale si a curentilor prin laturi... 2 Calcularea functiei de transfer... 2 Calcularea functiei de transfer pentru AO ideal... 3 Descrierea folosind ecuatiile de stare a circuitului... 3 Integrator... 3 Descrierea circuitului... 3 Calculul tensiunilor nodale si a curentilor prin laturi... 3 Calcularea functiei de transfer... 4 Calcularea functiei de transfer pentru AO ideal... 4 Descrierea folosind ecuatiile de stare a circuitului... 4 Functia de transfer H(s)... 5 Functia de transfer in regim permanent H(j?)... 6 Raspuns in regim permanent... 7 Raspunsul la semnal armonic... 8 Raspunsul la semnal armonic de frecventa egala cu frecventa polului... 8 Raspunsul la semnal armonic de frecventa inalta... 8 Raspuns de regim tranzitoriu... 9 Raspunsul la semnal treapta... 9 Raspunsul la semnal dreptunghiular... 0 Raspunsul la succesiune de pulsuri dreptunghiulare, bipolar - simetrice... Comportare ca integrator... Analiza PSPICE... 2 Diagrama Bode de modul si faza pentru cele doua circuite:... 3 Functia pondere... 3 Comportare de integrator... 4 Scopul lucrarii In lucrarea de fata ne propunem analiza unui integrator cu AO cu condensator in bucla de reactie. Obs: -> In Fig. se prezinta schema unui integrator cu AO, ideal. ->In Fig2. se prezinta schema realizata practic, numit in continuare circuit. integratorao -

60 Circuit activ de ordin I - integrator Caracterizarea circuitului > restart:with(syrup): > libname:="c:\\maple/scslib",libname: Circuit real cu rezistenta paralel Descrierea circuitului > circuit:= "Integrator cu AO Vin 0 Vin R 2 R C 2 3 C R 2 3 E A.end": Calculul tensiunilor nodale si a curentilor prin laturi > syrup(circuit,ac,'curenti','tensiuni'): Syrup/parsedeck: Analyzing SPICE deck "Integrator cu AO" (ignoring this line) > tensiuni; A R Vin { v = Vin, v 3 = A R + R + R + A s C R R + s C R R, R Vin v 2 = A R + R + R + A s C R R + s C R R } > curenti: Calcularea functiei de transfer Exista mai multe metode de calcul a functiei de transfer: Metoda : folosind formula amplificarii Stim ca functia de transfer a unui asemenea circuit este descrisa de formula: R Z2() s * H() s =, Z2() s = sc Z() s R + sc Astfel functia de transfer devine: R * s * C R * + R * R * C H() s = s C = R s + R * C Notand: a= R* C si a= R * C va rezulta ca : H() s Metoda 2: folosind modelul nulor-norator Cu ajutorul modelului nulor-norator al AO: α = s +α, Z () s = R integratorao - 2

61 Circuit activ de ordin I - integrator Scriind ecuatiile Kirchoff si 2 pe circuit : Vin = RI Vin = ZI V = ZI out 2 Vout = ( R ) I sc Obtinem aceeasi functie de transfer obtinuta cu metoda, Z si Z2 avand aceeasi forma. Metoda 3: calcul simbolic Folosind Maple si pachetul Syrup se obtine: > Hcircuit:=eval(v[3]/v[],tensiuni); A R Hcircuit := A R + R + R + A s C R R + s C R R Calcularea functiei de transfer pentru AO ideal > Hcircuitideal:=limit(Hcircuit,A=infinity); R Hcircuitideal := R ( + s C R ) Descrierea folosind ecuatiile de stare a circuitului.ecuatii de stare > syrup(circuit,tran,'curenti','tensiuni'); Syrup/parsedeck: Analyzing SPICE deck "Integrator cu AO" (ignoring this line) R v C ( t) + A R v C ( t ) + R v C ( t ) R Vin R A Vin { v ( ) =, }, t C t v ( ) = C R R ( A + ) C 0 0 { v C ( t )} 2. Ecuatii de iesire > tensiuni; > curenti: v C ( t) { v = Vin, v 2 =, v = } A + 3 A v ( t ) C A + Integrator Descrierea circuitului > integrator:= "Integrator cu AO Vin 0 Vin R 2 R C 2 3 C E A.end": Calculul tensiunilor nodale si a curentilor prin laturi > syrup(integrator,ac,'curenti','tensiuni'): Syrup/parsedeck: Analyzing SPICE deck "Integrator cu AO" (ignoring this line) > tensiuni; A Vin Vin { v Out =, v =, } + s C R + A s C R Ind v = + s C R + A s C R In Vin integratorao - 3

62 Circuit activ de ordin I - integrator > curenti: Calcularea functiei de transfer Exista mai multe metode de calcul a functiei de transfer Metoda folosind formula amplificarii Stim ca functia de transfer a unui asemenea circuit este descrisa de formula: Z2() s H() s =, Z2 () s =, Z() s s* C Z () s Astfel functia de transfer devine: H() s = s* R* C Metoda 2: folosind modelul nulor-norator Cu ajutorul modelului nulor-norator al AO: Scriind ecuatiile Kirchoff si 2 pe circuit : Vin = RI Vin = ZI V = ZI out 2 Vout = I sc Obtinem aceeasi functie de transfer obtinuta cu metoda, Z si Z2 avand aceeasi forma. Metoda 3: calcul simbolic Folosind Maple si pachetul Syrup se obtine: > H:=eval(v[3]/v[],tensiuni); A H := + A s C R + s C R Calcularea functiei de transfer pentru AO ideal > Hideal:=limit(H,A=infinity); Hideal := s C R Descrierea folosind ecuatiile de stare a circuitului.ecuatii de stare > syrup(integrator,tran,'curenti','tensiuni'); Syrup/parsedeck: Analyzing SPICE deck "Integrator cu AO" (ignoring this line) v C ( t) + Vin + A Vin { v C ( 0 ) = 0, v ( ) = }, t C t R C ( A + ) 2. Ecuatii de iesire > tensiuni; { v C ( t )} = G v C ( t) { v = Vin, v 2 =, v = } A + 3 A v ( t ) C A + > curenti: Pentru circuitul real daca consideram o gama de frecvente pentru care rezistenta R >> Zc(?): > limit(hcircuitideal,r=infinity); s C R Obs: calculind functia de transfer pentru circuitul real in gama de frecventa pentru care rezistenta R se poate neglija s-a obtinut aceeasi relatie. integratorao - 4

63 Functia de transfer H(s) Circuit activ de ordin I - integrator S-a calculat in sectiunea anterioara functia de transfer pentru circuitul real (cu rezistenta R) si pentru integrator: integrator: H(s)= α cu α = s R C circuit: H(s)= > Hideal;Hcircuitideal; α s + α cu α = s C R, R C, α = R R ( + s C R ) R C Polii functiei de transfer: > RootOf(denom(Hideal)=0,s);RootOf(denom(Hcircuitideal)=0,s); 0, C R Evaluare numerica: > H:=eval(Hideal,[ C=22*E-9, R=0^3]);Hc:=eval(Hcircuitideal,[ C=22*E-9, R=0^3, R=0^5]);PZ[numeric](Hc,s); H := Hc := 00 s, [ p ] s, Polii functiei de transfer: > Bode[castig](H);Bode[faza](H); Bode[castig](Hc);Bode[faza](Hc); Interpretarea functiei de transfer: > plot3d(abs(eval(h,s=sigma+i*omega)),sigma= ,omega= ,axes=normal,title="Reprezentarea in spatiu a modulului f.d.t."); plot3d(abs(eval(hc,s=sigma+i*omega)),sigma= ,omega=- integratorao - 5

64 Circuit activ de ordin I - integrator ,axes=normal,title="Reprezentarea in spatiu a modulului f.d.t."); Functia de transfer in regim permanent H(j?) >Hoideal:=subs(s=I*omega,Hideal);Hocircuitideal:=subs(s=I*omega,H circuitideal); Hoideal := I Hocircuitideal := ω C R, R R ( + I ω C R ) > #assume(r,positive):assume(r,positive):assume(c,positive): >abs_h0:=abs(limit(hocircuitideal,omega=0));arg_h0:=argument(limi t(hocircuitideal,omega=0)); abs_hinf:=abs(limit(hocircuitideal,omega=infinity));arg_hinf:=ar gument(limit(hocircuitideal,omega=infinity)); abs_halpha:=abs(eval(hocircuitideal,omega=/(r*c)));arg_halpha: =argument(eval(hocircuitideal,omega=/(r*c)));alpha=eval(/(r* C),[R=0^3, C=22*E-9, R=0^5]); abs_h0 := R arg_h0 := R, abs_halpha := argument R R 2 2 R 3 arg_halpha := R, 4 π,, abs_hinf := 0, arg_hinf := 0 α = > plot( eval( [ abs(hoideal), abs(hocircuitideal) ], [R=0^3, C=22*E-9, R=0^5]), omega= ,axes=normal,title="Reprezentarea modulului f.d.t. pentru regim permanent", view=[default, ]); plot( eval( [ argument(hoideal), argument(hocircuitideal) ], [R=0^3, C=22*E-9, R=0^5]), omega= ,axes=normal,title="Reprezentarea modulului f.d.t. pentru regim permanent"); integratorao - 6

65 Circuit activ de ordin I - integrator Raspuns in regim permanent > restart: > libname:="c:\\maple/scslib",libname: > F:=table([dir=FOURIER,inv=inttrans[invfourier]]): Determinarea raspunsului de regim permanent sinusoidal al circuitului cu AO Pentru circuite liniare lucrând în regim permanent sinusoidal functia de transfer are semnificatia de e(t)=acos( ω t + ϕ ) aplicat la intrarea circuitului liniar descris de amplificare generalizata. Un semnal 0 functia de transfer H(s) se regaseste la iesire sub forma: y(t)= AH(s) cos( ω t+ ϕ+ arg H(s ) 0 ) s=jω0 s=jω 0 adica amplificat cu modulul functiei de transfer la frecventa ω 0 si defazat suplimentar cu argumentul functiei de transfer la aceasi frecventa ω 0. Pentru un semnal de intrare format prin sumarea unui numar de semnale sinusoidale: N e(t)=a + A cos( ω t + ϕ ) 0 k 0k k= iesirea se poate calcula pe baza proprietatii de liniaritate: N y(t)= AH( j0) + A H( jω )cos( ω t+ j + arg H( jω ) 0 k 0 k 0k k 0k k = Obs : Integratorul are in cc amplificare teoretica infinita. Realizat practic un astfel de circuit nu functioneaza. El practic integreaza o componenta continua parazita si se satureaza. Schema a doua este o varianta de realizare practica in care amplificarea la JF a fost limitata. Schema a doua se comporta ca integrator pentru frecvente mult mai mari decit α = > Hs:=-alpha/(s+alpha); Hs := α s + α k R C. > Homega:=subs(s=I*omega,Hs); Homega := α I ω + α Atenuarea in cc este: > limit(homega,omega=0); α α integratorao - 7

66 Circuit activ de ordin I - integrator Raspunsul la semnal armonic In acest caz expresia excitatia e( t ) este de forma: > e:=a0*cos(w*t); e := A0 cos( w t ) Transformata Fourier a excitatie e( t ) este: > E:=F[dir](e,t,omega); E := A0 π Dirac ( ω + w) + A0 π Dirac( ω + w ) Transformata Fourier a excitatie y( t ) este: > Y:=Homega*E; Y := α ( A0 π Dirac ( ω + w) + A0 π Dirac ( ω + w) ) I ω + α Raspunsul y( t ) al circuitului la excitatia e( t ) este: > y:=simplify(normal(convert(f[inv](y,omega,t),trig),expanded)); y := α A0 ( w sin ( w t ) + α cos ( w t ) ) w 2 + α 2 La acelasi rezultat se putea ajunge urmarind pasii de calcul: α H( jω ) = jω + α Modulul si faza functiei de transfer: α H( jω ) = 2 2 ω + α ω arg ( H( jω) ) π arctg = α Forma generala a raspunsului permanent: yt () = A0 H( jw)cos wt+ arg H( jw) Raspunsul permanent este: ( ( )) α w yt () = A0 cos wt+ π arctg w α α Raspunsul la semnal armonic de frecventa egala cu frecventa polului > e:=eval(e,w=alpha); integratorao - 8 e := A0 cos( αt ) > y:=simplify(eval(y,w=alpha)); y := α A0 ( sin( α t ) + cos( α t )) 2 α Obs : Semnalul de iesire este defazat fata de intrare cu π 4 fata de atenuarea din banda). Raspunsul la semnal armonic de frecventa inalta > e; > y; A0 cos( w t ) si atenuat cu α α 2 (cu 2

67 α A0 ( w sin ( w t ) + α cos ( w t ) ) w 2 + α 2 Circuit activ de ordin I - integrator > limit(y,alpha=0); α A0 sin( w t ) w Obs : iesirea este integrala intrarii! Raspuns de regim tranzitoriu > restart:with(inttrans): > libname:="c:\\maple/scslib",libname: > L:=table([dir=inttrans[laplace],inv=inttrans[invlaplace]]): >assume(_alpha,positive):assume(_omega,positive):assume(_tau,posi tive):assume(_t,positive): Consideram circuitul liniar cu AO pentru care am determinat functia de transfer H( s ). Excitatia este e( t ) si raspunsul este tensiunea y( t ). In situatia in care semnalul e( t ) este cauzal, circuitul functioneaza in regim tranzitoriu. In studiul comportarii de regim tranzitoriu se utilizeaza transformata Laplace.Vom nota cu Y( s ) transformata Laplace a semnalului y( t ) si cu E( s ) transformata Laplace a semnalului excitatie e( t ). Metodologia de calcul a raspunsului y( t ) la excitatia e( t ) pentru un circuitui este urmatoarea: Determinarea lui E( s ) din e( t ), folosind transformata Laplace directa. Determinarea lui Y( s ), folosind relatia Y( s ) = H( s ) E( s ). Determinarea lui y( t ) din Y( s ), folosind transformata Laplace inversa. Pentru circuit functia de transfer este: > Hs:=-alpha/(s+alpha); Raspunsul la semnal treapta Hs := α s + α In acest caz expresia excitatia e( t ) este de forma: > e:=a0*heaviside(t); e := A0 Heaviside ( t ) Transformata Laplace a excitatie e( t ) este: > E:=L[dir](e,t,s); E := A0 s Transformata Laplace a excitatie y( t ) este: > Y:=Hs*E; Y := α A0 ( s + α) s Raspunsul y( t ) al circuitului la excitatia e( t ) este: > y:=l[inv](y,s,t)*heaviside(t); integratorao - 9

68 Circuit activ de ordin I - integrator e ( α t ) y := α A0 + α α Heaviside ( t ) Se reprezita semnalele de intrare si iesire pentru valorile din schema ale rezistentelor si ale condensatorului: > plot(eval([0*e, subs([alpha=/(r*c), alpha=/(r*c)],y)], [A0=,C=22*E-9, R=0^3, R=0^5]), t= ,numpoints = 200,thickness=,axes=box,title="Raspunsul la excitatie data a circuitului cu AO",labels=["t","e(t),y(t)"]); Raspunsul la semnal dreptunghiular In acest caz expresia excitatia e( t ) este de forma: > e:=a0*(heaviside(t)-heaviside(t-tau)); e := A0 ( Heaviside ( t ) Heaviside ( t τ )) Transformata Laplace a excitatie e( t ) este: > E:=subs(_tau=tau,L[dir](subs(tau=_tau,e),t,s)); E := A0 e ( s τ) s s Transformata Laplace a excitatie y( t ) este: > Y:=Hs*E; Y := α A0 s s + α e ( s τ) Raspunsul y( t ) al circuitului la excitatia e( t ) este: > y:=l[inv](y,s,t)*heaviside(t); y := α A0 ( e ( α ( t + τ) ) ) Heaviside ( t τ ) α s α t α e ( ) Heaviside ( t ) Se reprezita semnalele de intrare si iesire pentru valorile din schema ale rezistentelor si ale condensatorului: > plot(eval([0*e, subs([alpha=/(r*c), alpha=/(r*c)],y)], [A0=,tau = 0.05, C=22*E-9, R=0^3, R=0^5]), t= ,numpoints = 200,thickness=,axes=box,title="Raspunsul la excitatie data a circuitului cu AO",labels=["t","e(t),y(t)"]); integratorao - 0

69 Circuit activ de ordin I - integrator Raspunsul la succesiune de pulsuri dreptunghiulare, bipolar - simetrice > N:=0: In acest caz expresia excitatia e( t ) este de forma: > e:=(-a0/2+a0*sum(heaviside(t-n*t)-heaviside(t-tau-n*t),n=0..n- ))*Heaviside(t): Transformata Laplace a excitatie e( t ) este: > E:=subs([_tau=tau,_T=T],L[dir](subs([T=_T,tau=_tau],e),t,s)): Transformata Laplace a excitatie y( t ) este: > Y:=Hs*E: Raspunsul y( t ) al circuitului la excitatia e( t ) este: > y:=subs([_tau=tau,_t=t,_alpha=alpha],l[inv](subs([t=_t,tau=_tau, alpha=_alpha],y),s,t))*heaviside(t): Se reprezita semnalele de intrare si iesire pentru valorile din schema ale rezistentelor si ale condensatorului: > plot(eval([0*e, subs([alpha=/(r*c), alpha=/(r*c)],y)], [A0=,T = 0., tau = 0.05, C=22*E-9, R=0^3, R=0^5]), t= ,numpoints = 200,thickness=,axes=box,title="Raspunsul la excitatia data a circuitului cu AO",labels=["t","e(t),y(t)"]); Comportare ca integrator Se modifica frecventa semnalului dreptunghiular (perioda T) cu pastrarea unui factor de umplere de 50%. Se observa regimul tranzitoriu : > plot(eval([0*e, subs([alpha=/(r*c), alpha=/(r*c)],y)], [A0=,T = 0.002, tau = 0.00, C=22*E-9, R=0^3, R=0^5]), t= ,numpoints = 200,thickness=,axes=box,title="Raspunsul la excitatia data a integratorao -

70 Circuit activ de ordin I - integrator circuitului cu AO",labels=["t","e(t),y(t)"]); Se vizualizeaza semnalul pe un interval de timp cind regimul tranzitoriu se poate considera stins: > plot(eval([0*e, subs([alpha=/(r*c), alpha=/(r*c)],y)], [A0=,T = 0.002, tau = 0.00, C=22*E-9, R=0^3, R=0^5]), t= ,numpoints = 200,thickness=,axes=box,title="Raspunsul la excitatia data a circuitului cu AO",labels=["t","e(t),y(t)"]); Obs : Perioada la care se lucreaza este T<< 2 π α. Analiza PSPICE Descriere PSpice: *circuit VIN 0 AC VCC+ VCC+ 0 0V VCC- VCC- 0-0V R 2 K C N XOPAMP 0 2 VCC+ VCC- 3 ua74 R2 22 K C N Rcom K XOPAMP VCC+ VCC- 32 ua74.lib "opamp.lib".ac dec Meg.PROBE.END *circuit VIN 0 pulse(-v V 0.3mS us 2us 0.3ms 0.602ms) VCC+ VCC+ 0 0V VCC- VCC- 0-0V R 2 K C N XOPAMP 0 2 VCC+ VCC- 3 ua74 R2 22 K C N Rcom K XOPAMP VCC+ VCC- 32 ua74.lib "opamp.lib".tran 5us 50ms 0 0us.PROBE.END integratorao - 2

71 Diagrama Bode de modul si faza pentru cele doua circuite: 00 Circuit activ de ordin I - integrator mHz.0Hz 0Hz 00Hz.0KHz 0KHz 00KHz.0MHz 0MHz 00MHz.0GHz 20*log0(V(3)/v()) 20*log0(V(32)/v()) Frequency 80d 93d 0d -93d 00mHz.0Hz 0Hz 00Hz.0KHz 0KHz 00KHz.0MHz 0MHz 00MHz.0GHz P(V(3)/v()) P(V(32)/v()) Frequency Functia pondere 0V 5V 0V -5V -0V 0s 0.5ms.0ms.5ms 2.0ms 2.5ms 3.0ms 3.5ms 4.0ms V(3) V(32) V() Time integratorao - 3

72 Circuit activ de ordin I - integrator Comportare de integrator cu intrare in limitare: 0V 5V 0V -5V -0V 0s 0.5ms.0ms.5ms 2.0ms 2.5ms 3.0ms 3.5ms 4.0ms 4.5ms 5.0ms 5.5ms 6.0ms V(3) V(32) V() Time fara intrare in limitare: 8.0V 4.0V 0V -4.0V -8.0V 20.0ms 20.5ms 2.0ms 2.5ms 22.0ms 22.5ms 23.0ms 23.5ms 24.0ms 24.5ms 25.0ms V(32) V() Time stingerea regimului tranzitoriu si amplificare in c.c. 0V 5V 0V -5V -0V 0s 20ms 40ms 60ms 80ms 00ms 20ms 40ms 60ms V(3) V(32) V() Time integratorao - 4

73 Circuit activ de ordin I derivator Scopul lucrarii... Caracterizarea circuitului... 2 Circuit real cu rezistenta serie... 2 Descrierea circuitului... 2 Calculul tensiunilor nodale si a curentilor prin laturi... 2 Calcularea functiei de transfer... 2 Calcularea functiei de transfer pentru AO ideal... 3 Descrierea folosind ecuatiile de stare a circuitului... 3 Derivator... 4 Descrierea circuitului... 4 Calculul tensiunilor nodale si a curentilor prin laturi... 4 Calcularea functiei de transfer pentru circuit... 4 Calcularea functiei de transfer pentru AO ideal... 5 Descrierea folosind ecuatiile de stare a circuitului... 5 Functia de transfer H(s)... 5 Functia de transfer in regim permanent H(j?)... 7 Raspuns in regim permanent... 8 Raspunsul la semnal armonic... 9 Raspunsul la semnal armonic de frecventa joasa... 0 Raspuns de regim tranzitoriu... 0 Raspunsul la semnal treapta... 0 Raspunsul la semnal dreptunghiular... Raspunsul la succesiune de pulsuri dreptunghiulare, bipolar - simetrice... 2 Comportarea derivatorului... 2 Comportare ca derivator... 2 Analiza PSPICE... 3 Diagrama Bode de modul si faza pentru cele doua circuite:... 4 Functia pondere... 4 Comportare de derivator... 4 Scopul lucrarii In lucrarea de fata ne propunem analiza unui derivator cu AO cu condensator si rezistor in bucla de reactie. Obs: -> In Fig. se prezinta schema unui derivator cu AO, ideal. ->In Fig2. se prezinta schema realizata practic, numita in continuare circuit. derivatorao -

74 Circuit activ de ordin I derivator Caracterizarea circuitului > restart:with(syrup): > libname:="c:\\maple/scslib",libname: Circuit real cu rezistenta serie Descrierea circuitului > circuit:= "Derivator cu AO Vg 0 Vg r 2 r C 2 3 C R 3 4 R E A.end": Calculul tensiunilor nodale si a curentilor prin laturi > syrup(circuit,ac,'curenti','tensiuni'); Syrup/parsedeck: Analyzing SPICE deck "Derivator cu AO" (ignoring this line) s C R A Vg Vg ( s C R + A + ) { v = Vg, v 4 = v = s C R + A + + A s C r + s C r, 2 s C R + A + + A s C r + s C r, s C R Vg v 3 = s C R + A + + A s C r + s C r } > tensiuni; s C R A Vg Vg ( s C R + A + ) { v = Vg, v 4 = v = s C R + A + + A s C r + s C r, 2 s C R + A + + A s C r + s C r, s C R Vg v 3 = s C R + A + + A s C r + s C r } > curenti; s C ( A + ) Vg s C ( A + ) Vg i E = i = s C R + A + + A s C r + s C r Vg, s C R + A + + A s C r + s C r, Vg ( s C R + A + ) Vg s C R + A + + A s C r + s C r i r = i = r, s C ( A + ) Vg C s C R + A + + A s C r + s C r, s C R Vg s C R A Vg + s C R + A + + A s C r + s C r s C R + A + + A s C r + s C r i R = R Calcularea functiei de transfer Exista mai multe metode de calcul a functiei de transfer: Metoda : folosind formula amplificarii Stim ca functia de transfer a unui asemenea circuit este descrisa de formula: Z2() s H() s =, Z() s = r+, 2 Z() s sc Z () s = R Astfel functia de transfer devine: RC R s RC s H() s = = rc = rc r+ s+ s+ sc rc rc derivatorao - 2

75 Circuit activ de ordin I derivator Notand: α = si α = va rezulta ca: RC rc H s α () = * α s s + α Metoda 2: folosind modelul nulor-norator Cu ajutorul modelului nulor-norator al AO: Scriind ecuatiile Kirchoff si 2 pe circuit: Vin = ZI Vin = ( r+ ) I sc V = ZI out 2 Vout = RI Obtinem aceeasi functie de transfer obtinuta cu metoda, Z si Z2 avand aceeasi forma. Metoda 3: calcul simbolic Folosind Maple si pachetul Syrup se obtine: > Hcircuit:=eval(v[4]/v[],tensiuni); s C R A Hcircuit := s C R + A + + A s C r + s C r Calcularea functiei de transfer pentru AO ideal > Hcircuitideal:=limit(Hcircuit,A=infinity); Hcircuitideal := s C R + s C r Descrierea folosind ecuatiile de stare a circuitului.ecuatii de stare > syrup(circuit,tran,'curenti','tensiuni'); Syrup/parsedeck: Analyzing SPICE deck "Derivator cu AO" (ignoring this line) A Vg + Vg A v C ( t ) v C ( t ) { v C ( 0 ) = 0, v ( ) = }, t C t C ( R + r + A r ) { v C ( t )} 2. Ecuatii de iesire > tensiuni; R Vg + r A v C ( t) + r v C ( t ) v 2 =, v =,, R + r + A r 4 A R ( Vg v ( t )) R ( Vg v C C ( t )) { v = R + r + A r 3 R + r + A r } > curenti; i Vg = A Vg + Vg A ( ) R + r + A r v = Vg R Vg + r A v C ( t) + r v C ( t ) v C t v C ( t ) Vg R + r + A r, i r =, r derivatorao - 3

76 Circuit activ de ordin I derivator R ( Vg v C ( t )) A R ( Vg v C ( t )) A Vg + Vg A v C ( t ) v C ( t ) + R + r + A r R + r + A r i C =, i = R + r + A r R, R A Vg + Vg A v C ( t ) v C ( t ) i E = R + r + A r Derivator Descrierea circuitului > derivator:= "Derivator cu AO Vin 0 Vin R 2 3 R C 2 C E A.end": Calculul tensiunilor nodale si a curentilor prin laturi > syrup(derivator,ac,'curenti','tensiuni'): Syrup/parsedeck: Analyzing SPICE deck "Derivator cu AO" (ignoring this line) > tensiuni; { v = Vin, v 3 = A Vin s C R Vin s C R, v = } s C R + A + 2 s C R + A + > curenti; Vin s C R A Vin s C R + s C Vin ( A + ) s C R + A + s C R + A + s C Vin ( A + ) i C = i = s C R + A + R i = R E,, s C R + A +, i Vin = s C Vin ( A + ) s C R + A + Calcularea functiei de transfer pentru circuit Exista mai multe metode de calcul a functiei de transfer: Metoda : folosind formula amplificarii Stim ca functia de transfer a unui asemenea circuit este descrisa de formula: Z2() s H() s =, Z() s =, 2 Z () s s* C Z () s = G Astfel functia de transfer devine: H() s Metoda 2: folosind modelul nulor-norator Cu ajutorul modelului nulor-norator al AO: = src Scriind ecuatiile Kirchoff si 2 pe circuit obtinem: derivatorao - 4

77 Circuit activ de ordin I derivator Vin = ZI Vin = I sc V = ZI out 2 Vout = RI aceeasi functie de transfer obtinuta cu metoda, Z si Z2 avand aceeasi forma. Metoda 3: calcul simbolic Folosind Maple si pachetul Syrup se obtine: > H:=eval(v[3]/v[],tensiuni); A s C R H := s C R + A + Calcularea functiei de transfer pentru AO ideal > Hideal:=limit(H,A=infinity); Hideal := s C R Descrierea folosind ecuatiile de stare a circuitului.ecuatii de stare > syrup(derivator,tran,'curenti','tensiuni'); Syrup/parsedeck: Analyzing SPICE deck "Derivator cu AO" (ignoring this line) Vin v C ( t) + A Vin A v C ( t ) { v C ( 0 ) = 0, v ( ) = }, t C t C R 2. Ecuatii de iesire > tensiuni; { v 3 = A Vin + A v C ( t ), v = Vin, v 2 = Vin ( t )} v C { v C ( t )} > curenti; Vin v C ( t) + A Vin A v C ( t) Vin v C ( t) + A Vin A v C ( t ) { i Vin =, i = R E, R Vin v C ( t ) + A Vin A v C ( t) Vin v C ( t ) + A Vin A v C ( t ) i R =, i = R C } R Pentru circuitul real daca consideram o gama de frecvente pentru care rezistenta R >>Zc(s): > limit(hcircuitideal,r=0); s C R Obs: calculind functia de transfer pentru circuitul real in gama de frecventa pentru care rezistenta r se poate neglija s-a obtinut aceeasi relatie. Functia de transfer H(s) S-a calculat in sectiunea anterioara functia de transfer pentru circuitul real (cu rezistenta r) si pentru derivator: s derivator: H() s = α α s circuit: H() s = * cu α =, α = α s + α rc RC > Hideal;Hcircuitideal; s C R s C R + s C r derivatorao - 5

78 Circuit activ de ordin I derivator Polii functiei de transfer: > RootOf(denom(Hcircuitideal)=0,s); C r Evaluare numerica: > H:=eval(Hideal,[ C=22*E-9, R=0^3]);Hc:=eval(Hcircuitideal,[ C=22*E-9, R=0^3, r=00]);pz[numeric](hc,s); H := s Hc := Polii functiei de transfer: > Bode[castig](H);Bode[faza](H); z 0. p s s > Bode[polara](H);Bode[polara](Hc); Interpretarea functiei de transfer: derivatorao - 6

79 Circuit activ de ordin I derivator > plot3d(abs(eval(h,s=sigma+i*omega)),sigma=-0^6..0^6,omega=- 0^6..0^6,axes=normal,title="Reprezentarea in spatiu a modulului f.d.t."); plot3d(abs(eval(hc,s=sigma+i*omega)),sigma=-0^6..0^6,omega=- 0^6..0^6,axes=normal,title="Reprezentarea in spatiu a modulului f.d.t."); Functia de transfer in regim permanent H(j?) > Hoideal:=subs(s=I*omega,Hideal);Hocircuitideal:=subs(s=I*omega,H circuitideal); Hoideal := I ω C R Hocircuitideal := I ω C R + I ω C r > assume(r,positive):assume(r,positive):assume(c,positive): > abs_h0:=abs(limit(hocircuitideal,omega=0));arg_h0:=argument(limi t(hocircuitideal,omega=0)); abs_hinf:=abs(limit(hocircuitideal,omega=infinity));arg_hinf:=ar gument(limit(hocircuitideal,omega=infinity)); abs_halpha:=abs(eval(hocircuitideal,omega=/(r*c)));arg_halpha:= argument(eval(hocircuitideal,omega=/(r*c)));alpha=eval(/(r*c), [R=0^3, C=22*E-9, r=00]); abs_h0 := 0, arg_h0 := 0 abs_hinf := R~ arg_hinf := π r~, abs_halpha := 2 2 R~ r~ α = , arg_halpha := 3 4 π > plot( eval( [ abs(hoideal), abs(hocircuitideal) ], [R=0^3, C=22*E-9, r=00]), omega=- 0^6..0^6,axes=normal,title="Reprezentarea modulului f.d.t. pentru regim permanent", view=[default, ]); plot( eval( [ argument(hoideal), argument(hocircuitideal) ], [R=0^3, C=22*E-9, r=00]), omega=- 0^6..0^6,axes=normal,title="Reprezentarea modulului f.d.t. pentru regim permanent"); derivatorao - 7