ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838, 17840, 17841, 17843, 17844 VERSION 3-11-014 19:00

_16968 Αντικαθιστώ στην εξίσωση όου x = για να δώ αν θα άρω σωστή ισότητα: 4 3συν 4 + 3= 0 3συν + 3= 0 3( 1) + 3= 0 3+ 3= 0 ου είναι αληθής 4 β) Οι ζητούμενες τετμήμένες είναι οι λύσεις της εξίσωσης κ κ συν 4x = 1 4x = κ + κ x = + κ x = + κ 4 4 4 _1765 ( ) ηµω + συνω = 1 ηµ ω + ηµωσυνω + συν ω = 1 ηµ ω + συν ω + ηµωσυνω = 1 1+ ηµωσυνω = 1 ηµωσυνω = 0 ηµωσυνω = 0 ηµω = 0 ή συνω = 0 ω = κ κ ή ω = κ + κ = 1

_17656 Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση ( ) f x = ρσυνωx όου ρ, ω>0 έχει μέγιστη τιμή ρ, ελάχιστη ρ και ερίοδο ίση με ω Σχολικό σελίδα 81 α) Η μέγιστη τιμή της είναι 1 και η ελάχιστη 1. Η ερίοδος της συνάρτησης είναι =. γ) Δεν μορεί αφού αίρνει τιμές αό 1 έως 1.

_17663 1 4 συν x+ 1 5συν x 4 = 0 συν x+ 1= 0 ή 5συν x 4 = 0 συν x = ή συν x = 5 α) ( )( ) 1 Εειδή 0 < x < είναι συν x > 0 οότε η ρίζα συν x = αορρίτεται και η μόνη αοδεκτή είναι η συν x = 4 5 4 16 5 16 9 β) ηµ x = 1 συν x = 1 = 1 = = 5 5 5 5 Εειδή 0 < x < είναι ηµ x > 0 9 3 Αρα ηµ x = = 5 5 3 ηµ x 5 3 εϕx = = = συν x 4 4 5 σϕ x = 4 3

_17664 εϕ ω + θ = εϕ135 = εϕ 180 45 = εϕ45 = 1 α) ( ) ( ) β) Γνωρίζουμε ότι: εϕ ( ω θ ) εϕω + εϕθ + = σ.9 σχολικού 1 εϕωεϕθ Αρα χιαστί εϕω + εϕθ 1= εϕω + εϕθ = 1+ εϕωεϕθ εϕω + εϕθ + 1= εϕωεϕθ 1 εϕωεϕθ Για να ισχύει ο τύος ρέει συνω 0 ω κ 90 κ και συνθ 0 θ κ 90 κ _17681 α) Μέγιστη τιμή όταν ημx=1 οότε maxf ( x ) = 3 και ελάχιστη όταν ημx=-1 οότε minf ( x ) =-1 β) Mέγιστη τιμή αρουσιάζει για x για το οοίο ημx=1 δηλαδή για x =.

_1769 α) ηµ + x + συν ( + x) = ηµ ( x) συν x = συν ( x) συν x = συν x συν x = 0 β) συν x = ηµ + x συν x = συν x συν x = 0 συν x = 0 x = κ + _17693 17 3 3 3 α) συν = συν = συν = συν 10 10 10 10 1 3 < 10 < 1 ου ισχύει.αρα 1 < 3 οότε: 4 10 4 10 1 1 3 < < 6 4 10 H συνάρτηση συνx είναι γνησίως φθίνουσα στο 0 < x < (όως διαιστώνουμε αό τον τριγωνομετρικό κύκλο) 3 1 1 οότε συν < συν < συν 10 4 6

β) ηµ x1 = συν x1 και ηµ x = συν x 3 Στο, είναι γνησίως αύξουσα (όως διαιστώνουμε αό τον τριγωνομετρικό κύκλο) οότε αό 3 < x1 < x < συμεραίνουμε ότι: συν x1 < συν x ηµ x1 < ηµ x

_17699 3 9 16 συν ϕ = 1 ηµ ϕ = 1 = 1 = 5 5 5 16 4 Εειδή φ οξεία δηλαδή 0 < ϕ < είναι συνϕ > 0 οότε συνϕ = =. 5 5 β) θ=180 +φ εομένως όως γνωρίζουμε: 3 συνθ = συν ( 180 + ϕ ) = συνϕ = 5 4 ηµθ = ηµ ( 180 + ϕ ) = ηµϕ = 5 ω=180 -φ εομένως όως γνωρίζουμε: 3 συνω = συν ( 180 ϕ ) = συνϕ = 5 ( 180 ) ηµω = ηµ ϕ = ηµϕ = 4 5

_17704 α) Περίοδος Τ= =, μέγιστη τιμή 3 και ελάχιστη τιμή -3. β) x 0 3 4 4 x 0 3 συνx 1 0-1 0 1 f x = συν x -3 0 3 0-3 ( ) 3

_1775 f x 3x = ηµ + συν 3x = ηµ 3x + ηµ 3x = ηµ 3x α) ( ) ( ) ( ) ( ) β)

_17736 α) β) ( συν x)( + συν x) ηµ x 1 συν x Α= = = 1 1 = 1+ συν x 1 συν x 1 συν x 1 συν x ηµ x 1 1 1 1 = 1+ συν x = συν x = 1 συν x = συν x= συν 1 συν x 3 Αό τον τριγωνομετρικό κύκλο και τους τύους αναγωγής στο 1 ο τεταρτημόριο συμεραίνουμε ότι λύσεις της εξίσωσης στο διάστημα ( 0, ) είναι x = = καθώς και 3 3 4 x = + =. 3 3

_17739 1 ηµ x ηµ + x = 1 ηµ x ηµ x = 1 ηµ x+ ηµ x = 1 ηµ x = 1 ηµ x = α) ( ) ( ) ( ) 1 β) Γνωρίζουμε ότι ηµ =.Γνωρίζουμε ότι οι αραληρωματικές γωνίες έχουν ίδια ημίτονα.αρα λύση 6 ου να ανήκει στο, είναι η 5 = 6 6

_17741 α) ηµ x ηµ x 1 1 1+ 1 x x συν x + + = ηµ + = ηµ συν x = 1 συν x 1+ συν x 1 συν x 1+ συν x 1 συν x 1+ συν x ( )( ) ηµ x = ηµ x = = 1 συν x ηµ x ηµ x β) α ) ηµ x ηµ x 4 4 1 3 + = = = ηµ x = ηµ x = ηµ 1 συν x 1+ συν x 3 ηµ x 3 ηµ x 3 3 x = κ + 3 x = κ + 3 ή, κ ή, κ x = κ + x = κ + 3 3

4_17837 α) Αό την θεωρία γνωρίζουμε ότι η μέγιστη τιμή είναι α + 1.Ετσι έχουμε: α + 1 = 3 α + 1 = 3 ή α + 1 = 3 α = ή α = 4. Είσης γνωρίζουμε ότι η ερίοδος είναι =.Αρα αό τα δεδομένα έχουμε β β 1 4 β β = = 4 =. β) i) Για α= και 1 β = έχουμε: f x = ηµ οότε: ( x) 3 x x x x 1 f ( x) = 3 3ηµ = 3 ηµ = 1 = κ + κ = κ + κ x = 4κ + 1, κ ii) Αφού η ερίοδος είναι 4 μας ζητείται η γραφική αράσταση σε διάστημα δύο εριόδων:

4_17838 ( ) 5συνω 8συνω 1 0 5 συν ω 1 8συνω 1 0 10συν ω 8συνω 16 0 + + = + + = + + = 5συν ω + 14συνω + 8 = 0 α = 5 β = 14 γ = 8 = β αγ = = = 4 14 4 5 8 196 160 36 β ± 14 ± 36 14 ± 6 συνω = = = α 5 10 14 6 0 συνω = = = αορρίτεται γιατί ως γνωστόν 1 συνω 1 10 10 ή 14 6 8 4 συνω = + = = 10 10 5 4 16 3 3 5 7 β) συν ω = συν ω 1= 1= 1= 1= = 5 5 5 5 5 5

7 49 65 49 576 ηµ ω = 1 συν ω = 1 = 1 = = 5 65 65 65 Δίνεται ότι < ω < < ω < < ω < οότε ηµ ω < 0 οότε αό την 576 576 4 ηµ ω = αίρνουμε ηµ ω = = 65 65 5 13 ηµ ω + συν ω + 1 13 1+ 1 5 5 Π= = = = = 5 18εϕ ω σϕω + 5[ ηµ ω + συν ω ] 4 7 17 18 5 18 17 18 1+ 5 + + 5 5 5

4_17840 1 D = = λ 1 λ 1 D = x λ λ λ λ λ = = Dy 1 1 = = λ 1 1 λ Αν D 0 λ 0 λ τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση: D x λ λ x = = = D λ λ+ D y λ 1 λ+ 1 y = = = D λ λ+ Για λ = το σύστημα γίνεται: x+ y = 1 x y = 1 x y = x y = ου είναι αδύνατο. 1 1+ 1 1 0 1+ 1+ 1 1 β) Για λ=-1 έχουμε σύστημα με λύση, =, = ( 1, 0) και γυρεύουμε γωνία θ με συνθ=-1 και ημθ=0.στο διάστημα [ 0, ] τέτοια γωνία είναι η θ=.

1 1 1 1 Για λ=1 έχουμε σύστημα με λύση, + =, 1+ 1+ 3 3 1 Αν υήρχε γωνία θ με συνθ = και ηµθ = τότε αό την ταυτότητα 3 3 θα ίσχυε: + = 1 ηµ θ συν θ 1 4 1 5 + = 1 + = 1 = 1 3 3 9 9 9 άτοο.

4_17841 Η Αλίκη και η Αθηνά διασκεδάζουν στη ρόδα του λούνα αρκ. Η αόσταση, σε μέτρα, του καθίσματός τους αό το έδαφος τη χρονική στιγμή t sec δίνεται αό τη συνάρτηση: ( ) 8 6 ht t = + ηµ 30, 0 t 180. α) Να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο ύψος στο οοίο φτάνει το κάθισμα, καθώς και τις στιγμές κατά τις οοίες το κάθισμα βρίσκεται στο ελάχιστο και στο μέγιστο ύψος. (Μονάδες 8) β) Να υολογίσετε την ακτίνα της ρόδας. (Μονάδες 3) γ) Να βρείτε την ερίοδο της κίνησης, δηλαδή το χρόνο στον οοίο η ρόδα ολοκληρώνει μια εριστροφή. Πόσους γύρους έκαναν οι δύο φίλες στο διάστημα αό 0 έως 180 sec; (Μονάδες 4+=6) δ) Να μεταφέρετε στην κόλα σας τον ίνακα τιμών και το σύστημα συντεταγμένων ου δίνονται αρακάτω και: i. να συμληρώσετε τον ίνακα τιμών της συνάρτησης του ύψους h(t). (Μονάδες 3) ii. να σχεδιάσετε στο σύστημα συντεταγμένων το τμήμα της γραφικής αράστασης της συνάρτησης h(t) με 0 t 90. (Μονάδες 5) t α) Το μέγιστο ύψος ειτυγχάνεται όταν ηµ = 1 δηλαδή όταν 30 t t 1 = κ + = κ + t = 60κ + 15 και εειδή 0 t 180 έχουμε: 30 30

15 165 1 45 1 9 0 60κ + 15 180 15 60κ 165 κ κ + κ + 60 60 4 60 4 1 Αρα κ=0 ή κ=1 ή κ= οότε t=15 ή t=75 ή t=135 β) H διάμετρος της ρόδας είναι η διαφορά του ελάχιστου αό το μέγιστο ύψος 14-=1 οότε η ακτίνα της ρόδας είναι 6 m γ) H ερίοδος της ρόδας είναι Τ= = 60 sec.aρα σε 180 sec οι φίλες έκαναν 3 γύρους. 30 δ) t 0 15 30 45 60 75 90 h(t) 8 14 8 8 14 8 t = + ηµ 30 ( ) 8 6 ht 0 h( 0) = 8+ 6 ηµ = 8+ 6 ηµ 0= 8+ 0= 8 30 15 h( 15) = 8+ 6 ηµ = 8+ 6 ηµ = 8+ 6 1= 14 30 30 h( 30) = 8+ 6 ηµ = 8+ 6 ηµ ( ) = 8+ 6 0= 8 30 h 45 3 45 = 8+ 6 = 8+ 6 = 8+ 6 1 = 30 ( ) ηµ ηµ ( ) 60 h( 60) = 8+ 6 ηµ = 8+ 6 ηµ ( ) = 8+ 6 0= 8 30 75 5 h( 75) = 8+ 6 ηµ = 8+ 6 ηµ = 8+ 6 ηµ + = 8+ 6 1= 14 30 90 h( 90) = 8+ 6 ηµ = 8+ 6 ηµ ( 3 ) = 8+ 6 ηµ ( + ) = 8+ 6 0= 8 30

4_17843 Αό την γραφική αράσταση της συνάρτησης αρατηρώ ότι: Μέγιστη τιμή: 5 Ελάχιστη τιμή: -1 Περίοδος: Τ=4 5= ρ + k 4= k k = k = 1= ρ + k 1= ρ + k 1= ρ + ρ = 3 1 4 ω ω = = 1 7 1 7 1 7 4 1 3 1 1 3ηµ x + = 3ηµ x = 3ηµ x = 3ηµ x = ηµ x =

x x = κ + 4 6 = κ + 6 x = κ + 3 1 ηµ x = ηµ ή κ ή κ ή κ 6 x x 5 5 = κ + = κ + x = 4κ + 6 6 3 Εειδή το x 0 βρίσκεται μεταξύ 5 και 6 συμεραίνουμε ότι αίρνουμε το x 0 αό τον τύο 5 x = 4κ + για κ=0, οότε: x0 3 = 5 3

4_17844 x+ y = 1 y = x 1 y = x 1 y = x 1 y = x 1 x + y = 1 x + ( x 1) = 1 x + ( x+ 1) = 1 x + x + x+ 1= 1 x + x = 0 y = x 1 y = x 1 y = x 1 y = x 1 y = x 1 y = x 1 ή x + x = 0 x( x+ 1) = 0 x = 0 ή x+ 1 = 0 x= 0 ή x= 1 x= 0 x= 1 y = 1 y = 0 ή x = 0 x = 1 Αρα λύσεις είναι τα ζεύγη ( 0,1 ) και ( 1, 0). Εειδή για κάθε γωνία ω ισχύει συν ω + ηµ ω = 1, τα συνω και ημω είναι λύσεις του δοθέντος συστήματος, δηλαδή οι ζητούμενες γωνίες έχουν: ηµω = 1 ηµω = 0 ή συνω = 0 συνω = 1 Στο [ 0, ] τέτοιες γωνίες είναι οι ω= και ω = 3

4_17846 3 5 3 7 x 0 4 4 4 4 f ( x) = συν x 1 0-1 0 1 g x = συν x 1 0-1 0 1 0-1 0 1 ( ) Στο Geogebra η σχεδίαση της g(x)=συνx μόνο στο [0,], γίνεται με την εντολή Function[cos(x),0,].

Το λήθος των λύσεων της εξίσωσης συν x = συν x στο διάστημα [0,] όως βλέουμε αό τις γραφικές αραστάσεις είναι 4. Αλγεβρική είλυση: συν x = συν x συν x = συν x συν x συν x = α= β= 1 γ= 1 1 1 0 ( ) ( ) = β αγ = = + = 4 1 4 1 1 8 9 β ± 1± 9 1± 3 συν x = = = α 4 οότε: 1+ 3 1 3 4 1 συν x = ή συν x = συν x = ή συν x = συν x = 1 ή συν x = 4 4 4 4 Στο διάστημα [ 0, ] έχουμε: συν x = 1 x = 0 ή x = 1 4 συν x = συν x = συν x = ή x = + x = ή x = 3 3 3 3 3

4_1785 (με κόκκινο αό mathematica) α) Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση ( ) f x = ρσυνωx όου ρ, ω>0 έχει μέγιστη τιμή ρ, ελάχιστη ρ και ερίοδο ίση με ω (Σχολικό σελίδα 81) Αρα T = 6sec = 6 ω = = ω 6 3 β) h ( 0) = 0 ( ) aσυν ω0 + β = 0 a 1+ β = 0 a+ β = 0 Μετά αό 3 sec θα βρίσκεται ροφανώς στο μέγιστο ύψος οότε h ( 3) = 100 ασυν 3 + β = 100 α συν + β = 100 α + β = 100 3 Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο σχέσεις β = 10 β = 60 συν 3 οότε α=-40 και ht ( ) = 40 t + 60

γ) h( ) 14 = 40συν 14 + 60 = 40συν 4 + + 60 = 40συν + 60 = 3 3 3 1 40 συν + 60 = 40 + 60 = 0 + 60 = 80 3 Σημείωση: Στις λύσεις του Mathematica γράφει h( 14) = h( T + ) = h( ) δ) Αρα δύο εριόδων

4_17855 α) Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση ( ) f x = ρηµωx όου ρ, ω>0 έχει μέγιστη τιμή ρ, ελάχιστη ρ και ερίοδο ίση με ω (Σχολικό σελίδα 81) H ερίοδος της ταλάντωσης είναι 8 = = 8 ώρες 4 t = + άρα 4 β) f ( t) 1ηµ 13 f f 5 5 5 = 1ηµ + 13 = 1ηµ + 13 = 1ηµ + + 13 = 1 ηµ + 13 = 1 + 13 = 6 + 13 4 4 4 4 ( ) 8 8 8 = 1ηµ + 13 = 1ηµ + 13 = 1ηµ + 13 = 1 0 + 13 = 13 4 4 ( ) t Η αόσταση γίνεται ελάχιστη όταν ηµ = 1 4 t t 0< t < 8 0< t < 8 0< < άρα ηµ = 1 έχουμε για 4 4 4 4 t 3 t 3 = = t = 6 4 1 f ( 6) = 1 + 13 = 1.