ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ Σηµειώσεις για το σεµινάριο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Θεοδόσης ηµητράκος -mal: dmtho@agangr Σάµος

Α ΜΕΡΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Τα δεδοµένα µίας στατιστικής έρευνας δίνουν ένα πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό από τον οποίον λαµβάνουµε ένα δείγµα που µας ενδιαφέρει να εξετάσουµε Τα στοιχεία αυτά οργανώνονται αρχικά σε µορφή πινάκων µε τέτοιο τρόπο ώστε να µπορεί κάποιος ερευνητής µε µία απλή ανάγνωση να σχηµατίζει µία πρώτη ιδέα για το δείγµα ή τον πληθυσµό Για πιο αποτελεσµατική παρουσίαση γίνεται χρήση είτε γραφικών είτε αριθµητικών µεθόδων Εστω η µεταβλητή που λαµβάνει τις ακόλουθες τιµές 75 Τα παραπάνω δεδοµένα καλούνται αταξινόµητα δεδοµένα και η διαγραµµατική παρουσίαση τους γίνεται µε τους ακόλουθους τρόπους: α διάγραµµα σηµείων ή ραβδόγραµµα β διάγραµµα µίσχου φύλλου ή κυκλικό διάγραµµα γ ιστόγραµµα ή πολυγωνική γραµµή Παράδειγµα: Για το µάθηµα της Στατιστικής δίνονται οι βαθµολογίες µε άριστα το δύο οµάδων φοιτητών: α Οµάδα : 66777555 β Οµάδα : 6575756675755 Να γίνει το διάγραµµα σηµείων για τις δύο παραπάνω οµάδες Όλα τα σχήµατα που θα χρειαστούν για την πληρότητα των παρόντων σηµειώσεων δίνονται σε ξεχωριστό αρχείο µορφής d To διάγραµµα σηµείων ή σηµειόγραµµα απεικονίζεται στο σχήµα της χειρόγραφης φωτοτυπίας Το διάγραµµα µίσχου φύλλου είναι ένας περιγραφικός τρόπος παρουσίασης µίας κατανοµής συχνοτήτων και χρησιµεύει στην κατασκευή του ιστογράµµατος Παράδειγµα: Να γίνει το διάγραµµα µίσχου φύλλου φυλογράφηµα των παραπάνω βαθµολογιών στη Στατιστική 65-69 6 6 5 6 6 6 5 6 ή 7-7 7-7 5 5 5 5 75-79 7 5 5 5 5 5 5 5 5 - - 5-9 5 5 5 5

Να κατασκευαστούν διαστήµατα τάξεων ή κλάσεων Τάξεις Συχνότητα της τάξης Σχετικές συχνότητες 65-69 5 7-7 5 75-79 6 6 5-5 5 5 5-9 5 5 5 n n n Εύρος πλάτος τάξεων δ 5 δ 7 69 75 7 79 7 δηλαδή αφαιρούµε δύο συνεχόµενα κάτω ή άνω όρια δύο διαδοχικών τάξεων Η κατανοµή συχνοτήτων καλείται διακριτή ή ασυνεχής Για να την µετατρέψουµε σε συνεχή προσθαφαιρούµε στα όρια των τάξεων το ±5 Ετσι έχουµε το ακόλουθο πίνακα: Τάξεις Χ Αθροιστική F Αθροιστική συχνότητα σχετική συχνότητα 65-695 κάτω από 695: κάτω από 695:/ 695-75 κάτω από 75: κάτω από 75:/ 75-795 6 κάτω από 795: κάτω από 795:/5 795-5 5 κάτω από 5:5 κάτω από 5:5/75 5-95 5 κάτω από 95: κάτω από 95:/ Να γίνει το ιστόγραµµα και η πολυγωνική γραµµή Ιστόγραµµα Hstogram: Είναι η γραφική απεικόνιση µίας κατανοµής µε µορφή συνεχόµενων ορθογωνίων παραλληλογράµµων Πολυγωνική γραµµή: είναι µία γραµµή που ενώνει τα κέντρα των ορθογωνίων στηλών του ιστογράµµατος και η οποία επεκτείνεται στα άκρα κατά δ/ Με το σύµβολο που χρησιµοποιούµε στον οριζόντιο άξονα και φαίνεται στο σχήµα της φωτοτυπίας θεωρούµε ότι συµπιέζουµε τµήµατα των αξόνων χωρίς ενδιαφέρoν Το εµβαδόν της περιοχής κάτω από την πολυγωνική γραµµή είναι πάντοτε µικρότερο από το εµβαδόν του ιστογράµµατος Με µεγάλο αριθµό υποδιαστηµάτων και πολύ µικρό εύρος προεκτείνουµε τα άκρα της πολυγωνικής γραµµής µέχρι τα άκρα του ιστογράµµατος ή µέχρι δ/ από το ανώτερο και το κατώτερο άκρο όριο των τάξεων Συνεπώς το εµβαδόν κάτω από την πολυγωνική γραµµή είναι µε µεγάλη προσέγγιση ίσο µε το εµβαδόν του ιστογράµµατος Η πολυγωνική γραµµή στο ιστόγραµµα έχει τετµηµένη τα άνω άκρα των τάξεων και τεταγµένες τις αθροιστικές συχνότητες Η πολυγωνική γραµµή επεκτείνεται µέχρι το κάτω άκρο του πρώτου υποδιαστήµατος και καλείται δεξιόστροφη πολυγωνική γραµµή αθροιστικών συχνοτήτων

Η αριστερόστροφη πολυγωνική γραµµή αθροιστικών συχνοτήτων έχει τετµηµένες τα κάτω άκρα των υποδιαστηµάτων και τεταγµένες τις αθροιστικές συχνότητες που προκύπτουν ως ίσες προς το κατώτερο όριο ή µεγαλύτερες από το κατώτερο όριο κάθε τάξης ΠΙΝΑΚΑΣ ΓΙΑ ΑΡΙΣΤΕΡΟΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ Τάξεις Χ Αθροιστική συχνότητα F 65-695 65 : 695-75 695 : 7 75-795 6 75 : 6 795-5 5 795 : 5-95 5 5 : 5 Η πολυγωνική γραµµή επεκτείνεται µέχρι το άνω άκρο του τελευταίου υποδιαστήµατος Παράδειγµα: Επιλέγουµε οικογένειες τις οποίες ταξινοµούµε ανά επάγγελµα πατέρα ετήσιο µισθό σε χιλιάδες ευρώ αριθµό παιδιών Ε: εργάτης Ο: οδηγός Υ: ηµόσιος Υπάλληλος : δάσκαλος Ι: Ιερέας Τα δεδοµένα δίνονται παρακάτω: χιλιάδες ευρώ Οικογένεια Επάγγελµα Ετήσιος µισθός # παιδιών Ε 7 Ο 75 Ε Υ 7 5 Υ 6 Υ 5 7 9 Ι 9 Ο 6 Ε 6 7 Ε 6 Ε Υ 7 5 Ι 9 6 7 Ε 9 Υ 65 9 75 Υ 7

5 Ι 9 6 7 Ε 9 Υ 65 9 75 Ε 6 Ε Υ 6 Ι Ε 6 Ο Σ Σ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΤΗΣΙΟ ΜΙΣΘΟ Χιλιάδες ευρώ Μισθός Χ F F 5 Ι 5 5 6 ΙΙΙ 5 65 Ι 5 5 5 7 ΙΙΙΙ 9 5 75 ΙΙ 55 ΙΙΙΙ 5 75 9 ΙΙΙ 5 9 ΙΙ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΠΑΙ ΙΩΝ Αριθµός παιδιών Χ F I F I II IIII 6 IIIIΙ IIIIΙ 5 6 II 9 II Σ Να γίνει το ραβδόγραµµα της κατανοµής όσον αφορά το επάγγελµα του πατέρα 5

Ραβδόγραµµα: Ορθογώνια παραλληλόγραµµα στο ύψος των συχνοτήτων ή των σχετικών συχνοτήτων που απέχουν µεταξύ τους ισοµήκη διαστήµατα Είναι κατακόρυφα ή οριζόντια Να γίνει το κυκλικό διάγραµµα των συχνοτήτων των επαγγελµάτων Κυκλικό διάγραµµα: Κύκλοι που διαιρούνται σε τοµείς ώστε το εµβαδόν κάθε τοµέα να εκφράζει την αναλογία της τιµής της αντίστοιχης κατηγορίας στο σύνολο Χαράσσουµε κύκλο µε οποιαδήποτε ακτίνα Για την κατανοµή του αριθµού των παιδιών να γίνει το κυκλικό διάγραµµα το διάγραµµα συχνοτήτων το πολύγωνο συχνοτήτων και το ιστόγραµµα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: ίνεται η συγκέντρωση mgr/cm ενός συγκεκριµένου τύπου αέρος σε δείγµα που λάβαµε σε 57 πόλεις των ΗΠΑ Να κατασκευαστεί κατανοµή συχνοτήτων το ιστόγραµµα το ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων το αθροιστικό διάγραµµα η πολυγωνική γραµµή το φυλλογράφηµα και το αντίστοιχο ιστόγραµµα 6 6 7 6 79 7 5 65 5 7 5 6 5 5 57 5 9 7 5 6 69 7 7 9 9 6 9 9 Λύση: ma mn 79 R 79 67 θεωρώ πλάτος εύρος διαστηµάτων δ και έχω R ma mn 79 67 n: τάξεων R 67 K 67 7 διαστήµατα τάξεων δ Μπορούµε να εκτιµήσουµε το πλήθος των τάξεων και µε τον προσεγγιστικό τύπο του Sturgs n57 K logn log57 755 6 7 κλάσεις 67 To εύρος είναι: δ R 95 K 7 Τάξεις Χ κέντρο τάξης ' F ' F 95-95 5 5 5 95-95 5 9 95-95 5 75 596 6

95-95 5 7 95-595 55 7 5 95 595-695 65 7 55 965 695-795 75 5 57 Φυλογράφηµα 5 6 7 69 5557777 66 567999 7 59 9 Ιστόγραµµα από το Φυλλογράφηµα Άσκηση ίνεται η παρακάτω κατανοµή Τάξεις - - - - -5 5-6 6-7 6 6 Να γίνει ιστόγραµµα συχνοτήτων πολυγωνική γραµµή αθροιστικό διάγραµµα ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΘΕΣΗΣ Μέση τιµή ή αριθµητικός µέσος η πιο αντιπροσωπευτική τιµή της µεταβλητής που n εξετάζουµε Μετριέται σε µονάδες της µεταβλητής Χ Μετράει την κεντρική τάση των τιµών της κατανοµής Ισχύει ότι ιάµεσος Μ είναι η τιµή που διαχωρίζει το σύνολο των δεδοµένων στο 5% αφού πρώτα τοποθετήσουµε τις τιµές κατά αύξουσα τάξη µεγέθους Η διάµεσος Μ είναι η τιµή κάτω από την οποία βρίσκεται το 5% των τιµών της µεταβλητής και πάνω από την οποία βρίσκεται το υπόλοιπο 5% Μετριέται σε µονάδες της µεταβλητής και είναι παράµετρος κεντρικής θέσης Η θέση της διαµέσου προσδιορίζεται όπως φαίνεται στα ακόλουθα παραδείγµατα 7

n Θέση Μ: χ Χ : 7 ιάταξη: 7 n 5 Θέση Μ : Συνεπώς η διάµεσος είναι η η τιµή Άρα Μ7 n Αν έχουμε : 7 τότε Θέση Μ: 5 5 Σε αυτήν την περίπτωση η θέση της διαμέσου είναι το ημιάθροισμα των δύο «μεσαίων» παρατηρήσεων 7 συνεπώς θα έχουμε: Μ 5 Το ο Τεταρτηµόριο rst quartl είναι η τιµή κάτω από την οποία βρίσκεται το 5% των τιµών της n µεταβλητής Η θέση του πρώτου τεταρτηµορίου είναι Q : Το ο Τεταρτηµόριο είναι η τιµή κάτω από την οποία βρίσκεται το 75% των τιµών της µεταβλητής n Η θέση του τρίτου τεταρτηµορίου είναι Q : Γενικά η θέση του δεκατηµορίου είναι α% n n n Για παράδειγµα α α Κορυφή ή Επικρατούσα τιµή Τ ή Μ είναι η τιµή µε τη µεγαλύτερη συχνότητα Ένα ερώτηµα το οποίο συχνά απασχολεί τους ερευνητές όταν θέλουν να αναλύσουν µία σειρά δεδοµένων είναι το ακόλουθο: ΕΡΩΤΗΜΑ: Έχουµε µία σειρά δεδοµένων και ζητείται να υπολογίσουµε ένα µέτρο κεντρικής τάσης ή θέσης Ποιο θα επιλέξουµε από τα µέτρα που γνωρίζουµε ως κατάλληλο; Η απάντηση σε αυτό το ερώτηµα δεν είναι µοναδική αλλά εξαρτάται από την εξέταση διάφορων σηµαντικών στοιχείων που πρέπει να ληφθούν υπόψη α Η ύπαρξη ακραίων τιµών ακραίων υψηλών ή ακραίων χαµηλών στο δείγµα τιµών της µεταβλητής Η διάµεσος δεν επηρεάζεται από την ύπαρξη ακραίων τιµών ενώ ο αριθµητικός δειγµατικός µέσος επηρεάζεται Άρα όταν η κατανοµή έχει ακραίες τιµές πιο αντιπροσωπευτικό µέτρο µοιάζει να είναι η διάµεσος Για παράδειγµα έστω µία υπό-µελέτη µεταβλητή που λαµβάνει τις ακόλουθες τιµές: 769 Η διάµεσος είναι ίση µε 7 ενώ ο µέσος είναι ίσος µε µία τιµή που σίγουρα είναι «επηρεασµένη» από την ύπαρξη της ακραίας υψηλής τιµής του δείγµατος 9 β Θα πρέπει να εξετάσουµε την ευαισθησία στο σχήµα της κατανοµής Όταν η κατανοµή έχει τιµές που ισαπέχουν άνω και κάτω περί γύρω από την κεντρική τιµή έχουµε συµµετρική κατανοµή Όταν έχω ακραία υψηλές τιµές η κατανοµή παρουσιάζει δεξιά ή θετική ασυµµετρία ή δεξιά στρεβλότητα Τότε ισχύει ότι: T <M< Όταν έχουµε ακραία χαµηλές τιµές τότε η κατανοµή παρουσιάζει αριστερή ασυµµετρία ή αρνητική ασυµµετρία ή αριστερή στρεβλότητα Τότε ισχύει ότι: <Μ<Τ Όταν έχουµε δεξιά ή αριστερή ασυµµετρία τότε προτιµότερο µέτρο µοιάζει να είναι η διάµεσος από τον αριθµητικό µέσο Όταν έχουµε περίπου σχεδόν συµµετρική κατανοµή προτιµούµε το δειγµατικό µέσο από τη διάµεσο Μ Για παράδειγµα έστω : 67 Να υπολογιστούν τα T µονοκόρυφη κατανοµή ιατάσσουµε τις τιµές της µεταβλητής και έχουµε: Χ : 67 M T

n 5 6 Η θέση της διαµέσου είναι 55 Άρα M M 6 7 5 Προτιµότερο µέτρο εδώ φαίνεται να είναι ο αριθµητικός µέσος 5 γ Όταν θέλουµε να εξάγουµε συµπερασµατολογία για τον πληθυσµό από το οποίο λαµβάνουµε το δείγµα υπολογίζοντας τις παραµέτρους του δείγµατος προσπαθώντας να βγάλουµε συµπεράσµατα για τις αντίστοιχες παραµέτρους του πληθυσµού τότε σχεδόν πάντα υπολογίζουµε τον αριθµητικό µέσο αντί της διαµέσου Μ δ Αν µας ενδιαφέρει να αναπτύξουµε θεωρητικές ιδιότητες για τα παραπάνω µέτρα τότε ο αριθµητικός µέσος είναι ο πιο κατάλληλος στη θεωρητική ανάπτυξη της στατιστικής συµπερασµατολογίας σε σχέση µε το Μ γιατί επηρεάζεται από όλες τις τιµές της µεταβλητής Στην περίπτωση που τα δεδοµένα µας είναι ταξινοµηµένα σε κλάσεις ή οµάδες οι υπολογισµοί των διαφόρων µέτσρων θέσης διαφοροποιούνται και προσαρµόζονται στη νέα µορφή δοµή των δεδοµένων Για τον αριθµητικό µέσο έχουµε: K όπου K είναι η κεντρική τιµή της τάξης διαστήµατος Η θέση της διαµέσου Μ καθορίζεται από την τάξη που έχει αθροιστική συχνότητα n δ FM ακόλουθος τύπος: M L M M όπου n Ισχύει ο L M είναι το κάτω άκρο της τάξης που περιέχει τη διάµεσο F M είναι η αθροιστική συχνότητα της προηγούµενης τάξης από αυτήν που περιέχει τη διάµεσο και M είναι η συχνότητα της τάξης που περιέχει τη διάµεσο Σε πλήρη αντιστοιχία µε τη διάµεσο έχουµε τους τύπους για το πρώτο και για το τρίτο τεταρτηµόριο που δίνονται παρακάτω: o Τεταρτηµόριο: Q L Q n δ F Q Q n δ F και o Q Τεταρτηµόριο: Q L Q Η επικρατούσα τιµή ή τύπος ή κορυφή ή σηµείο µέγιστης συχνότητας Τ ή Μ δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: T M L δ όπου η θέση της κορυφής είναι η τάξη µε την µεγαλύτερη T συχνότητα και είναι η διαφορα συχνοτήτων της τάξης µε τη µεγαλύτερη συχνότητα µε την προηγούµενη τάξη και είναι η διαφορά συχνοτήτων της τάξης µε τη µεγαλύτερη συχνότητα µε την επόµενη τάξη Παράδειγµα: ίνεται η κατανοµή συχνοτήτων 65 εργαζοµένων σε ένα εργοστάσιο σε χιλιάδες δραχµές Να βρεθούν M Q Q T Q 9

Τάξεις χιλδρχ συνεχείς τάξεις -9 95-95 5 76-9 95-95 5 5 5-59 6 95-595 55 6-69 595-695 65 7-79 695-795 5 75-9 5 795-95 6 5 9-99 95-995 65 5 Λύση: F K K K 55 597 65 Αρα ο μέσος μισθός στο εργοστάσιο των 65 εργαζομένων είναι 597 χιλιάδες δραχμές n Η θέση της διαµέσου είναι η τάξη µε αθροιστική συχνότητα Άρα είναι η η τάξη Μ n η Θέση τάξη 65 Μ95 5 57 χιλ δρχ 6 δ n Q LQ F 95 65 775 Q χιλ δρχ Q Τάξη : n Q η Θέση Q T Θέση Q n 65 η n 65 η 65 τάξη 75 5 τάξη Q 69 5 75 6 T M L δ 95 57 χιλ δρχ 6 6 Χ 595 χιλ δρχ M 557 χιλ δρχ Τ 57 χιλ δρχ Χ>Μ>Τ έχω δεξιά ή θετική ασυµµετρία

Για να καθορίσουμε τη μορφή και τη θέση μίας κατανομής συχνότητας χρειάζεται να εξετάσουμε: α Ένα µέτρο κεντρικής θέσης ή τάσης β Ένα µέτρο διασποράς ή µεταβλητότητας γ Ένα µέτρο ασυµµετρίας δ Ένα µέτρο κύρτωσης ΜΕΤΡΑ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Εκφράζουν τις αποκλίσεις των τιµών µίας µεταβλητής γύρω από τα µέτρα κεντρικής τάσης α Το εύρος των τιµών µίας µεταβλητής Ισχύει ότι R ma mn Όσο πιο µικρό είναι το εύρος τόσο πιο οµοιόµορφα φαίνεται να κατανέµονται οι τιµές της υπό-µελέτη µεταβλητής γύρω από τον αριθµητικό µέσο βη ενδοτεταρτηµοριακή απόκλιση είναι η διαφορά πρώτου και τρίτου τεταρτηµορίου Q Q γ Η ηµί-ενδοτεταρτηµοριακή απόκλιση είναι το ήµισυ της ενδοτεταρτηµοριακής απόκλισης δηλαδή QQ δ Η µέση απόλυτη απόκλιση δίνεται από τους ακόλουθους τύπους ανάλογα µε το εάν έχουµε αταξινόµητα ή ταξινοµηµένα δεδοµένα αντίστοιχα MA n ή MA K K K Η µέση απόλυτη απόκλιση υπολογίζεται απλά αλλά δεν είναι µέτρο που µπορεί να χρησιµοποιηθεί για θεωρητική συµπερασµατολογία Μετριέται στις ίδιες µονάδες µέτρησης της µεταβλητής ε Η δειγµατική διακύµανση ή δειγµατική διασπορά S δίνεται από τους ακόλουθους τύπους ανάλόγα µε το εάν έχουµε αταξινόµητα ή ταξινοµηµένα δεδοµένα αντίστοιχα S Χ ή S n n n K K n n n K ή S Η δειγµατική διακύµανση S είναι το πιο διαδεδοµένο µέτρο διασποράς Όταν οι τιµές της δεν διαφέρουν πολύ από τη µέση τιµή τότε η διασπορά είναι µικρή και αντίστροφα ζ Η δειγµατική τυπική απόκλιση είναι η θετική τετραγωνική ρίζα της δειγµατικής διακύµανσης S S Για παράδειγµα αν S τότε µπορούµε να πούµε ότι οι τιµές της µεταβλητής απέχουν περίπου ± µονάδες από το δειγµατικό µέσο Χ Όταν η κατανοµή είναι σχεδόν συµµετρική η ζώνη Χ± S καλύπτει το 6% περίπου των τιµών της η ζώνη ± S καλύπτει περίπου το 95% των τιµών της και η ζώνη ± S καλύπτει το 99% περίπου των τιµών της

Παράδειγµα ίνεται η παρακάτω κατανοµή Αν κάθε τιµή της µεταβλητής Χ πολλαπλασιαστεί µε µια σταθερά a> ή προστεθεί µία σταθερά a ποιες θα είναι οι νέες τιµές των και Κλάσεις K - - -6 5 6-7Χ - 9 - - Λύση: a Α ν a n * * * * S as K και a * a a S a as n n n Αν κάθε τιµή της Χ πολλαπλασιαστεί µε µία σταθερά α η διακύµανση πολλαπλασιάζεται µε α η τυπική απόκλιση µε α και ο αριθµητικός µέσος µε α β a * a * a a S n n n n * aa * n n S * Αν προσθέσουµε µία σταθερά a σε κάθε τιµή της µεταβλητής ο δειγµατικός µέσος αυξάνεται κατά a ενώ η δειγµατική διακύµανση παραµένει αµετάβλητη ΘΗΚΟΓΡΑΜΜΑ Bo lot Το θηκόγραµµα είναι ένα σχήµα στο οποίο συµπεριλαµβάνουµε βασικά περιγραφικά µετρά µίας υπό- µελέτη µεταβλητής Το κυρίως «σώµα» του αποτελείται από ένα τετράπλευρο όπου στις κάθετες πλευρές τοποθετούµε το πρώτο τεταρτηµόριο Q το τρίτο τεταρτηµόριο Q καθώς επίσης και τη διάµεσο M Σηµειώνουµε επίσης δύο οριακές τιµές την κάτω οριακή και την άνω οριακή που δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: Q 5 Q Q κάτω οριακή A Q 5 Q Q άνω οριακή B S ;

Αν υπάρχουν έκτροπες ή ακραίες τιµές για την υπό-µελέτη µεταβλητή Χ αυτές συµβολίζονται µε * ή Το θηκόγραµµα στο κυρίως σώµα του µας δίνει το κεντρικό διάστηµα των παρατηρήσεων µίας µεταβλητής δηλαδή εκεί που βρίσκεται το 5% των παρατηρήσεων Οι γραµµές στα δύο άκρα του θηκογράµµατος και η θέση της διαµέσου µας δίνουν πληροφορίες σχετικές µε τη συµµετρία της κατανοµής δηλαδή αν έχουµε θετική ασυµµετρία ή αρνητική ασυµετρία ή αν µπορούµε να πούµε ότι έχουµε µία σχεδόν συµµετρική κατανοµή Μία χαρακτηριστική χρησιµότητα του θηκογράµµατος είναι η δυνατότητα που µας παρέχει να µπορούµε να συγκρίνουµε δύο ή περισσότερους πληθυσµούς ή δείγµατα Παράδειγµα: Έστω ότι οι τιµές µίας υπό-µελέτη µεταβλητής δίνουν τα ακόλουθα στοιχεία: Q Q 95 M ακραίο Q 5 Q Q 955 95 575 A Q 5 Q Q 5 95 575 B Με βάση αυτά τα στοιχεία υπολογίζουµε την κάτω οριακή και την άνω οριακή τιµή της µεταβλητής Αν Μ Q Q M ή Q mn ma Q η διάµεσος θα βρίσκεται στο µέσο ή περίπου στο µέσο του κυρίως σώµατος του θηκογράµµατος και η κατανοµή των τιµών της µεταβλητής µπορεί να θεωρηθεί σχεδόν συµµετρική Αν ma Q > Q mn ή Q M > M Q τότε η µέση έκταση είναι µεγαλύτερη της διαµέσου Μ άρα υπάρχουν έκτροπες µεγάλες τιµές Σ αυτήν την περίπτωση η κατανοµή παρουσιάζει δεξιά ή θετική ασυµµετρία Αν ma Q < Q mn ή Q M < M Q τότε η µέση έκταση είναι µικρότερη της διαµέσου Μ και η κατανοµή παρουσιάζει ακραίες χαµηλές τιµές όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα Q M Q Άσκηση: ίνονται οι παρακάτω τιµές: 77975 Να κατασκευαστεί το Θηκόγραµµα Τι παρατηρείτε; ΜΕΤΡΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Το πιο χαρακτηριστικό µέτρο σχετικής µεταβλητότητας είναι ο συντελεστής µεταβλητότητας που S ορίζεται ως εξής: CV Ο συντελεστής µεταβλητότητας εξετάζει τη µεταβλητότητα µίας κατανοµής σε σχετικούς όρους και είναι µέτρο ανεξάρτητο των µονάδων µέτρησης της µεταβλητής π χ 6 S 67 CV 6 ή 6% S 67 6

Με τον συντελεστή µεταβλητότητας µπορούµε να συγκρίνουµε διάφορες κατανοµές µεταξύ τους στις οποίες οι υπό-µελέτη µεταβλητές έχουν διαφορετικές µονάδες µέτρησης και να συγκρίνουµε τη σχετική µεταβλητότητά τους ΜΕΤΡΑ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Το πιο γνωστό µέτρο ασυµµετρίας είναι ο συντελεστής ασυµµετρίας κατά arson S Ο συντελεστής µπορεί να εκφραστεί είτε συναρτήσει της διαµέσου M είτε συναρτήσει της επικρατούσας τιµής M Οι M M σχετικοί τύποι είναι: S M S M Αν < S < τότε η κατανοµή S S µπορεί να θεωρηθεί σχεδόν συµµετρική Αν S ή ισοδύναµα M τότε η κατανοµή M θεωρείται συµµετρική Ένας άλλος συντελεστής ασυµµετρίας που επίσης χρησιµοποιείται συχνά και υπολογίζεται συναρτήσει της διαµέσου του πρώτου και του τρίτου τεταρτηµορίου είναι ο συντελεστής ασυµµετρίας του Bowl S b Ο συντελεστής ασυµµετρίας του Bowl δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: S b Q QM Αν S > Q Q S b τότε η κατανοµή παρουσιάζει θετική ασυµµετρία ενώ αν S S < b τότε η κατανοµή παρουσιάζει αρνητική ασυµµετρία Εναλλακτικά ανάλογα µε το εάν έχουµε αταξινόµητα ή ταξινοµηµένα δεδοµένα µπορούµε να υπολογίζουµε τον συντελεστή ασυµµετρίας β χρησιµοποιώντας τους ακόλουθους τύπους [ n ] [ n ] β ή β 6 6 s s όπου το πρόσηµο του αριθµητή προφανώς χωρίς να υψωθεί στο τετράγωνο!! χαρακτηρίζει την ασυµµετρία της κατανοµής Αν ο αριθµητής είναι θετικός τότε έχουµε θετική ασυµµετρία διαφορετικά έχουµε αρνητική ασυµµετρία Αν β τότε η κατανοµή µπορεί να θεωρηθεί σχεδόν συµµετρική ΜΕΤΡΟ ΚΥΡΤΩΣΗΣ Το πιο διαδεδοµένο µέτρο κύρτωσης είναι ο συντελεστής κύρτωσης κατά arson β ο οποίος ανάλογα µε το εάν έχουµε αταξινόµητα ή ταξινοµηµένα δεδοµένα µπορεί να υπολογιστεί χρησιµοποιώντας τους ακόλουθους τύπους: n n β ή β s s Αν β > τότε η κατανοµή χαρακτηρίζεται λεπτόκυρτη Αν β < τότε η κατανοµή χαρακτηρίζεται πλατύκυρτη και εάν β τότε η κατανοµή χαρακτηρίζεται µεσόκυρτη για παράδειγµα µεσόκυρτη είναι η κανονική κατανοµή ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται τα περσινά κέρδη και οι ζημίες επιχειρήσεων σε εκατομμύρια ευρώ: 6 - - 9-6

Να κατασκευαστεί η κατανομή συχνοτήτων με ίσα υποδιαστήματα εύρους δ και αρχή του πρώτου υποδιαστήματος το -6 και να υπολογιστεί η διακύμανση και η διάμεσος των κερδών Λύση n δ # τάξεων r κέντρο τάξεων Τάξεις Συχνότητα [-6- - 6 [- [6 6 7 [6 6 96 σ M L r r r n r r r M n n δ F M M 96 7 76 5 F :αθροιστική συχνότητα r n θέση M: 5 άρα η τάξη που περιέχει τη διάμεσο είναι η τρίτη ΑΣΚΗΣΗ Σε κατανομή λογαριασμών της ΔΕΗ ενός πληθυσμού νοικοκυριών σε ευρώ υπολογίσθηκαν : K K 67 57 και η διάμεσος Μ67 Αν διαπιστωθεί ότι πληρούνται οι κατάλληλες συνθήκες να βρεθεί το ποσοστό των λογαριασμών που είναι κάτω από 5 ευρώ Λύση k Σ 67 ' Ε χουµε 67 M n n Επειδή M έχουμε συμμετρική κατανομή Σε μια συμμετρική κατανομή πχ κανονική κατανομή ισχύει ότι: α το 67% των τιμών του χαρακτηριστικού περιλαμβάνεται στο διάστημα μεταξύ σ σ β το 955% των τιμών του χαρακτηριστικού περιλαμβάνονται στο διάστημα μεταξύ σ σ και γ το 997% των τιμών του χαρακτηριστικού περιλαμβάνονται στο διάστημα μεταξύ σ σ K 57 67 σ 57 9 σ 9 n Χ± σ 67± 9 Άρα το 67 56% των λογαριασμών είναι κάτω από 5 5

ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται τα κέρδη και οι ζημίες 9 επιχειρήσεων για το έτος σε εκατομμύρια ευρώ: -5-5 6 5 Να βρεθούν ο αριθμητικός μέσος και η διάμεσος Λύση 5 5 6 5 7 7 9 9 Διατάσσουμε τις τιμές: -5-5 6 5 Θέση διαμέσου: n 5 5 η παρατήρηση Άρα η διάμεσος είναι Μ ΑΣΚΗΣΗ Σε συμμετρική κατανομή δαπανών βρέθηκε διάμεσος Μ6 χιλιάδες ευρώ και συντελεστής μεταβλητότητας CV5% Ποιο ποσοστό των δαπανών είναι πάνω από ευρώ; σ σ Λύση Είναι CV % 5 σ 6 Η κατανομή είναι συμμετρική άρα M σ 6 σ < < σ 67% 67% Το ποσοστό των τιμών που είναι πάνω από είναι 5% 5 65% περίπου 6% ΑΣΚΗΣΗ 5 Συμμετρική κατανομή μισθών έχει μέσο Χ ευρώ α Να βρεθεί η τυπική απόκλιση σ αν γνωρίζουμε ότι κάτω από 9 ευρώ και πάνω από ευρώ παίρνει συνολικά το 7% των εργαζομένων β Αν όλοι αυτοί οι μισθοί αυξηθούν κατά 5% και δοθεί ένα επίδομα 5 ευρώ να βρεθεί ο συντελεστής μεταβλητότητας CV των νέων μισθών Λύση α 7% 56% Χ: μισθοί εργαζομένων 7%67%% Χ > και < 7% 9< < 67% 9 -σ σ ' β 5 5 n 5 5 ' 5 5 σ 6

ι 5 5 55 Υ Υ σ Υ n n 5 5 n n 5 σ Χ σ 5σ 5 5 Υ Χ ' 5 CV σ 95 ' Χ CV 95 ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται η κατανομή των επιχειρήσεων ενός βιομηχανικού κλάδου ανάλογα με την αξία των επενδύσεων που πραγματοποιήθηκαν Αξία επενδύσεων K κέντρο τάξης K F : Αθροιστική συχνότητα -< 5 5-5 75 675-5 5 675-5 9 5 5 5 5 5-6 55 65 55 975 55 95 775 α Να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο τη διάμεσο τα τεταρτημόρια την τεταρτημοριακή απόκλιση και τον συντελεστή μεταβλητότητας βυπολογίστε τον συντελεστή ασυμμετρίας του arson Καθορίστε το είδος και την ένταση της ασυμμετρίας Λύση K 95 α 5 n55 n 55 Θέση διαμέσου n : 75 n F M M L M δ 75 n K Q n n 55 F 75 Q : 75 Q LQ δ 5 Q 7

Q Q n Q : 5 Q LQ δ Q Q Q 9 55 n F K 775 σ 5 77 n 55 5 9 σ σ 77 5 σ 5 CV 7% Χ 5 β > M 5> θετικά ασύμμετρη μικρής έντασης M 5 S 59> σ 5 Η κατανομή των τιμών παρουσιάζει μικρής έντασης θετική ασυμμετρία οι τιμές συγκεντρώνονται αριστερά Άσκηση 7 Δίνεται η κατανομή διαφορετικών μοντέλων αυτοκινήτων σε χιλιάδες ευρώ Να υπολογιστούν α η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση των τιμών β η διάμεσος και η τεταρτημοριακή απόκλιση Λύση α ΤΙΜΗ χιλ # ΜΟΝΤΕΛΩΝ K -5 5 5 65 6 5-75 5 7-5 5 5 976 5-5 75 75 5 775 56 K n

K 775 9 75 n σ 5 6 n σ σ 6 β n θέση διαμέσου M τάξη διαμέσου η n F M 5 5 M LM δ 5 5 5 5 75 M Q n n F 5 5 Q : Q LQ δ 5 5 5 6 5 Q η τάξη n F n Q 5 Q: Q LQ δ 5 5 Q η τάξη Q Q 65 Άσκηση Δίνεται ο πίνακας κατανομής ετησίων μισθών τραπεζικών υπαλλήλων σε χιλιάδες ευρώ Να υπολογιστεί ο συντελεστής ασυμμετρίας κατά arson και η τεταρτημοριακή απόκλιση Μπορούμε να χαρακτηρίσουμε την κατανομή αυτή συμμετρική; Δικαιολογήστε την απάντηση σας Μισθός # Υπαλλήλων K F K - < 6 5 6 9 67-5 5-5 6 75-5 7 5 5 665 5-6 7 55 5 7 66975 9

Λύση K 55 n 6697 5 σ 67 σ σ 9 n n F M Μ: MLM δ M 6 5 S M 555 57> σ 9 ελαφρώς θετικά ασύμμετρη κατανομή Μπορεί να χαρακτηριστεί συμμετρική γιατί -<S < Άσκηση Παρακάτω δίνεται ένα δείγμα από τα αποτελέσματα μιας εξέτασης στην οποία έχουν λάβει μέρος 5 εκατ φοιτητές Η μέγιστη βαθμολογία στην εξέταση αυτή είναι μονάδες α Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων και το αντίστοιχο ιστόγραμμα Ξεκινήστε την πρώτη κλάση από το και χρησιμοποιήστε εύρος κλάσης μονάδες β Σχολιάστε το σχήμα της κατανομής γ Τι παρατηρήσεις μπορείτε αν κάνετε χρησιμοποιώντας τις πληροφορίες τόσο του πίνακα συχνοτήτων όσο και του γραφήματος; Τα δεδομένα είναι: 996 55 55 65 7 75 5 6 55 65 56 5 5 99 59 755 75 75 6 6 7 9 56 9 9 75

Β ΜΕΡΟΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε αυτό το µέρος θα κάνουµε µία εισαγωγή στη θεωρία των διανυσµατικών τυχαίων µεταβλητών Θα µελετήσουµε τις διακριτές και τις συνεχείς διανυσµατικές τυχαίες µεταβλητές και θα ορίσουµε σε κάθε περίπτωση τις περιθώριες συναρτήσεις κατανοµών τους Επιπλέον θα µελετήσουµε την ανεξαρτησία δύο τυχαίων µεταβλητών και την κατανοµή του αθροίσµατος ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών Οι έννοιες της συνδιακύµανσης και του συντελεστή συσχέτισης δύο τυχαίων µεταβλητών παρουσιάζονται µε τη χρήση κατάλληλων σχετικών παραδειγµάτων Χρησιµοποιώντας µία κατάλληλη σχέση παρουσιάζονται σχετικά παραδείγµατα υπολογισµού κατανοµών µετασχηµατισµένων τυχαίων µεταβλητών Ορίζονται σηµαντικές έννοιες από τη θεωρία των δεσµευµένων κατανοµών όπως µεταξύ άλλων οι ακόλουθες: δεσµευµένη αθροιστική συνάρτηση κατανοµής δεσµευµένη συνάρτηση πιθανότητας δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας και δεσµευµένη µέση τιµή ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Έστω οι τυχαίες µεταβλητές K που ορίζονται στον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο Ω I Για n κάθε K n οι τυχαίες µεταβλητές είναι τέτοιες ώστε : Ω R Πολλές φορές µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε τις τυχαίες µεταβλητές K σε συνδυασµό για να διερευνήσουµε τυχόν συσχετίσεις τους Με άλλα λόγια µας ενδιαφέρει το διάνυσµα των τυχαίων µεταβλητών ~ K n Για παράδειγµα έστω ότι η τυχαία µεταβλητή αναπαριστά το βάρος η τυχαία µεταβλητή αναπαριστά το ύψος η τυχαία µεταβλητή αναπαριστά την ηλικία και η τυχαία µεταβλητή αναπαριστά την πίεση ενός ασθενούς Μας ενδιαφέρει να διερευνήσουµε τις τυχόν ~ συσχετίσεις αυτών των µεταβλητών Μελετούµε λοιπόν το διάνυσµα ίνουµε τον ακόλουθο ορισµό n ~ Ορισµός Ένα διάνυσµα K που αποτελείται από n τυχαίες µεταβλητές ορισµένες στον n ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο Ω I καλείται τυχαία µεταβλητή δτµ ισχύει ότι nδιάστατη τυχαία µεταβλητή ή διανυσµατική n dmnsonal random varabl or random vctor Για το διάνυσµα ~ ~ ~ : ω Ω ω ω K R n n ω Κατά τη ρίψη δύο ζαριών µας ενδιαφέρει συνήθως τόσο η ένδειξη του πρώτου όσο και του δεύτερου ζαριού Σε µία κλινική µελέτη µας ενδιαφέρει ο τρόπος µε τον οποίον η ηλικία ενός ασθενούς επηρεάζει το χρόνο αντίδρασής του σε ένα συγκεκριµένο φάρµακο Σε αυτές τις περιπτώσεις εµφανίζονται δύο

τυχαίες µεταβλητές Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει ο προσδιορισµός της συµπεριφοράς της µιας τυχαίας µεταβλητής σε σχέση µε τη συµπεριφορά της άλλης Στη συνέχεια του παρόντος κεφαλαίου θα αναπτύξουµε τη θεωρία των διανυσµατικών τυχαίων µεταβλητών στην περίπτωση κατά την οποία n ~ δηλαδή όταν Ορισµός Η συνάρτηση κατανοµής F : R [] της διανυσµατικής διδιάστατης τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως εξής: F [ ] < < και καλείται από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανοµής ont dstrbuton uncton της διδιάστατης διανυσµατικής τυχαίας µεταβλητής Η συνάρτηση κατανοµής διδιάστατης δτµ ως εξής: F F της τυχαίας µεταβλητής µπορεί να ληφθεί από τη συνάρτηση F της [ ] [ <] [lm{ }] lm [ ] lm F Στην τέταρτη ισότητα η εναλλαγή της θέσης του ορίου και της πιθανότητας είναι επιτρεπτή Εντελώς ανάλογα προκύπτει ότι F lm F Οι συναρτήσεις F και unctons των τυχαίων µεταβλητών και F καλούνται περιθώριες συναρτήσεις κατανοµής margnal dstrbuton Παράδειγµα Θα υπολογίσουµε την πιθανότητα [ > > ] συναρτήσει των περιθωρίων συναρτήσεων κατανοµών των τυχαίων µεταβλητών και της από κοινού αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής της διδιάστατης δτµ ιαδοχικά έχουµε c c c [ > > ] [{ > > } ] [{ > } { > } ] [{ } { }] [ { } { } { }] F F F Η δεύτερη ισότητα είναι συνέπεια του Νόµου D Morgan για την τοµή δύο ενδεχοµένων και η τέταρτη ισότητα είναι συνέπεια του προσθετικού νόµου

ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Αν οι τυχαίες µεταβλητές και είναι διακριτές τότε ορίζουµε την από κοινού συνάρτηση πιθανότητας σπ ont robablt uncton της διδιάστατης δτµ όπου S και S ως εξής: [ ] Απαραίτητη συνθήκη για να είναι η µία από κοινού σπ για τη δτµ είναι η εξής: S S Η συνάρτηση πιθανότητας εξής: της τυχαίας µεταβλητής µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της ως [ ] [ ] S S S Οµοίως η συνάρτηση πιθανότητας ως εξής: [ ] [ ] της τυχαίας µεταβλητής µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της S S Παράδειγµα Έστω η διακριτή δτµ µε σύνολο δυνατών τιµών φορέα S { } { } και σπ [ ] S α είξτε ότι η είναι πράγµατι µία από 5 κοινού σπ β Βρείτε τις σπ των τυχαίων µεταβλητών και Λύση α Είναι S είναι πράγµατι µία από κοινού σπ Επιπλέον S Εποµένως η 5 β Είναι [ ] 6 5 7 5 5 [ ] 5 5 5 5 7 5 Μπορούµε να συνοψίσουµε τις παραπάνω πιθανότητες στον ακόλουθο πίνακα:

5 7 5 5 7 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 5 Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής µπορεί να ληφθεί αν υπολογίσουµε τα αθροίσµατα ανά γραµµή του πίνακα ενώ η συνάρτηση πιθανότηατς της τυχαίας µεταβλητής µπορεί να ληφθεί αν υπολογίσουµε τα αθροίσµατα ανά στήλη του πίνακα Επειδή οι σπ και των τυχαίων µεταβλητών και εµφανίζονται στα περιθώρια του παραπάνω πίνακα καλούνται περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας margnal robablt unctons Παράδειγµα Έστω η διδιάστατη διακριτή δτµ µε συνάρτηση πιθανότητας 5 K και K α Να βρεθούν οι περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών και β Να υπολογιστεί η πιθανότητα Λύση α Είναι 5 5 5 5 5 K 5 5 5 K β Έστω τα ενδεχόµενα A { < } και B { < } Είναι A B A B A B F F F όπου F F είναι οι περιθώριες αθροιστικές συναρτήσεις κατανοµών των τυχαίων µεταβλητών και F είναι η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της διδιάστατης δτµ

F F Άρα 5 5 5 F 5 ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 5 Έστω δύο συνεχείς τυχαίες µεταβλητές οι οποίες είναι ορισµένες στον ίδιο δειγµατικό χώρο Τότε η διδιάστατη διανυσµατική τυχαία µεταβλητή είναι συνεχής αν υπάρχει µία µη-αρνητική συνάρτηση δύο µεταβλητών : R R [ R τέτοια ώστε για κάθε περιοχή C R R η οποία µπορεί να γραφεί µέσω ορθογωνίων µε χρήση πεπερασµένου ή απείρως αριθµήσιµου πλήθους πράξεων τοµή ένωση συµπλήρωµα ισχύει ότι [ C] dd Η C συνάρτηση καλείται από κοινού συνάρτηση πυκνότητας σπ ont robablt dnst uncton της διδιάστατης δτµ Αν A και B είναι υποσύνολα του συνόλου των πραγµατικών αριθµών τότε αν ορίσουµε C { : A B} A B έχουµε [ C] [ A B] dd B A Αν A a] και B b] έχουµε { a] b]} [ a b] F a b b a dd Η συνάρτηση F καλείται από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της διδιάστατης δτµ Αν παραγωγίσουµε ως προς a και b έχουµε F a b a b Η τελευταία σχέση συνδέει a b την από κοινού σπ και την από κοινού συνάρτηση κατανοµής της διδιάστατης δτµ Απαραίτητη συνθήκη για να είναι η µία από κοινού σπ για τη διδιάστατη δτµ είναι dd Αν η διδιάστατη δτµ είναι συνεχής τότε οι τυχαίες µεταβλητές και είναι συνεχείς εναλλακτικά καλούνται από κοινού συνεχείς ont contnuous και οι συναρτήσεις πυκνότητας τους και αντίστοιχα µπορούν να ληφθούν ως εξής: 5

{ A} { A } dd d όπου A A d είναι η σπ της τυχαίας µεταβλητής Οµοίως η σπ της τυχαίας µεταβλητής δίνεται από τη σχέση d Για τις περιθώριες συναρτήσεις κατανοµών F F ισχύουν οι εκφράσεις: F lm F και F lm F Από τις δύο τελευταίες σχέσεις µπορούµε να υπολογίσουµε απευθείας τις περιθώριες συναρτήσεις κατανοµών των τυχαίων µεταβλητών και από την από κοινού συνάρτηση κατανοµής της διδιάστατης δτµ Ισχύει ότι: F < < s d ds Όµοια F < < t d dt t dt s ds Παράδειγµα Η από κοινού σπ της δτµ δίνεται από τον τύπο γ [ < a] Να υπολογιστούν οι πιθανότητες α [ > < ] β [ < ] και Λύση α Είναι > < ] dd [ ] d β [ d [ < ] { : < } dd dd d d d a γ [ < a] dd a d a Παράδειγµα 5 Η από κοινού σπ της δτµ δίνεται από τον τύπο Βρείτε την σπ της τυχαίας µεταβλητής Λύση Αρχικά θα υπολογίσουµε τη συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής Για a > έχουµε διαδοχικά 6

F a [ a] a dd a dd a d a a a Αν παραγωγίσουµε ως προς a λαµβάνουµε τη σπ της τυχαίας µεταβλητής η οποία δίνεται από ' τον τύπο: F a a a a> Παράδειγµα 6 Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας µιας διδιάστατης διανυσµατικής τυχαίας µεταβλητής δίνεται από τον τύπο < < < < και 5 αλλού α Να υπολογιστεί η πιθανότητα < < < < β Να βρεθούν οι περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας γ Να βρεθεί η από κοινού συνάρτηση κατανοµής F δ Να βρεθούν οι περιθώριες συναρτήσεις κατανοµών F F 5 5 Λύση α < < < < dd d 6 β d 5 d < < 5 d d < < 5 5 γ t t s F dsdt 5 5 < < < < δ F 6s s 6 s ds ds < < 5 5 s F s ds ds < < 5 5 7

Παράδειγµα 7 Η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανοµής των χρόνων ζωής δύο λαµπτήρων B A σε χιλιάδες ώρες δίνεται από τον τύπο: F > και F αλλού α Να υπολογιστούν οι περιθώριες συναρτήσεις κατανοµών των τυχαίων µεταβλητών και β Ποια είναι η πιθανότητα και οι δύο λαµπτήρες να ζήσουν περισσότερο από 5 ώρες τουλάχιστον ένας από τους δύο λαµπτήρες να ζήσει περισσότερο από 5 ώρες; γ Να βρεθούν οι περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας των τυχαίων µεταβλητών και Ποια είναι η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας της διδιάστατης διανυσµατικής τυχαίας µεταβλητής ; Λύση α lm lm > F F lm lm > F F β Έστω τα ενδεχόµενα : A ο λαµπτήρας A ζει λιγότερο από 5 ώρες δηλαδή < και : B ο λαµπτήρας B ζει λιγότερο από 5 ώρες δηλαδή < Ζητάµε την πιθανότητα B A B A B A B A B A c c c Είναι % 6 < F A < F B < < F B A Ζητάµε την πιθανότητα B A B A B A c c c γ ' ' > F ' ' > F F

ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Θεωρούµε ένα πείραµα στο οποίο ρίχνουµε ένα νόµισµα και ένα ζάρι ιαισθητικά πιστεύουµε ότι όποιο κι αν είναι το αποτέλεσµα της ρίψης ενός νοµίσµατος δεν θα πρέπει να έχει καµία επίδραση στο αποτέλεσµα της ρίψης του ζαριού και αντίστροφα Έστω η τυχαία µεταβλητή που ισούται µε ή ανάλογα µε το αν το νόµισµα δείχνει κεφαλή ή γράµµατα και έστω η τυχαία µεταβλητή που παίρνει τις τιµές 5 ή 6 ανάλογα µε το αν η άνω έδρα του ζαριού φέρει τον αριθµό 5 ή 6 αντίστοιχα Το αποτέλεσµα του διπλού πειράµατος περιγράφεται από τη διδιάστατη διακριτή δτµ Το διαισθητικό µας συµπέρασµα ότι τα αποτελέσµατα των ρίψεων του νοµίσµατος και του ζαριού δεν έχουν καµία επίδραση το ένα στο άλλο µπορεί να διατυπωθεί αυστηρά ως εξής: αν είναι ένας από τους αριθµούς ή και είναι ένας από τους αριθµούς 5 6 τότε τα ενδεχόµενα { } και { } πρέπει να είναι ανεξάρτητα ίνουµε τον ακόλουθο ορισµό Ορισµός Οι τυχαίες µεταβλητές και καλούνται ανεξάρτητες ndndnt αν για οποιαδήποτε υποσύνολα A και B του συνόλου των πραγµατικών αριθµών ισχύει ότι { A B} { A} { B} Ισοδύναµα οι τυχαίες µεταβλητές και είναι ανεξάρτητες όταν και µόνο όταν για οποιαδήποτε σύνολα A και B τα ενδεχόµενα { A} και { B} είναι ανεξάρτητα Για οποιαδήποτε E A a b R ισχύει ότι { a b} { a} { b} ή ισοδύναµα F a b F a F b όπου F είναι η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της διδιάστατης δτµ και F F είναι οι συναρτήσεις κατανοµών των τυχαίων µεταβλητών και αντίστοιχα Όταν οι και είναι διακριτές τυχαίες µεταβλητές η συνθήκη ανεξαρτησίας είναι ισοδύναµη µε τη σχέση ή µε τη σχέση [ ] [ ] [ ] για κάθε Η ισοδυναµία των σχέσεων και εξηγείται ως εξής: Αν στη σχέση θέσουµε A {} και B {} λαµβάνουµε τη Επιπλέον αν η σχέση ισχύει τότε για οποιαδήποτε σύνολα A και B έχουµε E B { A B} { } { } { } { } B A B A B A { } 9

{ B} { A} Όταν οι και είναι συνεχείς τυχαίες µεταβλητές η συνθήκη της ανεξαρτησίας 6 είναι ισοδύναµη µε τη σχέση για κάθε ιαισθητικά οι τυχαίες µεταβλητές και είναι ανεξάρτητες όταν η γνώση της µίας δεν επηρεάζει την κατανοµή της άλλης Αν δύο τυχαίες µεταβλητές δεν είναι ανεξάρτητες τότε καλούνται εξαρτηµένες dndnt Παράδειγµα Ένας άνδρας και µία γυναίκα έχουν συµφωνήσει να συναντηθούν σε ένα ζαχαροπλαστείο κάποια χρονική στιγµή µεταξύ : και : το µεσηµέρι Υποθέτουµε ότι ο άνδρας φθάνει στο ζαχαροπλαστείο στις και η γυναίκα φθάνει στις Υποθέτουµε επιπλέον ότι οι και είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και ότι ακολουθούν την Oµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα Να υπολογιστεί η πιθανότητα > δηλαδή η πιθανότητα ο άνδρας να 6 περιµένει τη γυναίκα ή αντίστροφα για περισσότερο από δέκα λεπτά Λύση Έστω η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας της διδιάστατης δτµ και οι σπ των τυχαίων µεταβλητών και αντίστοιχα Είναι > { > } { < } και τα ενδεχόµενα { > } 6 6 6 6 είναι ασυµβίβαστα 6 Άρα > { < } { < } { < } < 6 dd 6 < 6 dd 6 6 dd 6 6 6 d 6 5 7 { < } < 6 5 6 dd Η δεύτερη ισότητα είναι συνέπεια της συµµετρίας και η τέταρτη ισότητα είναι συνέπεια της ανεξαρτησίας των τυχαίων µεταβλητών και Παράδειγµα 9 Υποθέτουµε ότι ο αριθµός των ατόµων που εισέρχονται κατά τη διάρκεια µιας µέρας σε ένα ταχυδροµείο ακολουθεί την κατανοµή osson µε παράµετρο λ είξτε ότι αν το κάθε άτοµο που εισέρχεται στο ταχυδροµείο είναι άνδρας µε πιθανότητα και γυναίκα µε πιθανότητα τότε ο αριθµός των ανδρών και των γυναικών που µπαίνουν στο ταχυδροµείο κατά τη διάρκεια µιας µέρας είναι 6

ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν την κατανοµή osson µε παραµέτρους λ και λ αντίστοιχα Λύση Έστω και αντίστοιχα ο αριθµός των ανδρών και των γυναικών που εισέρχονται στο ταχυδροµείο κατά τη διάρκεια µιας µέρας Από το Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας και αν δεσµευτούµε ως προς την τυχαία µεταβλητή έχουµε ] [ ] [ ] [ ] [ ] [! ] [ ] [ λ λ Η δεύτερη ισότητα προκύπτει διότι προφανώς ισχύει ότι ] [ Η τρίτη ισότητα προκύπτει διότι εξ υποθέσεως η τυχαία µεταβλητή ακολουθεί την κατανοµή osson µε παράµετρο λ Επιπλέον δοθέντος ότι άνθρωποι εισέρχονται στο ταχυδροµείο και ο καθένας από αυτούς είναι άνδρας µε πιθανότητα η πιθανότητα ακριβώς άτοµα να είναι άνδρες και εποµένως ακριβώς άτοµα να είναι γυναίκες είναι ίση µε ] [ δηλαδή η παραπάνω πιθανότητα είναι διωνυµική µε παραµέτρους και Συνεπώς!! ] [ ] [ λ λ λ K Η περιθώρια συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής βρίσκεται ως εξής:!!! ] [! ] [ ] [ λ λ λ λ λ λ λ λ K Άρα ~ osson λ Οµοίως η περιθώρια συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής είναι! ] [ ] [ ] [ λ λ K Άρα ~ osson ] [ λ Παρατηρούµε ότι ] [ ] [ ] [ K Εποµένως οι τυχαίες µεταβλητές και είναι ανεξάρτητες Παράδειγµα Η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας της διδιάστατης διακριτής τυχαίας µεταβλητής δίνεται από τον τύπο K Να εξεταστεί αν οι τυχαίες µεταβλητές και είναι ανεξάρτητες και να υπολογιστεί η πιθανότητα Λύση Για τη περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής έχουµε

K Για τη περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής έχουµε K Οι τυχαίες µεταβλητές και είναι ανεξάρτητες διότι για όλα τα K Χρησιµοποιούµε την ανεξαρτησία των τυχαίων µεταβλητών και και έχουµε ] [ Όµως 6 6 6 6 Με αντικατάσταση στον προηγούµενο τύπο έχουµε 56 5 6 6 6 6 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η µέση τιµή µιας συνάρτησης g της δτµ είναι g g E ] [ αν η δτµ είναι διακριτή µε από κοινού συνάρτηση πιθανότητας ενώ ] [ dd g g E αν η δτµ είναι συνεχής µε από κοινού συνάρτηση πυκνότητας Ισχύει η ακόλουθη πρόταση Πρόταση Έστω τυχαίες µεταβλητές που ορίζονται στον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο Ω I Αν οι είναι ανεξάρτητες τότε ] [ ] [ ] [ h E g E h g E όπου g και h είναι πραγµατικές συναρτήσεις

Απόδειξη Θα αποδείξουµε την πρόταση στην περίπτωση κατά την οποία οι τυχαίες µεταβλητές και είναι συνεχείς Η απόδειξη είναι παρόµοια στην περίπτωση κατά την οποία οι και είναι διακριτές τυχαίες µεταβλητές Έστω η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας της διδιάστατης δτµ και οι συναρτήσεις πυκνότητας των ιαδοχικά έχουµε g h dd g h dd h d g E[ g h ] d E[ h ] E[ g ] Παράδειγµα Αν ~ osson λ και ~ osson λ λ λ και είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές τότε ~ osson λ λ > Λύση Το ενδεχόµενο { } K µπορεί να γραφεί ως η τοµή των ξένων µεταξύ τους ενδεχοµένων { k} και { k} k K ιαδοχικά έχουµε k λ λ λ [ ] λ λ [ k k] [ k] [ k] k k k λ k! k k! k k λ λ λ λ λλ! k k λλ λ λ Άρα ~ k! k!! k! k!! k λ osson λ k ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στο παρόν εδάφιο θα ασχοληθούµε µε την εύρεση της µέσης τιµής και της διασποράς του αθροίσµατος δυο τυχαίων µεταβλητών Ισχύει η ακόλουθη πρόταση Πρόταση Έστω δύο τυχαίες µεταβλητές µε πεπερασµένες µέσες τιµές Τότε η τυχαία µεταβλητή έχει πεπερασµένη µέση τιµή και επιπλέον ισχύει ότι E E E Απόδειξη Έστω ότι η δτµ είναι συνεχής και έστω οι σπ της διδιάστατης δτµ και των τυχαίων µεταβλητών αντίστοιχα Θεωρούµε τη συνάρτηση g ιαδοχικά έχουµε dd dd E[ g ] E dd

d d E E γίνεται µε παρόµοιο τρόπο Αν η διδιάστατη δτµ είναι διακριτή η απόδειξη Αν K r είναι τυχαίες µεταβλητές µε πεπερασµένες µέσες τιµές τότε µε επαγωγή αποδεικνύεται ότι E r r E[ ] Η τελευταία σχέση είναι πολύ χρήσιµη για τον υπολογισµό µέσων τιµών Παράδειγµα Έστω ότι N άνδρες πετάνε τα καπέλα τους στο πάτωµα ενός δωµατίου Τα καπέλα ανακατεύονται και ο κάθε άνδρας διαλέγει ένα καπέλο κατά τυχαίο τρόπο Βρείτε τη µέση τιµή του αριθµού των ανδρών που διαλέγουν τα δικά τους καπέλα Λύση Έστω η τυχαία µεταβλητή K N τέτοια ώστε αν ο άνδρας διαλέγει το δικό του καπέλο και αν ο άνδρας δεν διαλέγει το δικό του καπέλο Έστω η τυχαία µεταβλητή L N Ζητάµε να βρούµε τη µέση τιµή E Ισχύει ότι E για κάθε N K N Συνεπώς E E L E N Παράδειγµα έκα κυνηγοί περιµένουν να περάσει ένα σµήνος από δέκα κοτσύφια Όταν περάσει το σµήνος οι κυνηγοί πυροβολούν ταυτόχρονα αλλά ο καθένας διαλέγει το στόχο του τυχαία και ανεξάρτητα από τους άλλους Αν ο κάθε κυνηγός πετυχαίνει το στόχο του µε πιθανότητα να βρεθεί ο αναµενόµενος αριθµός των κοτσυφιών που ξεφεύγουν από τους πυροβολισµούς των κυνηγών Λύση Έστω η τυχαία µεταβλητή K τέτοια ώστε αν το οστό κοτσύφι ξεφεύγει και αν το οστό κοτσύφι δεν ξεφεύγει από τους πυροβολισµούς των κυνηγών Έστω η τυχαία µεταβλητή L Ζητάµε να βρούµε τη µέση τιµή E Ισχύει ότι E E L E L E Για κάθε K έχουµε E Ο κάθε κυνηγός ανεξάρτητα από τους άλλους πετυχαίνει το οστό κοτσύφι µε πιθανότητα Άρα Συνεπώς E

Παράδειγµα Η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας µιας διακριτής διδιάστατης τυχαίας µεταβλητής δίνεται από τον τύπο c α Ποια είναι η τιµή της σταθεράς c και ποιες οι περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών και β Να υπολογιστούν οι µέσες τιµές των τυχαίων µεταβλητών και Λύση α Πρέπει c 9 9 6 c c 6 9 9 β E [ ] E [ ] 6 6 6 9 9 Παράδειγµα 5 Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας µιας διδιάστατης συνεχούς τυχαίας µεταβλητής δίνεται από τον τύπο αν < < και διαφορετικά α Να υπολογιστούν οι µέσες τιµές των τυχαίων µεταβλητών και β Να υπολογιστεί η µέση τιµή E γ Να υπολογιστούν αρχικά οι πιθανότητες < 5 5 < και και να βρεθεί στη συνέχεια η µέση τιµή της τυχαίας µεταβλητής Z όπου Z αν < 5 Z αν 5 < και Z αν Λύση α Έχουµε dd d E E dd d E d dd 5

β E dd [ ] [ ] d d [ ] [ ] γ Είναι < 5 dd 5 5 5 5 d 5 < 5 dd dd 5d 5 5 5 5 d < < 5 5 < Για τη µέση τιµή της τυχαίας µεταβλητής Z η οποία είναι διακριτή τυχαία µεταβλητή έχουµε E Z z z Z z ΣΥΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έστω δύο τυχαίες µεταβλητές Η διακύµανση µιας τυχαίας µεταβλητής αποτελεί ένα µέτρο της µεταβλητότητάς της Αν για παράδειγµα θεωρήσουµε ένα γραµµικό συνδυασµό Z a b των τυχαίων µεταβλητών και όπου a b R σταθερές είναι διαισθητικά προφανές ότι η διακύµανση της Z θα πρέπει να επηρεάζεται τόσο από τις διακυµάνσεις των όσο και από την από κοινού συµπεριφορά των τυχαίων µεταβλητών Η ποσότητα που αντικατοπτρίζει την από κοινού συµπεριφορά των δίνεται στον ακόλουθο ορισµό Ορισµός Συνδιακύµανση Η συνδιακύµανση covaranc δύο τυχαίων µεταβλητών και ορίζεται ως εξής: Cov E{ E E } Από τον παραπάνω ορισµό αναπτύσσοντας το δεξιό µέλος της τελευταίας ισότητας διαδοχικά έχουµε { E E E E } E E E E E E E Cov E E E E Αν είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές τότε από την Πρόταση έχουµε Cov Το αντίστροφο δεν ισχύει ηλαδή αν Cov δεν έπεται ότι οι είναι ανεξάρτητες Ένα απλό παράδειγµα δύο εξαρτηµένων τυχαίων µεταβλητών που έχουν µηδενική συνδιακύµανση 6

µπορεί να ληφθεί αν υποθέσουµε ότι η είναι τέτοια ώστε και ορίσουµε την έτσι ώστε αν και αν Τότε και εποµένως E Επιπλέον E και Cov E E E Οι είναι φανερά εξαρτηµένες τυχαίες µεταβλητές Ισχύει η ακόλουθη πρόταση Πρόταση Έστω δύο τυχαίες µεταβλητές µε πεπερασµένες ροπές δεύτερης τάξης Τότε η τυχαία µεταβλητή έχει πεπερασµένη ροπή δεύτερης τάξης και εποµένως έχει πεπερασµένη διασπορά Επιπλέον ισχύει ότι Var Var Var Cov Απόδειξη Είναι Var E[ E ] E[ E E ] E E E E E[ E E ] Var Var Cov Ισχύει η ακόλουθη πρόταση Πρόταση Αν Z τυχαίες µεταβλητές και a b R ισχύει ότι Cov a b Z acov Z bcov Z Απόδειξη Είναι [ E Z E E Z ] b[ E Z E E ] Cov a b Z E[ a b Z] E a b EZ a Z acov Z bcov Z Παράδειγµα 6 Για το Παράδειγµα υπολογίστε τη διασπορά του αριθµού των ανδρών που διαλέγουν τα δικά τους καπέλα Λύση Ισχύει ότι Var Var N N N Cov N για K N N N N Όµως Var E E E Επίσης για µε < έχουµε ότι Cov E E E Όµως αν αµφότεροι οι άνδρες και διαλέγουν τα δικά τους καπέλα και σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση 7

Άρα E N N Συνεπώς Cov N N N N N N N N N Εποµένως Var N N N N N ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έστω και δύο τυχαίες µεταβλητές µε πεπερασµένες µη-µηδενικές διασπορές για τις οποίες διαπιστώσαµε ότι Cov Τότε οι δεν είναι ανεξάρτητες Μας ενδιαφέρει να αποδώσουµε ποσοτικά το βαθµό εξάρτησης των και µε έναν κατάλληλο αριθµό Η τιµή της συνδιακύµανσης των τυχαίων µεταβλητών και επηρεάζεται σηµαντικά από τις µονάδες µέτρησης των και Για να εξαλείψουµε την επίδραση των µονάδων µέτρησης των και στο βαθµό της εξάρτησής τους δίνουµε τον ακόλουθο ορισµό Ορισµός Ο συντελεστής συσχέτισης corrlaton cocnt δύο τυχαίων µεταβλητών τέτοιων ώστε Var Var > ορίζεται ως εξής: Cov ρ : και αποτελεί ένα µέτρο του Var Var βαθµού εξάρτησης µεταξύ τους Πρόταση Ισχύει ότι ρ Απόδειξη Έστω σ και σ οι διασπορές των τυχαίων µεταβλητών και αντίστοιχα Ισχύει ότι Var Var Cov ρ ρ σ σ σ σ Var σ σ Επίσης ισχύει ότι Var Var Cov ρ ρ σ σ σ σ Var σ σ Συνεπώς ρ Ο συντελεστής συσχέτισης δύο τυχαίων µεταβλητών και είναι ένα µέτρο του βαθµού της γραµµικής εξάρτησης των και Μία τιµή του συντελεστή συσχέτισης κοντά στο ή στο - είναι ένδειξη υψηλού βαθµού γραµµικής εξάρτησης µεταξύ των και ενώ µία τιµή του συντελεστή συσχέτισης κοντά στο είναι ένδειξη ότι δεν υπάρχει γραµµική εξάρτηση Μία θετική τιµή του

συντελεστή συσχέτισης είναι ένδειξη ότι η αυξάνει καθώς η αυξάνει ενώ µία αρνητική τιµή του είναι ένδειξη ότι η µειώνεται καθώς η αυξάνει Αν ρ τότε οι τυχαίες µεταβλητές και καλούνται ασυσχέτιστες uncorrlatd Παράδειγµα 7 Έστω τρεις ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές που έχουν πεπερασµένες θετικές διασπορές σ σ σ αντίστοιχα Υπολογίστε τον συντελεστή συσχέτισης των και Λύση Ισχύει ότι Cov E[ ] E[ ] E[ ] Από την ανεξαρτησία των µετά από πράξεις προκύπτει ότι Cov E [ ] E[ ] Var σ σ Συνεπώς ρ σ σ σ σ Παράδειγµα Ένας αριθµός επιλέγεται τυχαία στο διάστηµα [ ] Έστω R η απόκλιση του αριθµού που επιλέχτηκε από ένα σταθερό αριθµό a όπου a α Να βρεθεί ο συντελεστής συσχέτισης των τυχαίων µεταβλητών και R β Για ποια τιµή του a οι τυχαίες µεταβλητές και R είναι ασυσχέτιστες; Λύση α Η τυχαία µεταβλητή ακολουθεί την Oµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [ ] ενώ για την τυχαία µεταβλητή R έχουµε R a Αφού η συνάρτηση πυκνότητας της είναι για έχουµε E[ R] E[ a ] a d a d a a a d a a E [ R ] E[ a ] a d a d a a Var [ R] E[ R ] E[ R] a a a E[ R] E[ a ] a d a d a a a a d a 9

Επειδή E [ ] Var [ ] προκύπτει µετά από πράξεις ότι ρ R E R E E R Var Var R a a 6a a a β Για να είναι οι τυχαίες µεταβλητές R ασυσχέτιστες θα πρέπει ο συντελεστής συσχέτισης ρ R να είναι ίσος µε µηδέν ή ισοδύναµα a 6a aa a Η εξίσωση έχει µοναδική λύση στο διάστηµα [ ] την a Παράδειγµα 9 Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας της διδιάστατης συνεχούς τυχαίας µεταβλητής δίνεται από τον τύπο αν < < και διαφορετικά Να δειχθεί ότι ενώ οι τυχαίες µεταβλητές και είναι ασυσχέτιστες δεν είναι ανεξάρτητες Λύση Για τις τυχαίες µεταβλητές και έχουµε R και R [ Είναι d d < < d d < Οι τυχαίες µεταβλητές δεν είναι ανεξάρτητες διότι δεν ισχύει η σχέση για κάθε και Για παράδειγµα αν πάρουµε θα έχουµε Για τις µέσες τιµές των τυχαίων µεταβλητών και έχουµε E d d d d E E dd d d Επειδή Cov E E E έπεται ότι οι τυχαίες µεταβλητές και είναι ασυσχέτιστες ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ Έστω µία διδιάστατη διακριτή διανυσµατική τυχαία µεταβλητή και η από κοινού συνάρτηση πιθανότητάς της Για κάθε δυνατή τιµή της τέτοια ώστε η

δεσµευµένη συνάρτηση πιθανότητας δσπ condtonal robablt uncton της δοθέντος ότι ορίζεται ως εξής: : όπου είναι η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής Παρατηρούµε ότι αν οι τυχαίες µεταβλητές είναι ανεξάρτητες τότε η δσπ της δοθέντος ότι συµπίπτει µε τη µη δεσµευµένη συνάρτηση πιθανότητας της διότι Η δεύτερη ισότητα είναι συνέπεια της ανεξαρτησίας των τυχαίων µεταβλητών και Για κάθε συγκεκριµένη τιµή S όπου S είναι ο φορέας της ορίζεται µία συνάρτηση πιθανότητας g στην οποία αντιστοιχεί µία αθροιστική συνάρτηση κατανοµής G g t t Η συνάρτηση G καλείται δεσµευµένη αθροιστική συνάρτηση κατανοµής condtonal cumulatv dstrbuton uncton της δοθέντος ότι Μπορούµε να γράψουµε G t t Έστω µία διδιάστατη συνεχής διανυσµατική τυχαία µεταβλητή και η από κοινού συνάρτηση πυκνότητάς της Για µία συγκεκριµένη τιµή τέτοια ώστε η δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας δσπ condtonal dnst uncton της δοθέντος ότι ορίζεται ως εξής: : όπου είναι η συνάρτηση πυκνότητας της τυχαίας µεταβλητής Παρατηρούµε ότι αν οι τυχαίες µεταβλητές είναι ανεξάρτητες τότε η δσπ της δοθέντος ότι συµπίπτει µε τη µη δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας της διότι Η δεύτερη ισότητα είναι συνέπεια της ανεξαρτησίας των τυχαίων µεταβλητών και

Για κάθε συγκεκριµένη τιµή τέτοια ώστε ορίζεται µία συνάρτηση πυκνότητας S g στην οποία αντιστοιχεί µία αθροιστική συνάρτηση κατανοµής G g t dt Η συνάρτηση G καλείται δεσµευµένη αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της δοθέντος ότι Μπορούµε να γράψουµε F G t dt Παράδειγµα Υποθέτουµε ότι η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας της διδιάστατης διακριτής δτµ δίνεται από τις σχέσεις: Υπολογίστε τη δεσµευµένη συνάρτηση πιθανότητας της δοθέντος ότι Λύση Ισχύει ότι 5 Εποµένως και 5 5 Παράδειγµα Έστω ότι ~ osson λ και ~ osson λ Υποθέτουµε ότι οι τυχαίες µεταβλητές δοθέντος ότι είναι ανεξάρτητες Αν Z : δείξτε ότι η δεσµευµένη κατανοµή της λ Z z είναι διωνυµική µε παραµέτρους z και : λ λ λ z z δηλαδή Z z ~ Bn z : και Z z K z λ λ λ Λύση Ισχύει ότι Z ~ osson λ ιαδοχικά έχουµε ότι Z z Z z Z z z z Z z Z z z Z z λ λ z λ λ! z! λ λ z λ λ z! z λ λ λ λ λ λ z z z Η τέταρτη ισότητα είναι συνέπεια της ανεξαρτησίας των τυχαίων µεταβλητών και

Παράδειγµα Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας της διδιάστατης συνεχούς δτµ δίνεται από τον τύπο αν < < και διαφορετικά Υπολογίστε τη 5 δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας της δοθέντος ότι όπου < < Λύση Για < < < < έχουµε d d 6 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Αν και είναι δύο διακριτές τυχαίες µεταβλητές τότε για κάθε δυνατή τιµή της τέτοια ώστε η δεσµευµένη µέση τιµή condtonal ctaton της δοθέντος ότι ορίζεται ως εξής: E [ ] [ ] S S όπου S είναι το σύνολο των δυνατών τιµών φορέας της και είναι η δεσµευµένη συνάρτηση πιθανότητας της δοθέντος ότι Αν και είναι δύο συνεχείς τυχαίες µεταβλητές τότε για κάθε δυνατή τιµή της τέτοια ώστε η δεσµευµένη µέση τιµή της δοθέντος ότι ορίζεται ως εξής: E[ ] d όπου είναι η δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας της δοθέντος ότι Παράδειγµα Η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας µιας διδιάστατης διακριτής διανυσµατικής τυχαίας µεταβλητής δίνεται από τον τύπο και Να 5 υπολογιστούν οι δεσµευµένες µέσες τιµές E [ ] E [ ] και να συγκριθούν µεταξύ τους Λύση Είναι E [ ] Όµως και 5 5

Άρα και Είναι E [ ] 6 6 6 Είναι E [ ] Όµως και Άρα 5 5 Είναι E [ ] Εποµένως E [ ] > E[ ] 5 5 Παράδειγµα Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας της διδιάστατης συνεχούς δτµ δίνεται από τον τύπο < < και διαφορετικά Υπολογίστε τη δεσµευµένη µέση τιµή E όπου > Λύση Αρχικά θα υπολογίσουµε τη δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας της δοθέντος ότι όπου > ιαδοχικά έχουµε > d d d [ ] Παρατηρούµε ότι ~ Εκθετική Εποµένως E d Παράδειγµα 5 Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας της διδιάστατης συνεχούς διανυσµατικής τυχαίας µεταβλητής δίνεται από τον τύπο < < και αλλού α Να υπολογιστούν οι συναρτήσεις και β Να υπολογιστούν οι ποσότητες E και E

d < < Λύση α Είναι d d d < < < < < < β Είναι E d d E d d Παράδειγµα 6 Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας µιας διδιάστατης συνεχούς τυχαίας µεταβλητής δίνεται από τον τύπο > και διαφορετικά α Να βρεθούν οι περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας των τυχαίων µεταβλητών και β Να βρεθούν οι δεσµευµένες συναρτήσεις πυκνότητας και γ Να βρεθούν οι δεσµευµένες συναρτήσεις κατανοµής F και F δ Να βρεθούν οι δεσµευµένες µέσες τιµές E και E Λύση α Για > έχουµε d > Για > έχουµε d > της Εκθετικής κατανοµής µε παράµετρο Το τελευταίο ολοκλήρωµα είναι ίσο µε τη µέση τιµή 5