ΟΙ ΑΤΥΠΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΣΤΟΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ

Τράχηλου, Ε., Χρίστου, Ζ., & Λεμονίδης, Χ., (2008). Οι άτυπες στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές στον πολλαπλασιασμό. Πρακτικά 10 ου Παγκύπριου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης, Πάφος 1-3 Φεβρουαρίου, σελ. 449-462. ΟΙ ΑΤΥΠΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΣΤΟΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ Έλενα Τράχηλου*, Ζωή Χρίστου* & Χαράλαμπος Λεμονίδης** *Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου ** Καθηγητής Διδακτικής των Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Έχει διαπιστωθεί σε έρευνες ότι οι μαθητές μπορούν να αναπτύξουν και να χρησιμοποιήσουν άτυπες στρατηγικές για την επίλυση έργων πολλαπλασιασμού, προτού διδαχθούν τον κάθετο αλγόριθμο. Η παρούσα έρευνα στοχεύει στον εντοπισμό και την ανάδειξη των άτυπων στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι Κύπριοι μαθητές της Γ τάξης Δημοτικού. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι οι μαθητές χρησιμοποιούν τη στρατηγική της μοντελοποίησης, του ολόκληρου αριθμού, του διασπασμένου αριθμού, ενώ μερικοί εκτελούν τον κάθετο αλγόριθμο. Έχει διαπιστωθεί ότι αρκετά μεγάλο ποσοστό μαθητών χρησιμοποιεί τη διάσπαση του αριθμού σε δεκάδες, που είναι μια διαδικασία που χρησιμοποιείται στον ιστορικό αλγόριθμο του ελληνικού πολλαπλασιασμού. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο πολλαπλασιασμός αποτελεί μια πράξη με την οποία οι μαθητές έρχονται σε επαφή από τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Δίνεται ιδιαίτερη βαρύτητα στην εκμάθηση της προπαίδειας, πάνω στην οποία θα στηριχθεί στη συνέχεια και η διδασκαλία του αλγόριθμου του πολλαπλασιασμού, της λύσης προβλήματος και άλλων μαθηματικών εννοιών. Ο αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού εισάγεται, επίσης, σε μικρή ηλικία, μετά την εκμάθηση της προπαίδεια, με στόχο να λύνουν οι μαθητές προβλήματα και ασκήσεις πολλαπλασιαστικής δομής (C.B. Faye, 1996). Συχνά οι μαθητές αντιμετωπίζουν δυσκολίες στην κατανόηση και στην εκτέλεση του αλγορίθμου του πολλαπλασιασμού. Οι δυσκολίες αυτές είναι συχνά αποτέλεσμα των παρανοήσεων που δημιουργούνται στους μαθητές κατά τη διδασκαλία του πολλαπλασιασμού (Tirosh and Graeber, 1989; Bell, Fishbein, and Greer, 1984). Σε πολλά σύγχρονα αναλυτικά προγράμματα υποστηρίζεται ότι οι αλγόριθμοι για τις πράξεις δεν πρέπει να διδάσκονται από πολύ νωρίς προτού οι μαθητές αναπτύξουν τις

Ε. Τράχηλου, Ζ. Χρίστου & Χ. Λεμονίδης δικές τους άτυπες μεθόδους υπολογισμού όπως γινόταν παλαιότερα. Οι μαθητές σήμερα, με βάση τις άτυπες μεθόδους των υπολογισμών τους οδηγούνται να ανακαλύψουν και να κατανοήσουν τους αλγορίθμους. Μπορεί να παρουσιαστεί ένας ή και διαφορετικοί αλγόριθμοι ανάλογα με την πολιτισμική προέλευση των μαθητών (Principles and Standards, 2000; DFEE, 1999). Αρκετές μελέτες τονίζουν τα μειονεκτήματα των τυποποιημένων γραπτών αλγορίθμων, τους οποίους διδάσκονται τα παιδιά (Plunkett, 1979; Ebby, 2005; Anghileri, 2001). Έχει διαπιστωθεί ότι τα παιδιά μπορούν να εφεύρουν μεθόδους υπολογισμού, οι οποίες μπορεί να είναι πιο φυσικές και ενστικτώδεις γι αυτά. Επίσης, πολλές μελέτες συγκλίνουν στο ότι τα παιδιά θα πρέπει να ενθαρρύνονται στην επινόηση και χρήση των δικών τους μεθόδων, επειδή με αυτό τον τρόπο προωθείται η κατανόηση των αριθμών (Plunkett, 1979; Ebby, 2005; Anghileri, Beishuizen and Van Putten, 2002). Ο πολλαπλασιασμός στην Κυπριακή εκπαίδευση εισάγεται στην Α Δημοτικού (απλές πράξεις). Ο κλασικός αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού διδάσκεται στη Γ Δημοτικού (Αναλυτικά Προγράμματα Δημοτικής Εκπαίδευσης, 2006). Η παρούσα έρευνα έχει ως στόχο να διερευνήσει τις άτυπες μεθόδους που αναπτύσσουν οι μαθητές της Κύπρου, οι οποίες τους βοηθούν στην επίλυση προβλημάτων πολλαπλασιασμού διψήφιων αριθμών, προτού διδαχθούν τον κάθετο αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού. 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Τα προβλήματα που αντιμετωπίζουν και τα λάθη που κάνουν οι μαθητές στον πολλαπλασιασμό Οι έρευνες που πραγματοποιήθηκαν στο χώρο της Διδακτικής των Μαθηματικών για την πράξη του πολλαπλασιασμού, σύμφωνα με τον Faye (1996), έχουν δείξει ότι απαιτείται πολλαπλασιαστική σκέψη υψηλότερου επιπέδου από την επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Με βάση τα αποτελέσματα της έρευνας του Faye (1996), η πολλαπλασιαστική σκέψη εμφανίζεται, μέσα από το εργαλείο που χρησιμοποιήθηκε, σε ποσοστό 45% σε παιδιά Β τάξης, και αναπτύσσεται σταδιακά. Αρκετά είναι τα προβλήματα και οι δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές, έτσι η συγκεκριμένη έρευνα καταλήγει ότι ο πολλαπλασιασμός πρέπει να εισάγεται στη Β τάξη, οι εκπαιδευτικοί όμως δε θα πρέπει να περιμένουν από όλους τους μαθητές να ανταποκριθούν, ακόμα και στην Ε τάξη. Τα τυπικά προβλήματα που παρουσιάζουν οι μαθητές είναι τα ακόλουθα: 1. Οι μαθητές προσθέτουν αντί να πολλαπλασιάζουν. Για παράδειγμα, κάθε χαρτόνι έχει 12 αυγά, έχω 25 χαρτόνια. Πόσα αυγά έχω; 12 + 25 = 37 (Hart, 1981; Kamii and Livingston, 1994).

Οι Άτυπες Στρατηγικές που Χρησιμοποιούν οι Μαθητές στον Πολλαπλασιασμό 2. Οι μαθητές, εάν δε γνωρίζουν το γινόμενο δύο αριθμών, δε μπορούν να το υπολογίσουν από γνωστό γινόμενο δύο άλλων αριθμών. Για παράδειγμα, αν γνωρίζουν το 6x6 = 36, πολλά παιδιά δε βοηθούνται από αυτό για να υπολογίσουν το 7x6 (Kamii and Livingston, 1994). 3. Τα παιδιά που παρουσιάζουν κάποιες δυσκολίες στους υπολογισμούς, συχνά έχουν πρόβλημα στην απόδοση νοήματος στον πολλαπλασιασμό (Lindquist, 1989). Για παράδειγμα, όταν οι O'Brien and Casey (1983) όπως αναφέρει ο Faye (1994) σε έρευνά τους ζήτησαν από τα παιδιά να γράψουν ένα πρόβλημα για την πράξη 6x3 =18, το 37% των μαθητών της Δ και το 44% της Ε τάξης έγραψαν προβλήματα του τύπου: «Σε μια λίμνη υπήρχαν 6 πάπιες. Μετά από λίγο ήρθαν ακόμα 3 πάπιες. Πόσες είναι οι πάπιες της λίμνης τώρα;» Πολλοί ερευνητές τονίζουν τη διαφορά που υπάρχει ανάμεσα στις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού (Faye, 1994). Όπως είναι φανερό και από τα είδη των λαθών των μαθητών, οι μαθητές συγχέουν την πρόσθεση με τον πολλαπλασιασμό και δεν μπορούν να προχωρήσουν στην πράξη του πολλαπλασιασμού χωρίς να τον συνδέουν με την επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Ιστορικοί αλγόριθμοι του πολλαπλασιασμού Στα σχολικά πλαίσια αναφέρονται συνήθως αλγόριθμοι του πολλαπλασιασμού με ιστορική προέλευση. Τέτοιοι αλγόριθμοι είναι ο Αιγυπτιακός πολλαπλασιασμός, ο Κινέζικος πολλαπλασιασμός, ο πολλαπλασιασμός των Ρώσων χωρικών και ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός. A. Ο Αιγυπτιακός πολλαπλασιασμός Σε άρθρο του ο Fisher (2004) κάνει αναφορά στον Αιγυπτιακό πολλαπλασιασμό και τονίζει ότι η τεχνική γύρω από αυτόν τον αλγόριθμο είναι πολύ απλή για να ακολουθηθεί. Αυτό που δημιουργείται απλά με το να διπλασιάζουμε είναι μια σειρά από πίνακες πολλαπλασιασμού ο ένας κάτω από τον άλλο. Σχηματίζουμε σε χαρτί δύο στήλες, μια στα δεξιά και μια στα αριστερά. Γράφουμε τον αριθμό 1 στην αριστερή στήλη και το μεγαλύτερο από τους αριθμούς που πολλαπλασιάζονται στη δεξιά στήλη. Συνεχίζουμε να διπλασιάζουμε και τις δύο στήλες μέχρι ο αριθμός στην αριστερή στήλη είναι μεγαλύτερος από το μισό του μικρότερου αριθμού που πολλαπλασιάζεται. Στη συνέχεια σχηματίζουμε το μικρότερο αριθμό προσθέτοντας τους αριθμούς της αριστερής στήλης. Διαγράφουμε όποιους αριθμούς δε χρειαζόμαστε από την αριστερή στήλη και τους αντίστοιχους αριθμούς της δεξιάς στήλης. Προσθέτουμε τους αριθμούς που δεν διαγράψαμε στη δεξιά στήλη και παίρνουμε την τελική απάντηση. B. Ο πολλαπλασιασμός των Ρώσων χωρικών

Ε. Τράχηλου, Ζ. Χρίστου & Χ. Λεμονίδης Πιο κάτω παρουσιάζεται η στρατηγική που χρησιμοποιούσαν οι Ρώσοι χωρικοί για να πολλαπλασιάσουν δύο αριθμούς, όπως αυτός αναφέρεται στο άρθρο του Fisher (2004). Σε πίνακα γράφουμε στην αριστερή στήλη το μικρότερο αριθμό που πολλαπλασιάζεται και στη δεξιά το μεγαλύτερο αριθμό. Διαιρούμε δια δύο το μικρότερο αριθμό αγνοώντας τα υπόλοιπα στη διαίρεση και διπλασιάζουμε τους αριθμούς στη δεξιά στήλη. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται μέχρι ο αριθμός στην αριστερή στήλη γίνει 1. Παρατηρούμε τη στήλη με τους μικρούς αριθμούς και διαγράφουμε όσους αριθμούς είναι ζυγοί. Διαγράφουμε τους αντίστοιχους αριθμούς στην δεξιά στήλη. Στη συνέχεια, προσθέτουμε τους αριθμούς που δεν έχουν διαγραφεί στη στήλη με τους μεγάλους αριθμούς και παίρνουμε το τελικό αποτέλεσμα. Γ. Ο Κινέζικος Πολλαπλασιασμός Οι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν μια διαφορετική στρατηγική στον πολλαπλασιασμό (Fisher, 2004). Αρχικά, σχηματίζουμε ένα ορθογώνιο και το χωρίζουμε ανάλογα με τα ψηφία των αριθμών που πολλαπλασιάζονται. Γράφουμε τον ένα αριθμό οριζόντια πάνω από το ορθογώνιο και τον άλλο κάθετα στην δεξιά πλευρά του ορθογωνίου, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα: Κάθε ζευγάρι πολλαπλασιάζεται και το γινόμενο σημειώνεται στο αντίστοιχο κουτάκι, οι μονάδες σημειώνονται στο άνω μισό και οι δεκάδες στο κάτω μισό. Οι αριθμοί αθροίζονται διαγώνια από τα δεξιά προς τα αριστερά και σημειώνονται κάτω από τη στήλη. Διαβάζουμε από κάθετα αριστερά προς οριζόντια κάτω το γινόμενο του πολλαπλασιασμού. 361 x 46=16606 Δ. Ο Ελληνικός Πολλαπλασιασμός Παρατηρώντας τις άτυπες μεθόδους υπολογισμού των μαθητών σε προβλήματα πολλαπλασιασμού, πριν από οποιαδήποτε διδασκαλία γραπτού αλγόριθμου, θα δούμε ότι οι μαθητές συχνά χρησιμοποιούν τη μέθοδο του ελληνικού πολλαπλασιασμού (Baek, 1998). Σύμφωνα με τους Λεμονίδη και Νικολαντωνάκη (2007), ο «ελληνικός πολλαπλασιασμός» μπορεί να εισαχθεί στη στοιχειώδη εκπαίδευση γιατί ταιριάζει με το επίπεδο και τη σκέψη των παιδιών, και μπορεί να δώσει καλές ερμηνείες για τον κλασικό αλγόριθμο. Επιπλέον, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ιστορία στη διδασκαλία των μαθηματικών και να δοθεί μια πολυπολιτισμική διάσταση στη διδασκαλία. Σύμφωνα με τους Λεμονίδη και Νικολαντωνάκη (2007), η διδασκαλία του ελληνικού πολλαπλασιασμού καταγράφεται στα καινούργια διδακτικά βιβλία που εφαρμόζονται

Οι Άτυπες Στρατηγικές που Χρησιμοποιούν οι Μαθητές στον Πολλαπλασιασμό από το σχολικό έτος 2006-2007. Τα βιβλία αυτά έχουν τη επωνυμία «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής». Αρχικά υπάρχει ένα εισαγωγικό στάδιο όπου προτείνονται στους μαθητές διάφορα προβλήματα που λύνονται με πολλαπλασιασμό πολυψήφιων αριθμών. Οι μαθητές, μέσω των προβλημάτων αυτών εμπλέκονται στη διαδικασία ανάπτυξης άτυπων τρόπων υπολογισμού στον πολλαπλασιασμό, οι οποίοι συζητιούνται και παρουσιάζονται σε όλη την τάξη. Ο ελληνικός πολλαπλασιασμός χρησιμοποιείται ως ένα προστάδιο για να εισαχθεί ο τυπικός αλγόριθμος. Για την εισαγωγή του ελληνικού πολλαπλασιασμού προτείνονται καταστάσεις μέτρησης επιφανειών επάνω σε τετραγωνισμένο χαρτί. Οι μαθητές καλούνται να μετρήσουν επιφάνειες με ορθογώνιο σχήμα επάνω στο τετραγωνισμένο χαρτί με μονάδα μέτρησης το ένα τετράγωνο του χαρτιού. Οι επιφάνειες έχουν διάσταση μονοψήφιου επί διψήφιο αριθμό ή διψήφιου επί διψήφιο αριθμό. Αρχικά οι μαθητές για να διευκολυνθούν στις μετρήσεις των επιφανειών διαχωρίζουν τους αριθμούς σε αθροίσματα του 10. Για παράδειγμα στον πολλαπλασιασμό 14x23 οι μαθητές χωρίζουν τους αριθμούς ως εξής: (10+4)x(10+10+3). Διαχωρίζουν, δηλαδή, την αρχική επιφάνεια σε επιφάνειες τετραγώνων με διάσταση 10x10 και σε επιφάνειες ορθογωνίων με τη μια διάσταση το 10. Με αυτόν τον τρόπο η μέτρηση των τετραγώνων γίνεται ευκολότερη. Στην επόμενη φάση οι μαθητές χρησιμοποιούν έναν πίνακα 2x2 και αναλύουν τους αριθμούς σε μονάδες και δεκάδες. Έτσι εκτελούν τον ελληνικό πολλαπλασιασμό με τη βοήθεια του πίνακα. Με βάση τον ελληνικό πολλαπλασιασμό γίνεται η εισαγωγή του σημερινού αλγόριθμου του πολλαπλασιασμού. Με αυτόν δίνονται εξηγήσεις για το πως προκύπτουν τα επιμέρους γινόμενα και η αξία τους ανάλογα με τη θεσιακή αξία των ψηφίων που πολλαπλασιάζονται. Άτυπες στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές Σύμφωνα με το Principles and Standards (2000), όπως αναφέρουν οι Λεμονίδης και Νικολαντωνάκης (2007), πολλά σύγχρονα αναλυτικά προγράμματα τονίζουν τη σημασία ανάπτυξης άτυπων μεθόδων υπολογισμού από τους μαθητές, πριν από τη διδασκαλία των αλγορίθμων για τις πράξεις. Σήμερα, με βάση τις άτυπες στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι ίδιοι οι μαθητές, οδηγούνται στο να ανακαλύψουν και να κατανοήσουν καλύτερα τους αλγόριθμους. Οι μαθητές θα πρέπει να έχουν την δυνατότητα να δουλέψουν αρκετά με τους αριθμούς, το σύστημα αρίθμησης και τους νοερούς υπολογισμούς, και στη συνέχεια μέσω της λύσης προβλήματος να εφαρμόσουν άτυπες μεθόδους υπολογισμού (Anghileri, 1999, Thompson, 1999). Παρακάτω, γίνεται αναφορά τους άτυπους τρόπους υπολογισμού πολυψήφιων πολλαπλασιασμών που ανακαλύπτουν οι ίδιοι οι μαθητές, σύμφωνα με έρευνα που πραγματοποίησε ο Baek (1998).

Ε. Τράχηλου, Ζ. Χρίστου & Χ. Λεμονίδης (α) Άμεση μοντελοποίηση: Στην άμεση μοντελοποίηση τα παιδιά χρησιμοποιούν υλικά καταμέτρησης με βάση τη μονάδα ή τη δεκάδα, με τα οποία καταμετρούν το συνολικό αριθμό αντικειμένων. (β) Στρατηγική του ολόκληρου αριθμού: Προσθέτουν τον πολλαπλασιαστέο αλλά δε διασπούν τον πολλαπλασιαστή ή τον πολλαπλασιαστέο με τον ίδιο τρόπο. Για την πρόσθεση του πολλαπλασιαστέου χρησιμοποιούν διάφορες στρατηγικές, διπλασιασμό ή επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα για να γίνει πιο κατανοητό: για την πραγματοποίηση του πολλαπλασιασμού 4x23, ένα παιδί με βάση τη στρατηγική της επαναλαμβανόμενης πρόσθεσης θα προσθέσει 4 φορές τον αριθμό 23. Ένα άλλο παιδί μπορεί να διπλασιάσει το 23 και μετά να ξαναδιπλασιάσει το 46 ή να προσθέσει 46 + 46 και να φτάσει στο αποτέλεσμα. Κάποιο παιδί μπορεί να κάνει την επαναλαμβανόμενη πρόσθεση 23+23+23+23. (γ) Στρατηγική του διασπασμένου αριθμού: Οι μαθητές προχωρούν σε διάσπαση του πολλαπλασιαστή, ή του πολλαπλασιαστέου, ή και των δύο σε μικρότερους αριθμούς ώστε να μπορούν να τους πολλαπλασιάσουν στη συνέχεια με μεγαλύτερη ευκολία, με βάση και την προπαίδεια. Άλλοι διασπούν τους αριθμούς όχι με βάση τις τάξεις των ψηφίων στο δεκαδικό σύστημα, και άλλοι διασπούν τους αριθμούς βάση των τάξεων των ψηφίων στο δεκαδικό σύστημα, σε μονάδες, δεκάδες κ.τ.λ. Παράδειγμα: 15 x 177 - Σύμφωνα με την πρώτη περίπτωση, ένας μαθητής θα αναλύσει το 15 ως 3 x 5 και θα εκτελέσει τον πολλαπλασιασμό με την ακόλουθη σειρά 15x177 = (3 x 177) x 5 - Σύμφωνα με τη δεύτερη περίπτωση, θα σπάσει του 15 σε 10+5 και θα εκτελέσει τον πολλαπλασιασμό με την ακόλουθη σκέψη (10x177) + (5x177) (δ) Στρατηγικές διάσπασης και των δύο αριθμών σε δεκάδες: Διασπόνται και οι δύο αριθμοί σε δεκάδες. Ο αλγόριθμος της διάσπασης και των δύο αριθμών σε δεκάδες είναι ο Ελληνικός ιστορικός αλγόριθμος. Εδώ δηλαδή τα παιδιά διασπούν και τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστέο σε αριθμούς δεκάδων, εκτελούν κάθε πολλαπλασιασμό, και προσθέτουν τα μερικά γινόμενα. Για παράδειγμα μια μαθήτρια για να υπολογίσει το 26x39 δημιουργεί τέσσερα μερικά γινόμενα. Λέει ότι 26 φορές 39 είναι όπως 20x30, 20x9, 6x30, και 6x9 επειδή 20 φορές 39 είναι 20x30 συν 20x9 και 6x39 είναι 6x30 συν 6x9. (ε) Στρατηγικές Αντιστάθμισης: Οι μαθητές που ακολουθούν αυτή τη στρατηγική ρυθμίζουν τον ένα ή και τους δύο όρους του πολλαπλασιασμού ώστε οι αριθμοί να διπλασιαστούν ή να διχοτομηθούν για να καταστήσουν τον υπολογισμό ευκολότερο ή για να χρησιμοποιήσουν μερικά γινόμενα πολλαπλασιασμού που γνωρίζουν ήδη. Οι στρατηγικές που ρυθμίζουν και τους δύο αριθμούς χρησιμοποιούνται συχνά στα προβλήματα που περιλαμβάνουν το 5. Για παράδειγμα ένα παιδί για να κάνει τον πολλαπλασιασμό 5x250, χωρίζει το 250 στο μισό βρίσκει το 125, το πολλαπλασιάζει με το 10 και βρίσκει το 1.250. 3. Η ΕΡΕΥΝΑ Στόχος της έρευνας

Οι Άτυπες Στρατηγικές που Χρησιμοποιούν οι Μαθητές στον Πολλαπλασιασμό Η παρούσα έρευνα έχει ως στόχο να διερευνήσει τις άτυπες μεθόδους που αναπτύσσουν οι μαθητές της Κύπρου, οι οποίες τους βοηθούν στην επίλυση προβλημάτων πολλαπλασιασμού διψήφιων αριθμών, πριν να διδαχθούν τον κάθετο αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού.

Ε. Τράχηλου, Ζ. Χρίστου & Χ. Λεμονίδης Υποθέσεις της έρευνας Η έρευνα φέρνει τα υποκείμενα της έρευνας σε επαφή με προβλήματα πολλαπλασιασμού που δεν έχουν αντιμετωπίσει μέχρι τώρα, με στόχο να μελετήσει τη συμπεριφορά τους μπροστά στην καινούρια κατάσταση. Τα υποκείμενα γνωρίζουν την προπαίδεια, δεν έχουν όμως προχωρήσει με τη στρατηγική διάσπασης των αριθμών, ούτε έχουν διδαχθεί τον κάθετο αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού. Συνεπώς, όλα τα έργα του δοκιμίου θα διερευνήσουν άτυπες στρατηγικές των μαθητών. Υποθέτουμε ότι οι μαθητές της Γ Δημοτικού θα χειριστούν τα προβλήματα με διάφορους τρόπους, αναπτύσσοντας ποικίλες στρατηγικές, παρόμοιες με αυτές στις οποίες γίνεται αναφορά στο θεωρητικό μέρος της εργασίας. Δείγμα Το δείγμα αποτελούσαν 75 μαθητές και μαθήτριες της Γ Δημοτικού, από σχολεία της επαρχίας Λάρνακας και Λευκωσίας. Μέσα Συλλογής Δεδομένων Για την πραγματοποίηση της έρευνας καταρτίστηκε ένα δοκίμιο, το οποίο περιελάμβανε δύο προβλήματα και μια πράξη πολλαπλασιασμού. Για τη λύση του πρώτου προβλήματος οι μαθητές έπρεπε να εκτελέσουν έναν πολλαπλασιασμό μεταξύ μονοψήφιου και διψήφιου αριθμού (7x15) ενώ για το δεύτερο πρόβλημα έπρεπε να εκτελέσουν πολλαπλασιασμό διψήφιου με διψήφιο αριθμό, όπου ο ένας διψήφιος ήταν πολλαπλάσιο του 10 (12x30). Η απλή πράξη, που ήταν και το δυσκολότερο έργο του δοκιμίου, αφορούσε πολλαπλασιασμό διψήφιου με διψήφιο, όπου κανένας από τους δύο αριθμούς δεν ήταν πολλαπλάσιο του 10 (25x21). Οι ερευνήτριες παρότρυναν τους μαθητές να εξηγούν στο δοκίμιο τους πώς σκέφτηκαν και εργάστηκαν για να φτάσουν σε λύση. Πέρα, όμως, από το δοκίμιο, πάρθηκαν και 15 προσωπικές συνεντεύξεις από παιδιά, στο τέλος της εργασίας τους, με στόχο να εξηγήσουν οι ίδιοι οι μαθητές τον τρόπο που εργάστηκαν για να απαντήσουν στο δοκίμιο. Στους μαθητές δόθηκε χρόνος 30 λεπτών περίπου για να εργαστούν. 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Οι λύσεις, που έδωσαν οι μαθητές του δείγματος στο δοκίμιο, κωδικοποιήθηκαν με τέτοιο τρόπο ώστε να αναδειχθούν όλες οι στρατηγικές που ακολούθησαν οι μαθητές στο κάθε ερώτημα του δοκιμίου. Οι μαθητές χρησιμοποίησαν άμεση μοντελοποίηση, τη στρατηγική του ολόκληρου αριθμού, τη στρατηγική της διάσπασης αριθμού και τον κάθετο αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού. Οι μαθητές που προχώρησαν σε άμεση μοντελοποίηση του προβλήματος για να δώσουν απάντηση βρίσκονται στην προαλγοριθμική φάση και είναι λιγότερο εξελιγμένη η σκέψη τους από αυτούς που χρησιμοποίησαν την επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται ο αριθμός των μαθητών που έκαναν κάποιου είδους εικόνα για να μοντελοποιήσουν τα προβλήματα.

Οι Άτυπες Στρατηγικές που Χρησιμοποιούν οι Μαθητές στον Πολλαπλασιασμό Πίνακας 1 Αριθμός μαθητών που προχώρησαν σε μοντελοποίηση Πρόβλημα 1 (7x15) 26 (34,67%) Πρόβλημα 2 (12x30) 8 (10,67%) Άσκηση 3 (25x21) 3 (4%) Όπως γίνεται αντιληπτό από τον παραπάνω πίνακα, αρκετοί μαθητές προχώρησαν σε μοντελοποίηση του προβλήματος. Συγκεκριμένα 34,67% μοντελοποίησαν το πρώτο πρόβλημα, 10,67% το δεύτερο και μόνο 4% το τρίτο. Αυτό που παρατηρείται και είναι σημαντικό να σημειωθεί είναι ότι ο αριθμός των μαθητών μειώνεται αισθητά από το πρώτο στο τρίτο έργο του δοκιμίου. Αυτό, ίσως, να οφείλεται στο ότι οι μαθητές αντιλήφθηκαν ότι οι αριθμοί από το πρώτο έργο στο τελευταίο μεγαλώνουν και θα ήταν δύσκολο και μάταιο να μοντελοποιήσουν το πρόβλημα, να σχεδιάσουν για παράδειγμα 25 σειρές που αποτελούνται από 21 αντικείμενα (τρίτο έργο δοκιμίου) και μετά να μετρήσουν όλα τα αντικείμενα για να βρουν την απάντηση. Η καταμέτρηση των αντικειμένων ίσως να τους βοήθησε στο πρώτο έργο όπου οι αριθμοί ήταν σχετικά μικροί (7 καλάθια που περιέχει το καθένα 15 μήλα). Η ίδια, όμως, διαδικασία είναι χρονοβόρα και δύσκολη όσον αφορά το τρίτο έργο (25 x 21). Στις συνεντεύξεις που ακολούθησαν το δοκίμιο, παιδί που μοντελοποίησε το πρώτο πρόβλημα, ερωτήθηκε για τον τρόπο που εργάστηκε. Ο διάλογος με την ερευνήτρια ήταν ο εξής: Ερευνήτρια: Πώς σκέφτηκες και έλυσες αυτό το πρόβλημα; Μαθητής: Σκέφτηκα να κάνω 7 καλαθάκια και να έχει το καθένα 15 μήλα. Ερευνήτρια: Και πώς τελικά βρήκες την απάντηση; Μαθητής: Για να βρω πόσα μπορώ να τα μετρήσω ή να κάνω 7 Χ 15. Εγώ τα μέτρησα και βρήκα 105. Ο μαθητής αυτός έχει κατανοήσει ότι πρόκειται για πράξη πολλαπλασιασμού, αλλά επειδή δε γνώριζε πώς να υπολογίσει αυτή την πράξη προχώρησε και μέτρησε τα μήλα. Με τη στρατηγική αυτή υπήρχαν μαθητές που έδιναν λάθος απάντηση, που πλησίαζε την ορθή ή δεν έδιναν καθόλου απάντηση γιατί δεν κάθονταν να μετρήσουν ένα προς ένα τα μήλα. Σχετικά με τη στρατηγική της επαναλαμβανόμενης πρόσθεσης, το ποσοστό των μαθητών που χρησιμοποιούν τη συγκεκριμένη στρατηγική αυξάνεται από το πρώτο στο τρίτο έργο του δοκιμίου. Οι μαθητές βλέπουν τη στρατηγική του ολόκληρου αριθμού ως μια στρατηγική στην οποία μπορούν να υποπέσουν σε λιγότερα λάθη, αφού μπορούν να χειριστούν καλύτερα την πράξη της πρόσθεσης.

Ε. Τράχηλου, Ζ. Χρίστου & Χ. Λεμονίδης Πίνακας 2 Στρατηγικές που χρησιμοποίησαν οι μαθητές Επαναλαμβανόμενη Πρόσθεση Στρατηγική διάσπασης του αριθμού Κάθετος αλγόριθμος Πρ. 1 (7x15) 17 (22,67%) 14 (18,67%) 9 (12%) Πρ. 2 (12x30) 8 (10,76%) 17 (22,67%) 12 (16%) Άσκ. 3 (25x21) 24 (32%) 10 (13,33%) 21(28%) Αναφορικά με τη στρατηγική διάσπασης του αριθμού, διαπιστώνεται ότι ένα σημαντικό ποσοστό των μαθητών χρησιμοποιεί τη συγκεκριμένη στρατηγική. Φαίνεται ότι οι μαθητές αυτοί έχουν ανεπτυγμένη σκέψη σχετικά με τον αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού, γεγονός που φανερώνει ετοιμότητα για τη μετέπειτα διδασκαλία του κλασικού αλγορίθμου. Όπως φαίνεται και μέσα από τη βιβλιογραφία, η διάσπαση του αριθμού μπορεί να γίνει με ποικίλους τρόπους. Στη συνέχεια θα γίνει αναφορά στους τρόπους που χρησιμοποιούν τα υποκείμενα της έρευνας για να διασπάσουν τους αριθμούς των έργων του δοκιμίου. Πίνακας 3 Στρατηγική Διάσπασης Αριθμού Στρατηγική διάσπασης Στρατηγική διάσπασης σε δεκάδες όχι σε δεκάδες 1 ος αριθμός 2 ος αριθμός Και οι δύο Πρ. 1 (7x15) 0 0 15 (20%) 0 Πρ. 2 (12x30) 0 11 (14.7%) 2 (2.7%) 5 (6.7%) Άσκ. 3 (25x21) 0 3 (4%) 6 (8%) 21 (28%) Όπως φαίνεται και από τον πίνακα οι μαθητές ακολούθησαν περισσότερο τη στρατηγική διάσπασης του δεύτερου αριθμού σε δεκάδες ή πολλαπλάσια της δεκάδας, για να επιλύσουν τα έργα του δοκιμίου. Υπήρχαν, βέβαια, και αρκετοί που στην προσπάθειά τους να φτάσουν σε μια λύση διάσπασαν είτε τον πρώτο αριθμό του πολλαπλασιαμού είτε και τους δύο μαζί. Αυτό ίσως να οφείλεται στο γεγονός ότι, οι μαθητές αντιλήφθηκαν τη δυσκολία να πολλαπλασιάσουν δύο διψήφιους αριθμούς μεταξύ τους, με αποτέλεσμα να διασπάσουν τους αριθμούς που πολλαπλασιάζονται για να διευκολυνθούν στην επίλυση του πολλαπλασιασμού. Στην περίπτωση που οι μαθητές διάσπασαν και τους δύο αριθμούς, υπήρχαν κάποια λάθη στη στρατηγική αυτή από αρκετούς μαθητές, οι οποίοι δεν αντιλκήφθηκαν ότι όταν διασπάται ένας διψήφιος αριθμός χωρίζεται σε δεκάδες και μονάδες. Οι συγκεκριμένοι μαθητές πολλαπλασίαζαν απλά τα πρώτα ψηφία και των δύο αριμθών μεταξύ τους και στη συνέχεια πολλαπλασίαζαν τα άλλα δύο ψηφία και τελικά πρόσθεταν το αποτέλεσμα και αυτών των δύο πράξεων, καταλήγοντας επομένως σε λάθος αριθμητική απάντηση. Όσο αφορά τη στρατηγική εκτέλεσης του κάθετου αλγόριθμου, ένα μεγάλο ποσοστό μαθητών τοποθετεί τους αριθμούς κάθετα για να εκτελέσει την πράξη. Το γεγονός αυτό

Οι Άτυπες Στρατηγικές που Χρησιμοποιούν οι Μαθητές στον Πολλαπλασιασμό μπορεί να οφείλεται είτε στην τάση των μαθητών για μιμητισμό, είτε είναι επηρεασμένοι από την κάθετη πρόσθεση και αφαίρεση και λειτουργούν με παρόμοιο τρόπο. Στο τρίτο έργο αυξάνεται το ποσοστό χρησιμοποίησης του κάθετου αλγόριθμου (28%) και αυτό πιθανό να οφείλεται στην αδυναμία ανταπόκρισης των μαθητών στο έργο με κάποια άλλη στρατηγική, από τη στιγμή που οι αριθμοί μεγαλώνουν. Πολλοί από τους μαθητές που χρησιμοποίησαν κάποια από τις πιο πάνω στρατηγικές, έκαναν λάθη είτε στις πράξεις, είτε στον ίδιο τον αλγόριθμο, παραλείποντας να πολλαπλασιάσουν κάποιους από τους αριθμούς. Αρκετοί ήταν οι μαθητές οι οποίοι αν και τους είχε ζητηθεί να καταγράψουν κάθε τους σκέψη και κάθε τρόπο που ακολούθησαν για να απαντήσουν τα έργα του δοκιμίου, δεν το έπραξαν και έδωσαν απευθείας μια απάντηση είτε αυτή ήταν σωστή (αριθμητικά) είτε ήταν λανθασμένη. Όπως φαίνεται και από τον πίνακα, το ποσοστό των μαθητών που έγραψαν απλά μια αριθμητική απάντηση, χωρίς να έχουν κάνει οποιαδήποτε πράξη που να δικαιολογεί την απάντησή τους ανέρχεται σε 14,67% στο πρώτο έργο και αυξάνεται από το πρώτο στο τρίτο έργο του δοκιμίου (28%). Αντίστοιχη αύξηση παρατηρείται και με τις λάθος πράξεις που έκανα οι μαθητές στις στρατηγικές που ακολούθησαν. Πίνακας 4 Λάθη στις απαντήσεις των μαθητών Απλή απάντηση χωρίς πράξεις Λάθος στις πράξεις Πρόσθεση αντί πολλαπλασιασμού Δεν έδωσαν απάντηση Πρ. 1 (7x15) 11 (14,67%) 23 (30,67%) 5 (6,67%) 0 (0%) Πρ. 2 (12x30) 12 (16%) 20 (26,67%) 5 (6,67%) 7 (9,33%) Άσκ. 3 (25x21) 21 (28%) 31(41,33%) 0 (0%) 5 (6,67%) Επίσης, αν και ήταν μικρό το ποσοστό των μαθητών (13,34% συνολικά) οι οποίοι προχώρησαν σε πρόσθεση των αριθμών που υπάρχουν στα έργα του δοκιμίου, εντούτοις, είναι ένα σημείο που αξίζει να μας προβληματίσει. Ίσως εδώ να παίζει ρόλο το διδακτικό συμβόλαιο, το οποίο επηρέασε τους μαθητές και τους οδήγησε στο να προσθέσουν τους αριθμούς του προβλήματος αντί να τους πολλαπλασιάσουν. Μικρό σχετικά ήταν και το ποσοστό των υποκειμένων που δεν έδωσαν κάποια απάντηση στα έργα, είτε λόγω αδυναμίας, είτε λόγω μη κατανόησης των έργων του δοκιμίου. Στις παρακάτω συνεντεύξεις οι μαθητές εξηγούν τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκαν και εργάστηκαν (που για τους ίδιους είχε νόημα). Γιώργος (για το πρώτο πρόβλημα): «Έκανα 7 Χ 5 και βρήκα 35. Μετά έκανα 7 Χ 1 και βρήκα 7. Τελικά, η απάντηση 357» Αντρέας (για το δεύτερο πρόβλημα): «Πολλαπλασίασα το 2 με το μηδέν και βρήκα 0, μετά πολλαπλασίασα το 3 με το 1 και βρήκα 3, άρα η απάντηση είναι 30 λίρες»

Ε. Τράχηλου, Ζ. Χρίστου & Χ. Λεμονίδης Μαρία (για το τρίτο έργο): «Πολλαπλασίασα το 5 με το ένα και μου βγήκε 5, και μετά πολλαπλασίασα το 20 με το 20 και μου βγήκε 400.400 + 5 κάνουν 405» Κατερίνα (για το τρίτο έργο): «Πολλαπλασίασα το 5 με το ένα που κάνει 5 και μετά το 2 με το 2 που κάνει 4, άρα η απάντηση είναι 45» Πολύ ενδιαφέρουσα ήταν η περίπτωση μια μαθήτριας η οποία στο πρώτο πρόβλημα έκανε αναπαράσταση με καλαθάκια, μοντελοποιώντας το πρόβλημα, αλλά δεν προχώρησε να μετρήσει τα μήλα, ενώ στο τρίτο έργο του δοκιμίου έδωσε την εξής λύση: 25Χ21=(25Χ1) + (25Χ20)= 525 Ο διάλογος με τη συγκεκριμένη μαθήτρια ήταν ο ακόλουθος: Ερευνήτρια: Πώς έλυσες αυτή την εξίσωση; Μαθήτρια: Είπα πρώτα 25Χ1 ότι κάνει 25 και μετά 25Χ20 κάνει 500. Ερευνήτρια: Μπορείς να μου μιλήσεις λίγο για τις παρενθέσεις; Πώς το σκέφτηκες; Μαθήτρια: Έβαλα τις παρενθέσεις για να το βρω, τα χώρισα μέσα στο μυαλό μου και τα έγραψα. Μου το έμαθε η θεία μου στην πρώτη τάξη (θεία δασκάλα). Ερευνήτρια: Μάλιστα. Στο πρώτο πρόβλημα όμως δεν έδωσες απάντηση και εργάστηκες με άλλο τρόπο. Μπορείς να μου εξηγήσεις αυτό τον τρόπο; Μαθήτρια: Μπορούσα πάλι να το βάλω στην παρένθεση, να σου δείξω (7Χ10) + (7Χ5)= και να το βρω. Κάνει 105. Έτσι όπως το έκανα για να βρω την απάντηση πρέπει να μετρήσω τα μήλα. Η μαθήτρια αυτή στο απλό πρόβλημα σκέφτηκε να το αναπαραστήσει εικονικά και να μετρήσει τα αντικείμενα. Δεν μπήκε όμως στον κόπο να τα μετρήσει. Αντίθετα, στο τρίτο έργο του δοκιμίου κατάλαβε ότι δε θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει αυτή τη στρατηγική για τόσο μεγάλους αριθμούς και έκανε ανάκληση από τη μνήμη της τη μέθοδο που έμαθε παλαιότερα. Φαίνεται ότι δεν έχει κατανοήσει τη στρατηγική του διασπασμένου αριθμού που διδάχθηκε από το οικογενειακό της περιβάλλον, από τη στιγμή που δεν τη χρησιμοποιεί συστηματικά. Είναι σημαντικό να κρατήσουμε και την εξήγηση για τους νοερούς υπολογισμούς που πραγματοποιεί, ότι δηλαδή τα χωρίζει στο μυαλό της. Όταν εξήγησε τη στρατηγική που χρησιμοποίησε στην εξίσωση, αντιλήφθηκε ότι θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει τη στρατηγική αυτή και για το πρώτο πρόβλημα και να βρει αμέσως τη λύση. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Με βάση τα όσα αναλύθηκαν προηγουμένως, προκύπτει ότι, παρόλο που οι μαθητές Γ τάξης Δημοτικού δεν έχουν διδαχτεί μέχρι στιγμής τον κλασικό αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού, στηριζόμενοι στις γνώσεις της προπαίδειας, προσπάθησαν να λύσουν τα τρία έργα του δοκιμίου, ο καθένας με το δικό του τρόπο, χρησιμοποιώντας τις δικές του άτυπες στρατηγικές. Σύμφωνα με τις λύσεις και τις μεθόδους που

Οι Άτυπες Στρατηγικές που Χρησιμοποιούν οι Μαθητές στον Πολλαπλασιασμό ακολούθησαν οι μαθητές που συμμετείχαν στην έρευνα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι μαθητές χρησιμοποιούν κατά κύριο λόγο τέσσερις διαφορετικές στρατηγικές, για τις οποίες γίνεται και αναφορά στη βιβλιογραφία (Baek, 1998). Αυτές οι στρατηγικές είναι: α) η μοντελοποίηση, β) η στρατηγική του ολόκληρου αριθμού, γ) η στρατηγική του διασπασμένου αριθμού και δ) ο κάθετος αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού. Από τα αποτελέσματα της έρευνάς μας προκύπτει ότι αρκετοί μαθητές αναπτύσσουν διάφορες άτυπες στρατηγικές πολλαπλασιασμού για να ανταποκριθούν στα έργα, έστω και αν δεν έχουν διδαχθεί παρόμοια προβλήματα. Οι μαθητές που χρησιμοποιούν μοντελοποίηση για την επίλυση των προβλημάτων φαίνεται ότι ακόμα βρίσκονται στην προαλγοριθμική φάση. Οι μαθητές χρησιμοποίησαν την επαναλαμβανόμενη πρόσθεση για να φτάσουν σε απάντηση, μια στρατηγική στην οποία ήταν αναμενόμενο να χρησιμοποιηθεί. Άλλωστε, η στρατηγική αυτή είναι όμοια με τον Αιγυπτιακό πολλαπλασιασμό. Ο Αιγυπτιακός πολλαπλασιασμός λοιπόν είναι συμβατός με τις άτυπες στρατηγικές των μαθητών του ολόκληρου αριθμού. Η στρατηγική του διασπασμένου αριθμού, η οποία στην ουσία αναφέρεται στον ελληνικό πολλαπλασιασμό, χρησιμοποιήθηκε από αρκετά μεγάλο ποσοστό μαθητών και στα τρία προβλήματα. Συγκεριμένα, οι μαθητές που ακολούθησαν τη στρατηγική της διάσπασης αριθμού, δίεσπασαν είτε τον πρώτο αριθμό από τους δύο που πολλαπλασιάζονται, είτε το δεύτερο αριθμό, αλλά υπήρχαν και αρκετοί μαθητές που προχώρησαν σε διάσπαση και των δύο αριθμών, αν και πολλές φορές λανθασμένα. Για την ερμηνεία αυτής της διαπίστωσης, αποκλείουμε αρχικά το ενδεχόμενο της διδακτικής παρέμβασης στο σύνολο των μαθητών, από τη στιγμή που σύμφωνα με τους δασκάλους τους δεν έχουν διδάξει και χρησιμοποιήσει στη σχολική τάξη τη στρατηγική διάσπασης του αριθμού. Σίγουρα, το υψηλό ποσοστό φανερώνει ότι η στρατηγική δεν χρησιμοποιήθηκε από τους μαθητές τυχαία. Είναι φανερό ότι η στρατηγική της διάσπασης των αριθμών σε δεκάδες και μονάδες είναι μια στρατηγική που διευκολύνει τους μαθητές να λύνουν έργα με μεγάλους αριθμούς, των οποίων το γινόμενο είναι δύσκολο να το γνωρίζουν απ έξω, ή να το υπολογίσουν με άλλο τρόπο. Από τη στιγμή που οι μαθητές δεν έχουν ακόμη διδαχτεί τον αλγόριθμο του πολλαπλασιαμού, προσπάθησαν, με βάση τις ήδη υπάρχουσες γνώσεις τους και χρησιμοποιώντας τις άτυπες στρατηγικές τους, να επιλύσουν τα έργα του δοκιμίου. Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένος, η στρατηγική διάσπασης του αριθμού σε δεκάδες είναι παρόμοια με τον ελληνικό αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού. Από τη μελέτη της βιβλιογραφίας μπορούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι είναι φυσική εξέλιξη της ανθρώπινης νόησης η ανάπτυξη της στρατηγικής αυτής. Πρόκειται για το φαινόμενο της φυλογένεσης, σύμφωνα με το οποίο, όπως ιστορικά αναπτύχθηκε ο ελληνικός πολλαπλασιασμός, είναι λογικό να αναπτυχθεί και στην περίπτωση των σημερινών μαθητών ο αλγόριθμος αυτός. Συνεπώς, είναι χρήσιμη η διδασκαλία του ελληνικού

Ε. Τράχηλου, Ζ. Χρίστου & Χ. Λεμονίδης πολλαπλασιασμού στους μαθητές, καθώς μπορούν από τη φύση τους να τον δεχτούν αβίαστα. Η ύπαρξη μαθητών που προχώρησαν να κάνουν τον πολλαπλασιασμό κάθετα μπορεί να οφείλεται σε δύο στοιχεία. Το πρώτο στοιχείο αφορά στη επίδειξη του κάθετου αλγόριθμου του πολλαπλασιασμού από κάποιο μέλος του οικογενειακού περιβάλλοντος. Το δεύτερο στοιχείο αφορά στην τάση μιμητισμού των μαθητών. Αρκετοί από τους μαθητές που επιχείρησαν να κάνουν κάθετα τον πολλαπλασιασμό θα έχουν δει μεγαλύτερους να χρησιμοποιούν τη στρατηγική αυτή και θέλησαν να τη μιμηθούν. Το ενδεχόμενο αυτό δικαιολογεί και τα λάθη που έκαναν οι μαθητές στην προσπάθειά τους. Άλλο ένα σημείο που ενισχύει την πιο πάνω άποψη είναι και το γεγονός ότι κάποιοι μαθητές, αντί για πολλαπλασιασμό, έκαναν πρόσθεση για να λύσουν τα έργα του δοκιμίου. Δηλαδή, αντί να πολλαπλασιάσουν τους αριθμούς των έργων, τους πρόσθεσαν μεταξύ του. Τελικά, αν και ο πολλαπλασιασμός είναι μια έννοια/πράξη που διδάσκεται συστηματικά από τις πρώτες τάξεις του δημοτικού σχολείο, εντούτοις, ίσως οι εκπαιδευτικοί να μη δίνουν σημασία στις προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών, ώστε αυτές να αποτελέσουν εργαλείο για κατανόηση του αλγόριθμου του πολλαπλασιασμού. Η παρούσα έρευνα αναδεικνύει την ύπαρξη των άτυπων στρατηγικών. Σύμφωνα με το όσα αναφέρθηκαν στην παρούσα εργασία όσο αφορά στις άτυπες στρατηγικές που αναπτύσσουν οι μαθητές για τον πολλαπλασιασμό, είναι πολύ σημαντικό να λαμβάνονται υπόψη οι άτυπες γνώσεις και στρατηγικές των παιδιών, έτσι ώστε η διδασκαλία που θα ακολουθηθεί να είναι προσαρμοσμένη και να ανταποκρίνεται στις ανάγκες και τις γνώσεις των μαθητών. Η εισαγωγή στον αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού μέσω του ελληνικού πολλαπλασιασμού βοηθά στην καλύτερη κατανόηση και την απόδοση νοήματος στον αλγόριθμο, και η βοήθεια αυτή προσφέρεται φυσικά και αβίαστα. Η γνώση από μέρους του εκπαιδευτικού των άτυπων στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι μαθητές του μπορεί να βοηθήσει στην αποτελεσματικότερη διδασκαλία. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ξενόγλωσση Anghileri, J., Beishuizen, M. and Van Putten, K. (2002) From informal strategies to structured procedures: Mind the gap, Educational Studies in Mathematics, v49, pp.149-170 Anghileri, J. (2001) What are we trying to achieve in teaching standard calculating procedures?, in: V. Heuvel-Panhuizen (Ed) Proceedings of the 25 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME 25), v2, pp.41-49, Utrecht Freudental Institute

Οι Άτυπες Στρατηγικές που Χρησιμοποιούν οι Μαθητές στον Πολλαπλασιασμό Anghileri, J. (1989) An Investigation of Young Children s Understanding Multiplication, Educational Studies in Mathematics, v20, p365-385 Baek, J.M. (1998) Children s Invented Algorithms for Multidigit Multiplication Problems, National Council of Teachers of Mathematics, v8, p51-60 Bell, A., Fiscbein, E, and Greer, B. (1984) Choice of Operation in Verbal Arithmetic Problems: The Effects of Number Size, Problem Structure and Context, Educational Studies in Mathematics, v15, p129-147 Ebby, C.B. (2005) The powers and pitfalls of algorithmic knowledge: a case study, Journal of Mathematics Behaviour, v24, p73-87 Faye, C.B. (1996) Identification of Multiplicative Thinking in Children in Grades 1-5, Journal for Research in Mathematics Education, v27, p41-51 Fisher, I. (2004) Multicultural Multiplication, Mathematics in School, USA: California Hino, K. (2002) Acquiring new use of multiplication through classroom teaching: an exploratory study, Journal of Mathematics Bahaviour, v20, p477-502 Plunkett, S. (1979) Decomposition and all that rot, Mathematics in School, v8(3), pp.2-5 Tirosh, D. and Graeber, A. (1989) Preservice Elementary Teachers Explicit Beliefs about Multiplication and Division, Educational Studies in Mathematics, v20, p79-96 Ελληνόγλωσση Κολέζα, Ε. (2000) Γνωσιολογική και Διδακτική Προσέγγιση των Στοιχειωδών Μαθηματικών Εννοιών, Αθήνα: Leader Books Λεμονίδης, Χ., Νικολαντωνάκης, Κ. (2007). Ελληνικός πολλαπλασιασμός: Ένας άγνωστος ιστορικός αλγόριθμος κατάλληλος για τη διδασκαλία. Σύγχρονη Εκπαίδευση, τεύχος 151, σελ. 169-178. Ηλεκτρονικές Πηγές http://www.eled.uowm.gr/mathslife.html