ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1
ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα και αμετάβλητα μέγεθος και μορφή. 18/11/011 ΚΕΦ. 9
ΣΤΕΡΕΑ ΣΩΜΑΤΑ Στο στερεό σώμα όλα τα σωματίδια που το απαρτίζουν διατηρούν σταθερές τις σχετικές τους θέσεις. Καθώς το σώμα περιστρέφεται: Κάθε σωματίδιο κινείται Οι σχετικές τους θέσεις δεν αλλάζουν Παράδειγμα: Οι πόλεις πάνω στην επιφάνεια της Γης Βοστώνη Σύδνεϋ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 3
ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Αρχικά, Περιστροφική κίνηση στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα. Σταθερός άξονας: άξονας που είναι σε ηρεμία ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Επιλέγουμε συνήθως την αρχή του συστήματος μας x-y να είναι το ίδιο όπως το επίπεδο που είναι κάθετο προς τον άξονα περιστροφής και ως αρχή των αξόνων παίρνουμε το O στο σημείο τομής με τον άξονα. Λαμβάνουμε ένα σημείο στο περιστρεφόμενο σώμα και φέρουμε τη γραμμή από ατό το σημείο στην αρχή, η οποία σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα x. Αυτή η γωνία ονομάζεται γωνιακή θέση. Η γωνιακή μετατόπιση ορίζεται ως η μεταβολή στην γωνιακή θέση, θ = θ - θ 1, κατά το χρονικό διάστημα t = t - t 1. Τόσο η γωνιακή θέση όσο και η γωνιακή μετατόπιση συνήθως θα εκφράζονται σε ακτίνια. 18/11/011 ΚΕΦ. 9 4
ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Ένα ακτίνιο είναι η γωνία που υποτείνεται από τόξο μήκους ίσο προς την ακτίνα του κύκλου. 1 rad : s = r Η σχέση της γωνίας θ με το μήκος του τόξου S που υποτείνει και της ακτίνας του κύκλου r. s θ = s = rθ r Η γωνία είναι καθαρός αριθμός ως λόγος δυο μηκών (ΔΕΝ έχει διαστάσεις). 18/11/011 ΚΕΦ. 9 5
ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Η μέση γωνιακή ταχύτητα ω av-z είναι η γωνιακή μετατόπιση ανά μονάδα χρόνου ω av z θ θ1 = = t t θ ω z = lim = t 0 t 1 θ t Η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ω z είναι το όριο της ω av-z όταν το t τείνει στο μηδέν. Είναι συνεπώς η παράγωγος της γωνιακής θέσης ως προς το χρόνο. Κάθε στιγμή, κάθε τμήμα του περιστρεφόμενου στερεού έχει την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Η γωνιακή ταχύτητα είναι θετική εάν το σώμα περιστρέφεται κατά την διεύθυνση αύξησης της γωνίας θ και αρνητική αν περιστρέφεται αντιθέτως. dθ dt Γωνιακή ταχύτητα εκφράζεται σε ακτίνια ανά second (rad/s). Επίσης χρησιμοποιείται στην τεχνική ορολογία και μονάδα περιστροφές ανά λεπτό (rpm). 18/11/011 ΚΕΦ. 9 6
ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Η γωνιακή ταχύτητα είναι διανυσματική ποσότητα. Η κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας ορίζεται μέσω του κανόνα της δεξιάς χειρός. Χρήση του κανόνα, τυλίγουμε τα δάκτυλα του δεξιού χεριού κατά τη διεύθυνση της στροφής. Ο αντίχειρας δείχνει την κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας. 18/11/011 ΚΕΦ. 9 7
ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Η μέση γωνιακή επιτάχυνση α av-z είναι η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας στη μονάδα του χρόνου. ωz ω1z ωz αav z = = t t t 1 Η στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση α z είναι το όριο της α av-z όταν t τείνει στο μηδέν. Είναι η παράγωγος της γωνιακής ταχύτητας ως προς το χρόνο και η δεύτερη παράγωγος της γωνιακής θέσης ως προς το χρόνο. α z ωz dωz = lim = t 0 t dt d dθ α z = = dt dt d θ dt Μονάδα γωνιακής επιτάχυνσης είναι ακτίνια / δευτερόλεπτο τετράγωνο (rad/s ). 18/11/011 ΚΕΦ. 9 8
ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Ακριβώς όπως στην περίπτωση της γραμμικής κίνησης: Το σώμα θα επιταχύνεται" εάν η γωνιακή επιτάχυνση είναι στην ίδια κατεύθυνση με την γωνιακή ταχύτητα, και Το σώμα θα επιβραδύνεται" εάν η γωνιακή επιτάχυνση είναι στην αντίθετη κατεύθυνση με την γωνιακή ταχύτητα. 18/11/011 ΚΕΦ. 9 9
ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Γράφημα της ω z και της α z συναρτήσει του χρόνου για ένα περιστρεφόμενο σώμα. Σε πια χρονικά διαστήματα έχουμε «επιταχυνόμενη» περιστροφή; Σε πια χρονικά διαστήματα έχουμε «επιβραδυνόμενη» περιστροφή; 18/11/011 ΚΕΦ. 9 10
ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Γράφημα της ω z και της α z συναρτήσει του χρόνου για ένα περιστρεφόμενο σώμα. Σε πια χρονικά διαστήματα έχουμε «επιταχυνόμενη» περιστροφή; Σε πια χρονικά διαστήματα έχουμε «επιβραδυνόμενη» περιστροφή; Επιταχυνόμενη ω z <0 και α z <0 Επιταχυνόμενη ω z >0 και α z >0 Επιβραδυνόμενη ω z >0 και α z <0 18/11/011 ΚΕΦ. 9 11
ΣΤΑΘΕΡΗ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Για την ειδική περίπτωση σταθερής γωνιακής επιτάχυνσης οι εξισώσεις που σχετίζουν την γωνιακή μετατόπιση, την γωνιακή ταχύτητα, τη γωνιακή επιτάχυνση και του χρόνου έχουν την ίδια μορφή με τις κινηματικές εξισώσεις για σταθερή γραμμική επιτάχυνση. Αυτές οι εξισώσεις μπορεί να βρεθούν από τις αντίστοιχες γραμμικές με αντικατάσταση του x με θ, v x με ω z και a x με α z. t 1 =0, η γωνιακή επιτάχυνση είναι σταθερή και συνεπώς ίση προς τη μέση επιτάχυνση που προσδιορίζεται σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα: α z = ωz ω0 t 0 z ω0z + ωav z = ωav z = 0 Σταθερή γωνιακή επιτάχυνση ΜΟΝΟ ω z ω z + α zt ωz 1 θ θ θ θ0 = ( ω0z + ωz ) t 0 = t 0 Σταθερή γωνιακή επιτάχυνση ΜΟΝΟ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1
ΣΤΑΘΕΡΗ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Σχέση μεταξύ θ και t που δεν περιέχει το ω z : ω = ω + α t z 0z z 1 θ = θ 0 + ω0zt + α zt 1 θ θ0 = ( ω0z + ωz ) t Σταθερή γωνιακή επιτάχυνση ΜΟΝΟ Σχέση μεταξύ θ και ω z που δεν περιέχει το t: ω ω α = + t z 0z z 1 θ = θ0 + ω0zt+ αzt ω z = ω0z + z 0 α ( θ θ ) Σταθερή γωνιακή επιτάχυνση ΜΟΝΟ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 13
ΣΤΑΘΕΡΗ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 14
ΣΧΕΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ-ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ Έστω σημείο P πάνω στο περιστρεφόμενο σώμα το οποίο βρίσκεται σε απόσταση r από τον άξονα περιστροφής. Καθώς το σώμα μετατοπίζεται κατά γωνία θ ρο σημείο διανύει μια απόσταση που δίνεται από s = rθ Σε αυτή τη σχέση το θ πρέπει να εκφράζεται σε ακτίνια Εάν παραγωγίσουμε αυτή την έκφραση ως προς το χρόνο, τότε το αριστερό μέλος δίνει το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σημείου Αυτό το μέτρο ταχύτητας αντιστοιχεί προς την ταχύτητα του σημείου P η οποία είναι εφαπτομενική του τόξου που διαγράφεται από το σημείο. Διαφορίζοντας το δεξί μέλος, σημειώνουμε ότι το r είναι σταθερό, ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής θέσης είναι η γωνιακή ταχύτητα. Αυτό δίνει: ds dt dθ = r υ = rω dt Σχέση μεταξύ γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας 18/11/011 ΚΕΦ. 9 15
ΣΧΕΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ-ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ Παραγωγίζοντας πάλι δίνει τη σχέση μεταξύ της εφαπτομενικής επιτάχυνσης, a tan, του σημείου και της γωνιακής επιτάχυνσης του σώματος: dυ dω Εφαπτομενική επιτάχυνση ενός atan = = r = rα dt dt Υπενθυμίζουμε ότι οποιοδήποτε περιστρεφόμενο σώμα υφίσταται κεντρομόλο επιτάχυνση που διευθύνεται προς το κέντρο. Εάν αντικαταστήσουμε το v=rω, παίρνει την μορφή : arad υ = = ω r r Κεντρομόλος επιτάχυνση σημείου σε περιστρεφόμενο σώμα σημείου περιστρεφόμενου σώματος 18/11/011 ΚΕΦ. 9 16
s = rθ ταχύτητα υ ω επιτάχυνση μάζα m I Κινητική ενέργεια ΣΧΕΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ-ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ dυ dω υ = rω atan = = r = rα dt dt Αυτές οι σχέσεις ισχύον για κάθε σωματίδιο που έχει την ίδια εφαπτομενική ταχύτητα όπως σημείο σε περιστρεφόμενο στερεό σώμα. 1 1 1 1 K = mυ = m( rω) = mr ω = Iω Μετατόπιση s θ s = rθ 1 atan mυ α 1 Iω υ = a tan mr rω = rα 18/11/011 ΚΕΦ. 9 17 = I
ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ) Η περιστροφική αδράνεια ενός σώματος είναι το μέτρο της αντίστασης του στη μεταβολής της περιστροφικής του κατάστασης, αντίστοιχο της μάζας στην περίπτωση της μεταφορικής κίνησης. Για σύστημα σωματιδίων με μάζες m i σε αποστάσεις r i από άξονα που περνά από ένα σημείο P, η κινητική τους ενέργεια δίνεται από: 1 1 K = mυ + mυ +... = mr ω + m r ω +... = ω mr = Iω 1 1 11 i i i Για σύστημα σωματιδίων με μάζες m i σε αποστάσεις r i από άξονα που περνά από ένα σημείο P, η ροπή αδράνειας του συστήματος γύρω από αυτόν τον άξονα δίνεται από: I = + + = Ορισμός ροπής m1 r1 mr... m i r i αδράνειας Μονάδα SI σύστημα kg m Για στερεά σώματα η ροπή αδράνειας υπολογίζεται με ένα ολοκλήρωμα (αντί του αθροίσματος) Σε ένα στερεό οι αποστάσεις r i είναι σταθερές, και η I είναι ανεξάρτητη από τον τρόπο περιστροφής του γύρω από δεδομένο άξονα. 18/11/011 ΚΕΦ. 9 18 i
ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΡΟΠΕΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 19
ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Η περιστροφική κινητική ενέργεια ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από άξονα με γωνιακή συχνότητα ω και ως προς τον οποίο έχει ροπή αδράνειας I εκφράζεται ως K = 1 Iω Περιστροφική κινητική ενέργεια στερεού σώματος Σημειώστε την ομοιότητα της σχέσης αυτής με εκείνη της κινητικής ενέργειας υλικού σημείου μάζας m και ταχύτητας v Αυτή η κινητική ενέργεια είναι το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των επιμέρους σωματιδίων που σχηματίζουν το σώμα Η κινητική ενέργεια είναι ανάλογη της ροπής αδράνειας για ένα σώμα που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, συνεπώς η κινητική ενέργεια σώματος εξαρτάται από τον τρόπο περιστροφής του. 18/11/011 ΚΕΦ. 9 0
ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ K = 1 Iω 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1
ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Ροπές αδράνειας για διαφορετικούς άξονες περιστροφής Παράδειγμα 9.7 Έστω στοιχείο μηχανής που αποτελείται από 3 βαρείς συνδετήρες που ενώνονται με πολύ ελαφρούς συνδέσμους όπως φαίνεται στο σχήμα. A. Ποια είναι η ροπή αδράνειας αυτού του στοιχείου ως προς άξονα που περνά από το σημείο A, στο επίπεδο του σχήματος; B. Ποια είναι η ροπή αδράνειας αυτού του στοιχείου ως προς άξονα που συμπίπτει με την γραμμή BC; C. Πόση είναι η κινητική ενέργεια του στοιχείου εάν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα που περνά από το A στο επίπεδο του στοιχείου και έχει γωνιακή ταχύτητα 4.0 rad/s; r AB r BC r AC 18/11/011 ΚΕΦ. 9
ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Ροπές αδράνειας για διαφορετικούς άξονες περιστροφής Παράδειγμα 9.7 A. Από τον ορισμό της ροπής αδράνειας για τον άξονα που περνά από το σημείο A, στο επίπεδο του σχήματος έχουμε: I = mr = mr + mr + mr = mr + mr = 0,057kg m A i i A AA B AB C AC B AB C AC i B. Ως προς άξονα που συμπίπτει με την γραμμή BC έχουμε: IBC = mr i i = mr A AC + mr B BB + mr C CC = mr A AC = 0,048kg m i C. Η κινητική ενέργεια του στοιχείου εάν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα που περνά από το A στο επίπεδο του στοιχείου r AB και έχει γωνιακή ταχύτητα 4.0 rad/s θα είναι: K A 1 = IAω = 0, 46J 18/11/011 ΚΕΦ. 9 3 r AC r BC
ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Για να βρούμε την ροπή αδράνειας σώματος ως προς άξονα που είναι διαφορετικός από άλλον άξονα ως προς τον οποίο είναι γνωστή, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα των παραλλήλων αξόνων. Θεώρημα: Η ροπή αδράνειας σώματος μάζας M ως προς άξονα, P, που είναι παράλληλος προς και σε απόσταση d από άξονα που περνά από κέντρο μάζας του σώματος είναι: I Θεώρημα παραλλήλων p = Icm + Md αξόνων Απόδειξη: Θεωρούμε ότι ο άξονας περιστροφής είναι στην διεύθυνση z και θεωρούμε άξονες παράλληλους προς τον άξονα z, ο ένας περνά από το κέντρο μάζας και ο άλλος από το σημείο P. 18/11/011 ΚΕΦ. 9 4
ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Σημείο Ο είναι το κέντρο μάζας, και το (x, y) επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα περιστροφής που περνά από το Ο. Στοιχείο μάζας m i με συντεταγμένες (x i, y i ) ως προς το Ο και (x i -a, y i -b) ως προς τον άξονα που είναι παράλληλος ως προς τον πρώτο και περνά από το P (συντεταγμένες (a,b). Αρχή συστήματος αναφοράς στο CM: x cm = y cm = z cm =0 Παράλληλος άξονας που περνά από το P έχει συντεταγμένες (a, b). Απόσταση αξόνων d: d =a +b Ροπή αδράνειας I cm ως προς άξονα δια του O: = = + I mr m( x y ) cm i i i i i i i 18/11/011 ΚΕΦ. 9 5
ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Ροπή αδράνειας I P ως προς άξονα δια του P: I = m x a + y b P i[( i ) ( i ) )] i Αυτές οι εκφράσεις δεν περιλαμβάνουν τις συντεταγμένες z i των σημείων που βρίσκονται σε μια παράλληλη προς τον άξονα περιστροφής λωρίδα. Σε αυτή την λωρίδα όλα τα σημεία έχουν την ίδια απόσταση από τον άξονα περιστροφής, άρα η ροπή αδράνειας τους δεν εξαρτάται από το z. Επεκτείνουμε την άθροιση σε όλα τα σημεία της λωρίδας και σε όλες τις λωρίδες οπότε έχουμε την ροπή αδράνειας για όλο το σώμα I p ως προς τον άξονα δια του P: IP = m x y a mx b my a + b m i( i + i ) i i i i + ( ) i i i i i I x cm = 0 y = 0 d cm P cm cm I = I + Md 18/11/011 ΚΕΦ. 9 6 M
ΥΠΟΛΟΓΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Για σώματα που έχουμε συνεχή κατανομή μάζας το άθροισμα των γινομένων μάζας επί τετράγωνο απόστασης από τον άξονα περιστροφής μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα. Διαχωρισμός του σώματος σε στοιχειώδεις μάζες dm (σε απόσταση r), οπότε η στοιχειώδης ροπή αδράνειας δίνετε από: di = r dm οπότε η ροπή θα δίνεται: I = r dm Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος χρειάζεται να εκφραστούν τόσο το r όσο και το dm συναρτήσει της ίδιας μεταβλητής ολοκλήρωσης. Σε αυτό παίζει το σπουδαιότατο ρόλο η συμμετρία του σώματος και ο βαθμός ομογένειας στην κατανομή της μάζας του στο χώρο. Π.χ. 1-D σώμα: χρήση της μεταβλητής x για το μήκος και σχέση του dm με το dx. 3-D σώμα: εκφράζουμε το dm συναρτήσει του στοιχειώδους όγκου dv και της πυκνότητας ρ. Καρτεσιανές συντεταγμένες dv = dx dy dz dm ρ =, I για = r ρ( V ) dv dv ρ = στ. I = ρ r dv 18/11/011 ΚΕΦ. 9 7
ΥΠΟΛΟΓΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Παράδειγμα: Ομογενής λεπτή ράβδος, άξονας στη ράβδο Μάζα M και μήκος L. Υπολογίστε την ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνά από το O, σε τυχαία απόσταση h από το άκρο της Γραμμική πυκνότητα μάζας λ=μ/l dm=λdx Επιλέγουμε το dx σε απόσταση x από το O. L L h h 3 x λ 3 I = x dm = λx dx = λ x dx = λ = ( L 3L h + 3 Lh ) 3 3 h h λ 3 M 3 ML IA = L = L = 3 3L 3 λ 3 1 3 3 L 3 L λ I = L L + L = L = ML 18/11/011 3 ΚΕΦ. 9 3 4 1 8 Άκρο της ράβδου h=0: Μέσο της ράβδου h=l/:
ΥΠΟΛΟΓΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Παράδειγμα: Κοίλος στερεός ομογενής κύλινδρος ως προς τον άξονα συμμετρίας του Μήκος L, εσωτερική διάμετρος R 1, εξωτερική διάμετρος R. Επιλογή στοιχειώδους όγκου: Κυλινδρικός φλοιός ακτίνας r, πάχους dr, και μήκους (ύψους) L. Όλα τα τμήματα του φλοιού αυτού απέχουν την ίδια απόσταση από τον άξονα. M Κύλινδρος: όγκος V= πlr ( R1 ), πυκνότητα ρ= π LR ( R1 ) Φλοιός: όγκος dv = πrldr, μάζα dm = ρdv = ρ( πrldr) R R 3 πρl 4 4 ρ π πρ 1 4 R R I = r dm = r ( rldr) = L r dr = ( R R ) = 1 1 πρl 1 = ( R R )( R + R ) I = M ( R + R ) 1 1 1 18/11/011 ΚΕΦ. 9 9
ΥΠΟΛΟΓΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Κοίλος στερεός ομογενής κύλινδρος ως προς τον άξονα συμμετρίας του 1 I = M( R + R1 ) Στερεός κύλινδρος, R 1 =0, R =R: Στερεός λεπτός κυλινδρικός φλοιός, R 1 και R σχεδόν ίσες: I = MR Σημ.: Η ροπή αδράνεια κυλίνδρου ως προς τον άξονα συμμετρίας του εξαρτάται από τη μάζα και την ακτίνα αλλά όχι από το μήκος του! I = 1 MR 18/11/011 ΚΕΦ. 9 30
ΥΠΟΛΟΓΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Παράδειγμα: Ομογενής σφαίρα, άξονας μέσω του κέντρου της. Ακτίνα σφαίρας R. Όγκος σφαίρας: Μάζα Μ. Πυκνότητα: ρ = M π 3 4 R /3 V = 4π R 3 Διαιρούμε τη σφαίρα σε λεπτούς δίσκους πάχους dx, 3 Ακτίνα: = Όγκος: = π = π( ) r R x dv r dx R x dx Μάζα: = ρ = ρπ = πρ( ) dm dv r dx R x dx Η ροπή αδράνειας δίσκου ακτίνας r και μάζας dm είναι 1 1 = = ( ) = πρ di r dm R x [ πρ( R x ) dx] ( R x ) dx 18/11/011 ΚΕΦ. 9 31
ΥΠΟΛΟΓΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Ομογενής σφαίρα, άξονας μέσω του κέντρου της. Ολοκληρώνουμε από x=-r έως x=r : R R 4 4 16 5 8 5 πρ πρ πρ πρ I = ( R x ) dx ( R R x x ) dx R R = + = = 15 15 R Επειδή η μάζα M της σφαίρας R Ομογενής σφαίρα : 4πρ M = ρv = R 3 I MR 5 18/11/011 ΚΕΦ. 9 3 = 3
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Από το βιβλίο 9.61, 9.77, 9.89,9.97 9.100. 9.101 18/11/011 ΚΕΦ. 9 33