ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr
Η έννοια της Πιθανότητας
Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη φαινομένων όπου υπάρχει αβεβαιότητα. Κάθε τέτοιο φαινόμενο στο οποίο μπορεί να εμφανισθούν πολλά διαφορετικά αποτελέσματα χωρίς να υπάρχει τρόπος να καθορισθεί ποιο αποτέλεσμα θα εμφανισθεί κάθε φορά, αποτελεί αντικείμενο μελέτης της θεωρίας πιθανοτήτων.
Πείραμα τύχης: Μια διαδικασία που παράγει παρατηρήσεις Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης λέγεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται συνήθως με Ω. Ο δειγματικός χώρος μπορεί να αποτελείται από πεπερασμένο ή άπειρα το πλήθος στοιχεία.
Τι ορίζουμε ως «σύνολο»; Σύνολο λέγεται κάθε καλά ορισμένη συλλογή από διαφορετικά μεταξύ τους αντικείμενα. Τα σύνολα συμβολίζονται συνήθως με ένα κεφαλαίο γράμμα του αλφαβήτου, ενώ τα στοιχεία τους με μικρά. c Το στοιχείο c ανήκει στο σύνολο Α Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου Α λέγεται πληθικός αριθμός και συμβολίζεται με
Σχέσεις συνόλων Δύο σύνολα λέγονται ίσα αν περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. Αν κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β, τότε το Α λέγεται υποσύνολο του Β και το Β υπερσύνολο του Α.
Το καθολικό σύνολο και το κενό σύνολο Το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία που μας ενδιαφέρουν άρα και όλα τα σύνολα που περιέχουν κάποια από τα στοιχεία αυτά λέγεται καθολικό ή βασικό σύνολο και συμβολίζεται με Ω. Το σύνολο που δεν περιέχει κάποιο στοιχείο λέγεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με
Το συμπληρωματικό ενός συνόλου Αν, τότε ορίζουμε ως το συμπληρωματικό του σύνολου Α ή συμπλήρωμα του Α το σύνολο των στοιχείων του Ω που ΔΕΝ είναι στοιχεία του Α. Το συμπληρωματικό σύνολο του Α συμβολίζεται με. { : A}
Σύνολα που «δημιουργούνται» από σύνολα Έστω Α και Β δύο σύνολα που σχετίζονται με το ίδιο βασικό σύνολο Ω, και. Ως ένωση των συνόλων Α και Β ορίζουμε το σύνολο αυτό που περιέχει αυτά τα στοιχεία του Ω που ανήκουν ή στο Α ή στο Β. Η ένωση των συνόλων Α και Β συμβολίζεται με. { : ή } Ως τομή των συνόλων Α και Β ορίζουμε το σύνολο αυτό που περιέχει αυτά τα στοιχεία του Ω που ανήκουν και στο Α και στο Β. Η τομή των συνόλων Α και Β συμβολίζεται με. { : και }
Σύνολα που «δημιουργούνται» από σύνολα Έστω Α και Β δύο σύνολα που σχετίζονται με το ίδιο βασικό σύνολο Ω, και. Ως διαφορά των συνόλων Α και Β ορίζουμε το σύνολο αυτό που περιέχει αυτά τα στοιχεία του Ω που ανήκουν στο Α και δεν ανήκουν στο Β. Η διαφορά των συνόλων Α και Β συμβολίζεται με. { : και
Χρήσιμες ιδιότητες
Χρήσιμες ιδιότητες
Πρόταση
Παραδείγματα α. Μελετώντας το "πείραμα τύχης" της γέννησης ενός παιδιού έχουμε δύο δυνατά "αποτελέσματα": Αγόρι Α ή κορίτσι Κ. Επομένως ο δειγματικός χώρος είναι ο A,K. β. Κατά τη ρίψη ενός νομίσματος 3 φορές τα δυνατά "αποτελέσματα" είναι τριάδες από κεφαλές Κ και γράμματα Γ. Άρα ο δειγματικός χώρος του "συγκεκριμένου πειράματος τύχης" είναι ο,,,,,,,. γ. Ένα λευκό και ένα μαύρο ζάρι ρίχνονται συγχρόνως. Το αποτέλεσμα του πειράματος είναι ένα ζεύγος i,j με i, j 6 όπου με i συμβολίσαμε την ένδειξη του λευκού ζαριού και με j την ένδειξη του μαύρου. Ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από 36 ζεύγη, τα,,,,...,,6,,,..,,6,..., 6,,..., 6,6.
Ενδεχόμενα Κάθε υποσύνολο Α του δειγματικού χώρου Ω λέγεται ενδεχόμενο ή γεγονός. Κατά την εκτέλεση ενός πειράματος θα λέμε ότι συνέβη το ενδεχόμενο Α αν το αποτέλεσμα του πειράματος ήταν κάποιο στοιχείο του Α. Στην αντίθετη περίπτωση θα λέμε ότι δεν συνέβη το ενδεχόμενο Α ή καλύτερα ότι συνέβη το ενδεχόμενο Α.
Ενδεχόμενα Κάθε υποσύνολο Α του δειγματικού χώρου Ω που περιέχει μόνο ένα στοιχείο λέγεται και απλό ενδεχόμενο. Αν το υποσύνολο Α του δειγματικού χώρου Ω περιέχει περισσότερα από ένα στοιχεία λέγεται σύνθετο ενδεχόμενο.
Κλασσικός ορισμός της πιθανότητας Laplace, 8 Τα στοιχεία του συνόλου ενδεχομένου Α ονομάζονται συνήθως «ευνοϊκές περιπτώσεις» ή «ευνοϊκά αποτελέσματα», ενώ τα στοιχεία του βασικού συνόλου δειγματικού χώρου Ω «δυνατές περιπτώσεις» ή «δυνατά αποτελέσματα».
Για τη συνολοσυνάρτηση A, όπως ορίστηκε από τον Laplace ισχύει: A 0 για κάθε ενδεχόμενο A 3 A B A B για κάθε ζεύγος ξένων ενδεχομένων Α και Β του Ω A B
Παράδειγμα Ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 φορές. Ο δειγματικός χώρος του πειράματος τύχης είναι,,,,,,,. και έχει N Ω 8 στοιχεία. Τα ενδεχόμενα Α i : εμφανίζονται i κεφαλές Κ, i = 0,,,3 δίδονται από τα σύνολα Α 0 = {ΓΓΓ} απλό ενδεχόμενο Α = {ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ} σύνθετο ενδεχόμενο Α = {ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ} σύνθετο ενδεχόμενο Α 3 = {ΚΚΚ} απλό ενδεχόμενο. Συνεπώς οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α i : εμφανίζονται ακριβώς i κεφαλές i = 0,,,3 θα είναι: Α 0 Α 3 Α 3 Α 4 ΡΑ 0,ΡΑ,ΡΑ ΡΑ 4 Ν 8 Ν 8 Ν 8 Ν 8
Βασικές αρχές απαρίθμησης. των στοιχείων συνόλων
Το αντικείμενο της Συνδυαστικής Μέθοδοι απαρίθμησης: Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνόλων τους τα οποία έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες. Οι μέθοδοι απαρίθμησης αποτελούν το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής. Η συστηματική ανάπτυξη τέτοιων τεχνικών οι οποίες δεν απαιτούν την πλήρη καταγραφή των στοιχείων των υπό μελέτη συνόλων, είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στις περιπτώσεις κατά τις οποίες τα σύνολα αυτά έχουν μεγάλο πλήθος στοιχείων.
Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ Η αρχή του αθροίσματος μπορεί να διατυπωθεί ανάλογα με την περίπτωση που εξετάζουμε, αν αντικαταστήσουμε τη γενική λέξη «στοιχείο» με τις λέξεις «αντικείμενο», «ενέργεια», «γεγονός», «τρόπος μετακίνησης» κλπ.
Η ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Η πολλαπλασιαστική αρχή μπορεί και πάλι να διατυπωθεί ανάλογα με το πρόβλημα που έχουμε, αντικαθιστώντας τη λέξη «στοιχείο» με τις π.χ. τις λέξεις «αντικείμενο», «ενέργεια», «γεγονός» κλπ.
Διάταξη και Μετάθεση Ορισμοί Έστω Χ= {,,..., ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία,,..., ν και k ένας θετικός ακέραιος μικρότερος ή ίσος του ν k ν. Το πλήθος των διατάξεων των ν στοιχείων ανά k συμβολίζεται με k
Πρόταση αριθμός διατάξεων Στην ειδική περίπτωση k = ν, βρίσκουμε ότι ο αριθμός των μεταθέσεων των ν στοιχείων υπολογίζεται από: ν ν = νν -... ν - ν + = ν ν -.... Η τελευταία παράσταση, η οποία περιλαμβάνει το γινόμενο των ν πρώτων φυσικών αριθμών συμβολίζεται με ν! και διαβάζεται «ν παραγοντικό», δηλαδή ν! = 3 ν.
ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Έστω Χ = {,,..., ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία,,..., ν και k ένας θετικός ακέραιος μικρότερος ή ίσος του ν k ν.
Πρόταση
Εφαρμογές
Παράδειγμα τύχη ή τεχνική; Για την κλήρωση του Λόττο τοποθετούνται σε κληρωτίδα 49 σφαιρίδια, αριθμημένα από το έως το 49, και εξάγονται, το ένα μετά το άλλο, έξι από αυτά. Α. Πόσα είναι τα διαφορετικά αποτελέσματα που μπορεί να προκύψουν ως νικήτρια εξάδα, με τον τρόπο αυτό; Β. Ποια η πιθανότητα κάποιος να προβλέψει σωστά τους 6 αριθμούς επιλέγοντας τους 6 αγαπημένους του αριθμούς; Γ. Ποια η πιθανότητα κάποιος να προβλέψει σωστά τους 6 αριθμούς επιλέγοντας 6 αριθμούς στην τύχη;
Παράδειγμα Οι αριθμοί κυκοφορίας των αυτοκινήτων αποτελούνται από δύο μέρη. Το πρώτο σχηματίζεται με τη χρήση τριών λατινικών γραμμάτων τα οποία είναι κοινά στην όψη με ελληνικά γράμματα και το δεύτερο με τη χρήση τεσσάρων ψηφίων. Α. Πόσοι είναι οι διαφορετικοί αριθμοί κυκλοφορίας που μπορεί να σχηματιστούν με τον τρόπο αυτό; Β. Ποια η πιθανότητα, ένα αυτοκίνητο που επιλεγεί στην τύχη, να έχει αριθμό κυκλοφορίας που αρχίζει από σύμφωνο και να τελείωνει με το ψηφίο 0;
Παράδειγμα ενδιαφέρει η «διάταξη»; Μια επιχείρηση απασχολεί 5 εργαζόμενους, εκ των οποίων 0 είναι άνδρες. Α. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να συσταθεί μια οκταμελής επιτροπή; Β. Ποια η πιθανότητα στην επιτροπή αυτή να συμμετέχουν 4 άντρες και 4 γυναίκες; Γ. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να συσταθεί μια οκταμελής ομάδα εργασίας, με διαφορετικές αμοιβές στα μέλη της;
Περισσότερα αποτελέσματα χρήσιμα για υπολογισμό πιθανοτήτων
Αν Α, Β δύο υποσύνολα του Ω ενδεχόμενα, τότε: ' A A Αν B A B A B A B A B A Τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα αν και μόνο αν B A B A Η δεσμευμένη πιθανότητα του Β δεδομένου του Α ορίζεται ως A B A A B Θεώρημα ολικής πιθανότητας ' ' B B A B B A A Τύπος του Bayes ' ' B B A B B A B B A A B B A A B
Αν A και },...,, { B B B μια διαμέριση του Ω με 0 B i για κάθε,,..., i. Τότε: i i i B B A A και i i i i i i i i B B A B B A A B B A A B για κάθε,,..., i. Γενικά, Θεώρημα ολικής πιθανότητας Τύπος Bayes
Παράδειγμα το διαγώνισμα Ένας φοιτητής συμμετέχει σε εξέταση με ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Σε κάθε ερώτηση δινόνται m πιθανές απαντήσεις εκ των οποίων η μία μόνο είναι σωστή. Ο φοιτητής είναι υποχρεωμένος να απαντήσει στις ερωτήσεις επιλεγόντας μία από τις απαντήσεις που δίνονται, ενώ η πιθανότητα ο φοιτητής να γνωρίζει τη σωστή απάντηση σε μια ερώτηση είναι p. Α. Ποια η πιθανότητα ο φοιτητής να δώσει σωστή απάντηση σε μια ερώτηση; ΦΣ: ο φοιτητής γνωρίζει τη σωστή απάντηση ΣΑ: ο φοιτητής απάντησε σωστά ΦΣ : ο φοιτητής δεν γνωρίζει τη σωστή απάντηση ' ' p m p Θεώρημα ολικής πιθανότητας
Παράδειγμα το διαγώνισμα Ένας φοιτητής συμμετέχει σε εξέταση με ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Σε κάθε ερώτηση δινόνται m πιθανές απαντήσεις εκ των οποίων η μία μόνο είναι σωστή. Ο φοιτητής είναι υποχρεωμένος να απαντήσει στις ερωτήσεις επιλεγόντας μία από τις απαντήσεις που δίνονται, ενώ η πιθανότητα ο φοιτητής να γνωρίζει τη σωστή απάντηση σε μια ερώτηση είναι p. Β. Αν ο φοιτητής απαντήσει σωστά σε μια ερώτηση, ποια η πιθανότητα να γνώριζε πράγματι την απάντηση; ΦΣ: ο φοιτητής γνωρίζει τη σωστή απάντηση ΣΑ: ο φοιτητής απάντησε σωστά ΦΣ : ο φοιτητής δεν γνωρίζει τη σωστή απάντηση Τύπος Bayes p p p m m m p p p
p m 3 4 5 6 7 0. 0.8 0.50 0.308 0.357 0.400 0.438 0. 0.333 0.49 0.500 0.556 0.600 0.636 0.3 0.46 0.563 0.63 0.68 0.70 0.750 0.4 0.57 0.667 0.77 0.769 0.800 0.84 0.5 0.667 0.750 0.800 0.833 0.857 0.875 0.6 0.750 0.88 0.857 0.88 0.900 0.93 0.7 0.84 0.875 0.903 0.9 0.933 0.94 0.8 0.889 0.93 0.94 0.95 0.960 0.966 0.9 0.947 0.964 0.973 0.978 0.98 0.984
Τυχαίες μεταβλητές
Τυχαία μεταβλητή ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω ενός πειράματος τύχης και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Οι τυχαίες μεταβλητές συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα, π.χ. Χ, Υ, κλπ Το πεδίο τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής X συμβολίζεται με X X { : X, }, δηλαδή, Έστω Χ μια τυχαία μεταβλητή η οποία ορίζεται σε ένα δειγματικό χώρο Ω. Η πραγματική συνάρτηση F με τύπο F X : X }, καλείται συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Χ.
Μια τυχαία μεταβλητή καλείται διακριτή αν το πεδίο τιμών της είναι πεπερασμένο ή αριθμησίμως άπειρο σύνολο. Έστω Χ μια διακριτή τυχαία μεταβλητή με πεδίο τιμών το X. Η πραγματική συνάρτηση f με 0 X X X f ονομάζεται συνάρτηση πιθανότητας της Χ Αν Χ μια διακριτή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας f και συνάρτηση κατανομής F, τότε i i f X F Διακριτές τυχαίες μεταβλητές
Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Μια τυχαία μεταβλητή καλείται συνεχής αν υπάρχει μια μη αρνητική πραγματική συνάρτηση f : [0, τέτοια ώστε για κάθε υποσύνολο Α των πραγματικών αριθμών να ισχύει X A f d. Η συνάρτηση f καλείται συνάρτηση πυκνότητας της Χ. A Αν Χ μια συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας f και συνάρτηση κατανομής F, τότε f d F X f t dt f F' στα σημεία συνέχειας της f a X b a X b a X b a X b f d F b F a b a
Χρήσιμες Κατανομές Πιθανοτήτων Α. Διακριτές Κατανομές
ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η τυχαία μεταβλητή Χ που παίρνει τιμές 0,,,..., n για σταθερό n θα λέμε ότι ακολουθεί τη Διωνυμική κατανομή Χ~Βn,p αν έχει συνάρτηση πιθανότητας την όπου p παράμετρος που ικανοποιεί την 0 p Δίνει την πιθανότητα εμφάνισης επιτυχιών όταν εκτελούνται n ανεξάρτητες δοκιμές με δύο αποτελέσματα επιτυχία / αποτυχία, όταν σε κάθε δοκιμή η πιθανότητα εμφάνισης επιτυχίας είναι σταθερή και ίση με p. E X np, V X np p
Παράδειγμα Ο υπεύθυνος παραγωγής γνωρίζοντας ότι η πιθανότητα εμφάνισης ελαττωματικού προϊόντος στην παραγωγή είναι 0.05 5%, θέλει να υπολογίσει ποια είναι πιθανότητα σε ένα δείγμα 5 προϊόντων από την παραγωγή να βρεθούν ακριβώς ελαττωματικά.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η τυχαία μεταβλητή Χ που παίρνει τιμές,,... θα λέμε ότι ακολουθεί τη γεωμετρική κατανομή Χ~Geop αν έχει συνάρτηση πιθανότητας την Δίνει την πιθανότητα εμφάνισης της πρώτης επιτυχίας ύστερα από εκτελέσεις ανεξάρτητων δοκιμών με δύο αποτελέσματα επιτυχία / αποτυχία, όταν σε κάθε δοκιμή η πιθανότητα εμφάνισης επιτυχίας είναι ίση με p. E X p, V X p p
Παράδειγμα Ο υπεύθυνος παραγωγής γνωρίζοντας ότι η πιθανότητα εμφάνισης ελαττωματικού προϊόντος στην παραγωγή είναι 0.05 5%, θέλει να υπολογίσει ποια είναι πιθανότητα το πρώτο ελαττωματικό της ημέρας να εμφανιστεί μετά την παραγωγή του 0 ου προϊόντος.
ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Μια τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί την αρνητική διωνυμική κατανομή Χ~ΝΒr,p αν έχει συνάρτηση πιθανότητας την r, r,... Δίνει την πιθανότητα εμφάνισης της r-οστης επιτυχίας ύστερα από εκτελέσεις ανεξάρτητων δοκιμών με δύο αποτελέσματα επιτυχία / αποτυχία, όταν σε κάθε δοκιμή η πιθανότητα εμφάνισης επιτυχίας είναι ίση με p. E X r p, V X r p p
ΚΑΤΑΝΟΜΗ OISSON Η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την Κατανομή oisson Χ~λ αν η συνάρτηση πιθανότητας της είναι η 0,,,... Δίνει την πιθανότητα εμφάνισης «σπάνιων» ενδεχόμενων. E X V X
Παράδειγμα Ο υπεύθυνος παραγωγής μιας βιομηχανίας γνωρίζοντας ότι ο αριθμός των ελαττωμάτων που εμφανίζονται σε ένα φύλλο αλουμινίου τετραγωνικού μέτρου ακολουθεί την κατανομή oisson με παράμετρο 3, θέλει να υπολογίσει ποια είναι πιθανότητα σε ένα φύλο να εμφανισθούν ακριβώς ελαττώματα.
Χρήσιμες Κατανομές Πιθανοτήτων Β. Συνεχείς Κατανομές
ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η Κανονική κατανομή είναι η πιο σημαντική κατανομή πιθανοτήτων. Αποτελεί το κατάλληλο υπόδειγμα για την περιγραφή μεγάλου αριθμού φαινόμενων και χαρακτηριστικών. Η κανονική κατανομή συμβολίζεται με Νμ,σ και έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την f e
ΤΥΠΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ~ N0, Η Τυπική κανονική κατανομή έχει συνάρτηση πυκνότητας την Z z z e z f e 0, f e
ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΤΗΝ ΤΥΠΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Έχουμε μια τυχαία μεταβλητή Χ η οποία ακολουθεί την κανονική κατανομή Χ~Νμ, σ. Εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό Ζ=Χ - μ/σ και έχουμε ότι: Η τυχαία μεταβλητή Ζ ακολουθεί την Τυπική κανονική κατανομή Ζ ~ Ν0,
Παρατηρήσεις Αν η τυχαία μεταβλητή Χ έχει την κανονική κατανομή N,, τότε E X, V X Αν η τυχαία μεταβλητή Z έχει την τυπική κανονική κατανομή N 0,, τότε z t dt z Z z z, όπου e η συνάρτηση κατανομής της Ζ. Ισχύει ότι z z. Για z [0,3], υπάρχουν πίνακες που δίνουν τις z
z 0 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.5 0.504 0.508 0.5 0.56 0.599 0.539 0.579 0.539 0.5359 0. 0.5398 0.5438 0.5478 0.557 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.574 0.5753 0. 0.5793 0.583 0.587 0.59 0.5948 0.5987 0.606 0.6064 0.603 0.64 0.3 679 0.67 0.655 0.693 0.633 0.6368 0.6406 0.6443 0.648 0.657 0.4 6554 0.659 0.668 0.6664 0.67 0.6736 0.677 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 695 0.695 0.6985 0.709 0.7054 0.7088 0.73 0.757 0.79 0.74 0.6 0.757 0.79 0.734 0.7357 0.7389 0.74 0.7454 0.7486 0.757 0.7549 0.7 0.758 0.76 0.764 0.7673 0.7703 0.7734 0.7764 0.7794 0.783 0.785 0.8 0.788 0.79 0.7939 0.7967.7.995 0.803 0.805 0.8078 0.806 0.833 0.9 859 0.886 0.8 0.838 0.864 0.889 0.835 0.834 0.8365 0.8389 0.843 0.8438 0.846 0.8485 0.8508 0.853 0.8554 0.8577 0.8599 0.86. 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.879 0.8749 0.877 0.879 0.88 0.883. 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.895 0.8944 0.896 0.898 0.8997 0.905.3 0.903 0.9049 0.9066 0.908 0.9099 0.95 0.93 0.947 0.96 0.977.4 0.99 0.907 0.9 0.936 0.95 0.965 0.979 0.99 0.9306 0.939.5 0.933 0.9345 0.9357 0.937 0.938 0.9394 0.9406 0.948 0.949 0.944.6 0.945 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.955 0.955 0.9535 0.9545.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.958 0.959 0.9599 0.9608 0.966 0.965 0.9633.8 0.964 0.9649 0.9656 0.9664 0.967 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706.9 0.973 0.979 0.976 0.973 0.9738 0.9744 0.975 0.9756 0.976 0.9767 0.977 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.98 0.987. 0.98 0.986 0.983 0.9834 0.9838 0.984 0.9846 0.985 0.9854 0.9857. 0.986 0.9864 0.9868 0.987 0.9875 0.9878 0.988 0.9884 0.9887 0.989.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.990 0.9904 0.9906 0.9909 0.99 0.993 0.996.4 0.998 0.99 0.99 0.995 0.997 0.999 0.993 0.993 0.9934 0.9936.5 0.9938 0.994 0.994 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.995 0.995.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.996 0.996 0.996 0.9963 0.9964.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.997 0.997 0.997 0.9973 0.9974.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.998 0.998.9 0.998 0.998 0.998 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.999 0.999 3. 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.9993 0.9993 3. 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998
ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανομής είναι συμμετρική γύρω από το σημείο =μ μέση τιμή Όσο μεγαλύτερο είναι το σ τόσο περισσότερο «απλωμένη» είναι η f
Το διάστημα μιας τυπικής απόκλισης από τη μέση τιμή και από τις δυο πλευρές, δηλαδή το μ-σ,μ+σ περιέχει το 68% του εμβαδού της κατανομής. Το διάστημα μ-σ,μ+σ περιέχει το 95% του εμβαδού της κατανομής ενώ το 99.7% του εμβαδού εμπεριέχεται στο διάστημα μ-3σ,μ+3σ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
Παράδειγμα Ο υπεύθυνος παραγωγής μιας βιομηχανίας γνωρίζει ότι το βάρος των συσκευασιών που παράγονται ακολουθεί την Κανονική κατανομή με μέση τιμή 400 γραμμάρια και διακύμανση 5. Επίσης, γνωρίζει ότι οι ανοχές που επιτρέπουν οι προδιαγραφές που θέτει το τμήμα σχεδιασμού είναι ίσες με 385 και 45 αντίστοιχα. Ο υπεύθυνος παραγωγής θέλει να υπολογίσει ποια είναι η πιθανότητα ένα προϊόν που επιλέγει να είναι εντός προδιαγραφών.
Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Μια τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την 0, 0 0, e f όπου λ >0 παράμετρος, θα λέμε ότι ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο λ. Η συνάρτηση κατανομής της εκθετικής είναι η 0, 0 0, e F και, X V X E
Παράδειγμα Η ποσότητα καφέ που επεξεργάζεται καθημερινά ένα εργοστάσιο συσκευασίας μπορεί να θεωρηθεί ότι ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή 4 τόνους. Να βρεθεί η πιθανότητα κάποια συγκεκριμένη μέρα να επεξεργαστούν περισσότεροι από 4 τόνοι καφέ.
και οπότε
Η ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Μια τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την, 0, f θα λέμε ότι ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διαστήμα α, β. Η συνάρτηση κατανομής της ομοιόμορφης είναι η F 0 και, X V X E
Άλλες χρήσιμες κατανομές
Η κατανομή Γάμμα Μια τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την, 0 0, e f όπου α >0, β > 0 παράμετροι και 0 d e, α >0 θα λέμε ότι ακολουθεί την κατανομή Γάμμα., X V X E
Η κατανομή με ν βαθμούς ελευθερίας Μια τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την, 0 0, / / e f θα λέμε ότι ακολουθεί την κατανομή χι τετράγωνο με ν βαθμούς ελευθερίας. Επειδή η είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στη στατιστική, υπάρχουν έτοιμοι πίνακες που δίνουν τις τιμές, για τις οποίες ισχύει, X, όπου ~ X. Η κατανομή είναι η κατανομή Γάμμα με και., 0 0, /, 0 0, /, 0 0, /, e e e f
Ερώτημα: Με ποιά γνωστή κατανομή συμπίπτει η ;, 0 0,, 0 0, / / e e f 0, 0 0, e f 0 0 e d e Αλλά, 0 0, e f οπότε Δηλαδή εκθετική με παράμετρο λ=/
Η κατανομή t με ν βαθμούς ελευθερίας ή κατανομή του Student Gosset Μια τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την f, θα λέμε ότι ακολουθεί την κατανομή t του Student με ν βαθμούς ελευθερίας t. E X 0, V X, Η t για μεγάλο ν, προσεγγίζει την τυπική κανονική κατανομή. Επειδή η t είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στη στατιστική, υπάρχουν έτοιμοι πίνακες που δίνουν τις τιμές t, για τις οποίες ισχύει X t,, όπου X ~ t.
Κατανομή Student και τυπική κανονική
Η κατανομή F ή κατανομή του Snedecor Μια τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την f, 0 θα λέμε ότι ακολουθεί την κατανομή F του Snedecor με ν >0 βαθμούς ελευθερίας για τον αριθμητή και ν >0 βαθμούς ελευθερίας για τον παρονομαστή F. Επειδή η F, είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στη στατιστική, υπάρχουν έτοιμοι πίνακες που δίνουν τις τιμές X. ~ F,,,, f για τις οποίες ισχύει X f, όπου,,
Μερικά χρήσιμα αποτελέσματα
Αν X ~ N, και Y ~ N, και οι Χ, Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, τότε η τυχαία μεταβλητή W = X +Y ακολουθεί την N, Αν X ~ N0,, τότε η τυχαία μεταβλητή W = X ακολουθεί την έναν βαθμό ελευθερίας. χι τετράγωνο κατανομή με Αν X, X,..., X n είναι n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την,..., κατανομή με, n βαθμούς ελευθερίας αντίστοιχα, τότε η τυχαία μεταβλητή Y X X... X n ακολουθεί τη Ερώτηση κατανόησης: Αν οι χι τετράγωνο κατανομή με ν βαθμούς ελευθερίας, όπου X,..., την N 0,, ποιά κατανομή ακολουθεί η τυχαία μεταβλητή Y W n i X i ;... n., X X n είναι n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν n i X i ; Ποιά κατανομή ακολουθεί η τ.μ. Y ~ N0, n W ~ n Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ είναι ανεξάρτητες αν για κάθε ζεύγος τιμών τους, y ισχύει ότι f, y f f y XY X Y
Αν X ~ n μεταβλητή και Y ~ n και οι Χ, Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, τότε η τυχαία X n n X W ακολουθεί την Y n Y n ελευθερίας αριθμητή και n βαθμούς ελευθερίας παρονομαστή. Αν X ~ N0, και μεταβλητή Y ~ n F n,n την κατανομή F του Snedecor με n βαθμούς και οι Χ, Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, τότε η τυχαία X W ακολουθεί την κατανομή t του Student με n βαθμούς ελευθερίας. Y / n Ερώτηση κατανόησης: Αν οι Χ, Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, με X ~ N0, και ποιά κατανομή ακολουθεί η τυχαία μεταβλητή n X W ; Y Y ~ n W n X Y X Y n Y X / n X ~ N0, Y ~ n W ~ t n