Κεφάλαιο 1 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Γραμμική Άλγεβρα Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμα των εξερχόμενων A 500 400 D 4 B 5 6 00 Οπότε για το παραπάνω δίκτυο ισχύει: A 500= + + B C + 4 + 6 = 400 + 5 = 6 + 00 D = + 4 5 το οποίο είναι ένα σύστημα 4 γραμμικών εξισώσεων με έξι αγνώστους,,, 4, 5, 6 Η λύσ η του θα οδηγήσει σε μία απειρία λύσεων όπου οι από αυτούς τους αγνώστους θα εξαρτώνται από την επιλογή των τριών άλλων: = 400 4 6 = 4 + 5 = 00 + 5 όπου τα 4, 5, 6 παίζουν το ρόλο των παραμέτρων Σε αρμονία με το φυσικό πρόβλημα, η επιλογή των παραμέτρων μπορεί να υπόκεινται σε περιορισμούς που πηγάζουν από τη φυσική του προβλήματος όπως ότι τα,,, 4, 5, 6 είναι θετικά Αυτό μας οδηγεί στους περιορισμούς : + 400 00 4 6 5 6 Η γεωμετρία των συστημάτων γραμμικών εξισώσεων Έστω το σύστημα: x y = x+ y = 5 C Αλγεβρικά λύνοντας τη μία εξίσωση ως προς τον ένα άγνωστο και αντικαθιστώντας στην άλλη μπορούμε εύκολα να βρούμε τη λύση του (, ) (,) xy = 6

Γραμμική Άλγεβρα Μπορούμε να δούμε γεωμετρικά το σύστημα όπου κάθε εξίσωση (γραμμή) αντιστοιχεί σε μία ευθεία του επιπέδου Οι συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο γραμμών αποτελούν τη λύση x+ y = 5 6 4 ( xy, ) = (,) - - - x y = -4 Σε ένα σύστημα x+ y+ z = 5 4z 6y = x+ 7y+ z = 9 κάθε γραμμή (εξίσωση) αναπαριστάται στο χώρο ως ένα επίπεδο και η λύση είναι το σημείο τομής των τριών επιπέδων Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Όταν ένα σύστημα έχει μία ή περισσότερες λύσεις ονομάζεται συμβιβαστό ενώ όταν δεν έχει λύση ονομάζεται ασυμβίβαστο Έστω το σύστημα:

u+ v+ w= 6 u+ w= u+ v+ 4w= 6 Γραμμική Άλγεβρα Εάν προσθέσω κατά μέλη την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση και αφαιρέσω την τρίτη οδηγούμαι στη σχέση =0 Το σύστημα είναι ασυμβίβαστο και στο χώρο τα τρία επίπεδα δεν έχουν ένα κοινό σημείο Εάν αλλάξω λίγο το σύστημα u+ v+ w= 6 u+ w= u+ v+ 4w= 7 και προσθέσω κατά μέλη την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση και αφαιρέσω την τρίτη οδηγούμαι στη σχέση 0=0 Το σύστημα είναι συμβιβαστό έχει άπειρες λύσεις και στο χώρο τα τρία επίπεδα τέμνονται σε μία ευθεία ή ταυτίζονται Μία ιδιαίτερη περίπτωση είναι το ομογενές σύστημα (στο δεξιό μέλος έχουμε μηδέν): u+ v+ w= 0 u+ w= 0 u+ v+ 4w= 0 Ένα τέτοιο σύστημα είναι πάντα συμβιβαστό μιας και η μηδενική λύση πάντα το ικανοποιεί Μπορεί όμως η λύση αυτή να μην είναι μοναδική αλλά να έχουμε άπειρες λύσεις, 4 Η μέθοδος απαλοιφής Gauss Έστω ότι έχουμε ένα σύστημα n εξισώσεων με m αγνώστους: a x + a x + + a x = b m m a x + a x + + a x = b m m a x + a x + + a x = b n n nm m n Θεωρούμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος: a a a a m b a a a am b a a a a m b an an an anm b n Ένας (τέτοιος) πίνακας ονομάζεται κλιμακωτός όταν

Γραμμική Άλγεβρα Α) οι μηδενικές γραμμές αν υπάρχουν βρίσκονται μετά τις μη μηδενικές στο τέλος (κάτω μέρος) του πίνακα Β) Το οδηγό στοιχείο κάθε γραμμής (πρώτο μη μηδενικό στοιχείο της) βρίσκεται τουλάχιστον μία θέση δεξιότερα από τον οδηγό της προηγούμενης * * * * * 0 * * * * M 0 * * * M M 0 0 0 0 * * 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 0 0 0 0 0 M M M M M M M M 0 0 0 0 0 0 0 Στη βιβλιογραφία ο κλιμακωτός πίνακας ονομάζεται και ως γ-κλιμακωτός και σε κάποιους ορισμούς ζητείται το οδηγό στοιχείο να είναι Ένας πίνακας ονομάζεται ανοιγμένος κλιμακωτός (ή σ-κλιμακωτός) όταν Α) είναι κλιμακωτός Β) κάθε οδηγός είναι ίσος με Γ) κάθε στήλη που περιέχει οδηγό έχει όλα τα άλλα στοιχεία της μηδενικά Για παράδειγμα, οι πίνακες 0 0 0 0 0 A =, 0 A = 0 0 δεν είναι κλιμακωτοί 0 Ο πίνακας είναι κλιμακωτός 0 Αυτός δεν είναι ανηγμένος κλιμακωτός, γιατί το στοιχείο που βρίσκεται πάνω από το της δεύτερης γραμμής δεν είναι 0 0 0 Ο είναι ανηγμένος κλιμακωτός Από τους πίνακες 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 0 0, 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ο πρώτος και τρίτος είναι ανηγμένοι κλιμακωτοί, ενώ ο δεύτερος είναι κλιμακωτός αλλά όχι ανηγμένος κλιμακωτός Σε έναν πίνακα μπορούμε να εφαρμόσουμε γραμμοπράξεις πινάκων (στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών) Εναλλαγή δύο γραμμών (Γ i Γ j ) Πολλαπλασιασμό μίας γραμμής με ένα μη μηδενικό αριθμό κ (Γ i κ Γ i ) 4

Γραμμική Άλγεβρα Αντικατάσταση μίας γραμμής με το άθροισμα αυτής της γραμμής και ενός πολλαπλάσιου μίας άλλης (Γ i Γ i +k Γ j ) Δύο πίνακες ονομάζονται γραμμοϊσοδύναμοι όταν ο ένας προέρχεται από τον άλλο εφαρμόζοντας γραμμοπράξεις Τα συστήματα που αντιστοιχούν σε γραμμοισοδύναμους πίνακες είναι ισοδύναμα (έχουν τις ίδιες λύσεις) Κατά την επίλυση γραμμικού συστήματος με τη μέθοδο του Gauss εφαρμόζουμε στον επαυξημένο πίνακα του συστήματος γραμμοπράξεις πινάκων ώστε να τον μετατρέψουμε σε κάποιον κλιμακωτό πίνακα Ας δούμε το σύστημα: u+ v+ w= 5 4u 6v= u+ 7v+ w= 9 Το οποίο έχει επαυξημένο πίνακα Εφαρμόζουμε τις γραμμοπράξεις 5 4 6 0 7 9 5 5 5 7 9 0 8 4 0 0 Γ ΓΓ Γ Γ+ Γ 4 6 0 Γ 0 8 0 8 Γ+ Γ Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί με το ακόλουθο, ισοδύναμο προς το αρχικό, σύστημα: u+ v+ w= 5 8v w= w = Η λύση αυτού του συστήματος είναι εύκολη, μιας και η τελευταία εξίσωση μας δίνει άμεσα τη τιμή της w Αντικαθιστώντας τη λύση αυτή στη δεύτερη εξίσωση μπορούμε να βρούμε τη τιμή της λύσης του δεύτερου αγνώστου v Τώρα, είναι απλό να αντικαταστήσουμε τις τιμές που έχουμε βρει στην πρώτη εξίσωση μπορούμε να βρούμε τελικά την τιμή της λύσης του τελευταίου αγνώστου u w = 8v= + w= + 4 v= u = 5v w= 5 = u = Η αναδρομική αυτή διαδικασία ονομάζεται προς τα πίσω αντικατάσταση και μπορεί να εφαρμοστεί όταν ο επαυξημένος πίνακας είναι σε κλιμακωτή μορφή Για να εφαρμόσουμε τη μέθοδο του Gauss ξεκινάμε από την πρώτη γραμμή του επαυξημένου πίνακα Το οδηγό στοιχείο της γραμμής, δηλαδή πρώτο μη μηδενικό στοιχείο της, θα πρέπει να είναι στην πρώτη στήλη Εάν δεν συμβαίνει αυτό κάνουμε εναλλαγή γραμμών ώστε να εμφανίζεται μη μηδενικό στοιχείο στη θέση της πρώτης γραμμής και πρώτη στήλης Στη συνέχεια κάνοντας τις 5

Γραμμική Άλγεβρα επιτρεπτές γραμμοπράξεις μηδενίζουμε τα στοιχεία του επαυξημένου πίνακα που βρίσκονται στην πρώτη στήλη κάτω από το οδηγό στοιχείο της πρώτης γραμμής Συνεχίζουμε στη δεύτερη γραμμή όπου εντοπίζουμε το οδηγό στοιχείο της Εάν αυτό βρίσκεται στη δεύτερη στήλη (το πρώτο στοιχείο της το έχουμε ήδη μηδενίσει) εργαζόμαστε με γραμμοπράξεις ώστε να κάνουμε όλα τα στοιχεία που βρίσκονται στην ίδια στήλη με το οδηγό στοιχείο και κάτω από αυτό μηδενικά Και συνεχίζουμε στην επόμενη γραμμή Εάν όμως για τη δεύτερη γραμμή το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο βρίσκεται σε άλλη στήλη (πχ τρίτη, τέταρτη) εξετάζουμε εάν στα υπόλοιπα στοιχεία της δεύτερης στήλης προς τα κάτω συμπεριλαμβάνεται κάποιο μη μηδενικό Στην περίπτωση αυτή με κατάλληλη εναλλαγή γραμμών το κάνουμε οδηγό στοιχείο της δεύτερης γραμμής Στο ακόλουθο παράδειγμα θα πρέπει να εναλλάξουμε τη δεύτερη με την τρίτη γραμμή 5 7 0 0 9 0 6 8 Έτσι συνεχίζουμε με τη διαδικασία γραμμοπράξεων ώστε να μηδενίσουμε (εάν υπάρχουν) και τα άλλα μη μηδενικά στοιχεία της στήλης κάτω από αυτό το νέο οδηγό στοιχείο Υπάρχει περίπτωση με τις γραμμοπράξεις που κάναμε με το οδηγό στοιχείο της πρώτης γραμμής να έχουν μηδενιστεί το δεύτερο στοιχείο της δεύτερης στήλης και τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από αυτά (και ίσως και το τρίτο στοιχείο της δεύτερης στήλης και τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από αυτά κλπ) Σε μία τέτοια περίπτωση αναζητούμε στη δεύτερη γραμμή το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο στη στήλη του οποίου κάτω από αυτό δεν υπάρχουν μόνο μηδενικά στοιχεία Θεωρούμε αυτό ως οδηγό στοιχείο της γραμμής και μηδενίζουμε με γραμμοπράξεις τα στοιχεία του πίνακα που βρίσκονται στην ίδια στήλη με αυτό και κάτω από αυτό Στο ακόλουθο παράδειγμα θα πρέπει να θεωρήσουμε ως οδηγό στοιχείο της δεύτερης γραμμής το πού βρίσκεται στη δεύτερη γραμμή αλλά στην τρίτη στήλη 5 7 0 0 0 0 9 Τη διαδικασία που κάναμε με τη δεύτερη γραμμή την επαναλαμβάνουμε και για τις επόμενες Έτσι δημιουργούμε βήμα-βήμα τον ζητούμενο κλιμακωτό πίνακα Όπως έχουμε αναφέρει τα συστήματα που αντιστοιχούν σε γραμμοισοδύναμους πίνακες είναι ισοδύναμα (έχουν τις ίδιες λύσεις) και σε κάθε φάση της διαδικασίας με τις γραμμοπράξεις δημιουργούμε έναν γραμμοισοδύναμο με τον προηγούμενο πίνακα Οπότε, το σύστημα που αντιστοιχεί στον επαυξημένο πίνακα σε κάθε φάση της διαδικασίας Gauss έχει τις ίδιες λύσεις με το αρχικό μας σύστημα 5 Τεχνικές στη διαδικασία Gauss και συστήματα με ιδιομορφίες Στη διαδικασία της απαλοιφής Gauss διευκολύνει τις πράξεις μας εάν το οδηγό στοιχείο που θα χρησιμοποιήσουμε για να μηδενίσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία της στήλης κάτω από αυτό είναι μονάδα Στο συγκεκριμένο παράδειγμα: 6

Γραμμική Άλγεβρα 5* * * * Γ Γ Γ ΓΓ Γ Γ * 5* Γ 0 0 * 0 4* Γ4Γ 4 6 8* 4 6 8* 0 4* 0 0 * Η πρώτη εναλλαγή των γραμμών μας οδήγησε στο να έχουμε μονάδα ως οδηγό στοιχείο Επίσης για να ξεπεράσουμε το πρόβλημα μηδενικού οδηγού στοιχείου χρησιμοποιούμε πάλι εναλλαγή γραμμών, όπως βλέπουμε στη δεύτερη εναλλαγή που κάναμε (Τα * μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός) Στην περίπτωση που με την εναλλαγή γραμμών δεν είναι δυνατό να έχουμε οδηγό στοιχείο μονάδα τότε διαιρούμε με τον κατάλληλο αριθμό όλα τα στοιχεία της γραμμής με την οποία εργαζόμαστε ώστε να δημιουργηθεί μονάδα στη θέση του οδηγού στοιχείου Για παράδειγμα: 5* 5 * Γ Γ 0 4 /4 0 4 4 0 6 8* 0 6 8 * Πολλές φορές καλούμαστε να λύσουμε συστήματα στα οποία εμφανίζονται μία ή περισσότερες παράμετροι Θα πρέπει να διερευνήσουμε για ποιες τιμές της ή των παραμέτρων το σύστημα έχει μία, άπειρες ή καμία λύση Εάν το οδηγό στοιχείο με το οποίο εργαζόμαστε εξαρτάται από την παράμετρο μπορούμε να παρακάμψουμε τη κατάσταση αυτή με την κατάλληλη εναλλαγή γραμμών, όπως φαίνεται παρακάτω: 5* 5* 5 * Γ Γ/4 Γ Γ /6 Γ Γ( a4) Γ 0 a 4 * 0 6 8 * 0 4 * 0 6 8* 0 a4 * 0 a4 * Στην περίπτωση που επιλέξουμε να κάνουμε μονάδα το συγκεκριμένο οδηγό στοιχείο διαιρώντας με την έκφραση που περιέχει την παράμετρο θα πρέπει να θεωρήσουμε ότι το οδηγός στοιχείο δεν είναι μηδενικό και να συνεχίσουμε 5 5* * Γ Γ/( a4) 6 0 a 4 * Γ Γ Γ a 4 0 * a 4 0 6 8* * 0 6 8 Στη συνέχεια θα πρέπει να εξετάσουμε το ισοδύναμο σύστημα για τις τιμές της παραμέτρου που μηδενίζει το οδηγός στοιχείο δηλαδή εδώ για a = 4 Επίσης στην ακόλουθη περίπτωση: 5* 0 6 8* Γ Γ 0 0 * * * Γ ΓΓ 5* Γ 0 0 * Γ4Γ 4 4 8* 0 0 4* μπορούμε να οδηγηθούμε σε συστήματα με άπειρες λύσεις πχ 7

Γραμμική Άλγεβρα 4 4 4 Γ Γ/ Γ ΓΓ 0 0 6 Γ Γ/4 0 0 0 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0 0 αφού το ισοδύναμο σύστημα είναι το x+ y+ z = 4 z = από όπου έχουμε ότι z = και x = 4 y = y Η κάθε επιλογή της τιμής του y μας δίνει μία νέα λύση του συστήματος, οπότε αφού έχουμε άπειρες επιλογές θα έχουμε άπειρο αριθμό λύσεων ή μπορούμε να έχουμε ασυμβίβαστα συστήματα πχ 4 4 4 Γ Γ/ Γ Γ4Γ 0 0 6 0 0 0 0 0 0 4 9 0 0 4 9 0 0 0 αφού το ισοδύναμο σύστημα είναι το x+ y+ z = 4 z = 0z = από όπου έχουμε ότι 0z =, το οποίο δεν μπορεί να ισχύσει για κανένα z Λυμένες Ασκήσεις στα Συστήματα: Να λυθεί το σύστημα x+ y z = 4 x+ y+ z = x+ 5y 4z = Ο επαυξημένος πίνακας είναι 4 4 4 Γ >Γ Γ Γ >Γ Γ 0 4 7 0 4 7 5 4 5 4 0 5 Αφού μηδενίσαμε τα στοιχεία της πρώτης στήλης που ευρίσκονται κάτω από τη διαγώνιο, συνεχίζουμε με τα στοιχεία της δεύτερης στήλης 4 4 0 4 7 Γ >Γ Γ 0 4 7 0 5 0 0 8

Γραμμική Άλγεβρα Παρατηρούμε ότι ο τελευταίος πίνακας είναι σε κλιμακωτή μορφή, πράγμα που σημαίνει ότι το αντίστοιχο σύστημα x+ y z = 4 y+ 4z = 7 z = επιλύεται εύκολα Πράγματι, από την τρίτη εξίσωση βρίσκουμε z =, οπότε αντικαθιστώντας στην δεύτερη βρίσκουμε y =, και από την πρώτη x = Τελικά, το σύστημα έχει τη μοναδική λύση ( xyz,, ) = (,,) Ας δούμε ένα παράδειγμα όπου το σύστημα είναι ασυμβίβαστο Να λυθεί το x y+ z = 7 x+ y z = 5x+ y 4z = Ο επαυξημένος πίνακας είναι 7 5 4 Με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών 7 Γ Γ Γ>ΓΓ 7 0 7 0 5 4 5 4 5 4 Γ>Γ5Γ Γ>ΓΓ 0 7 0 0 7 0 0 7 7 0 0 0 Το αντίστοιχο σύστημα είναι x+ y z = 7y+ z = 0 0z = που είναι ασυμβίβαστο λόγω της εξίσωσης 0z = Τέλος ας δούμε ένα παράδειγμα όπου υπάρχουν άπειρες λύσεις Να λυθεί το σύστημα 9

x+ y z = 6 x y+ 4z = 4x+ y z = 4 Γραμμική Άλγεβρα Ο επαυξημένος πίνακας είναι 6 4 4 4 Με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών εύκολα βρίσκουμε ότι ο πίνακας μετατρέπεται σε κλιμακωτή μορφή 6 6 6 Γ>ΓΓ Γ>ΓΓ 4 0 5 0 0 0 5 0 0 Γ>Γ4Γ 4 4 0 5 0 0 0 0 0 0 Το αντίστοιχο σύστημα είναι x+ y z = 6 5y+ 0z =0 0z = 0 Από τ ην δεύτερη εξίσωση βρίσκουμε y = + z, οπότε η πρώτη δίνει x = z Τελικά έ χουμε τις άπειρες λύσεις ( x, yz, ) = ( z,+ zz, ), όπου το z διατρέχει τους πραγματικούς αριθμούς (το z είναι παράμετρος ή ελεύθερη μεταβλητή ) Για παράδειγμα, αν z =, η αντίστοιχη λύση είναι (,4,) 4 Ομογενές σύστημα Δίνεται το σύστημα x+ x+ x4 = 0 x x+ x4 = 0 x+ x x4 = 0 Με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών εύκολα βρίσκουμε ότι ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος μετατρέπεται σε κλιμακωτή μορφή 0 0 0 0 0 0 Γ>Γ + Γ Γ>ΓΓ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 από την τελευταία γραμμή έχουμε 6x = 0 x = 0 Οπότε οι δύο πρώτες εξισώσεις είναι οι x x4 = 0, x + x4 = 0 από όπου προκύπτουν x = x4, x =x4 από όπου προκύπτει η μονοπαραμετρική απειρία λύσεων) x x x x Τ 4 = [ x4 x 4 0 x4] Τ, x4 R 0

Γραμμική Άλγεβρα 5 Διερεύνηση συστήματος Δίνεται το σύστημα x + x x = x + x + λx = x + λx + x = Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες το παραπάνω σύστημα έχει: (i) μοναδική λύση, (ii) άπειρες λύσεις, (iii) καμία λύση και να βρεθούν οι λύσεις όποτε υπάρχουν Θεωρούμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος στον οποίο εφαρμόζουμε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς: Γ ΓΓ Γ Γ( λ) Γ λ Γ 0 ΓΓ λ+ λ 0 λ 4 0 λ+ = 0 λ+ 0 0 λ λ+ 6 λ 0 0 ( λ)( λ+ ) λ Επομένως, το σύστημα έχει : Μοναδική λύση όταν λ και λ την x =, x =, x = ( + λ) ( + λ) η οποία προκύπτει με εφαρμογή της προς τα πίσω αντικατάστασης Άπειρες λύσεις όταν λ = (Τρίτη γραμμή 0=0) Αντικαθιστώντας λ = έχουμε από τη δεύτερη εξίσωση x = 4x Οπότε από την πρώτη εξίσωση αντικαθιστώντας παίρνουμε x = 5x Δηλαδή η λύση είναι η μονοπαραμετρική Τ Τ οικογένεια x x x = 5x 4x x, x Καμία λύση όταν λ=- (Τρίτη γραμμή 0=5) R 6 Ομογενές σύστημα διερεύνηση Δίνεται το σύστημα

Να διερευνηθεί και να λυθεί το σύστημα Ο επαυξημένος πίνακας λ + μ+ ν = 0 λ+ μ + νa = 0 λ+ μ + ν = 0 0 α 0 0 Γραμμική Άλγεβρα του συστήματος μετά στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών παίρνει τη μορφή 0 0 0 α 0 Γ Γ Γ Γ Γ Γ 0 α 0 0 a 0 Γ ΓΓ 0 0 0 0 0 a 0 λ + μ + ν = 0 Το αντίστοιχο σύστημα είναι το μ+ ( a ) ν = 0 ( a) ν = 0 Για Για a το σύστημα έχει φανερά μοναδική λύση τη μηδενική a = το σύστημα παίρνει τη μορφή: λ + μ+ ν = 0 μ+ ν = 0 Από όπου έχουμε μ = ν και λ + ν = 0 λ =ν Δηλαδή η απειρία λύσεων είναι η = 7 Θεωρείστε το παρακάτω σύστημα: 6x x x y 5y 6y + + + 6z = 5z = α z = 6 β Βρείτε τιμές των α και β ώστε το σύστημα αυτό: (ι) Να μην έχει καμία λύση και (ιι) να έχει άπειρες λύσεις ιιι) έχει λύση και σε κάθε περίπτωση να προσδιοριστούν οι λύσεις (εφόσον υπάρχουν) Θεωρούμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος στον οποίο εφαρμόζουμε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς:

6 6 6 6 5 5 Γ Γ 5 5 Γ Γ Γ Γ Γ Γ 6 α β 6 α β 6 6 6 0 0 Γ Γ + Γ 0 0 0 α β 0 0 α + β + 8 Γραμμική Άλγεβρα i) Για α = - και β 8 το σύστημα δεν θα έχει καμία λύση ii) Για α = - και για β = -8 το σύστημα θα έχει άπειρες λύσεις Για την απειρία λύσεων από τη δεύτερη γραμμή του πίνακα έχουμε y = 0 z και στη συνέχεια από την πρώτη x = + y z = + ( 0z) z = 5z iii) Για a β + 8 το σύστημα έχει λύση από την τρίτη γραμμή έχουμε z = α + από τη δεύτερη γραμμή του πίνακα έχουμε β + 8 0α β 6 y = 0 z = 0 = και στη συνέχεια από την πρώτη α + α + 0α β 6 β + 8 α 5β 48 x= + y z = + = α + α + α + 8 Για ποιες τιμές του k το επόμενο σύστημα ) έχει ακριβώς μια λύση, ) δεν έχει λύσεις, ) έχει άπειρες λύσεις; x+ y z = x+ 4y+ kz = 4 4 x+ ( k + 5) y+ ( k+ ) z = 6 Στο σύστημα μας εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss 4 k 4 Γ Γ Γ 0 k+ Γ Γ4Γ : 4 k+ 5 k+ 6 0 k+ k+ 7 0 k 0 0 k k+ 4 k Γ Γ ( k + ) Γ + Γ Γ 0 k 0 + = k+ 0 0 k + k4 k 0 0 ( k+ 4)( k) k

Γραμμική Άλγεβρα Επομένως το σύστημα έχει ακριβώς μια λύση όταν k 4 και k την z = k + 4, y = k + 4 και x = Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις όταν k = την z = z, y = 4z και x = 5z, Τέλος, το σύστημα δεν έχει λύσεις όταν k = 4 9 Για ποιες τιμές του k το επόμενο σύστημα ) έχει ακριβώς μια λύση, ) δεν έχει λύσεις, ) έχει άπειρες λύσεις; x + ( κ ) y = ( κ ) x ( κ ) + + 6 y = 5κ + Σε κάθε περίπτωση που υπάρχουν λύσεις προσδιορίστε τις Στο σύστημα μας εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss κ κ ( κ ) ( κ ) 6κ 5κ + + 0 6κ κ κ + 5κ + κ + Γ Γ + Γ κ κ 0 κ + 9κ κ + κ 0 κ( κ )( κ + ) κ( κ ) Εάν κ 0, κ, κ έχουμε μοναδική λύση 5 y =, x= ( k ) y = ( k ) = k+ k+ k+ Εάν κ =το σύστημα είναι αδύνατο και δεν έχει λύσεις Εάν κ = 0 ή έχουμε απειρία λύσεων την [, ] T [, ] ( )( ) ( ) κ = [ x, y] T [ y, ] x y = y y για κ = 0 Δίνεται το σύστημα T T = + y για κ = 0 και την ax ax + ax ax + + + bx 4x x = = = 4 b Να βρεθούν τα a και b για τα οποία το παραπάνω σύστημα έχει: (i) μοναδική λύση, (ii) άπειρες λύσεις και (iii) καμία λύση a 0 b a 0 b a 0 b a a 4 4 Γ Γ Γ Γ Γ Γ 0 a 4 b 0 a 4 b 0 a b 0 a b 0 0 b b Από τον τελευταίο πίνακα επιγραμματικά συμπεραίνουμε τα εξής 4

(i) Για a = 0 a b = το σύστημα έχει άπειρες λύσεις b b Το σύστημα δεν έχει καμία λύση (ii) Για a 0 a b = το σύστημα έχει άπειρες λύσεις b b Το σύστημα έχει μοναδική Γραμμική Άλγεβρα Οπότε πιο αναλυτικά (i) Το σύστημα έχει μοναδική λύση όταν b και a 0 την b b x =, x =, x = a a που προκύπτει από την προς τα πίσω αντικατάσταση (ii) Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις όταν b = και a = 0 ο επαυξημένος πίνακας γίνεται 0 0 0 0 0 0 0 0 Από όπου φανερά έχουμε x = οι άλλοι άγνωστοι μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή Άρα το σύστημα έχει ως λύση την διπαραμετρική T οικογένεια [ x, x, x] = [ x, T x ] ) (iii) όταν b = και a 0 ο επαυξημένος πίνακας γίνεται a 0 0 a 0 0 0 0 x Από όπου προκύπτει η απειρία λύσεων που ικανοποιεί την x = x = a (iv) Το σύστημα δεν έχει καμία λύση όταν b και a = 0 διότι η τελευταία εξίσωση δίνει = ενώ η πρώτη, που είναι διάφορο του / Mε τη χρήση επαυξημένου πίνακα και γραμμοπράξεων να βρεθεί, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου a, πότε το σύστημα έχει μία, άπειρες ή καμία λύση; ( a+ ) x+ y+ z = a( a+ ) x+ ( a+ ) y+ z = a ( a+ ) x+ y+ ( a+ ) z = a ( a+ ) Όταν υπάρχουν λύσεις να βρεθούν Θεωρούμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και εφαρμόζουμε γραμμοπράξεις: 5

Γραμμική Άλγεβρα a+ a( a+ ) a+ a ( a+ ) a a ( a ) Γ Γ Γ Γ Γ + + a+ a ( a+ ) Γ Γ ( a+ ) Γ a+ a ( a+ ) α a( a ) + + a+ a ( a+ ) a+ a ( a+ ) 0 a a a ( a+ )( a) = 0 a a a ( a+ )( a) 0 a ( a+ ) a( a+ )( a a ) 0 a a( a+ ) a( a+ )(a a ) a+ a ( a+ ) 0 a a a ( a )( a) 0 0 aa ( + ) aa ( + )(a a + a) Γ Γ +Γ + Εάν α=0 ο πίνακας γίνεται 0 0 0 0 0 από όπου έχουμε μία διπαραμετρική απειρία λύσεων x = y z 0 0 0 0 x yz Δηλαδή y y y z 0 = = + z z 0 Εάν α=- στον πίνακα η τελευταία γραμμή δίνει 0z = 4 οπότε το σύστημα δεν έχει λύση Εάν a 0, Έχουμε μία λύση: a+ a ( a+ ) a+ a ( a+ ) 0 a a a ( a+ )( a) 0 a( a+ )(a) 4 0 0 ( a )( a a a) 0 0 a a a a + + + + ( a+ ) a+ που δίνει λύση a 4 + a a, a + a, a + x y z a + a a = = = a+ a+ a+ Ένα προτεινόμενο δίκτυο καναλιών ποτίσματος περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραμμα Σε αυτό το διάγραμμα βλέπουμε και τις ροές στους κόμβους A,B,C και D κατά τις περιόδους υψηλότερης ζήτησης (peak demand) Υπολογίστε τις πιθανές ροές Εάν το κανάλι BC είναι κλειστό, βρείτε το εύρος ροής που πρέπει να διατηρηθεί στο κανάλι AD έτσι ώστε κανένα κανάλι να μην έχει ροή μεγαλύτερη του 0 6

A B 0 55 5 C Γραμμική Άλγεβρα 4 5 Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμα των εξερχόμενων Οπότε για το παραπάνω δίκτυο ισχύει: A B C + 4=55 = 0 + 5 = 5 D + = 0 4 5 το οποίο είναι ένα σύστημα 4 γραμμικών εξισώσεων με έξι αγνώστους,,, 4, 5 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι: 0 0 0 55 0 0 0 55 0 0 0 Γ ΓΓ 0 0 5 Γ4 Γ 4+Γ 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 55 0 0 0 55 0 0 5 Γ4 Γ 4+Γ 0 0 5 Γ Γ 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 Το σύστημα που αντιστοιχεί στον τελευταίο πίνακα είναι το εξής: + 4 4 5 =55 + + = 5 0 D + = 5 Από όπου έχουμε : 7

4 = 5 = 5 5 + = 0 + 4 5 4 5 = 5 5 =55- Και καταλήγουμε στην την απειρία λύσεων: 55-4 0 5 + 4 = 5 5 4 4 5 5 4 Γραμμική Άλγεβρα Εάν το κανάλι BC είναι κλειστό έχουμε ότι = 0 οπότε υποχρεωτικά 5 = 5 Το εύρος ροής στο κανάλι AD είναι Εάν επιθυμούμε κανάλι να μην έχει ροή μεγαλύτερη του 0 τότε 0, 0, 0, 4 0, 5 0 Οπότε από την και από την 4 0 55-4 0 5 4 0 0+5-4 0 5 4 Συνοψίζοντας έχουμε ότι θα πρέπει 5 4 0 Ένας ιδιοκτήτης εστιατορίου σε μία αίθουσα έχει x τραπέζια τεσσάρων ατόμων, y τραπέζια έξι ατόμων και z τραπέζια οκτώ ατόμων και συνολικό αριθμό τραπεζιών 0 Όταν όλες οι θέσεις είναι κατειλημμένες η αίθουσα χωρά 08 πελάτες Απομονώνοντας ένα τμήμα της αίθουσας και χρησιμοποιώντας μόνο τα μισά τραπέζια τεσσάρων ατόμων, τα μισά έξι ατόμων και το ένα τέταρτο τραπεζιών οκτώ ατόμων το εστιατόριο μπορεί να φιλοξενήσει 46 πελάτες όταν όλες οι θέσεις στα τραπέζια είναι κατειλημμένες Καθορίστε τα x,y και z Τα παραπάνω στοιχεία μας οδηγούν στο ακόλουθο σύστημα: x+ y+ z = 0 4x+ 6y+ 8z = 08 x y z 4 + 6 + 8 = 46 4 Κάνοντας τις κατάλληλες απλοποιήσεις οδηγούμαστε στο σύστημα: x+ y+ z = 0 x+ y+ 4z = 54 x+ y+ z = 46 8

Ο επαυξημένος πίνακας είναι 0 4 54 46 Γραμμική Άλγεβρα Με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών εύκολα βρίσκουμε ότι ο πίνακας μετατρέπεται σε κλιμακωτή μορφή 0 0 0 4 54 Γ >Γ Γ Γ >Γ Γ 0 4 0 4 Γ>ΓΓ 46 0 0 6 0 0 8 Το αντίστοιχο σύστημα είναι x+ y+ z = 0 y+ z = 4 z =8 το οποίο επιλύεται εύκολα Πράγματι, από την τρίτη εξίσωση βρίσκουμε z = 4, οπότε αντικαθιστώντας στην δεύτερη βρίσκουμε y = 6, και από την πρώτη x = 0 Τελικά, το σύστημα έχει τη μοναδική λύση ( xyz,, ) = (0,4,6) 4 Ένας ασθενής πρέπει να λαμβάνει καθημερινά 5 μονάδες βιταμίνης Α, μονάδες βιταμίνης Β και μονάδες βιταμίνης C Στην αγορά υπάρχουν τρεις διαφορετικές εταιρείες που παράγουν χάπια με συνδυασμούς βιταμίνης A,B και C Ο ακόλουθος πίνακας μας παρέχει τις μονάδες ανά βιταμίνη που περιέχει το χάπι κάθε εταιρείας Βιταμίνη Εταιρεία Α Β C Ι 4 ΙΙ ΙΙΙ 0 Βρείτε όλους τους συνδυασμούς από επιλογές χαπιών οι οποίες να παρέχουν ακριβώς την αναγκαία ποσότητα βιταμινών (Δεν επιτρέπεται να λαμβάνονται μέρος χαπιών) Στη συνέχεια καθορίστε τον αριθμό χαπιών από κάθε εταιρεία που πρέπει να λαμβάνει ο ασθενής ώστε να ελαχιστοποιείται το ημερήσιο κόστος θεραπείας εάν το χάπι της εταιρείας Ι κοστίζει λεπτά του ευρώ, το χάπι της εταιρείας ΙΙ λεπτά και το χάπι της εταιρείας ΙΙΙ 5 λεπτά του ευρώ Έστω ότι ο ασθενής λαμβάνει x χάπια της εταιρείας Ι, y της εταιρείας ΙΙ και z της εταιρείας ΙΙΙ Από τα στοιχεία του πίνακα οδηγούμαστε στο σύστημα: x+ y+ 0z = 5 x+ y+ z = 4x+ y+ z = 9

Ο επαυξημένος πίνακας είναι 0 5 4 Γραμμική Άλγεβρα Με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών εύκολα βρίσκουμε ότι ο πίνακας μετατρέπεται σε κλιμακωτή μορφή 0 5 0 5 0 5 Γ >Γ Γ Γ >Γ Γ 0 0 Γ>Γ4Γ 4 0 0 0 0 0 Το αντίστοιχο σύστημα είναι x+ y = 5 y+ z = το οποίο έχει την απειρία λύσεων: ( x, yz, ) = (5 yy,, + y) Επειδή όμως μιλάμε για χάπια τα θα πρέπει να είναι μη αρνητικά Οπότε, λαμβάνοντας υπόψη τη φυσική του προβλήματος και την παραπάνω λύση συμπεραίνουμε ότι 0 y 5 Το ημερήσιο κόστος θεραπείας, με βάση τα κόστη κάθε χαπιού, είναι C = x+ y+ 5z Αντικαθιστώντας την παραπάνω λύση έχουμε ότι C = (5 y) + y+ 5( + y) = 0 + 4 y Φανερά αυτή η ποσότητα ελαχιστοποιείται όταν y = 0 Οπότε η ιδανική, από πλευράς κόστους, επιλογή χαπιών είναι η ακόλουθη: ( xyz,, ) = (5,0,) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος Αποτελεί υλικό της διδασκαλίας του μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό 0