6. Δυναμική Ανάλυση Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ)

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 6. Δυναμική Ανάλυση Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ) Χειμερινό εξάμηνο 2018 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1

Θέματα Εισαγωγή στη δυναμική ανάλυση των κατασκευών Δυναμικές αποκρίσεις και δυναμική ανάλυση κατασκευών Ελεύθερη ταλάντωση ΜΒΣ Απόκριση υπό αρμονικές διεγέρσεις ΜΒΣ Αριθμητικός υπολογισμός δυναμικής απόκρισης ΜΒΣ Σεισμικές διεγέρσεις και αποκρίσεις ΜΒΣ Φάσματα απόκρισης και φάσματα σχεδιασμού ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 2

Εισαγωγή Με τη στατική ανάλυση, μπορούμε να υπολογίσουμε την απόκριση μιας κατασκευής υπό στατικές φορτίσεις ή δράσεις, προσδιορίζοντας τα εντατικά μεγέθη και τις αντίστοιχες μετακινήσεις και παραμορφώσεις. Όταν το μέγεθος και ο ρυθμός επιβολής μιας δράσης προκαλεί σημαντικά αδρανειακά φορτία τότε απαιτείται δυναμική ανάλυση της κατασκευής, στην οποία θα πρέπει να συμπεριληφθούν και οι αδρανειακές δυνάμεις. Στη δυναμική ανάλυση, αντί των αλγεβρικών εξισώσεων στατικής ισορροπίας, διαφορικές εξισώσεις (ΔΕ) περιγράφουν την κίνηση (και απόκριση) μιας κατασκευής υπό δυναμική φόρτιση. Στον ελληνικό χώρο, η πιο σημαντική δυναμική δράση για τις πλείστες κατασκευές πολιτικού μηχανικού είναι οι σεισμικές διεγέρσεις του εδάφους θεμελίωσης, οι οποίες συνήθως είναι πιο κρίσιμες από τα στατικά επιβαλλόμενα φορτία, όπως το ιδιοβάρος και τα κινητά φορτία. Με τη δυναμική ανάλυση, που είναι ιδιαίτερα σημαντική για το σχεδιασμό και τη διαστασιολόγηση μιας κατασκευής, υπολογίζονται οι μετακινήσεις, τα εντατικά μεγέθη, οι επιταχύνσεις και άλλες ποσότητες και μεγέθη συναρτήσει του χρόνου. Σε κάποιες περιπτώσεις στην πράξη χρησιμοποιείται και η φασματική ανάλυση, με την οποία μπορεί να εκτιμηθεί η μέγιστη απόκριση της κατασκευής, βάσει των δυναμικών χαρακτηριστικών της κατασκευής, της μέγιστης αναμενομένης σεισμικής έντασης και κάποιων φασμάτων απόκρισης ή σχεδιασμού, τα οποία θα δούμε, στη συνέχεια, πως κατασκευάζονται. Έτσι, με τη φασματική ανάλυση μπορεί να αποφευχθεί η διενέργεια της υπολογιστικά πολύ πιο απαιτητικής δυναμικής ανάλυσης, που απαιτείται για τον ακριβή υπολογισμό της χρονοϊστορίας απόκρισης. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 3

Κατηγοριοποίηση προβλημάτων δυναμικής ανάλυσης Βάσει βαθμών ελευθερίας Βάσει γραμμικότητας εξισώσεων Μονοβάθμια Συστήματα (single degree of freedom) Πολυβάθμια Συστήματα (Multi degree of freedom) Γραμμικά (linear) Μη γραμμικά (nonlinear) Διακριτά: πεπερασμένος αριθμός ΒΕ Ελαστικά (elastic) Κατανεμημένα: άπειροι ΒΕ Ανελαστικά (inelastic) ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 4

Xωρίς απόσβεση (undamped) Βάσει δυνατότητας απόσβεσης ενεργείας Με απόσβεση (damped) Iξώδης (viscous damping) Yστερητική (hysteretic damping) Απόσβεση λόγω τριβής (friction damping - Coulomb). ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 5

Βάσει τύπου διέγερσης Ελεύθερη ταλάντωση Εξαναγκασμένη ταλάντωση Εξωτερικά επιβαλλόμενα φορτία (imposed loads) Περιοδικά (periodic) Αρμονικά (harmonic) Μη αρμονικά (non-harmonic) Μεταβατικά (transient) Τυχαία (random) Καθοριζόμενα (deterministic) Σεισμικές διεγέρσεις (seismic excitations) ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 6

Στατικοί και δυναμικοί βαθμοί ελευθερίας Λόγω της πολυπλοκότητας μιας κατασκευής, είναι πρακτικά απαραίτητη η υιοθέτηση και χρήση ενός σημαντικά απλοποιημένου προσομοιώματος, με το οποίο θα μπορούν να υπολογιστούν με επαρκή ακρίβεια τα μεγέθη στα οποία βασίζεται ο σχεδιασμός ή η αποτίμηση της δομικής επάρκειας μιας κατασκευής. Επιπλέον, κατά τη διενέργεια δυναμικών αναλύσεων, η μάζα, η οποία είναι σχεδόν πάντα κατανεμημένη στα φέροντα και μη φέροντα στοιχεία μιας κατασκευής, συνήθως θεωρείται συγκεντρωμένη σε συγκεκριμένα σημεία της κατασκευής και συνδέεται με συγκεκριμένους βαθμούς ελευθερίας μετακινήσεων, για να περιοριστούν οι υπολογιστικές απαιτήσεις της ανάλυσης. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 7

Εξετάζοντας ένα επίπεδο πλαίσιο, ο κάθε κόμβος στο επίπεδο έχει 3 ΒΕ, συγκεκριμένα 2 ΒΕ μετάθεσης και 1 ΒΕ στροφής. Θεωρώντας αμελητέες τις αξονικές παραμορφώσεις των υποστυλωμάτων μπορούμε να παραλείψουμε τις κατακόρυφες μεταθέσεις των κόμβων. Λαμβάνοντας υπόψη και την ακαμψία των πλακών και των οριζόντιων μελών, καθώς και τις μικρές σχετικά τιμές των στροφικών ροπών αδρανείας, μπορούμε έτσι να παραλείψουμε και τις στροφές καταλήγοντας σε 3 ΒΕ. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 8

Συμπεριφορά διατμητικού προβόλου Αυτό το μοντέλο, το οποίο έχει τη συμπεριφορά διατμητικού προβόλου, έχει ένα βαθμό ελευθερίας σε οριζόντια μετακίνηση ανά όροφο και χρησιμοποιείται συχνά για την ανάλυση συμμετρικών σε κάτοψη κτιρίων χωρίς εκκεντρότητες. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 9

Μονοβάθμια Συστήματα (ΜΒΣ) Επιπλέον, σε κάποιες περιπτώσεις είναι ικανοποιητική η προσέγγιση ακόμη και με τη χρήση ενός μόνο ΒΕ για να πάρουμε μια πρώτη εκτίμηση των ισοδύναμων σεισμικών δυνάμεων. Έτσι, απαιτείται ο υπολογισμός της οριζόντιας δυσκαμψίας του ΜΒΣ, δηλαδή η δύναμη που πρέπει να επιβληθεί σε αυτό ώστε να έχουμε μοναδιαία οριζόντια μετακίνηση της μάζας του. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 10

Στατικοί και δυναμικοί βαθμοί ελευθερίας Οι στατικοί ΒΕ είναι, γενικά, περισσότεροι από τους δυναμικούς ΒΕ. Όπου υπάρχει δυνατότητα μετακινήσεων των κόμβων ενός φορέα, υπάρχουν αντίστοιχοι στατικοί ΒΕ. Αντιθέτως, για ένα δυναμικό ΒΕ, πέρα από τη δυνατότητα αξιόλογης μετακίνησης, πρέπει να υπάρχει και αντίστοιχη μάζα ή στροφική ροπή αδρανείας που να κινείται ή να στρέφεται σε αυτή τη μετακίνηση προκαλώντας τις αντίστοιχες αδρανειακές δυνάμεις, ώστε να πρέπει να συμπεριληφθεί στη δυναμική ανάλυση. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 11

Κατά την ανάλυση συνήθων κτιριακών κατασκευών με κάποια προγράμματα ανάλυσης μπορεί να είναι προτιμότερο να μη δίδονται τιμές μάζας ανά όγκο στα δομικά στοιχεία κατά την προσομοίωση, αλλά να ορίζονται απευθείας συγκεντρωμένες μάζες στα κέντρα μάζας των οροφών, λαμβάνοντας υπόψη τη διαφραγματική λειτουργία των πλακών των ορόφων. Με αυτή την παραδοχή, μειώνονται σημαντικά οι δυναμικοί ΒΕ που πρέπει να χρησιμοποιηθούν κατά τη δυναμική ανάλυση. Έτσι, για μια χωρική δυναμική ανάλυση μιας τρισδιάστατης κατασκευής υπό οριζόντιες σεισμικές διεγέρσεις, μπορούμε να περιορίσουμε τον αριθμό των δυναμικών βαθμών ελευθερίας στις τρεις φορές τον αριθμό των ορόφων, δηλαδή δύο οριζόντιοι μεταθετικοί ΒΕ και ένας στροφικός ΒΕ γύρω από τον κατακόρυφο άξονα, ανά όροφο. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 12

Μονοβάθμια συστήματα (ΜΒΣ) Κατά τη δυναμική ανάλυση, κάποιες κατασκευές μπορούν να εξιδανικευτούν σαν ΜΒΣ όταν τους επιβληθούν δυναμικά φορτία, ή υποβληθούν σε σεισμικές διεγέρσεις της βάσης τους. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 13

Μονοβάθμια συστήματα (ΜΒΣ) Ένα τέτοιο ΜΒΣ έχει συγκεντρωμένη μάζα, m, στηριζόμενη σε μια αβαρή κατασκευή δυσκαμψίας, k, στην οριζόντια συνήθως διεύθυνση, και ενδεχομένως, κάποιο συντελεστή απόσβεσης, c, ο οποίος αντιπροσωπεύει τους διάφορους μηχανισμούς απόσβεσης ενέργειας ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 14

Αδρανειακές δυνάμεις ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 15

Ελαστικές δυνάμεις παραμόρφωσης ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 16

Ελαστικές δυνάμεις παραμόρφωσης απείρως άκαμπτη δοκός Μελετώντας ένα απλό πλαίσιο, με δύο υποστυλώματα, στην ακραία περίπτωση, η δοκός μπορεί να θεωρηθεί απόλυτα μη παραμορφώσιμη οριζόντια και τα υποστυλώματα αξονικά μη παραμορφώσιμα. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 17

Ελαστικές δυνάμεις παραμόρφωσης απείρως εύκαμπτη δοκός Στην αντίθετη ακραία περίπτωση όπου η δοκός θεωρείται πλήρως εύκαμπτη, τα υποστυλώματα παραμορφώνονται σαν πρόβολοι, και η συνολική οριζόντια δυσκαμψία για το πλαίσιο ισούται με: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 18

Ελαστικές δυνάμεις παραμόρφωσης πραγματικού πλαισίου ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 19

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 20

Μηχανισμοί και δυνάμεις απόσβεσης FD cu t ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 24

Συντελεστής ιξώδους απόσβεσης, c FD cu t Ο συντελεστής ιξώδους απόσβεσης c, ο οποίος έχει μονάδες Ns/ m δεν μπορεί να υπολογιστεί από τα μηχανικά και γεωμετρικά χαρακτηριστικά ενός κτιρίου, γι αυτό και η τιμή του εκτιμάται εμμέσως με πειραματικές μεθόδους, μέσω της εκτίμησης του λόγου (ή ποσοστού) απόσβεσης ξ. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 25

Από το βιβλίο: Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering - Anil K. Chopra ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 26

Ελεύθερη ταλάντωση ΜΒΣ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 28

Ελεύθερη ταλάντωση ΜΒΣ χωρίς απόσβεση ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 29

u 0 ut u0cos ωn t sin ωn t ω n ωn k m T n 2π ω n 30

u 0 ut u0cos ωn t sin ωn t ω n ωn k m T n 2π ω n f n 1 T n ω n 2π ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 31

u 0 ut u0cos ωn t sin ωn t ω n ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 32

Από το βιβλίο: Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ - Anil K. Chopra 33

Ελεύθερη ταλάντωση ΜΒΣ με ιξώδη απόσβεση ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 34

mut cut k ut 0 2 u t 2ζ ω u t ω u t 0 n n ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 35

mut cut k ut 0 ωn ζ c C c 2mω cr k m n 2 n u t 2ζ ω u t ω u t 0 n u 0 v 0 u 0 ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 38

Από το βιβλίο: Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering - Anil K. Chopra 40

mut cut k ut 0 u 0 v 0 u 0 cr ωn k m ζ c C c 2mω n 2 n u t 2ζ ω u t ω u t 0 n ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 41

mut cut k ut 0 u 0 v 0 u 0 cr ωn k m ζ c C c 2mω n 2 n u t 2ζ ω u t ω u t 0 n ω ω 1 ζ d n 2 u0 ω n ζ u 0 u t u 0 cos ωd t sin ωd t e ωd ω ζt n ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 42

ζ c C c 2mω cr n 49

u 2πζ δ ln 2 π ζ i ui1 2 1 ζ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 50

Παράδειγμα ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 53

k 2.5MN 0.05m 50 MN / m ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ T n 3.24sec 23 0.141sec 54

Αρμονική ταλάντωση ΜΒΣ χωρίς απόσβεση mu t k u t P sin ωt max ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 56

mu t k u t P sin ωt max n P max u 0 ωω n k Pmax sin ωt n 2 2 ωn 1 ω ωn k 1 ω ωn u t u 0 cos ω t sin ω t ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 57

mu t k u t P sin ωt n max P max u 0 ωω n k Pmax sin ωt n 2 2 ωn 1 ω ωn k 1 ω ωn u t u 0 cos ω t sin ω t ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 58

Pmax t u0 ωω n transient n k u u 0 cos ω t sin ω 2 n t ωn 1 ωωn u n t Pmax sin ωt k 1ωω SteadyState 2 n P max u 0 ωω n k Pmax sin ωt n 2 2 ωn 1 ω ωn k 1 ω ωn u t u 0 cos ω t sin ω t ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 59

n P max u 0 ωω n k Pmax sin ωt n 2 2 ωn 1 ω ωn k 1 ω ωn u t u 0 cos ω t sin ω t ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 60

t sin ωt ut u ust 1 ωω SteadyState max 2 n 62

t sin ωt ut u ust 1 ωω SteadyState max 2 n ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 64

Αρμονική ταλάντωση ΜΒΣ με απόσβεση D P max k 1 ωω 2 n 2 2 2 1 ω ωn 2ζ ω ωn k E P max ζ ω ω n 2 2 2 1 ω ω n 2ζ ω ωn ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 70

mu t cu t k u t P sin ωt max u t u t u t c p ζ ω t n u t Acos ω t Bsin ω t e c D D u t D sin ω t E cos ω t p D P max k 1 ωω 2 n 2 max 2 2 1 ω ωn 2ζ ω ωn n E P k ζ ω ω n 2 2 2 1 ω ω 2ζ ω ωn ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 71

u t u t u t c p ζ ω t n u t Acos ω t Bsin ω t e c D D u t D sin ω t E cos ω t p ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 75

u t u t u t c p ζ ω t n u t Acos ω t Bsin ω t e c D D p u t D sin ω t E cos ω t D P max k 1 ωω 2 n 2 max 2 2 1 ω ωn 2ζ ω ωn n E P k ζ ω ω n 2 2 2 1 ω ω 2ζ ω ωn ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 76

p u t D sin ω t E cos ω t D P max k 1 ωω 2 n 2 max 2 2 1 ω ωn 2ζ ω ωn n E P k ζ ω ω n 2 2 2 1 ω ω 2ζ ω ωn ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 80

u P steady max st max max 2 2 2 2 2 2 1 ω ωn 2ζ ω ωn 1 ω ωn 2ζ ω ωn k u steady max u 1 u st 2 2 max 2 1 ω ω n 2ζ ω ωn 82

u steady max 1 ω ω n 2ζ ω ωn P max 2 2 2 u st max 2 2 2 1 ω ω n 2ζ ω ωn k steady max u 1 u st 2 2 max 2 1 ω ω n 2ζ ω ωn Από το βιβλίο: Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering - Anil K. Chopra 84

ζ ω β ω 2ω n α ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 92

Αριθμητικός υπολογισμός δυναμικής απόκρισης ΜΒΣ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 100

mutcut k ut Pt g P t mu t ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 101

Μέθοδος Κεντρικής Διαφοράς για ΜΒΣ Η ΜΚΔ βασίζεται στις πιο κάτω σχέσεις πεπερασμένων διαφορών για την ταχύτητα και επιτάχυνση: u t u t Δt u t Δt 2Δt Αντικαθιστώντας αυτές τις σχέσεις στην εξίσωση κίνησης προκύπτει μια σχέση με μόνο άγνωστο τη μετακίνηση : u t mutcut k ut Pt Δt 2 u t Δt 2 u t u t Δt u t Δt Kˆ u(t Δt) Pˆ t όπου: ˆK m 2 Δt c 2 Δt m c 2m ˆP t P t u(t Δt) k u t 2 2 Δt 2 Δt Δt ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 102

Kˆ u(t Δt) Pˆ t ˆK m 2 Δt c 2 Δt m c 2m ˆP t P t u(t Δt) k u t 2 2 Δt 2 Δt Δt ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 103

Μέθοδος Newmark για ΜΒΣ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 105

utδt u t u t Δt u t Δt 2 2 u t Δt u t u t Δt u t u t Δt Δt 2 ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 106

Προγραμματισμός Μεθόδου Κεντρικής Διαφοράς και Newmark για αριθμητική δυναμική ανάλυση ΜΒΣ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 108

Σεισμικές διεγέρσεις και αποκρίσεις ΜΒΣ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 124

Απόκριση ΜΒΣ υπό σεισμική διέγερση ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 135

mu t cu t k u t mu t P t g eff 2 n n n g u t 2ζ ω u t ω u t u t ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 136

mu t cu t k u t mu t P t g eff Από το βιβλίο: Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering - Anil K. Chopra ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 141

mu t cu t k u t mu t P t g eff ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 143

Απόκριση ΜΒΣ λόγω σεισμικής διέγερσης του σεισμού Αθηνών (Σεπόλια, 1999 ) ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 147

Φάσματα απόκρισης ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 148

Το φάσμα ψευδοταχύτητας δεν ταυτίζεται με το φάσμα σχετικής ταχύτητας, αλλά διαφέρει από αυτό, υπερεκτιμώντας για μικρές ιδιοπεριόδους και υποεκτιμώντας σε μεγάλες ιδιοπεριόδους τις μέγιστες σχετικές ταχύτητες. Αντίστοιχα, το φάσμα ψευδοεπιτάχυνσης υποεκτιμά τις αντίστοιχες μέγιστες σχετικές επιταχύνσεις όσον αυξάνει η ιδιοπερίοδος. Όταν η απόσβεση είναι μηδενική η φασματική επιτάχυνση ισούται με την πραγματική μέγιστη απόλυτη επιτάχυνση. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 158

Προγραμματισμός Κατασκευής Φασμάτων Αποκρίσεως ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 169

Φάσματα σχεδιασμού ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 177