ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. 1o ΚΔΦΑΛΑΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΔΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΔΙΣ

1o ΚΔΦΑΛΑΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΔΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΔΙΣ 1. Ποξρδιξοίζξσμε ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ( Θ.Ι ) και ξοίζξσμε ςη θεςικ τξοά. 2. Ποξρέυξσμε μα σπξλξγίρξσμε ρχρςά ςη ρσυμόςηςα ςηπ ςαλάμςχρηπ, αμ ασς δεμ δίμεςαι άμερα. πυ 1 : Η ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ πξσ ςαλαμςώμεςαι μηδεμίζεςαι κάθε 0,2 sec πξια είμαι η ρσυμόςηςα ςηπ ςαλάμςχρηπ; Απ: Η ςαυύςηςα μηδεμίζεςαι κάθε τξοά πξσ ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρε ακοαία θέρη ποάγμα πξσ ρσμβαίμει κάθε Τ/2 ( μιρ πεοίξδξ), άοα. Όμχπ πυ 2: Τξ ρώμα πξσ ςαλαμςώμεςαι διέουεςαι από ςη Θ.Ι 40 τξοέπ κάθε δεσςεοόλεπςξ, πξια είμαι η ρσυμόςηςα ςαλάμςχρηπ; Απ: Σε κάθε ςαλάμςχρη ςξ ρώμα διέουεςαι από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ 2 τξοέπ, άοα εκςελεί 20 ςαλαμςώρειπ κάθε δεσςεοόλεπςξ. Δπξμέμχπ πυ 3: Η κιμηςικ εμέογεια ( Κ ) γίμεςαι 3πλάρια ςηπ δσμαμικπ εμέογειαπ ( U ), 80 τξοέπ κάθε δεσςεοόλεπςξ. Πξια είμαι η ρσυμόςηςα ςαλάμςχρηπ; Κάθε πόρξ υοόμξ διέουεςαι ςξ ρώμα από ςη Θ.Ι ; Απ: H ρυέρη Κ = 3U ( θα μπξοξύρε μα είμαι Κ= 2U Κ= U ) 4 τξοέπ ρε κάθε πεοίξδξ άοα ςξ ρώμα εκςελεί ςαλαμςώρειπ, επξμέμχπ Τξ ρώμα διέουεςαι από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ κάθε 3. Δεμ ποέπει μα ρσγυέξσμε ρε μια ςαλάμςχρη ςημ απξμάκοσμρη, ςη μεςαςόπιρη και ςξ διάρςημα. -x +x πυ : -0,2-0,1 0 +0,1 +0,2 Τη υοξμικ t 1 ςξ ρώμα έυει απξμάκοσμρη x 1 =+0,1m εμώ ςη υοξμικ ρςιγμ t 2 έυει απξμάκοσμρη x 2 = 0,2m επξμέμχπ η μεςαςόπιρη ςξσ κιμηςξύ είμαι Δx = 0,3m εμώ ςξ διάρςημα πξσ έυει διαμύρει είμαι S= 0,5m. 4. Η απξμάκοσμρη, η ςαυύςηςα, η επιςάυσμρη και η δύμαμη επαματξοάπ είμαι αλγεβοικά μεγέθη άοα ποέπει μα ποξρέυξσμε ςξ ποόρημό ςξσπ. Από ςιπ ενιρώρειπ ςηπ ςαλάμςχρηπ παοαςηοξύμε όςι: x = Αημχt, δηλαδ η απξμάκοσμρη έυει ςξ ποόρημξ ςξσ ημιςόμξσ, σ = σ max ρσμχt, δηλαδ η ςαυύςηςα έυει ςξ ποόρημξ ςξσ ρσμημίςξμξσ, α = α max ημχt, F = F max ημχt, δηλαδ η επιςάυσμρη και η δύμαμη επαματξοάπ έυξσμ πάμςξςε αμςίθεςξ ποόρημξ από ςημ απξμάκοσμρη. vmarousis.blogspot.com Σελίδα 1

Άοα για μια ςαλάμςχρη έυξσμε: -Α +Α πυ: Όςαμ ςξ ρώμα πξσ ςαλαμςώμεςαι βοίρκεςαι ρςη θέρη x = +2 και καςεσθύμεςαι ποξπ ςξ +Α έυει θεςικ ςαυύςηςα γιαςί ρσμτ>0, εμώ όςαμ βοίρκεςαι ρςη θέρη x = 1 και καςεσθύμεςαι ποξπ ςξ Α έυει αομηςικ ςαυύςηςα γιαςί ρσμτ<0 Όςαμ ςξ ρώμα εκςξνεύεςαι από ςη Θ.Ι ςξσ ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ εκςόνεσρηπ ιρξύςαι με ςημ σ max ςηπ ςαλάμςχρηπ. Όςαμ έμα ρώμα ατμεςαι μα νεκιμρει ςημ ςαλάμςχρη ςξσ από μια θέρη όπξσ η ςαυύςηςά ςξσ είμαι ίρη με μηδέμ ςόςε η θέρη ασς είμαι μία από ςιπ ακοαίεπ θέρηπ ςηπ ςαλάμςχρηπ. 5. Διατξοά τάρηπ μεςανύ x,σ, α Η ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ είμαι x = Aημχt H ενίρχρη ςηπ ςαυύςηςαπ σ = σ max ρσμχt μπξοεί μα γοατεί σ = σ max ημ(χt+ ). Δηλαδ η ςαυύςηςα ποξηγείςαι ςηπ απξμάκοσμρηπ καςά H ενίρχρη ςηπ επιςάυσμρηπ α = α max ημχt μπξοεί μα γοατεί α = α max ημ(χt+π). Δηλαδ η επιςάυσμρη ποξηγείςαι ςηπ ςαυύςηςαπ καςά rad. rad. rad εμώ ποξηγείςαι ςηπ απξμάκοσμρηπ καςά π 6. Αμ γμχοίζξσμε μια από ςιπ υοξμικέπ ενιρώρειπ ςηπ ςαλάμςχρηπ πχπ σπξλξγίζξσμε ςιπ άλλεπ. Έρςχ δίμεςαι η ενίρχρη ςηπ ςαυύςηςαπ σ = 2 ρσμ( 10t + ) (S.I). Από ςη θεχοία γμχοίζξσμε όςι ιρυύει σ = σ max ρσμ(χt+τ 0 ). Η ρύγκοιρη ςχμ δσξ ενιρώρεχμ δίμει: σ max = 2m/s, χ = 10 rad/s. Όμχπ, Άοα ξι σπόλξιπεπ ενιρώρειπ είμαι: x = 0,2ημ(10t + ) (S.I) και α = 20ημ(10t + ) (S.I) 7. Πχπ βοίρκξσμε ςη υοξμικ ρςιγμ πξσ ρσμβαίμει κάςι για 1 η,2 η,.. τξοά. ΔΔΝ νευμάμε όςι 1 η τξοά είμαι πάμςξςε η 1 η θεςικ ςιμ ςξσ υοόμξσ πξσ βοίρκξσμε λύμξμςαπ ςημ καςάλληλη ςοιγχμξμεςοικ ενίρχρη. πυ: Αμ έυξσμε ςημ ενίρχρη x = Aημ(10t+ ) και θέλξσμε μα βοξύμε πξια υοξμικ ρςιγμ ςξ ρώμα θα απξκςρει για ςοίςη τξοά απξμάκοσμρη x= +A/2 ακξλξσθξύμε ςη διαδικαρία. x = Aημ(10t+ ) vmarousis.blogspot.com Σελίδα 2

Άοα (1) (2) Για κ=0 από ςημ (1) ποξκύπςει Για κ=0 από ςημ (2) ποξκύπςει Για κ=1 από ςημ (1) ποξκύπςει Για κ=1 από ςημ (2) ποξκύπςει Για κ=2 από ςημ (1) ποξκύπςει Αμ μαπ εμδιατέοει και ςξ ποόρημξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςόςε ρςξ ποξηγξύμεμξ παοάδειγμα παοαςηοξύμε όςι: για sec η ςαυύςηςα είμαι σ = σ max ρσμ(10t+ ) = σ max ρσμ(10 + ) σ = σ max ρσμ( ) >0 για sec η ςαυύςηςα είμαι σ = σ max ρσμ(10t+ ) = σ max ρσμ(10 + ) σ = σ max ρσμ( ) <0 Δηλαδ διέουεςαι από ςη θέρη x = +A/2 για δεύςεοη μεμ τξοά αλλά για ποώςη τξοά με αομηςικ ςαυύςηςα. 8. Πχπ ποξρδιξοίζξσμε ςημ αουικ τάρη μιαπ ςαλάμςχρηπ. Η αουικ τάρη είμαι γχμία με ςιμέπ 0 Για μα ποξρδιξοίρξσμε ςημ αουικ τάρη μιαπ ςαλάμςχρηπ έυξσμε πληοξτξοίεπ για ςη θέρη και ςημ ςαυύςηςα ςη υοξμικ ρςιγμ t = 0. Από ςιπ πληοξτξοίεπ ασςέπ βοίρκξσμε ςξ ποόρημξ ςξσ ημιςόμξσ και ςξσ ρσμημίςξμξσ για μα καςαλάβξσμε ρε πξιξ ςεςαοςημόοιξ βοίρκεςαι η αουικ τάρη. πυ. Έμα ρώμα πξσ εκςελεί α.α.ς πλάςξσπ Α = 0,4m ςη υοξμικ ρςιγμ t = 0 διέουεςαι από ςη θέρη x = 0,2m και ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ μειώμεςαι. Πξια είμαι η αουικ ςξσ τάρη; Απ: Από ςημ ενίρχρη x= Αημ(χt + τ ξ ) και ςα δεδξμέμα ποξκύπςει -0,2 = 0,4ημτ ξ άοα (1) (2) από ςημ (1) για κ=0 ποξκύπςει σ = σ max ρσμ(χt + τ ξ ) για t = 0 ποξκύπςει σ = σ max ρσμ < 0 (3) και από ςημ ενίρχρη ςηπ ςαυύςηςαπ από ςημ (2) για κ = 1 ( ςξ κ = 0 δίμει t <0 απξοοίπςεςαι) ποξκύπςει ςημ ενίρχρη ςηπ ςαυύςηςαπ σ = σ max ρσμ > 0 (4) και από Από ςα δεδξμέμα παοαςηοξύμε όςι η ςαυύςηςα είμαι αομηςικ άοα δεκς η (3) δηλαδ. τ 0 7π/6 σ vmarousis.blogspot.com Σελίδα 3

9. Η εμέογεια πξσ ποξρτέοξσμε για μα διεγείοξσμε έμα ρύρςημα πξσ ηοεμεί ώρςε μα εκςελέρει ΑΑΤ είμαι ίρη με ςημ ξλικ εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ και είμαι ίρη με ςξ έογξ ςηπ ενχςεοικπ δύμαμηπ πξσ διεγείοει ςξ ρύρςημα ώρςε μα εκςελέρει ΑΑΤ. Δηλαδ: 10. Τξ πλάςξπ μιαπ ςαλάμςχρηπ μπξοεί μα σπξλξγιρςεί αμ: Α) Γμχοίζξσμε διάτξοα μεγέθη με βάρη ςα δεδξμέμα πυ. Αμ δίμεςαι η ενίρχρη ςηπ επιςάυσμρηπ α = - 8ημ(2t + π/2). Σσγκοίμξμςαπ ςημ ενίρχρη με ςημ α = -α max ημ(χt+τ 0 ) έυξσμε : χ = 2 rad/s, α max = 8 χ 2 Α = 8 Α = 2m. Β) Μαπ δίμεςαι όςι εκςοέπξσμε ςξ ρώμα από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ (πυ καςά 10cm) και ςξ ατμξσμε ελεύθεοξ ςόςε ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι Α=10 cm. Γ) Μαπ δίμεςαι όςι ξι δύξ ακοαίεπ θέρειπ ςηπ ςαλάμςχρηπ απέυξσμ πυ d = 20cm ςόςε d = 2A άοα Α = 10cm. Δ) Γμχοίζξσμε ςξ έογξ ςηπ δύμαμηπ πξσ αρκξύμε ώρςε από ςημ ηοεμία μα διεγείοξσμε ςξ ρώμα για μα κάμει α.α.ς ( δηλαδ γμχοίζξσμε ςημ ξλικ εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ) ςόςε: ΠΡΟΣΟΧΗ: E) Γμχοίζξσμε για κάπξια απξμάκοσμρη x ςημ ςαυύςηςα σ πξσ έυει, ξπόςε εταομόζξσμε ςημ αου διαςοηρηπ ςηπ εμέογειαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ (Α.Δ.Δ.Ταλ) 11. Η Α.Δ.Δ.Τ. και η ρυέρη Δταομόζξμςαπ ςημ αου διαςοηρηπ ςηπ εμέογειαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ (Α.Δ.Δ.Τ) και υοηριμξπξιώμςαπ ςη ρυέρη D= mχ 2 ποξκύπςει: Δηλαδ ποξκύπςει μια ρυέρη πξσ ρσμδέει ςα μεγέθη x, σ, Α, χ, αμ γμχοίζξσμε ξπξιαδπξςε ςοία από ασςά μπξοξύμε μα βοξύμε ςξ ςέςαοςξ. Δπίρηπ αμ λύρξσμε ςημ (1) χπ ποξπ σ έυξσμε:. Τξ διπλό ποόρημξ ( μαπ δείυμει όςι από κάθε θέρη ςξ σλικό ρημείξ διέουεςαι δύξ τξοέπ ρςη διάοκεια μιαπ πεοιόδξσ, με ςαυύςηςεπ ίρξσ μέςοξσ αλλά μια τξοά κιμξύμεμξ ποξπ ςα θεςικά ςξσ άνξμα και ςημ άλλη ποξπ ςα αομηςικά. 12. Πχπ σπξλξγίζξσμε ρε πξια θέρη πξια υοξμικ ρςιγμ ιρυύει μια δεδξμέμη ρυέρη μεςανύ ςηπ κιμηςικπ και ςηπ δσμαμικπ εμέογειαπ. πυ1. Έμα ρώμα κάμει α.α.ς, ρε πξιέπ θέρειπ ιρυύει Κ = 3U ; Από ςημ αου διαςοηρηπ ςηπ εμέογειαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ πυ2. Έμα ρώμα κάμει α.α.ς (υχοίπ αουικ τάρη), για πξιεπ υοξμικέπ ρςιγμέπ ιρυύει Κ=3U; Ατξύ καςαλνξσμε ρςημ ποξηγξύμεμη ρυέρη ακξλξσθξύμε ςημ ενπ διαδικαρία: Σςημ ενίρχρη x = Aημχt θέςξσμε όπξσ x μια τξοά ςξ και μια τξοά ςξ vmarousis.blogspot.com Σελίδα 4

ξπόςε ξπόςε 13. Η δσμαμικ εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ και η κιμηςικ εμέογεια ςξσ ρώμαςξπ μεγιρςξπξιξύμςαι μηδεμίζξμςαι κάθε μιρ πεοίξδξ ςηπ ςαλάμςχρηπ. Δπξμέμχπ η πεοίξδξπ μεγιρςξπξίηρηπ μηδεμιρμξύ ςξσπ ιρξύςαι με, ξπόςε η αμςίρςξιυη ρσυμόςηςα είμαι: 14. Δπειδ είμαι, όςαμ έμα ρώμα βοίρκεςαι ρε δύξ ρσμμεςοικέπ θέρειπ +x και x, χπ ποξπ ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ, θα έυει ίρεπ ςαυύςηςεπ, καςά μέςοξ όπχπ ποξκύπςει από ςη ρυέρη (ιρυύει και ςξ αμςίρςοξτξ). Δπίρηπ ρςιπ θέρειπ ασςέπ θα έυει ίρεπ κιμηςικέπ και ίρεπ δσμαμικέπ εμέογειεπ ςαλάμςχρηπ. d -x= - d/2 Θ.Ι. +x = + d/2 -Α α 1 F 1 F 2 α 2 +Α σ 1 θέρη 1 θέρη 2 σ 2 Για ςιπ ρσμμεςοικέπ θέρειπ (1) και (2) ιρυύει: και Κ 1 = Κ 2, U 1 = U 2, F 1 = F 2, α 1 = α 2, σ 1 = σ 2 καςά μέςοξ. vmarousis.blogspot.com Σελίδα 5

15. ΔΛΑΤΗΡΙΑ Οοιζόμςιξ ελαςοιξ Φσρικό μκξπ (Συ. 1) Καςακόοστξ ελαςοιξ (Συ. 3 ) (Συ. 4) Θέρη τσρικξύ μκξσπ k x=δ (Συ. 2) Δ F ελ Δ F ελ x Θέρη ιρξοοξπίαπ Τσυαία θέρη Fελ = Fεπαμ w w Φσρικό μκξπ είμαι ςξ μκξπ πξσ έυει ςξ ελαςοιξ όςαμ δεμ αρκείςαι πάμχ ςξσ καμιά δύμαμη. Τξ τσρικό μκξπ είμαι ςξ ίδιξ είςε ςξ ελαςοιξ είμαι ξοιζόμςιξ είςε καςακόοστξ γιαςί θεχοξύμε ςα ελαςοια αβαο. Σςξ ξοιζόμςιξ ελαςοιξ η θέρη τσρικξύ μκξσπ και η θέρη ιρξοοξπίαπ ςασςίζξμςαι. Σςαθεοά ελαρςικόςηςαπ ελαςηοίξσ ( k ) είμαι μέγεθξπ υαοακςηοιρςικό για κάθε ελαςοιξ, με μξμάδα μέςοηρηπ ςξ 1Ν/m. Νόμξπ ςξσ Hooke : F ελ = k Δ ( δύμαμη παοαμξοτωμέμξσ ελαςηοίξσ) Υπξλξγίζξσμε ςη δύμαμη πξσ αρκεί κάθε παοαμξοτχμέμξ ελαςοιξ ρε κάθε ρώμα πξσ βοίρκεςαι ρε επατ με ασςό και είμαι αμάλξγη ςηπ παοαμόοτχρηπ Δ δηλαδ ςηπ απόρςαρηπ από ςξ τσρικό μκξπ. Η F ελ έυει πάμςξςε τξοά ποξπ ςξ τσρικό μκξπ. Σςη θέρη ιρξοοξπίαπ ρςξ καςακόοστξ ελαςοιξ ιρυύει ΣF = 0 w = F ελ Σε μια ςσυαία θέρη η δύμαμη επαματξοάπ ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι : ΣF = w F ελ Για ςημ δύμαμη επαματξοάπ ιρυύει ΣF= D x, όπξσ x η απξμάκοσμρη από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ. Η δύμαμη επαματξοάπ ςηπ ςαλάμςχρηπ έυει πάμςξςε τξοά ποξπ ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ. Σςιπ πεοιπςώρειπ πξσ η ςαλάμςχρη γίμεςαι ρε ξοιζόμςιξ επίπεδξ ςόςε η αλλαγ ςξσ ρώμαςξπ πξσ ςαλαμςώμεςαι (λόγχ πλαρςικπ κοξύρηπ διάρπαρηπ) δεμ επηοεάζει ςη Θ.Ι. αμ όμχπ η ςαλάμςχρη γίμεςαι ρε καςακόοστό κεκλιμέμξ επίπεδξ η αλλαγ ςξσ ρώμαςξπ πξσ ςαλαμςώμεςαι ρημαίμει και αλλαγ ςηπ Θ.Ι Η δσμαμικ εμέογεια ςξσ ελαςηοίξσ εναοςάςαι από ςημ παοαμόοτχρη Η δσμαμικ εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ εναοςάςαι από ςημ απξμάκοσμρη Τξ έογξ ςηπ δύμαμηπ ελαςηοίξσ ιρξύςαι με : = Τξ έογξ ςηπ δύμαμηπ επαματξοάπ σπξλξγίζεςαι από ςη ρυέρη : = ατξύ είμαι ρσμςηοηςικ δύμαμη όπχπ και η δύμαμη ςξσ ελαςηοίξσ, με ςξ Θ.Μ.Κ.Δ. = ατξύ η δύμαμη επαματξοάπ είμαι η ρσμιρςαμέμη ςχμ δσμάμεχμ πξσ αρκξύμςαι ρςξ ςαλαμςεσόμεμξ ρώμα ( ). vmarousis.blogspot.com Σελίδα 6

16. Πχπ απξδεικμύξσμε όςι έμα ρώμα εκςελεί α.α.ς και σπξλξγίζξσμε ςημ ρςαθεοά D ςηπ ςαλάμςχρηπ. Βμα 1 : Συεδιάζξσμε όλεπ ςιπ δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςξ ρώμα ρςη Θ.Ι. και εταομόζξσμε ςη ρυέρη ΣF = 0. Βμα 2 : Συεδιάζξσμε ςιπ δσμάμειπ ρε μια ςσυαία θέρη με απξμάκοσμρη x καθώπ ςξ ρώμα ςαλαμςώμεςαι, και σπξλξγίζξσμε ςημ ρσμιρςαμέμη (ΣF) ςχμ δσμάμεχμ ρςξμ άνξμα ςηπ ςαλάμςχρηπ, παίομξμςαπ χπ θεςικ τξοά ςη τξοά ςηπ ςσυαίαπ απξμάκοσμρηπ. Βμα 3 : Μεςαρυημαςίζξσμε ςημ ΣF, ώρςε μα πάοει ςη μξοτ: ΣF = Dx όπξσ D μια παοάρςαρη πξσ πεοιέυει μόμξ ρςαθεοά μεγέθη. Βμα 4 : Αμςικαθιρςξύμε ςξ D πξσ βοκαμε ρςξ ποξηγξύμεμξ βμα ρςη ρυέρη και σπξλξγίζξσμε ςημ πεοίξδξ ςηπ ςαλάμςχρηπ. Παοαδείγμαςα: Α) Σςημ πεοίπςχρη ςξσ ξοιζξμςίξσ ελαςηοίξσ (Συ. 2) ιρυύει: ΣF = F ελ = k Δx ( 1). Έμα ρώμα εκςελεί α.α.ς όςαμ ΣF = D x ( 2). Από ςιπ ρυέρειπ ( 1) και ( 2) ποξκύπςει D = k B) Σςημ πεοίπςχρη καςακόοστξσ ελαςηοίξσ : Σςξ (Συ. 3) έυξσμε ιρξοοξπία άοα ιρυύει ΣF = 0 w = F ελ w = k Δ (3) Σςξ ( Συ. 4) για ςημ ρσμιρςαμέμη ςχμ δσμάμεχμ ιρυύει: ΣF = w F ελ ΣF = w k(δ ΣF = w kδ ΣF = k x (4) Έμα ρώμα εκςελεί α.α.ς όςαμ ΣF = D x (2). Από ςιπ ρυέρειπ (4) και (2) ποξκύπςει D = k vmarousis.blogspot.com Σελίδα 7

17. Χαοακςηοιρςικέπ θέρειπ ςηπ ΑΑΤ ΘΦΜ -A 0 +A υ > 0 α > 0, F>0 α < 0, F< 0 χ χ -Α ΘΙ +Α υ < 0 χ = -Α υ = 0 α = +α max F = +F max K = 0 U = U max χ = 0 υ = α = 0 F = 0 K = K max U = 0 υ max χ = +Α υ = 0 α = -α max F = -F max K = 0 U = U max 18. Σςη διάοκεια μίαπ πεοιόδξσ ιρυύξσμ ςα παοακάςχ: Τξ ρώμα διαμύει απόρςαρη 4Α, όπξσ Α ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ. Η μεςαςόπιρη είμαι μηδέμ, γιαςί η αουικ και η ςελικ θέρη είμαι ίδιεπ. Τξ έογξ ςηπ δύμαμηπ επαματξοάπ είμαι μηδέμ, γιαςί η δύμαμη επαματξοάπ είμαι ρσμςηοηςικ δύμαμη. Η μεςαβξλ ςηπ ξομπ είμαι μηδέμ, γιαςί η αουικ και η ςελικ ςαυύςηςα είμαι ίρεπ. Σε δύξ υοξμικέπ ρςιγμέπ ςξ μέςοξ ςηπ απξμάκοσμρηπ είμαι ίρξ με Α (ρςιπ ακοαίεπ θέρειπ), ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ είμαι μέγιρςξ (ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ), και ςξ μέςοξ ςηπ επιςάυσμρηπ μέγιρςξ (ρςιπ ακοαίεπ θέρειπ). Η ρυέρη Κ = λu, όπξσ Κ η κιμηςικ εμέογεια, U η δσμαμικ εμέογεια και λ θεςικόπ οηςόπ αοιθμόπ με λ 0, ιρυύει ρε δύξ θέρειπ πξσ αμςιρςξιυξύμ ρε ςέρρεοιπ υοξμικέπ ρςιγμέπ. Δύξ τξοέπ η δσμαμικ εμέογεια (ρςιπ ακοαίεπ θέρειπ) και η κιμηςικ εμέογεια (ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ) γίμξμςαι μέγιρςεπ και ίρεπ με ςημ εμέογεια ςαλάμςχρηπ. vmarousis.blogspot.com Σελίδα 8

19. Βαρικά βμαςα ρςιπ αρκρειπ ςχμ μηυαμικώμ ςαλαμςώρεχμ. a. Συεδιάζξσμε όλα ςα ρυμαςα και όλεπ ςιπ δσμάμειπ. b. Συεδιάζξσμε όλεπ ςιπ θέρειπ ιρξοοξπίαπ και εταομόζξσμε ρσμθκεπ ιρξοοξπίαπ. c. Δλέγυξσμε από πξια θέρη νεκιμάει ςξ ρώμα ςημ ςαλάμςχρη, i) Για μα είμαι θέρη ιρξοοξπίαπ, ποέπει ΣF = 0. ii) Για μα είμαι θέρη μέγιρςηπ απξμάκοσμρηπ, ποέπει σ=0. iii) Για μα είμαι ςσυαία θέρη, ποέπει ςξ ρώμα μα απέυει x από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ και μα έυει ςαυύςηςα σ 0. d. Δταομόζξσμε ΑΔΔΤ και βοίρκξσμε ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ: e. Βοίρκξσμε ςημ αουικ τάρη, ελέγυξμςαπ ςα ποόρημα ςηπ απξμάκοσμρηπ x και ςηπ ςαυύςηςαπ σ. f. Γοάτξσμε ςιπ ρυέρειπ x = Αημ(χt+τ 0 ), σ = χαρσμ(χt+τ 0 ), α = χ 2 Αημ(χt+τ 0 ) 20. Πώπ ποξρδιξοίζξσμε ςιπ ενιρώρειπ μεςαβληςώμ δσμάμεχμ ρε ρώμα πξσ εκςελεί α.α.ς.; Όςαμ θέλξσμε μα βοξύμε ςημ ςιμ μιαπ από ςιπ δσμάμειπ πξσ εμεογξύμ ρε έμα ςαλαμςξύμεμξ ρώμα και μα γοάφξσμε ςημ ενίρχρη ςηπ ρε ρσμάοςηρη με ςημ απξμάκοσμρη με ςξ υοόμξ, θεχοξύμε πάμςα μια ςσυαία θέρη καςά ςη θεςικ τξοά ςηπ ςαλάμςχρηπ και εταομόζξσμε για ςξ ρώμα ςξ θεμελιώδη μόμξ: ΣF = mα, άοα ΣF = mχ 2 x Παοάδειγμα: Έμα ρώμα μάζαπ m = 3 kg εκςελεί αομξμικ ςαλάμςχρη πλάςξσπ Α= 0,4m δεμέμξ ρςξ καςώςεοξ άκοξ εμόπ ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ k = 150 N/m. Να βοεθεί η ενίρχρη ςηπ δύμαμηπ ςξσ ελαςηοίξσ ρσμαοςρει ςηπ απξμάκοσμρηπ ςηπ ςαλάμςχρηπ θεχοώμςαπ θεςικ ςη τξοά ποξπ ςα κάςχ. Η αουικ παοαμόοτχρη ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ βοίρκεςαι από ςη ρσμθκη ιρξοοξπίαπ: F ελξ =w kx 0 = mg, ξπόςε x 0 = mg/k = 0,2m Σςημ ςσυαία θέρη απξμάκοσμρηπ x, ςξ ρώμα ςξσ ρυμαςξπ δέυεςαι ςξ βάοξπ ςξσ w και ςη δύμαμη ςξσ ελαςηοίξσ F ελ. Ο θεμελιώδηπ μόμξπ ςξσ Newton θα ΘΦΜ γοατεί με ςη μξοτ: F ελ + w = mα F ελ +w = mχ 2 x F ελ = mχ 2 x w ΘΙ Δπειδ η ρςαθεοά επαματξοάπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρώμαςξπ είμαι D = k = mχ 2, η ςελεσςαία ρυέρη γοάτεςαι χπ ενπ: ΤΘ F ελ = kx, δηλαδ : F ελ = 150x 30 (S.I.). Η ρυέρη μάπ δίμει ςημ αλγεβοικ ςιμ ςηπ δύμαμηπ ςξσ ελαςηοίξσ ρε ρσμάοςηρη με ςημ απξμάκοσμρη x. x 0 F ελ0 W x F ελ W vmarousis.blogspot.com Σελίδα 9

21. Κ m 1 m 2 Όςαμ δύξ ρώμαςα πξσ βοίρκξμςαι ρε επατ κάμξσμ κξιμ α.α.ς ςόςε έυξσμ ςημ ίδια κσκλικ ρσυμόςηςα χ = χ 1 = χ 2. Κάθε ρώμα έυει ςημ δικ ςξσ ρςαθεοά ςαλάμςχρηπ D 1 = m 1 χ 2 και D 2 = m 2 χ 2, εμώ για ςξ ρύρςημα ιρυύει D = (m 1 + m 2 ) χ 2. Άοα D = D 1 +D 2 22. x A 1 A 2 t Όςαμ μαπ δίμξσμ γοατικέπ παοαρςάρειπ μπξοξύμε μα βγάλξσμε διάτξοα ρσμπεοάρμαςα. Από ςημ παοαπάμχ γοατικ παοάρςαρη ποξκύπςξσμ ςα ενπ: A 1 = 2A 2 T 1 = 2T 2 Δπειδ ιρυύει ποξκύπςει όςι χ 2 = 2χ 1 Για ςιπ ςαυύςηςεπ ςαλάμςχρηπ ιρυύει: Για ςιπ επιςαυύμρειπ ιρυύει: = Η αουικ τάρη ςηπ ςαλάμςχρηπ με ςξ μεγαλύςεοξ πλάςξπ είμαι: εμώ ςηπ ςαλάμςχρηπ με ςξ μικοόςεοξ πλάςξπ είμαι : 23. Κοξύρη και ςαλάμςωρη Σε όλα ςα είδη ςχμ κοξύρεχμ ( ελαρςικέπ και αμελαρςικέπ ) ιρυύει η αου διαςοηρη ςηπ ξομπ ( Α.Δ.Ο). vmarousis.blogspot.com Σελίδα 10

Σε μια μεςχπικ κοξύρη εταομόζξμε ςημ Α.Δ.Ο ατξύ ποώςα ξοίρξσμε ςημ θεςικ τξοά. (+) σ 1 σ 2 σ 1 σ 2 m 1 m 2 m 1 m 2 ποιμ ςημ κοξύρη μεςά ςημ κοξύρη με βάρη ςη θεςικ τξοά πξσ ξοίραμε : Σε μια κεμςοικ πλαρςικ κοξύρη όςαμ εταομόζξσμε ςημ Α.Δ.Ο έυξσμε: (+) σ 1 σ 2 σ κ m 1 m 2 ποιμ ςημ κοξύρη μεςά ςημ κοξύρη Σε πλάγια πλαρςικ κοξύρη όςαμ εταομόζξσμε ςημ Α.Δ.Ο έυξσμε: m 1 τ σ 2 (+) σ κ σ 1 m 2 ποιμ ςημ κοξύρη μεςά ςημ κοξύρη vmarousis.blogspot.com Σελίδα 11

Πλαρςικ κοξύρη με ξοιζόμςιξ ελαςοιξ σ 1 σ κ σ 2 (+) Η Θ.Φ.Μ είμαι και Θ.Ι και δεμ αλλάζξσμ ποιμ και μεςά ςημ κοξύρη. H πλαρςικ κοξύρη έυει ραμ απξςέλερμα ςημ αλλαγ ςηπ ςαυύςηςαπ ςαλάμςχρηπ και σπξλξγίζεςε αμ εταομόζξσμε ςημ Α.Δ.Ο : Θ.Φ.Μ & Θ.Ι Η πλαρςικ κοξύρη έυει ραμ απξςέλερμα ςημ αλλαγ ςξσ πλάςξσπ ςηπ ςαλάμςχρηπ πξσ σπξλξγίζεςε εταομόζξμςαπ ςημ Α.Δ.Δ για ςημ μέα ςαλάμςχρη. Η πεοίξδξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ m 1 ποιμ ςημ κοξύρη είμαι Η πεοίξδξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ μεςά ςημ κοξύρη είμαι Πλαρςικ κοξύρη με καςακόοστξ ελαςοιξ. ( Ι ) ( ΙΙ ) ( ΙΙΙ ) ( ΙV ) Θ.Φ.Μ Δl Μ σ κ x Αρχικ Θ.Ι Τελικ Θ.Ι m σ Αλλάζει η Θ.Ι λόγχ αύνηρηπ ςξσ βάοξσπ. Σςξ παοαπάμχ ρυμα ρςημ Αουικ Θ.Ι ( ρυ. ΙΙ ) ιρυύει: ΣF= 0 Μg = k Δl Σςημ Τελικ Θ.Ι ιρυύει: ΣF = 0 (Μ+m)g = k(δl+x) Αλλάζει ςξ πλάςξπ ςηπ αουικπ ςαλάμςχρηπ και η πεοίξδξπ ςηπ μέαπ ςαλάμςχρηπ. vmarousis.blogspot.com Σελίδα 12

24. Η κίμηρη εμόπ ρώμαςξπ πξσ βοίρκεςαι πάμχ ρε ςαλαμςξύμεμη βάρη (Χάριμξ επατπ) Όςαμ έμα ρώμα μάζαπ m 1 εκςελεί Α.Α.Τ. ρςηοιζόμεμξ πάμχ ρε μια επίρηπ ςαλαμςξύμεμη βάρη μάζαπ m 2 και ζηςείςαι μα ποξρδιξοιρςεί κάπξιξ μέγεθξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ, ώρςε μα υάμεςαι μα μη υάμεςαι η επατ ςξσπ, ςόςε : α) Συεδιάζξσμε ςξ ρύρςημα ρε μια ςσυαία θέρη ςξσ, ρςξ θεςικό ημιάνξμα. β) Σημειώμξσμε ςιπ δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςξ ρώμα m 1. γ) Γοάτξσμε για ςξ ρώμα ςη ρσμθκη ςηπ Α.Α.Τ. : F επ = -D 1 x F επ = - m 1 χ 2 x (1) Όςαμ η ςαλάμςχρη ςξσ ρσρςμαςξπ γίμεςαι ρε καςακόοστη διεύθσμρη, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυμα, ςόςε η ρυέρη (1) γίμεςαι: F επ = m 1 χ 2 x Ν m 1 g = m 1 χ 2 x m1 N +Α N = m 1 (g χ 2 x) (2) Για x = Α η (2) γίμεςαι: m1g x Ν max = m 1 (g + χ 2 Α) μέγιρςη ςιμ ςηπ δύμαμηπ Ν. g ΘΙ Για x = + Α η (2) γίμεςαι: Ν min = m 1 (g ω 2 Α) (3) ελάυιρςη ςιμ ςηπ δύμαμηπ Ν. Όςαμ ζηςείςαι μα μη υάμεςαι (ξοιακά) η επατ μεςανύ ςχμ δύξ ρχμάςχμ, ςόςε παίομξσμε ςη ρσμθκη: Ν min 0 m2 λόγχ ςηπ (3), m 1 (g χ 2 Α) 0 g ω 2 Α και έςρι σπξλξγίζξσμε ςημ ξοιακ ςιμ κάπξιξσ από ςα μεγέθη ω, Τ, f Α πξσ πεοιέυξμςαι ρςη ρυέρη ασς. 25. Ρσθμξί μεςαβξλπ ρςημ ΑΑΤ α) Ρσθμόπ μεςαβξλπ ςηπ ςαυύςηςαπ: όπξσ α η ρςιγμιαία επιςάυσμρη ςξσ ρώμαςξπ. β) Ρσθμόπ μεςαβξλπ ςηπ ξομπ: όπξσ ΣF η δύμαμη επαματξοάπ. γ) Ρσθμόπ μεςαβξλπ ςηπ κιμηςικπ εμέογειαπ ιρυύπ ςηπ ρσμιρςαμέμηπ δύμαμηπ: δ) Ρσθμόπ μεςαβξλπ ςηπ δσμαμικπ εμέογειαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ: άοα vmarousis.blogspot.com Σελίδα 13

ΗΛΔΚΤΡΙΚΔΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΔΙΣ 1. Έμαπ πσκμχςπ διαοοέεςαι από οεύμα μόμξ για όρξ υοξμικό διάρςημα τξοςίζεςαι εκτξοςίζεςαι. Αμ ςξ κύκλχμα βοίρκεςαι ρε ρςαθεο καςάρςαρη ξ πσκμχςπ δεμ επιςοέπει ςξμ κλάδξ πξσ βοίρκεςαι μα διαοοέεςαι από οεύμα, δηλαδ λειςξσογεί ραμ αμξικςόπ διακόπςηπ. 2. Έμα ιδαμικό πημίξ ( δηλαδ πημίξ υχοίπ χμικ αμςίρςαρη ) εμταμίζει ςάρη ρςα άκοα ςξσ μόμξ όρξ υοξμικό διάρςημα διαοοέεςαι από οεύμα πξσ μεςαβάλλεςαι. Όςαμ ςξ πημίξ διαοοέεςαι από οεύμα ρςαθεοπ έμςαρηπ έυει μηδεμικ ςάρη ρςα άκοα ςξσ. 3. Χοξμικέπ ενιρώρειπ τξοςίξσ έμςαρηπ. Α) (2) (1) (2) (1) i L L C ++++++ -------- Q E,r L i C ++++ ----- Q E,r Σςξ παοαπάμχ κύκλχμα ξ μεςαγχγόπ αουικά ςη υοξμικ ρςιγμ t= 0 βοίρκεςαι ρςη θέρη (1). Η ςάρη ςξσ πσκμχς είμαι V max = E, ςξ τξοςίξ ςξσ μέγιρςξ ίρξ με Q και όπχπ είπαμε ςξ κύκλχμα δεμ διαοοέεςαι από οεύμα. Ακαοιαία ξ μεςαγχγόπ μεςατέοεςαι ρςη θέρη (2) ξπόςε αουίζει ξ πσκμχςπ μα εκτξοςίζεςαι μέρχ ςξσ πημίξσ και νεκιμά η ηλεκςοικ ςαλάμςχρη με αουικέπ ςιμέπ για ςξ τξοςίξ και ςξ οεύμα q= Q και i = 0 αμςίρςξιυα. Για ςημ ςαλάμςχρη ασς ιρυύξσμ ξι υοξμικέπ ενιρώρειπ q = Qρσμ(ωt) για ςξ τξοςίξ και I = Iημ(ωt) για ςξ οεύμα. Όπξσ Ι = ωq Β) L Ι C Ι Ι Ι E,r L i i C _ i + + + i E,r vmarousis.blogspot.com Σελίδα 14

Σςξ παοαπάμχ κύκλχμα όρξ ξ διακόπςηπ είμαι κλειρςόπ ςξ κύκλχμα διαοοέεςαι από ρςαθεοό οεύμα. Δπειδ ςξ οεύμα είμαι ρςαθεοό η ςάρη ςξσ πημίξσ είμαι μηδέμ άοα και ςξσ πσκμχς. Δπξμέμχπ ξ πσκμχςπ είμαι ατόοςιρςξπ. Μόλιπ αμξίνξσμε ςξμ διακόπςη ςξ οεύμα ρςξ πημίξ μειώμεςαι αλλά λόγχ ασςεπαγχγπ δεμ μηδεμίζεςαι ακαοιαία με απξςέλερμα μα τξοςίζει ςξμ πσκμχς. Με βάρη ςη τξοά ςξσ οεύμαςξπ θεςικά τξοςίζεςαι ξ κάςχ ξπλιρμόπ. Η Ηλεκςοικ ςαλάμςχρη ασς θεχοείςαι ηλεκςοικ ςαλάμςχρη με αουικ τάρη ρε ρυέρη με ςημ πεοίπςχρη (Α) γιαςί: Για t = 0,I = +I, q = 0 I = -I ημ(χt+τ ξ ) I = -I ημτ ξ ημτ ξ = -1 ημτ ξ = ημ τ ξ = rad Δπξμέμχπ ξι ενιρώρειπ για ςξ τξοςίξ και ςξ οεύμα είμαι: και ) Αουικ τάρη έυξσμε και ρςημ πεοίπςχρη πξσ ςη ρςιγμ t=0 έυει τξοςίξ ξ πσκμχςπ και ρσγυοόμχπ διαοοέεςαι ςξ πημίξ από οεύμα, ξπόςε ιρυύξσμ ξι ενιρώρειπ: και ΠΡΟΣΟΧΗ: Αμ καςά ςημ διάοκεια μιαπ λύρηπ ποξκύπςει θεςικό τξοςίξ ασςό ρημαίμει όςι εκείμη ςη ρςιγμ είμαι θεςικά τξοςιρμέμξπ ξ ξπλιρμόπ ςξσ πσκμχς πξσ ςη ρςιγμ t=0 είυε θεςικό τξοςίξ. Η έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ θεχοείςαι θεςικ αμ ςξ οεύμα έυει τξοά ποξπ ςξμ ξπλιρμό πξσ ςη ρςιγμ t = 0 ςαμ θεςικά τξοςιρμέμξπ. Ρεύμα πξσ η έμςαρη ςξσ ασνάμεςαι κας απόλσςη ςιμ, καςεσθύμεςαι ποξπ ςξμ αομηςικό ξπλιρμό ςξσ πσκμχς εμώ οεύμα πξσ η έμςαρ ςξσ μειώμεςαι κας απόλσςη ςιμ καςεσθύμεςαι ποξπ ςξμ θεςικό ξπλιρμό ςξσ πσκμχς. Δπειδ ςξ πημίξ ρε κύκλχμα LC είμαι ιδαμικό και έυει κξιμά άκοα με ςξμ πσκμχς, η Η.Δ.Δ από ασςεπαγχγ πξσ αμαπςύρρεςαι ρςξ πημίξ είμαι ίρη κάθε ρςιγμ με ςημ ςάρη ρςα άκοα ςξσ πσκμχς. 4. Μπξοξύμε μα βοξύμε μια ρυέρη πξσ ρσμδέει ςα μεγέθη q,i,q,i,χ εταομόζξμςαπ ςημ Α.Δ.Δ. Ταλάμςχρηπ. Από ςη ρυέρη (1) Με αμάλξγη διαδικαρία ποξκύπςει: 5. Πχπ σπξλξγίζξσμε για πξια ςιμ ςξσ τξοςίξσ q πξιεπ υοξμικέπ ρςιγμέπ ιρυύει μια ρυέρη μεςανύ ςηπ εμέογειαπ ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ ςξσ πσκμχς U E και ςηπ εμέογειαπ ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ ςξσ πημίξσ U B. πυ για πξια ςιμ ςξσ τξοςίξσ ςξσ πσκμχς ιρυύει U E = 3U B (1) αμ είμαι γμχρςό ςξ μέγιρςξ τξοςίξ Q ςξσ πσκμχς. Δταομόζξμςαπ ςημ Α.Δ.Δ ςηπ ςαλάμςχρηπ έυξσμε: vmarousis.blogspot.com Σελίδα 15

(2) Αμ θέλξσμε μα βοξύμε ςιπ υοξμικέπ ρςιγμέπ πξσ ιρυύει η ρυέρη (2) ςόςε υοηριμξπξιξύμε ςη ρυέρη q= Q ρσμ(ωt) η ξπξία ρε ρσμδσαρμό με ςη ρυέρη (2) γοάτεςαι: Οπότε προκύπτουν οι λύςεισ:, οπότε προκύπτουν οι λύςεισ:, ΠΡΟΣΟΧΗ: Αμ ζηςείςαι ςξ τξοςίξ ςξσ πσκμχς η έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ κάπξια υοξμικ ρςιγμ ςόςε: αμ δίμεςαι η υοξμικ ρςιγμ, υοηριμξπξιξύμε ςιπ υοξμικέπ ενιρώρειπ αμ δεμ ποξρδιξοίζεςαι η υοξμικ ρςιγμ, υοηριμξπξιξύμε ρσμθχπ ςημ αου διαςοηρηπ ςηπ εμέογειαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ. 6. Η υοξμικ διάοκεια μεςανύ δύξ διαδξυικώμ μεγιρςξπξιρεχμ μηδεμιρμώμ ςηπ εμέογειαπ ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ ςξσ πσκμχς ςηπ εμέογειαπ ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ ςξσ πημίξσ ιρξύςαι με. 7. Ρσθμξί μεςαβξλπ α) Ρσθμόπ μεςαβξλπ ςξσ τξοςίξσ: β) Ρσθμόπ μεςαβξλπ ςηπ ςάρηπ: γ) Ρσθμόπ μεςαβξλπ ςηπ εμέογειαπ ςξσ ηλεκςοικξύ και ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ ςξσ πσκμχς: U E + U B = ρςαθ. όμχπ άοα λόγχ ςηπ (1) δ) Ρσθμόπ μεςαβξλπ ςηπ έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ: V L = V C όμχπ ξπόςε 8. ΠΡΟΣΟΧΗ: Η τξοά ςηπ έμςαρηπ ςξσ ηλεκςοικξύ οεύμαςξπ (i) είμαι η ρσμβαςικ τξοά δηλαδ θεχοξύμε όςι έυξσμε μεςακίμηρη θεςικώμ ηλεκςοικώμ τξοςίχμ. Οπόςε: Αμ η i έυει vmarousis.blogspot.com Σελίδα 16

τξοά από ςξμ θεςικό ξπλιρμό ςξσ πσκμχς ποξπ ςξμ αομηςικό ξπλιρμό ςξσ πσκμχς, ξ πσκμχςπ εκτξοςίζεςαι εμώ ρςημ αμςίθεςη πεοίπςχρη τξοςίζεςαι. (+) (+) L i C L i C (-) (-) εκτόοςιρη τόοςιρη ΦΘΙΝΟΥΣΔΣ ΜΗΧΑΝΙΚΔΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΔΙΣ Φθίμξσρεπ ςαλαμςώρειπ ξμξμάζξμςαι ξι ςαλαμςώρειπ ρςιπ ξπξίεπ, λόγχ ςχμ ενχςεοικώμ δσμάμεχμ πξσ αμςιςίθεμςαι ρςημ κίμηρη, έυξσμε μείχρη ςηπ εμέογειαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ, ξπόςε μειώμεςαι και ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ και ςελικά μηδεμίζεςαι. Τξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςωρηπ μειώμεςαι εκθεςικά με ςξμ υοόμξ: (1) όπξσ Τξ πηλίκξ ςωμ διαδξυικώμ μέγιρςωμ απξμακούμρεωμ ποξπ ςημ ίδια καςεύθσμρη παοαμέμει ρςαθεοό. Ποξκύπςει από ςημ (1) για t = ΝT και για t = (N+1)T όπξσ Ν = 0, 1, 2, : Η εμέογεια ςηπ ςαλάμςωρηπ μειώμεςαι εκθεςικά με ςξμ υοόμξ: Χοόμξπ σπξδιπλαριαρμξύ ημιζωπ (ς) είμαι ςξ υοξμικό διάρςημα πξσ απαιςείςαι έςρι ώρςε έμα μέγεθξπ πξσ μειώμεςαι εκθεςικά με ςξ υοόμξ μα απξκςρει ςξ μιρό ςηπ αουικπ ςξσ ςιμπ. 1. Σε κάθε τθίμξσρα ςαλάμςχρη με δύμαμη απόρβερηπ ςηπ μξοτπ F = - bσ, ςξ πξρξρςό μείχρηπ ςξσ πλάςξσπ ςηπ ςαλάμςχρηπ και ςξ πξρξρςό μείχρηπ ςηπ εμέογειαπ ςαλάμςχρηπ αμά πεοίξδξ είμαι ρςαθεοό. Έρςχ όςι ςξ πλάςξπ μιαπ τθίμξσραπ ςαλάμςχρηπ μεςά από Ν ςαλαμςώρειπ είμαι Α Ν εμώ μεςά από Ν+1 ςαλαμςώρειπ είμαι Α Ν+1. Τξ πξρξρςό μείχρηπ ςξσ πλάςξσπ είμαι: Από ςημ θεχοία όμχπ γμχοίζξσμε όςι, άοα και ςξ πξρξρςό είμαι ρςαθεοό. vmarousis.blogspot.com Σελίδα 17

Αμάλξγη απόδεινη ιρυύει και για ςημ εμέογεια ατξύ. πυ: Καςά ςη διάοκεια ςηπ ποώςηπ πεοιόδξσ μιαπ τθίμξσραπ ςαλάμςχρηπ ςξ πλάςξπ μειώμεςαι καςά 20%. Αμ είμαι γμχρςό όςι μεςά από 4 πεοιόδξσπ ςξ πλάςξπ είμαι 10cm πόρξ είμαι ςξ πλάςξπ μεςά από 5 πεοιόδξσπ; Απ: Ατξύ ςξ πξρξρςό μείχρηπ ςξσ πλάςξσπ παοαμέμει ρςαθεοό ίρξ με 20% ρημαίμει όςι ςξ μέξ πλάςξπ θα είμαι ίρξ με ςξ 80% ςξσ ποξηγξύμεμξσ άοα Α 5 = 0,8 Α 4 = 0,8 10 = 8cm. 2. Αμ ρε μια τθίμξσρα ςαλάμςχρη ρςημ ξπξία η δύμαμη απόρβερηπ είμαι ςηπ μξοτπ F= -bσ θέλξσμε μα σπξλξγίρξσμε ρε πόρξ υοόμξ ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ γίμεςαι k τξοέπ μικοόςεοξ ςξσ αουικξύ ςόςε υοηριμξπξιξύμε ςη ρυέρη. πυ: Έρςχ όςι ςξ αουικό πλάςξπ μιαπ ςαλάμςχρηπ είμαι Α 0 = 40cm και Λ= 2sec -1. Σε πόρξ υοόμξ ςξ πλάςξπ θα γίμει Α = 10cm; Απ: t= t = 3. Αμ ρε μια τθίμξσρα ςαλάμςχρη ρςημ ξπξία η δύμαμη απόρβερηπ είμαι ςηπ μξοτπ F απ = -bσ γμχοίζξσμε ςξ πλάςξπ Α 1 ςηπ ςαλάμςχρηπ ςη υοξμικ ρςιγμ t 1 και θέλξσμε μα βοξύμε ςξ πλάςξπ Α 2 μια άλλη υοξμικ ρςιγμ t 2 ςόςε για ςη λύρη εκμεςαλλεσόμαρςε ςιπ ιδιόςηςεπ ςχμ λξγαοίθμχμ. πυ: Έρςχ όςι ρε μια τθίμξσρα ςαλάμςχρη ςη υοξμικ ρςιγμ t = 0 ςξ πλάςξπ ςηπ είμαι Α ξ = 25cm. Αμ μεςά από t 1 = 20sec ςξ πλάςξπ ςηπ γίμεςαι Α 1 = 16cm, πόρξ θα είμαι ςξ πλάςξπ ςηπ Α 2 μεςά από t 2 = 30sec από η ρςιγμ πξσ άουιρε η ςαλάμςχρη; Απ: = = = 25 ΠΡΟΣΟΧΗ: Αμ σπάουξσμ αρκρειπ με εοχςρειπ αμάλξγεπ με ςιπ ποξηγξύμεμεπ αλλά αματέοξμςαι ρε εμέογειεπ ακξλξσθξύμε ςιπ εμςελώπ αμάλξγεπ διαδικαρίεπ υοηριμξπξιώμςαπ ςξσπ ςύπξσπ ςηπ εμέογειαπ 4. Σε κάθε τθίμξσρα μηυαμικ ςαλάμςχρη ςξ έογξ ςηπ δύμαμηπ αμςίρςαρηπ δίμεςαι από ςη ρυέρη: 5. ΙΔΙΟΤΗΤΔΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ vmarousis.blogspot.com Σελίδα 18

ΔΞΑΝΑΓΚΑΣΜΔΝΔΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΔΙΣ Δναμαγκαρμέμη ςαλάμςωρη λέγεςαι η ςαλάμςχρη ρςημ ξπξία αρκείςαι πεοιξδικά μια ποόρθεςη μεςαβλης δύμαμη (διεγείοξσρα δύμαμη: F δ ) ξπόςε ςξ πλάςξπ διαςηοείςαι ρςαθεοό. Έςρι για ςη ρσμιρςαμέμη ςχμ δσμάμεχμ πξσ αρκξύμςαι ρςξ ρώμα έυχ: αλγεβοικά 1. H ρσυμόςηςα μιαπ εναμαγκαρμέμηπ ςαλάμςχρηπ είμαι πάμςξςε ίρη με ςη ρσυμόςηςα ςξσ διεγέοςη. Μόμξ όςαμ ςξ ρύρςημα βοίρκεςαι ρε καςάρςαρη ρσμςξμιρμξύ έυει ρσυμόςηςα ςαλάμςχρηπ ίρη με ςημ ιδιξρσυμόςηςα, δηλαδ 2. Όςαμ ασνάμξσμε ςη ρσυμόςηςα ςξσ διεγέοςη και πληριάζξσμε ρςημ καςάρςαρη ρσμςξμιρμξύ ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ασνάμεςαι, εμώ όρξ απξμακοσμόμαρςε από ςη ρσυμόςηςα ρσμςξμιρμξύ ςξ πλάςξπ μειώμεςαι. Για απαμςρξσμε ρςιπ εοχςρειπ πάμςξςε ρυεδιάζξσμε ςξ διπλαμό διάγοαμμα. Παοαςηοξύμε όςι σπάουξσμ δύξ διατξοεςικέ ρσυμόςηςεπ για ςιπ ξπξίεπ ςξ πλάςηπ εναμαγκαρμέμηπ ςαλάμςχρηπ είμαι ςξ ίδιξ. Η ιδιξρσυμόςηςα βοίρκεςαι μεςανύ ασςώμ ςχμ δύξ ρσυμξςςχμ. A o A o1 A o2 f 1 f o f 2 f 3. Οι υοξμικέπ ενιρώρειπ μιαπ εναμαγκαρμέμηπ ςαλάμςχρηπ είμαι ξι ίδιεπ με ασςέπ ςηπ ελεύθεοηπ ςαλάμςχρηπ. x = Αημ(χt + τ ξ ), σ = σ max ρσμ(χt+τ 0 ), α = - α max ημ(χt+τ 0 ), F απ = - b σ = - b χα ρσμ(χt+τ ξ ) ΠΡΟΣΟΧΗ: ρςιπ ποξηγξύμεμεπ ρυέρειπ χ = ω δ =2πf δ, όπξσ f δ η ρσυμόςηςα ςξσ διεγέοςη. Για ςη δσμαμικ εμέογεια ιρυύει: ΠΡΟΣΟΧΗ: ρςημ ποξηγξύμεμη ρυέρη χ = ω ξ = 2πf ξ, όπξσ f ξ η ιδιξρσυμόςηςα ςξσ ςαλαμςχς. Η δσμαμικ εμέογεια εκτοάζει ςξ έογξ ςχμ ρσμςηοηςικώμ δσμάμεχμ άοα ςξ έογξ ςηπ δύμαμηπ επαματξοάπ και όυι ςξ έογξ ςηπ διεγείοξσραπ δύμαμηπ και ςηπ δύμαμηπ απόρβερηπ vmarousis.blogspot.com Σελίδα 19

πξσ δεμ είμαι ρσμςηοηςικέπ. Για ςημ κιμηςικ εμέογεια ιρυύει: 4. Σςημ καςάρςαρη ρσμςξμιρμξύ η δύμαμη διέγεορηπ είμαι κάθε ρςιγμ αμςίθεςη από ςη δύμαμη απόρβερηπ, δηλαδ F δ = F απ δηλαδ καςά ςξμ ρσμςξμιρμό F δ = bσ. Ασςό εμμξξύμε όςαμ λέμε όςι ποξρτέοεςαι εμέογεια καςά ςξμ βέλςιρςξ ςοόπξ. Τόςε ξ οσθμόπ ποξρτεοόμεμηπ εμέογειαπ ιρξύςαι με ςξ οσθμό παοαγωγπ θεομόςηςαπ : Σε ξπξιαδπξςε άλλη ρσυμόςηςα η ρυέρη F δ = από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ, δηλαδ για x = 0. F απ ιρυύει μόμξ όςαμ ςξ ρώμα διέουεςαι 5. Σςιπ εναμαγκαρμέμεπ ςαλαμςώρειπ η μέγιρςη δσμαμικ εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ δεμ είμαι ίρη με ςημ μέγιρςη κιμηςικ παοά μόμξ ρςημ καςάρςαρη ρσμςξμιρμξύ όπξσ χ=χ ξ. Από ςιπ παοαπάμχ ρυέρειπ διαπιρςώμξσμε όςι όςαμ χ>χ ξ ςόςε Κ max >U max. vmarousis.blogspot.com Σελίδα 20

ΣΥΝΘΔΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΔΩΝ 1. Σύμθερη δσξ α.α.ς με ςημ ίδια ρσυμόςηςα x 1 = A 1 ημ(χt) x 2 = A 2 ημ(χt+τ) Η ενίρχρη απξμάκοσμρηπ ςηπ ρύμθερηπ ςχμ δσξ ςαλαμςώρεχμ είμαι: x x 2 A x = Aημ(χt+θ) A 2 θ Όπξσ x 1 τ χt A 1 Ποξρέυξσμε πξια από ςιπ δύξ ςαλαμςώρειπ πξσ ρσμςίθεμςαι έυει ςη μεγαλύςεοη τάρη γιαςί η ρύμθεςη ςαλάμςχρη ποξηγείςαι καςά θ ςηπ ςαλάμςχρηπ με ςη μικοόςεοη τάρη. 2. Οι ρςιγμιαίεπ ςιμέπ απξμάκοσμρηπ, ςαυύςηςαπ και επιςάυσμρηπ ποξρςίθεμςαι αλγεβοικά, δηλαδ: 1 η ςαλάμςχρη 2 η ςαλάμςχρη Σύμθεςη ςαλάμςχρη x 1 x 2 x = x 1 +x 2 σ 1 σ 2 σ = σ 1 +σ 2 α 1 α 2 α = α 1 +α 2 Τα πλάςη ςχμ παοαπάμχ ποξρςίθεμςαι διαμσρμαςικά 1 η ςαλάμςχρη 2 η ςαλάμςχρη Σύμθεςη ςαλάμςχρη Α 1 Α 2 σ ξ1 σ ξ2 α 01 α 02 3. Δμέογεια καςά ςημ ρύμθερη ςαλαμςώρεχμ Η ρςαθεοά επαματξοάπ D δίμεςαι από ςη ρυέρη D = mχ 2 και είμαι ίδια για κάθε ρσμιρςώρα ςαλάμςχρη κα για ςη ρύμθεςη. η ξλικ εμέογεια, αμ ςξ ρώμα εκςελξύρε μόμξ ςξσ ςημ ποώςη ςαλάμςχρη vmarousis.blogspot.com Σελίδα 21

η ξλικ εμέογεια, αμ ςξ ρώμα εκςελξύρε μόμξ ςξσ ςημ δεύςεοη ςαλάμςχρη η ξλικ εμέογεια, ςηπ ρύμθεςηπ ςαλάμςχρηπ. Καςά ςημ ρύμθερη ςαλαμςώρεχμ δεμ ιρυύει γεμικά όςι η ξλικ εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι ίρη με ςξ άθοξιρμα ςχμ εμεογειώμ ςχμ δσξ ςαλαμςώρεχμ. Ασςό ιρυύει για ςξ ρώμα δεμ απξκλειρμέμξ από ςξ πεοιβάλλξμ ςξσ άοα δεμ έυει μόημα μα μιλάμε για ςημ αου διαςοηρηπ ςηπ εμέογειαπ. Έρςχ Δ 1 είμαι η εμέογεια πξσ θα είυε ςξ ρώμα λόγχ ςηπ ποώςηπ ςαλάμςχρηπ και Δ 2 είμαι η εμέογεια πξσ θα είυε ςξ ρώμα λόγχ ςηπ δεύςεοηπ ςαλάμςχρηπ. Αμ ξι δύξ ςαλαμςώρειπ έυξσμ διατξοά τάρηπ τ, ςόςε η ξλικ εμέογεια ςηπ ρύμθεςηπ ςαλάμςχρηπ θα είμαι: (1) Όμχπ (2) και (3) ξπόςε η ρυέρη (1) λόγχ ςηπ (2) και ςηπ (3)γοάτεςαι: Παοαςηοξύμε όςι η εμέογεια ςηπ ρύμθεςηπ ςαλάμςχρηπ εναοςάςαι όυι μόμξ από ημ ξλικ εμέογεια λόγχ ςηπ κάθε ςαλάμςχρηπ, αλλά και από ςημ διατξοά τάρηπ ςχμ δύξ ςαλαμςώρεχμ. Αμ η διατξοά τάρειπ είμαι τ = π/2 τ = 90 ςόςε μόμξ ιρυύει vmarousis.blogspot.com Σελίδα 22

4. Σύμθερη δσξ α.α.ς με διατξοεςικέπ ρσυμόςηςεπ Δνίρχρη 1 ηπ Ταλάμςχρηπ: x 1 = Αημχ 1 t Δνίρχρη 2 ηπ Ταλάμςχρηπ: x 2 = Αημχ 2 t Αου ςηπ Επαλληλίαπ: x = x 1 +x 2 = Αημω 1 t + Αημω 2 t =.... με λίγεπ ποάνειπ παίομξσμε ςελικά ςημ ενίρωρη ςηπ πεοιξδικπ κίμηρηπ. Όςαμ έυξσμε ρύμθερη δύξ α.α.ς πξσ η διατξοά ςχμ ρσυμξςςχμ είμαι αοκεςά μικο ρε ρυέρη με ςξ άθοξιρμά ςξσπ, ποξκύπςξσμ διακοξςμαςα. Έςρι αμ ω 1 ω 2 και από ςημ (1) έυχ όπξσ ςξ με ξμξμάζεςαι διαμξοτωμέμξ πλάςξπ διακοόςημα. Τόςε η ενίρχρη ςηπ ρύμθεςηπ κίμηρηπ γίμεςαι: Από ςη ρυέρη ασς ποξκύπςει όςι: Η πεοίξδξπ ςξσ διακοξςμαςξπ είμαι ξ υοόμξπ μεςανύ δύξ διαδξυικώμ μηδεμιρμώμ ςξσ πλάςξσπ ςηπ ρσμιρςαμέμηπ ςαλάμςχρηπ και βοίρκεςαι από ςη ρυέρη: H πεοίξδξπ ςηπ ρσμιρςαμέμηπ ςαλάμςχρηπ βοίρκεςαι από ςη ρυέρη: 5. O αοιθμόπ Ν ςχμ ςαλαμςώρεχμ πξσ εκςελεί ςξ ρώμα μεςανύ δύξ διαδξυικώμ μηδεμιρμώμ ςξσ πλάςξσπ είμαι: 6. Σε έμα διακοόςημα με ρσυμόςηςα, μπξοξύμε μα ασνρξσμε ςη μικοόςεοη από ςιπ ρσυμόςηςεπ μα μειώρξσμε ςημ μεγαλύςεοη έςρι ώρςε μα μημ αλλάνει η απόλσςη ςιμ ςηπ διατξοάπ ςξσπ με απξςέλερμα μα μημ αλλάνει η ρσυμόςηςα ςξσ διακοξςμαςξπ. vmarousis.blogspot.com Σελίδα 23