1 ο ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο 1, Παράγραφοι 1.1, 1.2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιςτικι είναι ο κλάδοσ των μακθματικϊν που αςχολείται με τθ ςυλλογι, τθν οργάνωςθ, τθν παρουςίαςθ και τθν ανάλυςθ αρικμθτικϊν δεδομζνων ι ποιοτικϊν χαρακτθριςτικϊν, που λαμβάνονται από ζνα ςφνολο αντικειμζνων τα οποία ςυνκζτουν τον υπό μελζτθ πλθκυςμό. Κφριοσ ςτόχοσ τησ Στατιςτικήσ είναι η εξαγωγή ςυμπεραςμάτων για τον πληθυςμό με τη χρήςη και την επεξεργαςία ενόσ μοναδικοφ δείγματοσ, δθλαδι ενόσ μικροφ μζρουσ (υποςυνόλου) του πλθκυςμοφ. Η Περιγραφική Στατιςτική (Descriptive Statistics) είναι το ςφνολο των μεκόδων που χρθςιμοποιοφνται για τθν οργάνωςθ και τθν παρουςίαςθ των δεδομζνων. Εδϊ κα ςυναντιςουμε τουσ ςτατιςτικοφσ πίνακεσ (οργάνωςθ των δεδομζνων) και διάφορουσ τφπουσ γραφθμάτων (παρουςίαςθ των δεδομζνων). Ακόμα, ςτθν Περιγραφικι Στατιςτικι ςυμπεριλαμβάνονται ο υπολογιςμόσ και θ ερμθνεία αρικμθτικϊν μζτρων (δεικτϊν), όπωσ ο αρικμθτικόσ μζςοσ, θ διάμεςοσ, κ.α. Η Επαγωγική Στατιςτική (Inferential Statistics) είναι το ςφνολο των μεκόδων που χρθςιμοποιοφνται για τθν εξαγωγι των ςυμπεραςμάτων και τθ λιψθ αποφάςεων. 1.1 Πληθυςμόσ Δείγμα Πληθυςμόσ (population) μιασ ςτατιςτικισ ζρευνασ είναι το ςφνολο των οντοτιτων που πρόκειται να μελετιςουμε, ωσ προσ ζνα ι περιςςότερα χαρακτθριςτικά του. Ο πλθκυςμόσ μπορεί να είναι ζνα ςφνολο ανκρϊπων (για παράδειγμα το ςφνολο των κατοίκων τθσ Ελλάδασ, το ςφνολο των μεταναςτϊν ςτθν Ελλάδα, το ςφνολο των τουριςτϊν που επιςκζφτθκαν τθ χϊρα μια ςυγκεκριμζνθ χρονιά, κ.λπ.) Μπορεί να είναι ζνα ςφνολο αντικειμζνων (για παράδειγμα, το ςφνολο των ταξί μιασ πόλθσ, το ςφνολο των κινθτϊν τθλεφϊνων που παράγει μια εταιρεία, το ςφνολο των ενοικιαηόμενων για διακοπζσ δωματίων που διακζτει θ χϊρα ι το ςφνολο των μεγάλων ξενοδοχειακϊν μονάδων κ.λπ.) Μπορεί να είναι το ςφνολο των μετριςεων ενόσ φυςικοφ μεγζκουσ (τιμζσ κερμοκραςίασ τον μινα Ιοφλιο), ενόσ οικονομικοφ μεγζκουσ (το Α.Ε.Π. μιασ χϊρασ), κ.α. Τισ περιςςότερεσ φορζσ ο πλθκυςμόσ που πρόκειται να μελετιςουμε είναι πολφ μεγάλοσ. Χρονικοί αλλά και οικονομικοί λόγοι κακιςτοφν τθν απογραφι ολόκλθρου του πλθκυςμοφ ςχεδόν αδφνατθ. Ζτςι, θ ςυλλογι των δεδομζνων περιορίηεται ςτθν καταγραφι ενόσ μικροφ ςχετικά υποςυνόλου που επιλζγεται κατάλλθλα από τον πλθκυςμό. Το υποςφνολο αυτό ονομάηεται δείγμα (sample) τθσ ςτατιςτικισ ζρευνασ. Θα πρζπει εδϊ να αναφζρουμε ότι θ επιλογι του κατάλλθλου δείγματοσ (δειγματοληψία - sampling), αποτελεί το πρϊτο και, φυςικά, κακοριςτικό βιμα για μια ορκι και αξιόπιςτθ ςτατιςτικι ζρευνα. Σε μια δειγματολθψία, οφείλουμε να ακολουκοφμε τουσ κανόνεσ που ορίηονται από τθν Στατιςτικι και να χρθςιμοποιοφμε τισ ενδεδειγμζνεσ μεκόδουσ (τεχνικζσ δειγματολθψίασ) (βλ. παράγραφοσ 1.2 ςυγκζντρωςθ ςτατιςτικϊν ςτοιχείων)
2 1 ο Μάθημα 1.2 Μεταβλητζσ Είδη Μεταβλητϊν Δεδομζνα Μεταβλητή (variable) είναι κάκε χαρακτθριςτικό του πλθκυςμοφ το οποίο διαφοροποιείται από αντικείμενο ςε αντικείμενο, από περιοχι ςε περιοχι ι αλλάηει με το πζραςμα του χρόνου. Το φψοσ, το βάροσ, το χρϊμα των ματιϊν ενόσ εφιβου είναι μεταβλθτζσ του πλθκυςμοφ των εφιβων ςτθν Ελλάδα. Ο αρικμόσ των εργαηομζνων, τα ζςοδα, τα ζξοδα είναι μεταβλθτζσ του πλθκυςμοφ των επιχειριςεων. Συνθκίηουμε να ςυμβολίηουμε τισ μεταβλθτζσ με κεφαλαία γράμματα, όπωσ X, Y, Z. Ποςοτική (quantitative) είναι κάκε μεταβλθτι που μπορεί να μετρθκεί, με τθν κοινι ζννοια του όρου. Ο χρόνοσ (ςε min) που ξοδεφει κακθμερινά ςτο Internet ο φοιτθτισ, θ αξία (ςε ) μιασ μετοχισ, ο αρικμόσ των μελϊν τθσ οικογζνειασ είναι ποςοτικζσ μεταβλθτζσ. Ποιοτική (qualitative) είναι θ μεταβλθτι που καταγράφει κάποιο ποιοτικό (μθ μετριςιμο) χαρακτθριςτικό. Για παράδειγμα, το χρϊμα των ματιϊν ενόσ ατόμου, το επίπεδο μόρφωςθσ, θ οικογενειακι κατάςταςθ, ο τόποσ καταγωγισ είναι ποιοτικζσ μεταβλθτζσ. Τιμή μιασ μεταβλθτισ είναι το αποτζλεςμα που προκφπτει από τθ μζτρθςθ ι τθν καταγραφι τθσ. Οι ποςοτικζσ μεταβλθτζσ παίρνουν ςαν τιμζσ πραγματικοφσ αρικμοφσ και χωρίηονται ςε διακριτζσ (discrete) και ςυνεχείσ (continuous). Διακριτή, είναι θ ποςοτικι μεταβλθτι που παίρνει τισ τιμζσ τθσ από ζνα αρικμιςιμο ςφνολο, δθλαδι ζνα ςφνολο αρικμϊν που μποροφμε να το απαρικμιςουμε ςτοιχείο προσ ςτοιχείο. Για παράδειγμα, το πλικοσ των μακθμάτων που μπορεί να δθλϊςει ο φοιτθτισ ςε ζνα εξάμθνο είναι διακριτι μεταβλθτι που παίρνει τιμζσ από το ςφνολο { }. Το πλικοσ των πελατϊν που καταφκάνουν ςε ζνα ΑΤΜ ςε ζνα χρόνο είναι μία διακριτι μεταβλθτι που παίρνει τιμζσ από το ςφνολο { }. Ο βακμόσ ενόσ φοιτθτι ςτο μάκθμα τθσ Στατιςτικισ είναι διακριτι μεταβλθτι που παίρνει τιμζσ από το ςφνολο { } Συνεχήσ είναι θ ποςοτικι μεταβλθτι που παίρνει τιμζσ ςε ζνα διάςτθμα πραγματικϊν αρικμϊν. Για παράδειγμα, ο χρόνοσ ςε min που ξοδεφει κακθμερινά ςτο Internet ζνασ φοιτθτισ είναι ςυνεχισ μεταβλθτι, που παίρνει τιμζσ ςτο διάςτθμα 15 min 300 min. Θα πρζπει εδϊ να επιςθμάνουμε ότι θ τιμι που καταγράφουμε όταν μετράμε μία ςυνεχι μεταβλθτι είναι, τισ περιςςότερεσ φορζσ, μία προςζγγιςθ τθσ πραγματικισ τιμισ θ οποία εξαρτάται από τθν ακρίβεια του οργάνου μζτρθςθσ. Οι ποιοτικζσ μεταβλθτζσ παίρνουν ςαν τιμζσ τουσ λζξεισ («χαρακτθριςμοφσ» ι «ετικζτεσ») και διακρίνονται ςε ονομαςτικζσ (nominal) και διατακτικζσ (ordinal). Μια ποιοτικι μεταβλθτι είναι ονομαςτική όταν μεταξφ των τιμϊν τθσ δεν υπάρχει ςχζςθ ιεραρχίασ. Για παράδειγμα, το χρϊμα των μαλλιϊν είναι μία ποιοτικι μεταβλθτι που παίρνει τιμζσ από το ςφνολο { ζχει νόθμα να κεωριςουμε κάποια ιεραρχία. } και είναι ονομαςτικι, κακϊσ μεταξφ των χρωμάτων δεν Ο χαρακτθριςμόσ που ακολουκεί τον βακμό του πτυχίου είναι μία ποιοτικι μεταβλθτι που παίρνει τιμζσ από το ςφνολο { ανάμεςα ςτισ κατθγορίεσ υπάρχει ιεραρχία. } και είναι διατακτικι, κακϊσ Μαρίνα Σφρπη
Ειςαγωγή ςτη Στατιςτική 3 Δεδομζνα (data) είναι το ςφνολο των καταγεγραμμζνων τιμϊν μιασ μεταβλθτισ, που λαμβάνονται από τθ δειγματολθψία. Για τισ ποςοτικζσ μεταβλθτζσ, τα δεδομζνα είναι πραγματικοί αρικμοί. Για τισ ποιοτικζσ μεταβλθτζσ τα δεδομζνα είναι «ετικζτεσ». Ζτςι μιλάμε για ποςοτικά ι αριθμητικά δεδομζνα και για ονομαςτικά ι κατηγορικά δεδομζνα. Πολλζσ φορζσ για τθν αποκικευςθ των ονομαςτικϊν δεδομζνων χρθςιμοποιοφμε αρικμοφσ, για παράδειγμα { }, χωρίσ αυτό να ςθμαίνει ότι είναι δυνατι θ εκτζλεςθ αρικμθτικϊν πράξεων μεταξφ των δεδομζνων. 1.3 Παράμετροσ Στατιςτικό Παράμετροσ ενόσ πληθυςμοφ (parameter) είναι κάκε αρικμόσ που ςυνοψίηει κάποιο χαρακτθριςτικό του πλθκυςμοφ. Ο υπολογιςμόσ μιασ παραμζτρου μπορεί να γίνει με τθ χριςθ του κατάλλθλου μακθματικοφ τφπου που υποδεικνφει θ Στατιςτικι. Για παράδειγμα, το μζςο φψοσ των εφιβων ςτθν Ελλάδα είναι μία παράμετροσ του πλθκυςμοφ των Ελλινων εφιβων. Η τιμή μιασ παραμζτρου ςτον πληθυςμό είναι μοναδική. Και για να υπολογιςτεί αυτι θ τιμι, κα πρζπει να γίνει απογραφι ολόκλθρου του πλθκυςμοφ. Κακϊσ αυτό είναι τισ περιςςότερεσ φορζσ αδφνατο, θ τιμι τθσ παραμζτρου ςτον πλθκυςμό παραμζνει άγνωςτθ. Στατιςτικό ή ςτατιςτική ενόσ δείγματοσ (statistic) είναι κάκε αρικμόσ που ςυνοψίηει κάποιο χαρακτθριςτικό του δείγματοσ. Για παράδειγμα, ο αρικμθτικόσ μζςοσ του φψουσ 500 εφιβων που επιλζγονται τυχαία από τον πλθκυςμό των εφιβων ςτθν Ελλάδα, είναι μία παράμετροσ του δείγματοσ. Η τιμι ενόσ ςτατιςτικοφ υπολογίηεται, όπωσ και ςτθν περίπτωςθ τθσ παραμζτρου, από κάποιον τφπο και χρθςιμοποιείται για τθν εκτίμηςη τθσ αντίςτοιχθσ παραμζτρου του πλθκυςμοφ. Η τιμι ενόσ ςτατιςτικοφ μεταβάλλεται από δείγμα ςε δείγμα. Δθλαδι, διαφορετικά δείγματα εφιβων παρμζνα τυχαία από τον πλθκυςμό κα δϊςουν διαφορετικοφσ αρικμθτικοφσ μζςουσ. Ωςτόςο, θ Στατιςτικι μασ εγγυάται ότι καμία από αυτζσ τισ τιμζσ δεν κα είναι απομακρυςμζνθ από τθν αντίςτοιχθ τιμι τθσ παραμζτρου ςτον πλθκυςμό. Με άλλα λόγια, θ τιμι τθσ ςτατιςτικισ ενόσ δείγματοσ είναι πάντα μια βζλτιςτθ εκτίμηςη τθσ πραγματικισ αλλά άγνωςτθσ τιμισ τθσ αντίςτοιχθσ παραμζτρου ςτον πλθκυςμό. Σημειώςεισ Στατιςτικήσ
4 1 ο Μάθημα Παράδειγμα 1 Σε μία ζρευνα για το είδοσ εξοχικισ κατοικίασ των κατοίκων τθσ Θεςςαλονίκθσ, ο πλθκυςμόσ μασ είναι οι κάτοικοι τθσ Θεςςαλονίκθσ που κατζχουν εξοχικι κατοικία. Μεταβλθτζσ που μποροφμε να χρθςιμοποιιςουμε ςτθν ζρευνα είναι οι παρακάτω: Το μζγεκοσ τθσ κατοικίασ ςε m 2, που είναι μία ποςοτικι ςυνεχισ Οι θμζρεσ διαμονισ ανά ζτοσ ςτθν εξοχικι κατοικία, που είναι μία ποςοτικι διακριτι Το είδοσ τθσ κατοικίασ (ςυγκρότθμα ι μονοκατοικία), που είναι μία ποιοτικι ονομαςτικι Η ποιότθτα διαμονισ ςτθν εξοχικι κατοικία (Άριςτθ, Πολφ Καλι, Μζτρια) που είναι μία ονομαςτικι διατακτικι Κατονομάςτε και χαρακτθρίςτε και άλλεσ μεταβλθτζσ που κα ςασ ενδιζφεραν ςε μια τζτοια ζρευνα. Αναφζρετε τουσ λόγουσ για τισ οποίουσ τισ επιλζξατε. Παράδειγμα 2 Το τμιμα Λογιςτικισ διεξάγει ζρευνα για τθν επαγγελματικι αποκατάςταςθ των πτυχιοφχων του, κατά τθν τελευταία πενταετία. Ο πλθκυςμόσ είναι το ςφνολο των φοιτθτϊν που αποφοίτθςαν από το τμιμα τα τελευταία πζντε χρόνια. Μεταβλθτζσ που μποροφμε να χρθςιμοποιιςουμε ςτθν ζρευνα είναι οι παρακάτω: Εργαςία (Ναι ι Όχι) που είναι μία ποιοτικι ονομαςτικι Φφλο (Άνδρασ Γυναίκα) που είναι μια ποιοτικι ονομαςτικι Ειςόδθμα από τθν εργαςία, που είναι μία ποςοτικι ςυνεχισ Συνκικεσ εργαςίασ (Άριςτεσ, Καλζσ, Μζτριεσ, Κακζσ), που είναι μία ποςοτικι διατακτικι Κατονομάςτε και χαρακτθρίςτε και άλλεσ μεταβλθτζσ που κα ςασ ενδιζφεραν ςε μια τζτοια ζρευνα. Αναφζρετε τουσ λόγουσ για τισ οποίουσ τισ επιλζξατε. Μαρίνα Σφρπη
Ειςαγωγή ςτη Στατιςτική 5 Αςκήςεισ 1. Στα παρακάτω, κακορίςτε τον πλθκυςμό και το είδοσ των μεταβλθτϊν που αναφζρονται. ( α ) Ο αρικμόσ των ςυςκευϊν τθλεόραςθσ που υπάρχουν ςε ζνα ςπίτι ςτθν πόλθ τθσ Θεςςαλονίκθσ. ( β ) Ο χρόνοσ εκτφπωςθσ ενόσ αρχείου από τον εκτυπωτι ενόσ φοιτθτι του Τμιματοσ Λογιςτικισ. ( γ ) Η ομάδα αίματοσ των φοιτθτριϊν του ΤΕΙ Θεςςαλονίκθσ. ( δ ) Η ποιότθτα τθσ ςίτιςθσ ςτισ φοιτθτικζσ λζςχεσ των ΑΕΙ ςτθν Ελλάδα 2. Στα παρακάτω, κακορίςτε τον πλθκυςμό και το είδοσ των μεταβλθτϊν. ( α ) Ο βακμόσ του πτυχίου των φοιτθτϊν του Τμιματοσ. ( β ) Το εβδομαδιαίο κλείςιμο τθσ τιμισ μιασ μετοχισ ςτο Χ.Α.Α. ( γ ) Το επίπεδο μόρφωςθσ των εργαηομζνων ςε μια πολυεκνικι εταιρία. ( δ ) Το πλικοσ των κλινϊν ςε ζνα ξενοδοχείο πζντε αςτζρων ςτθν Ελλάδα. 3. Σε μία ζρευνα που ζγινε ςε ζνα εμπορικό κζντρο, καταγράψαμε τα παρακάτω ςτοιχεία. ( α ) Ποιά είναι θ οικογενειακι ςασ κατάςταςθ; ( β ) Πόςεσ φορζσ επιςκεφτικατε το εμπορικό κζντρο το τελευταίο εξάμθνο; ( γ ) Πϊσ χαρακτθρίηετε τθν ποιότθτα των καταςτθμάτων του εμπορικοφ κζντρου; ( δ ) Τί ποςό ξοδζψατε για τισ αγορζσ ςασ; Ποιόσ είναι ο πλθκυςμόσ που μελετά θ ζρευνα; Ποιό το είδοσ των μεταβλθτϊν που αναφζρονται; Κατονομάςτε και χαρακτθρίςτε και άλλεσ μεταβλθτζσ που κα ςασ ενδιζφεραν ςε μια τζτοια ζρευνα. Πείτε τον λόγο για τον οποίο τισ επιλζξατε. 4. Ασ υποκζςουμε ότι κζλετε να ερευνιςετε αν οι πτυχιοφχοι τθσ Σχολισ ςασ πετυχαίνουν καλφτερθ επαγγελματικι αποκατάςταςθ από τουσ πτυχιοφχουσ Σχολϊν με διαφορετικό αντικείμενο. Σχεδιάςτε ζνα ςτατιςτικό πείραμα. Προςδιορίςτε τουσ ςτόχουσ, τον πλθκυςμό, τθσ μεταβλθτζσ, τα ερωτιματα που κα κζλατε να απαντιςετε. 5. Ασ υποκζςουμε ότι κζλετε να ερευνιςετε αν οι πτυχιοφχοι τθσ Σχολισ ςασ πετυχαίνουν καλφτερθ επαγγελματικι αποκατάςταςθ από τουσ πτυχιοφχουσ άλλων Σχολϊν με το ίδιο αντικείμενο. Σχεδιάςτε ζνα ςτατιςτικό πείραμα. Προςδιορίςτε τουσ ςτόχουσ, τον πλθκυςμό, τθσ μεταβλθτζσ, τα ερωτιματα που κα κζλατε να απαντιςετε. Σημειώςεισ Στατιςτικήσ