ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 30/9/08 ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α5 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Α. Το μέτρο της ταχύτητας ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση γίνεται μέγιστο: α. στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης του. β. στις θέσεις, όπου το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος γίνεται μέγιστο. γ. στη θέση, όπου μηδενίζεται η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης. δ. στις θέσεις, όπου η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης γίνεται μέγιστη. Α. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση περιόδου και τη χρονική στιγμή διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. Η κινητική ενέργεια του σώματος μηδενίζεται για δεύτερη φορά μετά τη χρονική στιγμή, τη χρονική στιγμή: α. β. γ. δ. Α3. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους και η μέγιστη δύναμη επαναφοράς που δέχεται κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του είναι ίση με. Τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η δύναμη επαναφοράς που δέχεται το σώμα είναι, η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι: α. β. γ. δ. A4. Σφαίρα μάζας συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα μάζας με. Μετά την κρούση: α. η σφαίρα παραμένει ακίνητη. β. η σφαίρα συνεχίζει να κινείται στην ίδια κατεύθυνση. γ. όλη η κινητική ενέργεια της σφαίρας έχει μεταβιβαστεί στη σφαίρα δ. ισχύει κρούσης., όπου και οι μεταβολές των ορμών των δύο σφαιρών εξαιτίας της A5. Μικρή σφαίρα προσκρούει ελαστικά και πλάγια με ταχύτητα στην επιφάνεια ενός κατακόρυφου τοίχου και ανακλάται με ταχύτητα, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Αν και είναι οι κινητικές ενέργειες της σφαίρας πριν και μετά την κρούση αντίστοιχα, είναι η γωνία πρόσπτωσης και η γωνία ανάκλασης της σφαίρας, τότε ισχύει: α. και. β. και. γ. και. δ. και. Α. γ, Α. δ, Α3. β, Α4. δ, Α5. α. ΘΕΜΑ Β Β. Σώμα μάζας, που κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με σταθερή ταχύτητα μέτρου συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με άλλο ακίνητο σώμα μάζας. Αν θεωρήσουμε ως θετική τη φορά της ταχύτητας του σώματος πριν από την κρούση, τότε η αλγεβρική τιμή της μεταβολής της ορμής τους σώματος εξαιτίας της κρούσης είναι ίση με: α. β. γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Β. Σωστή απάντηση είναι η α. ΠΡΙΝ 0 ( ) ΜΕΤΑ Η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος αμέσως μετά την κρούση υπολογίζεται από τη σχέση: ή. Η αλγεβρική τιμή της μεταβολής της ορμής του σώματος εξαιτίας της κρούσης υπολογίζεται από τη σχέση: ή ή ή.
Β. Δύο σώματα και με ίσες μάζες είναι στερεωμένα στα άκρα δύο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων με σταθερές και αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα σώματα και εκτελούν απλές αρμονικές ταλαντώσεις με ολικές ενέργειες και αντίστοιχα. k k Η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά το σώμα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του και η αντίστοιχη μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά το σώμα ικανοποιούν τη σχέση: α. β. γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Β. Σωστή απάντηση είναι η γ. Έστω και τα πλάτη των ταλαντώσεων των σωμάτων και αντίστοιχα. Ισχύει: ή ή ή () Το πηλίκο των μέγιστων επιταχύνσεων που αποκτούν τα σώματα και κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής τους υπολογίζεται από τη σχέση: ή ή ή ή ή B3. Δύο σώματα και με μάζες και αντίστοιχα, που κινούνται στην ίδια ευθεία πάνω σε οριζόντιο δάπεδο, συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά. Οι ταχύτητες των σωμάτων και ελάχιστα πριν από την κρούση έχουν αντίθετη φορά και μέτρα και αντίστοιχα. Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται από την κρούση, ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο και, αφού διανύσει κάποιο διάστημα σταματά. Αν η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρηθεί αμελητέα, τότε η θερμότητα που εκλύεται λόγω της πλαστικής κρούσης και η θερμότητα που εκλύεται λόγω της τριβής ολίσθησης που δέχεται το συσσωμάτωμα κατά την κίνησή του από τη χρονική στιγμή της κρούσης μέχρι τη χρονική στιγμή που σταματά, ικανοποιούν τη σχέση: α. β. γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες Μονάδες 7 3
B3. Σωστή απάντηση είναι η α. ΠΡΙΝ ΜΕΤΑ ( ) 0 m m m m () s w ( ) Έστω το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. Ισχύει: ή ή ή ή Το ποσό θερμότητας που εκλύεται λόγω της πλαστικής κρούσης υπολογίζεται από τη σχέση: ή ή ή. Αν εφαρμόσουμε το θεώρημα έργου ενέργειας για τη κίνηση του συσσωματώματος από τη θέση (Α) αμέσως μετά την κρούση μέχρι τη θέση (Γ) στην οποία σταματά, έχουμε: ή ή. Η θερμότητα που παράγεται λόγω της τριβής κατά την κίνηση του συσσωματώματος από τη θέση (Α) στη θέση (Γ) είναι: ή () Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων () και () προκύπτει ότι: ή. ΘΕΜΑ Γ Ένα κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς έχει το πάνω άκρο του στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο και βρίσκεται στη θέση φυσικού μήκους. Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου και ενώ αυτό βρίσκεται στη θέση φυσικού μήκους, στερεώνεται σώμα μάζας. Από τη θέση αυτή το σώμα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί τη χρονική στιγμή. m Θέση φυσικού μήκους 4
Γ. Να αποδείξετε ότι η κίνηση του σώματος είναι απλή αρμονική ταλάντωση. Γ. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του, θεωρώντας ως θετική φορά τη φορά προς τα πάνω. Γ3. Να υπολογίσετε το πηλίκο της μέγιστης τιμής του μέτρου της δύναμης επαναφοράς προς τη μέγιστη τιμή του μέτρου της δύναμης του ελατηρίου, που δέχεται το σώμα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του. Μονάδες 4 Γ4. Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου γίνεται μέγιστη για δεύτερη φορά μετά τη χρονική στιγμή. Μονάδες 3 Γ5. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας και το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος τις χρονικές στιγμές, κατά τις οποίες η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου γίνεται ίση με. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας. Η αντίσταση του αέρα να θεωρηθεί αμελητέα. Γ.... l F w x w t 0 0 F Έστω η επιμήκυνση του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας του σώματος. Από τη συνθήκη ισορροπίας έχουμε: ή ή () Στη τυχαία θέση με απομάκρυνση από τη Θ.Ι., που φαίνεται στο σχήμα έχουμε: ή ή, ή λόγω της σχέσης ():. 5
Συνεπώς το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς. Γ. Το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος είναι. Από τη σχέση () προκύπτει ότι: ή. Συνεπώς είναι Η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από τη σχέση: () Για η απομάκρυνση του σώματος από τη Θ.Ι. του είναι:. Με αντικατάσταση των τιμών στη σχέση () προκύπτει: ή (3) Επειδή ισχύει:, από τη σχέση (3) προκύπτει ότι. Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση: ή. Επομένως η σχέση () γράφεται: ( ) (S.I.) Γ3. Το ζητούμενο πηλίκο υπολογίζεται από τη σχέση: ή ή. Γ4. Η περίοδος της ταλάντωσης του σώματος υπολογίζεται από τη σχέση: ή. Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου γίνεται μέγιστη στη κάτω ακραία θέση της ταλάντωσης του σώματος. Η χρονική στιγμή κατά την οποία η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου γίνεται μέγιστη για δεύτερη φορά μετά τη χρονική στιγμή είναι: ή. Γ5. Έστω η επιμήκυνση του ελατηρίου τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι. Ισχύει ότι: ή ή... l x l Όπως φαίνεται από το σχήμα η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του στη θέση αυτή είναι ή. Το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος είναι: ή. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος υπολογίζεται από την αρχή διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης: ή ή. 6
ΘΕΜΑ Δ Σώμα μάζας, εκτοξεύεται τη χρονική στιγμή από σημείο Α οριζόντιου δαπέδου, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής, με οριζόντια ταχύτητα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σώμα αφού διανύσει απόσταση συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με άλλο σώμα μάζας, το οποίο αρχικά ισορροπεί δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου αβαρούς νήματος μήκους, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο Ο. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος αμέσως μετά την κρούση είναι Το σώμα μετά την κρούση επιστρέφει και σταματά στην αρχική του θέση Α. 0 () s Δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος αμέσως μετά την κρούση. Δ. Να υπολογίσετε τη μάζα του σώματος. Μονάδες 4 Δ3. Να υπολογίσετε το επί τοις εκατό ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος στη θέση Α, που μεταβιβάστηκε στο σώμα κατά την κρούση. Δ4. Να εξετάσετε αν το σώμα μετά την κρούση θα εκτελέσει ανακύκλωση. Δ5. Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή κατά την οποία διέρχεται από τη θέση, όπου το νήμα γίνεται για πρώτη φορά οριζόντιο μετά την κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας κρούσης να θεωρηθούν αμελητέες.. Οι διαστάσεις των σωμάτων και η χρονική διάρκεια της 7
Δ. 0 () s ( ) w 0 () ( ) w Έστω η ταχύτητα του σώματος αμέσως μετά την κρούση. Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου για την κίνηση του σώματος από τη θέση (Γ) αμέσως μετά την κρούση μέχρι τη θέση (Α) στην οποία σταματά. Ισχύει: ή ή ή. Δ. Οι αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων και των σωμάτων και αντίστοιχα αμέσως μετά την κρούση δίνονται από τις σχέσεις: () και (). Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων () και () προκύπτει: ή ή ή. Δ3. Από τη σχέση () προκύπτει: ή ή ή ή. Από την εφαρμογή του θεωρήματος έργου ενέργειας για την κίνηση του σώματος θέση (Α) στη θέση (Γ), πριν από την κρούση, έχουμε: ή από τη ή ή. Το ζητούμενο ποσοστό υπολογίζεται από τη σχέση: ή. 8
Δ4. 3 w () l 0 U ( ) Α ΤΡΟΠΟΣ Έστω ότι το σώμα μετά την κρούση φτάνει στο ανώτατο σημείο (Δ) τροχιάς του που φαίνεται στο σχήμα, με ταχύτητα. Με εφαρμογή της αρχής διατήρησης της μηχανικής ενέργειας κατά την κίνηση του σώματος από τη θέση (Γ) στη θέση (Δ), θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο (Γ), έχουμε: ή ή ή. Για να εκτελέσει ανακύκλωση το σώμα θα πρέπει το μέτρο της τάσης του νήματος που δέχεται στο ανώτατο σημείο (Δ) της τροχιάς του να ικανοποιεί τη σχέση: (3). Το μέτρο της τάσης του νήματος στο σημείο (Δ) υπολογίζεται από τη σχέση: ή ή ανακύκλωση. (4) ή. Συνεπώς σύμφωνα με τη σχέση (3) το σώμα εκτελεί Β ΤΡΟΠΟΣ Από τις σχέσεις (3) και (4) προκύπτει ότι: ή (5). Συνεπώς από τη σχέση (5) προκύπτει ότι η ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει το σώμα στη θέση (Δ) για να εκτελέσει ανακύκλωση είναι: ή. Από την αρχή διατήρηση της μηχανικής ενέργειας για την κίνηση του σώματος μεταξύ των θέσεων (Γ) και (Δ) μετά την κρούση, θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο (Γ) έχουμε: Αφού, το σώμα εκτελεί ανακύκλωση. ή ή ή. 9
Δ5. Έστω το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη χρονική στιγμή που διέρχεται από τη θέση Ζ όπου το νήμα γίνεται για πρώτη φορά οριζόντιο. () w 0 U ( ) Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας μεταξύ των θέσεων (Γ) και (Ζ) έχουμε: ή ή ή. Το μέτρο της τάσης του νήματος που δέχεται το σώμα στη θέση (Ζ) υπολογίζεται από τη σχέση: ή ή. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος στη θέση (Ζ) υπολογίζεται από τη σχέση: ή. 0