Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του R 3, ώστε για κάθε σημείο του να υπάρχει ένα ανοικτό υποσύνολο, το οποίο να είναι ομοιομορφικό με ένα ανοικτό υποσύνολο του R 2. Με τη δεύτερη προσέγγιση μια επιφάνεια (ή καλύτερα τμήμα επιφάνειας) ορίζεται ως εικόνα μιας απεικόνισης από ένα ανοικτό υποσύνολο του επιπέδου στον R 3, η οποία και αυτή ικανοποιεί συγκεκριμένες ιδιότητες. Η δεύτερη προσέγγιση είναι γενίκευση της περιγραφής των καμπυλών στον R 3. Αν και είναι χρήσιμη στην περιγραφή τοπικών ιδιοτήτων μιας επιφάνειας, έχει παρόλα αυτά περιορισμένη χρησιμότητα για πιο δύσκολα προβλήματα. Για τον λόγο αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε και τον εναλλακτικό ορισμό μιας επιφάνειας ως ένα υποσύνολο του Ευκλείδειου χώρου R 3 το οποίο τοπικά να μοιάζει με ένα ανοικτό υποσύνολο του επιπέδου. Για περισσότερες πληροφορίες προτείνουμε τα βιβλία [1], [2], [3], [4], [5], [6]. Προαπαιτούμενη γνώση Αναλυτική Γεωμετρία, Απειροστικός Λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Ενα μη κενό συνεκτικό υποσύνολο M του R 3 ονομάζεται κανονική επιφάνεια (regular surface) (ή τοπικά εμφυτευμένη (embedded) επιφάνεια) εάν για κάθε p M υπάρχουν ανοικτές περιοχές V R 3, U R 2 με p V και μια 1-1 απεικόνιση X : U R 2 V M R 3, X = X(u, v) τέτοια ώστε 1. Η X να είναι ομοιομορφισμός 2. Να είναι X u (q) X v (q) 0 για κάθε q U. Η απεικόνιση X ονομάζεται τοπική παραμέτρηση (local parametrization) της M και η δυάδα (V M, X 1 ), όπου X 1 : V M U, ονομάζεται τοπικός χάρτης (local chart) ή τοπικό σύστημα συντεταγμένων της M στο σημείο p = X(q). Παρατηρήσεις 1. Η απεικόνιση X ως προς ένα σύστημα συντεταγμένων O xyz του R 3 έχει τη μορφή X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), όπου x, y, z : U R 2 R είναι πραγματικές διαφορίσιμες απεικονίσεις, των u, v U.
2 Κανονικές επιφάνειες Κατόπιν αυτού, η συνθήκη 2 ισοδυναμεί με το ότι τα διανύσματα X u (q) = ( x u (q), y u (q), z u (q) ), X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Ισοδύναμα, το διαφορικό dx q : R 2 R 3 είναι 1-1, δηλαδή η τάξη του πίνακα είναι 2. 2. Η συλλογή A = M, εάν ( x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) { (Vα M, Xα 1 ) } : α I από τοπικούς χάρτες της M ονομάζεται άτλαντας της M = α I ( Vα M ) ) Εάν π i : R 3 R, (i = 1, 2) είναι οι κανονικές προβολές, τότε προκύπτει το παρακάτω διάγραμμα: Τότε η συνθήκη 2 ισοδυναμεί με το ότι Σχήμα 2.1: Τοπικό σύστημα συντεταγμένων. det X 1 u (q) X 1 v (q) X 2 u (q) X 2 v (q) Παράδειγμα 2.1. Το επίπεδο Π = {(x, y, z) R 3 0. : Ax + By + Γz + = 0} είναι μια κανονική επεφάνεια η οποία καλύπτεται με έναν μόνο χάρτη. Πράγματι, γνωρίζουμε ότι, για να ορίζεται ένα επίπεδο, θα πρέπει ένα τουλάχιστον από τα A, B, Γ να είναι διάφορο του μηδενός. Οπότε χωρίς βλάβη της γενικότητας
Κανονικές επιφάνειες 3 υποθέτουμε ότι Γ 0, άρα z = Θεωρούμε τώρα την απεικόνιση Ax By. Θέτουμε x = u, y = v, συνεπώς είναι z = z(u, v). Γ X : R 2 Π R 3 (u, v) X(u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) ) ( Au Bv ) = u, v,. Γ Προφανώς η X είναι 1-1, επί και συνεχής, οπότε υπάρχει η αντίστροφη X 1 : Π R 3 R 2, X 1 (x, y, z) = (x, y), η οποία είναι συνεχής, επομένως η απεικόνιση X είναι ομοιομορφισμός. Επίσης η X είναι διαφορίσιμη (διότι υπάρχουν και είναι συνεχείς όλες οι μερικές παράγωγοι των απεικονίσεων x, y, z : R 2 R). Τέλος, θα δείξουμε ότι X u (q) X v (q) 0 για κάθε q = (u, v) R 2. Είναι X u = (1, 0, A Γ ) και X v = (0, 1, B Γ ), οπότε e 1 e 2 e 3 X u X v = 1 0 A Γ = ( A 0 1 B Γ, B Γ, 1) Γ απ όπου παίρνουμε ότι X u X v = 0, άρα X u X v (0, 0, 0). Επομένως, σύμφωνα με τον Ορισμό 2.1, το επίπεδο Π είναι μια κανονική επιφάνεια η οποία καλύπτεται από έναν μόνο χάρτη (Π, X 1 ), όπου X 1 : Π R 3 R 2. Παράδειγμα 2.2. Εστω U ανοικτό υποσύνολο του R 2 και f : U R μια διαφορίσιμη συνάρτηση. Τότε η απεικόνιση X : U M με τιμή αποτελεί μια τοπική παραμέτρηση του γραφήματος X(u, v) = ( u, v, f(u, v) ) M = { (u, v, f(u, v)) : (u, v) U } της f. Ο αντίστοιχος τοπικός χάρτης (M, X 1 ) όπου X 1 : M U είναι X 1 (x, y, z) = (x, y). Συνεπώς το σύνολο M είναι μια κανονική επιφάνεια. Στο παραπάνω παράδειγμα το σύνολο M είναι το γράφημα της απεικόνισης f : R 2 R με f(x, y) = z. Ανάλογα, το γράφημα μιας απεικόνισης g : R 2 R με g(x, z) = y είναι το σύνολο {(u, g(u, v), v) : (u, v) R 2 } με παραμέτρηση Y (u, v) = (u, g(u, v), v), ενώ το γράφημα της απεικόνισης h : R 2 R με h(y, z) = x είναι το σύνολο {(h(u, v), u, v) : (u, v) R 2 } με παραμέτρηση W (u, v) = (h(u, v), u, v). Οι πραμετρήσεις αυτής της μορφής καλούνται παραμετρήσεις τύπου Monge. Εύκολα βλέπουμε ότι η παραμέτρηση του επιπέδου στο Παράδειγμα 2.1 είναι παραμέτρηση τύπου Monge. Παράδειγμα 2.3. Εστω S 2 = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1 } η μοναδιαία σφαίρα του R 3. Εστω N = (0, 0, 1), S = (0, 0, 1) ο βόρειος και ο νότιος πόλος αντίστοιχα. Θέτουμε U N = S 2 \ {N}, U S = S 2 \ {S} και ορίζουμε τις απεικονίσεις X N : U N R 2, X S : U S R 2 (στερεογραφικές προβολές) ως X N (x, y, z) = 1 (x, y), 1 z X S (x, y, z) = 1 (x, y). 1 + z
4 Κανονικές επιφάνειες Τότε το σύνολο A = { (U N, X N ), (U S, X S ) } αποτελεί έναν άτλαντα της σφαίρας S 2. Άσκηση Να γίνει αναλυτικός έλεγχος ότι ικανοποιείται ο Ορισμός 1.1. Σχήμα 2.2: Στερεογραφική προβολή. Ο παραπάνω ορισμός μιας επιφάνειας παρουσιάζει τεχνικές δυσκολίες στην εφαρμογή του. Θα δούμε τώρα έναν εναλλακτικό τρόπο κατασκευής επιφανειών στον R 3 μέσω του θεωρήματος πεπλεγμένης συνάρτησης. Χρειαζόμαστε κατ αρχάς να υπενθυμίσουμε τα εξής: Εστω F = (F 1,..., F m ) : U R n R m μια διαφορίσιμη απεικόνιση στο ανοικτό υποσύνολο U του R n και p U. Τότε το διαφορικό DF (p) : R n R m στο p είναι μια γραμμική απεικόνιση της οποίας ο m n πίνακας (ως προς τις κανονικές βάσεις των R n, R m ) είναι ο [DF (p)] = F 1 x 1 (p). F m (p) x 1 F 1 (p) x n. F. m (p) x n Συχνά θα γράφουμε τον παραπάνω πίνακα απλά ως DF (p). Στην ειδική περίπτωση όπου F : U R n R, τότε ο πίνακας του διαφορικού DF (p) : R n R είναι ο 1 n πίνακας [DF (p)] = [ F (p),..., F ] (p). x 1 x n ( F Το αντίστοιχο διάνυσμα (p),..., F ) (p) λέγεται κλίση (grand) της F και συμβολίζεται με gradf x 1 x n ή F, με άλλα λόγια η κλίση της απεικόνισης F στο σημείο p είναι ο πίνακας του διαφορικού [DF (p)] γραμμένος ως διάνυσμα. Εστω τώρα γ : R U R n μια διαφορίσιμη καμπύλη με γ(0) = p, γ (0) = Z R. Τότε η σύνθεση F γ : R R m είναι μια καμπύλη στον R m και από τον κανόνα της αλυσίδας προκύπτει ότι το εφαπτόμενο διάνυσμά της στο σημείο F (p) R m είναι d ( ) F γ(t) t=0 dt = DF (γ(0))γ (0) = DF (p)z.
Κανονικές επιφάνειες 5 Σημειώνουμε ότι η τελευταία ισότητα είναι ένα διάνυσμα του R m, που η παράστασή του προκύπτει ως το γινόμενο ενός m n και ενός n 1 πίνακα. Συνεπώς, το διαφορικό DF (p) μιας απεικόνισης F : R n R m μπορεί να θεωρηθεί ως μια γραμμική απεικόνιση, η οποία απεικονίζει εφαπτόμενα διανύσματα στο p U R n σε εφαπτόμενα διανύσματα στο F (p) R m. αποτέλεσμα: Από τον λογισμό πολλών μεταβλητών ισχύει το εξής Πρόταση 2.1. Το διαφορικό DF (p) μιας απεικόνισης F : R n R m δεν εξαρτάται από την επιλογή της καμπύλης γ. Το παρακάτω θεώρημα είναι ίσως το πιο κεντρικό θεώρημα της κλασικής Ανάλυσης. Θεώρημα 2.1. (Θεώρημα Αντίστροφης Απεικόνισης) Εστω U R n ανοικτό και F : U R n R n διαφορίσιμη. Υποθέτουμε ότι στο p U το διαφορικό DF (p) : R n R n της F στο p είναι αντιστρέψιμη (ως γραμμική απεικόνιση). Τότε υπάρχουν ανοικτές περιοχές U p p, V q q = F (p) έτσι ώστε η f = F Up : U p V q να είναι 1-1, επί και η αντίστροφή της f 1 : V q U p να είναι διαφορίσιμη. Επιπλέον, για το διαφορικό της f 1 ισχύει: Df 1 (q) = ( DF (p) ) 1. Ορισμός 2.2. Εστω U R n ανοικτό και F : U R m διαφορίσιμη. 1. Ενα σημείο p U ονομάζεται κρίσιμο σημείο (critical point) της F, εάν το διαφορικό DF (p) : R n R m δεν είναι επί. Διαφορετικά, το p ονομάζεται κανονικό σημείο (regular point). 2. Ενα σημείο q F (U) ονομάζεται κανονική τιμή (regular value) της F, εάν κάθε σημείο της αντίστροφης εικόνας F 1 ({q}) του q είναι κανονικό. Διαφορετικά, το q ονομάζεται κρίσιμη τιμή (critical value) της F. Εστω f : U R 3 R μια διαφορίσιμη απεικόνιση και U ένα ανοικτό υποσύνολο του R 3. Τότε ο πίνακας του διαφορικού Df(p) της f στο σημείο p είναι ο 1 3 πίνακας ( ) f f f [Df(p)] = (p), (p), x y z (p). Για να είναι η απεικόνιση Df(p) : R 3 R επί (δεδομένου ότι έχει πεδίο τιμών διάστασης 1) πρέπει και αρκεί τουλάχιστον ένα από τα f f f (p), (p), (p) να είναι διαφορετικό από το μηδέν. Συνεπώς, το x y z q f(u) είναι κανονική τιμή της απεικόνισης f : U R 3 R εάν και μόνο εάν οι μερικές παράγωγοι f f f (p), (p), x y z (p) δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα στο f 1 (q), ή ισοδύναμα το f 1 (q) δεν περιέχει κρίσιμα σημεία. Χρησιμοποιώντας τώρα το παραπάνω Θεώρημα Αντίστροφης Απεικόνισης, μπορούμε να αποδείξουμε το επόμενο θεώρημα κατασκευής επιφανειών στον R 3. Πολλές φορές το θεώρημα αυτό αναφέρεται και ως Θεώρημα Πεπλεγμένης Συνάρτησης (για τη θεωρία επιφανειών).
6 Κανονικές επιφάνειες Θεώρημα 2.2. Εστω U R 3 ανοικτό, f : U R διαφορίσιμη απεικόνιση και q μια κανονική τιμή της f, δηλαδή ισχύει ( ) ( f f f ) f (p) = (p), (p), x y z (p) 0, για κάθε p M = f 1( {q} ). Τότε το σύνολο M είναι μια κανονική επιφάνεια του R 3. Απόδειξη. Εστω p ένα τυχαίο σημείο του συνόλου M. Η κλίση ( f)(p) στο p δεν είναι μηδέν, οπότε χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι f z (p) 0. Ορίζουμε την απεικόνιση F : U R3 R 3 με τιμή Ο πίνακας του διαφορικού DF (p) στο σημείο p είναι F (x, y, z) = (x, y, f(x, y, z)). [DF (p)] = 1 0 0 0 1 0 f f f x y z η ορίζουσα του οποίου είναι ίση με det([df (p)]) = f 0. Από το Θεώρημα Αντίστροφης Απεικόνισης z p υπάρχουν ανοικτές περιοχές U p p, W l l = F (p), έτσι ώστε η απεικόνιση f = F Up : U p W l να είναι 1-1, επί και η αντίστροφή της p, f 1 : W l U p, (u, v, t) (u, v, g(u, v, t)) να είναι διαφορίσιμη, όπου g : W l R 3 R. Επεται ότι ο περιορισμός X = f 1 W l : Wl R 3 στο σύνολο (συγκεκριμένα το επίπεδο) W l = {(u, v, t) W l : t = q} είναι διαφορίσιμη συνάρτηση. Άρα η απεικόνιση X : Wl U p M είναι μια τοπική παραμέτρηση. Επειδή το σημείο p είναι τυχαίο, το σύνολο M είναι μια κανονική επιφάνεια του R 3. Παράδειγμα 2.4. Εστω f : R 3 R η διαφορίσιμη απεικόνιση f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 και p = (x, y, z) R 3. Η κλίση f(p) είναι f(p) = ( 2x, 2y, 2z ) p = 2p, συνεπώς κάθε θετικός πραγματικός αριθμός r είναι μια κανονική τιμή της f. Άρα η σφαίρα ακτίνας r είναι μια κανονική επιφάνεια του R 3. S 2 r = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } = f 1( {r 2 } ) Παράδειγμα 2.5. Εστω r, R R με 0 < r < R. Θεωρούμε τη διαφορίσιμη συνάρτηση f : U = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 0} R
Κανονικές επιφάνειες 7 με τιμή Θεωρούμε την αντίστροφη εικόνα αυτής f(x, y, z) = z 2 + ( x 2 + y 2 R ) 2. T 2 = f 1( {r 2 } ) = {(x, y, z) R 3 : z 2 + ( x 2 + y 2 R ) 2 = r 2 }. Τότε η κλίση της f στο p = (x, y, z) είναι f(p) = 2 ( x( x 2 + y 2 R), y( x 2 + y 2 R), z x 2 + y ). 2 x 2 + y 2 Ισχυριζόμαστε ότι το r 2 είναι μια κανονική τιμή της f. Πράγματι, αν το p T 2 ήταν τέτοιο ώστε f(p) = 0, τότε z = 0, άρα θα ήταν f(p) = 2r (x, y, 0) 0, x 2 + y2 άτοπο. Συνεπώς, το σύνολο T 2 είναι μια κανονική επιφάνεια του R 3, η οποία ονομάζεται δακτύλιος ή τόρος (torus) Σχήμα 2.3: Ο τόρος T 2. Με την ίδια μέθοδο των Παραδειγμάτων 2.4 και 2.5 μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι οι επόμενες εξισώσεις ορίζουν κανονικές επιφάνειες: για a, b, c 0. Ελλειψοειδές x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 Μονόχωνο υπερβολοειδές Δίχωνο υπερβολοειδές Υπερβολικό παραβολοειδές x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 x 2 a 2 y2 b 2 z2 c 2 = 1 x 2 a 2 y2 b 2 z = 0, Ερχόμαστε τώρα σε μια εναλλακτική περιγραφή μιας επιφάνειας (ή καλύτερα τμήματος επιφάνειας). Η διαδικασία αυτή αποτελεί γενίκευση της περιγραφής μιας καμπύλης μέσω απεικονίσεων παραμέτρησης. Ορισμός 2.3. Μια κανονική παραμετρημένη επιφάνεια (regular parametrized surface) είναι μια απεικόνιση X : U R 2 R 3 (U ανοικτό υποσύνολο του R 2 ) τέτοια ώστε για κάθε q U να ισχύει X u (q) X v (q) 0. ( )
8 Κανονικές επιφάνειες Παρατηρήσεις 1. Η εικόνα X(U) ονομάζεται και τμήμα επιφάνειας. 2. Η συνθήκη ( ) είναι ισοδύναμη με το ότι το διαφορικό DX(q) : R 2 R 3 είναι 1-1. 3. Μια κανονική παραμετρημένη επιφάνεια ονομάζεται και εμβαπτισμένη (immersed) επιφάνεια του R 3. Ορισμός 2.4. Εστω M μια κανονική επιφάνεια του R 3. Μια διαφορίσιμη απεικόνιση X : U R 2 M (U ανοικτό) αποτελεί μια παραμέτρηση (parametrization) της M εάν: 1. η X είναι επί. 2. Για κάθε p U υπάρχει ανοικτή περιοχή U p p τέτοια ώστε η απεικόνιση X Up : U p X(U p ) να είναι μια τοπική παραμέτρηση της M. Εστω X(U) ένα τμήμα μιας επιφάνειας η οποία να ορίζεται απο την απεικόνιση X : U R 2 R 3. Ας θεωρήσουμε το σημείο q = (u 0, v 0 ) U. Τότε η εικόνα της ευθείας v = v 0 μέσω της απεικόνισης X θα είναι η καμπύλη γ(u) X(u, v 0 ) στην επιφάνεια X(U), η οποία θα διέρχεται από την εικόνα X(q) του σημείου q. Η επιφανειακή αυτή καμπύλη θα ονομάζεται u-καμπύλη. Εντελώς ανάλογα, η εικόνα της ευθείας u = u 0 του επιπέδου U R 2 μέσω της απεικόνισης X, είναι η καμπύλη με εξίσωση γ(v) X(u 0, v) στην επιφάνεια X(U), η οποία θα διέρχεται επίσης, από την είκονα X(q) του σημείου q και ονομάζεται v-καμπύλη. Αν τώρα επιτρέψουμε τις μεταβλητές u, v να πάρουν όλες τις τιμές από το πεδίο ορισμού U, τότε ορίζεται ένα πλέγμα ευθειών οριζοντίων και καθέτων, τέτοιο ώστε από κάθε σημείο q του U να διέρχεται μοναδικό ζεύγος τέτοιων ευθειών. Η εικόνα αυτού του πλέγματος μέσω της X ορίζει ένα πλέγμα επιφανειακών καμπυλών της X(U) που την καλύπτουν. Δηλαδή από κάθε σημείο q = (u 0, v 0 ) της X(U) διέρχεται μία και μοναδική u-καμπύλη, η v = v 0 και μία και μοναδική v-καμπύλη, η u = u 0. Το ζεύγος (u 0, v 0 ) λέγεται ζεύγος καμπυλόγραμμων συντεταγμένων του σημείου q. Ορισμός 2.5. Εστω X : U R 2 M μια τοπική παραμέτρηση της επιφάνειας M. Τότε για κάθε σημείο (u 0, v 0 ) του U: (1) Το διάνυσμα της ταχύτητας της u-παραμετρικής καμπύλης, v = v 0, συμβολίζεται με X u (u 0, v 0 ). (2) Το διάνυσμα της ταχύτητας της v-παραμετρικής καμπύλης, u = u 0, συμβολίζεται με X v (u 0, v 0 ). Παράδειγμα 2.6. Θα δώσουμε δύο διαφορετικές παραμετρήσεις του επιπέδου O xy και θα ορίσουμε τις παραμετρικές καμπύλες αυτού. Θεωρούμε την εξίσωση X(u, v) = (u, v, 0). Η συνάρτηση αυτή είναι διαφορίσιμη και επιπλέον X u X v 0, άρα είναι πράγματι μια παραμέτρηση του επιπέδου z = 0. Το πλέγμα των παραμετρικών γραμμών αυτού, ορίζεται από τις ευθείες u = u 0, v = v 0, όπου (u 0, v 0 ) R 2, που είναι ευθείες παράλληλες προς τους άξονες των συντεταγμένων. Ας θεωρήσουμε τώρα την εξίσωση
Κανονικές επιφάνειες 9 X(u, v) = (u cos v, u sin v, 0). Η παράσταση αυτή είναι επίσης, όπως εύκολα αναγνωρίζεται, μια παραμέτρηση του επιπέδου, εκτός του σημείου (0, 0, 0). Το πλέγμα των παραμετρικών γραμμών στην περίπτωση αυτή αποτελείται από τις ακόλουθες καμπύλες: (α) Τις u-καμπύλες (v = v 0 ) που ορίζονται από την εξίσωση X(u, v 0 ) = (u cos v 0, u sin v 0, 0). Οι παραμετρικές εξισώσεις αυτών των καμπυλών (για τα διάφορα v 0 ) είναι x = u cos v 0 και y = u sin v 0. Απαλείφοντας την παράμετρο u μεταξύ αυτών των εξισώσεων, έχουμε y = x tan v 0. Αλλά η τελευταία εξίσωση για τα διάφορα v 0 [0, 2π] εκφράζει οικογένεια ευθειών οι οποίες διέρχονται από την αρχή O(0, 0) των συνταταγμένων. (β) Τις v-καμπύλες (u = u 0 ), που ορίζονται από την εξίσωση X(u 0, v) = (u 0 cos v, u 0 sin v, 0). Οι παραμετρικές εξισώσεις αυτών των καμπυλών είναι x = u 0 cos v και y = u 0 sin v. Απαλείφοντας την παράμετρο v μεταξύ αυτών, έχουμε x 2 + y 2 = u 2 0. Η εξίσωση όμως αυτή για τα διάφορα u 0 R \ {0} εκφράζει μια οικογένεια κύκλων κέντρου (0, 0). Ετσι κάθε σημείο του επιπέδου (u 0, v 0 ) ορίζεται από την τομή της ευθείας y = x tan v 0 και του κύκλου x 2 + y 2 = u 2 0. Παράδειγμα 2.7. Ο δακτύλιος T 2 του Παραδείγματος 2.5 προκύπτει με περιστροφή του κύκλου {(x, 0, z) R 3 : z 2 + (x R) 2 = r 2 } του επιπέδου (x, z), περί τον άξονα z (βλ. Σχήμα 2.4). Συνεπώς, μπορούμε να παραμετρήσουμε τοπικά τον δακτύλιο μέσω της απεικόνισης (τοπική παραμέτρηση) Σχήμα 2.4: Ο δακτύλιος T 2 ως επιφάνεια εκ περιστροφής. X : R 2 T 2 cos v sin v 0 X(u, v) = sin v cos v 0 0 0 1 R + r cos u 0 r sin u.
10 Κανονικές επιφάνειες Παράδειγμα 2.8. Θεωρούμε τη μοναδιαία σφαίρα S 2 του R 3. Μια τοπική παραμέτρηση της σφαίρας S 2 με γεωγραφικές συντεταγμένες είναι η απεικόνιση X : U = {(θ, φ) : π/2 < θ < π/2, 0 < φ < 2π} S 2 X(θ, φ) = ( cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ ). Σημειώστε ότι X(U) = S 2 \ C, όπου C = {(x, 0, z) S 2 : x 0} είναι ένας μέγιστος κύκλος της S 2. Παράδειγμα 2.9. Εστω γ = (r, 0, z) : I R 2 μια κανονική καμπύλη στο επίπεδο (x, z) τέτοια ώστε r(s) > 0 και ṙ(s) 2 + ż(s) 2 = 1 για κάθε s I. Περιστρέφοντας την καμπύλη αυτή περί τον άξονα z, προκύπτει μια κανονική επιφάνεια εκ περιστροφής (surface of revolution), η οποία παραμετροποιείται μέσω της απεικόνισης X : R 2 R 3 cos v sin v 0 X(u, v) = sin v cos v 0 0 0 1 r(u) 0 z(u) = r(u) cos v r(u) sin v z(u). Σχήμα 2.5: Επειφάνειες εκ περιστροφής. Παρατήρηση Η καμπύλη γ ονομάζεται γενέτειρα (generating curve) και ο άξονας z καλείται άξονας περιστροφής της επιφάνειας. Τα σημεία της γ, κατά την περιστροφή της, διαγράφουν κύκλους, τους οποίους καλούμε παραλλήλους της επιφάνειας, ενώ η καμπύλη γ και οι νέες θέσεις της (κατά την περιστροφή) αποτελούν τους μεσημβρινούς της επιφάνειας. Ορισμός 2.6. Εστω M μια κανονική επιφάνεια του R 3. Μια συνεχής απεικόνιση γ : I M (I R ανοικτό) ονομάζεται λεία (ή διαφορίσιμη) καμπύλη στην M, εάν η γ είναι διαφορίσιμη ως απεικόνιση με τιμές στο R 3.
Λείες απεικονίσεις 11 Εστω γ 1 : I M και γ 2 : J M δύο επιφανειακές καμπύλες οι οποίες τέμνονται στο σημείο p M, δηλαδή υπάρχει t 0 I και s 0 J τέτοια ώστε γ 1 (t 0 ) = γ 2 (s 0 ) = p. Η γωνία των δύο καμπυλών είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζουν τα εφαπτόμενα διανύσματα στο σημείο τομής αυτών, δηλαδή cos θ = γ 1 (t 0), γ 2 (s 0) γ 1 (t 0) γ 2 (s 0) Θα κλείσουμε το κεφάλαιο αυτό ορίζοντας την έννοια της διαφορίσιμης απεικόνισης μεταξύ επιφανειών. 2.1 Λείες απεικονίσεις Θέλουμε να ορίσουμε την έννοια της λείας απεικόνισης f : M 1 M 2, όπου M 1 και M 2 είναι κανονικές επιφάνειες. Δεν είναι προφανές πώς μπορούμε να το κάνουμε αυτό, διότι ως τώρα γνωρίζουμε πώς να ορίζουμε λείες απεικονίσεις μεταξύ ανοικτών υποσυνόλων Ευκλείδειων χώρων. Αρχίζουμε με μια ειδική περίπτωση. Ορισμός 2.7. Εστω M μια κανονική επιφάνεια του R 3. Μια πραγματική συνάρτηση f : M R ονομάζεται λεία ή διαφορίσιμη (smooth or differentiable), εάν για κάθε τοπική αναπαράσταση X : U M της M, η σύνθεση f X : U R 2 R είναι διαφορίσιμη. Σχήμα 2.6: Η απεικόνιση f X : U R 2 R. Πρόταση 2.2. Εστω M μια κανονική επιφάνεια του R 3 και f : M R. Η απεικόνιση f είναι λεία εάν και μόνο εάν, για κάθε τοπική παραμέτρηση X : U R 2 M, η απεικόνιση f X είναι λεία. Απόδειξη. Υποθέτουμε πρώτα ότι η απεικόνιση f είναι λεία. Σύμφωνα με τον Ορισμό 2.7, υπάρχει τοπική αναπαράσταση Y : V M της M τέτοια ώστε η f Y : V R
12 Κανονικές επιφάνειες να είναι λεία. Συνεπώς, η απεικόνιση f X = f Y Y 1 X : U V R είναι λεία ως σύνθεση των λείων απεικονίσεων f Y και Y 1 X. Το αντίστροφο είναι προφανές. Ορισμός 2.8. Μια απεικόνιση φ : M 1 M 2 μεταξύ δύο κανονικών επιφανειών του R 3 ονομάζεται λεία ή διαφορίσιμη, εάν για κάθε δύο τοπικές παραμετρήσεις (U 1, X 1 ) της M 1 και (U 2, X 2 ) της M 2 η απεικόνιση X2 1 φ X U 1 : U R 2 R 2, ( που ορίζεται στο ανοικτό U = X1 1 X 1 (U 1 ) φ 1( X 2 (U 2 ) )) R 2, είναι διαφορίσιμη. Σχήμα 2.7: Η απεικόνιση X 1 2 φ X 1 U : U R 2 R 2. Πρόταση 2.3. Εστω φ 1 : M 1 M 2 και φ 2 : M 2 M 3 δύο λείες απεικονίσεις μεταξύ κανονικών επιφανειών του R 3. Τότε η σύνθεση φ 2 φ 1 : M 1 M 3 είναι λεία. Απόδειξη. Επειδή η απεικόνιση φ 1 είναι λεία μεταξύ δύο κανονικών επιφανειών του R 3, τότε από τον Ορισμό 2.8, για κάθε δύο παραμετρήσεις X 1 : U 1 M 1 και X 2 : U 2 M 2 η σύνθεση X2 1 φ 1 X 1 : X1 1 ( X1 (U 1 ) φ 1 (X 2 (U 2 )) ) R 2 R 2 θα είναι λεία. Ομοίως, για τη λεία απεικόνιση φ 2, για κάθε δύο τοπικές παραμετρήσεις θα έχουμε ότι η απεικόνιση X3 1 φ 2 X 2 : X2 1 ( X2 (U 2 ) φ 1 2 (X 3(U 3 )) ) R 2 R 2 θα είναι λεία. Για τη σύνθεση φ 2 φ 1 : M 1 M 3 παρατηρούμε ότι, αν επιλέξουμε τις παραμετρήσεις X 1 : U 1 R 2 R και X 3 : U 3 R 2 R, τότε η απεικόνιση είναι λεία στο ανοικτό σύνολο W = X 1 1 X3 1 (φ 2 φ 1 ) X 1 : W R 2 R 2 ( X1 (U 1 ) (φ 2 φ 1 ) 1 (X 3 (U 3 )) ), ως σύνθεση των λείων απεικονίσεων X 1 3 φ 2 X 2 και X 1 2 φ 1 X 1.
Λυμένα παραδείγματα 13 Πρόταση 2.4. Εστω M 1, M 2 κανονικές επιφάνειες του R 3 και φ : U R 3 R 3 διαφορίσιμη απεικόνιση στο ανοικτό U, τέτοια ώστε M 1 U και φ(m 1 ) M 2. Τότε ο περιορισμός φ M1 απεικόνιση μεταξύ των δύο επιφανειών. : M 1 M 2 είναι λεία Απόδειξη. Εστω p τυχαίο σημείο της M 1 και X 1 : U 1 R 2 M 1, X 2 : U 2 R 2 M 2 δύο παραμετρήσεις, γύρω από τα σημεία p και φ(p) αντίστοιχα, τέτοιες ώστε p X 1 (U 1 ), φ(x 1 (U 1 )) X 2 (U 2 ). Τότε όμως, η απεικόνιση X 1 2 φ X 1 : U 1 R 2 U 2 R 2 είναι διαφορίσιμη στο X 1 (p), ως σύνθεση των διαφορίσιμων απεικονίσεων X 1 2 και φ X 1. Αλλά είναι X 1 2 φ X 1 = X 1 2 φ M1 X 1, οπότε η απεικόνιση φ M1 είναι διαφορίσιμη στο σημείο p. Επειδή όμως το σημείο p είναι ένα τυχαίο σημείο της M 1, η απεικόνιση φ M1 : M 1 M 2 θα είναι διαφορίσιμη. Παράδειγμα 2.10. Εστω f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (ax, by, cz) με abc > 0. Προφανώς η f είναι διαφορίσιμη. Ο περιορισμός της f στη σφαίρα S 2 είναι μια διαφορίσιμη απεικόνιση από την σφαίρα σε ένα ελλειψοειδές, όπου η σφαίρα είναι το σύνολο και το ελλειψοειδές είναι το σύνολο S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} E = {(x, y, z) R 3 : x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1}. Ορισμός 2.9. Μια διαφορίσιμη απεικόνιση φ : M 1 M 2 μεταξύ δύο κανονικών επιφανειών του R 3 ονομάζεται αμφιδιαφόριση (diffeomorphism), εάν είναι 1-1, επί και η αντίστροφη φ 1 : M 2 M 1 είναι διαφορίσιμη. Τότε οι επιφάνειες M 1 και M 2 ονομάζονται αμφιδιαφορικές. Παράδειγμα 2.11. Η απεικόνιση f : S 2 S 2 με f(x, y, z) = ( x, y, z) είναι αμφιδιαφόριση. Πράγματι, παρατηρούμε ότι η f είναι 1-1 και επί με f 1 = f. Επίσης, η f είναι ο περιορισμός (επί της S 2 ) της διαφορίσιμης απεικόνισης F : R 3 R 3, (x, y, z) ( x, y, z). Άρα σύμφωνα με την Πρόταση 2.4, η f είναι επίσης διαφορίσιμη Πρόταση 2.5. Εστω f : M 1 M 2 μια αμφιδιαφόριση. Εάν X 1 είναι μια τοπική παραμέτρηση της επιφάνειας M 1, τότε η f X 1 είναι μια τοπική παραμέτρηση της επιφάνειας M 2. Μερικές φορές θα φανεί χρήσιμο αντί των αμφιδιαφορίσεων να θεωρούμε λείες απεικονίσεις που ι- κανοποιούν μια ελαφρώς ασθενέστερη συνθήκη. Μια λεία απεικόνιση f : M 1 M 2 καλείται τοπική αμφιδιαφόριση, εάν για κάθε σημείο p M 1 υπάρχει ανοικτό υποσύνολο U της M 1, τέτοιο ώστε το f(u) να είναι ανοικτό υποσύνολο της M 2 και η f U : U f(u) να είναι αμφιδιαφόριση. Είναι προφανές ότι κάθε αμφιδιαφόριση είναι τοπική αμφιδιαφόριση (αρκεί να πάρουμε U = M 1 ). Επιπλέον, η Πρόταση 2.5 ισχύει αν η f είναι τοπική αμφιδιαφόριση, υπό τον όρο ότι ο περιορισμός της στην εικόνα του X 1 είναι 1-1.
14 Κανονικές επιφάνειες 2.2 Λυμένα παραδείγματα Παράδειγμα 2.12. Εστω X : U R 3, X(u, v) = (u cosh v, u sinh v, u 2 ) όπου U = {(u, v) R 2 : u > 0}. Αποδείξτε ότι η X αποτελεί μια κανονική παραμέτρηση (του τμήματος) της επιφάνειας του υπερβολικού παραβολοειδούς M = {(x, y, z) R 3 : z = x 2 y 2 }. Λύση Εστω X(u, v) = (x, y, z). Τότε x 2 y 2 = u 2( cosh 2 v sinh 2 v ) = u 2, άρα X(u, v) M για κάθε (u, v) U. Εστω V = X(U). Πρέπει να δείξουμε τα εξής: α) η X είναι 1 1 β) η X είναι διαφορίσιμη (άρα συνεχής) γ) η X 1 : V U είναι συνεχής δ) ισχύει X u X v 0 για κάθε (u, v) U. Πράγματι, α) Εστω X(u 1, v 1 ) = X(u 2, v 2 ). Τότε προκύπτει το σύστημα u 1 cosh v 1 = u 2 cosh v 2 u 1 sinh v 1 = u 2 sinh v 2 u 2 1 = u 2 2. Η τρίτη εξίσωση δίνει u 1 = ±u 2 και επειδή u 1, u 2 > 0 παίρνουμε u 1 = u 2. Λόγω του ότι η συνάρτηση sinh είναι 1-1 προκύπτει ότι v 1 = v 2, άρα η X είναι 1-1. β) Η X είναι διαφορίσιμη επειδή οι συνιστώσες συναρτήσεις της είναι διαφορίσιμες πραγματικές συναρτήσεις. γ) Για να βρούμε την αντίστροφη X 1 : V U πρέπει να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων x = u cosh v, y = u sinh v, z = u 2 ως προς u, v. Είναι u = z, v = tanh 1 y x άρα η αντίστροφη είναι X 1 : V U, (x, y, z) (u, v) = ( z, tanh 1 x) y, η οποία είναι συνεχής. Συνεπώς, η X είναι ομοιομορφισμός. δ) Είναι X u = ( cosh v, sinh v, 2u ), X v = ( u sinh v, u sinh v, 0 ), άρα X u X v = ( 2u 2 cosh v, 2u 2 sinh v, u ) (0, 0, 0) για κάθε (u, v) U. Παράδειγμα 2.13. Να δείξετε ότι η συνάρτηση X : (0, ) (0, ) R 3, X(u, v) = (u, 2u, uv 2 ) αποτελεί παραμέτρηση επιφάνειας.
Λυμένα παραδείγματα 15 Λύση Η X είναι λεία, αφού οι μερικές παράγωγοι των u, 2u, uv 2 είναι συνεχείς και επίσης είναι 1-1, επειδή X(u 1, v 1 ) = X(u 2, v 2 ) (u 1, v 1 ) = (u 2, v 2 ). Η αντίστροφη απεικόνιση δίνεται ως X 1 (x, y, z) = ( ) z x,, x η οποία είναι συνεχής, αφού για κάθε (x, y, z) X(U) ισχύει ότι x 0 (και x, z > 0). Τέλος, με απλούς υπολογισμούς βρίσκουμε ότι X u X v = (4uv, 2uv, 0) (0, 0, 0), οπότε η απεικόνιση X αποτελεί μια παραμέτρηση μιας επιφάνειας. Παράδειγμα 2.14. Εξετάστε εάν το σύνολο M = {(x, y, z) R 3 : x z+f(y z) = 0}, όπου f : R R μια διαφορίσιμη συνάρτηση, είναι μια κανονική επιφάνεια. Λύση Θεωρούμε την απεικόνιση F : R 3 R με F (x, y, z) = x z + f(y z). Εχουμε ότι M = F 1 ({0}). Η απεικόνιση F είναι διαφορίσιμη και F (x, y, z) = (1, f (y z), 1 f (y z)). Παρατηρούμε ότι για κάθε (x, y, z) M είναι F (x, y, z) (0, 0, 0), άρα όλα τα σημεία του συνόλου M = F 1 ({0}) είναι κανονικά, επομένως το M είναι μια κανονική επιφάνεια. Παράδειγμα 2.15. Να δειχθεί ότι το σύνολο M = {(x, y, z) R 3 : xy + xz zy + y 2 = 2} είναι μια κανονική επιφάνεια και να βρείτε μια παραμέτρηση αυτής σε μια περιοχή του σημείου (1, 1, 1). Λύση Θέτουμε F (x, y, z) = xy + xz zy + y 2 2, οπότε M = F 1 ({0}). Αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο M δεν περιέχει κρίσιμα σημεία. Είναι F (x, y, z) = (y + z, x z + 2y, x y). Τα κρίσιμα σημεία της F είναι τα σημεία για τα οποία ισχύει F (x, y, z) = (0, 0, 0), δηλαδή y + z = 0, x z + 2y = 0, x y = 0 x = y = z = 0. Το (0, 0, 0) δεν ανήκει στο σύνολο M, οπότε το M αποτελεί μια κανονική επιφάνεια του R 3. Προκειμένου να βρούμε μια παραμέτρηση θα λύσουμε ως προς y. Επειδή είναι y 2 + y(x z) 2 + xz = 0 παίρνουμε y = (x z) ± (z x) 2 4(xz 2). 2 Το σημείο (1, 1, 1) ικανοποιεί την παραπάνω εξίσωση μόνο όταν πάρουμε το +. Άρα θέτοντας X(u, v) = ( u, u + v + (u v) 2 + 8 4uv, v ) 2 έχουμε μια παραμέτρηση της επιφάνειας M σε μια περιοχή του σημείου (1, 1, 1).
16 Κανονικές επιφάνειες Παράδειγμα 2.16. Να βρεθούν οι τιμές του c R για τις οποίες το σύνολο είναι μια κανονική επιφάνεια του R 3 Λύση S = {(x, y, z) R 3 : 4x 5 + 2y 3 y + 3z 2 = c} Εστω f : R 3 R με f(x, y, z) = 4x 5 + 2y 3 y + 3z 2. Τότε S = f 1 (c). Για να είναι το σύνολο S κανονική επιφάνεια, θα πρέπει να μην περιέχει κρίσιμα σημεία. Εχουμε f(x, y, z) = 0 ( f x, f y, f ) = (0, 0, 0) z (20x 4, 6y 2 1, 6z) = (0, 0, 0) (x, y, z) = (0, ± 1, 0), 6 1 άρα τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα (0, 6, 0), (0, 1 1 6, 0). Εάν (0, 6, 0) f 1 1 (c) τότε f((0, 6, 0)) = c δηλαδή c = 2 3. Παρόμοια, εάν (0, 1 6 6, 0) f 1 (c) τότε θα είναι c = 2 3. Επομένως το σύνολο 6 S = f 1 (c) ορίζει μια κανονική επιφάνεια για κάθε c R \ {± 2 3 6 }. Παράδειγμα 2.17. Ποιό από τα παρακάτω υποσύνολα του R 3 αποτελεί μια κανονική επιφάνεια; α) M 1 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z} β) M 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2 }. Σε θετική περίπτωση βρείτε μια παραμέτρηση της επιφάνειας. Λύση α) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R 3 R, f(x, y, z) = x 2 + y 2 z. Τότε M 1 = f 1 (0) και f = (2x, 2y, 1) (0, 0, 0) για κάθε (x, y, z) R 3. Μια παραμέτρηση της M 1 είναι η X(u, v) = (u, v, u 2 + v 2 ). β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R 3 R, f(x, y, z) = x 2 + y 2 z 2. Τότε M 2 = f 1 (0) και f = (2x, 2y, 2z) το οποίο είναι μη μηδενικό διάνυσμα για κάθε (x, y, z) M 2 \{(0, 0, 0)}. Άρα η M 2 είναι κανονική επιφάνεια σε κάθε σημείο, εκτός από το (0, 0, 0) όπου δεν είναι κανονική. Παραπέμπουμε στη βιβλιογραφία για πλήρη απόδειξη του σημείου αυτού. Μια παραμέτρηση των δύο κανονικών τμημάτων της M 2 είναι X ± : R 2 \ {(0, 0)} R 3, X ± (u, v) = ( u, v, ± u 2 + v 2). Παράδειγμα 2.18. Να κατασκευαστεί μια αμφιδιαφόριση μεταξύ του ελλειψοειδούς E = {(x, y, z) R 3 : x2 a 2 + y2 b 2 + z2 = 1}, abc 0 c2 και της μοναδιαίας σφαίρας με κέντρο το 0, δηλαδή S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1}.
Ασκήσεις 17 Λύση Θεωρούμε την απεικόνιση F : R 3 R 3 με F (x, y, z) = ( x a, y b, z ), η οποία είναι, προφανώς αμφιδιαφόριση, c με αντίστροφη την F 1 : R 3 R 3, (x, y, z) (ax, by, cz). Εύκολα προκύπτει ότι F (E) S 2 και F 1 (S 2 ) E. Επομένως, η απεικόνιση είναι μια αμφιδιαφόριση. f = F S : E S 2 2.3 Ασκήσεις 1. Ποιό από τα παρακάτω υποσύνολα του R 3 αποτελεί μια κανονική επιφάνεια; M 1 = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z } M 2 = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2} M 3 = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 2 = 1 } M 4 = { (x, y, z) R 3 : x sin z = y cos z }. Για τα σύνολα τα οποία αποτελούν μια κανονική επιφάνεια του R 3, βρείτε μια παραμέτρηση. 2. Βρείτε μια παραμέτρηση του επιπέδου ax + by + cz = d του R 3. 3. Κατασκευάστε μια αμφιδιαφόριση ϕ : S 2 M μεταξύ της μοναδιαίας σφαίρας S 2 και του ελλειψοειδούς M = { (x, y, z) R 3 : x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 1 }. 4. Εστω U = { (u, v) R 2 : π < u < π, 0 < v < 1 } και X : U R 3 με X(u, v) = (sin u, sin(2u), v). Εστω M = X(U). Σχεδιάστε το γράφημα του συνόλου M και δείξτε ότι η X είναι διαφορίσιμη, 1-1 και ότι είναι μια κανονική παραμέτρηση, παρόλα αυτά δείξτε ότι η X 1 δεν είναι συνεχής. Είναι η M μια κανονική επιφάνεια του R 3 ; 5. Εργαστείτε όπως στο Παράδειγμα 2.6, για τις επιφάνειες που ορίζονται ως ακολούθως: (1) Την σφαίρα X(u, v) = (r cos u sin v, r sin u sin v, r cos v), 0 u 2π, π 2 v π 2 (2) Τον κώνο X(u, v) = (u cos v, u sin v, αu) (3) Τον κύλινδρο X(u, v) = (α cos u, α sin v, βv) (4) Το ελλειψοειδές X(u, v) = (α cos u cos v, β sin u cos v, γ sin v) (5) Το υπερβολικό παραβολοειδές X(u, v) = (αu cosh u, βu sinh v, u 2 ) 6. Εστω f(x, y, z) = (x+y +z 1) 1 και g(x, y, z) = xyz 2. Να βρεθούν τα κρίσιμα σημεία και οι κρίσιμες τιμές των f, g. Για ποιές τιμές του c είναι τα σύνολα f 1 ({c}) και g 1 ({c}) κανονικές επιφάνειες του R 3 ; 7. Να δικαιολογηθεί γιατί το ελλειπτικό παραβολοειδές, που καθορίζεται από την εξίσωση z = x 2 + y 2, είναι αμφιδιαφορικό με ένα επίπεδο.
18 Κανονικές επιφάνειες 8. Να αποδειχθεί ότι η απεικόνιση X : U R 3 με X(u, v) = (a cos u sin v, b sin u sin v, c cos v), όπου U = R (0, π), είναι παραμέτρηση του ελλειψοειδούς. Να περιγραφούν οι u- και v-καμπύλες. 9. Εστω a, b 0. Αποδείξτε ότι οι εξισώσεις x 2 + y 2 + z 2 = ay και x 2 + y 2 + z 2 = bz ορίζουν κανονικές επιφάνειες του R 3. Στη συνέχεια, αποδείξτε ότι οι επιφάνειες αυτές τέμνονται κάθετα.
Βιβλιογραφία [1] M. Abate and F. Torena, Curves and Surfaces, Springer 2012. [2] C. Bär, Elementary Differential Geometry, Cambridge Univ. Press 2010. [3] M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall 1976. [4] J. Oprea, Differential Geometry and Its Applications, The Mathematical Assocation of America, 2007. [5] Β. Ι. Παπαντωνίου, Διαφορική Γεωμετρία, Εκδ. Πανεπιστ. Πατρών, Πάτρα, 2013. [6] A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Second Edition, Springer 2010. Μετάφραση: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Κρήτη 2012. 19