ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες. α) A B/A Α Β ΑΛΒ Α α α α α α ψ ψ α ψ α ψ ψ ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν η πρόταση A B είναι αληθής, τότε σε καμία περίπτωση η Α δεν είναι ψευδής, οπότε η εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη. β) AVB/A Α Β ΑVΒ Α α α α α α ψ α α ψ α α ψ ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν η πρόταση A είναι ψευδής και η Β αληθής, τότε η πρόταση ΑvΒ είναι αληθής ενώ η Α είναι ψευδής. Άρα η εξαγωγή συμπεράσματος δεν είναι έγκυρη. γ) AV(BΛC)/AVC Α Β C BΛC AV(BΛC) ΑVC α α α α α α α α ψ ψ α α α ψ α ψ α α α ψ ψ ψ α α ψ α α α α α Ψ α ψ ψ ψ ψ ψ ψ α ψ ψ α Ψ ψ ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν η πρόταση AV(BΛC) είναι αληθής, τότε σε καμία περίπτωση η AVC δεν είναι ψευδής, οπότε η εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη.
δ) AΛB, A B / A Α Β ΑΛΒ A B Α α α α ψ α α ψ ψ α α ψ α ψ α ψ ψ ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν οι προτάσεις A B, A B είναι αληθείς, τότε σε καμία περίπτωση η Α δεν είναι ψευδής, οπότε η εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη. Παρατηρήστε ότι το σύνολο προτάσεων από το οποίο προσπαθούμε να εξάγουμε συμπέρασμα είναι ασυνεπές: δε γίνεται να είναι και οι δύο προτάσεις ταυτόχρονα αληθείς. Στην περίπτωση αυτή, οποιαδήποτε εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη, αφού ποτέ δε θα υπάρχει περίπτωση που οι υποθέσεις είναι ταυτόχρονα αληθείς (και το οποιοδήποτε συμπέρασμα ψευδές). ε) A B, Α/Β Α Β ΑΛΒ Β α α α α α ψ ψ ψ ψ α ψ α ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν οι προτάσεις A B, A είναι αληθείς, τότε σε καμία περίπτωση η B δεν είναι ψευδής, οπότε η εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη. Παρατηρήστε ότι το σύνολο προτάσεων από το οποίο προσπαθούμε να εξάγουμε συμπέρασμα είναι συνεπές. 2. Χρησιμοποιώντας τις βασικές ισοδυναμίες του προτασιακού λογισμού αποδείξτε τις παρακάτω ισοδυναμίες:
Οι λύσεις που δίνονται παραπάνω είναι ενδεικτικές, μπορείτε να καταλήξετε με πολλούς διαφορετικούς τρόπους στα ίδια αποτελέσματα.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ CNF DNF Άσκηση 1: Να μετατρέψετε την πρόταση (Α Β) ((Β (C ((C D) Α)))) C) σε CNF (Συζευκτική Κανονική Μορφή) Λύση: 0. Αφαιρούμε τις μη απαραίτητες παρενθέσεις. Δεν υπάρχουν μη απαραίτητες παρενθέσεις, οπότε προχωράμε στο Βήμα 1 1. Βρίσκουμε τη διάζευξη που βρίσκεται σε μεγαλύτερο βάθος και η οποία περιέχει τουλάχιστον μία σύζευξη. Επιλέγουμε τη διάζευξη που βρίσκεται στο μεγαλύτερο βάθος: ( Α Β ) ( ( Β ( C ( ( C D ) Α ) ) ) ) C) 2. Στην διάζευξη που επιλέγεται στο Βήμα 1 εφαρμόζουμε την επιμεριστικότητα της διάζευξης και έχουμε: ( Α Β ) ( ( Β ( C ( C Α ) ( D A ) ) ) C ) 3. Επιστρέφουμε στο Βήμα 1 και προσπαθούμε να βρούμε τη διάζευξη που βρίσκεται σε μεγαλύτερο βάθος και η οποία περιέχει τουλάχιστον μία σύζευξη: ( Α Β ) ( ( Β ( C ( C Α ) ( D A ) ) ) C ) 4. Στην διάζευξη που επιλέξαμε στο προηγούμενο βήμα εφαρμόζουμε την επιμεριστικότητα της διάζευξης και έχουμε: (Α Β ) ( ( Β C ) ( Β C Α) (Β D Α ) C) 5. Επιστρέφουμε στο Βήμα 1 και προσπαθούμε να βρούμε τη διάζευξη που βρίσκεται σε μεγαλύτερο βάθος και η οποία περιέχει τουλάχιστον μία σύζευξη. Αυτή είναι ολόκληρη η πρόταση: (Α Β ) ( ( Β C ) ( Β C Α) (Β D Α ) C) 6. Στην διάζευξη που επιλέξαμε στο προηγούμενο βήμα εφαρμόζουμε την επιμεριστικότητα της διάζευξης και έχουμε: (Α Β C) (Α Β C Α) (Α Β D Α) (Α C) (Β Β C) ( Β Β C Α) (Β Β D Α) (Β C) 7. Απλοποιούμε κάθε διάζευξη χρησιμοποιώντας την ισοδυναμία της αυτοπάθειας: (Α Β C) (Α Β C ) (Α Β D ) (Α C) (Β C) ( Β C Α) (Β D Α) (Β C) 8. Αν υπάρχουν διαζεύξεις που χρησιμοποιούν τα ίδια γράμματα, κρατάμε μόνο μία από αυτές: (Α Β C) (Α Β C ) (Α Β D ) (Α C) (Β C) ( Β C Α) (Β D Α) (Β C) Άρα έχουμε: (Α Β C) (Α Β D ) (Α C) (Β C) 9. Απορρόφηση To (Α C) θα απορροφήσει το ( Α Β C) Δεν μπορούμε να πραγματοποιήσουμε κάποια άλλη απορρόφηση, άρα έχουμε: Η πρόταση (Α Β D) (Α C) (Β C) είναι σε CNF
Άσκηση 2: Να μετατρέψετε την πρόταση (Α Β) (Α (C Β )) a. σε CNF (Συζευκτική Κανονική Μορφή) και b. σε DNF (Διαζευκτική Κανονική Μορφή) Λύση: a. Μετατροπή (Α Β) (Α (C Β ) ) σε CNF 0. Αφαιρούμε τις μη απαραίτητες παρενθέσεις. Δεν υπάρχουν μη απαραίτητες παρενθέσεις, οπότε προχωράμε στο Βήμα 1 1. Βρίσκουμε τη διάζευξη που βρίσκεται σε μεγαλύτερο βάθος και η οποία περιέχει τουλάχιστον μία σύζευξη. Επιλέγουμε τη διάζευξη που βρίσκεται στο μεγαλύτερο βάθος: (Α Β) (Α (C Β ) ) 2. Στην διάζευξη που επιλέγεται στο Βήμα 1 εφαρμόζουμε την επιμεριστικότητα της διάζευξης και έχουμε: (Α Β) ( (Α C) (Α B) ) 3. Αφαίρεση περιττών παρενθέσεων και επιστροφή στο Βήμα 1. (Α Β) (Α C) (Α B) 4. Επιστρέφουμε στο Βήμα 1 και προσπαθούμε να βρούμε τη διάζευξη που βρίσκεται σε μεγαλύτερο βάθος και η οποία περιέχει τουλάχιστον μία σύζευξη: Δεν υπάρχει τέτοια διάζευξη, άρα προχωράμε στο επόμενο βήμα. 5. Απλοποιούμε κάθε διάζευξη χρησιμοποιώντας την ισοδυναμία της αυτοπάθειας. Δεν υπάρχει διάζευξη στην οποία μπορούμε να εφαρμόσουμε την ισοδυναμία της αυτοπάθειας, άρα προχωράμε στο επόμενο βήμα. 6. Αν υπάρχουν διαζεύξεις που χρησιμοποιούν τα ίδια γράμματα, κρατάμε μόνο μία από αυτές: (Α Β) (Α C) (Α B) Η πρόταση (Α Β) υπάρχει 2 φορές, άρα κρατάμε μία από αυτές. Η πρόταση που προκύπτει (Α Β) (Α C) είναι σε CNF.
b. Μετατροπή (Α Β) (Α (C Β ) ) σε DNF 0. Αφαιρούμε τις μη απαραίτητες παρενθέσεις. Δεν υπάρχουν μη απαραίτητες παρενθέσεις, οπότε προχωράμε στο Βήμα 1 1. Βρίσκουμε τη σύζευξη που βρίσκεται σε μεγαλύτερο βάθος και η οποία περιέχει τουλάχιστον μία διάζευξη. Επιλέγουμε τη σύζευξη που βρίσκεται στο μεγαλύτερο βάθος, όπου τυγχάνει να είναι ολόκληρη η πρόταση: (Α Β) (Α (C Β ) ) 2. Στην σύζευξη που επιλέγεται στο Βήμα 1 εφαρμόζουμε την επιμεριστικότητα της σύζευξης και έχουμε: (Α ( Α (C Β ) ) ) ( Β ( Α (C Β ) ) ) 3. Επιστρέφουμε στο Βήμα 1 και προσπαθούμε να βρούμε τη σύζευξη που βρίσκεται σε μεγαλύτερο βάθος και η οποία περιέχει τουλάχιστον μία διάζευξη: Επιλέγουμε τυχαία την 1η (Α ( Α (C Β ) ) ) και εφαρμόζουμε την επιμεριστικότητα της σύζευξης. (A Α ) ( Α (C Β ) ) (Β ( Α ( C Β ) ) ) 4. Επιστρέφουμε στο Βήμα 1 και προσπαθούμε να βρούμε τη σύζευξη που βρίσκεται σε μεγαλύτερο βάθος και η οποία περιέχει τουλάχιστον μία διάζευξη: Επιλέγουμε την ( Β ( Α (C Β ) ) ) και εφαρμόζουμε την επιμεριστικότητα της σύζευξης. (A Α ) ( Α (C Β ) ) ( (Β A) ( B ( C Β ) ) ) 5. Αφαιρούμε τις περενθέσεις που δεν είναι απαραίτητες. (A Α ) ( Α C Β ) (Β A) ( B C B ) 6. Δεν υπάρχει άλλη σύζευξη που να βρίσκεται σε μεγαλύτερο βάθος και η οποία περιέχει τουλάχιστον μία διάζευξη, άρα προχωράμε στο επόμενο βήμα. 7. Απλοποιούμε κάθε σύζευξη χρησιμοποιώντας την ισοδυναμία της αυτοπάθειας: A ( Α C Β ) (Β A) ( B C ) 8. Απορρόφηση A ( Α C Β ) (Β A) ( B C ) Η πρόταση (Β A) απορροφά την πρόταση ( Α C Β ) Άρα έχουμε: A (Β A) ( B C ) Όμως και η πρόταση Α απορροφά την (Β Α ) δηλαδή: A (Β A) ( B C ) Τελικά η πρόταση A ( B C ) είναι σε DNF.