Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών

Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

Περιεχόµενα ενότητας 3 Ολοκλήρωµα Riemnn και Ολοκλήρωµα Lebesgue 4 3. Σύγκριση του ολοκληρώµατος Lebesgue µε το ολοκλήρωµα Riemnn............ 4 3.2 Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue............................ 9 3.2. Η µεγιστική συνάρτηση των Hrdy και Littlewood.................... 3.2.2 Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue........................ 3 3.3 Συναρτήσεις ϕραγµένης κύµανσης............................... 7 3.3. Ορισµός και παραδείγµατα............................... 7 3.3.2 Ο χώρος των συναρτήσεων ϕραγµένης κύµανσης.................. 20 3.3.3 Χαρακτηρισµός των συναρτήσεων ϕραγµένης κύµανσης............... 22 3.4 Παραγωγισιµότητα µονότονων συναρτήσεων.......................... 24 3.5 Απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις................................. 28 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

3 Ολοκλήρωµα Riemnn και Ολοκλήρωµα Lebesgue 3. Σύγκριση του ολοκληρώµατος Lebesgue µε το ολοκλήρωµα Riemnn Εστω f : [, b] R. Θα γράφουµε (R) f για το ολοκλήρωµα Riemnn και (L) f για το ολοκλήρωµα Lebesgue της f (αν αυτά υπάρχουν). Οπως δείχνει το ϑεώρηµα που ακολουθεί, το ολοκλήρωµα Lebesgue επεκτείνει το ολοκλήρωµα Riemnn. Θεώρηµα 3... Εστω f : [, b] R Riemnn ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Τότε, (i) Η f είναι µετρήσιµη. (ii) Η f είναι Lebesgue ολοκληρώσιµη και (3..0.) (L) f = (R) f. Απόδειξη. Θα χρησιµοποιήσουµε τα εξής:. Το ϑεώρηµα κυριαρχηµένης σύγκλισης. 2. Αν h 0 µετρήσιµη και h = 0, τότε h = 0 σχεδόν παντού στο E. Εποµένως, αν f g και E f = g, τότε f = g σχεδόν παντού στο E. E E 3. Αν s = m t i χ [i,b i ] είναι µια κλιµακωτή συνάρτηση, τότε i= (3..0.2) (L) f = (R) Υποθέτουµε ότι η f είναι Riemnn ολοκληρώσιµη. Τότε, υπάρχει ακολουθία (P n ) διαµερίσεων του [, b] µε τις εξής ιδιότητες: P n P n+ (η P n+ είναι εκλέπτυνση της P n ), P n 0 (τα πλάτη των διαµερίσεων P n τείνουν στο 0), και (3..0.3) L( f, P n ) (R) Εστω l n η κλιµακωτή συνάρτηση µε l n = k i=0 f. f, U( f, P n ) (R) l n = L( f, P n ) (δηλαδή, αν L( f, P n ) = k m i χ [xi,x i+ )) και u n η αντίστοιχη κλιµακωτή συνάρτηση µε (3..0.4) l n f u n. f. i=0 u n = U( f, P n ). Τότε, m i (x i+ x i ) τότε Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

Από την P n P n+ έπεται ότι η (l n ) είναι αύξουσα και η (u n ) ϕθίνουσα, οπότε ορίζονται οι συναρτήσεις l = lim n l n και u = lim n u n, και l f u. Από το ϑεώρηµα ϕραγµένης σύγκλισης, (3..0.5) (L) και (3..0.6) (L) u = lim n l = lim n u n = lim n l n = lim n U( f, P n ) = (R) L( f, P n ) = (R) f f. Αφού l u και l = u, συµπεραίνουµε ότι l = u σχεδόν παντού. Αφού l f u, προκύπτει ότι (3..0.7) l = f = u σ.π. Αρα, η f είναι µετρήσιµη συνάρτηση ως όριο (σχεδόν παντού) ακολουθίας µετρήσιµων συναρτήσεων. Αυτό αποδεικνύει το (i). Αφού η f είναι µετρήσιµη και ϕραγµένη, η f είναι Lebesgue ολοκληρώσιµη. Τέλος, (3..0.8) (L) f = (L) u = (R) f, δηλαδή έχουµε αποδείξει το (ii). Σηµείωση. Οπως έχουµε ήδη δει, η κλάση των ϕραγµένων Lebesgue ολοκληρώσιµων f : [, b] R είναι γνήσια µεγαλύτερη από την κλάση των Riemnn ολοκληρώσιµων f : [, b] R. Τα παραδείγµατα που ακολουθούν δείχνουν ότι η περίπτωση του γενικευµένου ολοκληρώµατος Riemnn είναι διαφορετική: Παράδειγµα. Το γενικευµένο ολοκλήρωµα (I R) (L) (ημ x/x)dx δεν υπάρχει. 0 0 (ημ x/x)dx υπάρχει, αλλά το ολοκλήρωµα Lebesgue Απόδειξη. Μπορούµε να γράψουµε το γενικευµένο ολοκλήρωµα Riemnn σαν µια εναλλάσσουσα σειρά: (I R) 0 ημ x x dx = = = nπ n= (n )π ( ) n n= ( ) n n= ημ x x dx nπ (n )π π 0 ημ x dx x ημ x x + (n )π dx. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

Από το κριτήριο του Dirichlet, για να δείξουµε ότι αυτή η σειρά συγκλίνει αρκεί να δείξουµε ότι τα ολοκληρώµατα ϕθίνουν στο 0 όταν n. Οµως, για σταθερό x, η ακολουθία ημ x /(x + (n )π) είναι προφανώς ϕθίνουσα, άρα η αντίστοιχη ακολουθία των ολοκληρωµάτων είναι ϕθίνουσα και, για κάθε n 2, (3..0.9) π 0 ημ x x + (n )π dx n 0. Αυτό αποδεικνύει ότι το γενικευµένο ολοκλήρωµα (I R) Αν το ολοκλήρωµα Lebesgue υπήρχε, ϑα έπρεπε να ισχύει ότι (3..0.0) (L) 0 0 ημ x dx < +. x (ημ x/x)dx υπάρχει. Οµως, χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα µονότονης σύγκλισης ϐλέπουµε ότι (L) 0 ημ x dx = x nπ n= (n )π π n= nπ Αρα, η ημ x/x δεν είναι Lebesgue ολοκληρώσιµη στο [0, + ). 0 ημ x dx x ημ x dx =. Παράδειγµα 2. Θεωρούµε την συνάρτηση f : R R µε f (x) = 0 αν x < 0, και (3..0.) f (x) = ( )n n + Το γενικευµένο ολοκλήρωµα Riemnn της f (3..0.2) (I R) υπάρχει: είναι ίσο µε 0 αν x [n, n + ), n = 0,, 2,.... f (x)dx := lim b + 0 f (x)dx (3..0.3) (I R) 0 f (x)dx = n=0 ( ) n n + (η τελευταία σειρά συγκλίνει). Οµως, (3..0.4) (L) άρα η f δεν είναι Lebesgue ολοκληρώσιµη. 0 f = n=0 n + = +, Τέτοια προβλήµατα δεν εµφανίζονται αν η συνάρτηση που µελετάµε είναι µη αρνητική. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

Θεώρηµα 3..2. Αν f 0 και το γενικευµένο ολοκλήρωµα (I R) ολοκληρώσιµη, και (3..0.5) (I R) f = (L) f. f υπάρχει, τότε η f είναι Lebesgue Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι η ακολουθία συναρτήσεων f n = f χ [ n,n] αυξάνει προς την f. Κάθε f n είναι Riemnn ολοκληρώσιµη (στο [ n, n]), εποµένως µετρήσιµη. Αρα, η f είναι µετρήσιµη. Επίσης, (3..0.6) (L) n f n = (R) n f (x)dx για κάθε n N, δηλαδή κάθε f n είναι Lebesgue ολοκληρώσιµη. Από την υπόθεση, υπάρχει το όριο n (3..0.7) lim (R) n n f (x)dx = (IR) Από την άλλη πλευρά, το ϑεώρηµα µονότονης σύγκλισης δείχνει ότι (3..0.8) lim (L) f n = (L) f. n f (x)dx. Αρα, η f είναι Lebesgue ολοκληρώσιµη και (3..0.9) (I R) f = (L) f. Σηµείωση. Ανάλογα αποτελέσµατα ισχύουν για γενικευµένα ολοκληρώµατα κάθε είδους (για παράδειγµα, σε ανοικτό ϕραγµένο διάστηµα). Κλείνουµε αυτήν την παράγραφο µε έναν χαρακτηρισµό των Riemnn ολοκληρώσιµων f : [, b] R : είναι εκείνες οι ϕραγµένες συναρτήσεις που είναι συνεχείς σχεδόν παντού. Πριν δώσουµε την ακριβή διατύπωση και την απόδειξη, πρέπει να τονίσουµε ότι η συνθήκη «συνεχής σχεδόν παντού» είναι τελείως διαφορετική από την «σχεδόν παντού ίση µε συνεχή συνάρτηση». Για παράδειγµα, η χαρακτηριστική συνάρτηση χ Q : [, b] R είναι σχεδόν παντού ίση µε την συνεχή (σταθερή) µηδενική συνάρτηση, αλλά δεν είναι συνεχής σε κανένα σηµείο του [, b]. Από την άλλη πλευρά, η χ [0,/2] : [0, ] R είναι συνεχής σχεδόν παντού (παντού εκτός από το σηµείο /2) αλλά δεν είναι σχεδόν παντού ίση µε καµία συνεχή g : [0, ] R (εξηγήστε γιατί). Αυτά τα παραδείγµατα δείχνουν ότι οι δύο συνθήκες δεν συγκρίνονται. Θεώρηµα 3..3. Εστω f : [, b] R ϕραγµένη συνάρτηση. Η f είναι Riemnn ολοκληρώσιµη αν και µόνο αν (3..0.20) λ({x [, b] : η f είναι ασυνεχής στο x}) = 0. Απόδειξη. Υποθέτουµε πρώτα ότι η f είναι συνεχής σχεδόν παντού. Επιλέγουµε ακολουθία (P n ) διαµερίσεων του [, b] µε P n P n+, P n 0, και ϑα δείξουµε ότι U( f, P n ) L( f, P n ) 0. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

Θεωρούµε τις συναρτήσεις l n, u n που αντιστοιχούν στην P n, µε l n f u n, u n = U( f, P n ). ηλαδή, αν P n = { = x 0 < < x k = b} ορίζουµε k (3..0.2) l n = m i χ [xi,x i+ ) και u n = i=0 Τότε, l n l και u n u, όπου l f u. k i=0 M i χ [xi,x i+ ). l n = L( f, P n ) και Οι l n, u n είναι µετρήσιµες και οµοιόµορφα ϕραγµένες (από το supremum και το infimum της f στο [, b]). Από το ϑεώρηµα ϕραγµένης σύγκλισης ϐλέπουµε ότι (3..0.22) ηλαδή, l n l και u n u. (3..0.23) L( f, P n ) l και U( f, P n ) u. Αρκεί να δείξουµε ότι (3..0.24) l = u. Αυτό ισχύει για τον εξής λόγο: αν P = n= P n και αν A είναι το σύνολο των σηµείων ασυνέχειας της f στο [, b], τότε για κάθε x [, b] \ (A P) έχουµε l(x) = u(x). Πράγµατι: έστω x [, b] \ (A P) και έστω ε > 0. Αφού η f είναι συνεχής στο x, υπάρχει δ > 0 ώστε: αν y, z (x δ, x + δ) τότε f (y) f (z) < ε. Επιλέγουµε n 0 για το οποίο P n0 < δ. Αν [x i, x i+ ] είναι το υποδιάστηµα της P n0 στο οποίο ανήκει το x, τότε [x i, x i+ ] (x δ, x + δ), άρα (3..0.25) M i m i = sup{ f (y) : y [x i, x i+ ]} inf{ f (z) : z [x i, x i+ ]} ε, δηλαδή 0 u n0 (x) l n0 (x) ε. Ακόµα, (3..0.26) 0 u(x) l(x) u n0 (x) l n0 (x) ε. Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, έπεται ότι u(x) = l(x). Αρα, l = u σχεδόν παντού, το οποίο δείχνει ότι l = u. Αντίστροφα: Υποθέτουµε ότι η f είναι Riemnn ολοκληρώσιµη στο [, b]. Επιλέγουµε ακολουθία διαµερίσεων (P n ) n µε P n P n+ για κάθε n και (3..0.27) L( f, P n ) f, U( f, P n ) f. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

Για κάθε n N, ϑεωρούµε τις κλιµακωτές συναρτήσεις l n και u n που αντιστοιχούν στην P n, µε l n f u n και (3..0.28) l n = L( f, P n ), u n = U( f, P n ). Η ακολουθία (l n ) είναι αύξουσα και η (u n ) είναι ϕθίνουσα. Εστω l = lim n l n και u = lim n u n. Τότε l f u και από το ϑεώρηµα κυριαρχηµένης σύγκλισης (3..0.29) και (3..0.30) l = lim l n = lim L( f, P n ) = n n u = lim u n = lim U( f, P n ) = n n f f. Αρα, (3..0.3) l = u. Αφού l u, έπεται ότι l = u σχεδόν παντού. Εστω C = {x [, b] : l(x) = u(x)} και έστω P = n= P n. Θα δείξουµε ότι για κάθε x C \ P η f είναι συνεχής στο x. Πράγµατι: Εστω x C \ P και έστω ε > 0. Τότε l(x) = u(x), άρα υπάρχει n 0 µε 0 u n0 (x) l n0 (x) < ε. Αυτό σηµαίνει ότι αν (x i, x i+ ) είναι το υποδιάστηµα της P n0 στο οποίο ανήκει το x, τότε (3..0.32) sup{ f (y) : y [x i, x i+ ]} inf{ f (z) : z [x i, x i+ ]} < ε. Επεται ότι η f είναι συνεχής στο x (εξηγήστε γιατί). Συµπεραίνουµε ότι αν A είναι το σύνολο των σηµείων ασυνέχειας της f, τότε A ([, b] \ C) P, άρα λ(a) = 0. 3.2 Το θεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue Εστω f : [, b] R µια Riemnn ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Θεωρούµε το αόριστο ολοκλήρωµα της f : (3.2.0.33) F(x) = x f (y)dy, x b. Γνωρίζουµε ότι αν x [, b] και η f είναι συνεχής στο x τότε η F είναι παραγωγίσιµη στο x και F (x) = f (x). Γνωρίζουµε επίσης ότι το σύνολο των σηµείων ασυνέχειας της f έχει µηδενικό µέτρο Lebesgue. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

Σύµφωνα µε τον ορισµό της παραγώγου, η F είναι παραγωγίσιµη στο x αν υπάρχει το όριο F(x + h) F(x) (3.2.0.34) lim, h 0 h το οποίο, στην περίπτωσή µας, παίρνει την µορφή (3.2.0.35) lim h 0 h x+h x f (y)dy = lim I 0 I I f (y)dy αν χρησιµοποιήσουµε τον συµβολισµό I = (x, x + h) και γράψουµε I για το µήκος του διαστήµατος I. Θα αλλάξουµε λίγο το πλαίσιο, ϑεωρώντας το όριο (3.2.0.36) lim f (y)dy, I 0 I x I I όπου, πλέον, ϑεωρούµε όλα τα ανοικτά διαστήµατα I ταοποία περιέχουν το x και αφήνουµε το µήκος τους να πάει στο µηδέν. Παρατηρήστε ότι η ποσότητα I f (y)dy είναι η µέση τιµή της f στο διάστηµα I. Πάλι, είναι εύκολο να ελέγξουµε ότι, αν η f είναι ολοκληρώσιµη στο [, b], τότε (3.2.0.37) lim f (y)dy = f (x) I 0 I x I I σε κάθε σηµείο συνέχειας της f (άρα, σχεδόν παντού στο [, b]). Το ερώτηµα που ϑα µας απασχολήσει είναι το εξής: δίνεται µια ολοκληρώσιµη συνάρτηση f : R d R (ϑα γράφουµε f L (R d )). Είναι σωστό ότι (3.2.0.38) lim f (y)dλ(y) = f (x) λ() 0 λ() x σχεδόν παντού στον R d ; Με συµβολίζουµε ανοικτές µπάλες του R d : για δοθέν x ϑεωρούµε εκείνες τις µπάλες που περιέχουν το x και αφήνουµε τον όγκο τους (ισοδύναµα, την ακτίνα τους) να πάει στο µηδέν. Παρατηρήστε ότι η (3.2.0.38) ισχύει σε κάθε σηµείο συνέχειας της f. Αν υποθέσουµε ότι η f είναι συνεχής στο x και αν ϑεωρήσουµε τυχόν ε > 0 τότε υπάρχει δ > 0 ώστε: αν y x < δ τότε f (x) f (y) < ε/2. Τότε, για κάθε µπάλα που περιέχει το x και έχει ακτίνα µικρότερη από δ/2, όλα τα y ικανοποιούν την y x < δ, απ όπου παίρνουµε Επεται η (3.2.0.38). f (x) λ() f (y) dλ(y) = λ() λ() I ( f (x) f (y)) dλ(y) f (x) f (y) dλ(y) ε 2 < ε. Το ϐασικό αποτέλεσµα αυτής της παραγράφου είναι το θεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue, το οποίο δίνει κάτι πολύ ισχυρότερο. Θεώρηµα 3.2. (ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue). Αν f L (R d ) τότε (3.2.0.39) lim f (y)dλ(y) = f (x) λ() 0 λ() x σχεδόν παντού ως προς το µέτρο Lebesgue λ στον R d. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 0

Για την απόδειξη ϑα χρειαστεί να κάνουµε ϐαθύτερη µελέτη της συµπεριφοράς των µέσων τιµών µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης σε µπάλες. Στην επόµενη παράγραφο εισάγουµε τη µεγιστική συνάρτηση των Hrdy και Littlewood και µελετάµε την συνάρτηση κατανοµής της µε τη ϐοήθεια του λήµµατος κάλυψης του Vitli. 3.2. Η µεγιστική συνάρτηση των Hrdy και Littlewood Ορισµός 3.2.2 (µεγιστική συνάρτηση). Εστω f L (R d ). Ορίζουµε τη µεγιστική συνάρτηση f της f ως εξής: (3.2..) f (x) = sup f (y) dλ(y), x R d x λ() όπου το supremum παίρνεται πάνω από όλες τις ανοικτές µπάλες που περιέχουν το x. Με λίγα λόγια, αντικαθιστούµε το (Ϲητούµενο) όριο των µέσων τιµών του Θεωρήµατος 3.2. µε το supremum τους, και την f µε την f. Οι ϐασικές ιδιότητες της f δίνονται στο επόµενο ϑεώρηµα. Θεώρηµα 3.2.3. Εστω f L (R d ). Τότε: (i) Η f είναι µετρήσιµη. (ii) Ισχύει f (x) < σχεδόν παντού. (iii) Για κάθε α > 0 ισχύει (3.2..2) λ({x R d : f (x) > α}) C d α f, όπου f = f dλ και C d = 3 d. Απόδειξη. είχνουµε πρώτα ότι η f είναι µετρήσιµη συνάρτηση. Παρατηρούµε ότι, για κάθε α > 0 το σύνολο E α = {x R d : f (x) > α} είναι ανοικτό. Πράγµατι, αν f (x) > α τότε υπάρχει µπάλα x η οποία περιέχει το x και για την οποία (3.2..3) f (y) dλ(y) > α, λ( x ) x και τότε, για κάθε z x έχουµε (3.2..4) f (z) δηλαδή x E α. f (y) dλ(y) > α, λ( x ) x Ο ισχυρισµός (ii) είναι συνέπεια του ισχυρισµού (iii). Παρατηρούµε ότι, για κάθε α > 0 ισχύει (3.2..5) {x : f (x) = } {x : f (x) > α}, άρα (3.2..6) λ({x : f (x) = }) λ({x : f (x) > α}) C d α f. Αφήνοντας το α συµπεραίνουµε ότι λ({x : f (x) = }) = 0. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

Παρατήρηση 3.2.4. Η ϐασική ανισότητα (3.2..2) είναι µια ασθενούς τύπου ανισότητα, µε την έννοια ότι υπολείπεται του ισχυρισµού ότι f C d f. Πράγµατι, αν είχαµε κάτι τέτοιο τότε, από την ανισότητα Mrkov, για κάθε α > 0 ϑα γράφαµε (3.2..7) λ({x : f (x) > α}) α f C d α f. Στην πραγµατικότητα, η f δεν είναι (σχεδόν ποτέ) ολοκληρώσιµη, και η (3.2..2) είναι η καλύτερη πληρο- ϕορία που ϑα µπορούσαµε να πάρουµε για την κατανοµή της συναρτήσει της f. Για την απόδειξη του ισχυρισµού (iii) ϑα χρησιµοποιήσουµε ένα λήµµα κάλυψης του Vitli. Λήµµα 3.2.5. Εστω = {, 2,..., N } µια πεπερασµένη οικογένεια από ανοικτές µπάλες στον R d. Μπορούµε να ϐρούµε i,..., i k N ώστε οι µπάλες i,..., ik να είναι ξένες ανά δύο και να ισχύει (3.2..8) λ N l= l 3 d k λ( i j ). Απόδειξη. Η επιλογή των i j γίνεται µε τον πιο ϕυσιολογικό τρόπο. Στο πρώτο ϐήµα, επιλέγουµε µία από τις µπάλες, την i, έτσι ώστε να έχει την µεγαλύτερη δυνατή ακτίνα. Κατόπιν, την αφαιρούµε από την µαζί µε όλες τις µπάλες της που την τέµνουν. Οι υπόλοιπες µπάλες σχηµατίζουν µια υποοικογένεια της στην οποία επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικασία. Επιλέγουµε µία από τις µπάλες της, την i2, έτσι ώστε να έχει την µεγαλύτερη δυνατή ακτίνα. Κατόπιν, την αφαιρούµε από την µαζί µε όλες τις µπάλες της που την τέµνουν. Συνεχίζοντας µε αυτόν τον τρόπο, µετά από N το πολύ ϐήµατα, έχουµε επιλέξει κάποιες (ξένες) µπάλες i,..., ik και η διαδικασία τερµατίζεται. Για την απόδειξη της (3.2..8) ϑα χρησιµοποιήσουµε την εξής παρατήρηση: αν και είναι δύο ανοικτές µπάλες µε και αν η ακτίνα r() της είναι µεγαλύτερη ή ίση από την ακτίνα r( ) της, τότε η περιέχεται στην µπάλα που έχει το ίδιο κέντρο µε την και ακτίνα r( ) = 3r(). Η απόδειξη είναι απλή συνέπεια της τριγωνικής ανισότητας. Συµβολίζοντας µε i j τη µπάλα που έχει το ίδιο κέντρο µε την i j και ακτίνα r( i j ) = 3r( i j ), και παρατηρώντας ότι κάθε l τέµνει κάποια i j για την οποία r( l ) r( i j ), συµπεραίνουµε ότι j= (3.2..9) N l l= k j= i j. Αρα, (3.2..0) λ N l λ k l= j= i j k k λ( i j ) = 3 d λ( i j ). j= j= Ετσι, έχουµε αποδείξει την (3.2..8). Απόδειξη του ισχυρισµού (iii). Εστω α > 0. Ορίζουµε E α = {x : f (x) > α} και για κάθε x E α επιλέγουµε ανοικτή µπάλα x µε x x και (3.2..) f (y) dλ(y) > α. λ( x ) x Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

Ισοδύναµα, (3.2..2) λ( x ) < α f (y) dλ(y). Θεωρούµε τυχόν συµπαγές K E α. Εχουµε K = { x,..., x N } ώστε x x, άρα υπάρχει πεπερασµένη οικογένεια x K (3.2..3) K N xl. l= Από το λήµµα του Vitli µπορούµε να ϐρούµε i,..., i k N ώστε οι µπάλες xi j, j =,..., k, να είναι ξένες, και (3.2..4) λ N l= xl 3 d k λ( xi j ). j= Αφού οι xi,..., xik είναι ξένες, συνδυάζοντας τις (3.2..2) και (3.2..4) γράφουµε λ(k) λ N k xl 3 d λ( xi j ) l= j= k 3d 3 d f (y) dλ(y) = α α j= xi j 3d α R d f (y) dλ(y) = k 3 d α f. j= xi j f (y) dλ(y) Αφού λ(e α ) = sup{λ(k) : K συµπαγές υποσύνολο του E α }, έπεται το Ϲητούµενο. 3.2.2 Το θεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue Σε αυτήν την παράγραφο αποδεικνύουµε το Θεώρηµα 3.2. και παρουσιάζουµε κάποιες παραλλαγές και κάποιες σηµαντικές εφαρµογές του. Απόδειξη του Θεωρήµατος 3.2.. Εστω f L (R d ). Για την απόδειξη του ϑεωρήµατος αρκεί να δείξουµε ότι, για κάθε α > 0, το σύνολο (3.2.2.) E α = x R d : lim sup λ() 0 λ() x έχει µέτρο λ(e α ) = 0. Τότε, το σύνολο E = (3.2.2.2) lim sup λ() 0 x n= λ() f (y) dλ(y) f (x) > 2α E /n έχει µέτρο λ(e) = 0, και για κάθε x E ισχύει f (y) dλ(y) f (x) = 0, Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

δηλαδή, (3.2.2.3) lim λ() 0 x λ() f (y) dλ(y) = f (x). Σταθεροποιούµε α > 0 και για τυχόν ε > 0 επιλέγουµε συνεχή συνάρτηση g µε συµπαγή ϕορέα, η οποία ικανοποιεί την (3.2.2.4) f g < ε. (Το γεγονός ότι µια τέτοια προσέγγιση είναι πάντα δυνατή ϑα αποδειχθεί στο επόµενο κεφάλαιο). Αφού η g είναι συνεχής, για κάθε x R d έχουµε (3.2.2.5) lim g(y) dλ(y) = g(x). λ() 0 λ() x Γράφουµε λ() οπότε λ() άρα Αν λοιπόν ορίσουµε f (y) dλ(y) f (x) = ( f (y) g(y)) dλ(y) + λ() λ() + g(x) f (x), f (y) dλ(y) f (x) lim sup λ() 0 x λ() g(y) dλ(y) g(x) f (y) g(y) dλ(y) + λ() g(y) dλ(y) g(x) λ() + g(x) f (x) ( f g) (x) + g(y) dλ(y) g(x) λ() + g(x) f (x), f (y) dλ(y) f (x) ( f g) (x) + g(x) f (x). (3.2.2.6) F α = {x : ( f g) (x) > α} και G α = {x : f (x) g(x) > α}, έχουµε E α F α G α (αν u + v > 2α τότε είτε u > α ή v > α). Τώρα, χρησιµοποιώντας την (3.2.2.7) λ(f α ) = λ({x : ( f g) (x) > α}) 3d α f g (ϐλέπε Θεώρηµα 3.2.3 (iii)) και την (3.2.2.8) λ(g α ) = λ({x : f (x) g(x) > α}) α f g που είναι άµεση από την ανισότητα του Mrkov, παίρνουµε (3.2.2.9) λ(e α ) λ(f α ) + λ(g α ) 3d + α f g = C d α ε, όπου C d = 3d +. Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, συµπεραίνουµε ότι λ(e α ) = 0, και η απόδειξη είναι πλήρης. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

Παρατήρηση 3.2.6. Αµεση συνέπεια του Θεωρήµατος 3.2. είναι το γεγονός ότι: αν f L (R d ) τότε f (x) f (x) σχεδόν παντού (εξηγήστε γιατί). Ορισµός 3.2.7. Μια µετρήσιµη συνάρτηση f στον R d λέγεται τοπικά ολοκληρώσιµη αν για κάθε µπάλα R d η συνάρτηση f (x) χ (x) είναι ολοκληρώσιµη. Συµβολίζουµε µε L loc (R d ) την κλάση των τοπικά ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. Παρατηρούµε ότι αν f L loc (R d ) και αν σταθεροποιήσουµε µια ανοικτή µπάλα 0 (π.χ. την (0, k) για κάποιον k N) τότε για κάθε x 0 έχουµε (3.2.2.0) λ() f (y) dλ(y) = λ() f (y) χ 0 (y) dλ(y) αν ϑεωρήσουµε που περιέχει το x και είναι αρκετά µικρή ώστε να περιέχεται στην 0. Εφαρµόζοντας λοιπόν το ϑεώρηµα παραγώγισης για την ολοκληρώσιµη συνάρτηση f χ 0 ϐλέπουµε ότι lim λ() 0 x λ() f (y)dλ(y) = f (x) σχεδόν παντού στην 0. Κάνοντας την ίδια δουλειά µε 0 = (0, k), k =, 2,..., έχουµε την ακόλουθη επέκταση του Θεωρήµατος 3.2.: Θεώρηµα 3.2.8. Αν f L loc (R d ) τότε (3.2.2.) lim λ() 0 x λ() f (y)dλ(y) = f (x) σχεδόν παντού ως προς το µέτρο Lebesgue λ στον R d. Μπορούµε µάλιστα να δείξουµε κάτι ισχυρότερο. ίνουµε πρώτα έναν ορισµό. Ορισµός 3.2.9. Εστω f L loc (R d ). Το σύνολο Lebesgue Leb( f ) της f αποτελείται από όλα τα x R d για τα οποία f (x) < και lim λ() 0 x λ() f (y) f (x) dλ(y) = 0. Στην Παράγραφο 3.2. είδαµε ότι αν η f είναι συνεχής στο x τότε x Leb( f ). Επίσης, είναι ϕανερό ότι αν x Leb( f ) τότε lim f (y)dλ(y) = f (x). λ() 0 λ() x Το επόµενο ϑεώρηµα δείχνει ότι αν f L loc (R d ) τότε σχεδόν κάθε x R d ανήκει στο σύνολο Lebesgue της f. Θεώρηµα 3.2.0. Εστω f L loc (R d ). Τότε, (3.2.2.2) λ(r d \ Leb( f )) = 0. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

Απόδειξη. Εστω q Q. Εφαρµόζοντας το Θεώρηµα 3.2.8 για την τοπικά ολοκληρώσιµη συνάρτηση f (y) q ϐλέπουµε ότι υπάρχει E q R d µε λ(e q ) = 0 ώστε: αν x E q τότε Θέτουµε E = q Q lim λ() 0 x λ() f (y) q dλ(y) = f (x) q. E q. Τότε, λ(e) = 0 και ϑα δείξουµε ότι: αν x E και f (x) < τότε x Leb( f ). Θεωρούµε τυχόν ε > 0 και επιλέγουµε ϱητό q µε f (x) q < ε. Γράφουµε (3.2.2.3) λ() f (y) f (x) dλ(y) λ() για κάθε µπάλα µε x, και αφήνοντας το λ() 0 παίρνουµε (3.2.2.4) lim sup λ() 0 x λ() διότι x E q. Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, έπεται ότι lim λ() 0 x f (y) q dλ(y) + f (x) q f (y) f (x) dλ(y) f (x) q + f (x) q < 2ε, λ() f (y) f (x) dλ(y) = 0, δηλαδή x Leb( f ). Μία ενδιαφέρουσα και χρήσιµη εφαρµογή του ϑεωρήµατος παραγώγισης του Lebesgue αφορά την δοµή των µετρήσιµων υποσυνόλων του R d. Ορισµός 3.2.. Εστω E µετρήσιµο υποσύνολο του R d. Λέµε ότι το x R d είναι σηµείο πυκνότητας του E αν (3.2.2.5) lim λ() 0 x λ(e ) λ() =. Αυτό σηµαίνει ότι για κάθε ε (0, ) και για κάθε ανοικτή µπάλα που περιέχει το x και έχει αρκετά µικρή ακτίνα, ισχύει (3.2.2.6) λ(e ) ( ε)λ(). Εφαρµόζοντας το Θεώρηµα 3.2.8 στην τοπικά ολοκληρώσιµη συνάρτηση χ E παίρνουµε αµέσως το εξής: Θεώρηµα 3.2.2. Εστω E µετρήσιµο υποσύνολο του R d. Τότε, σχεδόν κάθε σηµείο του E είναι σηµείο πυκνότητας του E και σχεδόν κάθε x E δεν είναι σηµείο πυκνότητας του E ακριβέστερα, σχεδόν όλα τα x E είναι σηµεία πυκνότητας του R d \ E, άρα ικανοποιούν την (3.2.2.7) lim λ() 0 x λ(e ) λ() = 0. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

3.3 Συναρτήσεις φραγµένης κύµανσης 3.3. Ορισµός και παραδείγµατα Ορισµός 3.3.. Εστω ϕ : [, b] R µια συνάρτηση. Αν P = { = x 0 < x < < x n = b} είναι µια διαµέριση του [, b], ονοµάζουµε κύµανση της ϕ ως προς την P τον αριθµό n (3.3..) V (ϕ, P) = ϕ(x k+ ) ϕ(x k ). k=0 Μια πρώτη ϐασική παρατήρηση είναι ότι «η κύµανση της ϕ µεγαλώνει αν εκλεπτύνουµε τη διαµέριση». Λήµµα 3.3.2. Εστω ϕ : [, b] R και P, Q δύο διαµερίσεις του [, b]. Αν P Q, τότε (3.3..2) V (ϕ, P) V (ϕ, Q). Απόδειξη. Εστω P = { = x 0 < x < < x n = b} και έστω x k < y < x k+ για κάποιο k = 0,,..., n. Αν ϑεωρήσουµε τη διαµέριση P = P {y}, τότε απλή εφαρµογή της τριγωνικής ανισότητας δίνει n V (ϕ, P) = ϕ(x j+ ) ϕ(x j ) j=0 k = ϕ(x j+ ) ϕ(x j ) + ϕ(x k+ ) ϕ(x k ) + j=0 n j=k+ k ϕ(x j+ ) ϕ(x j ) + ϕ(y) ϕ(x k ) + ϕ(x k+ ) ϕ(y) + j=0 n j=k+ = V (ϕ, P ). ϕ(x j+ ) ϕ(x j ) ϕ(x j+ ) ϕ(x j ) Στη γενική περίπτωση η Q προκύπτει από την P µε την προσθήκη πεπερασµένων το πλήθος σηµείων y,..., y m, οπότε (3.3..3) V (ϕ, P) V (ϕ, P {y }) V (ϕ, P {y,..., y m }) = V (ϕ, Q). Ορισµός 3.3.3. Εστω ϕ : [, b] R. Η κύµανση της ϕ στο [, b] είναι η ποσότητα (3.3..4) V (ϕ) = sup{v (ϕ, P) P διαµέριση του [, b]}. Αν V (ϕ) < + τότε λέµε ότι η ϕ έχει φραγµένη κύµανση (αν V (ϕ) = +, λέµε ότι η ϕ έχει άπειρη κύµανση). Οταν ϑέλουµε να τονίσουµε το διάστηµα στο οποίο υπολογίζεται η κύµανση της ϕ ϑα γράφουµε V (ϕ, b). Μια τεχνική παρατήρηση η οποία συχνά απλουστεύει τον υπολογισµό της κύµανσης είναι η εξής (η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

Λήµµα 3.3.4. Εστω ϕ : [, b] R και έστω Q διαµέριση του [, b]. Τότε, (3.3..5) V (ϕ) = sup{v (ϕ, P) P διαµέριση του [, b], P Q}. Μία από τις συνέπειες του Λήµµατος 3.3.4 είναι η «προσθετικότητα της κύµανσης ως προς διαδοχικά υποδιαστήµατα»: Πρόταση 3.3.5. Εστω ϕ : [, b] R και έστω γ (, b). Τότε, (3.3..6) V (ϕ, b) = V (ϕ, γ) + V (ϕ γ, b). Ειδικότερα, (3.3..7) V (ϕ γ, δ) V (ϕ, b) για κάθε [γ, δ] [, b]. Απόδειξη. Θεωρούµε την διαµέριση Q = { < γ < b} του [, b]. Από το Λήµµα 3.3.4 έχουµε V (ϕ, b) = sup{v (ϕ, P) P διαµέριση του [, b], P Q} = sup{v (ϕ, P) P διαµέριση του [, b], γ P}. Παρατηρούµε ότι κάθε διαµέριση P του [, b] που περιέχει το γ είναι της µορφής P = P P 2 όπου P διαµέριση του [, γ] και P 2 διαµέριση του [γ, b]. Επιπλέον, από τον ορισµό της κύµανσης ως προς διαµέριση, ισχύει (3.3..8) V (ϕ, P, b) = V (ϕ, P, γ) + V (ϕ, P 2 γ, b). Αντίστροφα, κάθε Ϲευγάρι διαµερίσεων P, P 2 των [, γ] και [γ, b] αντίστοιχα, δίνει µια διαµέριση P = P P 2 του [, b] η οποία περιέχει το γ. Χρησιµοποιώντας και την (3.3..8) ϐλέπουµε ότι (3.3..9) { V (ϕ, P, b) γ P } = { V (ϕ, P, γ) + V (ϕ, P 2 γ, b) } (το πρώτο σύνολο είναι πάνω από όλες τις διαµερίσεις P του [, b] που περιέχουν το γ ενώ το δεύτερο πάνω από όλα τα Ϲευγάρια διαµερίσεων των [, γ] και [γ, b]). Παίρνοντας supremum και στα δύο µέλη έχουµε V (ϕ, b) = sup γ P V (ϕ, P, b) = sup V (ϕ, P, γ) + sup V (ϕ, P 2 γ, b) P P 2 = V (ϕ, γ) + V (ϕ γ, b). Με επαγωγή µπορούµε να δείξουµε ότι αν γράψουµε το [, b] σαν ένωση [, ] [, 2 ] [ s, s ] οσωνδήποτε διαδοχικών διαστηµάτων, τότε s (3.3..0) V (ϕ, b) = V (ϕ i, i+ ) i=0 όπου 0 = και s = b. Από την (3.3..0) έπεται αµέσως η (3.3..7). Τα παραδείγµατα που ακολουθούν εξηγούν τον ορισµό της κύµανσης: είναι ένα µέτρο της ολικής µεταβολής των τιµών της ϕ στο [, b]. Λίγη σκέψη δείχνει ότι οι συναρτήσεις που έχουν ϕραγµένη κύµανση είναι υποχρεωτικά ϕραγµένες: Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

Λήµµα 3.3.6. Εστω ϕ : [, b] R. Αν V (ϕ) < + τότε η ϕ είναι ϕραγµένη. Απόδειξη. Εστω x (, b). Θεωρούµε τη διαµέριση P x = { < x < b} του [, b]. Τότε, (3.3..) ϕ(x) ϕ() ϕ(x) ϕ() + ϕ(b) ϕ(x) = V (ϕ, P x ) V (ϕ), άρα (3.3..2) ϕ(x) V (ϕ) + ϕ(). Επεται ότι ϕ(x) M για κάθε x [, b], όπου M = mx{v (ϕ) + ϕ(), ϕ(b) }. Παραδείγµατα 3.3.7. (α) Αν η ϕ : [, b] R είναι µονότονη, τότε (3.3..3) V (ϕ) = ϕ(b) ϕ(). Για παράδειγµα, αν η ϕ είναι αύξουσα τότε για κάθε διαµέριση P = { = x 0 < x < < x n = b} του [, b] έχουµε n (3.3..4) V (ϕ, P) = ϕ(x k+ ) ϕ(x k ) = Αρα, k=0 n (3.3..5) V (ϕ) = sup V (ϕ, P) = ϕ(b) ϕ(). P k=0 ( ϕ(xk+ ) ϕ(x k ) ) = ϕ(b) ϕ(). (ϐ) Λέµε ότι η ϕ : [, b] R είναι κατά τµήµατα µονότονη αν υπάρχουν πεπερασµένα το πλήθος σηµεία = 0 < < < s = b στο [, b] ώστε η ϕ να είναι µονότονη σε καθένα από τα διαστήµατα [ i, i+ ], i = 0,,..., s. Από την Πρόταση 3.3.5 και το Παράδειγµα (α), s s (3.3..6) V (ϕ, b) = V (ϕ i, i+ ) = ϕ( i+ ) ϕ( i ). i=0 Ειδικότερα, η ϕ έχει ϕραγµένη κύµανση. (γ) Εστω γ (, b) και έστω ϕ : [, b] R η συνάρτηση µε ϕ(γ) = και ϕ(x) = 0 αλλιώς. Η ϕ είναι αύξουσα στο [, γ] και ϕθίνουσα στο [γ, b]. Αρα, (3.3..7) V (ϕ) = ϕ(γ) ϕ() + ϕ(b) ϕ(γ) = 2 από το Παράδειγµα (ϐ). (δ) Υπάρχουν ϕραγµένες συναρτήσεις που δεν έχουν ϕραγµένη κύµανση. Ενα παράδειγµα µας δίνει η συνάρτηση g του Dirichlet στο [0, ]. Για κάθε n N µπορούµε να ϐρούµε ϱητούς q k και άρρητους α k µε 0 < q < α < < q n < α n <. Αν P είναι η διαµέριση του [0, ] που σχηµατίζουν όλα αυτά τα σηµεία, i=0 (3.3..8) V (g) V (g, P) n g(α k ) g(q k ) = n. k= Αφού V (g) n για κάθε n, η g έχει άπειρη κύµανση. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

(ε) Υπάρχουν συνεχείς ϕ : [, b] R που δεν έχουν ϕραγµένη κύµανση. Ενα παράδειγµα είναι το εξής: Γράφουµε το [0, ] στη µορφή (3.3..9) [0, ] = {0} n= [ 2 n, 2 n ]. Σε κάθε διάστηµα [/2 n, /2 n ] ορίζουµε µια «τριγωνική συνάρτηση» ως εξής: ϑέτουµε ϕ(/2 n ) = 0 = ϕ(/2 n ), ϕ(3/2 n+ ) = /n (ο 3/2 n+ είναι το µέσο του διαστήµατος) και επεκτείνουµε γραµµικά στα [/2 n, 3/2 n+ ] και [3/2 n+, /2 n ]. Με αυτόν τον τρόπο η ϕ έχει οριστεί και είναι συνεχής στο (0, ]. Θέτουµε ϕ(0) = 0. Τότε, η ϕ είναι συνεχής και στο 0: παρατηρήστε ότι (3.3..20) 0 x < 2 n = 0 ϕ(x) n. Θεωρούµε την διαµέριση (3.3..2) P n = Τότε, (3.3..22) V (ϕ, P n ) = Αφού η σειρά k= k { 0 < 2 n < 3 2 n+ < 2 n < 3 2 n < < 2 < 3 4 < }. n k= 2 k. αποκλίνει, συµπεραίνουµε ότι η ϕ έχει άπειρη κύµανση. (Ϲ) Εστω ϕ : [, b] R Lipschitz συνεχής συνάρτηση µε σταθερά M. ηλαδή, (3.3..23) ϕ(x) ϕ(y) M x y για κάθε x, y [, b]. Τότε, η ϕ έχει ϕραγµένη κύµανση: Αν P = { = x 0 < x < < x n = b}, τότε n n (3.3..24) V (ϕ, P) = ϕ(x k+ ) ϕ(x k ) M (x k+ x k ) = M (b ). Επεται ότι (3.3..25) V (ϕ) M (b ) < +. k=0 Ειδικότερα, αν η ϕ είναι παραγωγίσιµη και η ϕ είναι ϕραγµένη στο [, b] τότε η ϕ έχει ϕραγµένη κύµανση. Πράγµατι, χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα µέσης τιµής ϐλέπουµε ότι η ϕ είναι Lipschitz συνεχής µε σταθερά k=0 (3.3..26) M = sup{ ϕ (x) x b}. 3.3.2 Ο χώρος των συναρτήσεων φραγµένης κύµανσης Εστω [, b] ένα κλειστό διάστηµα. Γράφουµε V[, b] για το σύνολο όλων των συναρτήσεων ϕ : [, b] R που έχουν ϕραγµένη κύµανση. Η επόµενη Πρόταση δείχνει ότι το σύνολο V[, b] είναι άλγεβρα συναρτήσεων: είναι γραµµικός χώρος και αν ϕ, ψ V[, b] τότε το γινόµενο ϕ ψ V[, b]. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 20

Πρόταση 3.3.8. Εστω ϕ, ψ V[, b] και έστω t R. Τότε,. ϕ + ψ V[, b] και V (ϕ + ψ) V (ϕ) + V (ψ). 2. t ϕ V[, b] και V (t ϕ) = t V (ϕ). 3. ϕ ψ V[, b] και V (ϕ ψ) ϕ V (ψ) + ψ V (ϕ), όπου ϕ = sup{ ϕ(x) : x b} και ψ = sup{ ψ(x) : x b}. Το Λήµµα 3.3.6 δείχνει ότι οι ϕ, ψ ορίζονται καλά. Απόδειξη. Εστω P = { = x 0 < x < < x n = b} διαµέριση του [, b]. Από την έπεται ότι n V (ϕ + ψ, P) = ϕ(x k+ ) + ψ(x k+ ) ϕ(x k ) ψ(x k ) k=0 n n ϕ(x k+ ) ϕ(x k ) + ψ(x k+ ) ψ(x k ) k=0 = V (ϕ, P) + V (ψ, P) (3.3.2.) V (ϕ + ψ) V (ϕ) + V (ψ) < +. Για τον δεύτερο ισχυρισµό αρκεί να παρατηρήσετε ότι k=0 n V (t ϕ, P) = t ϕ(x k+ ) t ϕ(x k ) k=0 n = t ϕ(x k+ ) ϕ(x k ) k=0 = t V (ϕ, P). Τέλος, µε κατάλληλες προσθαφαιρέσεις και εφαρµογή της τριγωνικής ανισότητας ϐλέπουµε ότι απ όπου προκύπτει η n V (ϕ ψ, P) = ϕ(x k+ )ψ(x k+ ) ϕ(x k )ψ(x k ) k=0 n n ϕ(x k+ ) ψ(x k+ ) ψ(x k ) + ψ(x k ) ϕ(x k+ ) ϕ(x k ) k=0 ϕ V (ψ, P) + ψ V (ϕ, P), (3.3.2.2) V (ϕ ψ) ϕ V (ψ) + ψ V (ϕ). Στην περίπτωση που η ϕ : [, b] R είναι παραγωγίσιµη και η ϕ είναι Riemnn ολοκληρώσιµη, η κύµανση της ϕ δίνεται από το ολοκλήρωµα Riemnn της ϕ : Θεώρηµα 3.3.9. Εστω ϕ : [, b] R παραγωγίσιµη συνάρτηση. Αν η ϕ είναι Riemnn ολοκληρώσιµη, τότε ϕ V[, b] και k=0 (3.3.2.3) V (ϕ) = ϕ (t) dt. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

Απόδειξη. Η ϕ έχει υποτεθεί Riemnn ολοκληρώσιµη, άρα είναι ϕραγµένη συνάρτηση. Αυτό αποδεικνύει ότι ϕ V[, b] (η ϕ είναι Lipschitz συνεχής). Επιπλέον η ϕ είναι Riemnn ολοκληρώσιµη, άρα το δεξιό µέλος της (3.3.2.3) ορίζεται καλά. Εστω ε > 0. Μπορούµε να ϐρούµε διαµερίσεις P και P 2 του [, b] τέτοιες ώστε (3.3.2.4) V (ϕ) ε < V (ϕ, P ) V (ϕ) και (3.3.2.5) U( ϕ, P 2 ) L( ϕ, P 2 ) < ε. Αν P = P P 2 = { = x 0 < x < < x n = b}, τότε οι (3.3.2.4) και (3.3.2.5) ισχύουν µε την P στη ϑέση των P και P 2 αντίστοιχα. Εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα µέσης τιµής σε κάθε [x k, x k+ ] ϐρίσκουµε t k (x k, x k+ ) µε (3.3.2.6) ϕ(x k+ ) ϕ(x k ) = ϕ (t k ) (x k+ x k ). Αρα, n (3.3.2.7) V (ϕ, P) = ϕ (t k ) (x k+ x k ). Από την (3.3.2.5) έχουµε k=0 (3.3.2.8) n ϕ (t) dt ϕ (t k ) (x k+ x k ) < ε. k=0 Συνδυάζοντας τις (3.3.2.7) και (3.3.2.8) παίρνουµε (3.3.2.9) και από την (3.3.2.4) έπεται ότι ϕ (t) dt V (ϕ, P) < ε, (3.3.2.0) ϕ (t) dt V (ϕ) < 2ε. Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, έχουµε αποδείξει το Ϲητούµενο. 3.3.3 Χαρακτηρισµός των συναρτήσεων φραγµένης κύµανσης Εστω ϕ : [, b] R συνάρτηση µε ϕραγµένη κύµανση. Από την Πρόταση 3.3.5 η ϕ έχει ϕραγµένη κύµανση σε κάθε διάστηµα [, x] όπου x [, b] (στην περίπτωση που x =, η κύµανση της ϕ στο [, x] ορίζεται να είναι ίση µε µηδέν). Μπορούµε εποµένως να ορίσουµε µια συνάρτηση v ϕ : [, b] R µε (3.3.3.) v ϕ (x) = V (ϕ, x). Η v ϕ λέγεται συνάρτηση ολικής κύµανσης της ϕ. Από την Πρόταση 3.3.5 έχουµε (3.3.3.2) v ϕ (y) v ϕ (x) = V (ϕ, y) V (ϕ, x) = V (ϕ x, y) 0 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 22

αν x < y στο [, b]. Αρα, η v ϕ είναι αύξουσα συνάρτηση. Επίσης, ϑεωρώντας τη διαµέριση P xy = {x < y} του [x, y] έχουµε (3.3.3.3) ϕ(y) ϕ(x) ϕ(y) ϕ(x) V (ϕ x, y) = v ϕ (y) v ϕ (x), δηλαδή (3.3.3.4) v ϕ (x) ϕ(x) v ϕ (y) ϕ(y) αν x < y στο [, b]. Αρα, η v ϕ ϕ είναι αύξουσα συνάρτηση. Από τις (3.3.3.2) και (3.3.3.4) προκύπτει εύκολα ο εξής χαρακτηρισµός των συναρτήσεων µε ϕραγµένη κύµανση. Θεώρηµα 3.3.0. Εστω ϕ : [, b] R. Η ϕ έχει ϕραγµένη κύµανση αν και µόνο αν γράφεται σαν διαφορά ϕ = ϕ ϕ 2 δύο αυξουσών συναρτήσεων. Απόδειξη. Εστω ϕ V[, b]. Είδαµε ότι οι συναρτήσεις v ϕ και v ϕ ϕ είναι αύξουσες. Γράφοντας (3.3.3.5) ϕ = v ϕ ( v ϕ ϕ ) έχουµε περιγράψει την ϕ σαν διαφορά δύο αυξουσών συναρτήσεων. Αντίστροφα, αν ϕ, ϕ 2 : [, b] R είναι δυο αύξουσες συναρτήσεις, τότε ϕ, ϕ 2 V[, b] και, αφού ο V[, b] είναι γραµµικός χωρος, έχουµε ϕ ϕ 2 V[, b]. Παρατήρηση 3.3.. Η ανάλυση ϕ = ϕ ϕ 2 δεν είναι µοναδική. Αν f : [, b] R είναι οποιαδήποτε αύξουσα συνάρτηση, τότε ϕ = (ϕ + f ) (ϕ 2 + f ) και οι ϕ + f, ϕ 2 + f είναι προφανώς αύξουσες. Αν η ϕ είναι συνεχής συνάρτηση µε ϕραγµένη κύµανση, τότε οι ϕ, ϕ 2 του Θεωρήµατος 3.3.0 µπορούν να υποτεθούν συνεχείς. Η απόδειξη ϑα ϐασιστεί στο εξής Λήµµα. Λήµµα 3.3.2. Εστω ϕ V[, b] και έστω γ [, b]. Η ϕ είναι συνεχής στο γ αν και µόνο αν η v ϕ είναι συνεχής στο γ. Απόδειξη. Παρατηρούµε πρώτα ότι τα πλευρικά όρια των ϕ και v ϕ καθώς y x + ή y x υπάρχουν: οι µονότονες συναρτήσεις έχουν αυτήν την ιδιότητα, άρα και οι διαφορές µονότονων συναρτήσεων. Θα δείξουµε ότι η ϕ είναι συνεχής από δεξιά στο γ [, b) αν και µόνο αν η v ϕ είναι συνεχής από δεξιά στο γ (δουλεύοντας όµοια µε τα όρια από αριστερά, παίρνουµε το συµπέρασµα). Η µία κατεύθυνση είναι απλή: είδαµε ότι αν x < y στο [, b] τότε ϕ(y) ϕ(x) v ϕ (y) v ϕ (x). Παίρνοντας όρια καθώς y x + έχουµε (3.3.3.6) v ϕ (x+) v ϕ (x) ϕ(x+) ϕ(x). Αν η v ϕ είναι συνεχής από δεξιά, η (3.3.3.6) δείχνει ότι ϕ(x+) = ϕ(x). ηλαδή, η ϕ είναι συνεχής από δεξιά. Αντίστροφα, ας υποθέσουµε ότι η ϕ είναι συνεχής από δεξιά στο γ [, b). Εστω ε > 0. Υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε ϕ(γ) ϕ(x) < ε/2 αν γ x < γ + δ. Θεωρούµε διαµέριση P = {γ = x 0 < x < < x n = b} του [γ, b] µε την ιδιότητα (3.3.3.7) V (ϕ γ, b) < V (ϕ, P γ, b) + ε 2. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 23

Η (3.3.3.7) εξακολουθεί να ισχύει αν στη ϑέση της P πάρουµε οποιαδήποτε εκλέπτυνσή της. Αν λοιπόν γ < t < min{γ + δ, x } και P t = {t < x < x 2 < < x n = b} έχουµε V (ϕ γ, b) ε 2 < V (ϕ, P {t} γ, b) = ϕ(t) ϕ(γ) + V (ϕ, P t t, b) < ε + V (ϕ t, b). 2 ηλαδή, v ϕ (t) v ϕ (γ) = ( V (ϕ, b) V (ϕ t, b) ) ( V (ϕ, b) V (ϕ γ, b) ) = V (ϕ γ, b) V (ϕ t, b) < ε. είξαµε ότι 0 v ϕ (t) v ϕ (γ) < ε αν γ < t < min{γ + δ, x }. Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, η v ϕ είναι συνεχής από δεξιά στο γ. Αµεση συνέπεια του Λήµµατος 3.3.2 είναι το εξής. Θεώρηµα 3.3.3. Εστω ϕ : [, b] R συνεχής. Η ϕ έχει ϕραγµένη κύµανση αν και µόνο αν γράφεται σαν διαφορά δύο συνεχών και αυξουσών συναρτήσεων. 3.4 Παραγωγισιµότητα µονότονων συναρτήσεων Αφετηρία αυτής της παραγράφου είναι το ερώτηµα να ϐρεθεί ικανή και αναγκαία συνθήκη που να εξασφαλίζει ότι κάποια συνάρτηση g : [, b] R ικανοποιεί την (3.4.0.8) g(x) g() = x g (t) dλ(t), για κάθε x [, b]. Από τον Απειροστικό Λογισµό γνωρίζουµε ότι αν η g είναι παραγωγίσιµη και η g είναι ολοκληρώσιµη κατά Riemnn τότε η (3.4.0.8) ισχύει. Για να επεκτείνουµε αυτό το αποτέλεσµα, απαραίτητη προϋπόθεση είναι η g να είναι (τουλάχιστον) σχεδόν παντού παραγωγίσιµη. Κατόπιν, ϑα µπορούσαµε να ϑεωρήσουµε το ολοκλήρωµα στο δεξιό µέλος ως ολοκλήρωµα Lebesgue και να προσπαθήσουµε να δούµε ποιές είναι οι συνθήκες που εξασφαλίζουν (και είναι απαραίτητες για) την ισότητα. Το επόµενο ϑεώρηµα δείχνει ότι οι συναρτησεις ϕραγµένης κύµασης είναι σχεδόν παντού παραγωγίσιµες. Θεώρηµα 3.4.. Εστω ϕ : [, b] R συνάρτηση ϕραγµένης κύµανσης. Τότε, η ϕ είναι παραγωγίσιµη σχεδόν παντού. Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 3.3.0, η ϕ γράφεται στη µορφή ϕ = g g 2, όπου g, g 2 : [, b] R είναι αύξουσες συναρτήσεις. Επεται ότι, για την απόδειξη του Θεωρήµατος 3.4. µπορούµε να ϑεωρήσουµε µια αύξουσα συνάρτηση g : [, b] R και να αποδείξουµε ότι η g είναι παραγωγίσιµη σχεδόν παντού. Θα δώσουµε την απόδειξη κάνοντας την πρόσθετη υπόθεση ότι η g είναι συνεχής (η απόδειξη στη γενική περίπτωση έχει περισσότερες τεχνικές λεπτοµέρειες αλλά χρησιµοποιεί παρόµοιες ιδέες, και την παραλείπουµε). Θα χρησιµοποιήσουµε το ακόλουθο λήµµα του F. Riesz. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 24

Λήµµα 3.4.2 (το λήµµα του ανατέλλοντος ηλίου, F. Riesz). Εστω g : R R συνεχής συνάρτηση. Εστω E το σύνολο των x R για τα οποία υπάρχει h = h x > 0 ώστε (3.4.0.9) g(x + h) > g(x). Αν το E είναι µη κενό, τότε είναι ανοικτό σύνολο, άρα γράφεται ως ξένη ένωση E = ( k, b k ), όπου κάθε k ( k, b k ) είναι ανοικτό διάστηµα ή ηµιευθεία. Για κάθε ϕραγµένο διάστηµα ( k, b k ) αυτής της ένωσης, ισχύει (3.4.0.0) g(b k ) g( k ) = 0. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι το E είναι µη κενό. Παρατηρούµε ότι είναι ανοικτό: αν x E τότε υπάρχει h > 0 ώστε g(x + h) > g(x), και λόγω της συνέχειας της g στο x µπορούµε να ϐρούµε δ > 0 ώστε x + δ < x + h και g(y) < g(x + h) για κάθε y (x δ, x + δ). Τότε, (x δ, x + δ) E: πράγµατι, αν y (x δ, x + δ), τότε x + h = y + (x + h y) και h : x + h y > x + h (x + δ) > 0 (άρα, για το y + h έχουµε g(y) < g(x + h) = g(y + h )). Τότε, γνωρίζουµε ότι το E γράφεται στη µορφή E = ( k, b k ), k όπου κάθε ( k, b k ) είναι ανοικτό διάστηµα ή ηµιευθεία και τα ( k, b k ) είναι ξένα ανά δύο. Θεωρούµε ένα ϕραγµένο διάστηµα ( k, b k ) από αυτήν την ένωση. Τότε, k E και από τον ορισµό του E δεν µπορούµε να έχουµε g(b k ) > g( k ). ηλαδή, g(b k ) g( k ). Ας υποθέσουµε ότι g(b k ) < g( k ). Από το ϑεώρηµα ενδιάµεσης τιµής υπάρχει γ ( k, b k ) ώστε g(γ) = g( k )+g(b k ) 2. Μπορούµε µάλιστα να επιλέξουµε το γ να είναι το µέγιστο σηµείο του ( k, b k ) µε αυτήν την ιδιότητα. Αφού γ E, υπάρχει u > γ µε g(u) > g(γ). Επίσης, αφού b k E έχουµε g(x) g(b k ) για κάθε x b k. Οµως, g(u) > g(γ) > g(b k ). Αρα, u < b k. Εφαρµόζοντας ξανά το ϑεώρηµα ενδιάµεσης τιµής ϐρίσκουµε γ (u, b k ) µε g(γ ) = g(γ). Αυτό είναι άτοπο, γιατί γ > γ και είχαµε υποθέσει ότι το γ είναι το µέγιστο σηµείο του ( k, b k ) στο οποίο η g παίρνει την τιµή g( k )+g(b k ) 2. Τροποποιώντας ελαφρά το επιχείρηµα της προηγούµενης απόδειξης παίρνουµε επίσης το εξής. Πόρισµα 3.4.3. Εστω g : [, b] R συνεχής συνάρτηση. Εστω E το σύνολο των x (, b) για τα οποία υπάρχει h = h x > 0 ώστε (3.4.0.) g(x + h) > g(x). Τότε, το E είναι είτε κενό ή ανοικτό σύνολο, και στην δεύτερη περίπτωση γράφεται στη µορφή E = ( k, b k ), όπου κάθε ( k, b k ) είναι ϕραγµένο ανοικτό διάστηµα και g( k ) = g(b k ), µε µόνη k πιθανή εξαίρεση την περίπτωση όπου k =, οπότε έχουµε µόνο την g( k ) g(b k ). Για την απόδειξη του Θεωρήµατος 3.4. δίνουµε πρώτα κάποιους ορισµούς: Ορισµός 3.4.4. Για κάθε x [, b] και h 0 µε x + h [, b] ορίζουµε (3.4.0.2) h ( f )(x) = Οι αριθµοί Dini της f στο x ορίζονται ως εξής: f (x + h) f (x). h D + ( f )(x) = lim sup h ( f )(x) h 0 + D + ( f )(x) = lim inf h( f )(x) h 0 + D ( f )(x) = lim sup h ( f )(x) h 0 D ( f )(x) = lim inf h( f )(x). h 0 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 25

Απόδειξη του Θεωρήµατος 3.4.. Εστω g : [, b] R συνεχής αύξουσα συνάρτηση. Παρατηρούµε ότι D + (g)(x) D + (g)(x) και D (g)(x) D (g)(x) για κάθε x [, b]. Για την απόδειξη του ϑεωρήµατος αρκεί να δείξουµε τα εξής: (α) D + (g)(x) < σχεδόν παντού στο [, b], και (ϐ) D + (g)(x) D (g)(x) σχεδόν παντού στο [, b]. Εχοντας αποδείξει τα παραπάνω, εφαρµόζοντας το (ϐ) για την αύξουσα συνάρτηση h(x) = g( x) ϐλέπουµε ότι D (g)(x) D + (g)(x) σχεδόν παντού. Αρα, σχεδόν παντού στο [, b] έχουµε (3.4.0.3) D + (g)(x) D (g)(x) D (g)(x) D + (g)(x) D + (g)(x) < και έπεται ότι η g (x) υπάρχει σχεδόν παντού. Σταθεροποιούµε s > 0 και ορίζουµε (3.4.0.4) E s := {x [, b] : D + (g)(x) > s}. Αποδεικνύουµε αρχικά ότι το E s είναι µετρήσιµο σύνολο (οι λεπτοµέρειες αφήνονται για την Ασκηση 2). Εφαρµόζοντας το Πόρισµα 3.4.3 για την συνάρτηση w(x) = g(x) sx ϐλέπουµε ότι E s ( k, b k ), όπου k g(b k ) g( k ) s(b k k ). Αρα, (3.4.0.5) λ(e s ) (b k k ) (g(b k ) g( k )) (g(b) g()). s s k k Επεται ότι lim λ(e s ) = 0. Αφού {x : D + (g)(x) = } E s για κάθε s > 0, συµπεραίνουµε ότι s D + (g)(x) < σχεδόν παντού. Στη συνέχεια σταθεροποιούµε R > r και ορίζουµε (3.4.0.6) E r,r = {x [, b] : D + (g)(x) > R και D (g)(x) < r}. Θα δείξουµε ότι λ(e r,r ) = 0. Παρατηρώντας ότι (3.4.0.7) {x : D (g)(x) < D + (g)(x)} = r,r Q,r<R ϐλέπουµε µετά ότι λ({x : D (g)(x) < D + (g)(x)}) = 0, δηλαδή D + (g)(x) D (g)(x) σχεδόν παντού, και αυτό αποδεικνύει το (ϐ). Υποθέτουµε ότι λ(e r,r ) > 0. Αφού R > r, µπορούµε να ϐρούµε ανοικτό σύνολο U ώστε E r,r U (, b) και λ(u) < (R/r)λ(E r,r ). Γράφουµε το U σαν ένωση ξένων ανοικτών διαστηµάτων, U = I n. Σταθεροποιούµε κάποιο n και εφαρµόζουµε το Πόρισµα 3.4.3 για την συνάρτηση n l(x) = g( x)+r x στο διάστηµα I n. Γυρίζοντας πίσω στο (, b) παίρνουµε µια ξένη ένωση διαστηµάτων ( k, b k ), η οποία περιέχεται στο I n, τέτοια ώστε k (3.4.0.8) g(b k ) g( k ) r(b k k ). Εφαρµόζοντας όµως το Πόρισµα 3.4.3 για την m(x) = g(x) Rx στο ( k, b k ), ϐρίσκουµε µια νέα ξένη ένωση διαστηµάτων U n = k,j( k,j, b k,j ) µε ( k,j, b k,j ) ( k, b k ) για κάθε k και j, ώστε (3.4.0.9) g(b k,j ) g( k,j ) R(b k,j k,j ). E r,r Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 26

Από τα παραπάνω έπεται ότι λ(u n ) = (b k,j k,j ) (g(b k,j ) g( k,j )) R k,j k j (g(b k ) g( k )) r (b k k ) R R k r R λ(i n). Αφού D + (g)(x) > R και D (g)(x) < r για κάθε x E r,r, έχουµε E r,r I n U n I n. Αρα, λ(e r,r ) = λ(e r,r I n ) λ(u n ) n r λ(i n ) = r R R λ(u) < λ(e r,r). n n k Αυτό είναι άτοπο, άρα λ(e r,r ) = 0 και η απόδειξη είναι πλήρης. Είδαµε ότι οι αύξουσες συνεχείς συναρτήσεις g : [, b] R είναι παραγωγίσιµες σχεδόν παντού. Αυτό που µπορούµε να πούµε σχετικά µε την (3.4.0.8) είναι το εξής. Πρόταση 3.4.5. Εστω g : [, b] R αύξουσα και συνεχής. Τότε, η g ορίζεται σχεδόν παντού στο [, b] και είναι µετρήσιµη και µη αρνητική. Τέλος, (3.4.0.20) g (x)dλ(x) g(b) g(). Απόδειξη. Επεκτείνουµε την g σε συνεχή αύξουσα συνάρτηση, ϑέτοντας g g(b) στο [b, ) και g g() στο (, ]. Η g ορίζεται σχεδόν παντού από το Θεώρηµα 3.4.. Είναι µετρήσιµη, διότι οι συναρτήσεις (3.4.0.2) u n (x) = g ( ) x + n g(x) /n είναι µετρήσιµες και u n (x) g (x) σχεδόν παντού στο [, b]. Επίσης, αφού η g είναι αύξουσα, έχουµε u n 0 άρα και g = lim n u n 0. Από το λήµµα του Ftou έχουµε (3.4.0.22) g (x)dλ(x) lim inf n u n (x)dλ(x). Οµως, u n (x)dλ(x) = n = n b+/n +/n g(x + /n)dλ(x) n g(y)dλ(y) n g(x)dλ(x) g(x)dλ(x) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 27

Αφού η g είναι συνεχής, έχουµε (3.4.0.23) lim n /n Αυτό αποδεικνύει την (3.4.0.20). +/n = n b+/n b g(x)dλ(x) n g(x)dλ(x) = g() και +/n lim n /n g(x)dλ(x). b+/n b g(x)dλ(x) = g(b). Παρατήρηση 3.4.6. Η συνάρτηση Cntor-Lebesgue f : [0, ] R είναι αύξουσα και συνεχής. Εχουµε δει ότι f (x) = 0 για κάθε x [0, ] \ C. Αφού λ(c) = 0, έχουµε f (x) = 0 σχεδόν παντού. Θυµηθείτε ότι f (0) = 0 και f () =. Ετσι, έχουµε (3.4.0.24) 0 f (x)dλ(x) = 0 < = f () f (0). Το παράδειγµα αυτό δείχνει ότι η ανισότητα στην (3.4.0.20) µπορεί να είναι γνήσια. 3.5 Απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις Ορισµός 3.5.. Μια συνάρτηση f : [, b] R λέγεται απολύτως συνεχής αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 µε την εξής ιδιότητα: αν ( k, b k ), k N είναι ξένα ανά δύο υποδιαστήµατα του [, b] µε n (b k k ) < δ τότε N f (b k ) f ( k ) < ε. k= k= Παρατηρήσεις 3.5.2. (α) Από τον ορισµό είναι άµεσο (πάρτε N = ) ότι κάθε απολύτως συνεχής συνάρτηση f : [, b] R είναι οµοιόµορφα συνεχής (ισοδύναµα, συνεχής). (ϐ) Αν η f : [, b] R είναι απολύτως συνεχής, τότε η f έχει ϕραγµένη κύµανση. Με ϐάση τα αποτελέσµατα της προηγούµενης παραγράφου, η f γράφεται ως διαφορά f = ϕ ϕ 2 δύο συνεχών αυξουσών συναρτήσεων ϕ, ϕ 2 : [, b] R. Επίσης, η συνάρτηση v ϕ (x) = V (ϕ, x) είναι συνεχής, και µάλιστα απολύτως συνεχής στο [, b]. (γ) Αν f : [, b] R είναι µια Lebesgue ολοκληρώσιµη συνάρτηση, τότε η F : [, b] R µε (3.5.0.25) F(x) = x f (x) dλ(x) είναι απολύτως συνεχής. Αυτό προκύπτει από το εξής: Για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε, αν E είναι ένα µετρήσιµο υποσύνολο του [, b] µε λ(e) < δ τότε (3.5.0.26) f dλ < ε. E Απόδειξη. Για κάθε n N ϑεωρούµε την συνάρτηση g n (x) = min{ f (x), n}. Παρατηρήστε ότι g n n. Η {g n } είναι αύξουσα και g n f. Από το ϑεώρηµα µονότονης σύγκλισης έχουµε (3.5.0.27) lim g n dλ = f dλ. n Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 28

Εστω ε > 0. Μπορούµε να ϐρούµε n N ώστε (3.5.0.28) ( f g n ) dλ = f dλ g n dλ < ε 2. Επιλέγουµε δ = ε 2n. Εστω E R µε λ(e) < δ. Γράφουµε f dλ = g n dλ + ( f g n ) dλ E E E nλ(e) + ε 2 < n ε 2n + ε 2 = ε. E g n dλ + Εστω τώρα ( k, b k ), k N ξένα ανά δύο υποδιαστήµατα του [, b] µε διότι N F(b k ) F( k ) = k= = N k= k k N ( k,b k ) k= f dλ N k= f dλ < ε, k k ( f g n ) dλ n k= f dλ (b k k ) < δ. Γράφουµε (3.5.0.29) λ N k, b k ) k=( = N (b k k ) < δ. k= Επεται ότι η F είναι απολύτως συνεχής. Η τελευταία παρατήρηση δείχνει ότι η απόλυτη συνέχεια είναι αναγκαία συνθήκη που πρέπει να ικανοποιεί µια σχεδόν παντού παραγωγίσιµη συνάρτηση f : [,, b] R ώστε να έχουµε την (3.5.0.30) f (x) f () = x f (t) dλ(t) για κάθε x [, b]. Οπως ϑα δούµε, η συνθήκη αυτή είναι και ικανή. Θεώρηµα 3.5.3. Εστω f : [, b] R απολύτως συνεχής συνάρτηση. Τότε, η f είναι παραγωγίσιµη σχεδόν παντού στο [, b]. Επιπλέον, αν f (x) = 0 σχεδόν παντού, τότε η f είναι σταθερή. Το γεγονός ότι η f είναι παραγωγίσιµη σχεδόν παντού προκύπτει από τα αποτελέσµατα της προηγούµενης παραγράφου και από την παρατήρηση ότι κάθε απολύτως συνεχής συνάρτηση είναι συνεχής και έχει ϕραγµένη κύµανση, άρα γράφεται ως διαφορά δύο συνεχών αυξουσών συναρτήσεων. Για να δείξουµε ότι η υπόθεση «f (x) = 0 σχεδόν παντού» συνεπάγεται ότι η f είναι σταθερή, ϑα χρειαστούµε κάποια λήµµατα κάλυψης του Vitli, τα οποία περιγράφουµε στο γενικότερο πλαίσιο του R d. Ορισµός 3.5.4. Λέµε ότι µια οικογένεια = { j : j J} από µπάλες είναι Vitli κάλυψη ενός συνόλου E R d αν για κάθε x E και για κάθε η > 0 υπάρχει µια µπάλα j τέτοια ώστε x j και λ( j ) < η. ηλαδή, αν κάθε x E καλύπτεται από µπάλες της οικογένειας µε οσοδήποτε µικρό µέτρο. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 29

Λήµµα 3.5.5. Εστω E µετρήσιµο υποσύνολο του R d µε λ(e) <. Αν είναι µια Vitli κάλυψη του E τότε, για κάθε δ > 0 µπορούµε να ϐρούµε πεπερασµένες το πλήθος µπάλες,..., N στην οι οποίες είναι ξένες ανά δύο και ικανοποιούν την (3.5.0.3) N λ( i ) λ(e) δ. i= Απόδειξη. Θα χρησιµοποιήσουµε επαγωγικά το Λήµµα 3.2.5. Θέτουµε γ = 3 d. Για δοθέν 0 < δ < λ(e), µπορούµε να ϐρούµε συµπαγές E E µε λ(e ) δ. Τότε, το E καλύπτεται από µια πεπερασµένη υποοικογένεια της, και το Λήµµα 3.2.5 µας εξασφαλίζει ότι υπάρχουν ξένες ανά δύο µπάλες,..., N ώστε (3.5.0.32) N i= λ( i ) γλ(e ) γδ. Κρατάµε τις,..., N και διακρίνουµε δύο περιπτώσεις: N. Αν λ( i ) λ(e) δ τότε έχουµε ήδη αποδείξει το Ϲητούµενο. i= i και, αφού λ(e 2 ) λ(e) N N 2. Αν λ( i ) < λ(e) δ, ορίζουµε E 2 = E \ N λ( i ) > δ, i= i= i= ϐρίσκουµε συµπαγές E 2 E 2 µε λ(e 2 ) δ. Αφού η είναι Vitli κάλυψη του E, εύκολα N ελέγχουµε ότι οι µπάλες της που είναι ξένες προς την i εξακολουθούν να καλύπτουν το i= E 2. Αρα, το E 2 καλύπτεται από µια πεπερασµένη υποοικογένεια της, και το Λήµµα 3.2.5 µας εξασφαλίζει ότι υπάρχουν ξένες ανά δύο µπάλες N +,..., N2 ώστε (3.5.0.33) N 2 i=n + λ( i ) γλ(e 2 ) γδ. ηλαδή, (3.5.0.34) N 2 i= λ( i ) 2γδ. N 2 Κρατάµε τις,..., N2 και συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο. Αν λ( i ) λ(e) δ τότε έχουµε ήδη i= N 2 αποδείξει το Ϲητούµενο. Αν λ( i ) < λ(e) δ, ϐρίσκουµε ξένες µπάλες N2 +,..., N3 ώστε i= (3.5.0.35) N 3 i= λ( i ) 3γδ. Αν συνεχίσουµε έτσι, και αν έχουµε κάνει k ϐήµατα, έχουµε επιλέξει ξένες µπάλες από την ώστε το άθροισµα των µέτρων τους να είναι µεγαλύτερο ή ίσο από kγδ. Ετσι, είτε ϑα πετύχουµε το Ϲητούµενο N s διότι λ( i ) λ(e) δ στο s-ϐήµα της διαδικασίας, ή κάποια στιγµή ϑα ϕτάσουµε στο k-ϐήµα για τον i= µικρότερο k που ικανοποιεί την kγδ λ(e) δ, οπότε ϑα έχουµε πάλι το Ϲητούµενο, διότι Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 30

(3.5.0.36) N k i= λ( i ) kγδ λ(e) δ. Πόρισµα του Λήµµατος 3.5.5 είναι το εξής. Λήµµα 3.5.6. Εστω E µετρήσιµο υποσύνολο του R d µε λ(e) <. Αν είναι µια Vitli κάλυψη του E τότε, για κάθε δ > 0 µπορούµε να ϐρούµε πεπερασµένες το πλήθος µπάλες,..., N στην οι οποίες είναι ξένες ανά δύο και ικανοποιούν την (3.5.0.37) λ E \ N i= i < 2δ. Απόδειξη. Θεωρούµε ανοικτλο σύνολο G E µε λ(g \ E) < δ. Οι µπάλες από την που, επιπλέον, περιέχονται στο G εξακολουθούν να σχηµατίζουν Vitli κάλυψη του E. Εφαρµόζοντας το Λήµµα 3.5.5 ϐρίσκουµε πεπερασµένες το πλήθος µπάλες,..., N στην οι οποίες είναι ξένες ανά δύο και ικανοποιούν την (3.5.0.38) N λ( i ) λ(e) δ. i= Τότε, (3.5.0.39) E \ N i N i= και τα δύο σύνολα στο αριστερό µέλος είναι ξένα. Συνεπώς, λ E \ i= i G, N i λ(g) λ N i i= < λ(e) + δ (λ(e) δ) = 2δ. i= Απόδειξη του Θεωρήµατος 3.5.3. Υποθέτουµε ότι η f είναι απολύτως συνεχής και ότι f (x) = 0 σχεδόν παντού, και ϑα δείξουµε ότι η f είναι σταθερή. Αρκεί να δείξουµε ότι f (b) = f (), διότι µετά µπορούµε να επαναλάβουµε το ίδιο επιχείρηµα στο διάστηµα [, x] και να συµπεράνουµε ότι f (x) = f () για κάθε < x b. Θεωρούµε το σύνολο E των x (, b) για τα οποία υπάρχει η f (x) και είναι ίση µε µηδέν. Από την υπόθεση έχουµε λ(e) = b. Εστω ε > 0. Για κάθε x E έχουµε (3.5.0.40) lim f (x + h) f (x) h 0 h = 0, Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

άρα, για κάθε η > 0 µπορούµε να ϐρούµε I x = ( x, b x ) [, b] τέτοιο ώστε (3.5.0.4) x I x, b x x < η, και f (b x ) f ( x ) < ε(b x x ). Η οικογένεια όλων αυτών των διαστηµάτων είναι κάλυψη του E κατά Vitli. Από το Λήµµα 3.5.6, για κάθε δ > 0 µπορούµε να ϐρούµε πεπερασµένα το πλήθος τέτοια διαστήµατα I i = ( i, b i ), i =,..., N, τα οποία είναι ξένα ανά δύο και ικανοποιούν την (3.5.0.42) N λ(i i ) λ(e) δ = (b ) δ. i= Ταυτόχρονα έχουµε f (b i ) f ( i ) ε(b i i ), άρα N N (3.5.0.43) f (b i ) f ( i ) ε (b i i ) ε(b ), i= i= διότι τα ( i, b i ) είναι ξένα ανά δύο και περιέχονται στο [, b]. Το συµπλήρωµα της ένωσης N I i στο [, b] είναι µια πεπερασµένη ένωση κλειστών διαστηµάτων N [u j, v j ], i= j= και από την (3.5.0.43) έχουµε M (3.5.0.44) (v j u j ) δ. j= Χρησιµοποιώντας την απόλυτη συνέχεια της f µπορούµε να επιλέξουµε το δ αρκετά µικρό ώστε να έχουµε (3.5.0.45) M f (v j ) f (u j ) ε. j= Τότε, N f (b) f () f (b i ) f ( i ) + i= ε(b ) + ε. M f (v j ) f (u j ) j= Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, συµπεραίνουµε ότι f (b) f () = 0. Είµαστε τώρα σε ϑέση να δείξουµε ότι οι απολύτως συνεχείς συναρτήσεις είναι ακριβώς εκείνες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την (3.4.0.8). Θεώρηµα 3.5.7. Εστω f : [, b] R απολύτως συνεχής συνάρτηση. Τότε, η f (x) ορίζεται σχεδόν παντού, και η f είναι ολοκληρώσιµη. Επιπλέον, για κάθε x [, b], (3.5.0.46) f (x) f () = x f (t)dλ(t). Ειδικότερα, (3.5.0.47) f (b) f () = f (t)dλ(t). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 32