Το διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων

Κεφάλαιο Το διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουε ένα διακριτό αλλά περισσότερο ρεαλιστικό υπόδειγα αγοράς, το διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων. Θα διαερίσουε το χρονικό διάστηα αναφοράς [0,T] σε ικρότερα διαστήατα, σε καθένα από τα οποία η δυναική του πρωτογενούς προϊόντος ακολουθεί την απλή δυναική του διωνυικού υποδείγατος ιας περιόδου. Με τον τρόπο αυτό, καθώς η λεπτότητα της διαέρισης ικραίνει, οι τροχιές της αξίας του πρωτογενούς προϊόντος πλησιάζουν περισσότερο στην ιδέα που έχουε για το πώς εταβάλλονται π.χ. οι τιές των ετοχών, ενώ ταυτόχρονα διατηρούε τη δυνατότητα να ελετήσουε αναλυτικά το οντέλο. Επιπλέον, καθόσον το υπόδειγα είναι διακριτό, προσφέρεται εύκολα για αριθητικούς υπολογισούς. Μια πολύ καλή αναφορά για το περιεχόενο αυτού του Κεφαλαίου είναι η [8]..2 Το διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων Στο υπόδειγα αυτό η αγορά που θα ελετήσουε αποτελείται από δύο προϊόντα, το ένα από τα οποία είναι χωρίς κίνδυνο, ενώ το άλλο είναι ένα προϊόν ε κίνδυνο. Επειδή συνήθως θέλουε να τιολογήσουε και να αντισταθίσουε παράγωγα του προϊόντος ε κίνδυνο, θα αναφερόαστε σε αυτό ως πρωτογενές προϊόν και θα θεωρήσουε ένα χρονικό ορίζοντα T ως τον χρόνο ωρίανσης του παραγώγου που θέλουε να αναλύσουε. Το χρονικό διάστηα [0,T] διαερίζεται από τους χρόνους 0t 0 <t 1 <...<t N 1 <t N T σε N ικρότερα διαστήατα τα οποία θα θεωρήσουε για απλότητα ίσα. Εποένως, κάθε τέτοιο διάστηα έχει εύρος h T/N ενώ t k kh, k 0, 1,...,N. Θα υποθέσουε ότι η σηερινή αξία του άνευ κινδύνου προϊόντος είναι B 0 1, ενώ εταβάλλεται στον χρόνο ε ένα σταθερό ρυθό, δηλαδή B tk+1 /B tk Λ. Εδώ θα ακολουθήσουε τη σύβαση ότι το προϊόν χωρίς κίνδυνο είναι ένας λογαριασός ε συνεχή ανατοκισό και σταθερό επιτόκιο r, οπότε Λ e rh. ΗσηερινήαξίατουπρωτογενούςπροϊόντοςείναιS 0 > 0, ενώ η εξέλιξη της στο χρόνο είναι στοχαστική. Αν τη στιγή t k ηαξίατουπρωτογενούςπροϊόντοςείναιs tk, τότε S tk+1 S tk ξ k+1, (.1) όπου η {ξ k } k {1,2,...,N} είναι ια ακολουθία από ανεξάρτητες, ισόνοες τυχαίες εταβλητές. Ηκατανοή των ξ k είναι η ακόλουθη: u, ε πιθανότητα p ξ k (.2) d, ε πιθανότητα 1 p. 29

Για παράδειγα, αν πιστεύουε ότι σε κάθε διάστηα η τιή ιας ετοχής είτε θα ανέβει κατά 5% είτε θα πέσει κατά % ε ίσες πιθανότητες, αυτό αντιστοιχεί στην επιλογή u 1, 05, d 0, 96 και p 1 2 στο οντέλο ας. Παρατηρήστε ότι σε κάθε διάστηα η δυναική του πρωτογενούς προϊόντος είναι ίδια ε αυτή του διωνυικού υποδείγατος ιας περιόδου, όπου s 0 S tk, s 1 S tk u και s 2 S tk d. Οπως είδαε στο αντίστοιχο υπόδειγα ιας περιόδου, προκειένου να ην παρουσιάζονται ευκαιρίες επιτηδειότητας, θα πρέπει τα u, d να ικανοποιούν τον περιορισό d<e rh <u. (.) Επιπλέον, θα απαιτήσουε d>0, ώστε η τιή του πρωτογενούς προϊόντος να είναι πάντα αυστηρά θετική. Αυτό το οντέλο για τη δυναική του πρωτογενούς προϊόντος ονοάζεται διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων (multiperiod binomial model) ήυπόδειγατωνcox, Ross & Rubinstein (CRR). Ηδυναική του πρωτογενούς προϊόντος στο διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων πορεί να παρασταθεί διαγραατικά ε το ακόλουθο ανασυνδυασένο δέντρο. S 0 S 0 u S 0 d S 0 u 2 S 0 ud S 0 d 2 S 0 u N 1 S 0 u N 2 d. S 0 ud N 2 S 0 d N 1 S 0 u N S 0 u N 1 d. S 0 ud N 1 S 0 d N Σε κάθε κόβο του δέντρου το ενδεχόενο να ετακινηθούε προς τα πάνω έχει πιθανότητα p. Από την σχέση (.8) βλέπουε ότι S tk S 0 k ξ j. (.) Οι πιθανές τροχιές της αξίας του πρωτογενούς προϊόντος στο διάστηα [0,T] είναι 2 N, όσες και οι συνδυασοί τιών που πορούν να πάρουν οι τυχαίες εταβλητές {ξ k } k1,...,n. ΗαφετηρίατηςσύγχρονηςθεωρίαςτηςΜαθηατικήςΧρηατοοικονοίαςείναιναθεωρήσουε(όπως και στα υποδείγατα ιας περιόδου) το οντέλο ας σαν ένα χώρο πιθανότητας Ω, κάθε σηείο του οποίου αντιστοιχεί σε ένα από τα πιθανά σενάρια εξέλιξης της αγοράς. Εποένως, στο διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων, κάθε σηείο του Ω είναι ένα ονοπάτι N βηάτων στο παραπάνω δέντρο που ξεκινά από την S 0 και καταλήγει σε ια από τις N +1δυνατές τιές της S T. Για παράδειγα, αν N, τότε το οντέλο ας είναι ένας χώρος πιθανότητας Ω {ω 1,...,ω 8 } όπου j1 ω 1 (ξ 1, ξ 2, ξ )(u, u, u), ω 2 (ξ 1, ξ 2, ξ )(u, u, d), ω (ξ 1, ξ 2, ξ )(u, d, u), ω (ξ 1, ξ 2, ξ )(u, d, d), ω 5 (ξ 1, ξ 2, ξ )(d, u, u), ω 6 (ξ 1, ξ 2, ξ )(d, u, d), ω 7 (ξ 1, ξ 2, ξ )(d, d, u), ω 8 (ξ 1, ξ 2, ξ )(d, d, d). 0

Οι {ξ k } είναι απεικονίσεις από τον Ω (δηλαδή τυχαίες εταβλητές) στο σύνολο {u, d}. Ετσι στο παραπάνω παράδειγα έχουε ξ 1 (ω 1 ) ξ 1 (ω )u και ξ 1 (ω 5 ) ξ 1 (ω 8 )d. Οπως φαίνεται από την (.8), ηαξίαs tk του προϊόντος ε κίνδυνο τη χρονική στιγή t k είναι και αυτή ια τυχαία εταβλητή, εποένως ηαξίατουπροϊόντοςεκίνδυνοείναιιαστοχαστικήδιαδικασίαδιακριτούχρόνουορισένηστονω. Το οντέλο ας καθορίζει επίσης πόσο πιθανή είναι η εφάνιση καθενός από αυτά τα σενάρια. Μαθηατικά αυτό σηαίνει ότι εφοδιάζουε τον Ω ε ένα έτρο πιθανότητας P. ΗπιθανότηταP κάθε ενδεχοένου αντικατοπτρίζει τις πεποιθήσεις ας για την εξέλιξη της αγοράς. Ετσι στο προηγούενο παράδειγα έχουε P({ω 2 })p 2 (1 p). Αξίζει τον κόπο να ξεκαθαρίσουε στο σηείο αυτό ένα λεπτό ζήτηα. Μια τυχαία εταβλητή, καθώς είναι απλά ια απεικόνιση από τον Ω σε κάποιο σύνολο, δεν έχει ανάγκη από κάποιο έτρο πιθανότητας στον Ω για να οριστεί. Αυτό που καθορίζεται από το έτρο πιθανότητας είναι το πόσο πιθανή είναι κάθε τιή της τυχαίας εταβλητής, δηλαδή η κατανοή της τυχαίας εταβλητής. Για παράδειγα, ηαπόκοινού κατανοή των {ξ k } κάτω από το P τις καθιστά ανεξάρτητες ισόνοες τυχαίες εταβλητές ε την κοινή τους κατανοή να δίνεται από την (.2). Αν στον Ω θεωρήσουε ένα άλλο έτρο πιθανότητας, οι ίδιες τυχαίες εταβλητές θα έχουν διαφορετική κατανοή. Π.χ. αν µ είναι ένα έτρο πιθανότητας στον Ω ώστε µ({ω 1 })µ({ω 2 }) 1 2, τότε κάτω από το µ οι ξ 1, ξ 2 παίρνουν την τιή u ε πιθανότητα 1, ενώ η ξ παίρνει τις τιές u και d ε πιθανότητα 1 2 την καθεία. Αυτό που λείπει από το οντέλο ας είναι ια έννοια που να προσδίδει την κατεύθυνση του χρόνου και το ρόλο αυτό παίζει η έννοια της διήθησης (filtration) που θα εξηγήσουε παρακάτω. Ας φανταστούε τον Ω του παραπάνω παραδείγατος σαν ένα σύνολο από τις δυνατές εκβάσεις της αγοράς και ας φανταστούε την εξέλιξη της αγοράς σαν ένα πείραα που πραγατοποιείται και το παρακολουθούε καθώς αναπτύσσεται. Παρατηρώντας την εξέλιξη της αγοράς, θα επιχειρήσουε να αποκαλύψουε ποιο από αυτά τα σενάρια πραγατοποιείται. Στην αρχή, δεν πορούε, όπως είναι φυσικό, να εκφέρουε κάποια κρίση. Ολα τα σενάρια είναι δυνατά. Στο τέλος αντίθετα, έχοντας παρατηρήσει την αγορά έχρι τον χρόνο T, πορούε να αποφανθούε ποιο από τα δυνατά σενάρια πραγατοποιήθηκε. Τι πορούε όως να πούε για τους ενδιάεσους χρόνους; Εχοντας παρατηρήσει την αγορά έχρι τη στιγή t 1, ηπληροφορίαπουπορούε να συλλέξουε είναι αν S t1 S 0 u ή S t1 S 0 d. Μπορεί λοιπόν κανείς να αποφανθεί αν το πείραα που πραγατοποιείται ανήκει στο ενδεχόενο K u {ω 1, ω 2, ω, ω } ήστο K d {ω 5, ω 6, ω 7, ω 8 }. Οοίως, έχοντας παρατηρήσει την αγορά έχρι τη στιγή t 2, κανείς πορεί να αποφανθεί σε ποιο από τα παρακάτω σύνολα ανήκει το σενάριο που εκτυλίσσεται. K uu {ω 1, ω 2 },K ud {ω, ω },K du {ω 5, ω 6 },K dd {ω 7, ω 8 }. Τέλος, όπως είπαε, έχοντας παρατηρήσει την αγορά έχρι τη στιγή t, κανείς πορεί να αποφασίσει ακριβώς ποιο σενάριο πραγατοποιήθηκε, δηλαδή σε ποιό από τα ονοσύνολα K uuu {ω 1 },K uud {ω 2 } κ.λπ. ανήκει το ενδεχόενο που πραγατοποιήθηκε. Βλέπουε λοιπόν ότι καθώς εξελίσσεται η αγορά, ηπληροφορίαπουέχουεσυλλέξειαπότηνs t διαερίζει τον χώρο πιθανότητας σε όλο και λεπτότερα ενδεχόενα. Μπορούε να παραστήσουε γραφικά αυτήν την προοδευτικά λεπτότερη διαέριση του χώρου 1

πιθανότητας ως εξής. {ω 1 } K u K uu {ω 2 } Ω K ud. K du K d K dd {ω 2 N 1} t 0 0 t 1 t 2 {ω 2 N } t N T Συβολίζουε ε F k τη διαέριση του Ω που επάγει η συνελεχθείσα από την αξία του πρωτογενούς προϊόντος πληροφορία έχρι τη στιγή t k. Ετσι, έχουε διαδοχικά: F 0 {Ω}, F 1 {K u,k d }, F 2 {K uu,k ud,k du,k dd }, κ.τ.λ. Παρατηρήστε ότι κάθε στοιχείο της F k αντιστοιχεί σε έναν από τους κόβους του παραπάνω δέντρου στον χρόνο t k και παριστάνει ια δυνατή εξέλιξη της αγοράς έχρι τη στιγή t k. ΗαπόδοσηενόςπαραγώγουεωρίανσηT είναι ια τυχαία εταβλητή X ορισένη στον Ω. Κάθε ω Ω αντιστοιχεί σε ένα πιθανό σενάριο εξέλιξης της αγοράς και η X(ω) είναι η απόδοση του παραγώγου σε αυτό το σενάριο. Πολλές φορές θα έχουε να κάνουε ε παράγωγα ευρωπαϊκού τύπου, των οποίων η απόδοση εξαρτάται όνο από την τιή του πρωτογενούς προϊόντος στην ωρίανση. Σε αυτή την περίπτωση θα έχουε X(ω) f(s T (ω)). Για παράδειγα, ένα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς ε τιή άσκησης K έχει απόδοση X(ω) (S T (ω) K) +. Άλλες φορές πάλι η απόδοση του παραγώγου θα εξαρτάται από όλη την τροχιά της τιής του πρωτογενούς προϊόντος. Για παράδειγα, ένα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς ε κάτω και εκτός φράγα αποδίδει όσο ένα απλό ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς, όνο όως αν η τιή του πρωτογενούς προϊόντος παραείνει έχρι την ωρίανση πάνω από ένα φράγα M. ηλαδή, X(ω) (S T (ω) K) + { min t [0,T ] S t(ω) >M}. Προκειένου να τιολογήσουε ένα παράγωγο, θα θέλαε να αναπαραγάγουε την απόδοσή του, χρησι- οποιώντας ένα χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από τα δυο προϊόντα της αγοράς ας. Εν γένει, δεν είναι δυνατό να κάνουε ια στατική αντιστάθιση, να συνθέσουε δηλαδή ένα χαρτοφυλάκιο τη χρονική στιγή t 0το οποίο να έχει την ίδια απόδοση ε το εν λόγω παράγωγο τη στιγή T. Στο οντέλο ας όως έχει νόηα να επιτρέψουε τις συναλλαγές στους χρόνους t 0,t 1,...,t N 1. Μπορούε να ξεκινήσουε από ένα χαρτοφυλάκιο (φ 0, ψ 0 ), να αλλάξουε τη θέση ας ε ένα αυτοχρηατοδοτούενο τρόπο τη στιγή t 1 σε (φ 1, ψ 1 ) ανάλογα ε την τιή της S t1, τη στιγή t 2 να αλλάξουε και πάλι τη θέση ας σε (φ 2, ψ 2 ) ανάλογα ε την πληροφορία που έχουε διαθέσιη ως τότε (δηλαδή τις τιές των S t1,s t2 ) κ.λπ. Στην ε- πόενη παράγραφο θα δούε πώς, τροποποιώντας το χαρτοφυλάκιο που κατέχουε ανάλογα ε την ως τότε εξέλιξη της αγοράς, πορούε να κατασκευάσουε ένα δυναικό αυτοχρηατοδοτούενο χαρτοφυλάκιο που αναπαράγει την απόδοση του παραγώγου στην ωρίανση και να τιολογήσουε οποιοδήποτε παράγωγο ε ωρίανση T. 2

. Αναδροικός αλγόριθος τιολόγησης και αντιστάθισης Θα λέε ότι ια τυχαία εταβλητή X είναι F k -ετρήσιη, όταν η τιή της εξαρτάται όνο από τις τιές του πρωτογενούς προϊόντος έχρι τη στιγή t k, δηλαδή X(ω) Φ(S t0 (ω),s t1 (ω),...,s tk (ω)), για κάποια συνάρτηση Φ. Από τον παραπάνω ορισό, ια F 0 -ετρήσιη τυχαία εταβλητή είναι ια σταθερά. Ορισός Μια αυτοχρηατοδοτούενη στρατηγική θα είναι ια ακολουθία χαρτοφυλακίων {(φ k, ψ k )} k τέτοια ώστε για κάθε k 0, 1,...,N 1 έχουε ότι 1. οι φ k, ψ k είναι F k -ετρήσιες τυχαίες εταβλητές και 2. φ k S tk+1 + ψ k B tk+1 φ k+1 S tk+1 + ψ k+1 B tk+1. Ηπρώτηαπότιςδύοπαραπάνωσυνθήκεςσηαίνειότιηθέσηπουλαβάνουετηστιγήt k στα προϊόντα της αγοράς εξαρτάται όνο από τη γνώση που έχουε για την εξέλιξη της αγοράς έχρι τότε. Ηδεύτερη συνθήκη σηαίνει ότι η αλλαγή θέσης που κάνουε τη στιγή t k+1 είναι αυτοχρηατοδοτούενη. Το αριστερό έλος της σχέσης είναι η αξία του χαρτοφυλακίου (φ k, ψ k ) αέσως πριν την αλλαγή θέσης, ενώ το δεξί της έλος είναι η αξία του χαρτοφυλακίου (φ k+1, ψ k+1 ) που θέλουε να συνθέσουε τη στιγή t k+1. Εστω τώρα ότι θέλουε να τιολογήσουε ένα παράγωγο ε δεδοένη απόδοση τη στιγή T ίση ε V T U tn (S t0,s t1,...,s tn ). Προσέξτε ότι επιτρέπουε στην απόδοση του παραγώγου να εξαρτάται από όλη την τροχιά της τιής του πρωτογενούς προϊόντος. Θα κατασκευάσουε ια αυτοχρηατοδοτούενη στρατηγική που αναπαράγει την παραπάνω απόδοση στη ωρίανση, δηλαδή φ N 1 S T + ψ N 1 B T V T. Για να ισχύει η παραπάνω, τόσο στο ενδεχόενο {ξ N u} όσο και στο {ξ N d}, θα πρέπει να ικανοποιούνται οι ακόλουθες δύο γραικές εξισώσεις: φ N 1 S tn 1 u + ψ N 1 B tn U tn (S t0,s t1,...,s tn 1,S tn 1 u) φ N 1 S tn 1 d + ψ N 1 B tn U tn (S t0,s t1,...,s tn 1,S tn 1 d), από τις οποίες πορούε να υπολογίσουε τις (φ N 1, ψ N 1 ) όπως στο διωνυικό υπόδειγα ιας περιόδου. Ετσι, αν ορίσουε V N U t N (S t0,s t1,...,s tn 1,S tn 1 u), V N U t N (S t0,s t1,...,s tn 1,S tn 1 d), τότε έχουε φ N 1 V N V N S tn 1 (u d), ψ N 1 V N u V N d. (.5) B tn (u d) Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει αέσως ότι οι (φ N 1, ψ N 1 ) είναι συναρτήσεις των S t0,...,s tn 1, είναι δηλαδή F N 1 -ετρήσιες τυχαίες εταβλητές όπως επιθυούε. Πετύχαε να κατασκευάσουε, ανάλογα ε τη γνώση ας για την εξέλιξη της αγοράς έως τη στιγή t N 1, ένα χαρτοφυλάκιο (φ N 1, ψ N 1 ), η αξία του οποίου τη στιγή t N θα ταυτίζεται ε αυτήν του παραγώγου. Μπορούε λοιπόν να ορίσουε την αξία του παραγώγου τη στιγή t N 1 ως την αξία του χαρτοφυλακίου (φ N 1, ψ N 1 ) που έχει την ίδια αξία ε το παράγωγο τη στιγή t N. Συγκεκριένα, V tn 1 U tn 1 (S t0,s t1,...,s tn 1 ):φ N 1 S tn 1 + ψ N 1 B tn 1

Αντικαθιστώντας τα (φ N 1, ψ N 1 ) από την (.5) παίρνουε όπου V tn 1 e rh (qv N +(1 q)v N ), q erh d u d. Μπορούε τώρα να επαναλάβουε τα παραπάνω βήατα, οπισθοδροώντας έχρι τον χρόνο t 0. Συγκεκρι- ένα, οαλγόριθοςέχειωςεξής: Ορίζουε V tn V T U tn (S 0,...,S tn ). Για k N,N 1,N 2,...,1, έχοντας ορίσει την V tk U tk (S t0,...,s tk ), 1. βρίσκουε χαρτοφυλάκιο (φ k 1, ψ k 1 ) ώστε οι φ k 1, ψ k 1 να είναι F k 1 -ετρήσιες τυχαίες εταβλητές και φ k 1 S tk + ψ k 1 B tk V tk, (.6) 2. ορίζουε την αξία του παραγώγου τη στιγή t k 1 ως την αξία του χαρτοφυλακίου (φ k 1, ψ k 1 ) V tk 1 U tk 1 (S t0,s t1,...,s tk 1 ) : φ k 1 S tk 1 + ψ k 1 B tk 1 (.7) e rh qv k +(1 q)vk. (.8) Από την κατασκευή του το χαρτοφυλάκιο (φ j 1, ψ j 1 ) έχει τη στιγή t j αξία ίση ε αυτού του χαρτοφυλακίου (φ j, ψ j ), όπως φαίνεται από τις (.7) και (.6). Εποένως η αλλαγή θέσης από (φ j 1, ψ j 1 ) σε (φ j, ψ j ) που χρειάζεται να κάνουε τη στιγή t j είναι αυτοχρηατοδοτούενη. Κατασκευάζουε λοιπόν έτσι ια αυτοχρηατοδοτούενη στρατηγική που αναπαράγει την απόδοση του παραγώγου στην ωρίανση. Η αρχή της η επιτηδειότητας επιβάλλει σε αυτή την περίπτωση την αρχική αξία του παραγώγου. Προκειένου να ην υπάρχει στρατηγική επιτηδειότητας, θα πρέπει V t0 φ 0 S t0 + ψ 0. Πράγατι, αν η τιή διαπραγάτευσης του παραγώγου είναι V τότε πορούε να κατασκευάσουε ένα χαρτοφυλάκιο που αρχικά αποτελείται από: Αρνητική θέση στο παράγωγο, φ 0 πρωτογενή προϊόντα, V φ 0 S t0 V V t0 + ψ 0 προϊόντα χωρίς κίνδυνο. Το χαρτοφυλάκιο αυτό προφανώς κατασκευάζεται χωρίς κόστος. Αν τις στιγές t 1,...,t N 1 κάνουε τις αυτοχρηατοδοτούενες αλλαγές θέσεις ώστε τη στιγή t k να κατέχουε το χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από: Αρνητική θέση στο παράγωγο, φ k πρωτογενή προϊόντα, V V t0 + ψ k προϊόντα χωρίς κίνδυνο, τότε η αξία της θέσης ας στην ωρίανση θα είναι: V T + φ N 1 S T + ψ N 1 B T +(V V t0 )B T (V V t0 )e rt. Είναι φανερό λοιπόν ότι, αν V V t0, τότε παίρνοντας θετική ή αρνητική θέση στην προηγούενη στρατηγική, ανάλογα ε το αν V > V t0 ή V < V t0, πορούε να πραγατοποιήσουε ια στρατηγική επιτηδειότητας.

Παρατήρηση 11 ΗυποκειενικήπιθανότηταP που το οντέλο ας αποδίδει σε κάθε τροχιά ΕΝ υπεισέρχεται στον προσδιορισό της αρχικής αξίας του παραγώγου. Ας δούε τώρα πώς πορούε να εφαρόσουε την παραπάνω έθοδο έσα από δύο παραδείγατα, ένα στο όποιο η απόδοση του παραγώγου εξαρτάται όνο από την τελική τιή S T του πρωτογενούς προϊόντος και ένα στο οποίο η απόδοση του παραγώγου εξαρτάται από ολόκληρη την τροχιά S της τιής του προϊόντος. Εστω λοιπόν ότι η σηερινή τιή ιας ετοχής είναι S t0 5 και στα επόενα τρια τρίηνα (h 0, 25 έτη) ητιήτηςακολουθείτοδιωνυικόυπόδειγαεu,d 2 και erh 16 15. Ηδυναικήτηςετοχήςπορείναπαρασταθείαπότοανασυνδυασένοδυωνυικόδέντρο 128 96 5 72 6 8 2 6 2 16 Παράδειγα 9 Θα τιολογήσουε ε βάση το παραπάνω υπόδειγα ένα δικαίωα πώλησης της ετοχής ε τιή άσκησης K 8 και ωρίανση σε 9 ήνες. Αξίζει να παρατηρήσουε ότι, αν η απόδοση του παραγώγου εξαρτάται όνο από την τελική τιή του πρωτογενούς προϊόντος, αν δηλαδή έχουε V T f(s T ), τότε το χαρτοφυλάκιο (φ k, ψ k ) που πρέπει να κατέχουε τη στιγή t k εξαρτάται όνο από την τρέχουσα τιή του πρωτογενούς προϊόντος S tk. Πράγατι, έχουε ότι V N f(s t N 1 u), V N f(s t N 1 d). Εποένως, από την (.5) φ N 1 f(s t N 1 u) f(s tn 1 d), ψ N 1 B tn f(s t N 1 d) u f(s tn 1 u) d S tn 1 u S tn 1 d u d Βλέπουε λοιπόν ότι οι φ N 1, ψ N 1 εξαρτώνται όνο από την S tn 1, και η V tn 1 φ N 1 S tn 1 + ψ N 1 B tn 1 εξαρτάται όνο από την S tn 1. Επαναλαβάνοντας την παραπάνω διαδικασία έχρι να φτάσουε στον χρόνο t k συπεραίνουε ότι οι φ k και ψ k εξαρτώνται όνο από την S tk. Στην αναπαράσταση της δυναικής της αγοράς ως ένα δέντρο, οκάθεκόβοςτουδέντρουαντιστοιχεί σε ια καθορισένη αξία για το παράγωγο και ένα καθορισένο αντισταθιστικό χαρτοφυλάκιο, αφού αυτά εξαρτώνται όνο από την τρέχουσα τιή του πρωτογενούς προϊόντος (τον κόβο που βρισκόαστε) και όχι από όλη την τροχιά του πρωτογενούς προϊόντος έχρι εκείνη τη στιγή (πώς καταλήξαε σε αυτόν τον κόβο). Αρκεί λοιπόν για k N 1,N 2,...,1, 0 να προσδιορίσουε σε κάθε κόβο του δέντρου που αντιστοιχεί στη στιγή t k το αντισταθιστικό χαρτοφυλάκιο και την αξία του παραγώγου στον κόβο αυτό. Στο παράδειγά ας έχουε V T ({S T 128}) V T ({S T 6}) 0,V T ({S T 2}) 8 2 16, V T ({S T 16}) 8 16 2. Εποένως, στους κόβους που αντιστοιχούν στον χρόνο t 2 έχουε φ 2 ({S t2 2}) 16 2 2 16 1, ψ 2({S t2 2})e rh 2 / 16 2/ 2 8 5

και Οοίως, V t2 ({S t2 2}) 1 2 + 8 ( 15 16 ) 21. και Αντίστοιχα, φ 2 ({S t2 8}) 0 16 6 2 1 2, ψ 2({S t2 8})e rh 16 / 0 2/ 2 2 V t2 ({S t2 8}) 1 2 8 + 2 (15 16 )6. φ 2 ({S t2 96}) ψ 2 ({S t2 96}) V t2 ({S t2 96}) 0. Εχοντας προσδιορίσει την V t2 σε κάθε ενδεχόενο προχωρούε για να υπολογίσουε την V t1. Συγκεκρι- ένα, φ 1 ({S t1 6}) 6 21 8 2 5 8, ψ 1({S t1 6})e 2rh 21 / 6 2/ 2 6, V t1 ({S t1 6}) 5 8 Στο ενδεχόενο {S t1 72} έχουε αντίστοιχα, 6 + 6 (15 16 )5. φ 1 ({S t1 72}) 0 6 96 8 1 8, ψ 1({S t1 72})e 2rh 6 / 0 2/ 2 12, V t1 ({S t1 72}) 1 8 Τέλος, προσδιορίζουε το χαρτοφυλάκιο (φ 0, ψ 0 ). συνεπώς φ 0 9/ 5/ 72 6 1, ψ 0e rh 72 + 12 (15 16 )9. 5 / 9 2/ 2 81, V t0 1 5 + 81 (15 16 )51 5, 875. 6 Μπορούε να παραστήσουε γραφικά τη στρατηγική που πρέπει να ακολουθήσουε για να αναπαραγάγουε την απόδοση του παραγώγου ε το επόενο ανασυνδυασένο διωνυικό δέντρο. S 5 φ 1 V 51 6 S 72 φ 1 8 V 9 S 6 φ 5 8 V 5 S 96 φ 0 S 8 φ 1 2 V 6 S 2 φ 1 V 21 S 128 S 6 S 2 V 16 S 16 V 2 6

Για να αντισταθίσουε λοιπόν το παράγωγο πρέπει να ξεκινήσουε ε αρνητική θέση σε 1/ της ετοχής και 1215/6 ετρητά, θέση που αξίζει V t0 51/6. Τη στιγή t 1 το ποσό που είχαε επενδύσει χωρίς κίνδυνο θα έχει ανέλθει σε 1215/6 16/15 81/. Αν τώρα για παράδειγα η τιή της ετοχής έχει ανέλθει σε 72, ηνέαθέσηπουπρέπειναπάρουεστηετοχή(φ 1 ({S t1 72})) είναι αρνητική σε 1/8 της ετοχής. Χρειάζεται λοιπόν να αγοράσουε 1/8 της ετοχής προς 72, εποένως στον λογαριασό χωρίς κίνδυνο θα αποείνουν 81/ 72 1/8 5/. Τη στιγή t 2 τα χρήατα αυτά θα έχουν γίνει 5/ 16/15 12. Αν πάλι για παράδειγα η τιή της ετοχής τη στιγή t 2 έχει πέσει σε 8, ηνέαθέση που πρέπει να αποκτήσουε στη ετοχή (φ 2 ({S t2 8})) είναι 1 2. Θα πρέπει λοιπόν να διαθέσουε /8 της ετοχής προς 8 τα οποία θα ας αποφέρουν 18, εποένως στο λογαριασό χωρίς κίνδυνο θα έχουε 12+180. Στην ωρίανση του δικαιώατος το ποσό αυτό θα έχει γίνει 0 16/15 2. Παρατηρήστε ότι, αν στην ωρίανση η τιή της ετοχής είναι 6, ηαξίατουχαρτοφυλακίουαςθαείναι 1 2 6+2 0, ενώ αν η τιή της ετοχής είναι 2, τότε η αξία του χαρτοφυλακίου ας θα είναι 1 2 2 + 2 16. Βλέπουε λοιπόν πώς αναπαράγεται η απόδοση του δικαιώατος πώλησης στο ενδεχόενο {S t1 72, S t2 8}. Αξίζει τον κόπο να ελέγξετε όνοι σας πώς πορούε να αναπαραγάγουε την απόδοση του παραγώγου σε ένα άλλο ενδεχόενο, π.χ. στο {S t1 6, S t2 2}. Παράδειγα 10 Θα τιολογήσουε τώρα βάσει του ιδίου οντέλου για τη δυναική της ετοχής ένα παράγωγο η απόδοση του οποίου εξαρτάται από όλη την τροχιά της τιής της ετοχής. Θα χρησιοποιήσουε σκοπίως ια παραλλαγή του προηγούενου δικαιώατος, ένα δικαίωα πώλησης της ετοχής προς 8 ε άνω και εκτός φράγα στην τιή 60. Το παράγωγο αυτό αποδίδει στην ωρίανση (8 S T ) + ε την προϋπόθεση όως η αξία της ετοχής να ην έχει ξεπεράσει την τιή 60 πριν την ωρίανση. Αν κάποια στιγή πριν την ωρίανση η αξία της ετοχής υπερβεί την τιή 60, τότε το δικαίωα πώλησης αυτοάτως καταργείται και το παράγωγο έχει ηδενική απόδοση. Είναι σαφές ότι η τελική τιή της ετοχής δεν αρκεί για να προσδιορίσουε την απόδοση αυτού του παραγώγου. Για παράδειγα, στο ενδεχόενο {S t1 6, S t2 8, S t 2} ηαπόδοσητουπαραγώγουείναι 16 όπως και πριν, όως στο ενδεχόενο {S t1 72, S t2 8, S t 2} ηαπόδοσητουπαραγώγουείναι ηδέν, αφού το φράγα των 60 έχει ξεπεραστεί. Σε αντίθεση λοιπόν ε το προηγούενο παράδειγα, εδώ ηστρατηγικήπουθαακολουθήσουεστονχρόνοt 2 για την αντιστάθιση, αν {S t1 6, S t2 8}, θα είναι διαφορετική από αυτήν που θα ακολουθήσουε, αν {S t1 72, S t2 8}. Στην πράξη, για να τιολογήσουε ε τον αναδροικό αλγόριθο παράγωγα η απόδοση των οποίων ε- ξαρτάται από ολόκληρη την τροχιά της αξίας του πρωτογενούς προϊόντος, θα πρέπει στο δέντρο που θα κατασκευάσουε για να παραστήσουε τη στρατηγική αντιστάθισης να ΜΗΝ ανασυνδυάζουε κόβους που αντιστοιχούν σε διαφορετική απόδοση του παραγώγου. Ετσι σε κάθε χρονική στιγή t k θα έχουε εν γένει 2 k κόβους - ένα για κάθε δυνατή τροχιά. Με αυτόν τον τρόπο εξασφαλίζουε ότι η αξία του παραγώγου είναι καλά ορισένη σε κάθε κόβο του δέντρου. Στο παράδειγά ας έχουε για τη στιγή t 2 τις ακόλουθες περιπτώσεις: Στο ενδεχόενο K u,u {S t1 72,S t2 96}, V t ({S t1 72,S t2 96,S t 128}) V t ({S t1 72,S t2 96,S t 6}) 0, και φ 2 (K u,u )ψ 2 (K u,u )0 V t2 (K u,u )0. Στο ενδεχόενο K u,d {S t1 72,S t2 8}, V t ({S t1 72,S t2 8,S t 6}) V t ({S t1 72,S t2 8,S t 2}) 0, 7

και φ 2 (K u,d )ψ 2 (K u,d )0 V t2 (K u,d )0. Στο ενδεχόενο K d,u {S t1 6,S t2 8}, και V t ({S t1 6,S t2 8,S t 6}) 0,V t ({S t1 6,S t2 8,S t 2}) 16, φ 2 (K d,u ) 0 16 6 2 1 2, ψ 2(K d,u )e rh 16 / 0 2/ 2 2 V t2 (K d,u ) 1 2 Στο ενδεχόενο K d,d {S t1 6,S t2 2}, και 8 + 2 (15 16 )6. V t ({S t1 6,S t2 2,S t 2}) 16, V t ({S t1 6,S t2 2,S t 16}) 2, φ 2 (K d,d ) 16 2 2 16 1, ψ 2(K d,d )e rh 2 / 16 2/ 2 8 V t2 (K d,d ) 1 2 + 8 ( 15 16 ) 21. Συνεχίζοντας, για τη στιγή t 1 έχουε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Στο ενδεχόενο K u {S t1 72}, V t2 ({S t1 72,S t2 96}) V t2 ({S t1 72,S t2 8}) 0, και φ 1 (K u )ψ 1 (K u )0 V t1 (K u )0. Στο ενδεχόενο K d {S t1 6}, και Υπολογίζουε τέλος τα φ 0, ψ 0,V t0 : V t2 ({S t1 6,S t2 8}) 6,V t2 ({S t1 6,S t2 2}) 21, φ 1 (K d ) 6 21 8 2 5 8, ψ 1(K d )e 2rh 21 / 6 2/ 2 6 V t1 (K d ) 5 8 6 + 6 (15 16 )5. συνεπώς φ 0 0 5/ 72 6 5 16, ψ 0e rh V t0 5 16 5 / 0 2/ 2 5 5 + 2 (15 16 )15, 21875. 2 5 2, 8

Μπορούε και πάλι να παραστήσουε ε ένα διωνυικό δέντρο τη στρατηγική που πρέπει να ακολουθήσει κανείς για να αναπαραγάγει την απόδοση του παραγώγου ως εξής: S 5 φ 5 16 V 15 2 S 72 φ 0 S 6 φ 5 8 V 5 S 96 φ 0 S 8 φ 0 S 8 φ 1 2 V 6 S 2 φ 1 V 21 S 128 S 6 S 2 S 6 S 2 V 16 S 16 V 2. Ασκήσεις Άσκηση 25 Εχετε όλις πουλήσει το προηγούενο παράγωγο προς,21875. Περιγράψτε ακριβώς τις συναλλαγές που θα κάνατε ώστε να αντισταθίσετε τον κίνδυνο από τυχούσα πτώση της τιής της ετοχής στο ενδεχόενο που αυτή ακολουθεί την τροχιά 5,6,2,16. Επαναλάβετε για το ενδεχόενο που η τιή της ετοχής ακολουθεί την τροχιά 5,72,8,2. Οι συναλλαγές που θα κάνετε θα πρέπει φυσικά να βασίζονται όνο στην πληροφορία για την τιή της ετοχής που είναι διαθέσιη ως τη στιγή που πραγατοποιούνται. Άσκηση 26 Για τη δυναική ας ετοχής ε S 0 86,0 θεωρήστε ένα διωνυικό υπόδειγα τριών περιόδων ε e rh /, u 5/, d 2/. Βάσει αυτού του υποδείγατος τιολογήστε ένα ευρωπαϊκό δικαίωα πώλησης ε ωρίανση σε τρεις περιόδους και τιή άσκησης 86,0. Άσκηση 27 Ενα ευρωπαϊκό δικαίωα πώλησης ε τιή άσκησης 90 πρόκειται να ωριάσει σε ένα χρόνο. ΗτρέχουσατιήτουπρωτογενούςπροϊόντοςείναιS 0 100 και το άνευ κινδύνου ετήσιο επιτόκιο είναι 8,6% υπολογισένο ε συνεχή απόδοση. ιαιρέστε τον χρόνο σε τέσσερα τρίηνα και χρησιοποιήστε ένα ανασυνδυασένο διωνυικό δέντρο ε u 1, 17 και d 0, 88. α) Προσδιορίστε την τιή αυτού του δικαιώατος εργαζόενοι αναδροικά στο διωνυικό δέντρο. β) Περιγράψτε το χαρτοφυλάκιο που πρέπει να έχουε προκειένου να αναπαραγάγουε την απόδοση του παραγώγου στις εξής δύο περιπτώσεις: - Το πρωτογενές προϊόν ακολουθεί την τροχιά S 0,S 0 u, S 0 u 2,S 0 u 2 d. - Το πρωτογενές προϊόν ακολουθεί την τροχιά S 0,S 0 d, S 0 ud, S 0 u 2 d. Άσκηση 28 Ητιήιαςετοχήςείναισήερα 50. Σε καθένα από τα επόενα δύο τρίηνα αναένεται να παρουσιάσει είτε 10% αύξηση είτε 10% είωση. Το ετήσιο άνευ κινδύνου επιτόκιο είναι 12% υπολογισένο ε συνεχή απόδοση. α. Ποια είναι η σηερινή αξία που επιβάλλει η αρχή της η επιτηδειότητας για ένα εξάηνο ευρωπαϊκό δικαίωα πώλησης ε τιή άσκησης 52, 50; β. Κατασκευάστε ια στρατηγική επιτηδειότητας, αν η τρέχουσα τιή διαπραγάτευσης αυτού του δικαιώατος είναι 2,2. Άσκηση 29 ίνεται το ακόλουθο δυωνυικό υπόδειγα για τη δυναική ιας ετοχής. 9

160 10 100 120 80 100 60 120 80 0 Ηκάθεπερίοδοςστοπαραπάνωδέντροαντιστοιχείσεδιάστηατεσσάρωνηνών. Στην αγορά υπάρχει επίσης ένα προϊόν χωρίς κίνδυνο ε επιτόκιο 1,67% υπολογισένο ε συνεχή ανατοκισό. α) Τιολογήστε βάσει του παραπάνω υποδείγατος ένα δικαίωα αγοράς της ετοχής ε ωρίανση σε ένα έτος και τιή άσκησης 100. β) Τιολογήστε βάσει του παραπάνω υποδείγατος ένα δικάιωα πώλησης της ετοχής ε ωρίανση σε ένα έτος και τιή άσκησης 100. Επιβεβαιώστε τη σχέση ισοτιίας των ευρωπαϊκών δικαιωάτων αγοράς και πώλησης. Άσκηση 0 α) Τιολογήστε βάσει του υποδείγατος αγοράς της προηγούενης άσκησης ένα παράγωγο ε ωρίανση T 1 έτος και απόδοση V T (ω) max S t i (ω) S T (ω). i {0,1,2,} β) Περιγράψτε ακριβώς τις συναλλαγές που θα έπρεπε να κάνετε τις στιγές t t 0,t 1,t 2 ώστε να αντισταθίσετε το παράγωγο αυτό στα παρακάτω δύο ενδεχόενα: ω 1 {S 0 100, S t1 120, S t2 100, S T 80} ω 2 {S 0 100, S t1 80, S t2 100, S T 80}. Σηείωση: το παράγωγο αυτό ουσιαστικά επιτρέπει στον κάτοχό του να πουλήσει το πρωτογενές προϊόν στη έγιστη τιή που σηείωσε έχρι την ωρίανση και είναι γνωστό σαν European lookback put option. Άσκηση 1 Θεωρούε ένα ιδιαίτερο δικαίωα πώλησης επί ιας ετοχής ε ωρίανση σε ένα έτος που περιγράφεται ως εξής. Ητρέχουσατιήτηςετοχήςείναι 0 και η τρέχουσα τιή άσκησης είναι 0. Αν η τιή της ετοχής έπειτα από 6 ήνες είναι ικρότερη από 5, τότε η τιή άσκησης στην ωρίανση επανακαθορίζεται σε 5, διαφορετικά παραένει στα 0. α. Είναι η τιή αυτού του δικαιώατος ικρότερη ή εγαλύτερη από αυτήν ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος πώλησης ε την ίδια ωρίανση και τιή άσκησης 0; Απαντήστε χωρίς να υποθέσετε κάποιο υπόδειγα για τη δυναική της ετοχής. β. Τιολογήστε το παράγωγο χρησιοποιώντας ένα διωνυικό δέντρο δύο περιόδων ε u 1, 277 και d 0, 776. γ. Τιολογήστε το παράγωγο χρησιοποιώντας ένα διωνυικό δέντρο τεσσάρων περιόδων ε u 1, 1879 και d 0, 871. ίνεται το επιτόκιο του προϊόντος χωρίς κίνδυνο r 6% ε συνεχή ανατοκισό. 0