Ανάλσση παλινδρόμησης

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ανάλσση παλινδρόμησης Πειραιάς,

Έλεγτοι σποθέζεφν ζηο κανονικό γραμμικό μονηέλο

Ο ζηαηιζηικόρ έλεγσορ για ύπαπξη γπαμμικήρ ζσέζηρ Σην ζηαηηζηηθό γξακκηθό Y i x i i αλ ηζρύεη ζα πάξνπκε Yi i, i ~ N(, ), δειαδή Y i ~ N(, ). Επνκέλσο νη θαηαλνκέο ησλ Υ i, i =,,,n είλαη όιεο νη ίδηεο αλεμάξηεηα από ην επίπεδν ηνπ Φ (ην Φ είλαη άρξεζην - δελ δίλεη θακία πιεξνθνξία - γηα ηελ πξόβιεςε ηνπ Υ) 3

Τν ζγκ Y i όηαλ ηζρύεη Y i x i Καηαλνκή ησλ Υ i E( ) Y i x x x 3 X Y i ~ N(, ) 4

Ο ζηαηιζηικόρ έλεγσορ για ύπαπξη γπαμμικήρ ζσέζηρ Η : Η : 5

Ο ζηαηιζηικόρ έλεγσορ για ύπαπξη γπαμμικήρ ζσέζηρ Η Η : : 6

Διάζηημα εμπιζηοζύνης για ηη ζηαθερά β ηης εσθείας ελατίζηφν ηεηραγώνφν (από προηγούμενα μαθήμαηα) s( ˆ ) s ( ˆ ) s x S xx s SSE ˆ i i 7

Ο ζηαηιζηικόρ έλεγσορ για ύπαπξη γπαμμικήρ ζσέζηρ 8

Ο ζηαηιζηικόρ έλεγσορ για ύπαπξη γπαμμικήρ ζσέζηρ Η Η : : 9

Ο ζηαηιζηικόρ έλεγσορ για μηδενιζμό ηος β ο

Παράδειγμα αγρών: Στέζη λιπάζμαηος και παραγφγής αγρού Ένασ αγρότθσ ενδιαφζρεται να προςδιορίςει τον τρόπο με τον οποίο θ ποςότθτα Χ του λιπάςματοσ που χρθςιμοποιείται ςε ζνα αγροτεμάχιο επθρεάηει τθν παραγωγι Υ του αγροκτιματοσ. Για το ςκοπό αυτό πειραματίηεται με ν= όμοια αγροτεμάχια (ίδιου εμβαδοφ, ςε περιοχζσ που επικρατοφν παρόμοιεσ κλιματολογικζσ ςυνκικεσ κλπ) ζτςι ώςτε οι όποιεσ διαφοροποιιςεισ παρατθροφνται ςτθν παραγωγι των αγρών να οφείλονται κατά κφριο λόγο ςτισ διαφορετικζσ ποςότθτεσ λιπάςματοσ που χρθςιμοποιικθκαν. Στο διπλανό πίνακα δίνεται θ παραγωγι Υ (ςε χιλιάδεσ κιλά) για ν= όμοια αγροτεμάχια κακώσ και θ ποςότθτα Χ του λιπάςματοσ που χρθςιμοποιικθκε ςτο κακζνα (ςε εκατοντάδεσ κιλά).

Παράδειγμα.4. Αο ζεσξήζνπκε όηη ζην Παξάδεηγκα.., νη ηπραίεο κεηαβιεηέο Yi πνπ πεξηγξάθνπλ ηελ παξαγσγή ελόο αγξνύ ζηνλ νπνίν ρξεζηκνπνηείηαη πνζόηεηα ιηπάζκαηνο x i, i,,..., ηθαλνπνηνύλ ηηο ππνζέζεηο ηνπ θαλνληθνύ γξακκηθνύ κνληέινπ (..). Φξεζηκνπνηώληαο ηα δεδνκέλα ηνπ Πίλαθα.. λα ειεγρζεί, ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο a %, α. αλ ε πνζόηεηα ηνπ ιηπάζκαηνο πνπ ρξεζηκνπνηνύκε επεξεάδεη ηελ παξαγσγή ηνπ αγξνύ. β. αλ ε παξαγσγή ηνπ αγξνύ ζα είλαη κεδεληθή όηαλ δελ ρξεζηκνπνηήζνπκε θαζόινπ ιίπαζκα.

SSE 54 Λύζη: ˆ 4, ˆ 5, s 67. 5. ˆ x 6.4 s ( ) s 67.5 53.53 39.4 S xx ˆ s ( ) s 67.5.79. S xx 39.4 s ( ˆ ) 53.53 7.97, s ( ˆ ).79. 458. H έλαληη ηεο H. : Κξίζηκε πεξηνρή ηνπ ειέγρνπ: T t ( a/ ) : t ( a / ) t8(./ ) t8(.5) Τηκή από πίλαθεο: 3. 355 Παξαηεξνύκελε ηηκή γηα ηε 5 ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε Τ κε t 36. 75.458 βάζε ηα δηαζέζηκα δεδνκέλα Σπλεπώο, κπνξνύκε λα απνξξίςνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε H : 3

Παράδειγμα.4. (παραηήρηζη) Η απόθαζε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο H ζε : επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο a % ζα κπνξνύζε λα είρε ιεθζεί θαη κε βάζε ηελ παξαηήξεζε όηη ε ηηκή c δελ βξίζθεηαη εληόο ηνπ δηαζηήκαηνο εκπηζηνζύλεο κε ζπληειεζηή εκπηζηνζύλεο a..99. Πξάγκαηη, έρνπκε [ ˆ ˆ ˆ ˆ s( ) t ( a/ ), s( ) t ( a/ )] ( 5.4583.355), (5.4583.355) 3.8,6.4 ην νπνίν δελ πεξηέρεη ηελ ηηκή c. 4

SSE 54 Λύζη (ζπλέρεηα). ˆ 4, ˆ 5, s 67. 5. ˆ x 6.4 s ( ) s 67.5 53.53 39.4 S xx ˆ s ( ) s 67.5.79. S xx 39.4 s ( ˆ ) 53.53 7.97, s ( ˆ ).79. 458. H έλαληη ηεο H : Κξίζηκε πεξηνρή ηνπ ειέγρνπ: T t ( a/ ) : t ( a / ) t8(./ ) t8(.5) Τηκή από πίλαθεο: 3. 355 Παξαηεξνύκελε ηηκή γηα ηε 4 ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε Τ κε t 54. 87 7.97 βάζε ηα δηαζέζηκα δεδνκέλα Σπλεπώο, νδεγνύκαζηε ζε απόξξηςε ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο H :. Άξα ε παξαγσγή ηνπ αγξνύ δελ αλακέλεηαη λα είλαη κεδεληθή όηαλ δελ ρξεζηκνπνηνύκε θαζόινπ ιίπαζκα (πξνθαλώο νπνηαδήπνηε άιιε απόθαζε ζα ήηαλ αληίζεηε κε ηε ινγηθή!) 5

Το p-value ηοσ ελέγτοσ Έζησ t ε ηηκή πνπ πξνθύπηεη γηα ηελ Τ κε βάζε ηα δηαζέζηκα δεδνκέλα θαη p P( T t H). Αλ p a, ηόηε ζα έρνπκε P( T t H) P( T t ( / ) H), όπνηε πξνθύπηεη p P ( T t H ) P( T t H ) a P( T t ( / ) H ) P( T t ( / ) H δειαδή P T t H ) P( T t ( / ) ). ( H Η αληζόηεηα απηή, όπσο θαίλεηαη θαη ζην ζρήκα, ηζρύεη αλ θαη κόλν αλ t t ( / ). ) 6,

t t ( / ) Το p-value ηοσ ελέγτοσ Τν ηειεπηαίν όκσο ζεκαίλεη όηη, ε ηηκή ηεο ζηαηηζηηθήο ζπλάξηεζεο Τ όπσο απηή πξνθύπηεη κε βάζε ηα δεδνκέλα, ηθαλνπνηεί ηε ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο H : ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο a. Αληίζεηα, αλ ηζρύεη p a ζα έρνπκε ηειηθά όηη t t ( / ), δειαδή δελ ηθαλνπνηείηαη ε ζπλζήθε απόξξηςεο θαη σο εθ ηνύηνπ ε H : δελ απνξξίπηεηαη ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο a. 7

Λήυη απόθαζης με τρήζη ηοσ p-value 8

p-value μονόπλεσρφν ελέγτφν T ~ t Αλ t είλαη ε ηηκή ηεο ζηαηηζηηθήο ζπλάξηεζεο s ( ˆ ) γηα ηα δεδνκέλα πνπ επεμεξγαδόκαζηε, / ζα έρνπκε Sig P( T t H) P( T t ) P( T t ) P( T t ) Sig P( T t) Sig P( T t). 9

T ~ t Sig P( T t H) p-value Sig Sig P( T t) P( T t) μονόπλεσρφν ελέγτφν

T ~ t Sig P( T t H) p-value Sig Sig P( T t) P( T t) μονόπλεσρφν ελέγτφν

p-value μονόπλεσρφν ελέγτφν

Παράδειγμα αγρών: Στέζη λιπάζμαηος και παραγφγής αγρού Ένασ αγρότθσ ενδιαφζρεται να προςδιορίςει τον τρόπο με τον οποίο θ ποςότθτα Χ του λιπάςματοσ που χρθςιμοποιείται ςε ζνα αγροτεμάχιο επθρεάηει τθν παραγωγι Υ του αγροκτιματοσ. Για το ςκοπό αυτό πειραματίηεται με ν= όμοια αγροτεμάχια (ίδιου εμβαδοφ, ςε περιοχζσ που επικρατοφν παρόμοιεσ κλιματολογικζσ ςυνκικεσ κλπ) ζτςι ώςτε οι όποιεσ διαφοροποιιςεισ παρατθροφνται ςτθν παραγωγι των αγρών να οφείλονται κατά κφριο λόγο ςτισ διαφορετικζσ ποςότθτεσ λιπάςματοσ που χρθςιμοποιικθκαν. Στο διπλανό πίνακα δίνεται θ παραγωγι Υ (ςε χιλιάδεσ κιλά) για ν= όμοια αγροτεμάχια κακώσ και θ ποςότθτα Χ του λιπάςματοσ που χρθςιμοποιικθκε ςτο κακζνα (ςε εκατοντάδεσ κιλά). 3

Παράδειγμα: Στέζη λιπάζμαηος και παραγφγής αγρού 4

Το p-value ηφν ελέγτφν ηοσ κγμ ζηο SPSS 5

Άζκηζη /Σελίδα 4 Φξεζηκνπνηώληαο ηε ζρέζε κεηαμύ ελόο δηαζηήκαηνο εκπηζηνζύλεο κε ζπληειεζηή εκπηζηνζύλεο a θαη ηνπ αληίζηνηρνπ ακθίπιεπξνπ ειέγρνπ κε επίπεδν εκπηζηνζύλεο a λα δεηρζνύλ ηα επόκελα. α. Η θξίζηκε πεξηνρή γηα ηνλ έιεγρν ηεο ππόζεζεο H : c έλαληη ηεο H : c (c γλσζηόο πξαγκαηηθόο αξηζκόο) θαζνξίδεηαη από ηελ αληζόηεηα ˆ c t ( a / ). s( ˆ ) β. Η θξίζηκε πεξηνρή γηα ηνλ έιεγρν ηεο ππόζεζεο H : c έλαληη ηεο H : c (c γλσζηόο πξαγκαηηθόο αξηζκόο) θαζνξίδεηαη από ηελ αληζόηεηα ˆ c t ( a / ). s( ˆ ) 6

Άζκηζη 4/Σελίδα 5 Έζησ ˆ ˆ x ε επζεία παιηλδξόκεζεο πνπ αληηζηνηρεί ζην γξακκηθό κνληέιν y yi xi i, i,,..., α. Φξεζηκνπνηώληαο ηνλ ηύπν (..6) δηαπηζηώζηε όηη ε επζεία παιηλδξόκεζεο γξάθεηαη ζηε κνξθή y y ˆ ( x x) β. Θέινληαο λα ηππνπνηήζνπκε ηόζν ηε κεηαβιεηή Υ όζν θαη ηε κεηαβιεηή Φ, ζεσξνύκε ηα αληίζηνηρα κέηξα δηαθύκαλζεο S yy ( yi y) SSTO θαη S xx ( xi x), i θαη νη ηππνπνηεκέλεο ηηκέο ησλ Υ θαη Φ ζα δίλνληαη από ηνπο ιόγνπο * y y y y * x x y θαη x S SSTO αληίζηνηρα. Να δείμεηε όηη ηα yy i S xx x *, y * ζπλδένληαη κε ηε ζρέζε bˆ ˆ y * b ˆ x * όπνπ xx SSTO S ε ηππνπνηεκέλε εθηηκήηξηα ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ γηα ηελ παξάκεηξν β («Standardized Coefficient» ή «Beta»).. 7

Άζκηζη /Σελίδα 6 Φξεζηκνπνηώληαο ην επόκελν output, λα ειέγμεηε κε ηξεηο δηαθνξεηηθνύο ηξόπνπο ηελ ππόζεζε H : H : ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 5%. Coefficients a Unstandardized Coefficients 95% Confidence Interval for B B Std. Error t Sig. Lower Bound Upper Bound (Constant).55 7..879.7 6.6 34.993 Χ.56.4 3.38..475.646 8

Άζκηζη 4/Σελίδα 7 Γηα λα κειεηεζεί ε πηζαλή ζρέζε αλάκεζα ζηελ ηαρύηεηα ηνπ αέξα Φ (ζε Beaufort) θαη ην ύςνο ηνπ ζαιάζζηνπ θύκαηνο Υ (ζε κέηξα) πνπ απηή δεκηνπξγεί ιήθζεθαλ 5 κεηξήζεηο ζηηο νπνίεο πξνζαξκόζηεθε έλα απιό γξακκηθό κνληέιν. Υπνζέηνληαο όηη ηζρύνπλ όιεο νη ππνζέζεηο ηνπ θαλνληθνύ γξακκηθνύ κνληέινπ, έγηλε εηζαγσγή ησλ ζηνηρείσλ ζην ζηαηηζηηθό παθέην SPSS θαη ιήθζεθε ην παξαθάησ output, ζην νπνίν θαηά ηελ εθηύπσζε ράζεθαλ νξηζκέλεο ηηκέο. 9

Άζκηζη 4/Σελίδα 7 α. Να ζπκπιεξσζνύλ νη ηηκέο πνπ ιείπνπλ ζηηο ζηήιεο «Std. Error» θαη «t». β. Να ζπκπιεξσζνύλ νη ηηκέο ηεο ζηήιεο «Sig.». Δεδνκέλνπ όηη νη βαζκνί ειεπζεξίαο ηεο θαηαλνκήο t (Student) πνπ εκπιέθεηαη ζηνλ ππνινγηζκό ηνπ p value είλαη πεξηζζόηεξνη από 3, κπνξείηε λα θάλεηε ρξήζε θαλνληθήο πξνζέγγηζεο. γ. Να δνζεί ε ηηκή ηνπ ζπληειεζηή b (ζηήιε Beta), αλ είλαη γλσζηό όηη SSTO 8.83 θαη SSE 3. 95. δ. Να ζπκπιεξσζνύλ ηα όξηα ησλ δηαζηεκάησλ εκπηζηνζύλεο κε ζπληειεζηή εκπηζηνζύλεο 95% γηα ηηο παξακέηξνπο ηεο επζείαο παιηλδξόκεζεο (ζηήιεο «Lower Bound» θαη «Upper Bound»). ε. Σε πνην από ηα ζπλήζε επίπεδα ζεκαληηθόηεηαο ( a %, 5 %, % ) γίλεηαη δεθηή ε ππόζεζε όηη ε πνζόηεηα ηνπ ηδήκαηνο εμαξηάηαη γξακκηθά από ηε ζπγθέληξσζε ηνπ θαηαιύηε πνπ ρξεζηκνπνηείηαη; ζη. Να ειέγμεηε ηελ ππόζεζε H : έλαληη ηεο H : ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 5%. 3

Γλσξίδνπκε όηη Ο έλεγσορ F για ηο κανονικό γπαμμικό μονηέλο E( SSR) θαη S xx Από ηνπο ηύπνπο απηνύο είλαη θαλεξό όηη E( SSR) E( MSE) νπόηε αλ ζα ηζρύεη E( SSR) E( MSE) SSR E ( MSE) E( ). S xx αλ ζα ηζρύεη E( SSR) E( MSE) κε ηελ αληζόηεηα λα γίλεηαη πην ηζρπξή όζν ε ηηκή ηνπ απνκαθξύλεηαη από ην (είηε πξνο κεγάιεο ζεηηθέο είηε πξνο κεγάιεο αξλεηηθέο ηηκέο). 3

Ο έλεγσορ F για ηο κανονικό γπαμμικό μονηέλο Αλ ζέινπκε λα ειέγμνπκε ηελ ακθίπιεπξε ππόζεζε H : H : SSR ζα κπνξνύζε λα ρξεζηκνπνηεζεί ν ιόγνο F θαη έλαο MSE ινγηθόο θαλόλαο απόθαζε ζα ήηαλ ν εμήο: αλ ην F ιακβάλεη κεγάιεο ηηκέο, δειαδή ηζρύεη F > c, ηόηε απνξξίπηνπκε ηελ Η αλ ην F ιακβάλεη κηθξέο ηηκέο, δειαδή ηζρύεη F c, ηόηε δελ απνξξίπηνπκε ηελ Η αλ ζα ηζρύεη E( SSR) E( MSE) αλ ζα ηζρύεη E( SSR) E( MSE) 3

F SSR MSE Ο έλεγσορ F για ηο κανονικό γπαμμικό μονηέλο H H : : ΠΡΟΣΑΗ.5. Όταν ιστύοσν οι σποθέσεις τοσ κανονικού γραμμικού μοντέλοσ και, η τσταία μεταβλητή SSR / MSE ακολοσθεί την κατανομή F με και ν βαθμούς ελεσθερίας. Απόδειξη. Έρνπκε όηη U Επίζεο ˆ ~ (, ( ˆ )) SSE ( ) s ( ) MSE ~ N νπόηε, όηαλ ηζρύεη ε H ζα έρνπκε ˆ ~ N(, ) S xx Z Τέινο, νη ηπραίεο κεηαβιεηέο U θαη : ˆ / S xx ˆ S xx ~ Z είλαη αλεμάξηεηεο νπόηε ˆ S MSE Z xx U /( ) ~ F, 33

F SSR MSE Ο έλεγσορ F για ηο κανονικό γπαμμικό μονηέλο H H : : Έλεγσορ αμθίπλεςπηρ ςπόθεζηρ για ηην παπάμεηπο β Έλα θαλόλαο απόθαζεο γηα ηνλ ακθίπιεπξν έιεγρν H H : : ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο α είλαη ν εμήο: Αλ ηζρύεη F F a) απνξξίπηνπκε ηελ Η, ( Αλ ηζρύεη F F a) δελ απνξξίπηνπκε ηελ Η, ( 34

Παράδειγμα αγρών: Στέζη λιπάζμαηος και παραγφγής αγρού Ένασ αγρότθσ ενδιαφζρεται να προςδιορίςει τον τρόπο με τον οποίο θ ποςότθτα Χ του λιπάςματοσ που χρθςιμοποιείται ςε ζνα αγροτεμάχιο επθρεάηει τθν παραγωγι Υ του αγροκτιματοσ. Για το ςκοπό αυτό πειραματίηεται με ν= όμοια αγροτεμάχια (ίδιου εμβαδοφ, ςε περιοχζσ που επικρατοφν παρόμοιεσ κλιματολογικζσ ςυνκικεσ κλπ) ζτςι ώςτε οι όποιεσ διαφοροποιιςεισ παρατθροφνται ςτθν παραγωγι των αγρών να οφείλονται κατά κφριο λόγο ςτισ διαφορετικζσ ποςότθτεσ λιπάςματοσ που χρθςιμοποιικθκαν. Στο διπλανό πίνακα δίνεται θ παραγωγι Υ (ςε χιλιάδεσ κιλά) για ν= όμοια αγροτεμάχια κακώσ και θ ποςότθτα Χ του λιπάςματοσ που χρθςιμοποιικθκε ςτο κακζνα (ςε εκατοντάδεσ κιλά). 35

Παράδειγμα: Στέζη λιπάζμαηος και παραγφγής αγρού Έρνπκε, MSE s 67. 5, S 39. 4 θαη ˆ 5 ˆ SSR Sxx 5 (39.4) 8784. νπόηε ε ηηκήο ηεο ζηαηηζηηθήο ζπλάξηεζεο F βξίζθεηαη ίζε κε SSR 8784 F 3.33. MSE 67.5 Αθνύ F (.),8.6 θαη F (.5),8 5. 3 ζα ηζρύεη ε αληζόηεηα F F a) ηόζν γηα α =. όζν θαη γηα α =.5 θαη,8 ( επνκέλσο ε κεδεληθή ππόζεζε H : απνξξίπηεηαη θαη ζηα δύν απηά επίπεδα. xx 36

Παράδειγμα: Στέζη λιπάζμαηος και παραγφγής αγρού, MSE s 67. 5 ˆ SSR S 5 (39.4) 8784 xx SSR 8784 F 3.33 MSE 67.5 37

ANOVA και βαθμοί ελεςθεπίαρ Ππακηικόρ κανόναρ Από ην πιήζνο ησλ πξνζζεηέσλ ηνπ αζξνίζκαηνο (ηεηξαγώλσλ) αθαηξνύκε ην πιήζνο ησλ εθηηκεηξηώλ πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη. SSTO i ( Y i Y ) ν SSE i ˆ i i ( Y i ˆ ˆ x ) i ν SSR i ˆ ˆ ( Yi Y ) S xx 38

ANOVA και βαθμοί ελεςθεπίαρ Ππακηικόρ κανόναρ Οη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη ίζνη κε ην πιήζνο ησλ ηπραίσλ κεηαβιεηώλ πνπ ρξεηάδνληαη γηα λα ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα. Πξέπεη λα ιάβνπκε ππόςε καο ζρέζεηο πνπ πηζαλώο ππάξρνπλ κεηαμύ ησλ ηπραίσλ κεηαβιεηώλ, από ηηο νπνίεο ζα κπνξνύζε θάπνηα (ή θάπνηεο) από απηέο λα ππνινγηζζεί κέζσ ησλ ππνινίπσλ. SSTO i ( Y i Y ) ν δηαθνξέο Y, i,,..., Y i Σπλζήθε: ( Y Y ) (νπόηε Y Y ( Y ) i i ) i i Y ˆ SSE ν ππόινηπα ˆ, i,,..., i i i Σπλζήθεο: ˆ i i θαη x ˆ i i i 39

SSTO = SSR + SSE ANOVA και βαθμοί ελεςθεπίαρ 4

ANOVA, βαθμοί ελεςθεπίαρ και μέζα αθποίζμαηα ηεηπαγώνων SS MS βαζκνί ειεπζεξίαο SSTO MSTO, SSR MSR, MSE SSE s Sig. P( F όπνπ F ~ f ) F, 4

Ιζοδςναμία ηων ελέγσων t και F 4 Αθνύ ˆ ˆ s S MSE S F xx xx, ) ˆ ( ˆ s T, S xx s s ) ˆ (. ζα έρνπκε F s S S s s T xx xx ˆ / ˆ ) ˆ ( ˆ θαη ε θξίζηκε πεξηνρή ηνπ θξηηεξίνπ t γξάθεηαη ηζνδύλακα σο εμήο ) ( )) / ( ( / )) ( ( / ) (, F F a t F a t T a t T

Tποποποιημένορ ζςνηελεζηήρ πποζδιοπιζμού (adjusted coefficient οf determination) R SSE SSTO Σπλδπάδνληαο ηηο ηζόηεηεο SSE R T, SSTO κπνξνύκε λα γξάςνπκε R T ( R MSE SSE /( ) R T. MSTO SSTO /( ) SSE SSTO ). R Πποζοσή: Σε αληίζεζε κε ηνλ απιό ζπληειεζηή πξνζδηνξηζκνύ ν νπνίνο ιακβάλεη ηηκέο κεηαμύ ηνπ θαη ηνπ ( R ), ν ηξνπνπνηεκέλνο ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνύ R T κπνξεί λα πάξεη θαη αξλεηηθέο ηηκέο. 43

Άζκηζη Α και Α/Σελίδα 3 R T ( R ) 44

Άζκηζη Β /Σελίδα 3 45

Άζκηζη 5/Σελίδα 5 46

Άζκηζη 5/Σελίδα 5 ΑΠΑΝΣΗΗ R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate.997 a.994.994.444 Model Sum of Squares df Mean Square F Regression 57.85 57.85 677 Residual.957 5.97 Total 53.78 6 47

Θέμαηα Γνεηάζεωμ Δώςτε την κατάλληλη απάντηςη (ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ ) ςτισ παρακάτω προτάςεισ.. Για τον αμφίπλευρο ζλεγχο τθσ υπόκεςθσ H ςτο κανονικό : γραμμικό μοντζλο παλινδρόμθςθσ, διακζτουμε δφο κριτιρια: ζνα το οποίο βαςίηεται ςτθν κατανομι t του Student και ζνα που βαςίηεται ςτθν F κατανομι του Snedecor. Τα δφο αυτά κριτιρια δίνουν ιςοδφναμα αποτελζςματα.. Για τον μονόπλευρο ζλεγχο τθσ υπόκεςθσ H ςτο κανονικό γραμμικό : μοντζλο παλινδρόμθςθσ, διακζτουμε δφο κριτιρια: ζνα το οποίο βαςίηεται ςτθν κατανομι t του Student και ζνα που βαςίηεται ςτθν F κατανομι του Snedecor. Τα δφο αυτά κριτιρια δίνουν ιςοδφναμα αποτελζςματα. 48

Θέμαηα Γνεηάζεωμ Δώςτε την κατάλληλη απάντηςη (ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ ) ςτισ παρακάτω προτάςεισ.. Για τον αμφίπλευρο ζλεγχο τθσ υπόκεςθσ H ςτο κανονικό : γραμμικό μοντζλο παλινδρόμθςθσ, διακζτουμε δφο κριτιρια: ζνα το οποίο βαςίηεται ςτθν κατανομι t του Student και ζνα που βαςίηεται ςτθν F κατανομι του Snedecor. Τα δφο αυτά κριτιρια δίνουν ιςοδφναμα αποτελζςματα.. Για τον μονόπλευρο ζλεγχο τθσ υπόκεςθσ H ςτο κανονικό γραμμικό : μοντζλο παλινδρόμθςθσ, διακζτουμε δφο κριτιρια: ζνα το οποίο βαςίηεται ςτθν κατανομι t του Student και ζνα που βαςίηεται ςτθν F κατανομι του Snedecor. Τα δφο αυτά κριτιρια δίνουν ιςοδφναμα αποτελζςματα. 49