Αλληλεπιδράσεις µε Ανταλλαγή Σωµατιδίων

Αλληλεπιδράσεις µε Ανταλλαγή Σωµατιδίων X! g! g! X! g! g! Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 1

Θα αναπτύξουµε υπολογιστικές µεθόδους για ενεργές διατοµές σκέδασης Θα αρχίσουµε µε: e + µ + e e e + e µ + µ γ e q e q e µ q q Σε αυτή την Ενότητα θα ασχοληθούµε µε Lorentz Invariant Matrix Elements Αλληλεπίδραση µε ανταλλαγή σωµατιδίου Εισαγωγή στα διαγράµµατα Feynman Tους κανόνες Feynman για την Κβαντική Ηλεκτροδυναµική (QED) Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 2

Θεωρία Διαταραχών Υπολογίζουµε ρυθµούς µεταπτωσης µε τον Fermi s Golden Rule όπου είναι η ανάπτυξη, σε όρους διαταραχών, των στοιχείων πίνακα Για σκέδαση σωµατίων, οι δύο πρώτοι όροι της σειράς διαταραχών µπορούν να θεωρηθούν ως: f! f! σκέδαση σε δυναµικό i! i! Η Κλασική Εικόνα τα σωµάτια δρουν ως πηγές πεδίων που προσφέρουν το δυναµικό µέσα στο οποίο σκεδάζονται άλλα σωµάτια δράση από απόσταση Η Εικόνα της Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου οι δυνάµεις ωφείλονται στην ανταλλαγή υπερβατικών σωµατιδίων. Δεν υπάρχει δράση από απόσταση, οι δυνάµεις µεταξύ σωµατίων ωφείλονται σε διάδοση σωµατίων. Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 3 j! σκέδαση µέσω ενδιάµεσης κατάστασης

Θεωρείστε την αλληλεπίδραση η οποία συµβαίνει µέσω µίας ενδιάµεσης κατάστασης που αντιστοιχεί στην ανταλλαγή σωµατίου Μία δυνατή χρονική εξέλιξη του φαινοµένου είναι:: χώρος V ji! x! V fj! i! j! f! χρονος Αρχική Κατάσταση i : Τελική Κατάσταση f : Ενδιάµεση Κατάσταση j : Αυτό το διατεταγµένο-χρονικά διαγραµµα αντιστοιχεί σε: a εκπέµπει το x και µετά το b απορροφά το x Ο αντίστοιχος όρος, για την συγκεκριµένη ενδιάµεση κατάσταση, θα είναι: αντιστοιχεί στην χρονική διάταξη όπου a εκπέµπει x πριν b το απορροφήσει Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 4

Χρειαζόµαστε µία έκφραση για το που ορίζει το µη-li στοιχείο πίνακα Δείξαµε ότι κάθε µη-li LI στοιχείο πίνακα ως a! σχετίζεται µε το αντιστοιχο g a! c! x! όπου k =1, αριθµό σωµατίων στην αλληλεπίδραση Συνεπώς είναι το Lorentz Invariant στοιχείο πίνακα για a c + x Θα θεωρήσουµε ότι το Lorentz Invariant στοιχείο πίνακα είναι απλώς ενας αριθµός Καθορίζει την ισχύ της αλληλεπίδρασης a c + x το στοιχείο πίνακα είναι LI υπό την έννοια ότι ορίζεται µε LI κανονικοποιήσεις των κυµατοσυναρτήσεων και επειδή η µορφή της αλληλεπίδρασης (ένα βαθµωτό µέγεθος σ αυτό το παράδειγµα) είναι LI. To g βέβαια έχει διαστάσεις. Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 5

Οµοίως Ώστε x! g b! Το Lorentz Invariant στοιχείο πίνακα για όλη την αλληλεπίδραση είναι: Επισήµανση: αντιστοιχεί σε χρονική διάταξη όπου a εκπέµπει x πριν b απορροφήσει και ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ Lorentz invariant, η χρονική διαταξη εξαρτάται από το Σ.Α. Η ορµή διατηρείται σε κάθε κορυφή της αλληλεπίδρασς αλλά όχι η ενέργεια Το σωµάτιο x είναι on-mass shell, δηλαδή Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 6

Βεβαίως θα µπορούσαµε να διατάξουµε χρονικά τα «συµβάντα» µε διαφορετικό τρόπο: Αυτή η χρονική διάταξη αντιστοιχεί σε: ~! ~! b εκπέµπει x και µετά a απορροφά x ~! space! i! j! f! x είναι το αντισωµάτιο του x, π.χ. e W+ ν time! µ µ ν µ µ Το Lorentz invariant στοιχείο πίνακα γι αυτή την διάταξη: W ν e e ν e Στην QM προσθέτουµε τα στοιχεία πίνακα που καταλήγουν στην ίδια τελική κατάσταση: Διατήρηση Ενέργειας: Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 7

που καταλήγει Από την1 η χρονική διάταξη τελικά a! g a! c! Αφού αθροίσαµε όλες τις δυνατές χρονικές διατάξεις, το είναι Lorentz invariant. Αυτό είναι αξιοσηµείωτο αποτέλεσµα το άθροισµα όλων των χρονικών διατάξεων καταλήγει σε αποτέλεσµα που δεν εξαρτάται από το Σ.Α. Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 8

Feynman Diagrams Το άθροισµα όλων των χρονικών διατάξεων αντιστοιχεί σε ένα Διάγραµµα FEYNMAN space! space! time! time! Σε ένα Feynman Διάγραµµα: " το LHS αντιπροσωπεύει την αρχική κατάσταση " το RHS είναι η τελική κατάσταση " οτιδήποτε άλλο σηµατοδοτεί «πως έγινε η αλληλεπίδραση επισηµαίνεται ότι η ενέργεια και η ορµή διατηρούνται σε κάθε κόµβο αλληλεπίδρασης του ο παράγων, ο διαδότης (propagator), αντιστοιχεί στην µετάδοση της δύναµης µέσω ανταλλαγής σωµατιδίου Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 9

Tο στοιχείο πίνακα: εξαρτάται από: " Την θεµελιώδη ισχύ των αλληλεπιδράσεων στους δύο κόµβους " Την τετραορµή,, που µεταφέρεται από το υπερβατικό (virtual) σωµάτιο η οποία καθορίζεται από την διατήρηση ενέργειας/ορµής στους κόµβους. (Σηµειώστε πως το µπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό) Εδώ Για ελαστική σκέδαση: t-channel q 2 < 0! Εδώ Στό CoM: Χαρακτηρίζεται ως: space-like s-channel q 2 > 0! Χαρακτηρίζεται ως: time-like Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 10

Virtual Particles space! Χρονικά διατεταγµένη QM space! Διάγραµµα Feynman time! b! d! time! Η ορµή διατηρείται στους κόµβους Η ενέργεια ΔΕΝ διατηρείται στους κόµβους Το σωµάτιο ανταλλαγής είναι on mass shell Η ορµή ΚΑΙ η ενέργεια διατηρούνται στους κόµβους Σωµάτιο ανταλλαγής off mass shell VIRTUAL PARTICLE Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 11

Το δυναµικό V(r) για ανταλλαγή σωµατίου Μπορουµε να περιγράψουµε µε δύο τρόπους την σκεδαση e από ακίνητο p: Αλληλεπίδραση µε ανταλλαγή σε 2 ης τάξης θεωρία διαταραχών. Με πρώτης τάξη διαταραχή θεωρώντας το πρωτόνιο ως ακίνητη πηγή ενός πεδίου που δηµιουργεί δυναµικό V(r) f! i! V(r)! p! Δείξετε πως θα βρείτε την ίδια έκφραση για χρησιµοποιώντας YUKAWA potential Ωστόσο, η σκέδαση από σταθερό δυναµικό σχετικιστική περιγραφή δεν αντιστοιχεί σε Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 12

e mr M fi f g a g b i r για : E f = E ι και p i p f = q = q ẑ e i ( p f r E f t) e mr r e i ( pi r Ei t) d 3 r e i ( p f r E f t) 1 2π ( q e r cosθ) 0 e mr r e i ( pi r Ei t) d 3 r = d cosθdϕ = 2π e i 1 1 1 e mr r q r cosθ ( ) ( ) e mr d 3 r = e i ( q r cosθ ) r 2 d cosθdϕdr (1) r e i q r d cosθ = 2π cos q r cosθ Αντικαθιστώντας την (2) στην (1)... e i ( p f r E f t) e mr r e i pi r Ei t ( ) d 3 r e mr 0 r 1 1 0 ( ) sin q r q r 1 1 2π 0 ( ( ) + isin( q r cosθ) ) r 2 dr = 1 q 2 + m 2 ( ) d cosθ = 4π sin q r q r (2) Συνεπώς: M fi g a g b q 2 + m 2 Αλλά, στην περίπτωση στατικού δυναµικού και ελαστικής σκέδασης q 2 = E f E i ( ) 2 q 2 = q 2 M fi g a g b q 2 m 2 Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 13

Quantum Electrodynamics (QED) Θεωρείστε την αλληλεπίδραση ενός e και ενός τ λεπτονίου µε ανταλλαγή φωτονίου. Αν και οι γενικές αρχές που χρησιµοποιήσαµε ισχύουν και εδώ, τώρα θα πρέπει να λάβουµε υπ όψιν το spin των e και τ λεπτονίων και επίσης το spin (την πόλωση) του υπερβατικού φωτονίου. Θα χρησιµοποιήσουµε τους ακόλουθους µετασχηµατισµούς, για να πάρουµε υπ όψιν τις ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις Στην QM: (όπου φορτίο) ή: όπου Σ αυτή την περίπτωση η εξίσωση Dirac παίρνει την µορφή: Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 14

Μάζα ηρεµίας Δυναµική + K.E. Ενέργεια Με άλλα λόγια, η δυναµική ενέργεια ενός φορτισµένου spin-1/2 σωµατίου µέσα σε ηλεκτροµαγνητικό πεδίο είναι: (δείτε ότι ο όρος A 0 είναι ) Χρειαζόµαστε όµως να περιγράψουµε και τις καταστάσεις πόλωσης του ΗΜ πεδίου. Δηλαδή για ένα πραγµατικό φωτόνιο που κινείται κατά τη z-διεύθυνση έχουµε δύο ορθογώνιες, κάθετες προς την κίνηση, καταστάσεις πόλωσης Αυθαίρετη επιλογή καταστάσεων βάσης Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 15

Στο προηγούµενο παράδειγµα, αλληλεπίδρασης χωρίς spin, καταλήξαµε ότι: = g a! g b! = Στην QED µπορούµε να επαναλάβουµε την µέθοδο της άθροισης χρονικά διατεταγµένων διαγραµµάτων, µε Dirac spinors και την κατάλληλη έκφραση για. Κάνοντας αυτό, αλλά αθροίζοντας για όλες τις καταστάσεις spin του φωτονίου, θα καταλήξουµε ότι: e τ e τ Αλληλεπίδραση e Διαδότης φωτονίου (m=0) µε Αλληλεπίδραση τ µε φωτόνιο Άθροισµα των καταστάσεων µε φωτόνιο πόλωσης Όλη η φυσική της QED εµπεριέχεται σε αυτή την έκφραση! Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 16

Το άθροισµα των καταστάσεων πόλωσης για VIRTUAL φωτόνια πρέπει να εµπεριέχει βαθµωτά, διαµήκη και εγκάρσια µεγέθη, δηλ. 4 καταστάσιες Όπου τελικά: Προφανώς, δεν είναι τεριµµένο πάρτε το όµως ως δεδοµένο... και το στοιχείο πίνακα γίνεται: χρησιµοποιώντας τον adjoint spinor Δείξαµε όµως πως η ποσότητα µετασχηµατίζεται ως τετραδιάνυσµα Δείχνοντας πως M είναι Lorentz Invariant Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 17

Κανόνες Feynman για QED Επισηµαίνεται ότι η έκφραση εµπεριέχει πολλά υπολογιστικά στάδια. Έχουν αθροισθεί όλα τα χρονικώς διατεταγµένα διαγράµµατα καθώς και οι κατάστασεις πόλωσης του virtual φωτονίου. Για κάθε νέο διάγραµµα Feynman δεν θα θέλαµε να επαναλαµβάνουµε Όλους αυτούς τους υπολογισµούς. Ευτυχώς δεν είναι απαραίτητο µπορούµε να ακολούθησουµε κανόνες που θα µας οδηγήσουν στον υπολογισµό του LI στοιχείου πίνακα e + µ + γ e µ Βασικοί Κανόνες Feynman: " Παράγων διαδότη για κάθε εσωτερική γραµµή (iδηλ. για κάθε vistual σωµάτιο) " Dirac Spinor για κάθε εξωτερική γραµµή (δηλ. για κάθε εισερχόμενο ή εξερχόμενο σωμάτιο)6 " Παράγων αλληλεπίδρασης για κάθε κόµβο Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 18

" Εξωτερικές Γραµµές Βασικοί Κανόνες για QED Εισερχόµενο σωµάτιο Εξερχόµενο σωµάτιο spin 1/2 Εισερχόµεο αντισωµάτιο Εξερχόµενο αντισωµάτιο Εισερχόµενο φωτόνιο spin 1 Εξερχόµενο φωτόνιο " Εσωτερικές γραµµές (διαδότες) spin 1 φωτόνιο m n spin 1/2 φερµιόνιο " Παράγων Κόµβου spin 1/2 φερµιόνιο (charge - e ) " Matrix Element = γινόµενο όλων των παραγόντων Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 19

Παραδείγµατα e e e e τ τ τ τ e + µ + γ e µ Σηµείωση: Σε κάθε κόµβο, ο adjoint spinor γράφεται πρώτος Κάθε κόµβος έχει τον δικό του δείκτη Ο του διαδότη συνδέει τους δείκτες των κόµβων Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 20

Ανακεφαλαίωση Η αλληλεπίδραση µε ανταλαγή σωµατίου εκφράζεται από Lorentz Invariant Στοιχείο Πίνακα (Matrix Element) της µορφής Η βασική αλληλεπίδραση στην QED που εµπεριέχει τα spins των φερµιονίων και τις καταστάσεις πόλωσης των virtual φωτονίων περιγράφεται: Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 21