Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Ενότητα: Σειρές Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών

Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

Περιεχόµενα ενότητας 5 Σειρές Fourier 4 5. Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων......................... 4 5. Τριγωνοµετρικά πολυώνυµα................................... 9 5.3 Βασικές ιδιότητες των σειρών Fourier.............................. 5 5.3. Μοναδικότητα σειρών Fourier.............................. 5.4 Ο πυρήνας του Dirichle..................................... 4 5.5 Σειρές Fourier συνεχών συναρτήσεων............................. 6 5.5. Μια κατασκευή του Lebesgue.............................. 3 5.6 Θεώρηµα Dini και ϑεώρηµα Marcinkiewicz........................... 34 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

5 Σειρές Fourier 5. Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων Σε αυτό το κεφάλαιο ϑεωρούµε συναρτήσεις µε µιγαδικές τιµές. Αν f : [a, b] C είναι οποιαδήποτε συνάρτηση, τότε η f γράφεται στη µορφή f = u + iv, όπου u(x) = Re( f (x)) και v(x) = Im( f (x)), x [a, b]. Λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη αν οι u, v είναι ολοκληρώσιµες, και ορίζουµε (5...) b a f (x) dλ(x) = b a b u(x) dλ(x) + i a v(x) dλ(x). Εύκολα ελέγχουµε ότι εξακολουθεί να ισχύει η γραµµικότητα: αν οι f, g : [a, b] C είναι ολοκληρώσιµες και αν, s C τότε (5...) b a ( f (x) + sg(x)) dλ(x) = b a b f (x) dλ(x) + s a g(x) dλ(x). Θα χρησιµοποιούµε συχνά το εξής: αν η f : [a, b] C είναι ολοκληρώσιµη, τότε (5...3) b a f (x) dλ(x) Για την απόδειξη αυτού του ισχυρισµού, γράφουµε (5...4) b και παρατηρούµε ότι a b a b f (x) dλ(x) = Re ix, όπου R = f (x) dλ(x) = e ix = = b a b a b a a f (x) dλ(x). b a f (x) dλ(x) = f (x) dλ(x) b Re(e ix f (x)) dλ(x) f (x) dλ(x). a και x R, e ix f (x) dλ(x) b a e ix f (x) dλ(x) Στην τρίτη ισότητα χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι αφού το ολοκλήρωµα της e ix f (x) είναι πραγµατικός αριθµός ϑα ισούται µε το ολοκλήρωµα της Re(e ix f (x)). Ορισµός 5.. (µιγαδικές συναρτήσεις στο µοναδιαίο κύκλο). Συµβολίζουµε µε το µοναδιαίο κύκλο (5...5) = {z C : z = } = {e ix : x R}. Αν F : C είναι συνάρτηση µε µιγαδικές τιµές, ορίζουµε f : R C µε (5...6) f (x) = F(e ix ). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

Παρατηρήστε ότι η f είναι -περιοδική. Αντίστροφα, αν f : R C είναι µια -περιοδική συνάρτηση, τότε η F : C µε F(e ix ) = f (x) είναι καλά ορισµένη (πράγµατι, αν e ix = e ix για κάποιους x, x R τότε x = x + kπ για κάποιον ακέραιο k, άρα f (x ) = f (x ) από την -περιοδικότητα της f ). Εχουµε λοιπόν µια αντιστοιχία ανάµεσα στις συναρτήσεις F : C και τις -περιοδικές συναρτήσεις f : R C. Με ϐάση αυτήν την αντιστοιχία, λέµε ότι η F είναι ολοκληρώσιµη αν η f είναι ολοκληρώσιµη σε κάποιο (άρα σε κάθε) διάστηµα µήκους, η F είναι συνεχής αν η f είναι συνεχής, η F είναι παραγωγίσιµη αν η f είναι παραγωγίσιµη, η F είναι συνεχώς παραγωγίσιµη αν η f είναι συνεχώς παραγωγίσιµη και ούτω καθεξής. Ορισµός 5.. (ο χώρος L p ()). Για κάθε p < ϑεωρούµε το χώρο L p () των -περιοδικών µετρήσιµων συναρτήσεων f : R C για τις οποίες (5...7) f (x) p dλ(x) <, ταυτίζοντας ως συνήθως συναρτήσεις που είναι ίσες σχεδόν παντού, εφοδιασµένο µε τη νόρµα (5...8) f p = f (x) p dλ(x) /p. Γράφοντας εννοούµε οποιοδήποτε διάστηµα µήκους, για παράδειγµα το (, π]. Ο (L p (), p ) είναι χώρος Banach (η απόδειξη είναι όµοια µε αυτήν που δόθηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο). Θεωρούµε επίσης τον χώρο (L (), ) των «ουσιωδώς ϕραγµένων» -περιοδικών µετρήσιµων f, ο οποίος είναι χώρος Banach µε νόρµα την (5...9) f = min{ β : λ({x : f (x) > β}) = } = lim p f p. Ορισµός 5..3 (τριγωνοµετρικά πολυώνυµα). Πραγµατικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο είναι κάθε πεπερασµένος γραµµικός συνδυασµός των συναρτήσεων συν k x και ημ k x. ηλαδή, κάθε συνάρτηση της µορφής (x) = a + (a k συν k x + b k ημ k x), k= όπου n N και a k, b k R. Ο ϐαθµός του είναι ο µικρότερος n για τον οποίο το έχει µια αναπαράσταση αυτής της µορφής. Συµβολίζουµε µε n την κλάση όλων των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων που έχουν ϐαθµό µικρότερο ή ίσο από n. Παρατηρήστε ότι ο n είναι γραµµικός υπόχωρος του χώρου των συνεχών -περιοδικών συναρτήσεων f : R R. Μιγαδικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο είναι µια συνάρτηση της µορφής (5...) p(x) = k= n c k e ik x όπου n, c k C και c n + c n. Ο n είναι ο ϐαθµός του p. Θεωρούµε επίσης ότι η µηδενική συνάρτηση είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο µηδενικού ϐαθµού. Χρησιµοποιώντας την γραµµικότητα του ολοκληρώµατος και το γεγονός ότι, αν k Z, { (5...) e ik, αν k d =, αν k =, Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

ελέγχουµε εύκολα ότι (5...) c k = p(x)e ik x dλ(x) για κάθε k n. Ορισµός 5..4 (τριγωνοµετρική σειρά). Τριγωνοµετρική σειρά είναι µια σειρά της µορφής (5...3) k= c k e ik x. Με τον όρο πραγµατική τριγωνοµετρική σειρά αναφερόµαστε σε µια σειρά της µορφής (5...4) a + (a k συν k x + b k ημ k x), k= όπου a k, b k R. Το συµµετρικό n-οστό µερικό άθροισµα της σειράς (5...3) είναι το τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (5...5) s n (x) = k= n c k e ik x, ενώ το n-οστό µερικό άθροισµα της σειράς (5...4) είναι το πραγµατικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (5...6) a + (a k συν k x + b k ημ k x). k= Ορισµός 5..5 (σειρά Fourier). Εστω f L (). Για κάθε k Z ορίζουµε τον k-οστό συντελεστή Fourier της f µέσω της (5...7) f (k) = f (x)e ik x dλ(x). Από την (5...3) έχουµε (5...8) f (k) = π f (x)e ik x dλ(x) f (x) dλ(x) = f, χρησιµοποιώντας και το γεγονός ότι e ik x =. Συνεπώς, η ακολουθία { f (k)} k Z είναι ϕραγµένη. Η σειρά Fourier της f είναι η σειρά συναρτήσεων (5...9) S( f, x) = k= f (k)e ik x. Το n-οστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier της f είναι το µιγαδικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (5...) s n ( f, x) = k= n f (k)e ik x. Αν F : C είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση, ϑεωρούµε την f (x) = F(e ix ) και ορίζουµε τους συντελεστές Fourier της f µέσω του περιορισµού της f στο (, π], χρησιµοποιώντας την (5...7). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

Παρατήρηση 5..6. Εστω f L (). Για κάθε k ορίζουµε (5...) a k ( f ) = π f (x) συν k x dλ(x) και για κάθε k ορίζουµε (5...) b k ( f ) = π f (x) ημ k x dλ(x). Αν η f είναι άρτια, δηλαδή f ( x) = f (x) για κάθε x, τότε όλοι οι συντελεστές b k µηδενίζονται, και (5...3) a k ( f ) = π f (x) συν k x dλ(x). Αν η f είναι περιττή, δηλαδή f ( x) = f (x) για κάθε x, τότε όλοι οι συντελεστές a k µηδενίζονται, και (5...4) b k ( f ) = π f (x) ημ k x dλ(x). Παρατηρήστε ότι: αν k Z \ {}, (5...5) και (5...6) Επίσης, f (k) = f ( k) = f (x) συν k x dλ(x) i = a k ( f ) ib k ( f ), f (x) συν k x dλ(x) + i = a k ( f ) + ib k ( f ). f (x) ημ k x dλ(x) f (x) ημ k x dλ(x) (5...7) f () = f (x) dλ(x) = a ( f ). Παίρνουµε έτσι την επόµενη πρόταση. Πρόταση 5..7. Εστω f L (). Για κάθε k Z \ {} ισχύουν οι (5...8) a k ( f ) = f (k) + f ( k) και b k ( f ) = i( f (k) f ( k)). Επίσης, a ( f ) = f () και (5...9) s n ( f, x) = k= n f (k)e ik x = a ( f ) + (a k ( f ) συν k x + b k ( f ) ημ k x). k= Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

Απόδειξη. Οι ισότητες a ( f ) = f (), a k ( f ) = f (k) + f ( k) και b k ( f ) = i( f (k) f ( k)) προκύπτουν άµεσα από τις (5...5), (5...6) και (5...7). Για την (5...3) γράφουµε s n ( f, x) = k= n = a ( f ) = a ( f ) = a ( f ) = a ( f ) = a ( f ) f (k)e ik x + + + + + f (k)e ik x + k= k= n n f (k)e ik x f (k)e ik x + f ( k)e ik x k= k= f (k)(συν k x + i ημ k x) + k= ( f (k) + f ( k)) συν k x + k= n k= f ( k)(συν k x i ημ k x) i( f (k) f ( k)) ημ k x k= (a k ( f ) συν k x + b k ( f ) ημ k x), k= χρησιµοποιώντας την (5...8). Το ϐασικό πρόβληµα που ϑα µας απασχολήσει είναι το εξής: αν F : C είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση, ή ισοδύναµα, αν f : R C είναι µια -περιοδική συνάρτηση, ολοκληρώσιµη σε κάθε διάστηµα µήκους, ϑα εξετάσουµε αν η ακολουθία s n ( f, x) = n f (k)e ik x «συγκλίνει» στην f. k= n Σαν ένα πρώτο παράδειγµα, ϑεωρούµε τη συνάρτηση f (x) = x στο [, π) και την επεκτείνουµε σε -περιοδική συνάρτηση στο R. Η f είναι προφανώς ολοκληρώσιµη στο [, π]. Θα υπολογίσουµε τους συντελεστές Fourier της f. Αφού η f είναι περιττή, έχουµε (5...3) f () = x dλ(x) =. Για κάθε k γράφουµε f (k) = = = xe ik x dλ(x) = xe ik x ik = ( )k+. ik π + e ikπ πe ikπ ik e ik x ik = k x [ e ik x dλ(x) ik e ikπ + e ikπ i ] dλ(x) Χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι e ik x ik dλ(x) =. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

Επεται ότι (5...3) ( ) k+ S( f, x) = e ik x ( ) k+ e ik x ( ) k+ e ik x = ik ik k k= k+ ημ k x = ( ). k k= Θα µπορούσε κανείς, εναλλακτικά, να παρατηρήσει πρώτα ότι a k ( f ) = για κάθε k Z, διότι η f είναι περιττή. Αυτό σηµαίνει ότι (5...3) S( f, x) = b k ( f ) ημ k x. k Χρησιµοποιώντας ολοκλήρωση κατά µέρη, ακριβώς όπως παραπάνω, µπορείτε να υπολογίσετε τους συντελεστές b k ( f ) και να καταλήξετε πάλι στην (5...3). 5. Τριγωνοµετρικά πολυώνυµα Σκοπός µας σε αυτήν την παράγραφο είναι να δείξουµε ότι η κλάση των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων είναι πυκνή στο χώρο (C(), ) των συνεχών -περιοδικών συναρτήσεων f : R C. Θεώρηµα 5... Εστω f : R C συνεχής -περιοδική συνάρτηση. Για κάθε ε > υπάρχει µιγαδικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο p τέτοιο ώστε (5...33) f p = max{ f (x) p(x) : x R} ε. Ισοδύναµα, υπάρχει ακολουθία {p m } τριγωνοµετρικών πολυωνύµων τέτοια ώστε f p m. Στη συνέχεια ϑα δούµε και άλλες αποδείξεις του Θεωρήµατος 5... ίνουµε όµως πρώτα µία απόδειξη που είναι «ανεξάρτητη» από την ϑεωρία των σειρών Fourier. Ξεκινάµε µε κάποιες παρατηρήσεις για τα πραγµατικά τριγωνοµετρικά πολυώνυµα. Πρόταση 5... Κάθε πραγµατικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (x) ϐαθµού n είναι πολυώνυµο των συν x και ημ x ϐαθµού n. ηλαδή, υπάρχει πολυώνυµο p(, s) ϐαθµού n ώστε (5...34) (x) = p(συν x, ημ x). Η Πρόταση 5.. είναι άµεση συνέπεια του ακόλουθου λήµµατος. Λήµµα 5..3. Για κάθε n, οι συναρτήσεις συν nx και (ημ(n + )x)/ ημ x είναι πολυώνυµα του συν x ϐαθµού n. Απόδειξη. είχνουµε µε επαγωγή ότι: για κάθε n υπάρχουν a,n,..., a n,n R ώστε n (5...35) συν nx = n συν n x + a j,n συν j x. Παρατηρήστε ότι η (5...35) ισχύει τετριµµένα για n =, ενώ για n = γνωρίζουµε ότι (5...36) συν x = συν x. j= Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

Υποθέτουµε ότι η (5...35) ισχύει για το συν k x, k. Από την τριγωνοµετρική ταυτότητα (5...37) συν[(k + )x] + συν[(k )x] = συν k x συν x παίρνουµε συν(k + )x = συν k x συν x συν(k )x = συν x k συν k x + k = k συν k+ x + j= k j= a j,k+ συν j x a j,k συν j x k συν k x k a j,k συν j x για κατάλληλους a j,k+ R. Για τον δεύτερο ισχυρισµό του λήµµατος, χρησιµοποιώντας την τριγωνοµετρική ταυτότητα (5...38) ημ[(k + )x] ημ[(k )x] = συν k x ημ x δείχνουµε επαγωγικά ότι, για κάθε n, j= (5...39) ημ(n + )x ημ x n = n συν n x + a j,n συν j x j= για κατάλληλους a j,n R (η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση). Παρατήρηση 5..4. Θεωρούµε το σύνολο (5...4) B n = {, συν x, συν x,..., συν n x, ημ x, ημ x συν x,..., ημ x συν n x}. Από το Λήµµα 5..3 έχουµε (5...4) n span(b n ), όπου span(b n ) είναι ο γραµµικός χώρος που παράγεται από το B. Ειδικότερα, η διάσταση dim( n ) του n είναι µικρότερη ή ίση από n +, κάτι που είναι ϕανερό και από το γεγονός ότι (5...4) n = span(a n ), όπου (5...43) A n = {, συν x, συν x,..., συν nx, ημ x,..., ημ nx}. Παρατηρήστε ότι card(a n ) = card(b n ) = n + (µε card(x) συµβολίζουµε το πλήθος των στοιχείων ενός πεπερασµένου συνόλου X). Πρόταση 5..5. Για κάθε n ισχύει (5...44) n = span(b n ) = span(a n ). Για την απόδειξη της Πρότασης 5..5 ϑα δείξουµε πρώτα ότι το A n είναι γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο. Θα χρειαστούµε την επόµενη πρόταση. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

Πρόταση 5..6 (σχέσεις ορθογωνιότητας). Ισχύουν τα παρακάτω:. Αν m, n =,,,... και m n τότε (5...45) συν mx συν nx dλ(x) =.. Αν m, n =,,... και m n τότε (5...46) ημ mx ημ nx dλ(x) =. 3. Αν m =,,,... και n =,,... τότε (5...47) συν mx ημ nx dλ(x) =. 4. Αν m, n =,,... τότε (5...48) συν mx dλ(x) = ημ nx dλ(x) =. Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση. Χρησιµοποιήστε τις ταυτότητες συν θ συν ϕ = συν(θ ϕ) + συν(θ + ϕ), ημ θ συν ϕ = ημ(θ + ϕ) + ημ(θ ϕ), ημ θ ημ ϕ = συν(θ ϕ) συν(θ + ϕ), και τις συν θ = συν θ +, ημ θ = συν θ. Πρόταση 5..7. Το σύνολο A = {, συν x, συν x,..., συν nx, ημ x,..., ημ nx} είναι γραµµικά ανεξάρτητο (πάνω από το R ). Απόδειξη. είχνουµε ότι αν (5...49) (x) = ν + (ν k συν k x + µ k ημ k x), k= για κάποιους ν k, µ k R, τότε (5...5) ν = ν = = ν n = µ = = µ n =. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

Αυτό προκύπτει άµεσα από την Πρόταση 5..6. Για παράδειγµα, για κάθε m =,..., n έχουµε = = ν = µ m (x) ημ mxdλ(x) ημ mxdλ(x) + k= ν k ημ mx ημ mxdλ(x) = µ m, συν k x ημ mxdλ(x) + µ k ημ k x ημ mxdλ(x) διότι συν k x ημ mxdλ(x) = για κάθε k n και ημ k x ημ mxdλ(x) = για κάθε k n, k m. Οµοια δείχνουµε ότι ν m = για κάθε m =,,..., n. Απόδειξη της Πρότασης 5..5. Από την Πρόταση 5..7 γίνεται σαφές ότι dim( n ) = n + : το A είναι µία ϐάση του n. Επιπλέον, αφού span(b) n και dim(span(b)) n +, συµπεραίνουµε ότι, τελικά, (5...5) n = span(b) = span(a). Ειδικότερα, κάθε πολυώνυµο του συν x, ϐαθµού µικρότερου ή ίσου από n, ανήκει στην κλάση n. Θα χρησιµοποιήσουµε το προσεγγιστικό ϑεώρηµα του Weiersrass (µια απόδειξη δίνεται στο Παράρτηµα). Θεώρηµα 5..8. Εστω f : [a, b] R συνεχής συνάρτηση. Για κάθε ε > υπάρχει πολυώνυµο p ώστε (5...5) f p = max{ f (x) p(x) : x [a, b]} ε. Ισοδύναµα, υπάρχει ακολουθία {p m } πολυωνύµων ώστε f p m. Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 5..8 ϑα δείξουµε ότι η κλάση των πραγµατικών τριγωνοµετρικών πολυωνύµων είναι «πυκνή» στον χώρο των συνεχών -περιοδικών πραγµατικών συναρτήσεων: Θεώρηµα 5..9. Εστω f : R R συνεχής -περιοδική συνάρτηση. Για κάθε ε > υπάρχει πραγµατικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ώστε (5...53) f = max{ f (x) (x) : x R} ε. Ισοδύναµα, υπάρχει ακολουθία { m } πραγµατικών τριγωνοµετρικών πολυωνύµων ώστε f m. Απόδειξη. είχνουµε πρώτα τον ισχυρισµό του ϑεωρήµατος, κάνοντας την επιπλέον υπόθεση ότι η f είναι άρτια: δηλαδή, f ( x) = f (x) για κάθε x R. Ορίζουµε g : [, ] R µε (5...54) g(y) = f (τοξσυν y). Η g είναι καλά ορισµένη, διότι τοξσυν y [, π] για κάθε y [, ], και συνεχής, ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Από το Θεώρηµα 5..8 υπάρχει πολυώνυµο p ώστε g p < ε. ηλαδή, (5...55) f (τοξσυν y) p(y) < ε για κάθε y [, ]. Ορίζουµε (x) = p(συν x). Το είναι πολυώνυµο του συν x, άρα. Παρατηρούµε ότι, για κάθε x [, π] υπάρχει y [, ] ώστε y = συν x, και τότε, (5...56) f (x) (x) = f (x) p(συν x) = f (τοξσυν y) p(y) < ε. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

Αφού οι f και είναι άρτιες συναρτήσεις, έπεται ότι (5...57) f = max{ f (x) (x) : x π} < ε, το οποίο είναι το Ϲητούµενο. Για τη γενική περίπτωση, ϑεωρούµε τυχούσα συνεχή -περιοδική συνάρτηση f : R R και ορίζουµε (5...58) f (x) = f (x) + f ( x) και f (x) = [ f (x) f ( x)] ημ x. Παρατηρήστε ότι οι f και f είναι άρτιες, συνεχείς και -περιοδικές. τριγωνοµετρικά πολυώνυµα και ώστε Αρα, µπορούµε να ϐρούµε (5...59) f < ε και f < ε. Αν ϑέσουµε (5...6) 3 (x) = ( (x) ημ x + (x) ημ x), τότε 3 και, για κάθε x [, π], f (x) ημ x 3 (x) = f (x) ημ x + f (x) ημ x (x) ημ x (x) ημ x Με άλλα λόγια, αν ορίσουµε f 3 (x) = f (x) ημ x τότε (5...6) f 3 3 < ε. ( f (x) (x)) ημ x + ( f (x) (x)) ημ x f (x) (x) + f (x) (x) < ε + ε = ε. Θεωρούµε τώρα τη συνάρτηση g(x) := f ( ) x π. Η g είναι συνεχής και -περιοδική. Συνεπώς, ο ίδιος συλλογισµός δείχνει ότι υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο 4 ώστε, για τη συνάρτηση f 4 (x) = g(x) ημ x να ισχύει f 4 4 < ε. Αν ορίσουµε 5(x) = 4 (x + π/), τότε το 5 είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (εξηγήστε γιατί) και για κάθε x R, αν ϑέσουµε y = x + π/ έχουµε (5...6) f (x) συν x 5 (x) = f (x) συν x 4 (x + π/) = f (y π/) ημ y 4 (y) < ε. Συνεπώς, (5...63) f 5 5 < ε, όπου f 5 (x) = f (x) συν x. Παρατηρήστε ότι f = f 3 + f 5, διότι f (x) = f (x) ημ x + f (x) συν x. Ορίζουµε = 3 + 5. Τότε, και (5...64) f = ( f 3 + f 5 ) ( 3 + 5 ) f 3 3 + f 5 5 < ε + ε = ε. Αυτό αποδεικνύει το ϑεώρηµα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

Πόρισµα 5... Εστω f : R R συνεχής -περιοδική συνάρτηση µε την ιδιότητα (5...65) a k ( f ) = b k ( f ) = για κάθε k. Τότε, f. Απόδειξη. Από την υπόθεση και από τη γραµµικότητα του ολοκληρώµατος είναι ϕανερό ότι (5...66) f (x) (x) dλ(x) = για κάθε τριγωνοµετρικό πολυώνυµο. Από το Θεώρηµα 5..9 υπάρχει ακολουθία { m } τριγωνοµετρικών πολυωνύµων ώστε f m. Τότε, για κάθε m έχουµε (5...67) f (x) dλ(x) = f (x) dλ(x) f (x) m (x) dλ(x) = f (x)( f (x) m (x)) dλ(x). Αρα, (5...68) f (x) dλ(x) f f m dλ(x) = f f m. Επεται ότι (5...69) f (x) dλ(x) =, και, αφού η f είναι συνεχής, συµπεραίνουµε ότι f. Απόδειξη του Θεωρήµατος 5... Εστω f : R C συνεχής -περιοδική συνάρτηση και έστω ε >. Γράφουµε f = u + iv και, χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 5..9. Εστω f : R R ϐρίσκουµε πραγµατικά τριγωνοµετρικά πολυώνυµα, τέτοια ώστε (5...7) u ε/ και v ε/. Παρατηρήστε ότι αν ορίσουµε p = u + iv τότε (5...7) f (x) p(x) = u(x) (x) + v(x) (x) u + v ε για κάθε x R, άρα (5...7) f p = max{ f (x) p(x) : x R} ε. Μένει να δείξουµε ότι η p = u + iv είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο. Υπάρχει n N τέτοιος ώστε τα, να γράφονται στη µορφή (5...73) (x) = (a k συν k x + b k ημ k x) και (x) = k= ( k συν k x + s k ημ k x), Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4 k=

όπου a k, b k, k, s k R. Αν ορίσουµε c k = a k ib k και d k = k is k, τότε από τους υπολογισµούς της Παρατήρησης 5..6 ϐλέπουµε ότι (5...74) p(x) = (x) + i (x) = c k e ik x + i d k e ik x = (c k + id k )e ik x, k= n k= n k= n δηλαδή το p είναι (µιγαδικό) τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ϐαθµού το πολύ ίσου µε n. Πόρισµα 5... Αν η f : R C είναι συνεχής -περιοδική συνάρτηση µε (5...75) f (k) = για κάθε k Z, τότε f. Απόδειξη. Ακριβώς όπως στην απόδειξη του Πορίσµατος 5.., από την υπόθεση και από τη γραµµικότητα του ολοκληρώµατος είναι ϕανερό ότι (5...76) f (x)p(x) dλ(x) = για κάθε µιγαδικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο p. Από το Θεώρηµα 5.. υπάρχει ακολουθία {p m } µιγαδικών τριγωνοµετρικών πολυωνύµων ώστε f p m. Τότε, για κάθε m έχουµε (5...77) Αρα, (5...78) Επεται ότι (5...79) f (x) dλ(x) = f (x) dλ(x) = f (x) dλ(x) f (x) f (x) p m (x) dλ(x). f (x)p m (x) dλ(x) f f p m dλ(x) = f f p m. f (x) dλ(x) =, και, αφού η f είναι συνεχής, συµπεραίνουµε ότι f, δηλαδή f. 5.3 Βασικές ιδιότητες των σειρών Fourier Σε αυτήν την παράγραφο συγκεντρώνουµε ϐασικές και χρήσιµες ιδιότητες των σειρών Fourier, τις οποίες ϑα χρησιµοποιούµε συχνά στα επόµενα. Κάποιες πολύ στοιχειώδεις ιδιότητες είναι οι εξής:. Αν f, g L () και α C τότε (5.3..8) f + αg(k) = f (k) + α ĝ(k) για κάθε k Z. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

. Αν g L () τότε (5.3..8) ĝ(k) = ĝ( k) για κάθε k Z. 3. Αν f L (), α R και f α () = f ( + α), τότε (5.3..8) f α (k) = f ( + α)e ik d = e ikα f (k) για κάθε k Z. 4. Αν f L (), n Z και g n () = f ()e in, τότε (5.3..83) ĝ n (k) = f ()e in e ik d = f (k n) για κάθε k Z. Εστω f L (). Οπως είδαµε, για κάθε k Z, (5.3..84) f (k) = f (x)e ik x dλ(x) f (x) dλ(x) = f. Με άλλα λόγια, η { f (k)} k= είναι ϕραγµένη. Ισχύει όµως κάτι ισχυρότερο: Θεώρηµα 5.3. (Riemann-Lebesgue). Εστω f L (). Τότε, (5.3..85) lim k f (k) =. Απόδειξη. Εστω ε >. Θα χρησιµοποιήσουµε το γεγονός ότι τα τριγωνοµετρικά πολυώνυµα είναι πυκνά στον L (): υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο p ε ώστε (5.3..86) f p ε < ε. Πράγµατι, αυτό είναι άµεσο από το Θεώρηµα 4.. (οι συνεχείς συναρτήσεις είναι πυκνές στον L ()) και το Θεώρηµα 5.. (τα τριγωνοµετρικά πολύώνυµα είναι πυκνά στον (C(), ), άρα και στον (C()), )). Εστω n = n (ε) ο ϐαθµός του p ε. Για κάθε k > n ισχύει (5.3..87) f (k) = ( f (x) p ε (x))e ik x dλ(x) = f p ε (k) διότι p ε (x)e ik x dλ(x) =. Συνεπώς, (5.3..88) f (k) = f p ε (k) f p ε < ε για κάθε k > n. Επεται το Ϲητούµενο. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

Οι επόµενες προτάσεις δίνουν τους συντελεστές Fourier των συναρτήσεων που προκύπτουν αν ολοκληρώσουµε ή παραγωγίσουµε µια συνάρτηση. Πρόταση 5.3.. Εστω f L () και έστω F το αόριστο ολοκλήρωµα της f : (5.3..89) F(x) = c + x f () dλ(), x. Θεωρούµε τη συνάρτηση G(x) = F(x) f ()x. Τότε, (5.3..9) Ĝ(k) = f (k) ik για κάθε k Z \ {}. Απόδειξη. Παρατηρήστε αρχικά ότι (5.3..9) F(x + ) F(x) = x+ x f () dλ() = f () dλ() = f (). Αρα, αν f () τότε η F δεν είναι -περιοδίκή. Γι αυτό το λόγο ϑεωρούµε τη συνάρτηση G(x) = F(x) f ()x. Η G είναι -περιοδική, απολύτως συνεχής, και G (x) = f (x) f () σχεδόν παντού στο. Για κάθε k έχουµε Ĝ(k) = G()e ik dλ() = G()e ik π ik + ( f () f ())e ik dλ() (ik) = (ik) f (k). Παρατήρηση 5.3.3. Εστω f : C συνεχώς παραγωγίσιµη συνάρτηση. Για κάθε k, ολοκληρώνοντας κατά µέρη γράφουµε f (k) = f (x)e ik x dλ(x) = f (x) e ik x π ik + f (x)e ik x dλ(x) ik = ik f (x)e ik x dλ(x), όπου χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι, αφού η f είναι -περιοδική, f (x) e ik x ik π =. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

Με άλλα λόγια, (5.3..9) f (k) = ik f (x)e ik x dλ(x) = ik f (k) για κάθε k. Από την περιοδικότητα της f είναι ϕανερό ότι (5.3..93) f () = f (x) = f (π) f () =. Συνεπώς, (5.3..94) f (k) = ik f (k), k Z. Οµοίως, αν η f : C είναι δύο ϕορές συνεχώς παραγωγίσιµη, τότε (5.3..95) f (k) = (ik) f (k) = (ik) f (k) για κάθε k Z, και επαγωγικά έχουµε την ακόλουθη πρόταση. Πρόταση 5.3.4. Εστω f C m (), δηλαδή η f είναι m ϕορές συνεχώς παραγωγίσιµη. Τότε, (5.3..96) f (m) (k) = (ik) m f (k) για κάθε k Z, και (5.3..97) lim k [km f (k)] =. Ειδικότερα, υπάρχει C > ώστε, για κάθε k, (5.3..98) f (k) C k m. Απόδειξη. Είναι άµεση συνέπεια της Πρότασης 5.3.5, την οποία εφαρµόζουµε, διαδοχικά, m ϕορές. Ο τελευταίος ισχυρισµός προκύπτει από το λήµµα Riemann-Lebesgue (Θεώρηµα 5.3.) το οποίο εφαρµόζουµε για την f (m). Γενικότερα, η (5.3..94) ισχύει για τις απολύτως συνεχείς συναρτήσεις. Πρόταση 5.3.5. Εστω f L (). Αν η f είναι απολύτως συνεχής, τότε (5.3..99) f (k) = (ik) f (k) για κάθε k Z, και lim k [k f (k)] =. Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι (5.3..) f (x) = f () + x f () dλ() διότι η f είναι απολύτως συνεχής. Κατόπιν, εφαρµόζουµε την Πρόταση 5.3.. Για τον τελευταίο ισχυρισµό χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι f (k) όταν k, το οποίο έπεται από το λήµµα Riemann-Lebesgue αφού f L (). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

Η επόµενη πρόταση δείχνει ότι αν τα µερικά αθροίσµατα s n της τριγωνοµετρικής σειράς (5.3..) k= c k e ik x συγκλίνουν σε µια ολοκληρώσιµη συνάρτηση f ως προς την, τότε c k = f (k) για κάθε k. Πρόταση 5.3.6. Εστω c k e ik µια τριγωνοµετρική σειρά και έστω f L (). Αν s n f καθώς το n, τότε k= (5.3..) c k = f (k) για κάθε k Z. Απόδειξη. Σταθεροποιούµε k Z και γράφουµε (5.3..3) f (k) = ( f (x) s n (x))e ik x dλ(x) + s n (x)e ik x dλ(x). Παρατηρούµε ότι, αν n k τότε (5.3..4) s n (x)e ik x dλ(x) = c k. Αρα, για κάθε n k έχουµε f (k) c k = ( f (x) s n (x))e ik x dλ(x) f (x) s n (x) dλ(x) = f s n καθώς το n. Επεται ότι c k = f (k). Χρησιµοποιώντας την Πρόταση 5.3.6 και το ϑεώρηµα µοναδικότητας (Πόρισµα 5..) µπορούµε να δώσουµε καταφατική απάντηση στο ερώτηµα της σηµειακής σύγκλισης της s n ( f ) στην f αν η f είναι συνεχής και η σειρά των συντελεστών Fourier της f συγκλίνει απολύτως. Θεώρηµα 5.3.7. Εστω f : C συνεχής συνάρτηση. Υποθέτουµε ότι (5.3..5) k= f (k) < +. Τότε, η σειρά Fourier της f συγκλίνει οµοιόµορφα στην f. ηλαδή, (5.3..6) s n ( f ) οµ f. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

Απόδειξη. Από την υπόθεση ότι k= f (k) < + ϐλέπουµε ότι η ακολουθία συναρτήσεων (5.3..7) s n ( f, x) = f (k)e ik x k= n είναι οµοιόµορφα ϐασική: πράγµατι, για κάθε m > n έχουµε (5.3..8) s m ( f ) s n ( f ) = max x s m( f )(x) s n ( f, x) n< k m f (k) όταν m, n. Συνεπώς, η {s n ( f )} συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια συνεχή συνάρτηση g : C. Ειδικότερα, (5.3..9) s n ( f ) g s n ( f ) g, οπότε η Πρόταση 5.3.6 µας εξασφαλίζει ότι (5.3..) f (k) = ĝ(k) για κάθε k Z. Αφού οι συνεχείς συναρτήσεις f και g έχουν τους ίδιους συντελεστές Fourier, από το οµ Πόρισµα 5.. συµπεραίνουµε ότι g f. Συνεπώς, s n ( f ) f. Η υπόθεση f (k) < εξασφαλίζεται, για παράδειγµα, αν η f έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο. k= Αυτό προκύπτει από την Πρόταση 5.3.4, αφού υπάρχει C > ώστε, για κάθε k, (5.3..) f (k) C k. Συνεπώς, έχουµε το εξής: Πρόταση 5.3.8. Εστω f : C δύο ϕορές παραγωγίσιµη συνάρτηση και έστω ότι η f είναι συνεχής. Τότε, η σειρά Fourier της f συγκλίνει οµοιόµορφα στην f. Παρατήρηση 5.3.9. Εστω f L (). Ενα ϕυσιολογικό ερώτηµα που προκύπτει από το Θεώρηµα 5.3.7 είναι να δοθούν ικανές συνθήκες ώστε η σειρά k= f (k) να συγκλίνει: αυτό εξασφαλίζει, όπως είδαµε, την οµοιόµορφη σύγκλιση της S( f ) στην f. Είδαµε ότι αρκεί η συνέχεια της f. Οπως ϑα δούµε αργότερα, η σύγκλιση της σειράς f (k) εξασφαλίζεται και µε ασθενέστερες υποθέσεις για την f. k= Αρκεί να υποθέσουµε ότι η f είναι συνεχώς παραγωγίσιµη. Ακόµα ασθενέστερη συνθήκη για την f είναι να ικανοποιεί συνθήκη Hölder τάξης α > /: δηλαδή, να υπάρχει M > ώστε (5.3..) f (x) f (y) M x y α για κάθε x, y R. Κλείνουµε αυτήν την παράγραφο µε κάποιες παρατηρήσεις για τους συντελεστές Fourier της συνέλιξης δύο ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. Θεώρηµα 5.3.. Εστω f, g L (). Αν f g είναι η συνέλιξη των f και g, η οποία ορίζεται µέσω της (5.3..3) ( f g)(x) = f (x )g() dλ(), τότε (5.3..4) f g(k) = f (k)ĝ(k) για κάθε k Z. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

Απόδειξη. Στο προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε ότι η f g ορίζεται καλά σχεδόν παντού στο, είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση, και f g f g. Χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα Fubini γράφουµε f g(k) = = = = f (k)ĝ(k). f (x )g() dλ() e ik x dλ(x) g()e ik f (x )e k(x ) dλ(x) g()e ik f (k) dλ() dλ() Πόρισµα 5.3.. Εστω f L (). Αν p(x) = N k= N c k e ik x είναι ένα τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ϐαθµού N τότε η συνέλιξη f p είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ϐαθµού µικρότερου ή ίσου από N, το οποίο δίνεται από την (5.3..5) ( f p)(x) = Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι ( f p)(x) = = = = k= N N k= N c k f (k)e ik x. f ()p(x ) dλ() f () N k= N c k e ik(x ) dλ() N c k f ()e ik dλ() N c k f (k)e ik x, k= N e ik x άρα η f g είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ϐαθµού µικρότερου ή ίσου από N. 5.3. Μοναδικότητα σειρών Fourier Είδαµε ότι αν µια συνεχής -περιοδική συνάρτηση f : R C έχει όλους τους συντελεστές Fourier f (k) ίσους µε µηδέν, τότε f. Κλείνουµε αυτήν την παράγραφο µε το ακόλουθο ισχυρότερο ϑεώρηµα µοναδικότητας. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

Θεώρηµα 5.3.. Εστω f L () µε f (k) = για κάθε k Z. Αν η f είναι συνεχής στο σηµείο x τότε f (x ) =. Απόδειξη. Υποθέτουµε πρώτα ότι η f παίρνει πραγµατικές τιµές. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι η f ορίζεται στο [, π] και ότι x =. [Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση: αν η f είναι συνεχής στο x, τότε η g(x) = f (x + x ) είναι συνεχής στο υπολογίστε τους συντελεστές Fourier της g.] Θα υποθέσουµε ότι f () > και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο (τελείως ανάλογα αποκλείουµε την περίπτωση f () < ). Η ιδέα είναι να ορίσουµε κατάλληλη ακολουθία {p m } τριγωνοµετρικών πολυωνύµων τα οποία παρουσιάζουν «κορυφή» στο σηµείο και από αυτή τους την ιδιότητα να συµπεράνουµε ότι (5.3..) lim p m (θ) f (θ) dθ = +. k Αυτό είναι προφανώς άτοπο, αφού η υπόθεση ότι f (k) = για κάθε k Z δείχνει ότι όλα τα παραπάνω ολοκληρώµατα είναι ίσα µε. Αρχικά, εφαρµόζοντας τον ορισµό της συνέχειας για την f στο σηµείο, ϐρίσκουµε < δ < π/ ώστε f (x) > f ()/ για κάθε x ( δ, δ). Παρατηρούµε ότι συν x συν δ < αν δ x π. Συνεπώς, υπάρχει ε > ώστε (5.3..) ε + συν x < ε/ ( συν δ) για κάθε δ x π. Αρκεί να επιλέξουµε < ε < 3. Τότε, αν ε + συν x έχουµε ε + συν x = ε + συν x ε + συν δ < ε/ από την επιλογή του ε, ενώ αν ε + συν x < έχουµε ε + συν x = συν x ε ε < ε/. Ορίζουµε (5.3..3) p(x) = ε + συν x, x [, π]. Τότε, p() = + ε, συνεπώς υπάρχει < η < δ ώστε (5.3..4) p(x) + ε/, x ( η, η). Τώρα, για κάθε m =,,..., ορίζουµε (5.3..5) p m (x) = [p(x)] m = (ε + συν x) m. Παρατηρήστε ότι κάθε p m είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (εξηγήστε γιατί). Αφού f (k) = για κάθε k Z, συµπεραίνουµε ότι (5.3..6) Γράφουµε (5.3..7) και παρατηρούµε ότι: p m (x) f (x) dλ(x) = + p m (x) f (x) dλ(x) =, k =,,.... η x <δ δ x π p m (x) f (x) dλ(x) p m (x) f (x) dλ(x) + x <η p m (x) f (x) dλ(x), Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

. Για το πρώτο ολοκλήρωµα έχουµε p m (x) f (x) ( ε/) m f (x) f (x) και η f είναι ολοκληρώσιµη στο K δ := {x : δ x π}. Αφού p m (x) f (x) ( ε/) m f (x) σε κάθε x K δ για το οποίο f (x) <, έχουµε p m (x) f (x) σχεδόν παντού στο K δ, και εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα κυριαρχηµένης σύγκλισης παίρνουµε (5.3..8) p m (x) f (x) dλ(x) όταν m. δ x π. Για το δεύτερο ολοκλήρωµα έχουµε (5.3..9) η x <δ p m (x) f (x) dλ(x) διότι p(x) και f (x) στο {x : η x < δ}. 3. Για το τρίτο ολοκλήρωµα ισχύει το κάτω ϕράγµα (5.3..) p m (x) f (x) dλ(x) η f () ( + ε/)m. x <η Αφού (5.3..) lim m ( + ε/)m = +, συνδυάζοντας τα παραπάνω ϐλέπουµε ότι (5.3..) lim m p m (x) f (x) dλ(x) = +. Ετσι, οδηγούµαστε σε άτοπο στην περίπτωση που η f παίρνει πραγµατικές τιµές. Στη γενική περίπτωση που η f παίρνει τιµές στο C, γράφουµε f (x) = u(x) + iv(x), όπου οι u και v είναι ολοκληρώσιµες πραγµατικές συναρτήσεις. Αν ϑέσουµε g(x) = f (x), έχουµε (5.3..3) u(x) = f (x) + g(x) και v(x) = f (x) g(x). i Παρατηρούµε ότι (5.3..4) ĝ(k) = f (k) =, k Z. Επεται ότι (5.3..5) û(k) = f (k) + ĝ(k) = και v(k) = f (k) ĝ(k) i = για κάθε k Z. Εστω ότι η f είναι συνεχής στο x. Από τη συνέχεια των u και v στο x, από το γεγονός ότι οι συντελεστές Fourier των u και v µηδενίζονται και από το αποτέλεσµα στην πραγµατική περίπτωση, συµπεραίνουµε ότι u(x ) = v(x ) =. Αρα, f (x ) = u(x ) + iv(x ) =. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

5.4 Ο πυρήνας του Dirichle Εστω f L (). Ξεκινώντας από την παρατήρηση ότι s n ( f, x) = k= n = f (k)e ik x = f () k= n k= n e ik(x ) dλ(), f ()e ik dλ() e ik x δίνουµε τον παρακάτω ορισµό. Ορισµός 5.4.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichle είναι η συνάρτηση (5.4..6) D n (y) = e iky, n. k= n Σύµφωνα µε αυτόν τον ορισµό, ο προηγούµενος υπολογισµός µας δίνει το εξής. Λήµµα 5.4.. Εστω f L (). Για κάθε n ισχύει (5.4..7) s n ( f, x) = f ()D n (x ) dλ(). Παρατήρηση 5.4.3. Θα χρησιµοποιούµε συχνά τις παρακάτω ϐασικές ιδιότητες του πυρήνα D n.. Από τον Ορισµό 5.4. παίρνουµε: αν < y π τότε D n (y) = e iny k= n = e iny ei(n+)y e iy n e i(k+n)y = e iny e (e iy/ i( ) n+ y e i( n+ = e iy/ (e iy/ e iy/ ) = ημ ( ) n + y. ημ y k= e iky = ei(n+)y e iny e iy. Πάλι από τον ορισµό της D n, και από την γραµµικότητα του ολοκληρώµατος, έχουµε (5.4..8) D n (y) dλ(y) =, για κάθε n. Παρατηρήστε ότι η D n είναι άρτια συνάρτηση. Αρα, µπορούµε επίσης να γράψουµε την προηγούµενη ισότητα στη µορφή ) y ) (5.4..9) π D n (y) dλ(y) =. π Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

3. Τα δύο ϐασικά άνω ϕράγµατα για την D n (y) είναι: (5.4..) D n (y) µε ισότητα όταν y =, και k= n (5.4..) D n (y) = ημ ( n + ) y ημ y e iky = n + ημ y π y, < y < π, η οποία προκύπτει από το γεγονός ότι ημ π για κάθε (, π/). Αφού η D n είναι άρτια, συµπεραίνουµε ότι (5.4..) D n (y) π, < y < π. y Ορισµός 5.4.4. Για κάθε n ορίζουµε (5.4..3) Dn(y) = D n (y) + D n (y), y. Παρατηρήστε ότι (5.4..4) D n(y) = ημ y ( ημ ( n ) y + ημ ( n + Αν f L (), για κάθε n και για κάθε ϑέτουµε (5.4..5) s n( f, x) := f ()D n(x ) dλ(). εδοµένου ότι (5.4..6) D n (y) D n(y) = D n(y) D n (y) συµπεραίνουµε ότι (5.4..7) s n ( f, x) = s n( f, x) + Λήµµα 5.4.5. Εστω f L (). Για κάθε x ισχύει = einy + e iny ) ) ημ(ny) y =. εφ y = συν(ny), f () συν n(x ) dλ(). (5.4..8) s n ( f, x) s n( f, x) καθώς το n. Απόδειξη. Λόγω της (5.4..7) αρκεί να ελέγξουµε ότι f () συν n(x ) dλ() = συν(nx) (5.4..9) f () συν(n) dλ() + ημ(nx) f () ημ(n) dλ(), το οποίο ισχύει από το λήµµα Riemann-Lebesgue. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

Παρατήρηση 5.4.6. Θεωρούµε την συνάρτηση (5.4..3) ϕ(y) = εφ y Εύκολα ελέγχουµε ότι το lim ϕ(y) υπάρχει, άρα ϕ L (). Αν λοιπόν f L () τότε f ϕ L (), και y από το λήµµα Riemann-Lebesgue έχουµε (5.4..3) y. f ()ϕ(x ) ημ n(x ) dλ(). Επεται ότι (5.4..3) s n( f, x) ημ n(x ) f () dλ() = x f ()ϕ(x ) ημ n(x ) dλ(). Από το Λήµµα 5.4.5 καταλήγουµε στην (5.4..33) s n ( f, x) π ημ n(x ) f () dλ(). x Παρατήρηση 5.4.7. Αφού Dn = (D n + D n ), οι ϐασικές ιδιότητες της Dn προκύπτουν άµεσα από αυτές της D n. Εχουµε ότι η Dn είναι άρτια συνάρτηση, και (5.4..34) D n(y) dλ(y) = π D n(y) dλ(y) = για κάθε n. Τα δύο ϐασικά άνω ϕράγµατα για την D n(y) είναι: (5.4..35) Dn(y) ( D n (y) + D n (y) ) ((n ) + (n + )) = n µε ισότητα όταν y =, και (5.4..36) Dn(y) π, < y < π. y 5.5 Σειρές Fourier συνεχών συναρτήσεων Σκοπός µας σε αυτήν την παράγραφο είναι να δείξουµε ότι υπάρχουν συνεχείς -περιοδικές συναρτήσεις f : R C που η σειρά Fourier τους αποκλίνει σε κάποιο σηµείο. Θα δώσουµε δύο αποδείξεις. Η πρώτη είναι έµµεση και χρησιµοποιεί την αρχή οµοιόµορφου ϕράγµατος (ϑεώρηµα Banach-Seinhaus) ενώ η δεύτερη είναι κατασκευαστική. Ορισµός 5.5. (σταθερές Lebesgue). Για κάθε n, η n-οστή σταθερά Lebesgue L n ορίζεται ως εξής: (5.5..37) L n = D n = D n (y) dλ(y). Στην επόµενη πρόταση υπολογίζουµε την τάξη µεγέθους της σταθεράς L n για µεγάλες τιµές του n. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

Πρόταση 5.5.. Ισχύει (5.5..38) L n 4lnn π καθώς το n. Σηµείωση. Ο συµβολισµός a n b n σηµαίνει ότι η ακολουθία {a n b n } είναι ϕραγµένη: υπάρχει σταθερά A > ώστε a n b n A για κάθε n. Ενας άλλος τρόπος για να περιγράψουµε την ίδια ιδιότητα είναι να γράψουµε a n b n = O(). Γράφοντας a n = b n + o() εννοούµε ότι a n b n καθώς το n. Απόδειξη. Αφού η D n είναι άρτια και ημ L n = π > στο (, π), έχουµε ( ημ((n + /)) ημ + π ( Ο πρώτος όρος είναι ϕραγµένος: αφού η ϕ() = ) dλ() ημ((n + /)) dλ() = A n + B n. ημ δεύτερο όρο, κάνοντας την αλλαγή µεταβλητής s = ( n + ) παίρνουµε ) είναι ϕραγµένη, έχουµε A n = O(). Για τον ημ s αφού, λόγω της lim s + s B n = π nπ+π/ = C n + O(), =, έχουµε ημ s dλ(s) s = π nπ π ημ s dλ(s) s + O() (5.5..39) ημ s s dλ(s) = O() και nπ+π/ nπ ημ s s dλ(s) π nπ. Μένει λοιπόν να δείξουµε ότι (5.5..4) C n := π Εχουµε nπ π ημ s dλ(s) s = 4 lnn + O(). π C n = π = π = π n (k+)π k= kπ n k= ημ s s dλ(s) ημ(kπ + ) kπ + n (ημ ) k= dλ() kπ + dλ(). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

Παρατηρούµε ότι, για κάθε (, π), (5.5..4) (k + )π kπ + kπ, άρα (5.5..4) Τα δύο αθροίσµατα n k= k+ n και k= n π k= n k + k= kπ + n π k. k= k είναι lnn + π O(). Αφού (5.5..43) C n = 4 lnn + O() π ημ dλ() =, καταλήγουµε στην και η απόδειξη είναι πλήρης. Πόρισµα 5.5.3. Για κάθε f L () και για κάθε x και n ισχύει (5.5..44) s n ( f, x) C(lnn) f, όπου C > απόλυτη σταθερά. Απόδειξη. Εχουµε s n ( f, x) = f (x ) D n () dλ() = D n f C lnn f f D n () dλ() διότι D n = L n C lnn από την Πρόταση 5.5.. Σκοπός µας είναι να δείξουµε ότι υπάρχει f C() για την οποία η ακολουθία s n ( f, ) δεν είναι ϕραγµένη (άρα, δεν συγκλίνει). Η επόµενη πρόταση συνδέει το πρόβληµα µε την συµπεριφορά της ακολουθίας (L n ). Πρόταση 5.5.4. Για κάθε n N (5.5..45) sup s n ( f, ) = L n. f C(), f Απόδειξη. Θα χρησιµοποιήσουµε το γεγονός ότι αν g : R είναι µια Riemann ολοκληρώσιµη συνάρτηση, τότε για κάθε δ > υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : R ώστε f (x) g για κάθε x και (5.5..46) f (x) g(x) dλ(x) < δ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

Η συνάρτηση g(x) = sign D n (x), όπου sign u είναι το πρόσηµο του u και sign =, είναι Riemann ολοκληρώσιµη (έχει πεπερασµένα το πλήθος σηµεία ασυνέχειας, όσα είναι τα σηµεία στα οποία αλλάζει πρόσηµο η D n ) και g =. Μπορούµε λοιπόν να ϐρούµε συνεχή συνάρτηση f : C ώστε f και (5.5..47) f (x) sign D n (x) dλ(x) < ε n +. Τότε, s n ( f, ) = f (y)d n ( y) dλ(y) sign D n (y)d n ( y) dλ(y) sign D n (y)d n (y) dλ(y) D n (y) dλ(y) ε, ε D n n + f (y) g(y) D n ( y) dλ(y) όπου χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι η D n, άρα και η sign D n, είναι άρτια, καθώς και την D n = n +. Από τα παραπάνω ϐλέπουµε ότι s n ( f, ) L n ε. Από την άλλη πλευρά, για κάθε f C() µε f έχουµε (5.5..48) s n ( f, ) f (y) D n (y) dy D n f L n, και η απόδειξη είναι πλήρης. Από την Πρόταση 5.5.4 και την Πρόταση 5.5., για κάθε n υπάρχει f n C() ώστε (5.5..49) s n ( f n, ) L n 4 π lnn. Θα δείξουµε ότι υπάρχει µία f C() ώστε (5.5..5) sup s n ( f, ) = +. n Ειδικότερα, η f έχει σειρά Fourier η οποία αποκλίνει στο σηµείο. Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε το ϑεώρηµα Banach-Seinhaus. Για λόγους πληρότητας δίνουµε την (σχετικά απλή) απόδειξή του, η οποία ϐασίζεται στο ϑεώρηµα Baire. Πρόταση 5.5.5. Εστω X πλήρης µετρικός χώρος και έστω { f n } ακολουθία συνεχών συναρτήσεων f n : X R µε την εξής ιδιότητα: για κάθε x X ισχύει sup f n (x) <. n Τότε, υπάρχουν x X και r, M > ώστε f n (x) M για κάθε x B(x, r) και για κάθε n N. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

Απόδειξη. Για κάθε m N ορίζουµε (5.5..5) A m = {x X : για κάθε n N, f n (x) m}. Κάθε A m είναι κλειστό υποσύνολο του X: αυτό ϕαίνεται αµέσως αν γράψουµε A m = {x X : f n (x) m} = n= n= fn ([ m, m]) και ϑυµηθούµε ότι για κάθε n N η αντίστροφη εικόνα του [ m, m] µέσω της f n είναι κλειστό υποσύνολο του X και ότι η τοµή κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύολο. Παρατηρήστε ότι X = m= A m : Εστω x X. Από την υπόθεση, η ακολουθία { f n (x)} είναι ϕραγµένη, δηλαδή υπάρχει M x > ώστε, για κάθε n N, f n (x) M x. Υπάρχει m = m(x) N µε m M x. Τότε, x A m. Ο X είναι πλήρης µετρικός χώρος, οπότε το ϑεώρηµα Baire µας εξασφαλίζει ότι κάποιο A m έχει µη κενό εσωτερικό, δηλαδή υπάρχουν x X και r > ώστε B(x, r) A m. Οµως τότε, η { f n } είναι οµοιόµορφα ϕραγµένη στην B(x, r): για κάθε x B(x, r) και για κάθε n N ισχύει f n (x) m. Ορισµός 5.5.6. Εστω X, Y δύο χώροι µε νόρµα και έστω : X Y γραµµικός τελεστής (γραµµική απεικόνιση). Λέµε ότι ο είναι ϕραγµένος αν υπάρχει σταθερά M > τέτοια ώστε για κάθε x X. x Y M x X Η αρχή του οµοιόµορφου ϕράγµατος διατυπώνεται για µια ακολουθία { n } ϕραγµένων γραµµικών τελεστών n : X Y για τους οποίους ισχύει sup n (x) Y < n για κάθε x X. Αν ο X είναι πλήρης, η γραµµικότητα των n και η απλή ιδέα της απόδειξης της Πρότασης 5.5.5 µας δίνουν ότι οι n είναι οµοιόµορφα ϕραγµένοι. Η ακριβής διατύπωση είναι η εξής: Θεώρηµα 5.5.7 (αρχή οµοιόµορφου ϕράγµατος, Banach-Seinhaus). Εστω X χώρος Banach, Y χώρος µε νόρµα, και έστω { n } µια ακολουθία από ϕραγµένους γραµµικούς τελεστές : X Y µε την ιδιότητα: για κάθε x X, (5.5..5) sup n x Y < +. Τότε, υπάρχει M > ώστε: για κάθε n N και για κάθε x X, (5.5..53) x Y M x X. Απόδειξη. Για κάθε n N ορίζουµε f n : X R µε f n (x) = (x) Y. Κάθε f n είναι Lipschiz συνεχής συνάρτηση. Γνωρίζουµε ότι ο n είναι ϕραγµένος, άρα υπάρχει M n > τέτοιος ώστε n (x) Y M n x X για κάθε x X. Αν x, y X, τότε (5.5..54) f n (x) f n (y) = n (x) Y n (y) Y n (x) n (y) Y = n (x y) Y M n x y X. Από την υπόθεσή µας, για κάθε x X ισχύει (5.5..55) sup f n (x) = sup n (x) Y < +. n n Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

Από την Πρόταση 5.5.5 υπάρχουν x X και r, M > ώστε για κάθε x B(x, r) και για κάθε n N, (5.5..56) f n (x) = n (x) Y M. Εστω x X µε x X. Τότε, για κάθε n N έχουµε (x + (r/)x) Y M και (x ) Y M (γιατί x, x + (r/)x B(x, r)). Αρα, για κάθε n N n (x) Y = r n((r/)x) Y = r n(x + (r/)x) n (x ) Y r ( n(x + (r/)x) Y + n (x ) Y ) 4M. r Τώρα, για κάθε x ϑέτουµε x = x/ x X και παρατηρούµε ότι x X =, άρα (5.5..57) n (x) Y = n ( x X x ) X = x X n (x ) Y 4M x X r για κάθε n N, οπότε το Ϲητούµενο έπεται µε M = 4M /r. Εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα Banach-Seinhaus για τους γραµµικούς τελεστές f s n ( f, ), f C(). Θεώρηµα 5.5.8. Υπάρχει f C() ώστε (5.5..58) sup s n ( f, ) = +. n Απόδειξη. Για κάθε n ϑεωρούµε τον τελεστή n : (C(), ) C µε (5.5..59) n ( f ) = s n ( f, ). Κάθε n είναι ϕραγµένο γραµµικό συναρτησοειδές: η γραµµικότητα ελέγχεται εύκολα, και (5.5..6) n = sup{ s n ( f, ) : f C(), f } = L n. Ας υποθέσουµε ότι, για κάθε f C() ισχύει (5.5..6) sup n n ( f ) = sup s n ( f, ) <. n Από το ϑεώρηµα Banach-Seinhaus υπάρχει M > ώστε s n ( f, ) = n ( f ) M για κάθε f C() µε f. Από την Πρόταση 5.5.4 παίρνουµε (5.5..6) L n = sup s n ( f, ) M f C(), f για κάθε n N, άρα η (L n ) είναι ϕραγµένη, το οποίο είναι άτοπο από την Πρόταση 5.5.. Συνεπώς, υπάρχει f C() τέτοια ώστε lim sup n s n ( f, ) = +. Ειδικότερα, η σειρά Fourier της f αποκλίνει στο σηµείο. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

5.5. Μια κατασκευή του Lebesgue Κλείνουµε αυτήν την παράγραφο µε µια κατασκευαστική απόδειξη της ύπαρξης συνεχούς f : R για την οποία (5.5..) lim sup s n ( f, ) =. n Το επιχείρηµα οφείλεται στον Lebesgue. Στην Παρατήρηση 5.4.6 είδαµε ότι, για κάθε f L () και για κάθε, (5.5..) s n ( f, x) ημ n(x ) f () dλ(). π x Θα ορίσουµε µια άρτια συνάρτηση f : R, ϑέτοντας (5.5..3) f () = c k ημ(n k ) χ Ik (), < < π, k= όπου {n k } k= είναι µια γνησίως αύξουσα ακολουθία ϕυσικών που ϑα επιλεγεί κατάλληλα, χ I k είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του διαστήµατος I k = ( π π n k, n ], και k {c k } είναι µια ϕθίνουσα µηδενική ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών που ϑα επιλεγεί κατάλληλα. Παρατηρήστε ότι αν ο n k είναι πολλαπλάσιο του n k τότε η f ϑα είναι συνεχής (και ίση µε ) σε όλα τα σηµεία π/n k και ότι η υπόθεση c k εξασφαλίζει ότι η f είναι συνεχής στο αν ϑέσουµε f () =. Κατόπιν, επεκτείνουµε την f στο [, ) ώστε να γίνει άρτια συνάρτηση, και τέλος, την επεκτείνουµε -περιοδικά στο R. Επειδή τα διαστήµατα I k έχουν ξένους ϕορείς, αυτό που περιµένουµε από την (5.5..) είναι ότι, αν επιλέξουµε κατάλληλα τις παραµέτρους, ο ϐασικός όρος στο µερικό άθροισµα s nk ( f, ) ϑα είναι ο k-οστός, δηλαδή ο c k ημ(n k ) χ Ik (). Αρχικά ορίζουµε c =, n = και I = (π/, π]. Στο I έχουµε (5.5..4) f () = c ημ(n ). Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ορίσει n < n < < n k, τους c,..., c k, και τα διαστήµατα I j, j =,..., k. Ορίζουµε k (5.5..5) ϕ() = c j ημ(n j ) χ Ij () αν (π/n k, π] j= και ϕ() = αλλιώς. Παρατηρούµε ότι η ϕ()/ είναι ϕραγµένη: πράγµατι, η ϕ µηδενίζεται στο [, π/n k ], άρα (5.5..6) ϕ() c c n k. π Από το λήµµα Riemann-Lebesgue έχουµε (5.5..7) lim n ϕ() ημ(n) dλ() =. Ορίζουµε n k = n k N k, όπου ο N k k είναι αρκετά µεγάλος ώστε να ισχύει (5.5..8) π ϕ() ημ(n k ) dλ() <. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

Στη συνέχεια, ϑέτουµε I k = (π/n k, π/n k ] και ορίζουµε f () = c k ημ(n k ) στο I k, όπου < c k < c k < τον οποίο ϑα επιλέξουµε. Για να εκτιµήσουµε το µερικό άθροισµα s nk ( f, ) αρκεί, από την (5.5..), να εκτιµήσουµε το π π f () ημ(n k ) dλ() = π + (,π/n k ] =: A k + B k + C k. (π/n k,π/n k ] + (π/n k,π] Από την (5.5..8) ϐλέπουµε ότι C k = O(): στο (π/n k, π] έχουµε f () = ϕ(), άρα π (5.5..9) f () ημ(n k ) dλ() π = ϕ() ημ(n k ) dλ() < π. Επίσης, ανεξάρτητα από τον τρόπο επιλογής των c k, από την ημ y y στο (, π) και την < c k έχουµε (5.5..) A k Τέλος, Για τον B k έχουµε (,π/n k ] ημ(n k ) dλ() B k = c k (ημ n k ) dλ() = c k I k I k = c k dλ() c k I k =: B k B k. (5.5..) B k = c k I k dλ() I k συν(n k ) n k π n k = π. συν(n k ) dλ() = c ( ) k ln nk = c k n k (lnn k). Επιλέγοντας c k = (lnn k ) ϵ, όπου < ϵ <, έχουµε c k και (5.5..) B k = (lnn k) ϵ καθώς το k. Το ολοκλήρωµα στον όρο B k ισούται µε dλ() (5.5..3) συν(n k ) = ημ(n k) n k I k Από την επιλογή των n k έχουµε ότι ημ(n k ) (5.5..4) n k π/n k π/n k = ημ() π/n k π/n k + I k ημ(n k ) n k ημ(n k) N k =. dλ() dλ(). Επίσης, (5.5..5) ημ(n k ) dλ() n k dλ() n I k k = n k n k π = = O(). π/n k Συγκεντρώνοντας όλες τις εκτιµήσεις µας, ϐλέπουµε ότι (5.5..6) s nk ( f, ) = (lnn k) ϵ + O(), απ όπου έπεται ότι s nk ( f, ). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 33

5.6 Θεώρηµα Dini και θεώρηµα Marcinkiewicz Το ϑεώρηµα Dini µας δίνει µια ικανή συνθήκη για την σύγκλιση της σειράς Fourier µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης σε δεδοµένο σηµείο. Θεώρηµα 5.6. (Dini). Εστω f L () και έστω x µε την εξής ιδιότητα: υπάρχει α C ώστε (5.6..7) Τότε, f (x + ) + f (x ) α dλ() (5.6..8) lim n s n ( f, x) = α. Απόδειξη. Λόγω του Λήµµατος 5.4.5 αρκεί να δείξουµε ότι (5.6..9) s n( f, x) α. Αφού (5.6..) και (5.6..) α = π έχουµε s n( f, x) = = π (5.6..) s n( f, x) α = π f (x ) ημ(n) εφ f (x + ) + f (x ) αd n() dλ() = π ( f (x + ) + f (x ) Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση ( f (x + ) + f (x ) (5.6..3) F x () := γράφεται στη µορφή (5.6..4) όπου ϕ() = εφ dλ() <. ημ(n) dλ() εφ α ημ(n) εφ dλ(), ) ημ(n) α εφ dλ(). ) α εφ ( f (x + ) + f (x ) F (x) = A (x) + B (x) := ( ) f (x + ) + f (x ) + α ϕ(), ) α. Εχουµε δει ότι ϕ L, άρα η B x είναι ολοκληρώσιµη (εξηγήστε γιατί). Από την υπόθεση, η A x είναι επίσης ολοκληρώσιµη. Συνεπώς, F x L και έπεται ότι (5.6..5) s n( f, x) α = π από το λήµµα Riemann-Lebesgue. F x () ημ(n) dλ() Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 34

Παρατηρήσεις 5.6.. (α) Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν τα πλευρικά όρια (5.6..6) f (x + ) = lim x + f () και f (x ) = lim x f (). Αν η (5.6..7) ικανοποιείται για κάποιον α, τότε έχουµε αναγκαστικά (5.6..7) α = f (x + ) + f (x ). Πράγµατι, αν είχαµε f (x+)+ f (x ) α = r >, τότε ϑα υπήρχε δ (, π) ώστε: αν < < δ τότε (5.6..8) Οµως τότε ϑα είχαµε f (x + ) + f (x ) α r. (5.6..9) δ f (x + ) + f (x ) α dλ() δ r dλ() =, το οποίο είναι άτοπο. Ειδικότερα, αν η f είναι συνεχής στο x και αν ικανοποιείται η (5.6..7) τότε έχουµε αναγκαστικά α = f (x). (ϐ) Ας υποθέσουµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο x. Τότε, η συνάρτηση (5.6..3) f (x + ) f (x) είναι ϕραγµένη σε µια περιοχή του. Αρα, υπάρχουν δ (, π) και M > ώστε: αν < < δ τότε f (x + ) f (x) M. ηλαδή, για κάθε < < δ, (5.6..3) Συνεπώς, f (x + ) + f (x ) f (x) [ f (x + ) f (x) + f (x ) f (x) ] M. (5.6..3) και (5.6..33) δ δ f (x + ) + f (x ) f (x + ) + f (x ) δ f (x) dλ() f (x) dλ() f (x + ) + f (x ) δ M dλ() f (x) dλ() < = Mδ <, (εξηγήστε γιατί), άρα η (5.6..7) ικανοποιείται µε α = f (x). Ετσι έχουµε το εξής: Θεώρηµα 5.6.3. Εστω f L () και έστω x στο οποίο η f είναι παραγωγίσιµη. Τότε, (5.6..34) lim n s n ( f, x) = f (x). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 35

Μια σηµαντική συνέπεια του Θεωρήµατος 5.6.3 είναι η αρχή τοπικότητας του Riemann: η σύγκλιση ή µη της ακολουθίας s n ( f, x) εξαρτάται µόνο από τη συµπεριφορά της f σε µια περιοχή του x. Αυτό δεν είναι καθόλου προφανές αν σκεφτούµε ότι τα µερικά αθροίσµατα s n ( f, x) ορίζονται µέσω των συντελεστών Fourier f (k), k n, της f και οι συντελεστές Fourier προκύπτουν µε ολοκλήρωση στο [, π], δηλαδή παίρνουν υπόψη τις τιµές της f σε ολόκληρο το [, π]. Θεώρηµα 5.6.4. Εστω f, g : C δύο ολοκληρώσιµες συναρτήσεις. Υποθέτουµε ότι, για κάποιο x και για κάποιο ανοικτό διάστηµα I ώστε x I, ισχύει (5.6..35) f () = g() για κάθε I. Τότε, (5.6..36) s n ( f, x) s n (g, x). Ειδικότερα, η {s n ( f, x)} συγκλίνει αν και µόνο αν η {s n (g, x)} συγκλίνει. Απόδειξη. Θεωρούµε την συνάρτηση h = f g : C. Η h είναι ολοκληρώσιµη και h() = για κάθε I. Αφού το x είναι εσωτερικό σηµείο του I, η h είναι παραγωγίσιµη στο x, µε h (x) =. Από το Θεώρηµα 5.6.3 ϐλέπουµε ότι (5.6..37) s n (h, x) h(x) =. Οµως, (5.6..38) s n (h, x) = s n ( f g, x) = s n ( f, x) s n (g, x). Επεται το Ϲητούµενο. Το επόµενο ϑεώρηµα µας δίνει ένα απλό κριτήριο που εξασφαλίζει ότι s n ( f, x) f (x) σχεδόν παντού. Θεώρηµα 5.6.5 (Marcinkiewicz). Εστω f L (). Για καθε ορίζουµε (5.6..39) w ( f, ) = f (x + ) f (x) dλ(x). Αν (5.6..4) w ( f, ) dλ() <, τότε s n ( f, x) f (x) σχεδόν παντου στο. Απόδειξη. Από το ϑεώρηµα Fubini έχουµε f (x + ) f (x) dλ() dλ(x) = = w ( f, ) dλ() f (x + ) f (x) dλ(x) <. dλ() Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 36

Αρα, (5.6..4) f (x + ) f (x) dλ() < σχεδόν για κάθε x. Παρατηρούµε ότι w ( f, ) = f (x ) f (x) dλ(x) = f (s) f (s + x) dλ(s) = f (s + ) f (s) dλ(s) = f (s + ) f (s) dλ(s) = w ( f, ). Επαναλαµβάνοντας τον αρχικό υπολογισµό ϐλέπουµε τώρα ότι (5.6..4) f (x ) f (x) dλ() dλ(x) = w ( f, ) dλ() <, άρα (5.6..43) f (x ) f (x) dλ() < σχεδόν για κάθε x. Τώρα, (5.6..44) f (x + ) + f (x ) f (x) dλ() < σχεδόν για κάθε x, και από το ϑεώρηµα Dini έπεται ότι s n ( f, x) f (x) σχεδόν για κάθε x. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 37