ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 5 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ/009-0 Διανυσματικοί χώροι (i) Ψευδής, αφού (0,), ενώ ( ) (0,) = (0, ) (ii) Ψευδής, αφού για u= -a το σύνοο { 0,b,c} δεν είναι βάση του (iii) Ψευδής,, αφού, για παράδειγμα, στον τα ( a, a), a=,, είναι γραμμικώς εξαρτημένα και το πήθος τους είναι μεγαύτερο του n = (iv) Αηθής, σύμφωνα με το Λήμμα του Steinitz (v) Ψευδής, αφού έχει βάση το στοιχείο (,,), (γιατί;) (vi) Αηθής, αφού και οι δύο υπόχωροι έχουν ως βάση το σύνοο {(,,),(0,,)} (γιατί;), ή διαφορετικά, για x = y = (,,) A, ενώ για x =, y = 0 (,,) A (vii) Αηθής,αφού για x = 0, y = (,,) B, ενώ για x = y = (,,) B και dim B = (γιατί;) (viii) Αηθής, από θεωρία (Να εξηγήσετε γιατί) (ix) Ψευδής, αφού, αν A= {( aaa,, ) : a }, B= {( a, b,0) : a, b }, τότε dim A=,dim B=, ενώ δεν είναι A B (x) Αηθής, από θεωρία (Να εξηγήσετε γιατί) Η απάντηση είναι ναι για τoυς, B, Δ, Ε (γιατί;) Θεωρούμε το γραμμικό συνδυασμό rj( υ υj) = 0, r j Έχουμε j= r ( υ ) = 0 j i j j= rj( υ υ υ υj ) =0 j= + + + r( ) υ + rυ + + rυ + rυ + r ( ) υ + + rυ + + ( rυ + rυ + r ( ) υ = 0 [ r( ) + r + + r ] υ + [ r + r ( ) + + r ] υ + [ r + r + + r ( )] υ = 0 Επειδή τα υ, υ,, υ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, οι συντεεστές r, r,, r θα ικανοποιούν το ομογενές γραμμικό σύστημα
του οποίου ο πίνακας έχει ορίζουσα ( ) r + r + + r = 0 r + ( ) r + + r = 0 r + r + + ( ) r = 0 i i i = = (προσθέσαμε στην πρώτη γραμμή όες τις άες γραμμές) 0 0 0 = ( i ) = ( i ) = 0 (αφαιρέσαμε τη πρώτη γραμμή από όες τις άες γραμμές) ( ) ( i ) = Άρα είναι D 0, οπότε το σύστημα έχει μόνο τη μηδενική ύση, αν,και μόνον αν, ισχύει i Ισοδύναμα, τα στοιχεία γραμμικώς ανεξάρτητα, αν, και μόνον αν, ισχύει i i υ υ, υ υ,, υ υ είναι To υποσύνοο του διανυσματικού χώρου V,, είναι υπόχωρος τουv, αν, και μόνον αν, ισχύουν () x, y x+ y () K, x x Αναγκαίο Αν το υποσύνοο είναι υπόχωρος του V, τότε από τις () και () προκύπτουν εύκοα όες οι συνεπαγωγές (i), (ii), (iii), (iv) Ικανό (i) Για x, y και = μ = x + y Για x, y, K, μ = 0 x
(ii)για =, x, y x+ y = x+ y Για =, x, y = x ( ) x+ x=0 Για K, x, y =0 x (iii)για = 0, x, y 0 x+ 0 y = 0 Για =, x, y x+ y Για K, x, y = 0 x+ 0 = x (iv)για = 0, x, y 0 x 0 y = 0 Για =, y, x= 0 x y = y Για =, x, y =, x, y x ( y) = x+ y Για K, y =0 x 5 To στοιχείο x = (6 +, +, +, + ), αν, και μόνον αν, υπάρχουν xyzw,,, τέτοια ώστε να ισχύει x(,,,) + y(7,5,5,5) + z(,,,) + w(,,,) = (6 +, +, +, + ) ή ισοδύναμα το σύστημα x+ 7y+ z+ w= 6+ x+ 5y+ z+ w = + x+ 5y+ z+ w = + x+ 5y+ z+ w = + είναι συμβιβαστό Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος γίνεται: 7 6+ 5 + γ γ γ 5 + γ γ 5 + γ γ γ 5 + 7 6+ 5 5 + + γ γ γ 5 + γ γ 5 + γ γ γ 0 5 γ 0 5 γ + 0 8 0 8+ γ γ 0 0 5 5 5 γ γ 0 0 5 5 5+ 5 + 5 + γ γ γ 0 0 0 0 + 0 8+ 0 0 γ γ 0γ 0 0 5 5 5 + 0 0 5 5 5 8 5 + γ γ 5γ 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0+ Επομένως το σύστημα είναι συμβιβαστό, αν, και μόνον αν, είναι = 5 Για = 5 το σύστημα έχει απειρία ύσεων της μορφής
( x, yzw,, ) = ( + c, c, + cc, ) οπότε το x δεν έχει μοναδική έκφραση ως γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων του συνόου Α Στη συνέχεια θα βρούμε μία βάση του Kατά τα γνωστά έχουμε 0 7 5 5 5 7 5 5 5 0 0 0 7 5 5 5 0 0 0 0 0 7 0 0 0 5 9 0 0 0 0 οπότε τα στοιχεία (,0,, ),(0,,,),(0,0,,), αποτεούν βάση του Τα στοιχεία της βάσης του με το στοιχείο (0,0,0,) του αποτεούν βάση του 6 Οι Α, Β είναι υπόχωροι του, ως σύνοα ύσεων ομογενών γραμμικών συστημάτων με αγνώστους Μία βάση του Α είναι το σύνοο: { (,0,0,0), (0,,0,-), ( 0,0,,-)} Μία βάση του Β είναι το σύνοο: { (,-,0,0), (0,0,,) } Έχουμε A B= {( x, y, z, w) : y+ z+ w= 0, x+ y = 0, z = w} = {( xyzw,,, ) : x= wy, = wz, = w} = {( w, w, w, w): w } = { w(,,,) : w }, οπότε μία βάση του A B είναι το σύνοο {(,,,)} Ο υπόχωρος A+ B παράγεται από την ένωση των δύο βάσεων των Α και Β, οπότε για την εύρεση μιας βάσης του Α + Β έχουμε: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 οπότε τα στοιχεία {(,0,0,0),(0,,0, ),(0,0,, ),(0,0,0,)} αποτεούν μία βάση του Α + Β, αφού κατά τα γνωστά από τη θεωρία, παράγουν τον υπόχωρο Α + Β και είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, ως στοιχεία κιμακωτής μορφής 7 (i) Εύκοα αποδεικνύουμε ότι το σύνοο είναι υπόχωρος του διάστασης με βάση το στοιχείο (a, b, c) Αντίστροφα, έστω ότι το είναι υπόχωρος του διάστασης Έστω ακόμα ότι το u = ( a, b, c) είναι βάση του Τότε το τυχόν στοιχείο του θα έχει τη μορφή ( xyz,, ) = t( abc,, ), t Άρα είναι = {( x, y, z): x= ta, y = tb, z = tc, t } Γεωμετρικά, το παριστάνει ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων (ii) Εργαζόμαστε ομοίως Γεωμετρικά, το παριστάνει επίπεδο που περνάει από την αρχή των αξόνων 8(α) Έχουμε Α= {( xyzw,,, ) : x+ y= 0, x w= 0, y+ z+ w= 0} = {( xyzw,,, ): y= xw, = xz, = 0} = {( x, x,0, x) : x } = { x(,,0, ): x } = (,,0, ), δηαδή ο υπόχωρος Α είναι η γραμμική θήκη του στοιχείου (,, 0,), το οποίο και αποτεεί βάση του Α Για τον υπόχωρο Β μετατρέπουμε τα διανύσματα που τον παράγουν σε διανύσματα κιμακωτής μορφής 5 0 γ γ γ 6 6 γ γ γ 6 9 0 0 0 γ γ+ γ γ γ γ 0 0 γ γ 0 0 0 0 0 Άρα ο υπόχωρος Β έχει βάση τα στοιχεία του (,, 0,) και ( 0,,,)
6 Για να αποδείξουμε ότι Α Β, αρκεί να αποδείξουμε ότι κάθε στοιχείο της βάσης του α ανήκει και στον υπόχωρο Β Εδώ αυτό συμβαίνει, αφού το στοιχείο (,, 0,) ανήκει και στις δύο βάσεις (β) Οι βάσεις που έχουμε βρει στους υπόχωρους Α και Β πηρούν το ζητούμενο Για τη ζητούμενη βάση του συμπηρώνουμε τη βάση του Β με τα στοιχεία 0,0,,0 και 0,0,0,, οπότε έχουμε τη βάση του : ( ) ( ) (,, 0, ), ( 0,,, ), ( 0, 0,, 0 ), ( 0, 0, 0,) { } 9 Γνωρίζουμε ότι dim Pn = n+, ενώ το Β έχει n στοιχεία Άρα το σύνοο Β δεν μπορεί να είναι βάση του P n Το σύνοο Α έχει n+ στοιχεία πού εύκοα αποδεικνύουμε ότι είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, οπότε αποτεεί βάση του P n