Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 4. Σύντομες Λύσεις

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Γ. Καραγιώργος Quiz 4 Σύντομες Λύσεις Άσκηση 1. Ελέγξτε ποιες από τις παρακάτω απεικονίσεις είναι γραμμικές. (i) Έστω T R 3 R 3, ώστε T(x, y, z) = (x + y, x + z, z). (ii) Έστω T R 2 R 2, ώστε T(x, y) = (x 2, 0). (iii) Έστω T M n (R) M n (R), ώστε T(A) = A. (iv) Έστω T M n (R) R, ώστε T(A) = det(a). (i) H Τ είναι γραμμική. Πράγματι, έστω (x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 ) R 3. Έχουμε Τ (x 1, x 2, x 3 ) + (y 1, y 2, y 3 ) = T(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) = (x 1 + y 1 ) + (x 2 + y 2 ), (x 1 + y 1 ) + (x 3 + y 3 ), x 3 + y 3 ) = (x 1 + x 2, x 1 + x 3, x 3 ) + (y 1 + y 2, y 1 + y 3, y 3 ) = Τ(x 1, x 2, x 3 ) + Τ(y 1, y 2, y 3 ). Όμοια αποδεικνύουμε, ότι αν (x, y, z) R 3 και λ R, τότε Τ λ(x, y, z) = λτ(x, y, z). 1

2 (ii) Η T δεν είναι γραμμική. Πράγματι, για (2, 0), (0, 1) R 2, ισχύει Τ((2, 0) + (1, 1)) = Τ(3, 1) = (9, 0) (5, 0) = T(2, 0) + T(1, 1). (iii) Η T είναι γραμμική. Προκύπτει άμεσα από τις ιδιότητες του ανάστροφου πίνακα, αφού αν A, B M 2 (R) και λ R, τότε και T(A + Β) = (A + Β) = Α + Β = Τ(Α) + Τ(Β) T(λA) = (λa) = λα = λτ(α). (iv) Η T δεν είναι γραμμική, διότι θυμηθείτε ότι από τις ιδίοτητες της ορίζουσας, έχουμε ότι, αν λ R, τότε Επομένως αν λ 0, 1, 1, τότε det(λa) = λ n det(a). T(λA) = det(λa) = λ n det(a) λ det(a) = λt(a). Άσκηση 2. Έστω T R 2 R 2, ώστε T(x, y) = (x y, y x) (i) Να δείξετε ότι η T είναι γραμμική. (ii) Να βρείτε μια βάση και τη διάσταση για τους υπόχωρους ker(t), R(T). (i) Προκύπτει άμεσα από τον ορισμό της γραμμικότητας. Δείτε και το (i) της Άσκησης 1. (ii) Για τον ker(t): Έστω (x, y) R 2. Τότε (x, y) ker(t) T(x, y) = (0, 0) x y = 0 και y x = 0 y = x. Επομένως ο πυρήνας ker(t) είναι η ευθεία y = x, ο οποίος γράφεται ως ker(t) = (x, x) x R = x(1, 1) x R = (1, 1). Οπότε μία βάση για τον ker T αποτελεί το σύνολο (1, 1) και dim ker(t) = 1. Για τον R(T): Έστω (u, v) R 2. Τότε (u, v) R(T) Υπάρχει (x, y) R 2 T(x, y) = (u, v) x y = u και y x = v v = u. Επομένως η εικόνα R(T) είναι η ευθεία y = x, η οποία γράφεται ως 2

3 R(T) = (x, x) x R = x(1, 1) x R = (1, 1). Οπότε μία βάση για τον R(T) αποτελεί το σύνολο (1, 1) και dim R(T) = 1. Παρατήρηση: Παρατηρήστε ότι οι υπόχωροι ker(t), R(T), είναι ορθογώνιοι. Δηλαδή ισχύει ότι R(T) = ker(t) Άσκηση 3. Έστω ο πίνακας Α = (i) Να δείξετε ότι η T A είναι γραμμική. και η απεικόνιση T A R 3 R 3, ώστε T A (x) = Ax. (ii) Να βρείτε μια βάση και τη διάσταση για τους υπόχωρους ker(t A ), R(T A ). (i) Προκύπτει άμεσα. To έχουμε κάνει και στο μάθημα για την γενική περίπτωση που A M mn (R). (ii) Για τον ker(t A ) = N(A): Έστω x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3. Τότε x = (x 1, x 2, x 3 ) ker(t A ) A x = 0 R x x 2 = x 3 0 x 1 x 2 = 0, 2x 1 + x 2 x 3 = 0, 4x 1 + 2x 2 2x 3 = 0 x 2 = x 1, x 3 = 3x 1. Επομένως x = (x 1, x 2, x 3 ) ker(t A ) x = (x 1, x 1 3x 1 ) = x 1 (1, 1, 3), με x 1 R. Ισοδύναμα ker(t A ) = (1, 1, 3). Οπότε μία βάση για τον ker(t A ) αποτελεί το σύνολο (1, 1, 3) και dim ker(t A ) = 1. Για τον R(T A ): Θυμηθείτε ότι R(T A ) = col(a). Δηλαδή έχουμε ότι R(T A ) = (1, 2, 4), (2, 1, 1), (0, 1, 2). Επίσης από το Θεώρημα Διάστασης, ισχύει ότι 3 = dim ker(t A ) + dim R(T A ) dim R(T A ) = 2. Επομένως, τα διανύσματα στήλες του A είναι γραμμικά εξαρτημένα. Οπότε κρατάμε δύο γραμμικά ανεξάρτητα. Έστω τα (2, 1, 1), (0, 1, 2). Τελικά έχουμε R(T A ) = (2, 1, 1), (0, 1, 2), 3

4 ενώ μία βάση για τον R(T A ), είναι το σύνολο (2, 1, 1), (0, 1, 2). Άσκηση 4. Έστω T P 3 (R) P 3 (R), ώστε T(p) = p, όπου με p, συμβολίζουμε την παράγωγο του πολυωνύμου p. (i) Να δείξετε ότι η T είναι γραμμική. (ii) Να βρείτε μια βάση και τη διάσταση για τους υπόχωρους ker(t), R(T). (i) Προκύπτει άμεσα από τις ιδιότητες της παραγώγου, αφού αν p, q P 3 (R) και λ R, τότε και T(p + q) = (p + q) = p + q = Τ(p) + Τ(q) T(λp) = (λp) = λp = λτ(p). (ii) Για τον ker(t): Έστω p P 3 (R), με p(x) = αx 3 + βx 2 + γx + δ. Τότε Επομένως p ker(t) T(p) = p = 0 P3 3αx 2 + 2βx + γ = 0 α = 0, β = 0, γ = 0. για κάθε x R p ker(t) p(x) = δ, για κάθε x R. Ισοδύναμα, o ker(t), είναι το σύνολο των σταθερών πολυωνύμων, το οποίο παράγεται από το πολυώνυμο p 1 όπου p 1 (x) = 1 για κάθε x R. Δηλαδή ker(t) = p 1. Οπότε μία βάση για τον ker(t) αποτελεί το σύνολο p 1 και dim ker(t) = 1. Για τον R(T): Γνωρίζουμε ότι το σύνολο p 1, p 2, p 3, p 4 με p 1 (x) = 1, p 2 (x) = x, p 3 (x) = x 2, p 4 (x) = x 3, x R, αποτελεί βάση για τον P 3. Επομένως ισχύει ότι όπου R(T) = T(p 1 ), T(p 2 ), T(p 3 ), T(p 4 ) = p 1, p 2, p 3, p 4 Τελικά p 1 (x) = 0, p 2 (x) = 1, p 3 (x) = 2x, p 4 (x) = 3x2, x R, R(T) = p 2, p 3, p 4, το οποίο είναι το σύνολο των πολυωνύμων μέχρι βαθμού 2. Επειδή τα p 2, p 3, p 4, είναι και γραμμικώς ανεξάρτητα, το σύνολο p 2, p 3, p 4 αποτελεί μία βάση για τον R(T) 4

5 και dim R(Τ) = 3. Το τελευταίο το περιμέναμε και από το Θεώρημα Διάστασης, καθώς dim ker(τ) = 1 και dim P 3 (R) = 4. Άσκηση 5. Έστω V, W, διανυσματικοί χώροι και T V W, μία 1-1 γραμμική απεικόνιση. (i) Δείξτε ότι ker(t) = 0 V. (ii) Αν το σύνολο S = v 1, v 2,, v n αποτελεί μια βάση του V, δείξτε ότι το σύνολο T(S) = T(v 1 ), T(v 2 ),, T(v n ) αποτελεί βάση για τον υπόχωρο R(T). (i) Έστω x V. Έχουμε Οπότε ker(t) = 0 V. x ker(t) T(x) = 0 W T(x) = T(0 V ) x = 0 V επειδή Τ 1 1 x 0 V. (ii) Αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο T(S) είναι γραμμικώς ανεξάρτητο και ότι παράγει τον υπόχωρο R(T), δηλαδή ότι R(T) = T(S). Για τη γραμμική ανεξαρτησία: Έστω λ 1, λ 1,, λ n R, ώστε λ 1 Τ(v 1 ) + λ 2 Τ(v 2 ) + + λ n Τ(v n ) = 0 W. Επειδή η T είναι γραμμική, έχουμε Τ(λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n ) = 0 W. Οπότε λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n ker(t) και από το (i), θα ισχύει ότι λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0 V. Επειδή τώρα, τα v 1, v 2,, v n, είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, προκύπτει ότι λ 1 = λ 2 = = λ n = 0 και το T(S) είναι γραμμικώς ανεξάρτητο. Ισχύει ότι R(T) = T(S) : Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε στοιχείο στον R(T), γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των T(v i ), i 1, 2,, n. Έστω y R(T). Τότε υπάρχει x V με y = T(x). Επειδή τώρα το σύνολο S, αποτελεί βάση για τον V, υπάρχουν λ 1, λ 1,, λ n R, ώστε Επομένως και λόγω γραμμικότητας x = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n. y = Τ(λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n ) 5

6 y = λ 1 Τ(v 1 ) + λ 2 Τ(v 2 ) + + λ n Τ(v n ), που αποδεικνύει το ζητούμενο. Τελικά, το σύνολο T(S), αποτελεί βάση για τον R(T). 6