NÚMEROS REAIS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE O paso de Z a Q Di cales das seguintes ecuacións se poden resolver en Z e para cales é necesario o conxunto dos números racionais, Q. a) x 0 b) 7x c) x + d) x 0 e) x f) x + 7 Se pueden resolver en Z a), c), d) y f). Hay que recurrir a Q para resolver b) y e). O paso de Q a Á Resolve, agora, as seguintes ecuacións: a) x 9 0 b) x 0 c) x x 0 d) x x + 0 e) 7x 7x 0 f) x + x 0 a) x 9 0 8 x ± b) x 0 8 x 8 x ± c) x ± 9 + ± x 0 8 x d) x ± 8 ± 7 x + 0 8 x + 7 7 e) 7x 7x 0 8 x x 0 8 x 0, x f) x + x 0 8 x(x + ) 0 8 x 0, x Unidade. Números reais
Números irracionais p Demostra que é irracional. Para iso, supón que non o é:. Eleva q ao cadrado e chega a unha contradición. Supongamos que no es irracional. Entonces, se podría poner en forma de fracción: p 8 8 p q q p q En p, el factor está un número par de veces (es decir, en la descomposición de factores primos de p, el exponente de es par). Lo mismo ocurre con q. Por tanto, en q el exponente de es un número impar. De ser así, no se podría cumplir la igualdad. p Suponiendo que llegamos a una contradicción: q p q, pero p no puede ser igual a q. Por tanto, no puede ponerse en forma de fracción. No es racional. Obtén o valor de F tendo en conta que un rectángulo de dimensións F : é semellante ao rectángulo que resulta de suprimirlle un cadrado. F F F 8 F(F ) 8 F F 0 F ± + F + (negativo) + Como F ha de ser positivo, la única solución válida es F. Unidade. Números reais
UNIDADE Páxina 8. Sitúa os seguintes números no diagrama: ; ; ;,; 7, ; ) ; ; 7 ; 8 Á Q Z N Á Q, 7, ) Z N 8 8 7. Sitúa os números do exercicio anterior nos seguintes cadros. Cada número pode estar en máis dun cadro. NATURAIS, N ENTEIROS, Z RACIONAIS, Q REAIS, Á NON REAIS Engade un número máis (da túa colleita) en cada cadro. NATURALES, N ; ENTEROS, Z ; ; ; 7 RACIONALES, Q ; ;,; 7, ; ) 7; REALES, Á ; ; ;,; 7, ; ) ; ; 7 NO REALES 8 Unidade. Números reais
Páxina 9. Representa os seguintes conxuntos: a) (, ) b) [, + @) c) (, 9] d) ( @, 0) a) 0 b) 0 c) 0 9 d) 0. Representa os seguintes conxuntos: a) {x / Ì x < } b) [, ) «(, 7] c) ( @, 0) «(, +@) d) ( @, ) «(, + @) a) c) b) 0 0 7 d) 0 0 Páxina 0. Determina os seguintes valores absolutos: a) b) π c) d) 0 e) π f) g) h) i) 7 0 a) b) π c) d) 0 e) π π f) g) h) i) 7 0 0 7. Indica para que valores de x se cumpren as seguintes relacións: a) x b) x Ì c) x d) x Ì e) x > f ) x + > a) y b) Ì x Ì ; [, ] c) y d) Ì x Ì ; [, ] e) x < o x > ; ( @, ) «(, +@) f) x < 9 o x > ; ( @, 9) «(, +@) Unidade. Números reais
UNIDADE Páxina. Simplifica: a) x 9 b) x 8 c) 9 d) 8 e) f) y 0 8 8 x 9 a) b) x 8 x x c) y y 0 d) 8 9 8 e) 9 f ) 8 8. Cal é maior, ou? Reducimos a índice común: 9 79 ; Por tanto, es mayor. 8. Reduce a índice común: 8 a) a y a 7 b) y 9 0 8 9 a) a a ; a 7 a b) ; 9 0. Simplifica: k a) ( ) 8 b) c) 8 x 0 x x a) ( ) 8 k b) c) x k x 0 ( x ) Páxina. Reduce: 8 a) b) 9 c) d) 8 a) 8 b) 8 c) 8 8 8 7 d) 8 ( ) ( ) 7 Unidade. Números reais
. Simplifica: x a b a a b c a) b) c) d) x a b a a b c x a) b) a b x a b x x a b c) a d) a b c a a a a a b c b c c a b c 7. Reduce: 9 a) b) c) d 79 a) b) 8 c) 0 0 0 8 d) 8. Suma e simplifica: a) x + x + x b) 9 + c) 8 + 0 8 d) 7 0 + + 8 e) 0a 8a a) 0 x b) + 7 c) 8 + 0 8 + + d) + + + + e) a a a a a Unidade. Números reais
UNIDADE Páxina 9. Racionaliza denominadores e simplifica cando poidas: a) b) 7 7 c) d) a e) f) 0 8 g) h) 0 i) j) 00 a) 7 7 7 b) 7 c) 7 d) a a a a a e) 0 0 f) 8 g) h) 0 0 0 i) 0 j) 00 0 0 Unidade. Números reais 7
0. Racionaliza denominadores e simplifica cando poidas: x + y a) b) + x + y a x + y c) d) a x y + e) f) g) + + h) + + x y x + y a) ( + ) ( ) (x + y) ( x y ) (x + y) ( x y ) b) ( x + y ) ( x y ) x y x x x y + y x y y x y (a ) ( a + ) (a ) ( a + ) c) a + ( a ) ( a + ) (a ) ( x + y) ( x + y) d) ( x y ) ( x y ) x + y + xy x y + + e) ( ) ( + ) + 7 ( + ) 8 + + 0 + f ) + 8 + g) + + + x + y + x y h) x y x x y Páxina. Determina: a) log b) log 0, c) log 9 d) log 0 0, e) log f) log 7 9 g) ln e h) ln e / i) log 0,0 l) log ( ) 8 Unidade. Números reais
UNIDADE a) log log b) log 0, log c) log 9 0 d) log 0 0, log 0 0 e) log log f) log 7 9 log 7 7 g) ln e h) ln e / i) log 0,0 log l) log log ( ). Determina a parte enteira de: a) log 0 b) log 700 c) log 0 000 d) log 0 0,08 e) log 9 0 f) ln e a) ; ; < 0 < < log 0 < 8 log 0, b) ; ; < 700 < < log 700 < 8 log 700, c) 0 0 000 ; 0 00 000 ; 0 000 < 000 < 00 000 < log 0 000 < 8 log 0 000, d) 0 0,0 ; 0 0, ; 0,0 < 0,08 < 0, < log 0 0,08 < 8 log 0 0,08, e) 9 9 ; 9 8 ; 9 < 0 < 8 < log 9 0 < 8 log 9 0, f) ln e. Aplica a propiedade 8 para obter os seguintes logaritmos coa axuda da calculadora: a) log 00 b) log 00 c) log 00 00 d) log 00 0 En cada caso, comproba o resultado utilizando a potenciación. a) log 00 0,; 0, log 00 00 b) log log,9;,9 00 log 00 c),; 00, log 0 00 d) log 00 log 00 0,80; 00 0,80 0 Unidade. Números reais 9
. Sabendo que log A,8 e log B,, calcula: A a) log b) log B A B a) log A B 0,8 [ log A log log B] [,8,] 0,7 A b) log log + log A log B +,8, +,7,8, B. Determina a relación que hai entre x e y, se sabes que se verifica: ln y x ln 8 ln y ln e x ln ln y x ln e x ln y ln 8 y e x Páxina 8. Di unha cota do erro absoluto e outra do erro relativo nas seguintes medicións: a) A superficie desta casa é de 9, m. b) Pola gripe perdéronse 7 millóns de horas de traballo. c) Xoana gaña 9 000 ao ano. a) Error absoluto < 0,0 m 0,0 Error relativo < < 0,000 0,0% 9, b) Error absoluto < 0, millones de horas 00 000 horas 0, Error relativo < < 0,0,% 7 c) Si suponemos que los tres ceros finales se han utilizado para poder expresar la cantidad (es decir, que se trata de 9 mil, redondeando a los miles de euros ), entonces: 0, E.A. < 0, miles de 00 E.R. < < 0,07,7% 9 Si suponemos que es 9 000 exactamente: 0, E.A. < 0, E.R. < < 0,00007 0,007% 9 000 0 Unidade. Números reais
UNIDADE Páxina 9. Calcula en notación científica sen usar a calculadora: a) (800 000 : 0,000) 0, 0 b) 0,8 0 + 9 0 9 0 7 a) (800 000 : 0,000) 0, 0 ((8 0 ) : ( 0 )) 0 ( 0 9 ) 0 0 0 0 0 b) 0,8 0 + 9 0 9 0 7 8, 0 7 + 0,9 0 7 0 7, 0 7, 0. Opera coa calculadora: a) (,87 0,9 0 9 ) : (,9 0 ) b) 8,9 0 0 + 7, 0 0, 0 9 a) (,87 0,9 0 9 ) : (,9 0 ),8 0 b) 8,9 0 0 + 7, 0 0, 0 9,7 0 0 Páxina LINGUAXE MATEMÁTICA. Dálle nome ao conxunto sombreado en cada caso: N M» N N M N N M «N M M M M N U M N N M M M' (M «N) (M» N). Expresa simbolicamente estas relacións: a) é un número natural. b) é un número enteiro. c) 0, é un número racional. Unidade. Números reais
d) π é un número real. e) Todos os enteiros son racionais. f ) O intervalo [, ] está formado por números reais. a) é N b) é Z c) 0, é Q d) πéá e) Z å Q f) [, ] å Á. Designa simbolicamente estes conxuntos: a) Os números enteiros maiores ca e menores ca 7 (utiliza Z e o intervalo aberto (, 7)). b) Os números irracionais (utiliza Á e Q). c) Os números racionais maiores ca e menores ou iguais ca. d) Os números que son múltiplos de ou de (o conxunto dos múltiplos de p desígnase p ). a) {x é Z / x é (, 7)} b) Á Q c) {x é Q / < x Ì } d) {x / x o x }. Traduce: a) {x éz /x Ó } b) {x én /x > } c) {x én / < x Ì 9} d) {x éz / Ì x < 7} a) Números enteros mayores o iguales que. b) Números naturales mayores que. c) Números naturales mayores que y menores o iguales que 9. d) Números enteros mayores o iguales que y menores que 7.. Cales son os números que forman o conxunto (Á Q) [0, ]? Todos los irracionales comprendidos en el intervalo (0, ). Unidade. Números reais
UNIDADE Páxina EXERCICIOS E PROBLEMAS PROPOSTOS PARA PRACTICAR Números racionais e irracionais Expresa como fracción cada decimal ) ) e opera: 0,, 0, ) +, ) ) Lembra que, ; 0,. 9 90 +,78 ) 99 9 90 0 Demostra que o produto,09 ),9 ) é un decimal exacto. Comproba, pasando a fracción, que os dous factores son decimais exactos.,0 ) 09 0 9 9,, ) 9 9, 90 90 90 90,0 ) 9, ) 9,,,7, ) Calcula: a), 7 ) b) a), ) b) 0, ) 9 9 Indica cal, de cada par de números, é maior: 0 ) a) e b) 0, e 0, ) 99 c), 89 ) e d),098 e, a) b) 0, ) c), 89 ) d),098 Observa como representamos algúns números irracionais: A C E G B 0 D F H Unidade. Números reais
No triángulo OAB, OB, AB e OA +. Polo tanto, o punto D representa a. Qué números representan os puntos F e H? Xustifica a resposta. F representa, pues OF OC OD + DC ( ) + H representa, pues OH OG ( ) + Cales son os números racionais a, b, c, d representados neste gráfico? d m 0 m a b c m é un segmento cualquera a b c d 7 7 7 m m m m m m 7 Potencias 7 Indica sen calculadora: ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) 9 9 + + 0 7 9 8 Simplifica, utilizando as propiedades das potencias: 9 a) b) 9 8 c) d) 0 Mira o problema resolto número c). a b c 7 a b c a) b) c) c d) 7 a c a c 8 8 78 a b b b 80 7 Unidade. Números reais
UNIDADE 9 Expresa os seguintes radicais mediante potencias de expoñente fraccionario e simplifica: x a) a a b) c) x a) a / a / a 9/0 0 a 9 x / x / b) x / x a c) a / a 0 Resolve, sen utilizar a calculadora: a) b) c) d) 0, e) 8 f) 0,00 a) b) 7 7 c) d) 0, e) f ) 0, 0, Expresa como unha potencia de base : a) b) ( ) / c) ( ) a) / b) ( ) / c) /8 / 8 Calcula utilizando potencias de base, e : a) ( ) b) ( ) ( ) 9 8 ( ) c) ( 8) ( 9) d) 0 ( 0) 0 a) ( ) 8 b) 9 ( ) c) ( ) ( ) 9 ( ) 8 9 d) 00 8 Unidade. Números reais
Expresa en forma de potencia, efectúa as operacións e simplifica: a a a) a a b) / a a) / a a 7/ a a / a 7 b) ( ) / ( ) / ( ) / / / 0 Xustifica as igualdades que son verdadeiras. Escribe o resultado correcto nas falsas: a b a b 7 a) b) ( ) ( ) 8 c) d) ( ) ( ) 80 9 a a) Falsa. b a b a b 7 b) Verdadera. ( ) ( ) ( ) c) Verdadera. (/ /) (/ + /) (/ ) (/ ) / / (/ /) + 8 ( ) 8 9 d) Verdadera. ( ) ( ) 9 9 80 9 Demostra, utilizando potencias, que: a) (0,) / b) (0,) / 000 a) (0,) / ( ) / ( ) / ( ) / 00 b) (0,) / ( ) / ( ) / ( ) / ( ) / 8 Unidade. Números reais
UNIDADE Páxina Radicais Introduce os factores dentro de cada raíz: a) b) c) d) e) 9 f) a) b) c) d) x x x e) f ) 8 7 Saca da raíz o factor que poidas: a) b) 8 c) 000 a d) 8a e) f) + b 9 a a g) h) a + i) + a 9 a) b) 8 c) 0 0 a d) a e) f ) a a a b b a g) h) (a a i) + ) + a a a 9 8 Simplifica: 8 9 a) 0,07 b) 0,00 c) + a) ( / / ) ( 7 ( ) ) 000 0 0 0 0 b) 8 8 8 /8 / ( ) ( ( ) ) 0 000 0 0 c) ( / / ) ( ) x 0 x 8 Unidade. Números reais 7
9 Simplifica os seguintes radicais: a) b) 7 c) 08 8 8 d) y e) f) : a) b) / / c) d) y y y y e) f ) 8 : : 0 Reduce a índice común e ordena de menor a maior: a),, b), c), 0 d) 7, 9, 00 a), 8, ; < b), ; < 0 c) 7 77, 0 000; < d) 7 8,, 0 000 ; 9 < 00 < Realiza a operación e simplifica, se é posible: 7 a) 7 b) c) 8 8 0 0 7 d) ( ) e) ( ) f) : a) 0 7 0 0 80 7 b) 9 8 c) 8 d) ( ) e) ( ) f ) : : 8 8 Unidade. Números reais
UNIDADE Efectúa e simplifica, se é posible: a) b) a a a c) ( ) d) : 8 En b) e c) podes expresar os radicais como potencias de bases a e, respectivamente. a) 08 b) a a a c) ( ) 9 ( ) d) : : Expresa cunha única raíz: 8 a) b) 7 8 c) 0 a a 0 0 a a a a 0 a) b) c) ( ) : a a a a Racionaliza os denominadores e simplifica: a) b) c) 8 7 + 8 d) e) + 8 a) b) ( ) c) ( ) 9 ( ) d) 9 + 8 + 8 8 8 8 e) 8 8 8 Unidade. Números reais 9
Calcula e simplifica: a) + 7 0 + b) + c) + d) ( + )( ) a) + 8 + b) + 0 0 80 c) + + d) + 8 + + Simplifica ao máximo as seguintes expresións: a) 0 + 8 b) + 8 a c) 7 8a a + a) + 0 + 7 b) + + 9 0 c) 7 + a a + a ( a a a a a ) a 7 Efectúa e simplifica: a) ( + ) ( ) b) ( + ) c) ( )( + ) d) ( ) e) ( ) ( + ) a) ( + + ) ( + + ) b) + 0 + 0 c) d) 0 + 8 0 8 0 e) ( ) 0 Unidade. Números reais
UNIDADE 8 Racionaliza e simplifica: + a) b) c) 8 ( ) + d) e) f) + + a) ( ) ( ) + + ( + ) + b) + ( + ) + + c) ( ) ( + )( + ) ( + ) d) ( + ) + ( )( + ) ( ) ( ) ( ) e) 0 9 ( + )( ) ( + )( ) ( + ) ( ) ( + ) + f ) 9 8 + 9 7 7 9 Efectúa e simplifica: 7 7 + a) b) + 7 + 7 ( + ) ( ) ( )( + ) + + a) + ( 7 ) ( 7 + ) ( 7 + 7 )( 7 7 ) b) 7 ( 7 + )( 7 ) 7 ( ) Unidade. Números reais
Páxina 7 Notación científica e erros 0 Efectúa e dá o resultado en notación científica con tres cifras significativas. Determina tamén, en cada caso, unha cota do erro absoluto e outra do erro relativo cometidos. a) b) c) (, 0 + 7,0 0 ) 8, 0 8, 0 (, 0 7 8 0 9 )(, 0 + 8) 9, 0, 0, 0 + 8 0 8, 0 0 a), 0 Error absoluto < 0,00 0 0, 0, Error relativo < < 0,00 b),8 0 Error absoluto < 0,00 0 0 0 Error relativo < <, 0,8 0 c), 0 Error absoluto < 0,00 0 0 0 Error relativo < <,89 0, 0 Ordena de maior a menor os números de cada epígrafe. Para iso, pasa a notación científica os que non o estean: a),7 0 ; 8,7 0 ; 0 b),9 0 9 ; 0,0 0 7 ; 000 0 a) 8,7 0 >, 0 >,7 0 b) 0 9 > 0 9 >,9 0 9 Efectúa: 0 7 0 0 + 0 7,8 0 Expresa en notación científica e calcula: 0 000 0,0000 00 7 000 000 0,000 ( 0 ) ( 0 ) 0 7, 0 7 ( 0 ) 0 Unidade. Números reais
UNIDADE Considera os números: A, 0 7 ; B,8 0 e C,0 0 Calcula B + C. Expresa o resultado con tres cifras significativas e dá unha A cota do erro absoluto e outra do erro relativo cometidos. B + C A 7,9 0 E.A. < 0,00 0 0 E.R. <, 0 Se A, 0 ; B, 0 ; C,8 0 e D, 0, calcula A ( + C B ) D. Expresa o resultado con tres cifras significativas e dá unha cota do erro absoluto e outra do erro relativo cometidos. A ( + C B ) D,7 0 E.A. < 0,00 0 0 E.R. <,8 0 Intervalos e valor absoluto Expresa como desigualdade e como intervalo, e represéntaos: a) x é menor ca. b) é menor ou igual ca x. c) x está comprendido entre e. d) x está entre e 0, os dous incluídos. a) x < ; ( @, ) b) Ì x; [, +@) c) < x < ; (, ) d) Ì x Ì 0; [, 0] 0 0 0 0 Unidade. Números reais
7 Representa graficamente e expresa como intervalos estas desigualdades: a) Ì x Ì b) < x c) x Ó d) Ì x < / e) < x <, f) Ì x a) [, ] b) (, +@) 0 c) [, +@) d) [, 0 ) e) (;,) f ) [, +@), 0 0 / 8 Escribe a desigualdade que verifica todo número x que pertence a estes intervalos: a) [, 7] b) [, +@) c) ( @, 0) d) (, 0] e) [/, ) f) (0, +@) a) Ì x Ì 7 b) x Ó c) x < 0 d) < x Ì 0 e) Ì x < f ) 0 < x < +@ 9 Expresa como intervalo a parte común de cada parella de intervalos (A B) e (I J): a) A [, ] B [0, ] b) I [, +@) J (0, 0) a) [0, ] b) [, 0) 0 Escribe en forma de intervalos os números que verifican estas desigualdades: a) x < ou x Ó b) x > 0 e x < c) x Ì ou x > d) x < e x Ó Represéntaos graficamente, e se son dous intervalos separados, como en a), escribe: ( @, ) [, +@) a) ( @, ) «[, +@) b) (0, ) c) ( @, ] «(, +@) d) [, ) Expresa, en forma de intervalo, os números que cumpren cada unha destas expresións: a) x < 7 b) x Ó c) x < 8 d) x Ì e) x + > 9 f ) x Ó a) ( 7, 7) b) [ @, ] «[, +@] c) (, ) d) [, 7] e) (, 7) f) ( @, ] «[, +@) Unidade. Números reais
UNIDADE Indica que valores de x cumpren: a) x b) x Ì 7 c) x + Ó a) 7 y b) Ì x Ì ; [, ] c) x Ì 9 y x Ó ; ( @, 9] «[, +@) Escribe, mediante intervalos, os valores que pode ter x para que se poida calcular a raíz en cada caso: a) x b) x + c) x d) x e) x x f) + a) x Ó 0 ò x Ó ; [, +@) b) x + Ó 0 ò x Ó ò x Ó ; [, +@ ) c) x Ó 0 ò x Ì 0; ( @, 0] d) x Ó 0 ò Ó x ò x Ì ; ( @, ] e) x Ó 0 ò Ó x; ( @, ] f ) + x Ó 0 ò + x Ó 0 ò x Ó ; [, +@) Determina a distancia entre os seguintes pares de números: a) 7 e b) e c) e 9 d) e a) 7 b) c) 9 ( ) 9 + d) ( ) 7 Expresa como un único intervalo: a) (, ] [, ) b) [, ) (0, ] c) (, ] [, 7) d) [, ) (0, ) a) (, ] «[, ) (, ] b) [, ) «(0, ] [, ] c) (, ]» [, 7) [, ] d) [, )» (0, ) (0, ) Unidade. Números reais
Páxina 8 Escribe en forma de intervalo as seguintes veciñanzas: a) Centro e raio b) Centro, e raio,0 c) Centro e raio / a) (, + ) (, ) b) (,,0;, +,0) (0,9;,) c) ( ) (, + 7, ) 7 Describe como veciñanzas estes intervalos: a) (, ) b) (,;,9) c) (,; 0,) d) ( ;,8) + a) C ; R Entorno de centro y radio., +,9 b) C, ; R,9, 0,8 Entorno de centro, y radio 0,8, + 0, c) C ; R 0, ( ), Entorno de centro y radio,. + (,8) d) C, ; R,8 (,) 0, Entorno de centro, y radio 0,. 8 Comproba se é verdadeira ou falsa cada unha das seguintes expresións: a) a < b equivale a b < a < b b) a a c) a + b a + b d) a b a b a) Verdadera (siempre que b > 0). b) Falsa; pues a Ó 0 y a Ì 0. (Solo sería cierta para a 0). c) Falsa. Solo es cierta cuando a y b tienen el mismo signo. En general, a + b Ì a + b. d) Verdadera. Unidade. Números reais
UNIDADE Logaritmos 9 Calcula: a) log 0 b) log 0,00 c) log d) log e) log f) log 8 g) log / h) log π a) log 0 0 b) log 0 c) log d) log ( ) e) log / f) log / g) log / ( ) / h) 0 0 Calcula, utilizando a definición de logaritmo: a) log + log log 9 log b) log + log log 7 a) b) 0 8 Calcula a base destes logaritmos: a) log x b) log x 9 a) x ; x b) x ; x 9 Calcula o valor de x nestas igualdades: a) log x b) log x c) 7 x d) x a) x,9 b) log x ; x log 0 log log c) x,8 d) x 0,8 log 7 log Unidade. Números reais 7
Determina coa calculadora e comproba o resultado coa potenciación. a) log 8 b) ln (, 0 ) c) ln (7, 0 ) d) log,9 e) log,9 f ) log 0,0 a),08 b) ln (, 0 ), 8 e,, 0 c) ln (7, 0 ) 9, 8 e 9, 7, 0 d), 8,,9 e) 0, 8 0,,9 f),88 8,88 0,0 Calcula a base de cada caso: a) log x / b) log x / c) log x 0,0 d) log x / Aplica a definición de logaritmo e as propiedades das potencias para despexar x. En c), x 0,0 ï. x 00 a) x 8 x b) x / 8 x c) x 0,0 8 x d) x / 8 x Determina o valor de x nestas expresións aplicando as propiedades dos logaritmos: a) ln x ln 7 + ln b) log x log log 9 c) ln x ln d) log x log + log log e) ln x ln ln a) Por logaritmo dun produto: ln x ln (7 ) a) ln x ln (7 ) ò x 7 b) log x log ò x 9 9 c) ln x ln ò x d) log x log ò x e) ln x ln ln ln x ln ln ln x ln ò x 8 Unidade. Números reais
UNIDADE Sabendo que log 0,77, calcula o logaritmo decimal de 0; 00; 000; 0,; 0,0; 0,00. log 0 log ( 0) log + log 0 0,77 +,77 log 00 log ( 0 ) log + log 0,77 log 000 0,77 +,77 log 0, log ( 0 ) 0,77 0, log 0,0 log ( 0 ) 0,77, log 0,00 0,77, 7 Sabendo que log k,, calcula o valor das seguintes expresións: a) log b) log 0, k k c) log d) (log k) / 00 k a) log k log 00,, b) log 0, + log k +, 7,8 c) (log log k),,8 d) (,) /,,79 8 Sabendo que ln k 0,, calcula o valor de: k a) ln b) ln k c) ln e e k k a) ln ln k ln e 0, 0, e b) ln k ln k 0, 0, e c) ln ln e ln k 0,, k 9 Calcula x para que se cumpra: a) x,7 9 b) log 7 x 0, c) +x 7 a) log x,7 log 9 ò,7 log x log 9 ò log x log 9,7 0,7 x 0 0,7,98 7 0, b) 7 0, x ò x 0,88 c) log + x log 7 ò ( + x) log log 7 ò + x log 7 x,8 log log 7 log Unidade. Números reais 9
0 Se log k x, escribe en función de x: a) log k k b) log c) log 0k 00 a) log k x b) log k log 00 x c) log 0k ( + x) log + log a a Comproba que (sendo a? ). log a log a + / log a log a / log a log a Ha de ser a? para que log a? 0 y podamos simplificar. Páxina 9 CUESTIÓNS TEÓRICAS Explica se estas frases son verdadeiras ou falsas: a) Todo número enteiro é racional. b) Hai números irracionais que son enteiros. c) Todo número irracional é real. d) Todos os números decimais son racionais. e) Entre dous números racionais hai infinitos números irracionais. f) Os números racionais enchen a recta. a) V b) F c) V d) F e) V f ) F Que relación existe entre a e b nos seguintes casos?: a) log a + log b b) log a + log 0 b a a a) log a log b 8 log 8 0 8 a 0b b b ( ) a b) log a 0 8 0 0 a 8 8 a b b b b 0 Unidade. Números reais
UNIDADE Cales destas igualdades son verdadeiras? Explica por que: a) log m + log n log (m + n) log m b) log m log n log n m c) log m log n log n d) log x log x + log x e) log (a b ) log (a + b) + log (a b) a) Falso. log m + log n log (m n) log (m + n) m b) Falso. log m log n log ( )? log m n log n c) Verdadero. Por una propiedad de los logaritmos. d) Verdadero. log x log (x x) log x + log x e) Verdadero. log (a b ) log [(a + b) (a b)] log (a + b) + log (a b) PARA AFONDAR Se n 0 é natural, determina para que valores de n estes números pertencen a Z: n a) b) c) n d) n + e) n n a) n par. b) n o n. c) n cualquier natural. d) Ninguno. e) n cuadrado perfecto. Di cal é a parte enteira dos seguintes logaritmos sen utilizares a calculadora: a) log 8 b) log 8 c) log 0,0 a) 00 < 8 < 000 8 < log 8 < 8 log 8, b) < 8 < 8 < log 8 < 8 log 8, c) 0,0 < 0,0 < 0, 8 < log 0,0 < 8 log 0,0, Unidade. Números reais
7 Sexan m e n dous números racionais. Que podes dicir do signo de m e n en cada un destes casos? a) m n > 0 e m + n < 0 b) m n < 0 e m n > 0 c) m n < 0 e m n < 0 a) m < 0, n < 0 b) m > 0, n < 0 c) m < 0, n > 0 8 Se x é N e x >, ordena estes números: ; x ; ; ; x + x x x < < < < x x x + x + x 9 Ordena de menor a maior os números a, a,, a, se a > e se 0 < a <. a Si a > 8 < a < a < a a Si 0 < a < 8 a < a < a < a AUTOAVALIACIÓN. Dados os números: 8 π ; ; ; ; ; ;,07 ) 8 7 a) Clasifícaos indicando a cales dos conxuntos N, Z, Q ou Á pertencen. b) Ordena de menor a maior os reais. c) Cales deles cres que pertencen ao intervalo (, /9]? a) N: Z: ; 8 7 7 Q: ; ; ;,07 ) Á: ; ; ;,07; ) 8 8 π 8 8 ; 7 7 8 π b) < < <,07< ) 8 < 7 8 π c) ; ;,07 ) Unidade. Números reais
UNIDADE. Representa os seguintes conxuntos: a) {x / Ì x < } b) [, +@) c) [, ) (, 0] d) ( @, ) (, +@) a) b) c) d) 0 0 0 0 0. Expresa en forma de intervalo en cada caso: a) x Ó 8 b) x < a) ( @, 8] «[8, + @) b) (, 9) 9. Multiplica e simplifica: 9a b 8a b Reducimos a índice común: (9a b) 8a b a 7 b a ab. Reduce: 0 + 0 ; ; 0 + +. Escribe como potencia e simplifica. ( ) : (a a ) a a a a a ; a ; a a a a /a a a a (a a ) : a a a 0 Unidade. Números reais
7. Efectúa, tras racionalizar primeiro. + + ( + ) + 8 ( + ) + ( ) + + + + 8. Aplica a definición de logaritmo e obtén x: x a) log x b) ln c) log x a) x 8 x 0,7 x b) e 8 x e,0 c) x 8 x 9. Aplica as propiedades dos logaritmos e indica A. 0, 9 log A log 8 A 8 0. Calcula x en cada caso. a), x 0,0087 b) e x log A log + 0, log log log 0,0087 a) x log, log 0,0087 8 x,8 log, 9 b) x ln e ln 8 x ln,0 Unidade. Números reais