Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

. Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών www.pe03.gr.

Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών, Φθιώτιδας και Ευρυτανίας www.pe03.gr

Day: 1 49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD MADRID (SPAIN), JULY 10-22, 2008,16 2008 μ 1. ABC μ μ H. H μ BC μ BC μ A 1 A 2. μ, H μ CA μ CA μ B 1 B 2, H μ AB μ AB μ C 1 C 2. μ A 1, A 2, B 1, B 2, C 1, C 2 μ. μ 2. () 2 2 2 x y z + + 2 2 ( x 1) ( y 1) ( z 1) 2 1, (*) μ μ xyz = 1. x, y, z, 1 () (*) μ x, y, z, 1 xyz = 1. μ 3. μ n μ n 2 + 1, μ 2 n + 2n. μ: 4 30 μ μ μ 7 μ 1

Day: 2 49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD MADRID (SPAIN), JULY 10-22, 2008 μ, 17 2008 μ 4. f : (0,+) (0,+) (, f μ μ μ μ) : 2 ( f ( w) ) + ( f ( x) ) f ( y 2 ) + f ( z 2 ) 2 2 2 w + x =, 2 2 y + z μ μ w, x, y, z, wx = yz. μ 5. n k μ k n k n. 2n μ μμ μ μ 1, 2,, 2n, μ μμ. μ. μ μ, μ μ μ ( μμ μμ). N μ k μ μ μ μ μ 1 μ n μμ μ n + 1 μ 2n. M μ k μ μ μ μ μ 1 μ n μμ μ μ μ n + 1 μ 2n, μ μ μ n + 1 μ 2n μμ. N/M. μ 6. ABCD μ BA BC. μμ μμ ABC ADC μ 1 2,. μ BA μ A BC μ C, μ AD CD. μ 1 2 μ. μ: 4 30 μ μ μ 7 μ 2

Τετάρτη, 15 Ιουλίου 2009 Πρόβλημα 1. Έστω n ένας θετικός ακέραιος και έστω a1, a2,..., ak ( k 2) διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι από το σύνολο {1,, n} τέτοιοι, ώστε ο n διαιρεί τον ai( ai 1 1), για i 1,2,..., k 1. Να αποδείξετε ότι ο n δεν διαιρεί τον ak ( a1 1). Πρόβλημα 2. Έστω ABC τρίγωνο με περίκεντρο O. Τα σημεία P και Q είναι εσωτερικά σημεία των πλευρών CA και AB, αντίστοιχα. Έστω K, L και M τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων BP, CQ και PQ, αντίστοιχα, και έστω ο κύκλος που περνάει από τα σημεία K, L και M. Υποθέτουμε ότι η ευθεία PQ είναι εφαπτομένη του κύκλου. Να αποδείξετε ότι OP OQ. Πρόβλημα 3. Υποθέτουμε ότι s1, s2, s3,... είναι μία γνησίως αύξουσα ακολουθία θετικών ακέραιων τέτοια ώστε οι υποακολουθίες της ss, s 1 s, s 2 s,... και s 3 s1 ss ss,... 1, 2 1, 3 1 είναι και οι δύο αριθμητικές πρόοδοι. Να αποδείξετε ότι και η ακολουθία s1, s2, s 3,... είναι επίσης αριθμητική πρόοδος. Διάρκεια εξέτασης: 4 ώρες και 30 λεπτά. Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 7 μονάδες 3

Πέμπτη, 16 Ιουλίου2009 Πρόβλημα 4. Έστω ABC ένα τρίγωνο με AB AC.. Οι διχοτόμοι των γωνιών του CAB και ABC τέμνουν τις πλευρές BC και AC στα σημεία D και E, αντίστοιχα. Έστω K το 0 σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου ADC. Υποθέτουμε ότι BEK 45. Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της γωνίας CAB. Πρόβλημα 5. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f, με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών ακέραιων και με τιμές στο σύνολο των θετικών ακέραιων, που είναι τέτοιες ώστε για όλους τους θετικούς ακέραιους a και b να υπάρχει (μη εκφυλισμένο) τρίγωνο με μήκη πλευρών a, f(b) και f(b + f(a) 1). (Ένα τρίγωνο είναι μη εκφυλισμένο, αν οι κορυφές του δεν βρίσκονται σε μία ευθεία). Πρόβλημα 6. Έστω a 1, a 2,, a n διαφορετικοί ανά δύο θετικοί ακέραιοι και έστω M ένα σύνολο που αποτελείται από n 1 θετικούς ακέραιους και δεν περιέχει τον ακέραιο s = a 1 + a 2 + + a n. Ένα τριζόνι θα κινηθεί με πηδήματα κατά μήκος του πραγματικού άξονα. Αρχίζει από το σημείο 0 και κάνει n πηδήματα προς τα δεξιά με μήκη a 1, a 2,, a n, σε τυχαία σειρά. Να αποδείξετε ότι η σειρά των πηδημάτων μπορεί να επιλεγεί κατά τέτοιον τρόπο, ώστε το τριζόνι να μην πατήσει ποτέ σε κάποιο σημείο του συνόλου M. Διάρκεια εξέτασης: 4 ώρες και 30 λεπτά Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 7 μονάδες 4

Language: Greek Day: 1, 7 2010 1. f : R R, R, f x y f xf y x, y R. ( z z.) 2. I ABC. AI D. E BDC F BC 1 BAF CAE BAC. 2, G IF. DG EI. * 3. N. * * g: N N g m n m g n *, mn, N. : 4 30. 7 5

Language: Greek Day: 2, 8 2010 4. P ABC. AP, BP CP ABC KL, M,. C AB S. SC SP. MK ML. 5. B1, B2, B3, B4, B5, B6. : 1: B j 1 j 5. B j Bj 1. 2: B k 1k 4. B k ( ) Bk 1 Bk 2. B1, B2, B3, B4, B 5 B6 c 2010 2010 2010. ( a b c a b. ) 6. a1, a2, a 3,.... s, an maxak ank 1 k n 1 n s. N, s, an a an, n N. : 4 30. 7 6

Δευτέρα, 18 Ιουλίου 2011 Πρόβλημα 1. Για κάθε δεδομένο σύνολο με στοιχεία τέσσερις διαφορετικούς θετικούς ακέραιους, συμβολίζουμε με το άθροισμα. Έστω ο αριθμός των ζευγαριών, με, για τα οποία ο αριθμός διαιρεί τον. Βρείτε όλα τα σύνολα με στοιχεία τέσσερις διαφορετικούς θετικούς ακέραιους, για τα οποία επιτυγχάνεται η μεγαλύτερη δυνατή τιμή για το. Πρόβλημα 2. Έστω ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων του επιπέδου με δύο τουλάχιστον σημεία. Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχουν τρία σημεία του που να είναι συνευθειακά. Ένας ανεμόμυλος είναι μία διαδικασία η οποία αρχίζει με μία ευθεία που περνάει από ένα μόνο σημείο. Η ευθεία περιστρέφεται κατά τη φορά των δεικτών του ωρολογίου με κέντρο το σημείο μέχρι που να συναντήσει για πρώτη φορά κάποιο άλλο σημείο που ανήκει στο σύνολο. Αυτό το σημείο, έστω, γίνεται τώρα νέο κέντρο περιστροφής και η ευθεία περιστρέφεται κατά τη φορά των δεικτών του ωρολογίου γύρω από το, μέχρι που να συναντήσει ένα σημείο του. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται απεριόριστα με κέντρο περιστροφής πάντοτε ένα σημείο του. Να αποδείξετε ότι μπορούμε να επιλέξουμε ένα σημείο του συνόλου και μία ευθεία που περνάει από το, έτσι ώστε ο παραγόμενος ανεμόμυλος να χρησιμοποιεί κάθε σημείο του ως κέντρο περιστροφής άπειρες φορές. Πρόβλημα 3. Έστω μία πραγματική συνάρτηση που ορίζεται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και ικανοποιεί τη σχέση, για όλους τους πραγματικούς αριθμούς και. Να αποδείξετε ότι, για κάθε. Διάρκεια διαγωνισμού: 4 ώρες και 30 λεπτά Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 7 μονάδες 7

Τρίτη, 19 Ιουλίου 2011 Πρόβλημα 4. Έστω ακέραιος, με. Έχουμε μία ζυγαριά και βάρη με τιμές,,,. Πρόκειται να τοποθετήσουμε καθένα από τα βάρη πάνω στη ζυγαριά, το ένα μετά το άλλο, με τέτοιο τρόπο, ώστε ο δεξιός δίσκος να μην είναι ποτέ βαρύτερος από τον αριστερό δίσκο της ζυγαριάς. Σε κάθε βήμα επιλέγουμε ένα από τα βάρη, το οποίο δεν έχει μέχρι τότε τοποθετηθεί πάνω στη ζυγαριά, και το τοποθετούμε είτε στον αριστερό είτε στον δεξιό δίσκο, μέχρις ότου τοποθετηθούν όλα τα βάρη. Να προσδιορίσετε τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γίνει αυτή η τοποθέτηση. Πρόβλημα 5. Έστω μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των ακεραίων και τιμές στο σύνολο των θετικών ακεραίων. Υποθέτουμε ότι, για οποιουσδήποτε δύο ακέραιους και, η διαφορά διαιρείται με τον. Να αποδείξετε ότι, για όλους τους ακέραιους και με, ο αριθμός διαιρείται με τον. Πρόβλημα 6. Έστω ένα οξυγώνιο τρίγωνο και ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Έστω μία εφαπτομένη ευθεία του, και έστω, και οι συμμετρικές ευθείες της ως προς άξονα συμμετρίας τις ευθείες, και, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου που ορίζεται από τις ευθείες, και εφάπτεται του κύκλου. Language:Greek Διάρκεια διαγωνισμού: 4 ώρες και 30 λεπτά Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 7 μονάδες 8

, 10 2012 1. ABC J A. BC M AB AC K L,. LM BJ F, KM CJ G. S AF BC, T AG BC. M ST. ( ABC A, BC, AB B, AC C.) 2. n 3, a2, a3,..., a n a2a3a n 1. 1 2 1 3 1 n n a2 a3 an n. 3. (liar's guessing game) A B. k n. A x N 1 x N. A x N B. B x A : B S ( ) A, x S. B. A,. : k + 1,. B, X n. x X, B,,. : 1. n 2 k, B. 2. k, n 1, 99 k B. : 4 30 7 9

, 11 2012 4. f :,, abc,, abc 0, : 2 2 2 f a f b f c 2f a f b 2f b f c 2 f c f a. ( ) 5. ABC BCA = 90 D C. X CD. K AX BK = BC., L BX AL = AC. M AL BK. MK = ML. 6. n, a1, a2,..., a n, : 1 1 1 1 2 n 1. a1 a2 an a1 a2 an 2 2 2 3 3 3 : 4 30 7 10

Day: 1 Τρίτη, 23 Ιουλίου 2013 Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε ζευγάρι θετικών ακεραίων k και n, υπάρχουνk θετικοί ακέραιοι m 1,m 2,...,m k (όχι κατ ανάγκη διαφορετικοί) τέτοιοι ώστε 1+ 2k 1 n = ) ) (1+ )(1+ 1m1 1m2 (1+ 1mk. Πρόβλημα 2. Ενας σχηματισμός που δημιουργείται με την τοποθέτηση 4027 σημείων στο επίπεδο λέγεται Κολομβιανός, αν αποτελείται από 2013 κόκκινα σημεία και 2014 μπλέ σημεία και δεν υπάρχουν τρία σημεία του σχηματισμού που να είναι συνευθειακά. Με χάραξη κάποιων ευθειών το επίπεδο διαιρείται σε διάφορα χωρία. Μια χάραξη ευθειών είναι καλή για έναν Κολομβιανό σχηματισμό, αν ισχύουν οι επόμενες δύο συνθήκες: δεν υπάρχει ευθεία που περνάει από κάποιο σημείο του σχηματισμού, δεν υπάρχει χωρίο που περιέχει σημεία και των δύο χρωμάτων. Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τμή του k έτσι ώστε για κάθε Κολομβιανό σχηματισμό 4027 σημείων, να υπάρχει μια καλή χάραξη k ευθειών. Πρόβλημα 3. Εστω ο παρεγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC απέναντι της κορυφής A εφάπτεται της πλευράς BC στο σημείο A 1. Ομοίως ορίζουμε τα σημεία B 1 πάνω στην πλευρά CA και C 1 πάνω στην πλευρά AB, χρησιμοποιώντας τους παρεγεγραμμένους κύκλους απέναντι των κορυφών B και C, αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου A 1 B 1 C 1 βρίσκεται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ABC ειναι ορθογώνιο. Ο παρεγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC απέναντι της κορυφής A είναι ο κύκλος που εφάπτεται στο ευθύγραμμο τμήμα BC, στην ημιευθεία AB πέραν του B και στην ημιευθεία AC πέραν του C. Οι παρεγεγραμμένοι κύκλοι απέναντι των κορυφών B και C ορίζονται ομοίως. Language : Greek Διάρκεια Διαγωνισμού: 4 ώρες και 30 λεπτά Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 7 μονάδες 11

Day: 2 Τετάρτη, 24 Ιουλίου 2013 Πρόβλημα 4. Εστω ABC ένα οξυγώνιο τρίγωνο με ορθόκεντρο H και έστω W ένα σημείο της πλευράς BC, που βρίσκεται αυστηρά μεταξύ των κορυφών B και C. Τα σημεία M και N είναιταίχνητωνυψών από τις κορυφές B και C, αντίστοιχα. Ονομάζουμε ω 1 τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BWN και έστω X ένα σημείο του ω 1 τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα WX είναι διάμετρος του ω 1. Ανάλογα, ονομάζουμε ω 2 τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου CWM και έστω Y ένα σημείο του ω 2 τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα WY είναι διάμετρος του ω 2. ΝααποδείξετεότιτασημείαX, Y και H είναι συνευθειακά. Πρόβλημα 5. Εστω Q >0 το σύνολο των θετικών ρητών αριθμών. Εστω f : Q >0 R μία συνάρτηση που ικανοποιεί τις επόμενες τρεις συνθήκες: (i) για κάθε x, y Q >0,έχουμεf(x)f(y) f(xy), (ii) για κάθε x, y Q >0,έχουμεf(x + y) f(x)+f(y), (iii) υπάρχει ένας ρητός αριθμός a>1 τέτοιος ώστε f(a) =a. Να αποδείξετε ότι f(x) =x, για κάθε x Q >0. Πρόβλημα 6. Εστω n 3 ένας ακέραιος αριθμός. Θεωρούμε ένα κύκλο με n +1 σημεία πάνω σε αυτόν που χωρίζουν τον κύκλο σε n +1ίσα τόξα. Θεωρούμε όλες τις σημάνσεις αυτών των σημείων με τους αριθμούς 0, 1,...,nέτσι ώστε κάθε αριθμός να χρησιμοποιείται μόνο μία φορά. Δύο τέτοιες σημάνσεις θεωρούνται ότι είναι ίδιες, αν η μία μπορεί να προκύψει από την άλλη με μία περιστροφή του κύκλου. Μια σήμανση ονομάζεται ωραία, αν, για οποιουσδήποτε τέσσερις αριθμούς a<b<c<dμε a + d = b + c, η χορδή που συνδέει τα σημεία με την σήμανση a και d δεν τέμνει την χορδή που συνδέει τα σημεία με την σήμανση b και c. Εστω M ο αριθμός των ωραίων σημάνσεων και έστω N ο αριθμός των διατεταγμένων ζευγών (x, y), όπου x, y θετικοί ακέραιοι, έτσι ώστε x + y n και MKΔ(x, y) =1.Νααποδείξετεότι M = N +1. Language : Greek Διάρκεια Διαγωνισμού: 4 ώρες και 30 λεπτά Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 7 μονάδες 12

Day: 1. 13

Day: 2... n n c n. 14

Day: 1,10 2015 1.,,,.,,. (a),. (b,. 2.,. (,.) 3..,..,. 15

Day: 2, 11 2015 O A BC D E BDE,, C BC F G AF,, BC, G K BDF AB L CGE CA. FK GL X. X AO. 5.. 6. : (i), (ii),.,. 16

Day: 1 Δευτέρα, 11 Ιουλίου 2016 Πρόβλημα 1. Δίνεται τρίγωνο BCF ορθογώνιο στο B. Εστω A σημείο της ευθείας CF τέτοιο ώστε FA = FB και το F να βρίσκεται μεταξύ των A και C. Σημείο D επιλέγεται έτσι ώστε DA = DC και η AC να είναι η διχοτόμος της γωνίας DAB. Σημείο E επιλέγεται έτσι ώστε EA = ED και η AD να είναι η διχοτόμος της γωνίας EAC. ΕστωM το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος CF. ΕστωX σημείο που είναι τέτοιο ώστε το AMXE να είναι παραλληλόγραμμο (όπου AM EX και AE MX). Να αποδείξετε ότι οι ευθείες BD, FX και ME περνούν από το ίδιο σημείο. Πρόβλημα 2. Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους n για τους οποίους σε κάθε κελλί ενός n n πίνακα μπορεί να τοποθετηθεί ένα από τα γράμματα Ι, Μ και Ο κατά τέτοιο τρόπο ώστε: σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη του πίνακα, το ένα τρίτο των γραμμάτων είναι Ι, τοένατρίτο των γραμμάτων είναι Μ και το ένα τρίτο των γραμμάτων είναι Ο, σε κάθε διαγώνιο, αν ο αριθμός των γραμμάτων που είναι τοποθετημένα στα κελιά της είναι πολλαπλάσιο του 3, τότε το ένα τρίτο των γραμμάτων είναι Ι, το ένα τρίτο είναι Μ καιτοένατρίτο είναι Ο. Σημείωση: Οι γραμμές και οι οι στήλες ενός n n πίνακα αριθμούνται από 1 μέχρι n κατά την φυσική τους σειρά. Ετσι κάθε κελλί αντιστοιχεί σε ένα ζευγάρι θετικών ακεραίων (i, j) με 1 i, j n. Για n>1, οπίνακαςέχει4n 2 διαγωνίους δύο τύπων. Μια διαγώνιος του πρώτου τύπου αποτελείται από όλατακελιά(i, j) γιαταοποίατοάθροισμαi + j έχει σταθερή τιμή και μια διαγώνιος του δεύτερου τύπου αποτελείται από τα κελιά (i, j) γιαταοποίαηδιαφοράi j έχει σταθερή τιμή. Πρόβλημα 3. Εστω P = A 1 A 2...A k είναι ένα κυρτό πολύγωνο στο επίπεδο. Οι κορυφές A 1, A 2,...,A k έχουν ακέραιες συντεταγμένες και βρίσκονται όλες πάνω σε ένα κύκλο. Εστω S είναι το εμβαδόν του πολυγώνου P. Δίνεται ένας περιττός ακέραιος n τέτοιος ώστε τα τετράγωνα των μηκών των πλευρών του πολυγώνου P είναι ακέραιοι που διαιρούνται με τον αριθμό n. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2S είναι ένας ακέραιος που διαιρείται με τον αριθμό n. Language : Greek Χρόνος διαγωνισμού: 4 ώρες και 30 λεπτά Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 7 μονάδες 17

Day: 2 Τρίτη, 12 Ιουλίου 2016 Πρόβλημα 4. Ενα σύνολο θετικών ακέραιων αριθμών ονομάζεται εύοσμο, αν αυτό περιέχει δύο τουλάχιστον στοιχεία και καθένα από τα στοιχεία του έχει έναν κοινό πρώτο παράγοντα με ένα τουλάχιστον από τα υπόλοιπα στοιχεία του. Εστω P (n) =n 2 + n +1. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή του θετικού ακεραίου b έτσι ώστε να υπάρχει ένας μη αρνητικός ακέραιος a για τον οποίο το σύνολο είναι εύοσμο; {P (a +1),P(a +2),...,P(a + b)} Πρόβλημα 5. Η εξίσωση (x 1)(x 2) (x 2016) = (x 1)(x 2) (x 2016) γράφεται στον πίνακα, με 2016 γραμμικούς παράγοντες σε κάθε μέλος της. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή του k για την οποία είναι δυνατόν να σβήσουμε ακριβώς k από τους 4032 γραμμικούς παράγοντες των δύο μελών της εξίσωσης έτσι ώστε ένας τουλάχιστον παράγοντας να μείνει σε κάθε μέλος και η εξίσωση που προκύπτει να μην έχει πραγματικές λύσεις; Πρόβλημα 6. Δίνονται n 2 ευθύγραμμα τμήματα στο επίπεδο έται ώστε κάθε δύο από αυτά τέμνονται σε ένα εσωτερικό τους σημείο και δεν υπάρχουν τρία από αυτά που να περνούν από το ίδιο σημείο. Ο Τζέφ πρέπει να διαλέξει ένα άκρο από κάθε ευθύγραμμο τμήμα και να τοποθετήσει ένα βάτραχο σε αυτό, που να κοιτάζει προς το άλλο άκρο του τμήματος. Υστερα αυτός θα κάνει n 1 χειροκροτήματα. Σε κάθε χειροκρότημα, κάθε βάτραχος πηδά αμέσως προς το επόμενο σημείο τομής του ευθυγράμμου τμήματός του. Οι βάτραχοι ποτέ δεν αλλάζουν την κατεύθυνση των πηδημάτων τους. Ο Τζέφ θέλει να τοποθετήσει τους βατράχους κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μην συμβεί ποτέ να βρεθούν δύο από αυτούς στο ίδιο σημείο τομής την ίδια χρονική στιγμή. (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο Τζέφ μπορεί πάντοτε να πραγματοποιήσει την επιθυμία του, όταν ο αριθμός n είναι περιττός. (βʹ) Να αποδείξετε ότι ο Τζέφ δεν μπορεί ποτέ να πραγματοποιήσει την επιθυμία του, όταν ο n είναι άρτιος. Χρόνος διαγωνισμού: 4 ώρες και 30 λεπτά Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 7 μονάδες 18

Greek (hel), day 1 a0 1, a0, a1, a2,... an an an 1 n 0. an a0 A an A n x y. f f x f y f x y f xy A0 B0 n 1 An 1 B. n 1 n An An 1 An Pn P A Bn Bn 1 Bn 9 10 n n 19

Greek (hel), day 2 RS RS R.TS RTRSJ JST A R. AJ Κ KT (1) (2) 20

Greek (hel), day 1 Δευτέρα, 9 Ιουλίου, 2018 Πρόβλημα 1. Εστω Γ ο περιγεγραμμένος κύκλος του οξυγώνιου τριγώνου ABC. Τα σημεία D και E ανήκουν στα ευθύγραμμα τμήματα AB και AC, αντίστοιχα, έτσι ώστε AD = AE. Οι μεσοκάθετες των τμημάτων BD και CE τέμνουν τα μικρά τόξα AB και AC του κύκλου Γ στα σημεία F και G, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες DE και FG είναι παράλληλες (ή ταυτίζονται). Πρόβλημα 2. Να βρείτε όλους τους ακεραίους αριθμούς n 3 για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί a 1,a 2,...,a n+2, τέτοιοι ώστε a n+1 = a 1 και a n+2 = a 2,και για i =1, 2,...,n. a i a i+1 +1=a i+2 Πρόβλημα 3. Ενα τρίγωνο αντι - Πασκάλ είναι μια ισόπλευρη τριγωνική παράταξη αριθμών έτσι ώστε, εκτός από τους αριθμούς της τελευταίας γραμμής, κάθε αριθμός ισούται με την απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που βρίσκονται αμέσως κάτω από αυτόν. Για παράδειγμα, η παρακάτω παράταξη αριθμών είναι ένα αντι-πασκάλ τρίγωνο με τέσσερις γραμμές οι οποίες περιέχουν κάθε ακέραιο από το 1 μέχρι το 10. 4 2 6 5 7 1 8 3 10 9 Υπάρχει ένα αντι-πασκάλ τρίγωνο με 2018 γραμμές οι οποίες περιέχουν κάθε ακέραιο αριθμό από το 1 μέχρι το 1+2+ + 2018 ; Χρόνος: 4 ώρες και 30 λεπτά Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 7 μονάδες 21

Greek (hel), day 2 Τρίτη, 10 Ιουλίου, 2018 Πρόβλημα 4. Μια θέση είναι οποιοδήποτε σημείο (x, y) στο επίπεδο έτσι ώστε οι αριθμοί x και y να είναι και οι δύο θετικοί ακέραιοι μικρότεροι ή ίσοι του 20. Αρχικά, κάθε μία από τις 400 θέσεις είναι μη κατειλημμένη. Η Άμυ και ο Μπεν με τη σειρά τοποθετούν πέτρες, με την Άμυ να αρχίζει πρώτη. Οταν είναι η σειρά της, η Άμυ τοποθετεί μια νέα κόκκινη πέτρα σε μια μη κατειλημμένη θέση έτσι ώστε η απόσταση μεταξύ δύο οποιωνδήποτε θέσεων που είναι κατειλημμένες με κόκκινη πέτρα να μην ισούται με 5. Στην σειρά του, ο Μπεν τοποθετεί μια νέα μπλε πέτρα σε οποιαδήποτε μη κατειλημμένη θέση. (Μια θέση κατειλημμένη με μια μπλε πέτρα μπορεί να είναι σε οποιαδήποτε απόσταση από οποιαδήποτε άλλη κατειλημμένη θέση.) Σταματούν όταν ένας από τους δύο δεν μπορεί να τοποθετήσει μια πέτρα. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του K έτσι ώστε η Άμυ να είναι βέβαιη ότι μπορεί να τοποθετήσει τουλάχιστον K κόκκινες πέτρες, ανεξάρτητα από τον τρόπο που τοποθετεί ο Μπεν τις μπλε πέτρες του. Πρόβλημα 5. Εστω a 1,a 2,... μια άπειρη ακολουθία θετικών ακεραίων. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας ακέραιος N>1τέτοιος ώστε, για κάθε n N, οαριθμός a 1 + a 2 + + a n 1 + a n a 2 a 3 a n a 1 είναι ακέραιος. Να αποδείξετε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος M τέτοιος ώστε a m = a m+1, για κάθε m M. Πρόβλημα 6. Ενα κυρτό τετράπλευρο ABCD ικανοποιεί τη σχέση AB CD = BC DA. Σημείο X βρίσκεται στο εσωτερικό του ABCD έτσι ώστε Να αποδείξετε ότι: BXA + DXC = 180. XAB = XCD και XBC = XDA. Χρόνος: 4 ώρες και 30 λεπτά Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 7 μονάδες 22