ΔΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΣΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ

ΔΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΣΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΟΤΓΩΝ ΣΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι (ΘΔ ΠΛΗ ) ΔΡΓΑΙΑ η Ημερομηνία Αποζηολής ζηον Φοιηηηή: 9//00 Ημερομηνία παράδοζης ηης Δργαζίας: 7//0 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ Οη Αζθήζεηο ηεο δεύηεξεο εξγαζίαο αλαθέξνληαη ζηελ αθόινπζε ύιε: Κεθάλαιο (Γηαλπζκαηηθνί Φώξνη), Παξάγξαθνη 5-9 θαη Κεθάλαια,, 5 ηνπ βηβιίνπ ηνπ ΔΑΠ «Γξακκηθή Άιγεβξα» ησλ Μ Φαηδεληθνιάνπ θαη Γξ Κακβύζα Γηα ηελ θαηαλόεζε ηεο ύιεο απηήο κπνξείηε λα ζπκβνπιεπζείηε επίζεο ην: βοηθηηικό σλικό πνπ ππάξρεη ζηε http://edueapgr/pli/pli/studentshtm σο εμήο: Δλαιιαθηηθό Γηδαθηηθό Τιηθό: Κεθάιαηα 6- πλνδεπηηθό Δθπαηδεπηηθό Τιηθό: Γξακκηθέο Απεηθνλίζεηο, Ιδηνηηκέο θαη Ιδηνδηαλύζκαηα, Γηαγσλνπνίεζε, Τεηξαγσληθέο Μνξθέο Σηηο αζθήζεηο πνπ αθνινπζνύλ, ππάξρνπλ βνεζεηηθέο παξαπνκπέο ζε ζρεηηθά ζεκεία ηνπ δηδαθηηθνύ πιηθνύ Σπκβνιηζκόο: Σηα παξαθάησ, M n( ) ζπκβνιίδεη ην ζύλνιν ησλ n n πηλάθσλ κε ζηνηρεία από ην

Άζκηζη (5 κνλ) Έζησ V ν δηαλπζκαηηθόο ππόρσξνο ηνπ πνπ παξάγεηαη από ηα δηαλύζκαηα (,,, ), (,, 0,) θαη (0,,, ) θαη U ν δηαλπζκαηηθόο ππόρσξνο ηνπ πνπ παξάγεηαη από ηα δηαλύζκαηα u (6,5, 5, ) θαη u (6,9,, 9) i) (5 κνλ) Βξείηε κία βάζε θαη ηε δηάζηαζε θαζελόο από ηνπο V θαη U ii) (6 κνλ) Βξείηε κία βάζε θαη ηε δηάζηαζή ηνπ V U (Βι ΔΓΥ, Κεθ 7, αζθήζεηο,) iii) ( κνλ) Βξείηε ηε δηάζηαζε ηνπ V U i) ( κνλ) Δμεηάζηε αλ ηζρύεη V U (Βι ΔΓΥ, Κεθ 6, άζθεζε ) Λύζη : i) Υινπνηώληαο ηνλ δεύηεξν αιγόξηζκν *, ηα δηαλύζκαηα,, ηνπνζεηνύληαη σο ζηήιεο ζηνλ αθόινπζν πίλαθα θαη εθαξκόδνπκε ηηο ζεκεηνύκελεο γξακκνπξάμεηο 0 0 0 r r r 0 r r r 0 r r r 0 r 0 0 0 7 r r 0 0 0 0 0 0 r 0 r 7 r r 0 r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Δπεηδή ε ε, ε θαη ε ζηήιε ηνπ ηειηθνύ πίλαθα έρνπλ κε κεδεληθά νδεγά ζηνηρεία ε ε, ε θαη ε ζηήιε ηνπ αξρηθνύ πίλαθα απνηεινύλ γξακκηθά αλεμάξηεηα δηαλύζκαηα, νπόηε ζπκπεξαίλνπκε όηη ηα ηξία δηαλύζκαηα,, απνηεινύλ κία βάζε ηνπ span{,, } Δπηπιένλ V span{,, }, ζπλεπώο κία βάζε ηνπ V είλαη B {,, }, άξα dimv V Όκνηα, απνδεηθλύεηαη όηη ηα u, u απνηεινύλ κία βάζε ηνπ span{ u, u } θαη επεηδή ν ππόρσξνο U παξάγεηαη από ηα u, u, κία βάζε ηνπ U είλαη BU { u, u }, άξα dimu ii) O V U είλαη ππόρσξνο ηνπ (αθνύ VU, είλαη ππόρσξνί ηνπ) θαη παξάγεηαη από ηα πέληε δνζκέλα δηαλύζκαηα,,, u, u Αθνινπζώληαο ηνλ ίδην αιγόξηζκν αιγόξηζκν έρνπκε : 0 6 6 0 6 6 0 6 6 5 9 r r 0 7 r r r r 0 7 r r r 0 5 r 0 7 6 0 0 7 7 r r 9 0 0 0 0 0 6 6 0 6 6 r 0 7 r 7 r r 0 7 r 0 0 6 0 0 6 0 0 0 0 0 0 7 * Βιέπε, βηβιίν ΔΑΠ «Γξακκηθή Άιγεβξα», ζει

0 6 6 r 0 7 r 7 0 0 6 0 0 0 0 Δπεηδή ε ε, ε, ε θαη 5 ε ζηήιε ηνπ ηειηθνύ πίλαθα έρνπλ κε κεδεληθά νδεγά ζηνηρεία ε ε, ε, ε θαη 5 ε ζηήιε ηνπ αξρηθνύ πίλαθα απνηεινύλ γξακκηθά αλεμάξηεηα δηαλύζκαηα Έηζη, παξαιείπνληαο ην u πξνθύπηεη κία βάζε, πνπ απνηειείηαη από ηα,,, u Σπλεπώο, κία βάζε ηνπ V U είλαη BV U{,,, u } κε dim( VU) Β ηρόπος: i) Δλαιιαθηηθά, ζύκθσλα κε ηνλ ν αιγόξηζκν ζα κπνξνύζακε λα ζεσξήζνπκε πίλαθεο κε γξακκέο ηα δηαλύζκαηα r r r r r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 / Μία βάζε ηνπ ρώξνπ V είλαη νη κε κεδεληθέο γξακκέο ηνπ ηειηθνύ πίλαθα νπόηε dimv Όκνηα γηα ηνλ ππόρσξν U 6 5 5 r 6 5 5 r r 6 9 9 0 9 7 κία βάζε ηνπ είλαη νη κε κεδεληθέο γξακκέο ηνπ ηειηθνύ πίλαθα νπόηε dimu ii) O V U είλαη ππόρσξνο ηνπ (αθνύ VU, είλαη ππόρσξνί ηνπ) θαη παξάγεηαη από ηα πέληε δνζκέλα δηαλύζκαηα,,, u, u, αθνινπζώληαο ίδην αιγόξηζκν ζα κπνξνύζακε λα ζεσξήζνπκε πίλαθεο κε γξακκέο ηα δηαλύζκαηα 0 0 0 0 0 r r r r r r r r 0 0 0 r 6r r r5 r r5 r5 6r r5 6 5 5 0 7 7 0 7 7 6 9 9 0 6 0 0 0 0 0 r r r r r r 0 0 0 0 7 0 0 7 r 7r r r5 r r5 0 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 κία βάζε ηνπ V U είλαη νη κε κεδεληθέο γξακκέο ηνπ ηειηθνύ πίλαθα νπόηε dim( VU) iii) Δπεηδή dimv, dimu θαη dim( VU), ζύκθσλα κε ην ζεώξεκα δηάζηαζεο έρνπκε Βιέπε, βηβιίν ΔΑΠ «Γξακκηθή Άιγεβξα», ζει

dim( V U) dimv dimu dim( V U) i) Δπεηδή dim( VU) είλαη θαλεξό όηη VU {} 0, άξα δελ ηθαλνπνηείηαη ην (ii) ηνπ ζεσξήκαηνο 5, (βιέπε, βηβιίν ΔΑΠ «Γξακκηθή Άιγεβξα», ζει 0) Σπλεπώο, ν δελ είλαη επζύ άζξνηζκα ησλ VU, Β ηρόπος: Δπεηδή δελ ηζρύεη ε ηζόηεηα dim dimv dimu, (αθνύ dim ), ζύκθσλα κε ην ζεώξεκα 5, (βιέπε, βηβιίν ΔΑΠ «Γξακκηθή Άιγεβξα, ζει 0), ν V U Άζκηζη (5 κνλ) Έζησ ηα δηαλύζκαηα (,,) θαη (,, ) ηνπ ρώξνπ i) (5 κνλ) Να εμεηάζεηε αλ ην δηάλπζκα w (,, ) αλήθεη ζην ρώξν V span{, } (Βι ΔΓΥ, Κεθ 6, άζθεζε ) ii) ( κνλ) Nα ππνινγίζεηε κία βάζε ηνπ V iii) (5 κνλ) Αθνύ πξώηα εμεηάζεηε ηελ νξζνγσληόηεηα ησλ,, ζηε ζπλέρεηα λα ππνινγίζεηε έλα κε κεδεληθό δηάλπζκα, πνπ λα είλαη νξζνγώλην πξνο ηα δηαλύζκαηα θαη i) ( κνλ) Να ππνινγίζεηε κία βάζε ηνπ νξζνγσλίνπ ζπκπιεξώκαηνο ηνπ V, V, σο πξνο ην ζύλεζεο εζσηεξηθό γηλόκελν ηνπ Λύζη: i) Τν δηάλπζκα w (,, ) αλήθεη ζην ρώξν V span{, }, όηαλ κπνξεί λα γξαθεί σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ δηαλπζκάησλ, Έζησ ν γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ηεο κνξθήο w xy Τόηε έρνπκε δηαδνρηθά: w x y (,, ) (x, x, x) (y, y, y) (x y, x y, x y) Από όπνπ θαηαιήγνπκε ζην ζύζηεκα: x y x y x y Γηα ην παξαπάλσ γξακκηθό ζύζηεκα, αλ εθαξκόζνπκε θαηάιιειεο γξακκνπξάμεηο, ζα έρνπκε δηαδνρηθά: r r r r 0 5 5 r r A w 0 5 r r r 0 0 0 5 Από ηελ ηειεπηαία κνξθή ηνπ πίλαθα είλαη θαλεξό όηη ην ζύζηεκα δελ έρεη ιύζε, ζπλεπώο δελ ππάξρνπλ πξαγκαηηθνί αξηζκνί x, y ηέηνηνη ώζηε λα ηζρύεη ε ζρέζε w xy Άξα ην δηάλπζκα w δελ αλήθεη ζην ρώξν V span{, } Β ηρόπος: Δλαιιαθηηθά ζεσξώ ηελ νξίδνπζα ηνπ πίλαθα κε ζηήιεο ηα ηξία απηά δηαλύζκαηα r r r r r 5 r 0 5 0 5 5 0 r 5 r r 0 0 0 5 Βιέπε, βηβιίν ΔΑΠ «Γξακκηθή Άιγεβξα», ζει00, Θεώξεκα 5

Δπεηδή ε νξίδνπζα είλαη κε κεδεληθή, ηα ηξία δηαλύζκαηα είλαη γξακκηθά αλεμάξηεηα θαη ην w δελ αλήθεη ζηνλ ρώξν πνπ παξάγνπλ ηα άιια δύν (αθνύ δελ κπνξεί λα γξαθεί σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ηνπο) ii) Τα, είλαη γξακκηθά αλεμάξηεηα, αθνύ από ην εξώηεκα (i) είλαη θαλεξό όηη rank ( A) Σπλεπώο κία βάζε ηνπ V span{, } είλαη BV {, } θαη επηπιένλ dimv iii) Γύν δηαλύζκαηα είλαη νξζνγώληα αλ έρνπλ εζσηεξηθό γηλόκελν ίζν κε ην κεδέλ Δδώ δηαπηζηώλνπκε όηη: ( ) ( ) 0, άξα ηα δηαλύζκαηα θαη είλαη νξζνγώληα Θεσξνύκε ην ηπραίν δηάλπζκα ( x, y, z) ηνπ ρώξνπ Γηα λα είλαη ην νξζνγώλην πξνο ηα δηαλύζκαηα, πξέπεη λα ηζρύνπλ νη ζρέζεηο: 0 x y z 0 0 x y z 0 Γηα ην νκνγελέο ζύζηεκα έρνπκε: 0 r r 0 r 0 0 5 0 Από όπνπ πξνθύπηεη ην ηζνδύλακν ζύζηεκα: x y z 0 x z 5 5y z 0 y z 5 Άξα ην δεηνύκελν δηάλπζκα είλαη ηεο κνξθήο: ( x, y, z) ( z, z, z), z 0 5 5 i) Σπλδπάδνληαο ηα παξαπάλσ εξσηήκαηα (ii)-(iii) θαη ηνλ Οξηζκό ηνπ νξζνγσλίνπ ζπκπιεξώκαηνο (βι βηβιίν Γξακκηθήο Άιγεβξαο, ζει 6) έρνπκε όηη V span{ } Πξνθαλώο dimv Β ηρόπος: Δπεηδή ν V span{, } είλαη ππόρσξνο ηνπ, εθαξκόδνληαο ην ζεώξεκα 5, (βι βηβιίν Γξακκηθήο Άιγεβξαο, ζει 6), θαηαιήγνπκε V V Σπλδπάδνληαο ηελ ηειεπηαία ηζόηεηα κε ην ζεώξεκα 5 (βι βηβιίν Γξακκηθήο Άιγεβξαο, ζει 0) έρνπκε dimv dim dimv Άζκηζη (0κνλ) Έζησ ηα δηαλύζκαηα x ( x, x) θαη y ( y, y) θαη έλα εζσηεξηθό γηλόκελν ζην ρώξν ην νπνίν νξίδεηαη από ηε ζρέζε : x y x y x y x y 0x y () Να ππνινγίζεηε ηνλ πίλαθα αλαπαξάζηαζεο ηνπ εζσηεξηθνύ γηλνκέλνπ (σο πξνο ηελ θαλνληθή βάζε) Να επηβεβαηώζεηε όηη ν πίλαθαο απηόο είλαη ζεηηθά νξηζκέλνο (πνπ ηζρύεη εθόζνλ είλαη πίλαθαο εζσηεξηθνύ γηλνκέλνπ) Λύζη: Αλ ζεσξήζνπκε ηελ θαλνληθή βάζε e, e ηνπ ρώξνπ, ν πίλαθαο αλαπαξάζηαζεο ηνπ εζσηεξηθνύ γηλνκέλνπ είλαη Βιέπε ζρέζε (5) ηεο παξαγξάθνπ 7 ζην βηβιίν ΔΑΠ «Γξακκηθή Άιγεβξα», ζει 78 5

A e e e e, e e e e όπνπ ei e j ζπκβνιίδεη ην εζσηεξηθό γηλόκελν ησλ δηαλπζκάησλ ei, e j, όπσο απηό νξίδεηαη ζηελ () Δμαηηίαο ηεο αληηκεηαζεηηθήο ηδηόηεηαο (Ι ) ηνπ εζσηεξηθνύ γηλνκέλνπ, αξθεί λα ππνινγηζζνύλ ηα ei e j, γηα ηα νπνία ηζρύεη ei e j e j e i Έηζη έρνπκε e e (, 0) (, 0), e e (, 0) (0,) e e, e e (0,) (0,) 0, νπόηε A 0 O ζπκκεηξηθόο πίλαθαο A ηνπ εζσηεξηθνύ γηλνκέλνπ είλαη ζεηηθά νξηζκέλνο, δηόηη ζύκθσλα κε ην Θεώξεκα 7 ** det[] 0 θαη det A det 0 9 0 0 Γηα ηελ επόκελε άζθεζε κπνξείηε λα ζπκβνπιεπζείηε ηα Παξαδείγκαηα,6 ζει 6, 8 ηνπ βηβιίνπ, αληίζηνηρα Δπίζεο κπνξείηε λα ζπκβνπιεπζείηε ζην Κεθ 8 από ην ΔΓΥ ηηο Αζθήζεηο,,, 6,7 θαη ην θεθάιαην Γξακκηθέο Απεηθνλίζεηο από ην ΣΔΥ, ην Παξάδεηγκα ζει, ηα Παξαδείγκαηα - ζει -7 θαη ηα Παξαδείγκαηα -, ζει 0- Άζκηζη (0 κνλ) α) Να εμεηάζεηε πνηεο από ηηο αθόινπζεο απεηθνλίζεηο είλαη γξακκηθέο : i) ( κνλ) f :, κε f ( x, y, z) ( x y, x yz, x y z) ii) ( κνλ) h : M( ) M ( ), κε h( X ) AX XA, γηα έλαλ ηπρόλ A M ( ) β) Έζησ f : ε γξακκηθή απεηθόληζε πνπ νξίδεηαη f (,0,0) (0,,), f (0,,0) (,,) θαη f (0,0,) (,, 8) i) (5 κνλ) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f θαη λα γξάςεηε ηνλ πίλαθα αλαπαξάζηαζεο ηεο f σο πξνο ηελ θαλνληθή βάζε ηνπ ii) ( κνλ) Βξείηε κία βάζε θαη ηε δηάζηαζε ηεο εηθόλαο ηεο f iii) ( κνλ) Βξείηε κία βάζε θαη ηε δηάζηαζε ηνπ ππξήλα ηεο f i) ( κνλ) Να νξίζεηε ηελ απεηθόληζε Λύζη: f, αλ ππάξρεη α) i) H f δελ είλαη γξακκηθή Γηα παξάδεηγκα, f (0,0,0) (0,0,0), f (0,, ) (,, 6), f (0,,) (,,6) Αλ ήηαλ γξακκηθή έπξεπε λα ηζρύεη f (0,, ) f (0,,) f (0,0,0) Όκσο, f (0,, ) f (0,,) (,, 6) (,,6) (0,,0) f (0,0, 0) ** Βιέπε, βηβιίν ΔΑΠ «Γξακκηθή Άιγεβξα», ζει 80 6

ii) Η h είλαη γξακκηθή, επεηδή γηα θάζε k, θαη X, Y M( ) επαιεζεύεηαη ε ηζόηεηα () ηεο Παξαηήξεζεο ηνπ Οξηζκνύ (βι βηβιίν Γξακκηθήο Άιγεβξαο, ζει 9), δηόηη ηζρύεη: h X Y A X Y X Y A ( ) ( ) AX AY XA YA ( AX XA) ( AY YA) h( X ) h( Y) β)i) Θεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα ηεο θαλνληθήο βάζεο ηνπ e (,0,0), e (0,, 0), e (0, 0,) νπόηε έλα ηπραίν δηάλπζκα ( x, y, z) γξάθεηαη : ( x, y, z) xe ye ze Δπεηδή ε f είλαη γξακκηθή απεηθόληζε γηα θάζε x, y, z ηζρύεη: f ( x, y, z) f ( xe ye ze) xf ( e) yf ( e) zf ( e ) () Οπόηε αληηθαζηζηώληαο ζηελ () ηηο δνζείζεο εηθόλεο ηεο f έρνπκε : f ( x, y, z) x(0,,) y(,,) z(,, 8) ( y z,x y z, x y 8 z) Ο πίλαθαο αλαπαξάζηαζεο ηεο f σο πξνο ηελ θαλνληθή βάζε ηνπ είλαη ν πίλαθαο κε ζηήιεο ηα δηαλύζκαηα f ( e ) (0,,), f ( e ) (,,) θαη f ( e ) (,, 8), δειαδή είλαη: 0 A 8 ii) Από ηελ () είλαη θαλεξό όηη Im f span{ f ( e), f ( e), f ( e )} θαη επεηδή det A 7 0, ηα δηαλύζκαηα f ( e), f ( e), f ( e ) είλαη γξακκηθά αλεμάξηεηα Σπλεπώο, απηά ηα δηαλύζκαηα απνηεινύλ κία βάζε ηεο Im f κε dim(im f ) iii) Δπεηδή ε δηάζηαζε ηνπ είλαη, από ηελ ηζόηεηα dim dim(ker f ) dim(im f ) dim(ker f ) 0, άξα ker f { 0 } Β ηρόπος: Γηα λα βξνύκε κία βάζε ηνπ ker f, πξέπεη λα ιύζνπκε ην νκνγελέο ζύζηεκα: yz 0 x y z 0 x y 8z 0 Κάλνληαο γξακκνπξάμεηο έρνπκε: 0 8 8 r r r r r 0 7 8 0 0 8 8 r r 7 r r r 0 0 0 0 0 Από ηελ θιηκαθσηή κνξθή ηνπ παξαπάλσ πίλαθα είλαη θαλεξό όηη ε κνλαδηθή ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ε κεδεληθή, δειαδή, ker f { 0 }, άξα dim(ker f ) 0 i) Σύκθσλα κε ηνλ Οξηζκό (βι βηβιίν Γξακκηθήο Άιγεβξαο, ζει 9) θαη ην απνηέιεζκα ηνπ εξσηήκαηνο (iii) ζπκπεξαίλνπκε όηη ε απεηθόληζε f είλαη κε Βιέπε, βηβιίν ΔΑΠ «Γξακκηθή Άιγεβξα», ζει, Θεώξεκα 66 θαη ζει, Παξαηήξεζε 7

ηδηάδνπζα θαη από ηελ ηζνδπλακία (β)-(δ) πνπ παξνπζηάδεηαη ζην Θεώξεκα 7 (βι βηβιίν Γξακκηθήο Άιγεβξαο, ζει ) είλαη θαλεξό όηη ε απεηθόληζε είλαη αληηζηξέςηκε Άξα ππάξρεη ε απεηθόληζε f θαη κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηνλ ηύπν ηεο f αλ γλσξίδνπκε ηνλ αληίζηξνθν πίλαθα ηνπ πίλαθα αλαπαξάζηαζεο ηεο f Ο αληίζηξνθνο πίλαθαο ηνπ A ππνινγίδεηαη (έλαο ηξόπνο ππνινγηζκνύ πξνηείλεηαη ζηελ επόκελε άζθεζε 5 εξώηεκα (i)) όηη είλαη 0 A 7, 7 A x y z y z x y z x y z 7 7 7 7 7 7 νπόηε Δπνκέλσο, ε f δίλεηαη από ηνλ ηύπν f ( x, y, z) y z, x y z, x y z 7 7 7 7 7 7 Γηα ηηο επόκελεο αζθήζεηο ηεο εξγαζίαο κπνξείηε λα ζπκβνπιεπζείηε από ην ΔΓΥ ηα θεθάιαηα 9,0, θαη από ην ΣΔΥ ην θεθάιαην Ιδηνηηκέο θαη Ιδηνδηαλύζκαηα, θαη ην θεθάιαην Γηαγσλνπνίεζε Άζκηζη 5 (0 κνλ) Έζησ 0 A 8 i) (8 κνλ) Να ππνινγηζζεί ην ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν, νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλύζκαηα ηνπ πίλαθα A ii) ( κνλ) Ο πίλαθαο A αληηζηξέθεηαη; Πνηεο είλαη νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλύζκαηά ηνπ A ; iii) ( κνλ) Ο πίλαθαο A δηαγσλνπνηείηαη; Αλ λαη, λα ππνινγηζζνύλ έλαο πίλαθαο P θαη έλαο δηαγώληνο πίλαθαο D, ηέηνηνη ώζηε λα ηζρύεη A PDP i) ( κνλ) Φξεζηκνπνηώληαο ην ζεώξεκα Cayley-Hamilton, λα ππνινγηζζεί ν πίλαθαο A Λύζη : i) Τν ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν ηνπ πίλαθα A δίλεηαη από ηε ζρέζε A( ) det( A I) θαη είλαη A( ) det( A I) det 7 7 8 ( 7) ( 7) ( 7) ( 7)( )( ) Δπνκέλσο νη ηδηνηηκέο ηνπ πίλαθα A είλαη νη ιύζεηο ηεο εμίζσζεο A( ) 0, άξα 7, θαη 8

Γηα 7 ην αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα πξνθύπηεη από ηε ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο A x 7x, όπνπ x ( x y z ), ην νπνίν θαηαιήγεη ζην νκνγελέο ζύζηεκα : 7 x 0 7x y z 0 7x y z 0 8 y 0 x 8y z 0 x y z 0 z 0 x y z 0 x y z 0 από όπνπ κεηά από γξακκνπξάμεηο θαηαιήγνπκε x y x y z 0, κε y 7y 6z 0 9 z y Καηά ζπλέπεηα, ην ζύλνιν ησλ ηδηνδηαλπζκάησλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηελ ηδηνηηκή 7 είλαη 9 9 V ( y, y, y) : y -{0} y(,, ) : y -{0} Θεσξνύκε x (,,9) έλα δηάλπζκα από ην ζύλνιν V, σο αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα ηεο 7 Γηα ην αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα πξνθύπηεη από ηε ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο A x x, όπνπ x ( x y z ), ην νπνίν θαηαιήγεη ζην νκνγελέο ζύζηεκα : x 0 x y z 0 x y z 0 y 0 x y z 0 x y z 0 7 z 0 x y 7z 0 x y 7z 0 από όπνπ κεηά από γξακκνπξάμεηο θαηαιήγνπκε x y z 0 x z, z y z 0 y z Καηά ζπλέπεηα, ην ζύλνιν ησλ ηδηνδηαλπζκάησλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηελ ηδηνηηκή είλαη V {( z, z, z) : z -{0}} { z(,,) : z -{0}} Θεσξνύκε x (,,) έλα δηάλπζκα από ην ζύλνιν V, σο αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα ηεο Τέινο, γηα ην αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα πξνθύπηεη από ηε ιύζε ηνπ νκνγελνύο ζπζηήκαηνο A x x 0, δειαδή: x 0 x y z 0 x y z 0 0 y 0 x z 0 x z 0 9 z 0 x y 9z 0 x y 9z 0 από όπνπ κεηά από γξακκνπξάμεηο θαηαιήγνπκε: x z 0 x z, z y z 0 y z Καηά ζπλέπεηα, ην ζύλνιν ησλ ηδηνδηαλπζκάησλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηελ ηδηνηηκή είλαη V {( z, z, z) : z -{0}} { z(,,) : z -{0}} 9

Θεσξνύκε x (,,) έλα δηάλπζκα από ην ζύλνιν V, σο αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα ηεο ii) Δθαξκόδνληαο δύν γλσζηέο ηδηόηεηεο έρνπκε: det A ( 7) ( ) 7 0, από όπνπ ζπκπεξαίλνπκε όηη ν πίλαθαο A αληηζηξέθεηαη Δπίζεο ηα ραξαθηεξηζηηθά πνζά ηνπ πίλαθα A είλαη: Ιδηνηηκή ( A ) κε ζύλνιν ηδηνδηαλπζκάησλ ην V, (είλαη ην 7 ίδην ζύλνιν κε απηό πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ηδηνηηκή ηνπ A ) Ιδηνηηκή ( A ) κε ζύλνιν ηδηνδηαλπζκάησλ ην V Ιδηνηηκή ( A ) κε ζύλνιν ηδηνδηαλπζκάησλ ην V iii) Δίλαη γλσζηό όηη όηαλ έλαο πίλαθαο A nxn έρεη n δηαθεθξηκέλεο (δηαθνξεηηθέο) ηδηνηηκέο ηόηε είλαη δηαγσλνπνηήζηκνο, κε πίλαθα νκνηόηεηαο ηνλ P, ν νπνίνο θαηαζθεπάδεηαη κε ζηήιεο ηα αληίζηνηρα ηδηνδηαλύζκαηα Έηζη, ζεσξνύκε P ηνλ 7 0 0 P x x x κε αληίζηνηρν D diag(,, ) 0 0 9 0 0 Δύθνια επαιεζεύεηαη ε ζρέζε: A PDP i) Δπεηδή ην ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν ηνπ πίλαθα A, είλαη ( ) 7 7 B, ζύκθσλα κε ην ζεώξεκα Cayley-Hamilton *** έρνπκε : A 7A A 7I 7I A 7 A A I ( A 7 A A) 7 AA ( A 7 A A) A A ( A 7 A A) 7 7 0 0 0 0 A ( A 7 A I) 7 0 0 7 7 8 8 0 0 6 0 0 0 0 0 5 7 7 0 0 7 0 7 55 8 0 0 7 Άζκηζη 6 (0 κνλ) Έζησ νη πίλαθεο A θαη B I AA i) (8 κνλ) Να πξνζδηνξηζηνύλ νη ηδηνηηκέο ηνπ πίλαθα B θαη ηα αληίζηνηρα ηδηνδηαλύζκαηα ii) (8 κνλ) Να πξνζδηνξηζηνύλ έλαο νξζνγώληνο πίλαθαο P θαη έλαο δηαγώληνο πίλαθαο D, ηέηνηνη ώζηε λα ηζρύεη : B PDP Βιέπε, βηβιίν ΔΑΠ «Γξακκηθή Άιγεβξα», ζει8, 87 Βιέπε, βηβιίν ΔΑΠ «Γξακκηθή Άιγεβξα», ζει8, Παξαηήξεζε, *** Βιέπε, βηβιίν ΔΑΠ «Γξακκηθή Άιγεβξα», ζει7 0

iii) ( κνλ) Να ππνινγηζζεί ν πίλαθαο ηζόηεηα : 00 B θαη ζηε ζπλέρεηα λα επαιεζεπηεί ε 5 5 9 ( 00 0 B B ) 8 Λύζη: i) Αξρηθά ππνινγίδνπκε ηνλ πίλαθα B : 0 0 0 0 B I AA 0 0 0 0 0 0 0 0 8 7 9 8 Τν ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν ηνπ πίλαθα B είλαη: 8 8 9 9 7 7 B ( ) det( B I) det det 0 9 9 C C C 8 9 9 8 8 9 9 9 9 7 7 ( )det 0 ( )det 0 9 9 r 9 9 r r 8 7 0 9 9 9 9 9 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 8 8 Δπνκέλσο, νη ηδηνηηκέο ηνπ πίλαθα B είλαη ε ιύζε ηεο εμίζσζεο B( ) 0, άξα, (δηπιή ηδηνηηκή) θαη (απιή ηδηνηηκή) Γηα, ην αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα πξνθύπηεη από ηε ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο B x x, όπνπ ζύζηεκα : x ( x y z ), ην νπνίν θαηαιήγεη ζην νκνγελέο

8 8 x 0 8x y 8z 0 y 0 x y z 0 x y z 0 y x z z 0 8x y 8z 0 8 8 όπνπ xz, Καηά ζπλέπεηα, ην ζύλνιν ησλ ηδηνδηαλπζκάησλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηελ ηδηνηηκή είλαη,, (,, ) : (, ) -{(0,0)} ( x, x,0) (0, z, z) : ( x, z) -{(0,0)} x(,,0) z(0,,) : ( x, z) -{(0,0)} V x x z z x z Θεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα w (,, 0) θαη w (0,,) από ην ζύλνιν V, σο, αληίζηνηρα ηδηνδηαλύζκαηα ηεο, Γηα ην αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα πξνθύπηεη από ηε ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο B x x, όπνπ ζύζηεκα : x ( x y z ), ην νπνίν θαηαιήγεη ζην νκνγελέο 0 8 x 0 0x y 8z 0 5x y z 0 6 y 0 x 6y z 0 x y z 0 z 0 8x y 0z 0 x y 5z 0 8 0 x y z 0 x y όπνπ κεηά από γξακκνπξάμεηο θαηαιήγνπκε, κε y y z 0 z y Καηά ζπλέπεηα, ην ζύλνιν ησλ ηδηνδηαλπζκάησλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηελ ηδηνηηκή είλαη (,, ) : -{0} (,, ) : y -{0} V y y y y y Θεσξνύκε w (,, ) έλα δηάλπζκα από ην ζύλνιν V, σο αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα ηεο ii) Δπεηδή ηζρύεη B I AA I AA I A A I AA B, ν πίλαθαο B είλαη ζπκκεηξηθόο, άξα, δηαγσλνπνηείηαη από έλαλ νξζνγώλην πίλαθα P θαη ηζρύεη P BP P BP D diag(,, ) Θεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα w (,, 0), w (0,,) θαη w (,, ), ηα νπνία απνηεινύλ κηα βάζε W w, w, w ηνπ νξζνθαλνληθνπνηνύκε ηε βάζε W ηνπ σο εμήο: Με ηε κέζνδν Gram-Schmidt Βιέπε, βηβιίν ΔΑΠ «Γξακκηθή Άιγεβξα», ζει95, δηαγσλνπνίεζε ζπκκεηξηθώλ πηλάθσλ Βιέπε, βηβιίν ΔΑΠ «Γξακκηθή Άιγεβξα», ζει67-68, Θεώξεκα 6

w w (,, 0) w w w w w (0,,) (,,0) (,,) w 5 5 5 w w w w w w w w (,, ) 0(,, 0) 0(,,) (,, ) w w 5 5 Καλνληθνπνηνύκε ηα w, w, w δηαηξώληαο ην θάζε δηάλπζκα κε ην αληίζηνηρν κέηξν ηνπ, δειαδή: ˆ w w (,, 0) w 5 w 5, wˆ (,,) θαη ˆ w 5 5 w w (,, ) w Σπλεπώο, ν νξζνγώληνο πίλαθαο P πνπ δηαγσλνπνηεί ηνλ B είλαη ν P, κε αληίζηνηρν 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 D diag(,, ) 0 0 0 0 Με ηνπο παξαπάλσ πίλαθεο PD, εύθνια επαιεζεύεηαη ε ηζόηεηα iii) Από ηελ ηζόηεηα B PDP πξνθύπηεη B Δθαξκνγή, ζει 6), νπόηε γηα k 00 έρνπκε : B PD P (δείηε ΔΓΥ, Κεθ 0, k k PDP 00 0 0 0 0 00 00 B PD P P 0 0 P P 0 0 P PP I 00 0 0 0 0 ( ) Φξεζηκνπνηώληαο ην πξνεγνύκελν απνηέιεζκα έρνπκε: 0 00 B B B IB B Άξα 0 8 5 9 00 0 9 9 6 ( B B ) ( I B) 8 5 8 0