ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΥΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ

Transcript

1 Οη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο είλαη κία ζεκαληηθή θιάζε ηωλ πξαγκαηηθώλ ζπλαξηήζεωλ κηάο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο Τα βαζηθά ζεωξήκαηα ηωλ ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ ζε ζπλδπαζκό κε ηε κνλνηνλία, καο βνεζνύλ λα βγάινπκε ζεκαληηθά ζπκπεξάζκαηα γηά ηε ζπκπεξηθνξά ηωλ ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ Σηόρνο ηνπ άξζξνπ απηνύ είλαη θπξίωο ε αλάδεημε ηνπ ζεκαληηθνύ ξόινπ πνπ παίδεη ην ζύλνιν ηηκώλ κίαο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο 1 Θεώπημα Blza Αλ κία ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην [, ] 0, ηόηε ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ (, 0 Γειαδή ε εμίζσζε x 0, έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην (, 3 Θεώπημα Μέγιζηηρ & Ελάσιζηηρ Σιμήρ Αλ κία ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην [, ] ηόηε παξνπζηάδεη κέγηζηε ειάρηζηε ηηκή ζ απηό Γειαδή ππάξρνπλ x,x [, ] ηέηνηα ώζηε x x x γηα θάζε x [, ] Αλ ηώξα ζέζνπκε f x x m (ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο M (ηε κέγηζηε ηηκή ηεο f, ηόηε ην ζεώξεκα ζα κπνξνύζε λα δηαηππσζεί κε ηνλ αθόινπζν ηξόπν: Αλ κία ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην [, ] ηόηε ππάξρνπλ m,m ηέηνηα ώζηε m x M γηα θάζε x [, ] M Θεώπημα Ενδιάμεζων Σιμών Αλ κία ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην [, ], ηόηε γηα θάζε κεηαμύ ησλ ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ (, ηέηνην ώζηε: f ( Γειαδή ε εμίζσζε x 0, έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην (, m x x Παπαηήπηζη 1 Με ηε βνήζεηα ηνπ Θεσξήκαηνο ηνπ Blza, κπνξνύκε λα απνδείμνπκε όηη κία εμίζσζε έρεη ξίδα ζε έλα ζπγθεθξηκέλν δηάζηεκα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζηε ζπλέρεηα κε ηε βνήζεηα ειεθηξνληθνύ ππνινγηζηή (Μέζνδνο ηεο δηρνηόκεζεο λα ηελ πξνζεγγίζνπκε, όζν θνληά επηζπκνύκε Παπαηήπηζη Τν ζύλνιν ηηκώλ κίαο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο f :[, ], είλαη θιεηζηό δηάζηεκα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ Γειαδή νη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο απεηθνλίδνπλ θιεηζηά δηαζηήκαηα ηνπ ζε θιεηζηά δηαζηήκαηα ηνπ Παπαηήπηζη 3-1-

2 Αλ κία ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο γλεζίσο κνλόηνλε ζην [, ] 0, ηόηε ππάξρεη έλα αθξηβώο (, 0 Γειαδή ε εμίζσζε x 0, έρεη κία αθξηβώο ιύζε ζην (, Παπαηήπηζη 4 Αλ κία ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο [, ] x 0 γηα θάζε x (,, ηόηε ε ζπλάξηεζε f ζα δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν ζην (, Γειαδή ζα ηζρύεη: x 0 γηα θάζε x (, ή x 0 γηα θάζε x (, Παπαηήπηζη 5 Καηά ηελ εθαξκνγή ηνπ Θεσξήκαηνο ηνπ Blza, κπνξεί λα πξνθύςεη 0 Τόηε έρνπκε ηηο εμήο πεξηπηώζεηο: Αλ κπνξεί λα ζπκβεί 0 0 ηόηε ζα ππάξρεη [, ώζηε: 0 Αλ κπνξεί λα ζπκβεί 0 0 ηόηε ζα ππάξρεη (, ] ώζηε: 0 Αλ ηέινο κπνξεί λα ζπκβεί 0 0 ηόηε ζα ππάξρεη [, ] ώζηε: 0 Παπαηήπηζη 6 Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε ζπλερήο ζην αλνηθηό δηάζηεκα (,, lim x x lim x, ηόηε ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο f x είλαη ην αλνηθηό δηάζηεκα (, (όηαλ ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ή ην αλνηθηό δηάζηεκα (, (όηαλ ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα Παπαηήπηζη 7 τόλιο (Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 195 Από ην Θεώξεκα Μέγηζηεο Διάρηζηεο Τηκήο ην Θεώξεκα Δλδηάκεζσλ Τηκώλ πξνθύπηεη όηη ην ζύνολο ηιμών κηαο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο f κε πεδίν νξηζκνύ ην θιεηζηό δηάζηεκα [, ], είλαη ην θιεηζηό δηάζηεκα [ m,m], όπνπ m ε ειάρηζηε M ε κέγηζηε ηηκή ηεο Ορισμός σσνόλοσ τιμών (Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 133 ύνολο ηιμών κηαο ζπλάξηεζεο f : είλαη ην ζύλνιν πνπ απνηειείηαη απν εθείλα ηα y γηα ηα νπνία ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ x, ηέηνην ώζηε x y Γειαδή ην απνηειείηαη απν εθείλα ηα x y πνπ είλαη εηθόλεο ελόο ηνπιάρηζηνλ Σπλδπάδνληαο ην παξαπάλσ ζρόιην ηνλ νξηζκό ηνπ ζπλόινπ ηηκώλ αιήγνπκε ζην παξαθάησ ζπκπέξαζκα (πνπ ζα κπνξνύζε λα ραξαθηεξηζηεί ζαλ κία παξαιιαγή ή γελίθεπζε ηνπ ζεσξήκαηνο ελδηακέζσλ ηηκώλ ΒΑΙΚΟ ΥΜΠΕΡΑΜΑ Αν μία ζςνάπηηζη f :[, ] είναι ζςνεσήρ ζηο κλειζηό διάζηημα [, ], ηόηε για κάθε [m,m] ςπάπσει ένα ηοςλάσιζηον [, ] f ( Όπος m και M η ελάσιζηη και η μέγιζηη (ανηίζηοισα ηιμή ηηρ f ζηο κλειζηό διάζηημα [, ] M [, ] m Η παξαπάλσ παξαιιαγή είλαη έλα αθόκε εξγαιείν γηα ηελ ιύζε αζθήζεσλ πνπ αλαθέξνληαη ζηα ζεσξήκαηα ησλ ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ δηαζέηεη ην ηππηθό πξνζόλ λα κε μεθεύγεη από ηελ ύιε ηνπ ζρνιηθνύ βηβιίνπ Δπίζεο καο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα αληηκεησπίδνπκε αζθήζεηο πνπ καο δεηνύλ λα απνδείμνπκε όηη: ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ πνπ αλήθεη ζην θιεηζηό δηάζηεκα [, ], ώζηε λα ηζρύεη 0 Γεδνκέλνπ όηη όιεο νη αζθήζεηο ηνπ ζρνιηθνύ βηβιίνπ, καο δεηνύλ λα απνδείμνπκε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ πνπ αλήθεη ζην αλνηθηό δηάζηεκα (,, ώζηε λα ηζρύεη 0 Παξαθάησ ιύλνπκε κία θιαζηθή άζθεζε κε ηξείο δηαθνξεηηθνύο ηξόπνπο Με έλα ηνπιάρηζηνλ από απηνύο ηνπο ηξόπνπο αληηκεησπίδεηαη ε πιεηνλόηεηα ησλ αζθήζεσλ πνπ αλαθέξνληαη ζηα Θεσξήκαηα ησλ Σπλερώλ Σπλαξηήζεσλ ΑΚΗΗ 1 Αν η ζςνάπηηζη f είναι οπιζμένη και ζςνεσήρ ζηο [, ] με και, είναι θεηικοί --

3 ππαγμαηικοί απιθμοί, ηόηε ςπάπσει ένα ηοςλάσιζηον (, f ( (Θέινπκε λα απνδείμνπκε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ (, f ( ( ( 0 Η ηειεπηαία ηζόηεηα καο νδεγεί λα ζεσξήζνπκε άιειε ζπλάξηεζε g :[, ] κε x ( x λα εθαξκόζνπκε ην Θεώξεκα ηνπ Blza Αξθεί λα απνδείμνπκε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ (, 0 Υπνινγίδνπκε ηα g ( ( f ( f ( g ( ( f ( Η ζπλάξηεζε g είλαη ζπλερήο ζην θιεηζηό δηάζηεκα [, ] 0 Άξα ζύκθσλα κε ην Θεώξεκα ηνπ Blza, ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ (, 0 ορ ηπόπορ Δθόζνλ, ππνζέηνπκε ρσξίο βιάβε ηεο γεληθόηεηαο όηη Τόηε πνιιαπιαζηάδνληαο ηε αληζόηεηα απηή κε ηνπο ζεηηθνύο αξηζκνύο έρνπκε: f ( f ( f ( f ( Πξνζζέηνπκε ην ζηε πξώηε ην ζηε δεύηεξε ( ( ( ( Άξα Γειαδή ν αξηζκόο βξίζθεηαη κεηαμύ ησλ, νπόηε ζύκθσλα κε ην Θεώξεκα Δλδηάκεζσλ Τηκώλ, ζα ππάξρεη (, f ( 3 ορ ηπόπορ Δθόζνλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην θιεηζηό δηάζηεκα [, ], ζα παξνπζηάδεη κέγηζηε ειάρηζηε ηηκή Γειαδή ππάξρνπλ m,m m x M γηα θάζε x [, ] Η παξαπάλσ αληζόηεηα ηζρύεη γηα θάζε x [, ], άξα γηα x γηα x δειαδή ζα ηζρύνπλ νη αληζόηεηεο : m M m M Πνιιαπιαζηάδνπκε ηηο αληζόηεηεο κε ηνπο ζεηηθνύο αξηζκνύο αληίζηνηρα m M m M Πξνζζέηνπκε ηηο αληζόηεηεο ά κέιε ( m ( M Γηαηξνύκε κε 0 έρνπκε: m M Γειαδή ν αξηζκόο, αλήθεη ζην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο f, νπόηε ζύκθσλα κε ην Βαζηθό Σπκπέξαζκα ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ [, ] f ( Με ηελ απαγσγή εηο άηνπν ζα απνδείμνπκε όηη Έζησ όηη ηόηε: ή ( ή ή Άηνπν Όκνηα γηα -3-

4 Παπαηήπηζη Η παξαπάλσ άζθεζε ηζρύεη ζηε πεξίπησζε πνπ 0 Δπίζεο κπνξεί λα γεληθεπηεί ή λα εμεηδηθεπζεί Γηα παξάδεηγκα αλαθέξνπκε ηηο παξαθάησ αζθήζεηο ΑΚΗΗ Αν η ζςνάπηηζη f είναι οπιζμένη και ζςνεσήρ ζηο [, ] με ηόηε ςπάπσει ένα ηοςλάσιζηον (, (Φξεζηκνπνηείζηε νπνηνπζδήπνηε ζεηηθνύο αθέξαηνπο ζηε ζέζε ησλ, θηηάμηε ηε δηθή ζαο άζθεζε ΑΚΗΗ 3 Έζηω f ζςνάπηηζη οπιζμένη και ζςνεσήρ ζηο [, ] και (, Αποδείξηε όηι ςπάπσει ένα ηοςλάσιζηον [, ] 3 Δθόζνλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην θιεηζηό δηάζηεκα [, ], ζα παξνπζηάδεη κέγηζηε ειάρηζηε ηηκή Γειαδή ππάξρνπλ m,m m x M γηα θάζε x [, ] Η παξαπάλσ αληζόηεηα ηζρύεη γηα θάζε x [, ], άξα γηα x, γηα x γηα x δειαδή ζα ηζρύνπλ νη αληζόηεηεο : m M m M m M Πξνζζέηνπκε ηηο αληζόηεηεο ά κέιε 3m 3M m M 3 Γειαδή ν αξηζκόο, αλήθεη ζην 3 ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο f, νπόηε ζύκθσλα κε ην Βαζηθό Σπκπέξαζκα ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ [, ] 3 ορ ηπόπορ Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε: x 3x (1 Αξθεί λα απνδείμνπκε όηη ππάξρεη έλα ηνπ-ιάρηζηνλ [, ] 0 Αληηθαζηζηνύκε ζηε ζρέζε ( 1 δηαδνρηθά όπνπ x ην, ην ην, νπόηε πξνθύπηνπλ νη ηζόηεηεο: 3f ( f ( f ( f ( 3f ( f ( f ( f ( 3f ( f ( f ( f ( Πξνζζέηνπκε ηηο ηζόηεηεο ά κέιε έρνπκε: 0 ( Αλ ηώξα 0 ή 0 ή 0, ηόηε ππάξρεη [, ] ( ή ή, ηέηνην ώζηε 0 Αλ όκσο 0, ηόηε από ηε ζρέζε ( ζπκπεξαίλνπκε όηη νη αξηζκνί, απνθιείεηαη λα είλαη νκόζεκνη (δηόηη είλαη κε κεδεληθνί έρνπλ αζξνηζκα κεδέλ Άξα δύν ηνπιάρηζηνλ από απηνύο ζα είλαη εηεξόζεκνη Αο ππνζέζνπκε όηη νη αξηζκνί είλαη εηεξόζεκνη (δειαδή 0 Τόηε ζα ηζρύεη γηα ηελ ζπλάξηεζε g ην Θεώξεκα ηνπ Blza ζην [, ], νπόηε ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ [, ] 0 ΑΚΗΗ 4 Έζηω f ζςνάπηηζη οπιζμένη και ζςνεσήρ ζηο [, ] και (, Αν,, είναι ομόζημοι ππαγμαηικοί απιθμοί, αποδείξηε όηι ςπάπσει ένα ηοςλάσιζηον [, ] f ( Δθόζνλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην θιεηζηό δηάζηεκα [, ], ζα παξνπζηάδεη κέγηζηε ειάρηζηε ηηκή Γειαδή ππάξρνπλ m,m m x M γηα θάζε x [, ] (Φσξίο βιάβε ηεο γεληθόηεηαο κπνξνύκε λα ππνζέζνπκε όηη νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί,, είλαη ζεηηθνί Η παξαπάλσ αληζόηεηα ηζρύεη γηα θάζε x [, ], άξα γηα x, γηα x γηα x δειαδή ζα ηζρύνπλ νη αληζόηεηεο : m f ( M m f ( M m f ( M (Πνιιαπιαζηάδνπκε ηηο αληζόηεηεο κε,, αληίζηνηρα -4-

5 m f ( M m f ( M m f ( M (Πξνζζέηνπκε ηηο αληζόηεηεο ά κέιε δηαηξνύκε κε 0 m M Γειαδή ν αξηζκόο, αλήθεη ζην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο f, νπόηε ζύκθσλα κε ην Βαζηθό Σπκπέξαζκα ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ [, ] f ( ορ ηπόπορ Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε: x ( x (1 Αξθεί λα απνδείμνπκε όηη ππάξρεη έλα ηνπ-ιάρηζηνλ [, ] 0 Αληηθαζηζηνύκε ζηε ζρέζε ( 1 δηαδνρηθά όπνπ x ην, ην ην, νπόηε πξνθύπηνπλ νη ηζόηεηεο: ( f ( f ( f ( f ( ( f ( f ( f ( f ( ( f ( f ( f ( f ( (Δθηεινύκε πξάμεηο απινπνηνύκε ( f ( f ( f ( ( f ( f ( f ( ( f ( f ( f ( (Πνιιαπιαζηάδνπκε ηηο ηζόηεηεο κε,, αληίζηνηρα ( f ( f ( f ( ( f ( f ( f ( ( f ( f ( f ( Πξνζζέηνπκε ηηο ηζόηεηεο ά κέιε έρνπκε: 0 ( Αλ ηώξα 0 ή 0 ή 0, ηόηε ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ [, ] ( ή ή, 0 Αλ όκσο 0, ηόηε από ηε ζρέζε ( ζπκπεξαίλνπκε όηη νη αξηζκνί, απνθιείεηαη λα είλαη νκόζεκνη (δηόηη είλαη κε κεδεληθνί, νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί,, είλαη ζεηηθνί έρνπλ άζξνηζκα κεδέλ Άξα δύν ηνπιάρηζηνλ από απηνύο ζα είλαη εηεξόζεκνη Αο ππνζέζνπκε όηη νη αξηζκνί είλαη εηεξόζεκνη (δειαδή 0 Τόηε 0, νπόηε ζα ηζρύεη γηα ηελ ζπλάξηεζε g ην Θεώξεκα ηνπ Blza ζην [, ], άξα ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ [, ] 0 Σηηο επόκελεο αζθήζεηο ζα δνύκε ηελ εθαξκνγή όιωλ ηωλ ζεωξεκάηωλ ηωλ ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ Οη πεξηζζόηεξεο από απηέο είλαη γεληθέο αζθήζεηο, νπόηε κε άιειε ηξνπνπνίεζε απινύζηεπζε κπνξνύλ λα δεκηνπξγήζνπλ κία άιιε ζεηξά αζθήζεωλ Κύξηα πεγή ησλ αζθήζεσλ είλαη ην βηβιίν: Απεηξνζηηθόο Λνγηζκόο Ι ησλ Σ Νεγξεπόληε, Σ Γησηόπνπινπ Δ Γηαλλαθνύιηα ΑΚΗΗ 5 Εζηω f :[0,] μία ζςνεσήρ ζςνάπηηζη ώζηε 0 Αποδείξηε όηι ςπάπσοςν x,y [0,] με x y 1 ώζηε x y Έρνπκε: x y 1 ( x y 1 ή x y 1 ( y x 1 ή y x 1 Αξθεί ινηπόλ λα απνδείμνπκε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ x [0,] x x 1 ή x x 1 Θεσξνύκε ηηο ζπλαξηήζεηο: g :[1,] κε x x x 1 h :[0,1] κε h(x x x 1 (* Αξθεί ηώξα λα απνδείμνπκε όηη ππάξρεη x [0,] x 0 ή h(x Άξα Η g είλαη ζπλερήο ζην [ 1,] -5-

6 Αλ 1 0, ηόηε ζύκθσλα κε ην Θεώξεκα ηνπ Blza, ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 1 (1, ηέηνην ώζηε: g 1 0 Αλ 1 0 ηόηε 1 0 ή 0, νπόηε 1 1 ή 1 Τειηθά ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 1 [1,] g 1 0 (1 h(0 0 1 h( Άξα h(0 h( h(0 h(1 0 Η h είλαη ζπλερήο ζην [ 0,1] Αλ h(0 h(1 0, ηόηε ζύκθσλα κε ην Θεώξεκα ηνπ Blza, ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ (0,1 h 0 Αλ h(0 h(1 0 ηόηε h(0 0 ή h(1 0, νπόηε 0 ή 1 Τειηθά ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ [0,1] h 0 ( Από ηηο ζρέζεηο ( 1 ( (ζέηνληαο x 1 x ή ζπκπεξαίλνπκε όηη ππάξρεη x [0,] x 0 ή h(x 0 (* Εθόζνλ πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο f, είλαη ην θιεηζηό δηάζηεκα [0,] x x x 1, πξέπεη λα ηζρύνπλ νη αληζώζεηο: 0 x 0 x δειαδή 0 x 1 1 x 3 Άξα ην x ζα αλήθεη ζην θιεηζηό δηάζηεκα [ 1,], πνπ ζα απνηειεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο g Όκνηα γηα ηε ζπλάξηεζε h, βξίζθνπκε όηη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο είλαη ην θιεηζηό δηάζηεκα [ 0,1] ΑΚΗΗ 6 Εζηω f :[, ] μία ζςνεσήρ ζςνάπηηζη ώζηε Αποδείξηε όηι ςπάπσοςν x,y [, ] με x y ώζηε x y Τπόδειξη (Δξγαδόκαζηε όπσο ζηελ πξνεγνύκελε άζθεζε x y y x ή y x Θεσξνύκε ηηο ζπλαξηήζεηο: g :, κε g (x x f x h :, κε h (x x f x Δθαξκόδνπκε ην Θεώξεκα ηνπ Blza, γηα ηε ζπλάξηεζε g ζην θιεηζηό δηάζηεκα, γηα ηε ζπλάξηεζε h ζην θιεηζηό δηάζηεκα, ΑΚΗΗ 7 Εζηω f :[0,1] μία ζςνεσήρ ζςνάπηηζη ώζηε 0 1 και θεηικόρ θςζικόρ απιθμόρ Αποδείξηε όηι ςπάπσει ένα ηοςλάσιζηον [0,1 1 ώζηε Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε 1 1 g : 0, κε x x x Αξθεί λα απνδείμνπκε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ [0,1 ώζηε 0 1 Η ζπλάξηεζε g είλαη ζπλερήο ζην [0, ], νπόηε ζα παξνπζηάδεη κέγηζηε ειάρηζηε ηηκή Γειαδή ππάξρνπλ m,m m x M γηα θάζε x [0,1 Η παξαπάλσ αληζόηεηα ηζρύεη γηα θάζε x [0,1, άξα γηα x 0, γηα 1 x, γηα 1 x, γηα x γηα x Γειαδή ζα ηζρύνπλ νη αληζόηεηεο : m 0 M 1 m g M m g M m g M 1 m g M -6-

7 1 m f (0 f M 1 m f f M 3 m f f M 1 m f f M 1 m f f (1 M Πξνζζέηνληαο ηηο παξαπάλσ αληζόηεηεο ά κέιε έρνπκε: m 0 M Γειαδή ην 0 αλήθεη ζην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο g, νπόηε ζύκθσλα κε ην Βαζηθό Σπκπέξαζκα ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ [0,1 ώζηε 0 ΑΚΗΗ 8 Εζηω f :[, ] μία ζςνεσήρ ζςνάπηηζη και x1,x,,x [, ] Αποδείξηε όηι ςπάπσει ένα ηοςλάσιζηον [, ], x1 x x Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε x x x1 x x (1 Αξθεί λα απνδείμνπκε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ [, ] 0 Θέηνπκε ζηε ζρέζε ( 1, δηαδνρηθά όπνπ x ηα x,x,, πέξλνπκε ηηο παξαθάησ ηζόηεηεο: 1 x x1 x1 f (x1 f (x f (x x x f (x1 f (x f (x x x f (x1 f (x f (x Πξνζζέηνληαο ηηο παξαπάλσ ηζόηεηεο έρνπκε: x1 x x 0 ( Αλ θάπνην απν ηα x1,x,,x ηεο ζρέζεο ( είλαη κεδέλ, ηόηε πξνθαλώο ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ [, ] ( x1 ή x ή ή x 0 Αλ x1 x x 0, ηόηε δύν ηνπιάρηζηνλ από ηνπο αξηζκνύο x1,x,,x, ζα είλαη εηεξόζεκνη (Γηόηη είλαη κε κεδεληθνί έρνπλ άζξνηζκα κεδέλ Έζησ όηη xi x j 0 κε xi x j Γηα ηε ζπλερή ζπλάξηεζε g ηζρύεη ην Θεώξεκα ηνπ Blza ζην x, x ], νπόηε ζα ππάξρεη έλα [ i j ηνπιάρηζηνλ x, x 0 ( i j ορ ηπόπορ Δθόζνλ ε ζπλάξηεζε g είλαη ζπλερήο ζην θιεηζηό δηάζηεκα [, ], ζα παξνπζηάδεη κέγηζηε ειάρηζηε ηηκή Γειαδή ππάξρνπλ m,m m x M γηα θάζε x [, ] Άξα ζα ηζρύνπλ νη αληζόηεηεο: m x1 M m x M m x M Πξνζζέηνληαο ηηο αληζώζεηο έρνπκε: m x x x M 1 x1 x x m M (ιόγσ ηεο ( m 0 M Γειαδή ην κεδέλ, αλήθεη ζην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο g, νπόηε ζύκθσλα κε ην Βαζηθό Σπκπέξαζκα ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ [, ] 0 ΑΚΗΗ 9 Εζηω f :[, ] μία ζςνεσήρ ζςνάπηηζη, x1,x,,x [, ] και k1,k,, k θεηικοί ακέπαιοι Αποδείξηε όηι ςπάπσει ένα ηοςλάσιζηον [, ], k1x1 k x k x k1 k k Τπόδειξη (Δξγαδόκαζηε όπσο ζηελ πξνεγνύκελε άζθεζε Σηε ζπλέρεηα παξαζέηνπκε κία ζεηξά από δηάθνξεο αζθήζεηο πνπ αλαθέξνληαη ζηηο ζπλερείο ζπλαξηήζεηο ΑΚΗΗ 10 Οπειβάηηρ ξεκινά απο ηη βάζη B ενόρ βοςνού ζηιρ 6 πμ και θηάνει ζηη κοπςθή K ζηιρ 4 μμ (ηηρ ίδιαρ ημέπαρ Σην επόμενη ημέπα ξεκινά από ηη κοπςθή K ζηιρ 6 πμ και ακολοςθόνηαρ ηην ίδια διαδπομή καηεβαίνει ζηη βάζη B ζηιρ 4 μμ (ηηρ ίδιαρ ημέπαρ Αποδείξηε όηι ςπάπσει ένα ηοςλάσιζηον ζημείο ηηρ διαδπομήρ ζηο οποίο βπίζκεηαι ο οπειβάηηρ ηην ίδια σπονική ζηιγμή και όηαν ανεβαίνει και όηαν καηεβαίνει -7-

8 Έζησ f ε ζπλάξηεζε πνπ πεξηγξάθεη ηε θίλεζε ηνπ νξεηβάηε ά ηελ άλνδν ( f (t είλαη ην δηάζηεκα πνπ δηαλύεη ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ t g ε ζπλάξηεζε πνπ πεξηγξάθεη ηε θίλεζε ηνπ νξεηβάηε ά ηελ θάζνδν Οη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη ζπλερείο επίπιένλ ηζρύνπλ νη ηζόηεηεο: 6 16 (δηόηη ηε ρξνληθή ζηηγκή t 6 ηε πξώηε εκέξα ηε ρξνληθή ζηηγκή t 16 ηε δεύηεξε εκέξα ν νξεηβάηεο βξίζθεηαη ζηε βάζε ηνπ βνπλνύ 16 6 (δηόηη ηε ρξνληθή ζηηγκή t 16 ηε πξώηε εκέξα ηε ρξνληθή ζηηγκή t 6 ηε δεύηεξε εκέξα ν νξεηβάηεο βξίζθεηαη ζηε θνξπθή ηνπ βνπλνύ Θεσξνύκε ηώξα ηε ζπλάξηεζε h(t t t Η h είλαη ζπλερήο ζην [ 6,16] h ( h(16 Άξα ζύκθσλα κε ην Θεώξεκα ηνπ Blza, ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ t (6,16 h(t 0 Γειαδή ηε ρξνληθή ζηηγκή t, ν νξεηβάηεο ζα βξίζθεηαη ζηε ζέζε t t όηαλ αλεβαίλεη όηαλ εβαίλεη ορ ηπόπορ Αο ππνζέζνπκε όηη ηε ζηηγκή πνπ ν νξεηβάηεο μεθηλάεη ηελ θάζνδν από ηε θνξπθή (δεύηεξε εκέξα, ε ζθηά ηνπ (ή ν θιώλνο ηνπ αλ ζέιεηε μεθηλάεη ηαπηόρξνλα από ηε βάζε ηνπ βνπλνύ αλεβαίλεη (αθξηβώο όπσο ν πξαγκαηηθόο νξεηβάηεο ηε πξνεγνύκελε εκέξα πξνο ηε θνξπθή Η δεηνύκελε ρξνληθή ζηηγκή είλαη ε ζηηγκή πνπ ζα ζπλαληεζεί ν νξεηβάηεο κε ηε ζθηά ηνπ ΑΚΗΗ 11 Αν μία ζςνάπηηζη f : είναι " 1 1" και ζςνεσήρ, αποδείξηε όηι είναι γνηζίωρ μονόηονη Έζησ x 1,x, x3 κε x1 x x3 Έζησ επίζεο όηη ε ζπλάξηεζε f δελ είλαη νύηε γλεζίσο αύμνπζα νύηε γλεζίσο θζίλνπζα ηόηε δελ ζα ηζρύεη θακία από ηηο ζρέζεηο x1 x x3 (x x x Γειαδή ην (x δελ ζα f 1 3 x1 f βξίζθεηαη αλάκεζα ζην ζην x 3 Οπόηε ζα ηζρύεη κία από ηηο αληζόηεηεο: (x x x (1 f 1 3 x x1 x3 x1 x3 x ( (3 x x1 x3 Αο ππνζέζνπκε όηη ηζρύεη ε ( 1 (4 εθόζνλ ην x3 βξίζθεηαη κεηαμύ ηνπ x 1 ζην x, ζα ππάξρεη ζύκθσλα κε ην ζεώξεκα ελδηάκεζσλ ηηκώλ x,x ( 1 x3 Γειαδή γηα x3 έρνπκε x3 Άηνπν δηόηη ε f είλαη " 1 1" Όκνηα αιήγνπκε ζε άηνπν αλ ππνζέζνπκε όηη ηζρύνπλ νη αληζόηεηεο (, ( 3 ή ( 4 ΑΚΗΗ 1 Αν 0 και η ζςνάπηηζη f :[, ] είναι ζςνεσήρ ζηο [, ] με, αποδείξηε όηι ςπάπσει ένα ηοςλάσιζηον (, f ( Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε x x x x Αξθεί λα απνδείμνπκε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ (, 0 Η ζπλάξηεζε g είλαη ζπλερήο ζην [, ] g ( f ( 1 f ( (1 g ( f ( 1 f ( ( Από ηηο ζρέζεηο ( 1 ( έρνπκε: 0 Οπόηε ζύκθσλα κε ην Θεώξεκα ηνπ Blza, ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ (, 0 ΑΚΗΗ 13 Αν μία ζςνάπηηζη f :[, ] είναι ζςνεσήρ ζηο [, ] και 0, αποδείξηε όηι ςπάπσει ένα ηοςλάσιζηον (, -8-

9 Αξθεί λα απνδείμνπκε όηη ε εμίζσζε x (1 κε x, x έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην (, Η εμίζσζε ( 1 είλαη ηζνδύλακε κε ηελ εμίζσζε: x( (x 0 Θεσξώληαο ηώξα ηε ζπλάξηεζε: x x( (x, αξθεί λα απνδείμνπκε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ (, 0 Η ζπλάξηεζε g είλαη ζπλερήο ζην [, ] g ( ( ( ( ( g ( ( ( ( ( (3 Από ηηο ζρέζεηο ( ( 3 έρνπκε: f ( ( 0 Οπόηε ζύκθσλα κε ην Θεώξεκα ηνπ Blza, ζα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ (, 0 Δπεηδή όκσο, ην ζπγθεθξηκέλν ζα είλαη ξίδα ηεο ( 1 ΑΚΗΗ 14 Αν μία ζςνάπηηζη f :[, ] είναι ζςνεσήρ ζηο [, ] και 0, αποδείξηε όηι ςπάπσει ένα ηοςλάσιζηον (, Τπόδειξη Δξγαδόκαζηε αλάινγα κε ηελ πξνεγνύκελε άζθεζε ΑΚΗΗ 15 Αν μία ζςνάπηηζη f :[, ] είναι ζςνεσήρ ζηο [, ] και, αποδείξηε όηι ςπάπσοςν δύο ηοςλάσιζηον (διαθοπεηικά μεηαξύ ηοςρ (, ηέηοια ώζηε: 1, (όπος 1 m m, θεηικοί διαδοσικοί ακέπαιοι απιθμοί Δθαξκόδνληαο ηώξα έλα απν ηνπο ηξόπνπο ηεο Άσκησης 1, απνδεηθλύνπκε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ 1 (, m 1 (1 m Όκνηα απνδεηθλύνπκε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ (, m ( m Θα κπνξνύζακε βέβαηα ην 1 ηεο ζρέζεο ( 1 λα ην είρακε νλνκάζεη ην ηεο ζρέζεο ( λα ην είρακε νλνκάζεη 1 Σε νπνηαδήπνηε πεξίπησζε όκσο, αξώληαο ηηο ζρέζεηο ( 1 ( πέξλνπκε: 1 m Τα 1 είλαη δηαθνξεηηθά κεηαμύ ηνπο, δηόηη αλ ππνζέζνπκε 1, ηόηε 1, νπόηε άηνπν Γεληθεύνληαο ηελ παξαπάλσ άζθεζε ζα κπνξνύζακε λα δηαηππώζνπκε ηελ εμήο άζθεζε: ΑΚΗΗ 16 Αν μία ζςνάπηηζη f :[, ] είναι ζςνεσήρ ζηο [, ] και, αποδείξηε όηι ςπάπσοςν δύο ηοςλάσιζηον (διαθοπεηικά μεηαξύ ηοςρ 1, ζηο (, ηέηοια ώζηε: m 1 m (όπος m, θεηικοί ακέπαιοι απιθμοί ΑΚΗΗ 17 Αν μία ζςνάπηηζη f :[, ] είναι ζςνεσήρ ζηο [, ], και θεηικόρ ακέπαιορ, αποδείξηε όηι ςπάπσοςν δύο ηοςλάσιζηον (διαθοπεηικά μεηαξύ ηοςρ 1, ζηο (, ηέηοια ώζηε: 1 1 Δθόζνλ m, ζεηηθνί δηαδνρηθνί αθέξαηνη αξηζκνί ππνζέηνπκε (ρσξίο βιάβε ηεο γεληθόηεηαο όηη: m 1-9-