Προσομοίωση Συστημάτων Παραγωγή τυχαίων αριθμών Άγγελος Ρούσκας
Τυχαίοι αριθμοί και τυχαίες μεταβλητές Δεν έχει νόημα να αναφερόμαστε σε ένα τυχαίο αριθμό, αλλά σε ακολουθία τυχαίων αριθμών Οι τυχαίοι και ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο διάστημα [0,1] αριθμοί ορίζονται ως τυχαίοι αριθμοί Οι τυχαίοι αριθμοί που ακολουθούν μια άλλη πιθανοτική κατανομή ονομάζονται τυχαίες μεταβλητές της κατανομής
Δημιουργία τυχαίων αριθμών (1/2) Πραγματικά τυχαίοι αριθμοί μόνο μέσω μεθόδων που βασίζονται σε φυσικά φαινόμενα (ρίξιμο ζαριών, μοίρασμα χαρτιών, τυχαία επιλογή σφαίρας από καλά ανακατεμένο δοχείο, ρουλέτα, κλπ) Με ηλεκτρονικά μέσα: παραγωγή λευκού θορύβου (ίδια ισχύ σε όλες τις συχνότητες) η γεννήτρια παράγει παλμούς όταν ο θόρυβος περνά ένα κατώφλι Ένας μετρητής μετρά το πλήθος των παλμών σε κάποιο διάστημα Αυτός είναι ο τυχαίος αριθμός
Δημιουργία τυχαίων αριθμών (2/2) Αν δημιουργηθούν τυχαίοι αριθμοί με κάποιον φυσικό τρόπο και να αποθηκευτούν, οι ίδιοι αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν από τα προγράμματα των Η/Υ Δυστυχώς απαιτούν μεγάλο αποθηκευτικό χώρο Το πλήθος τους δεν είναι πάντα αρκετό
Ψευδοτυχαίοι αριθμοί Η παραγωγή τυχαίων αριθμών δεν είναι δυνατή μέσω των Η/Υ λόγω της φύσης των προγραμμάτων τα οποία για συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες και συγκεκριμένη αλληλουχία εντολών παράγουν τα ίδια αποτελέσματα Οι Η/Υ χρησιμοποιούν επαναληπτικές μεθόδους και οι παραγόμενοι αριθμοί δεν είναι εντελώς τυχαίοι καθώς η ίδια ακολουθία μπορεί να αναπαραχθεί με τις ίδιες αρχικές συνθήκες Οι αριθμοί αυτοί αναφέρονται και ως ψευδοτυχαίοι
Επιθυμητές ιδιότητες ψευδοτυχαίων αριθμών Ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο διάστημα [0,1]: ίση πιθανότητα εμφάνισης των τιμών του διαστήματος Στατιστικά ανεξάρτητοι Επαναλήψιμοι, δηλαδή η ακολουθία τους μπορεί να αναπαραχθεί Η παραγωγή τους να γίνεται με μια υπολογιστική μέθοδο και ανεξάρτητα από το hardware του Η/Υ Γρήγορη διαδικασία παραγωγής Μεγάλη περίοδο επανάληψης
Ομοιόμορφη κατανομή Μέση τιμή 0.5 και διασπορά 0.08333
Γεννήτριες ψευδοτυχαίων αριθμών Επαναληπτική εξίσωση ή μεθόδος Σπόρος είναι η αρχική τιμή της ακολουθίας Ορισμός ισοϋπόλοιπων αριθμών Οι αριθμοί α και β είναι ισοϋπόλοιποι ως προς τον αριθμό γ όταν διαιρούμενοι με το γ δίνουν το ίδιο υπόλοιπο α β mod γ σημαίνει ότι α=β-γk, k=[β/γ]
Γεννήτρια μεσαίων τετραγώνων Ιδέα του Von Neuman 1. Χρησιμοποιούμε αριθμούς n ψηφίων 2. Σπόρος ο ακέραιος Ζ 0 με n ψηφία 3. Υπολογίζουμε το τετράγωνο του αριθμού Ζ 0 4. Τυχαίος αριθμός U 0 =(Ζ 0 /10 n ) 2 є [0,1) 5. Ο επόμενος αριθμός Ζ 1 προκύπτει από τα n μεσαία ψηφία του αριθμού Ζ 2 0 6. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται από το βήμα 3 Ο επόμενος αριθμός εξαρτάται μόνο από τον προηγούμενο => η διαδικασία επαναλαμβάνεται όταν επανεμφανιστεί κάποιος από τους Ζ i Περίοδος ή κύκλος της ακολουθίας είναι το πλήθος των τυχαίων αριθμών ανάμεσα σε δύο εμφανίσεις του ίδιου αριθμού Περίοδος 10 n -2 Μειονεκτήματα: αργή μέθοδος, δύσκολη ανάλυση, όχι στατιστικά ικανοποιητικές
Ισοϋπόλοιπες (congruential) γεννήτριες Γραμμική Z i+1 =(aζ i +c) mod m, U i =Ζ i /float(m) ή U i =Ζ i /float(m-1) Μέγιστη περίοδος m Πολλαπλασιαστική Z i+1 =aζ i mod m Γενικές Z i+1 =f(ζ i,ζ i -1, ) mod m Αθροιστικές Z i+1 =(a i-1 Ζ i-1 +a i Ζ i ) mod m Δευτεροβάθμιες Z i+1 =(a i-1 Ζ 2 i-1+a i Ζ i +c) mod m
LCG(a,c,m,Ζ 0 )=LCG(9,1,16,1) Η περίοδος είναι μέγιστη και ίση με m=16 Εναλλαγή άρτιων και περιττών => συσχετισμένοι όχι ανεξάρτητοι Μέσος όρος 0.4688, διασπορά 0.083
Έλεγχοι τυχαιότητος Η ακολουθία των ψευδοτυχαίων αριθμών είναι ικανοποιητική εφόσον περνά επιτυχώς κάποιους ελέγχους (test) τυχαιότητος Έλεγχος ανεξαρτησίας των δειγμάτων: Runs test Προσπαθεί να επαληθεύσει ότι δεν υπάρχει κάποιο pattern στα δείγματα: δηλαδή δεν υπάρχει αυξητική τάση ή τάση μείωσης τιμών, η μεταβλητότητα δεν αυξάνει με το χρόνο, τα δείγματα δεν τείνουν να είναι μεγαλύτερα σε κάποιες περιόδους σε σχέση με άλλες περιόδους Έλεγχος ότι τα δείγματα μιας εμπειρικής κατανομής ακολουθούν κάποια κατανομή πιθανότητας: Chisquare (χ 2 ) test
Έλεγχος για ομοιόμορφη κατανομή Chi-square χ 2 τεστ Το τεστ αυτό βοηθά γενικά στη διαπίστωση αν μια ακολουθία αριθμών ακολουθεί μια συγκεκριμένη κατανομή k 2 2 ( fi ) n i 1 k k>100: πλήθος υποδιαστημάτων του [0,1] k f i : πλήθος ψευδοτυχαίων αριθμών που ανήκουν στο υποδιάστημα i n: το μέγεθος του δείγματος ή αλλιώς το πλήθος των ψευδοτυχαίων αριθμών Η ακολουθία απορρίπτεται αν το χ 2 είναι μεγαλύτερο από αυτό που προκύπτει από τους πίνακες chi-square χ 2 για βαθμό ελευθερίας k-1 και επίπεδο α. Γενικά, για κάποιο βαθμό ελευθερίας, για μεγαλύτερες τιμές του χ 2 η ακολουθία απορρίπτεται με μικρότερο επίπεδο α n