ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μικρότερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μικρότερο από το. Παράδειγμα,, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟ ΟΛΟ ΚΑΙ ΨΑΧΝΟΥΜΕ ΤΟ ΜΕΡΟΣ Όταν σε κάποιο πρόβλημα μας ζητούν να υπολογίσουμε τι μέρος ενός μεγέθους παριστάνει ένα κλάσμα, το λύνουμε ως εξής ος τρόπος Βρίσκουμε αρχικά το του μεγέθους και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με κ το παραπάνω αποτέλεσμα. (Αναγωγή στην κλασματική μονάδα) ος τρόπος Πολλαπλασιάζουμε το κλάσμα επί τον αριθμό που εκφράζει το όλον. Παράδειγμα Να βρείτε πόσα ευρώ είναι τα των 00. Λύση ος τρόπος Το των 00 είναι 00 0. Άρα τα είναι 0 0. ος 00 00 τρόπος Τα των 00 είναι 00 00 0. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟ ΜΕΡΟΣ ΚΑΙ ΨΑΧΝΟΥΜΕ ΤΟ ΟΛΟ Όταν σε κάποιο πρόβλημα γνωρίζουμε το μέρος ενός μεγέθους, δηλαδή γνωρίζουμε ότι τα ενός μεγέθους είναι α, και ψάχνουμε ολόκληρο το μέγεθος, τότε Βρίσκουμε το του μεγέθους, διαιρώντας το α με το κ. Βρίσκουμε όλο το μέγεθος, δηλαδή τα του μεγέθους, πολλαπλασιάζοντας με το ν το παραπάνω αποτέλεσμα. Παράδειγμα Τα των μαθητών ενός σχολείου είναι μαθητές. Πόσοι είναι όλοι οι μαθητές; Λύση Τα των μαθητών είναι μαθητές, άρα το είναι μαθητές. Άρα τελικά όλοι οι μαθητές δηλαδή τα είναι μαθητές. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟ ΜΕΡΟΣ ΚΑΙ ΨΑΧΝΟΥΜΕ ΕΝΑ ΑΛΛΟ ΜΕΡΟΣ Στην περίπτωση αυτή συνδυάζουμε τις παραπάνω δυο μεθοδολογίες. Παράδειγμα Τα των μαθητών ενός σχολείου είναι μαθητές. Πόσοι μαθητές είναι τα των μαθητών του σχολείου; Λύση Τα των μαθητών είναι μαθητές, άρα το είναι 0 μαθητές. Άρα τελικά όλοι οι μαθητές δηλαδή τα είναι 0 μαθητές. Άρα τα είναι μαθητές οπότε το είναι μαθητές. Άρα τα είναι μαθητές. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Δυο κλάσματα και λέγονται ισοδύναμα ή ισα, όταν εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους ή ισων μεγεθών. Ισχύει τότε. Για να κατασκευάσουμε ισοδύναμα κλάσματα αρκεί να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με τον ίδιο αριθμό 0. 0 Παράδειγμα Να ελέγξετε αν είναι ισοδύναμα τα κλάσματα α) και β) και. Λύση 0 α) και τα χιαστή γινόμενα είναι 0 0 και 0. Άρα είναι ισοδύναμα. β) και τα χιαστή γινόμενα είναι και. Άρα δεν είναι ισοδύναμα. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΑΝΑΓΩΓΟ ΚΛΑΣΜΑ Απλοποίηση ενός κλάσματος ονομάζεται η μετατροπή του σε ισοδύναμο με όσο το δυνατόν μικρότερους όρους. Η απλοποίηση ενός κλάσματος γίνεται ως εξής βρίσκουμε τον ΜΚΔ(ΑΒ) και στη συνέχεια διαιρούμε αριθμητή και παρανομαστή με τον ΜΚΔ(α,β). Ένα κλάσμα λέγεται ανάγωγο, όταν δεν μπορεί να απλοποιηθεί. Σε ένα ανάγωγο κλάσμα ισχύει ΜΚΔ(ΑΒ)=. Προσοχή ισχύει το εξής ενώ είναι ΜΕΓΑΛΟ ΛΑΘΟΣ το εξής ή. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Παράδειγμα Να απλοποιήσετε τα κλάσματα α) και β) Λύση α) Θα πρέπει να βρούμε τον ΜΚΔ(,) άρα και άρα. Τελικά (,) Διαιρούμε λοιπόν τους όρους του κλάσματος με το β). άρα και άρα. Τελικά (,). Διαιρούμε λοιπόν τους όρους του κλάσματος με το ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΟΜΩΝΥΜΑ ΚΑΙ ΕΤΕΡΩΝΥΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Όταν δυο ή περισσότερα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρανομαστή, λέγονται ομώνυμα, ενώ όταν έχουν διαφορετικό παρανομαστή, λέγονται ετερώνυμα. Για να μετατρέψουμε δυο ή περισσότερα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα, εργαζόμαστε ως εξής βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρανομαστών και πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με κατάλληλο αριθμό, ώστε όλοι οι παρανομαστές να γίνουν ισοι με το παραπάνω ΕΚΠ. Παράδειγμα Να κάνετε ομώνυμα τα κλάσματα,, Λύση ΕΚΠ(,,)= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
Για το κλάσμα ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Για το κλάσμα 0 Για το κλάσμα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΟΜΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Όταν έχουμε δυο ομώνυμα κλάσματα, μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει μεγαλύτερο αριθμητή. Για να συγκρίνουμε δυο ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και στη συνέχεια συγκρίνουμε τους αριθμητές τους. Όταν έχουμε δυο ετερώνυμα κλάσματα, που όμως έχουν τον ίδιο αριθμητή, μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μικρότερο παρανομαστή. Παράδειγμα Να συγκρίνετε τα κλάσματα α) και Λύση β) και γ) και. α) Τα κλάσματα και είναι ομώνυμα οπότε συγκρίνω τους αριθμητές έτσι β) Τα κλάσματα και είναι ετερώνυμα, έτσι πρέπει πρώτα να τα κάνω ομώνυμα. ΕΚΠ(,)= άρα 0 και. Τελικά 0 ή γ) Τα κλάσματα και είναι ετερώνυμα, όμως έχουν ίδιο παρανομαστή. Άρα μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει το μικρότερο παρανομαστή δηλαδή. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΟΝΑΔΑ Όταν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μικρότερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μικρότερο της μονάδας. Δηλαδή αν τότε Όταν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο της μονάδας. Δηλαδή αν τότε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Παράδειγμα Να συγκρίνετε τους αριθμούς α) και β) και γ) και. Λύση α) β) γ) Για να συγκρίνω τα κλάσματα και, θα μπορούσα να τα κάνω πρώτα ομώνυμα. Μπορούμε όμως να σκεφτούμε ότι ενώ. Άρα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΟΜΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Προσθέτουμε δυο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα προσθέτοντας τους αριθμητές τους και κρατώντας τον κοινό παρανομαστή τους. Δηλαδή Αφαιρούμε δυο ομώνυμα κλάσματα αφαιρώντας τους αριθμητές τους και κρατώντας τον κοινό παρανομαστή τους. Δηλαδή Παράδειγμα Να κάνετε τις πράξεις α) β) Λύση α) β) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Για να προσθέσουμε δυο ή περισσότερα ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και στη συνέχεια προσθέτουμε τα ομώνυμα κλάσματα. Για να αφαιρέσουμε δυο ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και στη συνέχεια αφαιρούμε τα ομώνυμα κλάσματα. Παράδειγμα Να κάνετε τις πράξεις α) Λύση β) α) ΕΚΠ(,,)= έτσι β) ΕΚΠ(,,,)= έτσι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Παράδειγμα Να κάνετε τις πράξεις α) β) Λύση α) ΕΚΠ(,)=0 έτσι 0 0 0 β) ΕΚΠ(,,)= έτσι 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΙΚΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Το άθροισμα ενός ακέραιου αριθμού α με ένα κλάσμα (μικρότερο του ) γράφεται σε πιο απλή μορφή που ονομάζεται μεικτός αριθμός. Μετατροπή μεικτού σε κλάσμα. π.χ. Μετατροπή κλάσμα σε μεικτό εκτελώ τη διαίρεση οπότε έχω και κάνω τις πράξεις. π.χ. εκτελώντας τη διαίρεση έχω άρα Παράδειγμα Να κάνετε τις πράξεις Λύση Μετατρέπω πρώτα τον μεικτό ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0
Έτσι ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ 0 0 Παράδειγμα Να κάνετε τις πράξεις Λύση Μετατρέπω πρώτα τους μεικτούς και Άρα ΕΚΠ(,,,)= άρα 0 0 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Το γινόμενο δυο κλασμάτων είναι κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρανομαστή το γινόμενο των παρανομαστών δηλαδή Το γινόμενο ενός ακεραίου με κλάσμα είναι το κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο του ακεραίου με τον αριθμητή και παρανομαστή τον ίδιο δηλαδή Προσοχή δεν πρέπει να μπερδεύουμε το γινόμενο με το μεικτό αριθμό Παράδειγμα Να κάνετε τις πράξεις α) β) Λύση α) β) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Δυο κλάσματα που έχουν γινόμενο λέγονται αντίστροφα. Ο αντίστροφος του κλάσματος είναι αφού Ο αντίστροφος ενός ακεραίου 0 είναι το κλάσμα αφού Παράδειγμα Να βρείτε τους αντίστροφους των αριθμών α) β) Λύση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ α) Ο αντίστροφος του είναι ο αφού β) Ο αντίστροφος του είναι ο αφού. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Οι ιδιότητες των πράξεων μεταξύ φυσικών αριθμών ισχύουν και στις πράξεις μεταξύ κλασμάτων. Συγκεκριμένα (Το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού) (Αντιμεταθετική ιδιότητα) (Προσεταιριστική ιδιότητα) και (Επιμεριστική ιδιότητα)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Για να διαιρέσουμε δυο φυσικούς αριθμούς, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη, δηλαδή Για να διαιρέσουμε δυο κλάσματα, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη, δηλαδή Παράδειγμα Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις α) Λύση α) β) γ) 0 0 0 β) γ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΘΕΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Ένα κλάσμα του οποίου ένας τουλάχιστον όρος είναι κλάσμα, λέγεται σύνθετο. Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα από σύνθετο σε απλό, πολλαπλασιάζουμε τους άκρους όρους και τους βάζουμε για αριθμητή και πολλαπλασιάζουμε τους μέσους όρους και τους βάζουμε παρανομαστή. Δηλαδή Παράδειγμα Να μετατρέψετε σε απλά τα παρακάτω σύνθετα κλάσματα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ α) β) γ) Λύση α) β) γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ. Να μετατρέψετε σε ανάγωγο το παρακάτω κλάσμα. Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων i. ii. iii. iv. v.. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων i. ii. iii.. Δίνονται οι αριθμοί και. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων i. ii.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ. Ο Χρηστός παίρνει μηνιαίο μισθό.00. Του έγινε αύξηση ιση με τα του μισθού του. Αν κάθε μήνα πληρώνει τα του νέου μισθού του για το ενοίκιο του σπιτιού που μένει, να βρείτε πόσα χρήματα του περισσεύουν.. Τα του κιλού κρέας κοστίζουν. Πόσα κιλά κρέας μπορούμε να αγοράσουμε με 0.. Τα των μαθητών μιας τάξης μιλούν Αγγλικά και τα μιλούν Γαλλικά. Αν αυτοί που μιλούν Αγγλικά είναι 0 μαθητές, να βρείτε πόσους μαθητές έχει η τάξη και στη συνέχεια πόσοι μιλούν Γαλλικά.. Ο κύριος Γιώργος, με τα των χρημάτων που είχε στην τράπεζα, αγόρασε ένα αυτοκίνητο αξίας.00. i. Να βρείτε πόσα χρήματα είχε αρχικά στην τράπεζα. ii. Με τα των χρημάτων που έμειναν στην τράπεζα αγόρασε και μια μηχανή. Να βρείτε πόσα χρήματα έμειναν στην τράπεζα μετά από την αγορά και της μηχανής. iii. Τι μέρος των χρημάτων που είχε αρχικά στην τράπεζα ξόδεψε ο κύριος Γιώργος;. Ένας γεωργός την πρώτη μέρα όργωσε στρέμματα, τη δεύτερη ημέρα όργωσε στρέμματα λιγότερο από την πρώτη μέρα και την τρίτη μέρα όργωσε στρέμματα περισσότερα από τη δεύτερη. Έτσι έμειναν στρέμματα που δεν έχουν οργωθεί. Πόσα στρέμματα είναι το χωράφι. 0. Ένα βιβλίο αξίζει. Αν στο βιβλίο γίνει έκπτωση της αξίας του να βρείτε 0 i. πόσα ευρώ είναι η έκπτωση ii. πόσα ευρώ κοστίζει το βιβλίο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ