Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί,άρρητοι, πραγματικοί και τι ονομάζεται απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού. Εμπεδώνω τις τεχνικές των τεσσάρων πράξεων μεταξύ πραγματικών αριθμών και τις βασικές ιδιότητές τους. Εφαρμογή 1 η Να υπολογίσετε την παράσταση : Κ = ( )( )( 7) :( ) Κ = ( )( )( 7) :( ) = ( )( )( 1) :( ) = = ( 6)( 4) = 6 4 1 1 Εφαρμογή η Να γίνουν οι ακόλουθες πράξεις : 1 1 1 : 4 6 6 1 1 1 : = 1 1 1 1 1 : 4 6 = : 6 4 1 6 4 1 6 = 1 : 1 : 1 1 6 1 6 = = 1 1 6 6 1 1 0 6 0 6 9 1 1 1 1 1 4 Εφαρμογή η Να υπολογίσετε την παράσταση : Λ = 1 1 7 1 1 4 4 9 4 Λ = 1 1 1 1 1 1 7 4 7 7 9 9 9 9 1 Σελίδα 1 από 0
Εφαρμογή 4 η Να βρεθεί η τιμή της παράστασης : α-β = 7 και γ 4δ = -. ( ) = Έχουμε : ( ), όταν = 6α + 4δ - β - γ +1 6 4 1 = ()( 4) 1 7( ) 1 = 1++1 = 41 ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Αντίθετοι λέγονται δύο αριθμοί που έχουν άθροισμα μηδέν. Αντίστροφοι λέγονται δύο αριθμοί που έχουν γινόμενο τη μονάδα. Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού α- ριθμού α ονομάζεται η απόσταση του -α α σημείου που παριστάνει τον αριθμό α 0 από την αρχή του άξονα και συμβολίζεται με. Παραδείγματα,, 0 0,,. Ασκήσεις 1. Να συμπληρώσετε τις ισότητες : α) - - 7 = β) = γ) ( ) δ) ( ) ε) =. στ) 1 : =.. Να κάνετε τις πράξεις : ( ) 6 : β) 1 ( 7)( )( 4) :( 6) 1 α) γ) 1( 7) δ) ( 7). Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : 1 1 1 α) 1 1 β) 4 1 γ) 1 1 4. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης : () 11 για χ = - και ψ =. Σελίδα από 0
. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης : () () για ψ =. 6. Αν και ψ = 1, να υπολογίσετε τις παραστάσεις : α) Κ= 1 β) Λ = 1 ( ) 7. Να απλοποιήσετε την παράσταση : Β = () μετά να βρείτε την τιμή της για χ = 0, και ψ = 0, 8. Να αποδείξετε την ισότητα : ( ) () ( ) () 9. Αν α + β = -1, να υπολογίσετε τις παραστάσεις : α) 1 ( )( 9)( ) β) ( 1) ( ) και 10. Αν α + β = - και β γ =, να υπολογίσετε την παράσταση : Α = -γ - 8( - β) - (β - γ) + α Β. Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Διδακτικοί στόχοι Εμπεδώνω τις ιδιότητες των δυνάμεων. Χρησιμοποιώ τις ιδιότητες των δυνάμεων στον υπολογισμό αριθμητικών παραστάσεων. Εφαρμόζω την προτεραιότητα των πράξεων στον υπολογισμό αριθμητικών παραστάσεων. Εφαρμογή 1 η Να εφαρμόσετε τις ιδιότητες των δυνάμεων : α) β) ( )( ) γ) : δ) ε) στ) α) 8 β) γ) ( )( ) 1 1 1 ( ) :( )( )( ) 9 9 7 7 δ) 8 ε) 1 9 4 : Σελίδα από 0
4 4 4 4 4 : = a a a 4 στ) a 81 ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ Δεν υπάρχουν ιδιότητες για τις παραστάσεις : Υπάρχει διαφορά μεταξύ των συμβολισμών : και και. Εφαρμογή η Να υπολογιστεί η παράσταση : Α= ( ) 4 : 11 Α= ( ) 4 : 11 = ( ) 9 4 : 11 = = ( ) : 11 ( ) 1 11 ( ) 10 = - 8-10 = -4. Εφαρμογή η Να λύσετε τις ακόλουθες εξισώσεις : α) 10 10 10 10 10 β) 9 α) 10 10 ή β) 9 10 10 10 ή 10 10 ή 10 ή 10 10 10 10 10 10 ( ) 10, άρα 6 9 ή 8 10 10 10 1 10 10, άρα χ = 1 Ασκήσεις 1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα 6 9 ή 10. Αριθμός 9 1 8 7 16 81 144 169 1 11 8 7 Δύναμη. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α, το αποτέλεσμά της από τη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β α) 1. 9 β) γ). 6. -9 Σελίδα 4 από 0
δ) 4. -8. 8 α. β. γ. δ.. Να γράψετε καθεμία από τις παρακάτω παραστάσεις ως μια δύναμη. 7 α) 6 β) : γ) ε) 1 4 =. δ) 4. Να γράψετε καθεμία από τις παρακάτω παραστάσεις ως μια δύναμη. α) 8 β) 9 γ) 7 16 δ) ε) 1 ( ) =. ( ). Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α, το αποτέλεσμά της από τη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β α) 1 009 1 1. 9 β). 1 γ) 4 8 9. - 1 9 δ) 6 : : 4. -1. 9 α. β. γ. δ. 6. Να υπολογίσετε την παράσταση : Α= ( 9) 4( ) 4 : 6 7. Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις ως μια δύναμη Α= Γ= 77 77 77 Β = 9 9 Δ = 10 101 100 17 18 18 17 8. Να κάνετε τις πράξεις : Σελίδα από 0
α) 10 : β) 7 8 1 9. Να λύσετε τις ακόλουθες εξισώσεις : 1 α) 10 10 1 β) 10 10 10 9 10. Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης : Α= για : 1 α) α = - 1 και β = - β) α = - και β = 11. Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης : 1 1 Κ=, όταν χ = -1 1. Να βρείτε τον φυσικό αριθμό κ, ώστε να ισχύουν οι ισότητες : α) 1 1 16 β) 1 8 7 Γ. Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Διδακτικοί στόχοι Να θυμηθώ τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας και τις άμεσες συνέπειές του. Να γνωρίζω τις ιδιότητες των ριζών και να μάθω να τις χρησιμοποιώ. Να αποδεικνύω τις ιδιότητες των ριζών. Εφαρμογή 1 η Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : α) 4 β) 4 4 1 α) 4 = ( 4 ) = 7 β) 9 4 9 4 = 4 = = 4 ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ Προσοχή!!!! ( 6) 6 Δεν ορίζεται η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού Προσοχή!!!! Εφαρμογή η Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : Σελίδα 6 από 0
α) 7 β) 1 7 α) 7 9 9 β) 1 7 = 4 4 = Εφαρμογή η Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα που έχουν άρρητους παρονομαστές σε ισοδύναμα κλάσματα με ρητούς παρονομαστές. α) β) 6 10 6 6 6 6 α) 6 6 6 6 6 β) 10 10 10 10 10 10 10 10 4 10 = Ασκήσεις 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες δ) 8. Να κάνετε τις πράξεις : α) 8 Στήλη Α α) 1 β) 7 10 γ) 16 4 β) 7 Στήλη Β γ) 6 0 δ) 4 ε) 7 1. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : α) 1 7 00 β) 8 7 1 00 4. Να απλοποιήσετε την παράσταση : 0 8 1 4 18 7. Να κάνετε τις πράξεις : α) 8 0 β) 1 7 γ) δ)1 1 Σελίδα 7 από 0
6. Να βρείτε ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι διαφορετικός από τους άλλους α) 1, 1,,, 1 β) 8, 7, 18, 6,, 6 7. Να βρείτε ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίσοι 4 1 i. a 8,,,,, 4 ii. a +,, 1,, 7 8. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων : 1 1 7 1, 7 44 1 99 1 9. Να συμπληρώσετε το διπλανό τετράγωνο ώστε να γίνει «μαγικό» (Υπόδ: Το άθροισμα γραμμών, στηλών και διαγωνίων να είναι σταθερό) Εδώ: 18+ 0+ 8=... = 1 18 8 0 10. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) 7 8, β) 8 11. Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι 6 και 8 αντίστοιχα. Να βρεθεί η πλευρά ενός τετραγώνου με εμβαδόν ίδιο με αυτό του ορθογωνίου. Σελίδα 8 από 0
1. Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Διδακτικοί στόχοι Μαθαίνω τι είναι αλγεβρική παράσταση και πώς να βρίσκω την αριθμητική τιμή της. Διακρίνω αν μια αλγεβρική παράσταση είναι μονώνυμο και προσδιορίζω το βαθμό του. Μαθαίνω να προσθέτω, να πολλαπλασιάζω και να διαιρώ μονώνυμα. Α Αλγεβρικές παραστάσεις Μονώνυμα Εφαρμογή 1 η Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Μονώνυμο Συντελεστής Κύριο μέρος 7 7 Βαθμός ως προς χ Βαθμός ως προς ψ Βαθμός ως προς χ και ψ - 1 4 1 4 4 1 4 0 4-0 0 0 Εφαρμογή η Να προσδιορίσετε την τιμή του φυσικού αριθμού λ, ώστε το μονώνυμο να έχει αριθμητική τιμή 64 για χ = -1 και ψ = - Πρέπει : ( 1)( ) 64 ή ( 1)( ) ή ( 1)( )( ) ή 1 ( 1)( ) ή ( 1)( ) 18 ή ( 1)( ) 18 ή 18 ή 4 7 18 ή ή λ = 7. Άρα λ = 7 ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Κάθε σταθερό μη μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. Στο μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. Ασκήσεις 1. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. Σελίδα 9 από 0
α. Μονώνυμο λέγεται η ακέραια αλγεβρική παράσταση στην οποία μεταξύ των.. σημειώνεται μόνο η πράξη. β. του μονωνύμου λέγεται ο αριθμητικός παράγοντας του μονωνύμου. γ. Κύριο μέρος του μονωνύμου λέγεται το γινόμενο. των με τους αντίστοιχους.. δ. Τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος λέγονται.. μονώνυμα ε.το σταθερό μονώνυμο 0 λέγεται.. μονώνυμο.. Ένα ορθογώνιο έχει τριπλάσιο μήκος από το πλάτος του χ. το μονώνυμο που εκφράζει το εμβαδόν του είναι : α. β. γ.. Η Μαρία έχει χ ευρώ, ενώ η Ελένη έχει ευρώ λιγότερα από το τριπλάσιο ποσό της Μαρίας. Η αλγεβρική παράσταση που εκφράζει το χρηματικό ποσό της Ελένης είναι : 4. Ένα μονώνυμο έχει συντελεστή και μεταβλητές χ, ψ. να προσδιορίσετε το μονώνυμο, αν ο βαθμός του ως προς χ είναι και ως προς χ και ψ είναι 7.. Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης Α = για χ = - και ψ =. δ. 4 α. β. γ. δ. 6. Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης Β = για χ = - και ψ = -1 Β Πράξεις με μονώνυμα ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ Αν τα μονώνυμα δεν είναι όμοια, το άθροισμά τους δεν είναι μονώνυμο. Το πηλίκο μονωνύμων δεν είναι απαραίτητα μονώνυμο. Ασκήσεις 1. Να αντιστοιχίσετε τα δεδομένα της 1 ης στήλης με τα δεδομένα της ης στήλης Στήλη Α α) β) 4. Στήλη Β 1. 4 8 4. 6 Σελίδα 10 από 0
γ) 4 4. δ) 4 :. ε) 4 : 4 6. 6 7. Δεν γίνεται πράξη α. β. γ. δ. ε.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με ( Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λάθος α. Το γινόμενο όμοιων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο προς αυτά. β. Το άθροισμα όμοιων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο προς αυτά. γ. Το πηλίκο όμοιων μονωνύμων είναι μονώνυμο.. Να υπολογίσετε τα γινόμενα α) γ) β) ( ) 4. Να υπολογίσετε τα πηλίκα. α) 1 : 4 4 β) 6 4 :. Να συμπληρώσετε τις ισότητες : χ α α) 6 :... = β)... = 1 4 γ)... 6. Να βρείτε τις τιμές των κ, λ ώστε να ισχύουν οι ισότητες : α) 1 : 1 1 1 β) 4 : 1 7. Να βρείτε τις τιμές των κ, λ, μ ώστε να ισχύουν οι ισότητες : α) 1 Σελίδα 11 από 0
β) 4 1 : 8. Δύο κύκλοι έχουν ακτίνες χ και 4χ αντίστοιχα. Να βρεθεί η α- κτίνα του κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο αρχικών κύκλων. Σελίδα 1 από 0
1. Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Διδακτικοί στόχοι Να διακρίνω αν μια αλγεβρική παράσταση είναι πολυώνυμο, να προσδιορίζω το βαθμό του και να γνωρίζω πότε δύο πολυώνυμα είναι ίσα. Μαθαίνω να προσθέτω και να αφαιρώ πολυώνυμα. Χρησιμοποιώ την αναγωγή ομοίων όρων για την απλούστερη γραφή μιας αλγεβρικής παράστασης. Ασκήσεις 1. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. α. Πολυώνυμο λέγεται μια. παράσταση που είναι.. τουλάχιστον δύο μη ομοίων πολυωνύμων. β. Δύο πολυώνυμα είναι ίσα, όταν έχουν όρους.. μονώνυμα.. γ. Αν το πολυώνυμο P() είναι ου βαθμού τότε έχει τη μορφή P() =. και. δ. Η τιμή του πολυωνύμου για χ = 1 είναι ίση με το των συντελεστών του. ε.το. πολυώνυμο δεν έχει βαθμό.. Να γίνουν οι αναγωγές ομοίων όρων στις ακόλουθες παραστάσεις : 4 4 Α = 7 6 7 9 1 Β = a a 7a 9a 11a Γ = () 7( ). Αν P() 1, Q() 1 και H (), να βρεθούν τα πολυώνυμα : α) P()() H β) P()() Q γ) P()()() Q H δ) P()( ) Q 4. Αν P() 1 και Q(), να βρεθούν τα πολυώνυμα : α) P()() Q β) P()() Q γ) P()() Q δ) P()( ) Q. Αν των A() 1 και B() a, να βρείτε τις τιμές α, β, γ, ώστε τα πολυώνυμα Α(χ) και Β( χ) να είναι ίσα. 6. Αν P() 4 και P()() Q0 Q() 6 9 να αποδείξετε ότι : Σελίδα 1 από 0
Σελίδα 14 από 0
1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων Διδακτικοί στόχοι Μαθαίνω να πολλαπλασιάζω μονώνυμο με πολυώνυμο και πολυώνυμο με πολυώνυμο. Ασκήσεις 1. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. P() και Q() a 6 είναι ίσα, Τα πολυώνυμα όταν : α) α =1 και β = β) α = και β = γ) α =1 και β=- δ) α=- και β =1. Αν P() 1 και Q(), να βρείτε τα πολυώνυμα : α) P()() Q β) P()() Q( 1) γ) P() 1() Q. Αν P() 4 1 και Q() a τις τιμές των α, β, γ,δ ώστε τα πολυώνυμα να είναι ίσα. 4. Να κάνετε τις πράξεις : 1 α) β) γ) ( )( 1)(1 ) δ) 1()( 1) ε), να βρείτε 1( ) 1( ). Να υπολογίσετε το γινόμενο (χ+)(χ+) και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά βλέποντας το διπλανό σχήμα. 6. Να αποδείξετε τις ισότητες : α) ( 1)(6 1)(1) 1 β) ( ) ()( ) 4 χ 6 χ χ χ 7. Να παραστήσετε με ένα πολυώνυμο το εμβαδόν Ε1 του διπλανού σχήματος. χ+ χ+1 χ Ε1 χ+ Σελίδα 1 από 0
8. Με ποιο πολυώνυμο πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το χ -, ώστε το γινόμενό τους να είναι το πολυώνυμο 10 9. Σελίδα 16 από 0
1. Αξιοσημείωτες ταυτότητες Διδακτικοί στόχοι Γνωρίζω πότε μια ισότητα λέγεται ταυτότητα. Γνωρίζω τις βασικές ταυτότητες. Μπορώ να αποδεικνύω και να χρησιμοποιώ τις βασικές ταυτότητες. Αποδεικνύω άλλες απλές ταυτότητες. Εφαρμογή 1 η Να αποδείξετε ότι : α β α βα β α - β αβ α βα β A Μέλος : α β α β α β α - β α αβ β α β α αβ β = α αβ β α β α αβ β = α 4αβ β Β Μέλος : αβ α βα β αβ α αβ β α 4αβ β Επειδή καταλήγουμε στην ίδια παράσταση η ταυτότητα ισχύει. Εφαρμογή η Αν α + β = 1 να αποδείξετε ότι : α β αβ 1 Είναι : α β αβ α β αβ(α β) αβ 1 αβ 1 αβ 1 Εφαρμογή η Να τραπεί το κλάσμα ( ) ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ( ) λόγω της (1) σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή. ( ) I Δύο πολύ χρήσιμες ταυτότητες α β α (α β) β αβ (α β) αβ(α β) Ασκήσεις 1. Για τους οποιουσδήποτε αριθμούς χ, ψ να αντιστοιχίσετε σε κάθε έκφραση της στήλης Α τη συμβολική γραφή από τη στήλη Β Σελίδα 17 από 0
Στήλη Α Στήλη Β α. Το διπλάσιο γινόμενό τους 1. β. Το τετράγωνο του αθροίσματος τους. χψ γ. Το άθροισμα των τετραγώνων τους. δ. Το τετράγωνο του γινομένου τους. 4. ε. Το διπλάσιο του αθροίσματός τους.. στ. Το διπλάσιο του τετραγώνου του αθροίσματός τους. 6.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με ( Σ ) αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. 1... 4.. 6.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με ( Σ ) αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. 1... 4.. 4. Να βρείτε το τελικό αποτέλεσμα στις παρακάτω παραστάσεις : α) 7 β) γ) δ) ε) 1 1 4. Να συμπληρώσετε τις ισότητες : 1........ +... +......... 9 1.... Σελίδα 18 από 0
...... 0... 4. 6. Να κάνετε τις πράξεις : α) 1 β) 1 γ) 1 δ) 1 1 7. Να αποδείξετε α + τις β ταυτότητες α - β : 4 i. α -1 α - 1 1 ii. 4 iii. αχ + iv. 1 4 8. Να κάνετε τις πράξεις : α) 1 β) 10 1 1 6 6 9 9. Να αποδείξετε α + τις β ταυτότητες α - β : 6 i. α -1 α - 1 4 1 4 ii. 10. Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα, που έχουν άρρητους παρονομαστές σε ισοδύναμα κλάσματα με ρητούς παρονομαστές. 1 17 α) β) γ) 1 1 11. Να κάνετε τις πράξεις : 7 7 α) β) 1 1 1 γ) 4 δ) 1 1 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα : 4 1 1 α) β) γ) 1 9 1 1. Αν α + β = - και αβ = -, να υπολογίσετε τις παραστάσεις 14. Αν α) β) γ) 1 4 να υπολογίσετε τις παραστάσεις : Σελίδα 19 από 0
1 1 α) β) 6 1. Αν και να δείξετε ότι οι αριθμοί α, β είναι 8 αντίστροφοι. 16. Δείξτε ότι ο αριθμός 187 17 είναι πολλαπλάσιο του 1 17. Αν 11, 11, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : Α= 18. Να δείξετε ότι η παράσταση Α= 4 1 4 είναι ανεξάρτητη των χ,ψ. 19. Αν () τι συμπεραίνετε για τους α, β ; 0. Να απλοποιήσετε την παράσταση :Κ = και στη συνέχεια να να υπολογίσετε την παράσταση : ( α β) α β 1000 999 1000 ( ) 999 1000 999 1000 999 Σελίδα 0 από 0
1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Διδακτικοί στόχοι Μετατρέπω αλγεβρικές παραστάσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Α) Κοινός παράγοντας π.χ. i. ii. 1 1 Β) Κοινός παράγοντας κατά ομάδες ( Ομαδοποίηση ) π.χ. 1 i. 1 ii. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Γ) Διαφορά τετραγώνων α β α β(α β) π.χ. 4 1 1 1 1 Δ) Διαφορά άθροισμα κύβων α β α β (α αβ β ) α β (α αβ β π.χ. α 7 α α α α α α α 9 α ) i. ii. 8χ 1 χ 1 χ 1 χ Ε) Ανάπτυγμα τετραγώνου α β α αβ β π.χ. α 4α 4 α α χ 11 χ 1 4χ χ 1 α β α αβ β α i. ii. χ 0χψ 9ψ χ χ ψ ψ χ ψ Στ) Παραγοντοποίηση τριωνύμου της μορφής : () a a π.χ. α) 1 1 1 Δηλ. βρίσκουμε δύο αριθμούς που έχουν γινόμενο και άθροισμα Σελίδα 1 από 0
Οι αριθμοί είναι το 1 και το. 1 Άρα β) Ζ) Συνδυασμός των προηγούμενων περιπτώσεων π.χ. 4 ψ Ασκήσεις χψ 4 χ ψ χψ 4 χ ψ χψ χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ 1. Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις : 4 4 i. 1a a 0a ii. ( )( ) 1 y 6y y y a y y 4a y y a iii. iv.. Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις : i. α βψ βχ αψ ii. 4 1 iii. 4α αβ 0β β iv. 8 4 1 v. α( 1) α 6 1 6 ( )( ) vi. α β α β. Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις : i. 40y 16y ii. iii. y 10y iv. 16 6y 49y 9a 6a 4. Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις : v. 4 a 1 vi. α 16β γ vii. a viii. 4 8 4 i. α 4 8α. 4 1. Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις : i. 1ψ ii. 16 Σελίδα από 0
iii. 7 8 iv. 1 1 100α 4 α 1 vi. 4 4 1 v. 6. Να γίνουν γινόμενα τα παρακάτω τριώνυμα : i. iii. ii. 10 4 4 iv. 14 7. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : Α = 4, Β = και Α Β. 8. Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις : i. iii. α α αβ β ii. χ 6αχ 9α ψ αβ β α β iv. 4 4 v. χ 4χψ 4ψ 9 vi. 6 9 ψ ψ 1 9. Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις : a i. 4 y y iii. a v. 1 4a ii. iv. vi. 4 4 a 7a 0y 10. Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις : i. y a y iii. a a 4 4 v. ii. y 9y 9 iv. y 1 9 4 y y 11. Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις : 6 1 10 1 ii. 4 i. a 9 a iii.. 1. α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση : β) Να λύσετε την εξίσωση : 4 1 1 1. α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση : β) Αν για τους άνισους αριθμούς α, β ισχύει : να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι. Σελίδα από 0
1.7 Διαίρεση πολυωνύμων Διδακτικοί στόχοι Μαθαίνω να βρίσκω το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης δύο πολυωνύμων και να γράφω την αντίστοιχη ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. Μπορώ να αποδεικνύω πότε ένα πολυώνυμο είναι παράγοντας ενός άλλου πολυωνύμου. Εφαρμογή 1 η Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης P() : δ() όπου 4 4 1. και Στη συνέχεια να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. 4 4 1 4 1 1 Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι : 4 4 1 1 = Εφαρμογή η Να δείξετε ότι το πολυώνυμο P() = 9 + 1-4 Είναι : είναι παράγοντας του πολυωνύμου και να βρείτε τον άλλον παράγοντα του P(). 4 4 Για να είναι το παράγοντας του P() πρέπει το υπόλοιπο της διαίρεσης P(): να είναι 0. 9 + 1-4 8-8 + 4-4 - 4 + 4 0 χ-1. - 4 + 4 1 Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι : P() = ( 1) και έτσι ο άλλος παράγοντας του P() είναι το πολυώνυμο Σελίδα 4 από 0
1.8 Ε.Κ.Π. Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων Μαθαίνω να βρίσκω το Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών Παραστάσεων( μονωνύμων και πολυωνύμων ). Εφαρμογή 1 η Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα γράφοντας σε κάθε κενό το ΜΚΔ των παραστάσεων Α, Β. αβ Β Α αβγ β α β 6 αβ αβ β αβ γ αβ 4 αβγ β α γ α αγ 1 Εφαρμογή η Να αβρείτε -α το ΕΚΠ α -4α+ και το ΜΚΔ των παρακάτω παραστάσεων,, α -α+ Είναι α -α=α α 1 ( 1)( 1) α -4α+= α 1 1 α -α+= α-1 Άρα : ΕΚΠ = 6 1 1 1 ΜΚΔ = α-1 Ασκήσεις 1. Να α ψ βρείτε το α ΕΚΠ ψ και το ΜΚΔ α των παρακάτω παραστάσεων Α), 4, 6 Β) -1, Γ) α-β, Δ) 4, 1, α +β -αβ, α β ψ - 4ψ + 4ψ, 8 Σελίδα από 0
1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις. Μαθαίνω πότε μια παράσταση λέγεται ρητή και πότε ορίζεται. Μαθαίνω να απλοποιώ ρητές αλγεβρικές παραστάσεις. Ασκήσεις 1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α τις τιμές της μεταβλητής της από την στήλη Β, για τις ο- ποίες ορίζεται. Στήλη Α α. β. 1 γ. δ. 9 ε. 9 Στήλη Β 7. 8. 0 και 9. και 10. 11. ή 1. Οποιοσδήποτε αριθμός α β γ δ ε. Να βρείτε πότε ορίζονται οι ακόλουθες ρητές παραστάσεις : α) β) 7 6 a 1 γ) a 1 a 6 δ). Να αντιστοιχίσετε σε κάθε κλάσμα της 1 ης γραμμής το αντίστοιχό του απλοποιημένο κλάσμα από τη η γραμμή. α) i. 1 ii. β) 1 1 1 γ) δ) 1 iii. 1 iv. 1 v. 4. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : 4 i. ii. 1 iii. 9 4 Σελίδα 6 από 0
iv. 6 9 6 v. 1 1. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : 1 i. iv. ii. v. 6 iii. 1 ( 1) 1 Σελίδα 7 από 0
1.10 Πράξεις ρητών παραστάσεων. Α. Πολλαπλασιασμός Διαίρεση Μαθαίνω να πολλαπλασιάζω και να διαιρώ αλγεβρικές παραστάσεις. Μαθαίνω να μετατρέπω σύνθετα κλάσματα σε απλά. Εφαρμογή 1 η Να κάνετε τις πράξεις : 1 1 0 4 4 4 4 4 0 1 1 1 4 4 1 1 : 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ασκήσεις 1. Να υπολογίσετε τα γινόμενα : 1 ( 1) 1 1 i. iii. 6 1 6 1 ii. iv. 1 49 7 10 1 6 1. Να κάνετε τις διαιρέσεις : i. iv. a : 4 a 4 6 : ii. v. : 6 49 7 : iii. 1 6 : 8 9. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : Σελίδα 8 από 0
i. 6 1 iii. ii. 1 4 Β. Πρόσθεση Αφαίρεση ρητών παραστάσεων Μαθαίνω να προσθέτω και να αφαιρώ ρητές αλγεβρικές παραστάσεις. Προσοχή!!! () β Εφαρμογή 1 η Να υπολογίσετε την παράσταση : Α= 1 1 Α= 1 = Παραγοντοποιούμε τους 1 παρανομαστές = 1 = 1 1 1 = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών και βάζουμε τα «καπελάκια». = 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 Ασκήσεις 1. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις :. i. 1 ii. 1 1 1 Σελίδα 9 από 0
iii. 1 a a a 1 v. 1 1 4 1 iv. 4 6. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : i. β 1 1 β β ii. iii. β -β 1 1 : β β β iv. v. a β αβ 1 1 β 4. Να αποδείξετε ότι : 1 1 1 1 1 1 Σελίδα 0 από 0