26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση 0. ) Γενικά για την Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση ( Η.Μ.Κ.) Η µελέτη ενός ηλεκτρικού δικτύου γίνεται πρώτιστα στο στο πεδίο του χρόνου. Όλα τα µεγέθη, µε τα οποία περιγράφεται η συµπεριφορά του ηλεκτρικού δικτύου, ( τάσεις, ρεύµατα κ.λ.π.) εκφράζονται σαν συναρτήσεις του χρόνου. Οι συναρτήσεις αυτές δεν υφίστανται κανένα περιορισµό και µπορούν να έχουν οποιαδήποτε µορφή. Η µελέτη ενός ηλεκτρικού δικτύου στο πεδίο του χρόνου παρέχει µεγάλη φυσική εποπτεία. Υπάρχει όµως και µία διαφορετική µέθοδος ανάλυσης δικτύων και συστηµάτων στην οποία γίνεται η ακόλουθη παραδοχή: Η χρονική εξάρτηση όλων των µεγεθών είναι, αποκλειστικά, της µορφής: α ( ) = Α m sin ( ω φ ) όταν ισχύει η ειδική αυτή παραδοχή, τότε θεωρούµε ότι το δίκτυο βρίσκεται στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση ( Η.Μ.Κ.) Η ηµιτονοειδής χρονική εξάρτηση όλων των τάσεων και των ρευµάτων ενός δικτύου µπορεί, αρχικά, να φαίνεται περιοριστική, λόγω όµως της µεγάλης σπουδαιότητας της ηµιτονοειδούς συναρτήσεως στις πρακτικές εφαρµογές ( π.χ. εναλλασσόµενο ρεύµα) καλύπτει ένα σηµαντικότατο πεδίο µελέτης των ηλεκτρικών δικτύων και συστηµάτων γενικότερα. 0.2 ) Παραστατικοί µιγαδικοί ( phasrs ) Με βάση την παραδοχή της ηµιτονοειδούς χρονικής εξάρτησης έχει αναπτυχθεί µια µαθηµατική µεθοδολογία η οποία µπορεί να περιγράψει µε αρκετά απλό τρόπο την συµπεριφορά δικτύων και συστηµάτων. Πρόκειται για την µεθοδολογία των παραστατικών µιγαδικών, η στροφέων, ή phasrs. Η ηµιτονοειδής συνάρτηση: α ( ) = A m sin ( ω φ ) Μπορεί να παρασταθεί από τον στρεφόµενο µιγαδικό αριθµό: A ( ) = A m j ( ω ϕ ) = A m Ο A ( ) αποκαλείται και στροφέας ή phasr και ισχύει α ( ) = m { A ( ) } 26
27 Όπως εξηγήθηκε στην παράγραφο 9.2 στην έκφραση του A ( ) είναι δυνατόν να απαλειφθεί ο όρος j ω (χρονική εξάρτηση) και έτσι να προκύψει ο σταθερός µιγαδικός αριθµός: A = A m. Αρα λοιπόν η ηµιτονοειδής συνάρτηση α ( ) = A m sin ( ω φ ) µπορεί, εξ ίσου, να παρασταθεί από τον σταθερό µιγαδικό αριθµό A = A m αντί του j ( ω ϕ ) A ( ) = A m. Ο µιγαδικός A = A m συνηθίζεται να γράφεται και ως: A = A ( ω ) = A m θεωρώντας βέβαια γνωστή την κυκλική συχνότητα ω στην οποία αναφερόµαστε. ι πράξεις µεταξύ ηµιτονοειδών συναρτήσεων ανάγονται σε πράξεις µεταξύ µιγαδικών αριθµών. Έτσι πολύπλοκες τριγωνοµετρικές εκφράσεις αντικαθίστανται από απλή µιγαδική άλγεβρα. Αντίστροφα, όπως προαναφέρθηκε, αν είναι γνωστός ο A = A m, και η κυκλική συχνότητα ω, τότε η ηµιτονοειδής συνάρτηση α ( ) που περιγράφει ο A, προκύπτει από τη σχέση: j ω j ϕ { A } = m{ A } = A sin ( ω ϕ ) α ( ) = m m m Συνοψίζουµε εδώ όλα τα προηγούµενα: α) Η µελέτη ενός δικτύου ή ενός συστήµατος, στην Η.Μ.Κ. προϋποθέτει την παραδοχή ότι όλα τα δυναµικά µεγέθη ( δηλ. τα µεγέθη που είναι συναρτήσεις του χρόνου) έχουν την µορφή α ( ) = A m sin ( ω φ ) β) Για την µαθηµατική περιγραφή του δικτύου ή του συστήµατος χρησιµοποιείται η µεθοδολογία των παραστατικών µιγαδικών ( phasrs ). Αυτό αποτελεί σηµαντικό πλεονέκτηµα. γ) Είναι προφανές ότι κάνοντας την παραδοχή χρονικής εξάρτησης αποκλειστικά της µορφής α ( ) = A m sin ( ω φ ) περιορίζεται σηµαντικά το εύρος των δυνατών καταστάσεων που µπορούν να µελετηθούν. Πιο συγκεκριµένα στην Η.Μ.Κ. δεν µπορούν να µελετηθούν µεταβατικά φαινόµενα αλλά µόνον η αποκριση µόνιµης κατάστασης του δικτύου ή του συστήµατος. 27
28 δ) Είναι δυνατόν, µε χρήση της ανάλυσης Furir, να µελετηθούν και περιπτώσεις µε χρονικές εξαρτήσεις µη ηµιτονοειδείς αλλά πάντοτε στη µόνιµη κατάσταση ( Αυτό θα γίνει καλλίτερα κατανοητό σε επόµενο κεφάλαιο ) Αναφέρουµε τέλος ότι η γνώση µόνον της µόνιµης απόκρισης ενός δικτύου ή συστήµατος είναι αρκετή σε πολλές περιπτώσεις εφαρµογών ( π.χ. ανάλυση κυκλωµάτων εναλλασσοµένου ρεύµατος). Εκεί ακριβώς βρίσκεται και η µεγάλη αξία της µελέτης στην Η.Μ.Κ. λόγω και της µαθηµατικής της απλότητας. 0.3 ) ιανυσµατικά διαγράµµατα στην Η.Μ.Κ. Κατά την µελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Η.Μ.Κ. χρησιµοποιούνται πολύ συχνά τα λεγόµενα διανυσµατικά διαγράµµατα. Οι στρεφόµενοι µε την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω παραστατικοί µιγαδικοί (phasrs) σχεδιάζονται στο µιγαδικό επίπεδο ως διανύσµατα µε αρχή την αρχή των αξόνων και πέρας το σηµείο που παριστά τον µιγαδικό αριθµό. Προφανώς τα διανύσµατα αυτά στρέφονται (αντι- ωρολογιακά) και στο σχετικό διάγραµµα απεικονίζεται µια χρονική στιγµή ( ένα στιγµιότυπο) από την περιστροφική τους κίνηση! Για όλα τα διανύσµατα που έχουµε, σε ένα κοινό διάγραµµα, ισχύει η θεµελειώδης σχέση: -Οι γωνίες µεταξύ των διανυσµάτων ΕΝ αλλάζουν καθώς κυλά ο στρέφονται όλα µε το ίδιο ω. χρόνος, διότι προφανώς Αυτό σηµαίνει ότι µπορούµε να κάνουµε χρήση όλων των κανόνων της διανυσµατικής άλγεβρας για προσθέσεις και αφαιρέσεις διανυσµάτων ( Προσοχή! όχι γινόµενα και πηλίκα) Τα παραπάνω θα γίνουν καλλίτερα κατανοητά µε το παράδειγµα που ακολουθεί: 28
29 Παράδειγµα Έστω δύο ηµιτονοειδείς συναρτήσεις α ( ) και α 2 ( ) όπου: α ( ) = 5sin ( 0 32 ) και α2 ( ) = 8sin ( 0 47 προφανώς θα έχουµε εδώ ω = 0 rad / sc µέσα στις παρενθέσεις «ανακατεύονται» µοίρες µε ακτίνια αλλά αυτό γίνεται σε όλα τα βιβλία για λόγους εποπτικούς Χρησιµοποιώντας τον κανόνα µετατροπής µιας γωνίας φ από µοίρες σε ακτίνια: φ (σε ακτίνια) = φ ( σε µοίρες) / (80/π) ) ή φ (σε ακτίνια) = φ ( σε µοίρες) / 57.2958 µπορούµε να γράψουµε: α ( ) = 5sin ( 0 0.5585 ) και α 2 ( ) = 8sin ( 0 0.8203 ) Βρίσκουµε τους παραστατικούς µιγαδικούς ( phasrs ) A και Α2 των α ( ) και α 2 ( ) α α ( ) = 5sin ( 0 32 ) Α = 5 j 32 j 47 2 ( ) = 8sin ( 0 47 ) Α2 = 8 Όπως προαναφέρθηκε ο παραστατικός µιγαδικός του αθροίσµατος α ( ) και α 2 ( ) θα είναι το άθροισµα των παραστατικών µιγαδικών A και Α2, άρα: j32 j 47 A Α2 = 5 8 = 4.2402 j 2.6496 5.4560 j 5.8508= 9.6962 j 3.202 όπου εποµένως: A j8.27 Α2 = 9.6962 j 3.202= 0.20 α ( ) α 2 ( ) = 5sin ( 0 32 ) 8sin ( 0 47 ) = 0.20 sin (0 8.27 ) 29
30 Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται το διανυσµατικό διάγραµµα των A, Α 2 και A Α2 m 5 A = 5 j 32 ω=0 rad/ sc 0 32 47 5 0 8.27 A j8.27 A2= 0.2 5 A j 47 2= 8 Ο στρεφόµενος µιγαδικός A Α2 προκύπτει ως το διανυσµατικό άθροισµα των A και Α2 30
3 Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι ηµιτονοειδείς συναρτήσεις α ( ), α 2 ( ) και α ( ) α 2 ( ) α ( ) α 2 ( ) α ( ) α2 ( ) τ τ=0.379sc 0 0.2 0. 4 0. 6 0. 8. T ( sc ) 2π 2π Η περίοδος T = = = 0.6283 sc ω 0 Μετρώντας το χρονικό διάστηµα τ το οποίο απέχουν δυο κορυφές των α ( ) και α 2 ( ) βλέπουµε ότι είναι τ = 0.379 sc. Άρα η διαφορά φάσεως µεταξύ τους θα είναι: φ = ( τ / Τ ) 360 ο = 0.295x 360 = 79 µε την α ( ) να προηγείται. Αυτό επαληθεύεται αµέσως από την αφαίρεση 32 ο -(-47 ο ) = 79 ο 0.4 ) Σχέσεις τάσεως ρεύµατος των τριών βασικών ηλεκτρικών στοιχείων στην Η.Μ.Κ. Παρακάτω διατυπώνονται για τα τρία βασικά ηλεκτρικά στοιχεία οι σχέσεις τάσεως ρεύµατος στην Η.Μ.Κ. Οι σχέσεις αυτές, όπως είναι φυσικό, προκύπτουν απ ευθείας από τις αντίστοιχες σχέσεις που ισχύουν στο πεδίο του χρόνου, θέτοντας την βασική παραδοχή ότι όλα τα µεγέθη ( τάσεις ρεύµατα) έχουν ηµιτονοειδή µορφή. 3
32 0.4. ) Ωµική αντίσταση Στο πεδίο του χρόνου: ( ) i ( ) = Θεωρούµε ότι i ( ) = m sin ( ω φ ) άρα ο phasr θα είναι και ( ) = i ( ) = m sin ( ω φ ) άρα ο phasr θα είναι = m = m = Στα παρακάτω σχήµατα φαίνεται το διανυσµατικό διάγραµµα των συναρτήσεις ( κυµατοµορφές) ( ) και i ( ), καθώς και οι m ϕ ( ) i ( ) T Παρατηρούµε ότι τα µεγέθη ( ) και i ( ) έχουν την ίδια φάση σε κάθε χρονική στιγµή 32
33 0.4.2 ) Πηνίο µε αυτεπαγωγή Στο πεδίο του χρόνου: ( ) = d i ( ) d Θεωρούµε ότι i ( ) = m sin ( ω φ ) άρα ο phasr θα είναι d i ( ) και ( ) = = ω m cs ( ω φ ) = ω m sin ( ω φ π/2 ) d = m άρα ο phasr θα είναι: π j ( ϕ ) 2 =ω = = m m Στα παρακάτω σχήµατα φαίνεται το διανυσµατικό διάγραµµα των, καθώς και οι συναρτήσεις ( κυµατοµορφές) ( ) και i ( ) m i i ( ) ( ) ( ) T Παρατηρούµε ότι στο πηνίο η τάση ( ) προηγείται του ρεύµατος i ( ) κατά 90 ο 33
34 0.4.3 ) Πυκνωτής µε χωρητικότητα Στο πεδίο του χρόνου: i ( ) = d ( ) d Θεωρούµε ότι ( ) = m sin ( ω φ ) άρα ο phasr θα είναι = d ( ) και i ( ) = = ω m cs ( ω φ ) = ω m sin ( ω φ π/2 ) d m άρα ο phasr θα είναι: π j ( ϕ ) 2 =ω = = m m Στα παρακάτω σχήµατα φαίνεται το διανυσµατικό διάγραµµα των συναρτήσεις ( κυµατοµορφές) ( ) και i ( ) m, καθώς και οι ( ) i ( ) T Παρατηρούµε ότι στον πυκνωτή το ρεύµα i ( ) προηγείται της τάσεως ( ) κατά 90 ο 34
35 0.5 ) Σύνθετη αντίσταση στην Η.Μ.Κ. Ακριβώς όπως και στο πεδίο του χρόνου µπορούµε και στην Η.Μ.Κ. να σκεφτούµε έναν «γενικευµένο» νόµο του hm σύµφωνα µε τον οποίο σε ένα ηλεκτρικό στοιχείο ορίζεται η γενικευµένη σύνθετη αντίσταση Z ( ) ( ή και απλά Z ( ω ) ) Z Z ( ω ) = ( hm ) και η γενικευµένη σύνθετη αγωγιµότητα Y( ω ) Y( ω ) = Z ( ω ) = ( hm - ) Για τα τρία βασικά παθητικά ηλεκτρικά στοιχεία θα είναι: Ωµική αντίσταση Z ( ω ) = Y ( ω ) = = = Πηνίο Z ( ω ) = = Y ( ω ) = = Πυκνωτής Z ( ω ) = = Y ( ω ) = = 35
36 Αν θεωρήσουµε συνδεσµολογίες δύο ακροδεκτών Α-Β, αποτελούµενες από τα βασικά στοιχεία,, µπορούµε να υπολογίσουµε την συνολική γενικευµένη σύνθετη αντίσταση Z ( ω ). Ισχύουν και εδώ όλοι οι κανόνες σύνθεσης αντιστάσεων που είναι γνωστοί από τη στοιχειώδη θεωρία κυκλωµάτων. Παρακάτω αναφέρουµε δύο παραδείγµατα: α) Να βρεθεί η ( ω ) Z AB A B Z AB ( ω ) = = j ( ω ω ) β) Να βρεθεί η ( ω ) Z AB A B Z AB ( ω ) = = = Γενικά µπορούµε να γράψουµε: A Z AB B άν = m και = m m j ( ϕ ) Τότε ZAB ϕi = = = AB j X AB m Στην περίπτωση που το στοιχείο Z αποτελείται µόνον από παθητικά στοιχεία,, τότε το πραγµατικό µέρος AB και το φανταστικό µέρος X AB µπορούν να γραφούν σαν ρητές συναρτήσεις ( πηλίκα πολυωνύµων ) του ω, δηλαδή: Z AB ( ω) j X ( ω) = ZAB ( ω ) = AB AB 36