Εξισώσεις ικτύων. t t 0, τότε µπορούµε να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις του για κάθε t t 0.

Transcript

1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα ηλεκτρικά στοιχεία είναι εξιδανικευµένα µοντέλα των φυσικών διατάξεων, παθητικών ή ενεργών, που καθορίζονται µέσω των αντίστοιχων σχέσεων εισόδουεξόδου. Στο Σχ..6 φαίνονται τα παθητικά στοιχεία, και και οι πηγές τάσης και ρεύµατος. Τα ενεργά στοιχεία (εξαρτηµένες πηγές) θα παρουσιαστούν αργότερα. Ένα κύκλωµα ή δίκτυο είναι ένας συνδυασµός στοιχείων συνδεδεµένων σε εξωτερικές πηγές. Οι πηγές είναι οι είσοδοι. Οι προκαλούµενες τάσεις ή ρεύµατα σε διάφορα µέρη του δικτύου είναι οι έξοδοι ή αποκρίσεις του. Ένα δίκτυο είναι µία ειδική µορφή ενός αναλογικού συστήµατος, π.χ. ένα σύστηµα του οποίου οι είσοδοι και οι έξοδοι είναι σήµατα συνεχούς χρόνου. Η ανάλυση δικτύων είναι ο προσδιορισµός των αποκρίσεων ενός δοσµένου δικτύου. Η σύνθεση δικτύων είναι η σχεδίαση ενός συστήµατος που παράγει καθορισµένες εξόδους για δοσµένες εισόδους. Η κατάσταση ενός δικτύου για συγκεκριµένη χρονική στιγµή = είναι το σύνολο των τιµών των ρευµάτων όλων των πηνίων και των τάσεων όλων των πυκνωτών για =. Αν γνωρίζουµε την κατάσταση ενός δικτύου για = και όλες τις εισόδους του για, τότε µπορούµε να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις του για κάθε. Η αρχική κατάσταση (iniial ae) ενός δικτύου είναι η κατάστασή του για = όπου η αρχή του χρόνου = είναι µία κατάλληλα επιλεγµένη χρονική στιγµή. Η αρχική κατάσταση καθορίζει την αποθηκευµένη ενέργεια στο δίκτυο για = (Πρόβληµα.24). Ένα δίκτυο βρίσκεται στη µηδενική αρχική κατάσταση αν η αρχική του κατάσταση είναι µηδέν, π.χ. αν τα ρεύµατα όλων των πηνίων και οι τάσεις όλων των πυκνωτών για = είναι µηδέν. Η αποθηκευµένη ενέργεια ενός δικτύου στη µηδενική κατάσταση είναι µηδέν. Αν ένα δίκτυο είναι στη µηδενική αρχική κατάσταση, τότε οι αποκρίσεις του για καλούνται αποκρίσεις µηδενικής κατάστασης (η λέξη "αρχική" παραλείπεται). Οι αποκρίσεις µηδενικής κατάστασης οφείλονται µόνο στις εξωτερικές πηγές. Αν όλες οι εξωτερικές πηγές ενός δικτύου είναι µηδενικές, τότε οι αποκρίσεις του για καλούνται αποκρίσεις µηδενικής εισόδου. ΟΙ αποκρίσεις µηδενικής εισόδου οφείλονται στην αποθηκευµένη ενέργεια στο δίκτυο. Εξισώσεις ικτύων Αν ο συνολικός αριθµός στοιχείων σε ένα δίκτυο είναι Μ, τότε το δίκτυο έχει 2Μ µεταβλητές: τις Μ τάσεις και τα Μ ρεύµατα όλων των στοιχείων. Για τον προσδιορισµό όλων αυτών των µεταβλητών χρησιµοποιούµε τη σχέση τάσηςρεύµατος κάθε στοιχείου και τις εξισώσεις που παράγονται από τους νόµους τάσεων και ρευµάτων του Kirchhoff. Στις περισσότερες περιπτώσεις οι διάφορες αποκρίσεις µπορούν να εκφραστούν απλά µε τη µορφή ενός µικρότερου αριθµού κυρίων (βασικών) µεταβλητών (primary variable ). Αρκεί τότε να προσδιορίσουµε πρώτα αυτές τις µεταβλητές από ένα κατάλληλο σύνολο εξισώσεων και να βρούµε όλους τους άλλους αγνώστους χρησιµοποιώντας τις σχέσεις ορισµού των στοιχείων. Για παράδειγµα, αν µία πηγή τάσης είναι η είσοδος σε ένα κύκλωµα,, σειράς, αρκεί να βρούµε το προκαλούµενο ρεύµα. //25.

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Οι κύριοι άγνωστοι σε ένα δίκτυο µπορούν να επιλεγούν µε διάφορους τρόπους. Οι ακόλουθοι τρεις είναι οι πιο κοινοί: ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (STATE VAIABES) Οι µεταβλητές κατάστασης είναι όλες οι ανεξάρτητες τάσεις πυκνωτών και ανεξάρτητα ρεύµατα πηνίων. Ικανοποιούν τις εξισώσεις κατάστασης που απορρέουν από τους νόµους τάσεων και ρευµάτων του Kirchhoff. ΡΕΥΜΑΤΑ ΒΡΟΧΩΝ (MESH UENTS) Ρεύµατα βρόχων είναι τα ρεύµατα όλων των ανεξάρτητων βρόχων. Ικανοποιούν τις εξισώσεις βρόχων (meh equaion) που απορρέουν από τους νόµους τάσεων του Kirchhoff. ΤΑΣΕΙΣ ΚΟΜΒΩΝ (NODE VOTAGES) Τάσεις κόµβων είναι οι τάσεις όλων των ανεξάρτητων κόµβων. Ικανοποιούν τις εξισώσεις κόµβων ( node equaion ) που απορρέουν από τους νόµους ρευµάτων του Kirchhoff. Ο όρος ανεξάρτητος όπως χρησιµοποιείται παραπάνω σηµαίνει ότι αυτές οι µεταβλητές δε σχετίζονται µεταξύ τους από τους νόµους του Kirchhoff. Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης είναι εξοικειωµένος µε τις ανεξάρτητες τάσεις κόµβων και τα ανεξάρτητα ρεύµατα βρόχων από προηγούµενα µαθήµατα ( D.. ή A.. κυκλώµατα). Για τις µεταβλητές κατάστασης ο όρος "ανεξάρτητος" σηµαίνει ότι οι τάσεις πυκνωτών δε σχηµατίζουν κλειστό βρόχο και τα ρεύµατα των πηνίων δε σχηµατίζουν κόµβο. Στα παρακάτω χρησιµοποιούµε διάφορα απλά παραδείγµατα για να σκιαγραφήσουµε τον υπολογισµό των εξισώσεων δικτύων για διάφορα σύνολα κυρίων αγνώστων. Στο επόµενο κεφάλαιο αναπτύσσουµε µεθόδους για τη λύση αυτών των εξισώσεων. Τα παραδείγµατα έχουν πηγές τάσης και ρεύµατος και παθητικά στοιχεία που καθορίζονται από σχέσεις τάσηςρεύµατος στους ακροδέκτες τους. ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΠΗΝΙΟ ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΠΗΓΗ ΤΑΣΗΣ õ () = i () i ( ) = Gõ () G= õ di () () = i ( ) = d õôdô ( ) i ( ) i dõ () () = õ ( ) = d iôdô ( ) õ ( ) e () = ãíùóôþ, áíåîüñôçôç ôïõ i () Γραµµικοί µετασχηµατισµοί αυτών είναι επίσης µεταβλητές κατάστασης..2 //25

3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΓΗ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ig () = ãíùóôþ, áíåîüñôçôç ôïõ õ() õ ( ) È ( ) e ( ) È ( ) È ( ) g v( ) Ó ÇÌÁ.6 Αρχικές Συνθήκες Για να καθορίσουµε τις αποκρίσεις ενός δικτύου για, χρειάζεται να ξέρουµε τις πηγές του και τις αρχικές του συνθήκες (iniial coniion), π.χ. τις αρχικές τιµές των µεταβλητών κατάστασης (τάσεις πυκνωτών και ρεύµατα πηνίων). Ακολουθεί παρακάτω µία σύντοµη συζήτηση για τις ιδιότητες συνέχειας των αρχικών συνθηκών. Γενικά οι µεταβλητές κατάστασης είναι συνεχείς, δηλαδή οι τιµές τους είναι οι ίδιες µόλις πριν και λίγο µετά από τη στιγµή πού το κύκλωµα συνδέεται στις πηγές. Υπάρχουν όµως δύο εξαιρέσεις. Ασυµβατότητα µε τους νόµους του Kirchhoff. Αν δύο ή περισσότεροι πυκνωτές είναι συνδεδεµένοι έτσι ώστε να αποτελούν έναν κλειστό βρόχο, τότε για = (αµέσως µετά την αποκατάσταση της σύνδεσης) το άθροισµα των τάσεων τους θα πρέπει να είναι µηδέν. Αν δεν είναι µηδέν για = (µόλις πριν τη σύνδεση), τότε οι τάσεις πρέπει να αλλάξουν στιγµιαία. Όµοια, αν δύο ή περισσότερα πηνία είναι συνδεδεµένα έτσι ώστε να αποτελούν έναν ολόκληρο κόµβο, τότε για = το άθροισµα των ρευµάτων τους πρέπει να είναι µηδέν. Αν δεν είναι µηδέν για =, τότε τα ρεύµατά τους πρέπει να αλλάξουν πάλι στιγµιαία. Σε αυτές τις εξαιρετικές περιπτώσεις οι αρχικές συνθήκες δεν έχουν συνέχεια. Για να καθορίσουµε τις τιµές τους για = χρησιµοποιούµε την αρχή της διατήρησης του φορτίου ή ροής (Πρόβληµα.25). Κρουστικές Πηγές Αν οι πηγές σε ένα δίκτυο αποτελούνται όχι µόνο από συνηθισµένα σήµατα αλλά περιέχουν επίσης κρουστικές συναρτήσεις, τότε οι µεταβλητές κατάστασης του µπορούν να αλλάζουν στιγµιαία. Επεξηγούµε µε ένα απλό παράδειγµα. i g ( ) = ä ( ) g i ( ) S õ ( ) õ ( ) õ ( ) Ó ÇÌ Á. 7 //25.3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Στο Σχ..7 δείχνουµε ένα παράλληλο κύκλωµα συνδεδεµένο σε µία πηγή ρεύµατος ig (). Το κύκλωµα έχει µία µεταβλητή κατάστασης: την τάση õ() στα άκρα του πυκνωτή. Η τιµή της õ() για = είναι η αρχική συνθήκη. Από το νόµο ρευµάτων του Kirchhoff προκύπτει ότι : dõ () (.28) Gõ() = i g () d Αν η ig () είναι µία συνηθισµένη συνάρτηση, τότε õ ( ) = õ( ). Αν, όµως, η ig () είναι µία κρουστική συνάρτηση στην χρονική στιγµή =, δηλ. ig () = ä(), τότε η õ() είναι ασυνεχής στο = και η παράγωγος της πολλαπλασιασµένη επί ισούται µε ένα κρουστικό σήµα µοναδιαίου εµβαδού. Αλλά η παράγωγος µίας ασυνεχούς συνάρτησης είναι µία κρουστική συνάρτηση εµβαδού ίσου µε το άλµα ασυνέχειας õ( ) õ( ). Οπότε, õ( ) õ( ) και õ [ ( ) õ( )] = Αν, εποµένως, õ( ) =, τότε õ( ) = /. Έτσι, αν το κύκλωµα είναι στη µηδενική κατάσταση και είναι συνδεδεµένο σε µία πηγή ρεύµατος ä(), τότε το õ() αλλάζει στιγµιαία από σε /. Παραγόµενες αρχικές συνθήκες (Derived Iniial oniion) Επιπλέον των µεταβλητών κατάστασης του, ένα δίκτυο έχει επίσης διάφορες άλλες αποκρίσεις. Οι τιµές τους για = θα καλούνται παραγόµενες αρχικές συνθήκες. Οι τιµές των παραγόµενων αρχικών συνθηκών προσδιορίζονται από τις εξισώσεις του κυκλώµατος και γενικά εξαρτώνται και από τις πηγές. Επιπλέον, αντίθετα από τις αρχικές συνθήκες κατάστασης, µπορεί να είναι ασυνεχείς για =. Θεωρήστε, για παράδειγµα, το κύκλωµα του Σχ..7. Μία παραγόµενη αρχική συνθήκη είναι η τιµή του ρεύµατος του πυκνωτή i () = õ () για =. Υποθέστε ότι το κύκλωµα είναι στη µηδενική κατάσταση και i( ) =. Αφού õ( ) = και συµπεραίνουµε ότι i( ) = ( ). i g i () = i () õ () > g Συνεχίζουµε µε την ανάπτυξη των εξισώσεων δικτύων διαφόρων κυκλωµάτων. Παράδειγµα.2 (α) Ένα σε σειρά κύκλωµα οδηγείται από µία πηγή τάσης e έχει µία µεταβλητή κατάστασης: το ρεύµα του πηνίου i() µε την αρχική συνθήκη i( ) i τάσεων του Kirchhoff προκύπτει ότι το i() ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση di () d () (Σχ..8). Το κύκλωµα =. Από το νόµο (.29) i() = e() i( ) = i.4 //25

5 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Αυτή είναι η εξίσωση κατάστασης του κυκλώµατος. Είναι επίσης µία εξίσωση βρόχου γιατί το i ρεύµα βρόχου. Η λύση δίνει το i() αν το e() είναι γνωστό. () είναι ένα ΕΙ ΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Υποθέστε ότι e ()= Å= σταθερό. Σε αυτή την περίπτωση η λύση της (.29) είναι η συνάρτηση Å i () = ( e ) i e / / (.3) Θα δούµε πώς εξάγεται αυτό το απλό αποτέλεσµα στο επόµενο κεφάλαιο. Σηµειώνουµε εδώ µόνο το ότι µπορούµε εύκολα να δούµε µε απλή παρατήρηση ότι το i() ικανοποιεί την (.29) και η τιµή του για = ισούται µε i. Το ρεύµα i() µπορεί να γραφτεί ως ένα άθροισµα όπου i () = i() i () á E iá () = ( e ) iâ () = i e â / / Ο όρος iá () είναι η απόκριση µηδενικής κατάστασης του κυκλώµατος, π.χ. η απόκριση που οφείλεται στην πηγή e()= Å όταν i =. Ο όρος iâ () είναι η απόκριση µηδενικής εισόδου, π.χ. η απόκριση που οφείλεται στην αρχική συνθήκη i( ) i = όταν Å =. (β) Ένα σε σειρά κύκλωµα οδηγείται από µία πηγή τάσης e( ) (Σχ..8b). Το κύκλωµα έχει µία µεταβλητή κατάστασης õ( ) και την αρχική συνθήκη õ( ) = õ. Είναι φανερό πως õ () i () = e () (.3) όπου i() είναι το κοινό ρεύµα (ρεύµα βρόχου). Αφού i () = õ (), το παραπάνω δίνει την εξίσωση κατάστασης dõ () (.32) õ () = e () õ( ) = õ d e ( ) i ( ) ( a ) e ( ) Ó ÇÌÁ.8 i ( ) ( b) õ ( ) ΕΙ ΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Αν e( ) = E = óôáèåñü, τότε η λύση της (.32) είναι η συνάρτηση / / õ () = Å( e ) õe (.33) Αυτό µπορεί εύκολα να εξακριβωθεί. Είναι φανερό ότι //25.5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ όπου Ο όρος õá õ () = õ () õ () á / õ () = Å( e ) õ () = õ e á () είναι η απόκριση µηδενικής κατάστασης και ο όρος õ â â / â () είναι η απόκριση µηδενικής εισόδου. ΕΞΙΣΩΣΗ ΒΡΟΧΟΥ Εκφράζοντας την õ() σαν συνάρτηση του i i() ικανοποιεί την ολοκληρωτική εξίσωση i() iôdô () õ = e () (), συµπεραίνουµε από την (.3) ότι το (.34) Αυτή η εξίσωση µπορεί να αναχθεί σε µία συνηθισµένη διαφορική εξίσωση. Πράγµατι, διαφορίζοντας και τα δύο µέλη, παίρνουµε () () (.35) () = di d i de d Για να λύσουµε την (.35) χρειαζόµαστε την αρχική τιµή i( ) του i( ). Για να βρούµε το i( ) από την (.3) για = ότι e( ) õ õ( ) i( ) = e( ) από όπου παίρνουµε i( ) =., παρατηρούµε Αυτή είναι µία παραγόµενη αρχική συνθήκη, και εξαρτάται όχι µόνο από την αρχική συνθήκη õ του κυκλώµατος αλλά επίσης και από την αρχική τιµή e( ) της τάσης της πηγής e(). Παράδειγµα.3 Ένα σε σειρά κύκλωµα οδηγείται από µία πηγή τάσης e δύο µεταβλητές κατάστασης: την τάση του πυκνωτή v συνθήκες v( ) = v i( ) = i () (Σχ..9). Το κύκλωµα έχει ( ) και το ρεύµα του πηνίου i (), µε τις αρχικές,. Έχει ένα βρόχο και το ρεύµα βρόχου ικανοποιεί την εξίσωση βρόχου di () d i() i ( τ) d τ v = e () i ( ) = i (.36) Αυτή είναι µία ολοκληροδιαφορική εξίσωση πρώτου βαθµού. Μπορούµε να την αναγάγουµε σε µία συνηθισµένη διαφορική εξίσωση µε διαφόρηση: di 2 () di () d d i de() 2 () = d (.37) Για να λύσουµε την (.37) χρειαζόµαστε τις αρχικές συνθήκες i( ) και i ( ). Η πρώτη είναι η δεδοµένη αρχική συνθήκη κατάστασης i( ). Για να βρούµε το i ( ), θέτουµε = στην (.36). Αυτό δίνει i ( ) i( ) v = e( ) από το οποίο προσδιορίζουµε την παραγόµενη αρχική συνθήκη i ( ) = [ e( ) v i ].6 //25

7 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ e ( ) i ( ) õ ( ) Ó ÇÌÁ.9 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Οι µεταβλητές κατάστασης i() και v () ικανοποιούν τις εξισώσεις dv () = i () v( ) = v d di () i() v() = e() i( ) = i d Αυτό είναι ένα σύστηµα από δύο πρωτοβάθµιες διαφορικές εξισώσεις. (.38) Παράδειγµα.4 Το κύκλωµα του Σχ..2 έχει δύο µεταβλητές κατάστασης: την τάση του πυκνωτή v () και το ρεύµα του πηνίου i () µε τις αρχικές συνθήκες v( )= v, i( ) = i. Θα γράψουµε τις εξισώσεις κατάστασης και κόµβων του. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ dv () i () = ig ( ) v( ) = v d di () i() v() = i( ) = i d (.39) i ( ) g v ( ) v 2 ( ) i( ) Ó ÇÌÁ.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΟΜΒΩΝ Χρησιµοποιούµε, τώρα, ως κύριους αγνώστους τις τάσεις κόµβων v () και v2 (). Αφού v () = i(), συµπεραίνουµε από την (.39) ότι 2 dv () v2() = ig ( ) v( ) = v d dv2() v () v () = v ( ) = i d 2 2 (.4) Παράδειγµα.5 Το κύκλωµα του Σχ..2 έχει τρεις µεταβλητές κατάστασης: την τάση του πυκνωτή õ() και τα ρεύµατα των πηνίων i () και i2 (), µε τις αρχικές συνθήκες v ( ) = v, i( )= i, i2( )= i2. Θα γράψουµε τις εξισώσεις καταστάσεων και βρόχων του. //25.7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ di () i () v () = e ( ) d di 2() 2 i 2 2() v () = d i i dv () () 2() = d (.4) e ( ) v( ) 2 2 i ( ) i ( ) 2 Ó ÇÌÁ.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΒΡΟΧΩΝ Το κύκλωµα έχει δύο βρόχους µε ρεύµατα βρόχων i () και i τρίτης των εξισώσεων κατάστασης δίνει v () = [( i ) i ] d v τ 2( τ) τ 2( ). Η ολοκλήρωση της Αντικαθιστώντας στις δύο πρώτες εξισώσεις κατάστασης, παίρνουµε i di d i d () i d v e () ( τ) τ 2( τ) τ ( ) = ( ) (.42) i d di 2() i d i d v ( τ) τ ( τ) τ ( ) = Μιγαδικές Πηγές και ιανύσµατα Φάσης (Phaor) Οι πηγές ενός κυκλώµατος είναι πραγµατικές συναρτήσεις. Συχνά, όµως, είναι ευκολότερο να θεωρούµε πηγές που παριστάνονται από µιγαδικές συναρτήσεις. Αυτή η αφηρηµένη έννοια απλοποιεί την ανάλυση, ιδιαίτερα αν οι πηγές είναι αθροίσµατα ηµιτονοειδών κυµάτων και, όπως θα δούµε σε λίγο, οδηγεί στην έννοια των διανυσµάτων φάσης (phaor) όπως χρησιµοποιήθηκε στα µαθήµατα των κυκλωµάτων εναλλασσόµενου ρεύµατος (A..). Η απλοποίηση βασίζεται στα παρακάτω. Υποθέστε ότι η είσοδος σε ένα κύκλωµα είναι η µιγαδική συνάρτηση x () = x() jx() 2 Συµβολίζουµε µε y( ) την προκαλούµενη απόκριση µηδενικής κατάστασης. Η συνάρτηση y( ) ικανοποιεί µία διαφορική εξίσωση µε δεξιό µέλος x( ) και είναι γενικά µιγαδική: y () = y() jy() 2 Μπορεί να δειχτεί ότι αν η x() αντικατασταθεί από το πραγµατικό µέρος x (), τότε η απόκριση του κυκλώµατος ισούται µε το πραγµατικό µέρος y () της y(). Αυτό είναι συνέπεια της ιδιότητας της υπέρθεσης των γραµµικών συστηµάτων (Κεφάλαιο 4) και ισχύει.8 //25

9 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ επίσης για την απόκριση µόνιµης κατάστασης σε περιοδικές εισόδους. Επεξηγούµε τις έννοιες αυτές µε ένα απλό παράδειγµα. i ( ) e ( ) G i ( ) G i ( ) Ó ÇÌÁ.22 Η είσοδος στο παράλληλο κύκλωµα του Σχ..22 είναι µία πηγή τάσης e( ) = E coù. Τα προκαλούµενα ρεύµατα αντίστασης και πυκνωτή είναι i () = Ge() = EGco ù i () = e () = Eù inù G αντίστοιχα. Το άθροισµά τους ισούται µε το ρεύµα εισόδου i () = ÅGcoù Eùinù (.43) Η τάση e() είναι το πραγµατικό µέρος του µιγαδικού σήµατος x()= Åe jù. Αν x() είναι τώρα η τάση εισόδου στο κύκλωµα, το προκαλούµενο ρεύµα εισόδου είναι το άθροισµα jù y() = Gx() x () = E( G jù) e = E( G coù ù in ù) je( ù coù G in ù) και το πραγµατικό του µέρος ισούται µε το ρεύµα i( ) της (.43). Έτσι αν η x() είναι µια εκθετική συνάρτηση Ee jω, τότε η y () είναι επίσης εκθετική και το πραγµατικό της µέρος ισούται µε το ρεύµα που οφείλεται στο πραγµατικό µέρος E co ù της x(). Οι αριθµοί EG ( jù) και E είναι οι παραστάσεις του διανύσµατος φάσης των y ( ) και x() αντίστοιχα και ο λόγος τους G jù είναι η σύνθετη αγωγιµότητα του κυκλώµατος, όπως ορίστηκε στην ανάλυση µόνιµης κατάστασης δικτύων που οδηγούνται από ηµιτονοειδή σήµατα. ιαγράµµατα Κυκλωµάτων και Μπλοκ ιαγράµµατα Ένα διάγραµµα κυκλώµατος είναι ένα σχέδιο που περιγράφει την δοµή ενός δικτύου καθώς και τη φύση και λειτουργία των στοιχείων του. Όλα τα διαγράµµατα µέχρι στιγµής ήταν διαγράµµατα κυκλωµάτων. Το µπλοκ διάγραµµα είναι ένα σχέδιο που περιγράφει τις σχέσεις εισόδουεξόδου (erminal properie) του δικτύου, π.χ. τη σχέση µεταξύ της εισόδου του x() και της εξόδου του y (). Αν ένα δίκτυο έχει µία µόνο είσοδο και µία µόνο έξοδο, τότε τα x() και y ( ) είναι απλές συναρτήσεις (calar). Αν έχει πολλές εισόδους και εξόδους, τότε τα x() και y ( ) είναι διανυσµατικές συναρτήσεις. Θα θεωρήσουµε κυρίως δίκτυα µίας εισόδουµίας εξόδου και θα παριστάνουµε τις εισόδους και τις εξόδους τους µε µία γραµµή όπως στο Σχ..23. x ( ) y ( ) Ó ÇÌÁ.23 Η είσοδος και η έξοδος ενός διαγράµµατος κυκλώµατος είναι φυσικές ποσότητες (τάσεις ή ρεύµατα) και το διάγραµµα δείχνει όχι µόνο τη σχέση τους αλλά και τη φύση τους καθώς //25.9

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ και τη φύση των στοιχείων (αντιστάσεις, πηνία, πυκνωτές). Τα µπλοκ διαγράµµατα, από την άλλη µεριά, δε δίνουν πληροφορία ως προς την κατασκευή του συστήµατος που αντιπροσωπεύουν. Η είσοδος και η έξοδος τους µπορεί να είναι φυσικές ποσότητες, τάσεις ή ρεύµατα για παράδειγµα, αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο. Θα µπορούσαν να είναι αυθαίρετα σήµατα που σχετίζονται µε κάποιο καθορισµένο τρόπο. Muliplier x ( ) á x ( ) y ( ) = á x ( ) Differeniaor x ( ) Inegraor y( ) = x ( ô ) Ó ÇÌÁ.24 ô d y( ) = x ( ) d d Στο Σχ..24 δείχνουµε την αναπαράσταση µε µπλοκ διάγραµµα ενός πολλαπλασιαστή, 4 (muliplier), ενός διαφοριστή (differeniaor) και ενός ολοκληρωτή (inegraor). Ο πολλαπλασιαστής παριστάνεται µε ένα τρίγωνο µε το γράµµα α και η έξοδος του ισούται µε áx(). Ο διαφοριστής παριστάνεται µε ένα κουτί µε το γράµµα και η έξοδος του ισούται µε x (). Ο ολοκληρωτής παριστάνεται µε ένα κουτί µε το γράµµα / και η έξοδός του ισούται µε το ολοκλήρωµα της εισόδου από ως. Η σηµασία του γράµµατος θα δοθεί αργότερα. Στο Σχ..25 δείχνουµε το κυκλωµατικό διάγραµµα και το µπλοκ διάγραµµα ενός πηνίου. Είναι ξεκάθαρο από το κυκλωµατικό διάγραµµα ότι η õ( ) είναι µία τάση και το i() ένα ρεύµα. Το µπλοκ διάγραµµα, όµως, ορίζει µόνο τη σχέση µεταξύ õ( ) και i(). Στην πραγµατικότητα, το ίδιο µπλοκ διάγραµµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να παραστήσει έναν πυκνωτή. õ ( ) i ( ) i ( ) u() = i'() Ó ÇÌÁ.25 Συστήµατα που παριστάνονται µε µπλοκ διαγράµµατα µπορούν να συνδεθούν µε διάφορους τρόπους ώστε να αποτελέσουν ένα µεγαλύτερο σύστηµα. Σε αυτές τις διασυνδέσεις υποτίθεται ότι η σχέση εισόδουεξόδου κάθε υποσυστήµατος παραµένει αναλλοίωτη (δεν υπάρχουν προβλήµατα φόρτωσης). Στο Σχ..26α δείχνουµε δύο συστήµατα και 2 συνδεδεµένα σε σειρά (in cacade). Αυτό σηµαίνει ότι η έξοδος y () του είναι είσοδος στο 2. Στο Σχ..26b τα συστήµατα και 2 συνδέονται παράλληλα, π.χ. έχουν κοινή είσοδο x( ) και οι έξοδοί τους y () και y2( ) προστίθενται. Οι διασυνδέσεις εµπλέκουν αθροιστές και σηµεία διακλάδωσης (branching poin). Ένας αθροιστής 4 Ο όρος πολλαπλασιαστής χρησιµοποιείται συχνά για να περιγράψει µία µηγραµµική διάταξη της οποίας η έξοδος ισούται µε το γινόµενο δύο εισόδων. Σε αυτό το βιβλίο ο όρος ερµηνεύεται διαφορετικά: είναι ένα στοιχείο µε µια είσοδο και µε εξοδο ανάλογη της εισόδου.. //25

11 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ συµβολίζεται µε ένα σταυρό µέσα σε ένα κύκλο, έχει δύο ή περισσότερες εισόδους και µια έξοδο, ίση µε το άθροισµα των εισόδων. Ένα σηµείο διακλάδωσης (π.χ. το Β στο Σχ..26b) έχει µία είσοδο και δυο ή περισσότερες εξόδους, ίσες µε την είσοδο. y( ) x ( ) y ( ) y() 2 x() B y ( ) (á) 2 y( ) 2 Ó ÇÌÁ.26 ( b ) Παράδειγµα.6 Το σύστηµα του Σχ..27 αποτελείται από δύο διαφοριστές και δύο πολλαπλασιαστές. Όπως βλέπουµε από το διάγραµµα, η έξοδός του y() είναι το άθροισµα y () = x () bx () cx () x ( ) x () x "( ) b c y ( ) Ó ÇÌÁ.27 Παράδειγµα.7 Το σύστηµα του Σχ..28 αποτελείται από ένα διαφοριστή και έναν πολλαπλασιαστή. Όπως βλέπουµε από το διάγραµµα, η έξοδός του y () είναι ένα άθροισµα y () = áy () x () Σε αυτή την περίπτωση το άθροισµα εµπλέκει όχι µόνο το x() αλλά και το y ()ως συνάρτηση µόνο του x εκφράσουµε την y εξίσωση. () (ανάδραση). Για να (), χρειάζεται να λύσουµε την παραπάνω διαφορική x ( ) y ' ( ) a y ( ) Ó ÇÌÁ.28 Όπως βλέπουµε από τα παραδείγµατα, αν µία συνάρτηση y () ικανοποιεί µία διαφορική εξίσωση, τότε µπορεί να θεωρηθεί ως η έξοδος ενός συστήµατος που αποτελείται από διαφοριστές και πολλαπλασιαστές. Αυτό δείχνει ότι οποιοδήποτε διάγραµµα κυκλώµατος µπορεί να παρασταθεί από ένα τέτοιο σύστηµα επειδή οι διάφορες αποκρίσεις του εκφρασµένες µέσω των µεταβλητών κατάστασης εµπλέκουν µόνο παραγώγους και πολλαπλασιασµούς. Αυτό φαίνεται στο επόµενο παράδειγµα. //25.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ( i ) e ( ) G õ ( ) e ( ) õ( ) G i ( ) ( á ) Ó ÇÌÁ.29 ( b) Παράδειγµα.8 Το κύκλωµα του Σχ..29α έχει δύο µεταβλητές κατάστασης. Το ρεύµα πηνίου i() και την τάση του πυκνωτή õ ( ), που ικανοποιούν τις εξισώσεις κατάστασης dv() G v( ) = i( ) d di() v () = e () d Η αντίστοιχη παράσταση µε µπλοκ διάγραµµα είναι το σύστηµα του Σχ..29b. ΣΗΜΕΙΩΣΗ Τα δίκτυα µερικές φορές παριστάνονται µε σχέδια που είναι µίγµατα διαγραµµάτων κυκλωµάτων και µπλοκ διαγραµµάτων. Ένα παράδειγµα είναι το δίθυρο δίκτυο (wo por nework) του Σχ..3. Όπως σε όλα τα µπλοκ διαγράµµατα, η κατασκευή του κύριου δικτύου δε φαίνεται. Όµως οι τάσεις και τα ρεύµατα εισόδου και εξόδου ακολουθούν τη συνηθισµένη παράσταση διαγράµµατος κυκλώµατος. e ( ) i ( ) i ( ) v( ) Ó ÇÌÁ.3.2 //25