Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης
Στατικές (Στάσιμες) Διαδικασίες Στατική (Stationary) ορίζεται η διαδικασία της οποίας οι στατιστικές ιδιότητες δεν μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου. Ποιές στατιστικές ιδιότητες; Υπάρχουν διαφορετικοί ορισμοί στατικότητας, ανάλογα με τις στατιστικές ιδιότητες που παραμένουν χρονικά αμετάβλητες: Αυστηρά στατικές διαδικασίες (Strict Sense Stationarity - SSS) Στατικές υπό την ευρεία έννοια διαδικασίες (Wide Sense Stationarity WSS)
Αυστηρά Στατικές Διαδικασίες Ορισμός: Μια στοχαστική διαδικασία είναι αυστηρά στατική εάν, για κάθε k, t 1, t 2,, t k, και για κάθε χρονική καθυστέρηση τ ισχύει η εξής ιδιότητα για τη συνάρτηση κατανομής: Σε περίπτωση που η ανωτέρω ιδιότητα δεν ισχύει για όλα τα κ, αλλά για κ ν, λέμε ότι η στοχαστική διαδικασία είναι στατική ν-οστής τάξης.
Περιπτώσεις SSS διαδικασιών SSS 1 ης τάξης: Δεν εξαρτάται από το t 1 SSS 2 ης τάξης: SSS ν ης τάξης: Αν μια διαδικασία είναι SSS ν-ής τάξης τότε είναι και SSS όλων των προηγούμενων τάξεων 1,2,,ν-1
Ιδιότητες SSS διαδικασιών Αν μια διαδικασία είναι SSS ν-ής τάξης τότε είναι και SSS όλων των προηγούμενων τάξεων 1,2,,ν-1 Παράδειγμα: Έστω X(t) SSS 2 ης τάξης. Τότε: Συνεπώς: Άρα είναι και 1 ης τάξης
Ιδιότητες SSS διαδικασιών Τι ιδιότητα έχει η μέση τιμή ενός τυχαίου σήματος που είναι στατικό 1 ης τάξης; Οπότε Δηλαδή η μέση τιμή είναι σταθερή:
Ιδιότητες SSS διαδικασιών Τι ιδιότητα έχει η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός τυχαίου σήματος που είναι στατικό 2 ης τάξης; Δηλαδή:
Στατικές υπό την ευρεία έννοια διαδικασίες Μια διαδικασία είναι στατική υπό την ευρεία έννοια (WSS) εάν για τη μέση τιμή και τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ισχύουν: Συνεχούς χρόνου: Διακριτού χρόνου:
Παράδειγμα (1) X(n) I.I.D. διαδικασία: Από τον ορισμό: και Οπότε θα είναι SSS.
Παράδειγμα (2) On-Off signalling: X(t)=cos(ωt) στο [0,Τ] με πιθανότητα p και X(t)=0, με πιθανότητα 1-p. Η μέση τιμή: Άρα δεν είναι στατικό 1 ης τάξης.
Παράδειγμα: Διαμόρφωση εύρους (1) Εστω X(t) WSS Τ.Σ. πληροφορίας. Δίδεται η Τ.Μ. Θ, ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [-π,π]. Το διαμορφωμένο ΑΜ Τ.Σ. ορίζεται ως: Y(t) = X(t) cos(ω 0 t + Θ). Ενώ η Θ και το σήμα X(t) είναι μεταξύ τους στατιστικά ανεξάρτητα. Είναι το Y(t) WSS; Μέση τιμή: Και Δηλαδή:
Παράδειγμα: Διαμόρφωση εύρους (2) Αυτοσυσχέτιση: Και
Παράδειγμα: Διαμόρφωση εύρους (3) Αυτοσυσχέτιση: Και
Παράδειγμα: Διαμόρφωση εύρους (4) Αυτοσυσχέτιση: Δηλαδή: Συνεπώς θα είναι WSS Αν το φέρον ήταν cos(ω 0 t) τότε το Y(t)=X(t) cos(ω 0 t) δεν είναι WSS.
Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (1) A i και B i, i=1, 2,, n είναι ένα σύνολο από 2n τυχαίες μεταβλητές που είναι μεταξύ τους ασυσχέτιστες και ακολουθούν από κοινού κανονική κατανομή με Ε{A i } = Ε{B i } = 0 και Ε{A i2 } = Ε{B i2 } = σ 2. Δίδεται το σήμα: Δείξτε οτι το X(t) είναι μια SSS κανονική διαδικασία. Μέση Τιμή: n X ( t) = ( A cosω t + B sin ω t) i= 1 i i i i
Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (2) Αυτοσυσχέτιση: ή
Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (3) Αυτοσυσχέτιση: Όπου:
Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (4) Αυτοσυσχέτιση: Συνεπώς X(t) είναι WSS
Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (5) Για δύο χρονικές στιγμές t 1, t 2 : Σε μορφή πίνακα: X, F ακολουθούν κανονικές κατανομές Είναι το X(t) εκτός από WSS και SSS;
Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (6) Για k χρονικές στιγμές: όπου: και Άρα θα είναι και SSS
Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για WSS διαδικασίες Ορισμός:
Ιδιότητες Συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (1) 1. Για τ=0 αντιπροσωπεύει τη μέση ισχύ του Τ.Σ.: 2. Είναι άρτια:
Ιδιότητες Συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (2) 3. Είναι φραγμένη από την τιμή R X (0): R X (τ) R X (0), όπου R X (0)=Ε{X 2 (t)} 0. Απόδειξη: Άρα:
Ιδιότητες Συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (3) 4. Εαν το Τ.Σ. X(t) έχει μια περιοδική συνιστώσα, τότε και η R x (τ) θα περιέχει μια περιοδική συνιστώσα. 5. Εάν lim R Χ (τ) = C, τότε C = μ Χ2. 6. Εαν R Χ (T 0 ) = R Χ (0) για κάποιο T 0 0, τότε η R Χ (τ) θα είναι περιοδική με περίοδο Τ0. Αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας την ανισότητα: