= t2 t T 2T 3t + 9T, για t < 3T και t 2T 2T t < 3T (Σχήµα

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-15: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Συνέλιξη και Συστήµατα Σε αυτό το PDF, η ϐηµατική συνάρτηση ut) συµβολίζεται µε ɛt) 1. Εστω τα σήµατα του Σχήµατος 1. Να υπολογίσετε τη συνέλιξη yt) = xt) ht). Σχήµα 1: Σχήµα Άσκησης 1 Επιλέγουµε να παίξουµε µε το xt), καθ ότι ευκολότερο. Η ανάκλαση και η µετατόπιση του σήµατος ϕαίνεται στο Σχήµα. και άρα ϑα έχουµε τις παρακάτω περιπτώσεις : Σχήµα : Μετατόπιση και ανάκλαση για Άσκηση 1. 0, t < 0 Σχήµα 3αʹ) 4βʹ) 0 t T T t T τ T dτ = τ T τ T dτ + τ T t = t 0 T T, για t 0 και t T 0 0 t T Σχήµα 3βʹ) τ )dτ = t T T + 3t 3T, για t T < T και t T T t < T Σχήµα 4αʹ) τ τ ) T T = t t T T 3t + 9T, για t < 3T και t T T t < 3T Σχήµα ) dτ =

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Λυµένες Ασκήσεις αʹ) 1η περίπτωση Άσκησης 1 ϐʹ) η περίπτωση Άσκησης 1 Σχήµα 3: Περιπτώσεις Άσκησης 1 - Ι αʹ) 3η περίπτωση Άσκησης 1 ϐʹ) 4η περίπτωση Άσκησης 1 Σχήµα 4: Περιπτώσεις Άσκησης 1 - ΙΙ 0, t 3T Σχήµα 5αʹ) αʹ) 5η περίπτωση Άσκησης 1 Σχήµα 5: Περιπτώσεις Άσκησης 1 - ΙΙΙ Άρα τελικά ϑα είναι : που είναι και το Ϲητούµενο. yt) = + 3t 3T, T t < T 0, t < 0 και t 3T t T, 0 t T t t T T 3t + 9T, T t < 3T 1). Εστω τα σήµατα xt) = Ae t, ht) = ɛt 3) ɛt 5)) που ϕαίνονται στο Σχήµα 6. Υπολογίστε τη συνέλιξη των δυο σηµάτων. Επιλέγουµε να παίξουµε µε το ht), καθ ότι ευκολότερο. Η ανάκλαση και η µετατόπιση του σήµατος ϕαίνεται στο Σχήµα 7. Οπότε, ϑα έχουµε τις παρακάτω περιπτώσεις :

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Λυµένες Ασκήσεις 3 Σχήµα 6: Σχήµα Άσκησης Σχήµα 7: Ανάκλαση και µετατόπιση του σήµατος Άσκησης 3 t 5 0 t 5 3 t 5 Ae τ dτ = Ae t 3 e t 5 ), για t 3 0 t 3 Σχήµα 8αʹ) Ae τ dτ + Άρα τελικά ϑα έχουµε που είναι και το Ϲητούµενο. 3 0 Ae τ dτ = AA e t 5 e 3 t ), για t 5 και t > 3 3 < t 5 Σχήµα 8βʹ) Ae τ dτ = Ae 5 t e 3 t ), για t 5 > 0 t > 5 Σχήµα 9αʹ) Ae t 3 e t 5 ), t 3 yt) = AA e t 5 e 3 t ), 3 < t 5 Ae 5 t e 3 t ), t > 5 ) αʹ) 1η περίπτωση Άσκησης ϐʹ) η περίπτωση Άσκησης Σχήµα 8: Περιπτώσεις Άσκησης - Ι

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Λυµένες Ασκήσεις 4 αʹ) 3η περίπτωση Άσκησης Σχήµα 9: Περιπτώσεις Άσκησης - ΙΙ 3. Εστω τα σήµατα { 0, αλλού xt) = 1 t, t 1 { t ht) =, 0 t 1 0, αλλού Υπολογίστε τη συνέλιξη των δυο σηµάτων. Επιλέγουµε να παίξουµε µε το ht), καθ ότι ευκολότερο στη σχεδίαση. Η ανάκλαση και η µετατόπιση του σήµατος ϕαίνεται στο Σχήµα 10. Άρα ϑα έχουµε τις παρακάτω περιπτώσεις : Σχήµα 10: Ανακλασµένο και µετατοπισµένο σήµα Άσκησης 3 0, t τ t τ) dτ = t ln τ t tτ t 1 1 τ t τ) dτ = t ln τ t tτ t t 1 t τ t 1 t 1 + τ Επιβεβαιώστε εσείς σχηµατικά ότι τα παραπάνω είναι σωστά! :-) =, για t < και t > 1 1 < t < t =, για t 1 1 t t 1 4. Εστω το σήµα xt) = δt) 3δt 4) και το σήµα ht) που ϕαίνεται στο Σχήµα 11. Βρείτε το αποτέλεσµα της συνέλιξης των δυο σηµάτων.

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Λυµένες Ασκήσεις 5 Σχήµα 11: Σχήµα Άσκησης 4 Η συνέλιξη µε συναρτήσεις έλτα απλά παράγει αντίγραφα των σηµάτων µε τα οποία συνελίσσεται, µετατοπισµένα στη ϑέση της συνάρτησης έλτα, πολλαπλασιασµένα µε το πλάτος της. Ούτε ολοκληρώµατα, ούτε µετατοπίσεις, ούτε αναστροφές, ούτε τίποτα! :-) Γίνεται όµως ευρεία χρήση των ιδιοτήτων της συνάρτησης έλτα, όπως η Άρα ϑα είναι απλά xt) δt t 0 ) = xt t 0 ) yt) = ht) δt) 3δt 4)) = ht) δt) 3ht) δt 4) = ht) 3ht 4) Το αποτέλεσµα της συνέλιξης ϕαίνεται στο Σχήµα 1. Σχήµα 1: Σήµα συνέλιξης ht) xt) Άσκησης 4 5. Να υπολογιστεί η συνέλιξη των σηµάτων xt) = ɛt) yt) = e t ɛt) Τα δυο σήµατα είναι όπως στο Σχήµα 13. Παίζουµε µε το xt). Το ανεστραµµένο και ανακλασµένο σήµα ϕαίνεται στο Σχήµα 14. ιακρίνουµε δυο περιπτώσεις, οι οποίες ϕαίνονται στα Σχήµατα 15αʹ και 15βʹ.

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Λυµένες Ασκήσεις 6 Σχήµα 13: Σήµατα Άσκησης 5 Σχήµα 14: Μετατοπισµένο σήµα Άσκησης 5 c xy t) = 0, t 0 c xy t) = e τ ɛt)ɛt τ)dτ = 0 e τ dτ = 1 e t, t > 0 αʹ) Περίπτωση 1η ϐʹ) Περίπτωση η Άρα τελικά ϑα είναι που είναι και το Ϲητούµενο. Σχήµα 15: Περιπτώσεις Άσκησης 5 c xy t) = { 1 e t, t > 0 0, t 0 3) 6. Θεωρούµε το σύστηµα που ϕαίνεται στο Σχήµα 16, µε Σχήµα 16: Σήµα Άσκησης 6

7 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Λυµένες Ασκήσεις 7 xt) = ɛ t + 1 ) ɛ ) t 1 h 1 t) = δ t 3 ) h t) = ɛt) ɛt 3) Να υπολογιστεί και να σχεδιαστεί η έξοδος του συστήµατος, yt). Αφού τα συστήµατα είναι σε σειρά, µπορούµε να ϐρούµε το συνολικό σύστηµα ht), που είναι η συνέλιξη των δυο συστηµάτων, και είναι ht) = h 1 t) h t) = δ t 3 ) ) ɛt) ɛt 3) = ɛ t 3 ) ɛ t 3 3 ) = ɛ t 3 ) ɛ t 9 ) Άρα είναι σαν να περνάµε την είσοδο xt) από το σύστηµα ht). Παρατηρούµε ότι Οι περιπτώσεις ϕαίνονται στο Σχήµα 17, 18, 19. xt) = ɛ t + 1 ) ɛ t 1 ) t = rect 1) ht) = ɛ t 3 ) ɛ t 9 ) t 3 ) = rect 3 Κατά τα γνωστά λοιπόν, ϑα παίξουµε µε το ht), και ϑα έχουµε αʹ) Περίπτωση 1η ϐʹ) Περίπτωση η Σχήµα 17: Περιπτώσεις Άσκησης 6-1 αʹ) Περίπτωση 3η ϐʹ) Περίπτωση 4η Σχήµα 18: Περιπτώσεις Άσκησης 6 - τις παρακάτω περιπτώσεις : 0, t 1 3/ dτ = τ 1/ 1/ 1/ dτ = τ t 3/ 1/ 1/ 1/ = t 1, για 1 < t. = 1, για < t 4

8 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Λυµένες Ασκήσεις 8 1/ t 9/ 0, t > 5 dτ = τ 1/ t 9/ Σχήµα 19: Περιπτώσεις Άσκησης = 5 t, για 4 < t 5 Άρα συνολικά ϑα είναι Το αποτέλεσµα ϕαίνεται στο Σχήµα 0. 0, t < 1, t > 5 t 1, 1 < t yt) = 1, < t 4 5 t, 4 < t 5 4) Σχήµα 0: Αποτέλεσµα Άσκησης 6 Παρατήρηση : Μπορούµε να περάσουµε την είσοδο από το h 1 t), να ϐρούµε την έξοδο y 1 t), και έπειτα να περάσουµε την y 1 t) από το h t) και να ϐρούµε την τελική έξοδο yt). 7. Θεωρούµε το σύστηµα yt) = T{xt)} = xt + 1) e xt) 5) Εξετάστε αν είναι γραµµικό, αιτιατό, ευσταθές, στατικό, και χρονικά αµετάβλητο. Για τη γραµµικότητα, έχουµε y 1 t) = T {ax 1 t)} = ax 1 t + 1) e ax 1t) y t) = T {bx t)} = bx t + 1) e bx t) και yt) = T {ax 1 t) + bx t)} = ax 1 t + 1) + bx t + 1)) e ax 1t)+bx t) = ax 1 t + 1) + bx t + 1) e ax 1t) e bx t) y 1 t) + y t)

9 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Λυµένες Ασκήσεις 9 άρα το σύστηµα είναι ΜΗ γραµµικό. Για την αιτιατότητα, το σύστηµα δεν είναι αιτιατό, γιατί η έξοδος yt) εξαρτάται από µελλοντικές τιµές της εισόδου. Για παράδειγµα, y0) = x1) e x0), χρειαζόµαστε το x1), δηλ. µια µελλοντική τιµή, για να υπολογίσουµε τη y0). Για την ευστάθεια, αν x 1 t) < B x τότε yt) = xt + 1) e xt) xt + 1) + e xt), λόγω τριγωνικής ανισότητας. Άρα yt) xt + 1) + e xt) < B x + e Bx = B y άρα είναι ευσταθές. Για τη στατικότητα, το σύστηµα δεν είναι στατικό δηλ. είναι δυναµικό), γιατί η έξοδος τη χρονική στιγµή t εξαρτάται από τη χρονική στιγµή t + 1 της εισόδου. Με άλλα λόγια, χρειαζόµαστε µνήµη για να υλοποιήσουµε αυτό το σύστηµα. Τέλος, για την χρονική αµεταβλητότητα, έστω ότι η είσοδος του συστήµατος είναι η xt t 0 ), τότε η έξοδος ϑα είναι yt) = T {xt t 0 )} = xt t 0 + 1) e xt t 0) Η καθυστέρηση κατά t 0 της εξόδου δίνεται ως άρα το σύστηµα είναι χρονικά αµετάβλητο. yt t 0 ) = xt t 0 + 1) e xt t 0) = T {xt t 0 )}