Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας (Αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας) ιδάσκοντες ημήτρης εληκαράογλου Γεράσιμος Μανουσάκης 7ο εξάμηνο, Ακαδ. Έτος 018-19 Προηγούμενα έχουμε δει Το βαρυτικό πεδίο σε κάε σημείο P στο χώρο ορίζεται ως η βαρυτική δύναμη που αισάνεται μια (μοναδιαία) μάζα που τοποετείται στο P. Έτσι, γιανααπεικονίσουμετο βαρυτικό πεδίο, τοπικά (π.χ. σε ένα δωμάτιο) ή σε μεγαλύτερη κλίμακα όπως σε όλο το ηλιακό σύστημα, φανταστείτε ότι α έπρεπε να σχεδιάζαμε ένα διάνυσμα που αντιπροσωπεύει τη βαρυτική δύναμη (ή τηνέντασηg) σε πολλά διαφορετικά σημεία του χώρου Σύμφωνα με το νόμο παγκόσμιας έλξης του Newton δύο σώματα με μάζες, που βρίσκονται σε απόσταση l, έλκουν το ένα το άλλο με μια δύναμη που έχει διεύυνση κατά μήκος της ευείας που συνδέει τα δύο σώματα, G είναι η παγκόσμια σταερά της βαρύτητας Η σταερά της παγκόσμιας έλξης G είναι ένα κρίσιμο έμα στη φυσική των μετρήσεων που συνεχίζει να απασχολεί τον επιστημονικό κόσμο Είναιαφενόςμιααπότιςπιοσημαντικές φυσικές σταερές, και αφετέρου εκείνη που προσδιορίζεται με τη μικρότερη σχετική ακρίβεια (±150 pp, ένα πολύ υψηλό σφάλμα για μια τέτοιας σπουδαιότητας σταερά) Στο ιενές Σύστημα Μονάδων έχει την τιμή G = 6.674 10 11 3 kg 1 s Παρότι οι μάζες, έλκονται μεταξύ τους με εντελώς συμμετρικό τρόπο, συνηίζεται να ονομάσουμε τη μία από αυτές έλκουσα και την άλλη ελκυόμενη μάζα. Για απλότητα έτουμε την ελκυόμενη μάζα ίση με τη μονάδα και συμβολίζουμε την έλκουσα μάζα με Μ, εκφράζει τη δύναμη που ασκείται από τη μάζα Μ πάνω σε μια μοναδιαία μάζα που βρίσκεται στο P σε απόσταση l από τη μάζα Μ Η διανυσματική μορφή των ελκτικών δυνάμεων Το γενικό διανυσματικό πεδίο εκφράζει τις ελκτικές δυνάμεις που ασκούν μεταξύ τους δύο σώματα με μάζες και που βρίσκονται σε απόσταση (,,) (ξ,η,ζ) Για τον υπολογισμό των διανυσματικών συνιστωσών των ελκτικών δυνάμεων εισάγουμε ένα ορογώνιο σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο συνήως συμβολίζουμε τις συντεταγμένες της έλκουσας μάζας Μ με ξ, η, ζ και τις συντεταγμένες της ελκόμενης μοναδιαίας μάζας στο P με,, (,,) (ξ,η,ζ) Στο νευτώνειο πεδίο ελκτικών δυνάμεων Η ελκτική δύναμη ( 1 =- 1 ) που δέχεται το ένα σώμα από το άλλο έχει τη διεύυνση της ευείας που συνδέει τα κέντρα μάζας των δύο σωμάτων (,,) (= 1 ) 1 (=- 1 ) (ξ,η,ζ) Η φορά της ελκτικής δύναμης (= 1 ) στην ελκυόμενη μάζα είναι αντίετη από εκείνη του διανύσματος της απόστασης, το οποίο κατευύνεται από την έλκουσα μάζα Μ στην μάζα (,,) (= 1 ) 1 (=- 1 ) (ξ,η,ζ)
Μεγαλύτερες μάζες ισχυρότερες δυνάμεις Ηδύναμητης γήινης βαρύτητας εξασενεί όσο απομακρυνόμαστε από την αρχή των αξόνων του συστήματος αναφοράς (,,) (= 1 ) 1 (=- 1 ) (ξ,η,ζ) Σε ένα ορογώνιο σύστημα συντεταγμένων, συνήως συμβολίζουμε τις συντεταγμένες της έλκουσας μάζας με ξ, η, ζ και τις συντεταγμένες της ελκόμενης μοναδιαίας μάζας στο P με,, όπου l (στο εδώ σχήμα) υποδηλώνει την απόσταση μεταξύ των δύο μαζών Οι γωνίες α, β, γ, μεταξύ των μοναδιαίων διανυσμάτων του ορογώνιου συστήματος και της διεύυνσης της δύναμης είναι οι γωνίες διεύυνσης, και οι τιμές cosα, cosβ, cosγ είναι τα συνημίτονα διεύυνσης της όπου l (στο εδώ σχήμα) υποδηλώνει την απόσταση μεταξύ των δύο μαζών (,,) 1 1 (=- 1 ) (ξ,η,ζ) γ α s! β (,,) 1 1 (=- 1 ) (ξ,η,ζ) γ α s! β Τα αρνητικά πρόσημα για τις συνιστώσες της ελκτικής δύναμης υποδηλώνουν ότι η διεύυνσή της είναι αντίετη από εκείνη του διανύσματος από το σημείο υπολογισμού προς την έλκουσα μάζα Οι (), (), και () είναι βαμωτές συναρτήσεις των μεταβλητών,, δηλαδή συνιστούν ένα βαμωτό πεδίο γ α s! β Αποσύνεση της ελκτικής δύναμης που ασκείται σε μια μάζα στο χώρο στις επιμέρους συνιστώσες της (), (), () Συνιστώσες της δύναμης έλξης Συνιστώσες της δύναμης έλξης 3 συνιστώσες της ελκτικής δύναμης στο εκάστοτε σημείο στο χώρο Πεδίο ελκτικών δυνάμεων διαφορετικής κατανομής μαζών Στην περίπτωση του πεδίου βαρύτητας της Γης, οι ελκτικές δυνάμεις που ασκεί η Γη σε οποιαδήποτε υλική μάζα είναι η κύρια αιτία ύπαρξης του πεδίου Υπάρχει και μια δευτερεύουσα πηγή του πεδίου βαρύτητας της Γης που οφείλεται στη φυγόκεντρη δύναμη που ασκείται σε κάε μάζα που συμμετέχει στην περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της. Υπολογισμός ελκτικών δυνάμεων για διαφορετικές κατανομές μαζών Απλούστερη περίπτωση: σημειακές μάζες. Μια μάζα (πηγή), ασκεί μια δύναμη σε οποιαδήποτε άλλη (μοναδιαία) μάζα Στην Pincipia, o παγκόσμιος βαρυτικός νόμος του Νεύτωνα αναφέρεται έμμεσα σε βαρυτικές δυνάμεις των σωμάτων του σύμπαντος... ως εάν όλη η μάζα τους είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο τους
Μπορεί η Γη να εωρηεί ως σημειακή μάζα που έλκει το μήλο? Κεντρικό πεδίο δυνάμεων Κεντρικό πεδίο δυνάμεων ικαιολογημένη προσέγγιση για τα ουράνια σώματα (λόγω της μεγάλης μεταξύ τους απόστασης, συγκριτικά με το μέγεος τους), άλλα όχι τόσο προφανής για το βαρυτικό πεδίο που δημιουργεί το καένα από αυτά τα σώματα, π.χ. η Γη και πως αυτή έλκει άλλα υλικά σώματα Στην περίπτωση του πεδίου των ελκτικών δυνάμεων της γήινης βαρύτητας, τυπικά αυτό αποτελείται από μια ομοιόμορφη σειρά διανυσμάτων σε μια ακτινωτή διάταξη που δείχνουν σε μια και μόνο μία κατεύυνση - προς το κέντρο της Γης, όπου εωρείται ότι συγκεντρώνεται όλη η μάζα της Γης Σε τοπική κλίμακα, π.χ. μια μικρή περιοχή κοντά στην γήινη επιφάνεια το πεδίο των βαρυτικών δυνάμεων μπορεί να εωρηεί ότι τυπικά αποτελείται από μια ομοιόμορφη σειρά διανυσμάτων που είναι παράλληλα μεταξύ τους και δείχνουν σε μια κατεύυνση προς το έδαφος Κεντρικό πεδίο δυνάμεων Οόροςομογενές πεδίο δυνάμεων δηλώνει ότι σε κάε σημείο του ευκλείδειου χώρου 3 προσαρτάται το ίδιο σταερό διάνυσμα δύναμης Αλληλεπίδραση πεδίων δυνάμεων Αλληλεπίδραση πεδίων δυνάμεων Τοπικά, π.χ. σε ένα δωμάτιο, το πεδίο της Γης είναι ομογενές: Οι γραμμές του είναι παράλληλες και η ένταση της βαρύτητας g έχει παντού την ίδια τιμή g Στις κοσμικές αποστάσεις μεταξύ πλανητών και των φυσικών δορυφόρων τους, τα επιμέρους πεδία δυνάμεων αλληλεπιδρούν και σε κάποια σημεία αλληλοαναιρούνται Joseph ouis de agange: το 177, απέδειξε ότι σε ένα σύστημα σωμάτων υπάρχουν σημεία όπου οι βαρυτικές δυνάμεις που ασκούνται μέσα στο σύστημα εξουδετερώνονται αμοιβαία. Αλληλεπίδραση πεδίων δυνάμεων Εκεί όπου η συνδυασμένη βαρυτική έλξη της Γης και της Σελήνης ισοδυναμεί ακριβώς με την κεντρομόλο δύναμη δηλαδή, ο δορυφόρος διατηρεί πάντα την ίδια έση σε σχέση με τη Γη και τη Σελήνη Παρόμοια σημεία agange υπάρχουν και για τα βαρυτικά πεδία Ήλιου και Γης Αλληλεπίδραση πεδίων δυνάμεων Eath Well oon Well 4, 5 σημεία σταερής ισορροπίας 1,, 3 σημεία ασταούς ισορροπίας Στην αεροδιαστημική, τα σημεία agange εωρούνται ιδιαίτερα σημαντικά γιατί παρουσιάζουν χαρακτηριστικά πλεονεκτήματα για τις διαστημικές αποστολές. Σημεία agange υπάρχουν και μεταξύ πλανητών ιαπλανητικές λεωφόροι Σεληνιακή εξερεύνηση και μελλοντικές σεληνιακές αποστολές μπορούν να επωφεληούν από τα σημεία agange στο σύστημα Ήλιου-Γης-Σελήνης, ώστε να εκτελεστούν στην περιοχή τους τροχιακές μανούβρες (obital tansfes) χαμηλής κατανάλωσης ενέργειας
Στο σύστημα Ήλιος- Γη, παραδείγματα: Ο δορυφόρος WAP (Wilkinson icowave Anisotop Pobe) σε σταερή τροχιά γύρω απότοσημείο, μεταξύ 001-010 έκανε εμελιώδεις μετρήσεις για τη μελέτη των ιδιοτήτων του σύμπαντος Ο δορυφόρος SH (Sola & Heliospheic bsevato), σε τροχιά γύρω από το σημείο 1, από το 1996 καταγράφει τα χαρακτηριστικά του ηλιακού ανέμου, προτού αυτός φτάσει στη Γη Τα σημεία agange (εκτός του 3) του συστήματος Ηλίου-Γης, σε τουλάχιστον 1,5 εκατ. k από τη Γη, μπορούν να χρησιμοποιηούν ως περιοχές τοποέτησης μεγάλων διαστημικών τηλεσκοπίων, όπως τα σχεδιαζόμενα ιαστημικά Τηλεσκόπια Νέας Γενιάς π.χ., από το 01 το Jaes Webb Space Telescope, από το σημείο αναμένεται να δώσει καλύτερες και περισσότερες παρατηρήσεις, καώς στο οπτικό πεδίο του τηλεσκοπίου δε α παρεμβάλλεται ο γήινος όγκος, όπως συμβαίνει με το τηλεσκόπιο Hubble. Ο Νεύτωνας αναγνώρισε ότι για την επέκταση της ισχύος του νόμου της παγκόσμιας έλξης στο πεδίο δυνάμεων που ασκείται σε μια ελκυόμενη μάζα από ένα έλκον σώμα σημαντικών διαστάσεων και ανομοιόμορφης κατανομής της μάζας του, όπως η Γη, απαιτείται ένας διαφορετικός τρόπος υπολογισμού της βαρυτικής δύναμης Στην γενικότερη περίπτωση που οι διαστάσεις ενός έλκοντος σώματος είναι σημαντικές και η πυκνότητα του παρουσιάζει ανομοιογένεια ή ασυνέχειες, το βαρυτικό πεδίο που αυτό δημιουργεί μπορεί εν γένει να αποκλίνει από την σφαιρικά συμμετρική λύση που ισχύει για σημειακές πηγές. Για να αποκτήσουμε μια διαίσηση σχετικά με το πως μοιάζουν (γεωμετρικά) τα διάφορα πεδία βαρύτητας, είναι αναγκαίο να εξετάσουμε μια ακολουία από σταδιακά πιο περίπλοκα συστήματα κατανομής μαζών, ξεκινώντας με μια απλή σημειακή μάζα και να καταλήξουμε σε ένα στερεό σώμα, το οποίο όχι μόνο κινείται αλλά και περιφέρεται γύρω από τον άξονά του Η τελευταία περίπτωση είναι αυτή που α μας δώσει να καταλάβουμε πως διαμορφώνεται το γήινο βαρυτικό πεδίο, τόσο έξω όσο και μέσα στη Γη. Υπολογισμός ελκτικών δυνάμεων για διαφορετικές κατανομές μαζών Σημειακές μάζες. Μια μάζα (πηγή), ασκεί μια δύναμη σε οποιαδήποτε άλλη (μοναδιαία) μάζα πράγματι η απλούστερη περίπτωση Πεπερασμένος αριμός σημειακών μαζών, όπου κάε μάζα δημιουργεί το δικό της πεδίο δυνάμεων Συνεχής κατανομή μαζών στο χώρο Γραμμική κατανομή (π.χ. ράβδος, τόξο, ) Επιφανειακή κατανομή (π.χ. κυκλικός δίσκος, σφαιρικό κέλυφος ) 3-D κατανομή μαζών σε ακίνητα ή περιστρεφόμενα σώματα φυσικών σωμάτων π.χ. ομογενής σφαίρα ή σφαιροοειδές όπως η Γη Πεδίο από τη μάζα ενός σημείου Αυτό είναι φυσικά απλό: γνωρίζουμε ήδη ότι αυτό το πεδίο έχει ένταση g=g/, και η κατεύυνση της έλξης μιας μάζας είναι προς την έλκουσα μάζα. Αυτή είναι μια μάλλον ανεπαρκής αναπαράσταση: δεν δίνει την τριδιάστατο χαρακτήρα των ελκτικών δυνάμεων, Κενοί χώροι Ένταση του πεδίου βαρύτητας και δυναμικές γραμμές Το πεδίο βαρύτητας γίνεται ευκολότερα αντιληπτό με τις δυναμικές γραμμές του Αυτές διατάσσονται έτσι ώστε το διάνυσμα της έντασης g να είναι σε κάε σημείο εφαπτόμενο σε αυτές.
Γενικός ορισμός των δυναμικών γραμμών Η εφαπτόμενη μιας δυναμικής γραμμής σε οποιοδήποτε σημείο της, δίνει τη διεύυνση της έντασης στο σημείο αυτό Οι δυναμικές γραμμές σχεδιάζονται έτσι που ο αριμός τους σε κάε μονάδα εμβαδού σε μια κάετη διατομή, να είναι ανάλογος του μέτρου της έντασης π.χ., πυκνές εκεί που η τιμή του g είναι μεγάλη Ένα μειονέκτημα της απεικόνισης ενός βαρυτικού πεδίου μέσω των δυναμικών γραμμών του είναι ότι αν και μπορεί να δώσει μια καλή γενική ιδέα του πεδίου, δεν υπάρχει καμία ακριβής πληροφορία για την ένταση της ελκτικής δύναμης τουπεδίουσε κάε σημείο Υπάρχει ωστόσο μια καλή ένδειξη: όπου οι δυναμικές γραμμές είναι πιο πυκνές, η ελκτική δύναμη α είναι ισχυρότερη Ηαδυναμίανα απεικονιστεί η ισχύς του πεδίου σε τρεις διαστάσεις παραμένει Βαρυτικό πεδίο για δύο μάζες Ηαμέσωςεπόμενηαπλούστερη περίπτωση: δύο ίσες μάζες Συμμετρικά πάνω από τον ένα άξονα συντεταγμένων Η συνολική ελκτική δύναμη είναι το διανυσματικό άροισμα των επιμέρους δυνάμεων αρχή της επαλληλίας Αυτή είναι η γενική αρχή που εφαρμόζεται σε πολλά φαινόμενα (π.χ., ηλεκτρικά φορτία), όχι μόνο βαρυτικά φαινόμενα Αρχή της επαλληλίας (ή υπέρεσης) Pinciple of Supeposition Για το βαρυτικό πεδίο αυτό σημαίνει, ότι η βαρυτική δύναμη που ενεργεί σε ένα επιλεγμένο σωματίδιο μάζας είναι ένα διανυσματικό άροισμα όλων των βαρυτικών δυνάμεων που οφείλονται σε καένα από τα άλλα σωματίδια στο σύστημα Ο Νεύτωνας βασίστηκε στην αρχή της υπέρεσης για τον υπολογισμό της τροχιάς της Σελήνης με ακρίβεια, λαμβάνοντας υπόψη τη βαρύτητα τόσο από τη Γη όσο και από τον Ήλιο. Επίσης χρησιμοποίησε την ίδια αρχή για να αποδείξει ότι το βαρυτικό πεδίο έξω από μια συμπαγή σφαίρα ήταν το ίδιο σαν να ήταν όλη η μάζα στο κέντρο της Θεωρώντας ότι η συμπαγής σφαίρα αποτελείται από πολλές μικρές μάζες πρακτικά, η επίλυση ενός ολοκληρώματος Η αρχή της επαλληλίας χρησιμοποιείται για κρίσιμους υπολογισμούς για το σχεδιασμό των τροχιών δορυφόρων για διαπλανητικά ταξίδια. Τα διαπλανητικά διαστημικά σκάφη χρησιμοποιούν συχνά έναν ελιγμό που ονομάζεται βοήεια βαρύτητας γιαναφτάσουντουςστόχουςτους. Το Voage χρησιμοποίησε τη βοήεια βαρύτητας για να επισκεφτεί τον ία, τον Κρόνο, τον Ουράνιο και τον Ποσειδώνα στα τέλη της δεκαετίας του 1970 και του 1980. (0,) (0,-) Έλξη σε μάζα ισαπέχουσα από δυο ίσες μάζες Μ Μ =( + ) P(,0) Οι συνιστώσες αλληλοαναιρούνται net = (με φορά προς το κέντρο των αξόνων) Η υπέρεση λειτουργεί για κάε αριμό μαζών, όχι μόνο για δύο μεμονωμένες μάζες Απλούστευση του προβλήματος λόγω (αξονικής, σφαιρικής, ) συμμετρίας 3 5 1 4 13 1 1 π.χ., 1 και 14 αλληλοαναιρούνται ακριβώς, όπως και οι -συνιστώσες των 13 και 15 15 14 Πολλαπλές διακριτές μάζες Έστω ότι αντί για μια μάζα, σε διαφορετικά σημεία Ρ ι (ξ i,η i,ζ i ) σε ένα χώρο υπάρχει ένας πεπερασμένος αριμός σημειακών μαζών 1,, 3 n, ή εν συντομία i, i = 1,,,n που ενεργούν σε μια άλλη μάζα (υπόεμα) σε σημείο Ρ(,,) αρχή της υπέρεσης ή επαλληλίας i i d i
Πολλαπλές διακριτές μάζες Καεμία από τις σημειακές μάζες i, i = 1,,,n δημιουργεί το δικό της πεδίο δυνάμεων i i i Πολλαπλές διακριτές μάζες i i i Πολλαπλές διακριτές μάζες i i i Καεμία με συνιστώσες κατά τη διεύυνση των αξόνων του συστήματος αναφοράς: Η επίδραση τους σε μια μάζα σε κάποιο σημείο Ρ(,,) είναι η συνολικά ασκούμενη ελκτική δύναμη από κάε έλκουσα μάζα i ( δηλ., το διανυσματικό άροισμα των επιμέρους δυνάμεων i ) Εάν το σύνολο των διακριτών μαζών δεν αποτελούν ένα σύστημα σωματιδίων, αλλά και ένα μεγάλο συμπαγές σώμα, όπως η Γη, αυτό μπορεί να εωρηεί ως ένασύστηματων σωματιδίων με συνεχή κατανομή στοιχειωδών μαζών d, που παράγουν, η καεμία από αυτές επιμέρους βαρυτικές δυνάμεις i και το άροισμα τους α πρέπει να αντικατασταεί με μια ολοκλήρωση για όλο τον όγκο του σώματος. Στοιχειώδεις μάζες d d g Εάν μια μάζα Μ είναι κατανεμημένη σε ένα σώμα, κάε απειροελάχιστο κομμάτι μάζας d ασκεί μια δύναμη d g στην μάζα : Στοιχειώδεις μάζες d d d -ais net =? Παράδειγμα: Μια λεπτή ράβδος, με συνολική μάζα Μ ομοιόμορφης πυκνότητας και μήκος βρίσκεται στον άξονα σε απόσταση d από την αρχή του άξονα. Ποιο είναι το μέγεος της συνολικής βαρυτικής δύναμης που ράβδος ασκεί σε μια σημειακή μάζα στην αρχή του άξονα; Γραμμική κατανομή στοιχειωδών μαζών d d d Το μέγεος της συνολικής ελκτικής δύναμης που ασκεί ράβδος ομογενούς πυκνότητας σε σημειακή μάζα Γραμμική (ομογενής) πυκνότητα ρ ρ=li ( / ) 0 = (d/d) / Ολοκλήρωση για ολόκληρο το μήκος της γραμμικής κατανομής d d Ελκτική δύναμη ομογενούς ράβδου Θεωρούμε το απειροστό κομμάτι της ράβδου μεταξύ και + με στοιχειώδη μάζα d = ρ που μπορεί να εωρηεί σαν υλικό σημείο Η ελκτική δύναμη που ασκεί στη μάζα είναι d + = d = G iˆ ρ Ποιο είναι το μέγεος της συνολικής βαρυτικής δύναμης που ράβδος ασκεί σε μια σημειακή μάζα στην αρχή του άξονα; d Ομογενής ράβδος μάζας Μ Η γραμμική πυκνότητα της είναι ρ = / d d d = G iˆ d =... = G iˆ d( d + ) Ελκτική δύναμη ομογενούς ράβδου - παράδειγμα - d γραμμική πυκνότητα ρ = / απειροστό κομμάτι της d ράβδου μεταξύ και + d=ρ d d d d iˆ ˆj d = G nˆ = G nˆ = G ( + ) ( + ) + Συνολική ελκτική δύναμη d ( iˆ ˆ) j = d = G = 3/ [ + ] 0 = = G 1 1 1... iˆ + + ˆj Από τις ελκτικές δυνάμεις δύο σημειακών μαζών, στις έλξεις σφαιρικών μαζών Προκειμένου να υπολογίσουμε την έλξη που ασκείται από σφαίρες και σφαιροειδή με ομοιόμορφη και με μεταβαλλόμενη πυκνότητα σε ένα σωματίδιο, μπορούμε να χρησιμοποιηούν μια σειρά από βασικούς υπολογισμούς της ελκτικής δύναμης
Από τις ελκτικές δυνάμεις δύο σημειακών μαζών, στις έλξεις που ασκούν Ένας κυκλικός δακτύλιος ή κυκλικό τόξο, με γραμμική κατανομή της μάζας του, σε στοιχειώδη μάζα εκτός ή εντός του δακτυλίου Από τις ελκτικές δυνάμεις δύο σημειακών μαζών, στις έλξεις που ασκούν Ένας κυκλικός λεπτός δίσκος (απλό στρώμα), με ομογενή επιφανειακή κατανομή της μάζας του (σταερή επιφανειακή πυκνότητα), σε στοιχειώδη μάζα εκτός ή εντός του δίσκου Από τις ελκτικές δυνάμεις δύο σημειακών μαζών, στις έλξεις που ασκούν Ένα λεπτό σφαιρικό κέλυφος, με σταερή επιφανειακή πυκνότητα, σε στοιχειώδη μάζα στο εξωτερικό ή το εσωτερικό του κελύφους. Από τις ελκτικές δυνάμεις δύο σημειακών μαζών, στις έλξεις που ασκούν Ένα σφαιρικό σώμα ομογενούς πυκνότητας, σεμιαστοιχειώδημάζαστο εξωτερικό, στην επιφάνεια, στο εσωτερικό ή στοκέντροτουσώματος. d i Έλξη κυκλικού δακτυλίου σε μια σημειακή μάζα σε σημείο Ρστονάξονα; ως συνάρτηση της συνολικής μάζας d i Μ του δακτυλίου Φανταστείτε ότι ο δακτύλιος μπορεί να διαιρεεί σε πολύ μικροσκοπικά κομμάτια στοιχειώδους μάζας d και σταερής πυκνότητας σ. P(,0) d i Έλξη κυκλικού δακτυλίου d i Για τον υπολογισμό της δύναμης έλξης μεταξύ ολόκληρου του δακτυλίου και της μάζας στο σημείο Ρ, P(,0) σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας α πρέπει να υπολογίσουμε το διανυσματικό άροισμα των δυνάμεων μεταξύ της μάζας,, και κάε μικρό κομμάτι του δακτυλίου, d. d i d i Αυτό που διευκολύνει την εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας είναι η συμμετρική κατανομή των στοιχειωδών μαζών. Είναι απλά μια τρισδιάστατη εκδοχή της περίπτωσης δύο διακριτών μαζών και μπορεί να απεικονιστεί με την περιστροφή των δύο μαζών γύρω από το άξονα P(,0) d i d i Για κάε ζεύγος των επιμέρους δυνάμεων που ασκούν οι αντιδιαμετρικές στοιχειώδεις μάζες d i, P(,0) οι συνιστώσες τους εκτός του άξονα από το κέντρο του δακτυλίου προς τη μάζα ακυρώνονται και το μόνο που χρειάζεται είναι να προσέσουμε τις συνιστώσες τους κατά μήκος του κεντρικού άξονα d i d i Είναι προφανές ότι ισχύει η ίδια συλλογιστική και η ίδια σχέση που χρησιμοποιήηκε στην περίπτωση των δύο ίσων συμμετρικά διατεταγμένων ελκουσών μαζών P(,0) ως άσκηση
Στοιχειώδεις μάζες, στον άξονα κυκλικού τόξου π.χ., κυκλικό τμήμα λεπτής ράβδου ή λεπτού σύρματος P(0,0,) Ελκτικήδύναμησεμάζα στο σημείο Ρ(0,0,), από μια a ομογενή ράβδο σε σχήμα κυκλικού τόξου γωνίας a, d στο επίπεδο Q(ξ,η,0) Απειροστό κομμάτι της ράβδου μεταξύ των γωνιών και +d PQ: Το κυκλικό τόξο έχει σταερή πυκνότητα ρ, και μάζα Μ Στοιχειώδεις μάζες, στον άξονα κυκλικού τόξου Ελκτικήδύναμησεμάζα στο σημείο Ρ(0,0,), από μια P(0,0,) ομογενή ράβδο σε σχήμα κυκλικού τόξου γωνίας a, a στο επίπεδο Απειροστό κομμάτι της d ράβδου μεταξύ των γωνιών και +d PQ: Q(ξ,η,0) Το μέτρο του διανύσματος (= P Q) δίνει την απόσταση = ( + ) της ελκυόμενης μάζας από κάε στοιχειώδη μάζα d i τουκυκλικούτόξου Στοιχειώδεις μάζες, στον άξονα κυκλικού τόξου PQ: = Q(ξ,η,0) P(0,0,) a d Χρησιμοποιώντας πολικές συντεταγμένες (,)=(cos, sin), και τη σχέση =, μήκους τόξου, ακτίνας και γωνίας : 0 α, των ακτινών στην αρχή και το τέλος του τόξου προκύπτει η στοιχειώδης μάζα d = ρ = ρ d a d ρ d = G ˆ d = G...? d 3 ( + ) 0 =...? PQ: = Στοιχειώδεις μάζες, στον άξονα κυκλικού τόξου - άσκηση Q(ξ,η,0) P(0,0,) a d ρ d = G...? d 3 ( + ) 0 εντός του ολοκληρώματος ο όρος? είναι το διάνυσμα. Λαμβάνοντας υπόψη ότι = (ξ-0) i + (η-0) j + (0-) k = ( cos) i + ( sin) j - k, υπολογίζονται εύκολα οι συνιστώσες,,, όπου εντός του ολοκληρώματος οι αντίστοιχοι όροι είναι cos, sin, -. a Στοιχειώδεις μάζες, κυκλικού τόξου - άσκηση - Ελκτική δύναμη σε μάζα στο Ο σημείο Ο, από μια ομογενή ράβδο σε σχήμα ημικύκλιου (>0), στο επίπεδο απειροστό κομμάτι της d ράβδου μεταξύ των γωνιών και +d = d = G... π 0 ρ? d =..?.. = G ˆj Στοιχειώδεις μάζες, κυκλικού τόξου ή τομέα - άλλες παρόμοιες περιπτώσεις - Έλξεις από κατανομές μάζας σε σχήμα δίσκου Ποια είναι η ελκτική δύναμη σε μάζα στο σημείο Ρ, στον άξονα που διέρχεται από το κέντρο ομογενούς P μάζας Μ σε σχήμα δίσκου (ακτίνας ) Έστω απειροστό κομμάτι dα δακτυλίου ακτίνας (σε γωνία ) Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση για την έλξη δακτυλίου net, disc Έλξεις από κατανομές μάζας σε σχήμα δίσκου = 0 d G ( + ) = net, ing 3/ G ( d + ) G =... = (1 cos ) 3/ P Σφαιρικό κέλυφος Με τον όρο εννοούμε ένα λεπτό (αμελητέου πάχους) φλοιό που καλύπτει την επιφάνεια μιας σφαίρας ΟΝεύτωνας, βασίστηκε σε αυτή την έννοια και προχώρησε στην κατασκευή ενός μαηματικού εργαλείου που του επέτρεπε να υπολογίσει το βαρυτικό πεδίο που δημιουργεί ένα αντικείμενο συγκεκριμένων διαστάσεων
Το υπέροχο (supeb) εώρημα του Νεύτωνα: Η έλξη σφαιρικού κελύφους ίνει σειρά βαρυτικών απλουστεύσεων που μπορούν να εφαρμοστούν σε αντικείμενα μέσα ή έξω από ένα σώμα με σφαιρική συμμετρία. Το 1 ο σκέλος του. του κελύφους Ένα σφαιρικά συμμετρικό σώμα επηρεάζει βαρυτικά όλα τα εξωτερικά από αυτό υλικά σώματα σαν όλη η μάζα του να ήταν συγκεντρωμένη σε ένα σημείο στο κέντρο του = G 1 Ένα σφαιρικά συμμετρικό σώμα επηρεάζει βαρυτικά όλα τα εξωτερικά από αυτό υλικά σώματα σαν όλη η μάζα του να ήταν συγκεντρωμένη σε ένα σημείο στο κέντρο του ΟΝεύτωνας, στην Pincipia, απέδειξε το αντίστοιχο εώρημα του κελύφους αναφέροντας... ικανοποιητική προσέγγιση για ουράνια σώματα με μέγεος σχετικά μικρό σε σχέση με την μεταξύ τους απόσταση (η γαλαξιακή... σκοπιά του προβλήματος) άλλα όχι τόσο ικανοποιητική προσέγγιση για το πεδίο βαρύτητας ενός πλανήτη (η πλανητική... σκοπιά του προβλήματος) Το ο σκέλος του. του κελύφους Εάν το σώμα αποτελείται από μια σφαιρικά συμμετρική κατανομή μαζών σφαιρικό κέλυφος, κοίλη σφαίρα, δακτύλιος, δεν ασκεί βαρυτική δύναμη σε οποιοδήποτε μάζα, μέσα στο σώμα, ανεξάρτητα από τη έση αυτής. Η ελκτική δύναμη για μια Γη ομογενούς πυκνότητας Μια άμεση συνέπεια είναι ότι μέσα σε μια συμπαγή σφαίρα σταερής πυκνότητας, η ελκτική δύναμη ποικίλλει γραμμικά με την απόσταση d (= E ) απότοκέντροκαιλόγωτης συμμετρίας στοκέντροτουσώματοςη ελκτική δύναμη μηδενίζεται. Η ελκτική δύναμη στο εξωτερικό σφαιρικού κελύφους Θεωρούμε ένα ενιαίο (ομογενούς πυκνότητας σ) σφαιρικό κέλυφος μάζας Μ και ακτίνας (γιατοοποίοησυνολικήμάζαείναιμ = 4π σ). Μια μάζα βρίσκεται σε σημείο Ρ σε απόσταση από το κέντρο Ο του σφαιρικού κελύφους. Η ελκτική δύναμη στο εξωτερικό σφαιρικού κελύφους Η ελκτική δύναμη στο εξωτερικό σφαιρικού κελύφους Η ελκτική δύναμη στο εξωτερικό σφαιρικού κελύφους G d d = s κελύφους έτσι ώστε να είναι κάετος προς τη διεύυνση της γραμμής από το κέντρο του σφαιρικού κελύφους προς τη μάζα Στη συνέχεια, επιλέγουμε ένα δακτύλιο στη σφαιρική επιφάνεια του d = σ (π sin)( d) Γιαναβρούμετησυνολικήελκτικήδύναμηπου ασκεί το κέλυφος στη μάζα, πρέπει να ολοκληρώσουμε για όλες τις γωνίες 0 π. ιαλέγουμε ένα σωματίδιο σε αυτή τη ζώνη, τουοποίουη μάζα είναι d 4π = π sin d d G = d = G cosφ =... = s + s cosφ =, cos = s G d d = cosφ s Λόγω συμμετρίας επηρεάζουν μόνο οι δυνάμεις κατά μήκος της sin cosφ d s + s
Η ελκτική δύναμη στο εξωτερικό σφαιρικού κελύφους G = sin cosφ d s και αλλάζοντας μεταβλητή ολοκλήρωσης: s + G cosφ = s sin d = s + G = 1 4 + = s G Ημάζα μπορεί να βρίσκεται στον εξωτερικό χώρο στην επιφάνεια, ή στο εσωτερικό του του σφαιρικού κελύφους Ένα κλασικό πρόβλημα στη μηχανική είναι ο υπολογισμός της δύναμης της βαρύτητας που ασκείται σε μια μάζα που έλκεται από ένα ομοιόμορφο (δηλ. ίδιας πυκνότητας) σφαιρικό κέλυφος μάζας. Η ελκτική δύναμη στο εξωτερικό ομογενούς σφαιρικού σώματος Οποιαδήποτε συμπαγής (ομογενής) σφαίρα μπορεί να εωρηεί ως μια συμμετρική κατανομή στοιχειωδών μαζών αποτελούμενη, από ένα σύνολο από ομόκεντρα ένετα (επάλληλα) σφαιρικά κελύφη ομοιόμορφης πυκνότητας Εφόσον ένα κέλυφος από συμπαγές ομοιόμορφο υλικό έλκει μια σημειακή μάζα στον εξωτερικό του χώρο ( ), ως εάν η μάζα του κελύφους να ήταν συγκεντρωμένη στο κέντρο το ίδιο α συμβαίνει και για μια συμπαγή σφαίρα Παραδείγματα ελκτικής δύναμης για διαφορετικές σφαιρικές κατανομές μάζας Με ποια σειρά μεγέους κατατάσσονται οι ασκούμενες #1 # ελκτικές δυνάμεις στις εικονιζόμενες περιπτώσεις? Απάντηση: Είναι όλες ίδιες, δεδομένου ότι η ελκυόμενη μάζα είναι στο εξωτερικό της εκάστοτε σφαιρικής κατανομής ίδιας μάζας Μ #3 #4 Η μη ομοιογενής Γη ισχύει το εώρημα του κελύφους Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το εώρημα του κελύφους για να αποδείξουμε ότι είναι δικαιολογημένη η εώρηση ότι όλη η μάζα της Γης βρίσκεται στο κέντρο της. ΩστόσοηΓηδενείναιομοιογενής φλοιός Εξωτ. πυρήνας Εσωτ. πυρήνας Η μη ομοιογενής Γη ισχύει το εώρημα του κελύφους G Φλ. g = G Ασ. + G Μ εσ. + G Εξ. πυρ. + G Εσ. πυρ. + φλοιός Ασενόσφαιρα Μέσοσφαιρα Ασενόσφαιρα Μέσοσφαιρα Εξωτ. πυρήνας Εσωτ. πυρήνας G G g = ( Φλ + Ασ + Μεσ + Εξ. πυρ. + Εσ. πυρ. ) = Η ελκτική δύναμη στο εσωτερικό ομογενούς σφαιρικού κελύφους Ηπερίπτωσητηςέλξης ενός σφαιρικού κελύφους σε μια μάζα στο εσωτερικό του αποδεικνύεται ότι είναι αρκετά απλή κέλυφος λεπτού πάχους φλοιού, με επιφανειακή πυκνότητα μάζας ρ Η ελκτική δύναμη στο εσωτερικό ομογενούς σφαιρικού κελύφους Εξετάσουμε μόνο κώνους επιφανειακής πυκνότητας ρ, και με μικρή στερεά γωνία, π.χ. dω, που εκτείνονται από την έλκουσα μάζα και έχουν τη dω βάση τους σε τμήματα του κελύφους με μάζες 1 = ρ E 1 = ρπ( 1 dω) = ρ E = ρπ( dω) d 1 =(G 1 / 1 )= = d d =(G / )= = d 1 Οι προκύπτουσες δυνάμεις 1 και είναι στην κατεύυνση του άξονα των κώνων και αλληλοεξουδετερώνονται ακριβώς!!! Μάζα στο εξωτερικό του σ.κ. Εναλλακτικά μπορούμε να εωρήσουμε ότι το σφαιρικό κέλυφος πυκνότητας ρ ανά μονάδα επιφάνειας και μάζας Μ διαιρείται σε λεπτές κυκλικές λωρίδες στοιχειώδους πλάτους Μάζα στο εσωτερικό
Μάζα στο εξωτερικό του σ.κ. του κάτω ορίου της ολοκλήρωσης (- αντί -) Ο μαηματικός υπολογισμός της ελκτικής δύναμης που ασκεί σφαιρικό κέλυφος σε μια μάζα οπουδήποτε στο εσωτερικό του ακολουεί παρόμοια διαδικασία ολοκλήρωσης με εκείνη για μιας μάζα στο εξωτερικό του κελύφους Μάζα στο εσωτερικό : [0, π] Æ φ : [π, 0], s : [, + ] = G Ε Ε 9.81 s, ρ = g( ) = 4 π 3 3 G ( ), ( ) = ρ g ( ) = g Wibele, Teas Φανταστείτε μια ελεύερη πτώση, σε ένα υποετικό πηγάδι που διέρχεται από το κέντρο της Γης και συνδέει δυο αντιδιαμετρικά της σημεία. ( ) = g ( ) = g = k Εξίσωση Hooke Αρμονική ταλάντωση T = π Φανταστείτε ένα ταξίδι βαιά μέσα στη Γη, όπως απεικονίζεται από τον Ι. Βέρν στο γνωστό μυιστόρημα του Ταξίδι στο κέντρο της Γης Είναι η επίδραση της βαρύτητας ισχυρότερη ή ασενέστερη στο κέντρο της Γης από ότι στην επιφάνεια της Γης; g ( ) =... ασκεί μεγαλύτερη δύναμη στην επιφάνεια της Γης, και μειώνεται σε αναλογία καώς απομακρυνόμαστε από εκεί, πηγαίνοντας είτε προς το κέντρο, είτε ψηλότερα από την επιφάνεια του πλανήτη. ˆ = G ˆ = g ˆ 3 4 3 π 3 = π g eonad Eule (1760): Είμαστε σίγουροι... ότι η βαρύτητα g =... = 84.5 in Ένταση της βαρύτητας ταξίδι στο κέντρο της Γης ˆ G ' =G Η ελκτική δύναμη στο κέντρο της Γης, 4 3 π 3 '= 3 = 3 4 π 3 3 net = G = ταξίδι στο κέντρο της Γης Η ελκτική δύναμη στο εσωτερικό ομογενούς σφαιρικού σώματος Εφόσον η συνολική ελκτική δύναμη από ένα σφαιρικό κέλυφος σε μια σημειακή μάζα στο εσωτερικό του είναι μηδέν! και Οποιαδήποτε σφαιρική κατανομή στοιχειωδών μαζών (π.χ. συμπαγής ή με ακτινικά μεταβαλλόμενη πυκνότητα σφαίρα) μπορεί να δημιουργηεί από ομόκεντρα τέτοια κελύφη Æ Σε απόσταση <, η ελκτική δύναμη εξαρτάται μόνο από την επίδραση της μάζας () στην μάζα + G 1 + = 0 4 s ηλ., η συνολική ασκούμενη δύναμη από το κέλυφος στην μάζα, σε οποιοδήποτε σημείο στο εσωτερικό του, είναι μηδέν Η ελκτική δύναμη στο εσωτερικό ομογενούς σφαιρικού σώματος Σε μια σημειακή μάζα τοποετημένη στο εσωτερικό μιας σφαίρας ομογενούς πυκνότητας σ, ακτίνας, και συνολικής μάζας Μ, τι ελκτική δύναμη ασκείται, όταν η μάζα είναι σε απόσταση < ή στο κέντρο (=0) τι δύναμη ασκείται όταν η μάζα πέφτει (σε ένα νοητό τούνελ) από την επιφάνεια προς το κέντρο της σφαίρας; εάν = 0 Æ φ = π και s = - Η ελκτική δύναμη στο εσωτερικό ομογενούς σφαιρικού σώματος H μόνη διαφορά είναι στην αντίστροφή σειρά Συμπαγής (ομοιόμορφης πυκνότητας) σφαίρα Γραμμική μεταβολή στο g εσωτερικό της, όπως και στο εξωτερικό της Γης, ενώ, g=0 στο κέντρο της (εξήγηση?) Ε Απόσταση Μια σφαίρα με κοιλότητα Μηδέν στο εσωτερικό της Όπως η Γη στο εξωτερικό g Ε Απόσταση της
Στοιχειώδεις μάζες συνεχής κατανομή Εάν μια μάζα Μ είναι κατανεμημένη σε ένα σώμα, κάε απειροελάχιστο κομμάτι μάζας d ασκεί μια δύναμη d ι στην μάζα : d d i καιγιαένασώμασυνολικής μάζας Μ (που αποτελείται από άπειρες στοιχειώδεις μάζες d i ) Η ελκτική δύναμη φυσικών σωμάτων Τα φυσικά σώματα στην πραγματικότητα μπορεί να εωρηούν ως ένα σύνολο διακριτών μαζών dμ 1, dμ, dμ 3 dμ n, ήενσυντομίαdμ i, i = 1,,,n : (,, ) d i (,,) d i Η επίδραση τους σε μια μάζα, σε κάποιο σημείο P(,, ), είναι η συνολικά ασκούμενη ελκτική δύναμη από κάε έλκουσα μάζα d i Η ελκτική δύναμη φυσικών σωμάτων και αν εωρηεί ότι κάε σημείο Ρ(,,) του φυσικού σώματος, περικλείεται από μια στοιχειώδη μάζα dμ, όγκου dv και πυκνότητας ρ, όπου d = ρ dv = ρ d d d d i d = G 3 = G i 3 ρ dvi d i (,,) N i (,, ) d i d i Ω Η ελκτική δύναμη φυσικών σωμάτων Το άροισμα των ελκτικών δυνάμεων που ασκεί κάε στοιχειώδης μάζα του φυσικού σώματος στην ελκυόμενη μάζα, αντικαίσταται από ένα τριπλό ολοκλήρωμα... Newton s integal = d = G ρ dv = G 3 (,, ) d i d net i 3 σώμα V V d i (,,) Η ελκτική δύναμη φυσικών σωμάτων Για τον υπολογισμό του γήινου πεδίου βαρύτητας απαιτείται η γνώση των διανυσματικών συνιστωσών,, της βαρυτικής ελκτικής δύναμης σε κάε σημείο στο χώρο... και μέσω μιας ολοκληρωματικής διαδικασίας d i (,,) (,, ) d i Αν μπορούσαμε να βρούμε μια βαμωτή συνάρτηση συνάρτηση δυναμικού Οι συνιστώσες X, Y, Z τηςελκτικήςδύναμης α δίνονταν ως όπως μπορούν εύκολα να επαληευτούν με μια απλή παραγώγιση ΗσυνάρτησηV α περιέγραφε ισοδύναμα το πεδίο των ελκτικών δυνάμεων σε κάε σημείο στο χώρο: = [ X, Y, Z ] = gadv Το επόμενο βήμα d i (,,) (,, ) d i Την επόμενη φορά Η μετάβαση από το πεδίο των ελκτικών δυνάμεων στογήινοελκτικόδυναμικό του πεδίου βαρύτητας Ελκτικές δυνάμεις Γήινο δυναμικό