ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης

5.1. Μορφές κάµψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης Η γενική κάµψη (ή κάµψη), κατά την οποία εµφανίζεται στο φορέα (π.χ. δοκό) καµπτική ροπή (Μ) και τέµνουσα δύναµη (Q) (Σχ. 5.1.α). Η σύνθετη κάµψη, κατά την οποία αναπτύσσεται και αξονική δύναµη (Ν) ή και στρεπτική ροπή (Μ t ) (Σχ. 5.1.β). Η απλή κάµψη, κατά την οποία σε ένα τµήµα του φορέα ή σε όλο το µήκος του αναπτύσσεται µόνο καµπτική ροπή (Μ 0, Μ t ΝQ0) (Σχ. 5.1.γ, τµήµα Γ ). H V V V V V V - (N) (N) (N) - (Q) (Q) (Q) - - (M) (M) (M) Σχ. 5.1. Στατικές µορφές και διαγράµµατα καµπτόµενης δοκού. 5.1.1. Γενική Ανάλυση Παραδοχές Έστω αµφιέρειστη, αφόρτιστη δοκός του Σχ.5.2, στην οποία όταν επιβληθούν εξωτερικά φορτία, έστω, θα παραµορφωθεί όπως στα Σχ.5.3 και Σχ 5.4. 1

h Όψη δοκού ιατοµή δοκού Σχ.5.2. Αφόρτιστη δοκός Γ Ε Ζ V V Σχ.5.3. Φορτισµένη και παραµορφωµένη δοκός Γ, Γ : Άνω (θλιβόµενη) ίνα ΟΟ : Ουδέτερη ίνα. ΕΖ, Ε Ζ : Κάτω (εφελκυόµενη) ίνα. Σχ.5.4. 2

Θεωρώ το τµήµα Γ της δοκού, µεταξύ των δύο φορτίων, όπου υπάρχει απλή κάµψη και κάνω τις εξής παραδοχές: 1. Το ύψος h της διατοµής της δοκού είναι µικρότερο από το µισό του ανοίγµατος (h< /2). Όταν δεν ισχύει αυτό ο φορέας είναι «δίσκος». 2. Υπάρχει τουλάχιστον ένας άξονας συµµετρίας (yy ). 3. Ο ουδέτερος άξονας της δοκού n-n (διαµήκης), ο οποίος διέρχεται από τα κέντρα βάρους των διατοµών, είναι ευθύγραµµος, όταν η δοκός είναι αφόρτιστη. 4. Τα εξωτερικά φορτία - είναι κάθετα στον άξονα της δοκού n-n και βρίσκονται στο επίπεδο φόρτισης ή καµπτόµενο επίπεδο, που συµπίπτει µε το επίπεδο συµµετρίας της δοκού (διαφορετικά θα έχουµε σύνθετη κατάσταση). 5. Η δοκός είναι από υλικό µε ίδιο µέτρο ελαστικότητας (Ε) σε εφελκυσµό και θλίψη και οι αναπτυσσόµενες τάσεις είναι µικρότερες του ορίου αναλογίας του υλικού, άρα ισχύει ο Νόµος του Hooke. 6. Οι διατοµές (κάθετες τοµές στον άξονα n-n) είναι επίπεδες, όταν η δοκός είναι απαραµόρφωτη και παραµένουν επίπεδες και κάθετες στον άξονα, ακόµα κι όταν αυτός καµπυλώνεται µετά τη φόρτιση (υπόθεση των ernoulli-navier). Σχ. 5.5 Εξετάζουµε το τµήµα της δοκού, µεταξύ των φορτίων, όπου η ροπή κάµψης είναι σταθερή (Μc) και η τέµνουσα µηδενική (Q0). Παρατηρούµε ότι οι άνω 3

ίνες της δοκού, µήκους Γ, έχουν µετά τη φόρτιση καµπυλωθεί και βραχυνθεί σε Γ. Αντίστοιχα, οι κάτω ίνες έχουν επιµηκυνθεί σε Ε Ζ. Εποµένως, οι άνω ίνες έχουν καταπονηθεί σε θλίψη, ενώ οι κάτω ίνες σε εφελκυσµό. Οι ενδιάµεσες ίνες, σταδιακά βραχύνονται ή επιµηκύνονται όλο και λιγότερο, οπότε κατά τη µετάβαση από τις εφελκυόµενες στις θλιβόµενες ίνες, υπάρχει µια στρώση ινών, των οποίων το µήκος ΟΟ δεν υφίσταται καµία µεταβολή. Οι ίνες αυτές δεν καταπονούνται ούτε σε θλίψη, ούτε σε εφελκυσµό και ονοµάζονται ουδέτερες ίνες. Το επίπεδο στο οποίο ανήκουν δε, καλείται ουδέτερο επίπεδο (p) της δοκού. Η τοµή του ουδέτερου επιπέδου (p) µε κάθε διατοµή της δοκού καλείται ουδέτερη γραµµή της διατοµής και συµπίπτει µε τον κεντροβαρικό άξονα, κύριο άξονα αδρανείας της διατοµής. Η ουδέτερη γραµµή διαχωρίζει την εφελκυόµενη από τη θλιβόµενη περιοχή της διατοµής της δοκού. Εποµένως: «Όταν τα φορτία ενεργούν κατά τον ένα κύριο άξονα y της διατοµής, ουδέτερη γραµµή είναι ο άλλος άξονάς της,» [Θεµελιώδης Νόµος της κάµψης]. y Σχ.5.6. Αξονοµετρικό καµπτόµενης δοκού 4

5.1.2 Τύπος της κάµψης ιάγραµµα, στερεό των τάσεων y y M Σχ.5.7 Στερεό των τάσεων της καµπτόµενης διατοµής Κατά την κάµψη της δοκού οι διατοµές στρέφονται περί την ουδέτερη γραµµή τους, που είναι και κύριος κεντροβαρικός άξονας αδρανείας της, δηµιουργώντας έτσι την θλιβόµενη περιοχή πάνω από αυτήν και την εφελκυόµενη κάτω από τη γραµµή. Αν παραστήσουµε τις εφελκυστικές και θλιπτικές τάσεις µε ανύσµατα, στο Σχ.5.7 φαίνεται ότι οι ορθές τάσεις είναι κάθετες στη διατοµή, το διάγραµµα των τάσεων στην όψη της δοκού έχει τριγωνική κατανοµή και αντίστοιχα το στερεό των τάσεων (αξονοµετρικό διάγραµµα) είναι 2 τριγωνικά πρίσµατα. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε διατοµή, από τη µηδενική τάση στη θέση της ουδέτερης γραµµής, µέχρι την ακραία άνω ίνα, που αναπτύσσεται η µέγιστη θλιπτική τάση maσ ο ή την ακραία κάτω ίνα που αναπτύσσεται η µέγιστη εφελκυστική τάση maσ u,η µεταβολή των ορθών τάσεων είναι γραµµική. Αποδεικνύεται ότι σε ένα τυχαίο σηµείο Σ της διατοµής, που υφίσταται ροπή κάµψης Μ, αναπτύσσεται ορθή τάση, που δίνεται από τον τύπο, που εκφράζει το νόµο των ορθών τάσεων: σ M J y 5

Όπου: Μ: η ροπή κάµψης, που ασκείται στη διατοµή J : Η ροπή αδρανείας της διατοµής, ως προς τον κύριο κεντροβαρικό άξονά της, που είναι και η ουδέτερη γραµµή της διατοµής, ώς προς την οποία καλείται να στραφεί αυτή, καθώς καµπυλώνεται η καµπτόµενη δοκός. y: η απόσταση του σηµείου από την ουδέτερη γραµµή της διατοµής. Α. Αν το y είναι κάτω από την ουδέτερη γραµµή, η τάση είναι εφελκυστική και προσηµαίνεται µε θετικό πρόσηµο () ενώ αν είναι πάνω από την ουδέτερη γραµµή είναι θλιπτική και προσηµαίνεται µε αρνητικό πρόσηµο (-). Άρα ο τύπος γράφεται: Εφελκυστική τάση κάτω ίνας: σ M J y Θλιπτική τάση άνω ίνας: σ M J y Παρατηρώντας τον τύπο των ορθών καµπτικών τάσεων διαπιστώνουµε ότι: Όσο µεγαλύτερη είναι η ροπή κάµψης της διατοµής, τόσο µεγαλύτερη είναι η τάση. Είναι απαραίτητο να γίνεται η στατική επίλυση της δοκού και να υπολογίζεται, στη ζητούµενη διατοµή, η ροπή κάµψης όπως, επίσης, και η µέγιστη αναπτυσσόµενη ροπή κάµψης της δοκού στη λεγόµενη δυσµενέστερη διατοµή, δηλαδή αυτή, που υποφέρει από ροπή κάµψης περισσότερο από όλες τις άλλες διατοµές. Για παράδειγµα στο Σχ.5.9 ισχύει: maσ Σ1 maσ Σ2 < mamaσ maσ Γ- επειδή Μ1 < Μ2 < Μ Μ ma 6

V V 1 2 M1 M2 mama 1-2 1 2 Σχ.5.8. Μεταβολή της τάσης κατά µήκος της δοκού Β. Όσο µεγαλύτερη είναι η ροπή αδρανείας της διατοµής ως προς την ουδέτερη γραµµή, τόσο µικρότερη είναι η ορθή καµπτική τάση. Γ. Όσο µεγαλύτερη είναι η απόσταση (y) του σηµείου ή της ίνας από την ουδέτερη γραµµή, τόσο µεγαλύτερη είναι η τάση. Αυτό σηµαίνει ότι µεγαλύτερες, σε απόλυτη τιµή, ορθές τάσεις κάθε διατοµής αναπτύσσονται στις ακραίες άνω ή κάτω ίνες. ma σo o ma σu u 7

Αν δε αναζητήσουµε τη µεγαλύτερη ροπή κάµψης της δοκού maμ, τότε θα έχουµε τις µέγιστες εφελκυστικές ή θλιπτικές τάσεις από κάµψη της δοκού: ma ma ma ma σo σu o u Το πηλίκο της ροπής αδράνειας της διατοµής J, ως προς την απόσταση y της ακραίας θλιβόµενης ή εφελκυόµενης ίνας, ονοµάζεται ροπή αντίστασης W της διατοµής (άνω ή κάτω). ηλαδή ισχύει ο τύπος: W o W u o u οπότε αντίστοιχα: M ma σo W o M ma σu W u Αν may o may u may τότε, προφανώς, θα υπάρχει µόνο µία τιµή για την ροπή αντίστασης και την ορθή τάση από κάµψη. 5.1.3.Τύποι προβληµάτων κάµψης 5.1.3.1. Υπολογισµός ορθών τάσεων από κάµψη Έλεγχος τάσεων Σε αυτόν τον τύπο προβλήµατος δίνονται όλα τα στοιχεία, για να υπολογιστεί η τάση, που αναπτύσσεται, κατά κανόνα, στη δυσµενέστερη διατοµή και, στη συνέχεια, ελέγχεται αν είναι µικρότερη από την επιτρεπόµενη τάση σε κάµψη, που µας δίνει ο κανονισµός για τους φορείς, ανάλογα µε το υλικό τους. 8

Συνθήκη ασφαλούς λειτουργίας M ma maσ u επ. σ εφ W, u M ma maσ o επ. σ θλ W, o 5.1.3.2. Υπολογισµός οικονοµικότερης διατοµής ή διαστασιολόγηση Σε αυτόν τον τύπο προβλήµατος δίνεται ή είναι υπολογίσιµη η ροπή κάµψης της δοκού (κατά κανόνα η µέγιστη) και η επιτρεπόµενη τάση (δηλαδή είναι γνωστό το υλικό). Ζητείται η απαιτούµενη ροπή αντίστασης, η οποία αποτελεί και την οικονοµικότερη περίπτωση, γιατί έχει προκύψει από τη µεγαλύτερη επιτρεπόµενη τάση και, στη συνέχεια, είτε από πίνακες, είτε από γεωµετρική επίλυση, επιλέγεται ο τύπος και οι διαστάσεις της διατοµής, τέτοιες, ώστε να δίνουν ροπή αντίστασης ίση ή λίγο µεγαλύτερη από την απαιτούµενη. minw επσ 5.1.3.3. Φορτοϊκανότητα ή υπολογισµός µέγιστου φορτίου. Σε αυτό το πρόβληµα είναι γνωστή η διατοµή της δοκού, άρα η ροπή αντίστασης και το υλικό της, συνεπώς η επιτρεπόµενη τάση. Ζητείται η µέγιστη τιµή της ροπής κάµψης, που µπορεί να αναλάβει η δοκός: Wεπσ Στη συνέχεια, αν δίνονται και στοιχεία της στατικής µορφής (µήκος φορέα, θέση φορτίων), µπορούν να υπολογιστούν και τα εξωτερικά φορτία. 9

5.2. Βέλος κάµψης Σχ. 2.26. Παραµόρφωση αµφιέρειστης δοκού. Υπάρχουν περιπτώσεις στη στατική µελέτη, όπως για παράδειγµα των χαλύβδινων δοκών, που ο έλεγχος βέλους κάµψης είναι ο καθοριστικός για τη διαστασιολόγηση της διατοµής (W min ) και στη συνέχεια ελέγχονται οι αναπτυσσόµενες τάσεις, που κατά κανόνα, είναι µικρότερες των επιτρεπόµενων. Η υπέρβαση των µέγιστων επιτρεπόµενων παραµορφώσεων (βελών κάµψης) στον καµπτόµενο φορέα, ακόµα και αν δε φέρει τη ρηγµάτωσή του, θα προκαλέσει αίσθηµα ανασφάλειας, καταστροφή της αισθητικής, κυρίως όµως κατασκευαστικές αστοχίες συνδέσεων µε τα υπόλοιπα µέρη του έργου. Με την επιβολή των καµπτικών φορτίων, έχουµε ήδη αναφέρει ότι ο κεντροβαρικός άξονας της δοκού (ουδέτερος άξονας n-n) παραµορφώνεται παίρνοντας µορφή καµπύλης γραµµής, που καλείται ελαστική γραµµή. Η κατακόρυφη µετατόπιση των σηµείων του άξονα από την αρχική θέση, ονοµάζεται βέλος κάµψης της δοκού στην αντίστοιχη θέση. Όπως και τα υπόλοιπα µεγέθη, το βέλος κάµψης εξαρτάται από τη στατική µορφή του φορέα (είδος στήριξης, φόρτιση, άνοιγµα), από τη γεωµετρία του (ροπή αδρανείας) και από το υλικό (µέτρο ελαστικότητας). Το µέγιστο βέλος κάµψης εν προκειµένω, θα το παίρνουµε από τους αντίστοιχους πίνακες. Επιµέλεια: Χαραλαµποπούλου Ιωάννα 10