( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ η Εηνική Μαθηματική Ουμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 009 ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Θέματα μεγάων τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακέραιου 9n Α n 7 είναι ρητός. n για τις οποίες ο αριθμός * Αρκεί να υπάρχουν ab, με ( ab, ) τέτοιοι ώστε: 9n a. () n 7 b Από τη σχέση () αμβάνουμε: 7 a b 7( a 9 b ) n b 7 b () 9b a 9b a 9b a Επειδή είναι ( ab, ), έπεται ότι ( a, b ) και ( 9 b a, b ), οπότε από τη σχέση () προκύπτει ότι ο αριθμός n είναι ακέραιος, αν, και μόνον αν, ο ακέραιος 9b a είναι διαιρέτης του. Επειδή οι αριθμοί ab, και n είναι θετικοί ακέραιοι, προκύπτει ότι 9b a 8, οπότε θα είναι: 9b a ( 3b a)( 3ba) { 8,,3, }. (3) Επειδή οι παράγοντες 3 b a, 3ba έχουν άθροισμα ποαπάσιο του και διαφορά ποαπάσιο του και είναι 3b a > 3b a, από τη σχέση (3) οι μόνες δυνατές περιπτώσεις που προκύπτουν είναι οι εξής: 3 b a,3b a, ή 3 b a,3b a 8, ή 3 b a,3b a, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ab, ) (,) ή ( ab, ) (,) ή ( ab, ) ( 7, 3 ). Το ζευγάρι ( ab, ) (,) απορρίπτεται, γιατί ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των ab, είναι, οπότε προκύπτουν τεικά οι τιμές n ή n. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με περίκεντρο Ο και Α, Β, Γ τα μέσα των πευρών ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ έτσι ώστε: ΟΑ Ο Α, ΟΒ ΟΒ και ΟΓ ΟΓ με > 0. Αποδείξτε ότι οι ευθείες ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ συντρέχουν.

Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. Τότε θα ισχύει ΑΗ ΟΑ. Δεδομένου όμως ότι ΟΑ ΟΑ, καταήγουμε στη σχέση: Α Η ΟΑ. Αν τώρα C είναι το σημείο τομής των ΑΑ και ΟΗ (από την ομοιότητα των τριγώνων CΗΑ και CΟΑ ), έχουμε: Η C C Ο. Δηαδή η ΑΑ περνάει από το σημείο C που χωρίζει το ΟΗ σε όγο. Ομοίως, θα ισχύει ΒΗ ΟΒ. Δεδομένου όμως ότι ΟΒ ΟΒ, καταήγουμε ΒΗ ΟΒ. Αν τώρα C είναι το σημείο τομής των ΒΒ και ΟΗ (από την ομοιότητα των τριγώνων C ΗΑ και C ΟΒ ), έχουμε: Η C C Ο. Δηαδή η ΒΒ περνάει από το ση- μείο C που χωρίζει το ΟΗ σε όγο. Αν τώρα C είναι το σημείο τομής των ΒΒ και ΟΗ, τότε με όμοιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι η ΓΓ περνάει από το σημείο C που χωρίζει το ΟΗ σε όγο. Τα σημεία όμως C, C, C ταυτίζονται. Άρα οι ευθείες ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ συντρέχουν. Παρατηρήσεις () Αν τότε το σημείο C ταυτίζεται με το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒ Γ. () Αν τότε το σημείο C ταυτίζεται με το κέντρο του κύκου του Euler του τριγώνου ΑΒΓ. Στη περίπτωση αυτή τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΓ είναι ίσα και έχουν κοινό κύκο του Euler. (3) Σε κάθε περίπτωση τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΓ είναι όμοια με τις πευρές τους παράηες. Το ένα τρίγωνο είναι εικόνα του άου μέσα από ομοιοθεσίες, οπότε μπορεί να προκύψει ύση και μέσω ομοιοθεσιών.

() Λύσεις του προβήματος μπορούν να δοθούν με χρήση Ααυτικής Γεωμετρίας ή μιγαδικών αριθμών. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 Αν οι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί x, y και έχουν άθροισμα, να αποδείξετε ότι: xy y x xy. Για ποιες τιμές των x, y και αηθεύει η ισότητα; Θα χρησιμοποιήσουμε στην πρώτη φάση τη γνωστή ανισότητα αβ α β, η οποία ισχύει για κάθε α, β. Η ισότητα ισχύει για α β. Έτσι έχουμε x y y x xy ( x y y x xy) ( xy xy y y x x xy) xy ( x y ) y ( y ) y ( y ) xy ( ) ( xy y x)( x y ) xy yx xy xy ( xy y x)( x y ) xy ( x y ) ( xy y x) ( x y ), (αφού x y ). Μέχρι τώρα έχουμε αποδείξει ότι: x y y x xy ( xy y x)( x y ), () ενώ η ισότητα ισχύει, όπως προκύπτει από την (), όταν : x y ή x y, 0 ή y, x 0 ή x, y 0, οπότε, αφού είναι x y, η ισότητα αηθεύει όταν: ( x, y, ),, ή (,, 0 ) ή (, 0,) ή ( 0,,). (3) 3 3 3 α β Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή ανισότητα αβ, α, β, θεωρώντας α xy y x, β x y. Έτσι έχουμε ( xy y x)( x y ) ( xy y x)( x y ) xy y x x y ( x y ). () Από τις () και () αμβάνουμε τη ζητούμενη ανισότητα xy y x xy. Η ισότητα στην ανισότητα () ισχύει όταν: α β xy y x x y, η οποία συναηθεύει με τις ισότητες (3) για ( xy,, ) (,, 0) ή (, 0,) ή ( 0,,).

ΠΡΟΒΛΗΜΑ Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί αριθμοί,, 3,,, των οποίων οι εικόνες Α, Α, Α3, Α, Α, Α είναι διαδοχικά σημεία του κύκου με κέντρο το σημείο O(0,0) και ακτίνα r > 0. Αν w είναι μία ύση της εξίσωσης 0 και ισχύουν οι σχέσεις: w w (Ι), να αποδείξτε ότι: (α) Το τρίγωνο ΑΑΑ 3 3 0 w w (ΙΙ) 0 είναι ισόπευρο, (β) 3 3 3 3 33. (α) Εφόσον ο μιγαδικός w είναι ρίζα της εξίσωσης 0, θα ισχύει w w 0. Ποαπασιάζοντας τη τεευταία εξίσωση με w, έχουμε: 3 3 w w w 0 w w w w 3. Από τη τεευταία εξίσωση συμπεραίνουμε ότι w. Αντικαθιστώντας στη σχέση (Ι) w, έχουμε: ( w ) 3w 0 w 3w 0 Άρα ( )w w w ( 3 )w 3 0 3 3. (Α). Αντικαθιστώντας στη σχέση (Ι) w w, έχουμε: w 3( w ) 0 w 3w 3 0 ( 3 )w 3. Άρα έχουμε ( 3 )w 3 3 w 3 3 3 (Β). Από τις σχέσεις (Α) και (Β) έχουμε τις ισότητες: 3 3, δηαδή το τρίγωνο Α Α3 Α είναι ισόπευρο. (β) Με όμοιο τρόπο (χρησιμοποιώντας τη σχέση (ΙΙ)) αποδεικνύουμε ότι και το τρίγωνο Α Α Α είναι ισόπευρο. Από γνωστή πρόταση της γεωμετρίας έχουμε ότι Α Α ΑΑ ΑΑ, οπότε χρησιμοποιώντας μέτρα μιγαδικών αμβάνουμε:. () Ομοίως, από την ισότητα Α 3Α Α3 Α Α3 Α χρησιμοποιώντας μέτρα μιγαδικών αμβάνουμε:. () 3 3 3

Ομοίως, από την ισότητα Α Α Α Α Α Α χρησιμοποιώντας μέτρα μιγαδικών αμβάνουμε:. (3) Προσθέτοντας τις σχέσεις (), () και (3) κατά μέη και χρησιμοποιώντας τις ισότητες 3 αμβάνουμε: 3 3 3 3 3 3.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ η Εηνική Μαθηματική Ουμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 009 Θέματα μικρών τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ Αν ο αριθμός 9n 3 Κ n 7 είναι ακέραιος, να προσδιορίσετε τις τιμές του ακέραιου n. Έχουμε 9n 3 9( n 7) 3 3 Κ 9. n 7 n 7 n 7 Επειδή ο αριθμός Κ είναι ακέραιος, έπεται ότι ο n 7 είναι διαιρέτης του 3 και αφού είναι n 7 8, έπεται ότι: n 7 8,,3 n,9, n,, 3,3,,. { } { } { } Διαφορετικά, θα μπορούσε κάποιος να ύσει τη δεδομένη ισότητα ως προς n και στη συνέχεια να προσδιορίσει τις κατάηες τιμές του Κ για τις οποίες ο n προκύπτει μη αρνητικός ακέραιος. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Από την κορυφή Α ισοπεύρου τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε ημιευθεία Αx που τέμνει την πευρά ΒΓ στο Δ. Πάνω στην Α x παίρνουμε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΒΑ ΒΕ. Να υποογίσετε τη γωνία ΑΕΓ ˆ. ( ος τρόπος) Παρατηρούμε ότι ΒΑ ΒΓ ΒΕ, οπότε το σημείο Β είναι κέντρο κύκου που περνάει από τα σημεία Α, Γ και Ε. Η γωνία ΑΕΓ ˆ είναι εγγεγραμμένη στον κύκο C ( Β,BA) με αντίστοιχη επίκεντρη τη γωνία ˆ ΑΒΓ 0. Άρα είναι: 0 ΑΕΓ ˆ ΑΒΓ ˆ 30. ος τρόπος Από την υπόθεση έχουμε ΒΑ ΒΕ και ΒΑ ΒΓ, οπότε θα είναι ΒΓ ΒΕ, οπότε το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ισοσκεές.

Αν φέρουμε το ύψος του από την κορυφή Β, έστω ΒΖ, Ζ ΓΕ, τότε η ΒΖ είναι διάμεσος και διχοτόμος του τριγώνου ΒΓΕ. Έστω Κ το σημείο τομής της ΒΖ με την ΑΕ. Τότε τα τρίγωνα ΒΚΓ και ΒΚΕ είναι ίσα, γιατί έχουν: ΒΓ ΒΕ, ΒΚ κοινή πευρά και ΚΒΓ ˆ ΚΒΕ. ˆ Άρα έχουμε: ΒΓΚ ˆ ΒΕΚ ˆ και αφού ΒΕΚ ˆ ΒΑΚ ˆ έπεται ότι ΒΓΚ ˆ ΒΑΚ ˆ. Επομένως το τετράπευρο ΑΒΚΓ είναι εγγράψιμο, οπότε: ΖΚΕ ˆ ΒΚΑ ˆ (ως κατά κορυφή) ΒΚΑ ˆ ΒΓΑ ˆ 0 (από το εγγράψιμο ΑΒΚΓ). Άρα είναι ˆ ˆ ˆ 0 ΑΕΓ ΚΕΖ 90 ΕΚΖ 90 0 30. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 Θεωρούμε τους αριθμούς 3 9 97 9 98 Α... και Β.... 8 98 00 7 9 99 0 Να αποδείξετε ότι: (α) Α <Β, (β) Α<. 990 (α) Σε κάθε κασματικό παράγοντα του Α της μορφής ν, ν,,...,99, α- ν ν ντιστοιχεί ένας κασματικός παράγοντας του Β της μορφής, ν,,...,99. ν 3 Επειδή ισχύει: ν ν < ν ν 3 < ν ν 3 < 0, ν ν 3 * για κάθε ν, άρα και για ν,,...,99, με ποαπασιασμό των παραπάνω 99 ανισοτήτων με θετικούς όρους κατά μέη, προκύπτει η ανισότητα Α <Β. (β) Επειδή είναι Α> 0, από την ανισότητα Α <Β με ποαπασιασμό των δύο μεών της επί Α, αμβάνουμε: 3 Α < Α Β < Α<. 99 00 0 00 99 990 990

ΠΡΟΒΛΗΜΑ Το διπανό σχεδιάγραμμα παρουσιάζει τους δρόμους που συνδέουν τη πατεία μιας πόης (σημείο Π ) με το σχοείο (σημείο Σ ). Στη πατεία βρίσκονται k μαθητές και ξεκινούν με προορισμό το σχοείο έχοντας τη δυνατότητα να κινούνται (στο σχεδιάγραμμα) μόνο προς τα δεξιά και προς τα άνω. Αν οι μαθητές είναι εεύθεροι να επιέξουν οποιαδήποτε διαδρομή (με σκοπό να φτάσουν στο σχοείο), να προσδιορίσετε την εάχιστη τιμή του k έτσι, ώστε οπωσδήποτε δύο τουάχιστον μαθητές να ακοουθήσουν την ίδια διαδρομή. Στο διπανό σχεδιάγραμμα παρουσιάζονται όοι οι δυνατοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να προσεγγίσει κάποιος μαθητής όες τις διασταυρώσεις μέχρι να φτάσει στο σχοείο. Προφανώς στις διασταυρώσεις Α, Α, Α3 και Β, Β, Β3, μπορεί κάποιος μαθητής να μετακινηθεί με ένα μόνο τρόπο, διότι μπορεί να κινηθεί μόνο προς τα δεξιά ή προς τα άνω. Στις υπόοιπες διασταυρώσεις, μπορεί να μετακινηθεί με το άθροισμα των τρόπων που μπορεί να μετακινηθεί προς τις πησιέστερες διασταυρώσεις που βρίσκονται αριστερά και προς τα κάτω. Έτσι όες οι δυνατές διαδρομές από τις οποίες μπορεί να φτάσει κάποιος στο σχοείο, είναι συνοικά 0. Επομένως, σύμφωνα με την αρχή της περιστεροφωιάς, δύο τουάχιστον μαθητές θα ακοουθήσουν οπωσδήποτε την ίδια διαδρομή, εφόσον ο αριθμός των μαθητών είναι k. Άρα η εάχιστη τιμή του k είναι.