Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας ου Κεφαλαίου. Γενικές

Transcript

1 1 σκήσεις σχ. ιβίου σείδας 7 8 ενικές 10 ου Κεφααίου 1. Θεωρούµε τρίωνο και ευθεία ε, που τέµνει τις πευρές και στα και Ε αντίστοιχα.. Να αποδείξετε ότι: (Ε) (Ε) (Ε) () i (BAE) + () () µε την επί πέον υπόθεση ότι τα, Ε είναι µέσα των, αντίστοιχα. Ε Έχουν ίδια βάση και ίσα αντίστοιχα ύψη αφού Ε i ρκεί να δειχθεί ότι (BAE) + () (Ε) + (Ε), ή Στα δύο µέη της ισότητας του προσθέτουµε το (Ε) () (Ε) Επειδή διάµεσος του τριώνου και επειδή Ε Άρα () (Ε) () () () (Ε)

2 . Θεωρούµε τρίωνο και σηµείο της πευράς του, ώστε, > 0. Να αποδείξετε ότι: + 4 () + 4 () (AB) 1 4 () i () 4 () ( ) Άρα + 4 Tα τρίωνα, έχουν ίδιο ύψος από το ( ) πό την υπόθεση, όµως έχουµε + 4 () + 4 () (AB) 1 4 () ( ) i ( ) που ισχύει () 4 () () () 4 () () + 4 () 4 () ( ) 0 που ισχύει

3 . Έστω τρίωνο και η διχοτόµος του. Με τη θεωρία του εµβαδού να αποδείξετε ότι (Θεώρηµα διχοτόµου). ˆ ˆ ( ) 1 ( ) 1 Tα τρίωνα, έχουν ίδιο ύψος από ( ) το () (1), () (1)

4 4 4. ίνεται τρίωνο µε β, µία διχοτόµος του και Ε µία διάµεσός του. Να αποδείξετε ότι: (A) 1 () ().(Ε) ().(Ε) i (Ε) 8 () 1 β Ε ˆ ˆ 1 ( ) 1 β ρκεί να αποδείξουµε ότι ( ) ( ) ( Ε ) ( Ε) Στο αποδείχθηκε ότι ( ) ( ) 1 (1) Τα τρίωνα Ε, Ε έχουν ίδιο ύψος από το Ε ά, από Θ. ιχοτόµου, έχουµε 1 β ( Ε) Άρα Ε 1 () πό (1) και () i ρκεί να αποδείξουµε ότι ( ) ( ) ( Ε ) ( Ε) ( Ε) υτά τα τρίωνα έχουν ˆ κοινή αβ. β ( Ε) Ε. β+ 1 αβ αβ 8 β β (A) 1 () ( Ε) Ε

5 5 5. ίνεται ισοσκεές τρίωνο µε 6cm και ˆ 10 ο. Να βρεθεί το εµβαδόν του. ν Ε είναι σηµείο της τέτοιο, ώστε Ε 1 και το ύψος του τριώνου, να βρεθεί το εµβαδόν του τριώνου Ε. i ν η παράηη από το προς τη τέµνει την προέκταση της Ε στο Ζ, να βρεθεί το εµβαδόν του τριώνου ΕΖ. Ε Ζ () 1. βηµ ηµ Τα τρίωνα Ε, έχουν κοινή τη ωνία ˆ άρα (Ε) () αά () 1 () 1 9 Ε Ε Ε άρα (Ε) 1 9 i Το τρίωνο ΕΖ είναι όµοιο του Ε ( ΕΖ) ( Ε) Άρα (ΕΖ) 1 4 (Ε) (ΕΖ) Ε 1 1 Ε 4

6 6 6. Θεωρούµε τραπέζιο () και τα µέσα Κ, Λ των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: (ΛΚ) (ΚΛ) (Μ) (Μ), ι οποιοδήποτε σηµείο Μ του ΚΛ. Κ Μ Λ Τα δύο τραπέζια είναι ισοδύναµα, αφού έχουν ίσες βάσεις και ίδιο ύψος. ΜΚ διάµεσος του τριώνου Μ (ΜΚ) (ΜΚ) (1) ΜΛ διάµεσος του τριώνου Μ (ΜΛ) (ΜΛ) () πό το έχουµε (ΛΚ) (ΚΛ) () () () (1) (Μ) (Μ)

7 7 7. Θεωρούµε ορθοώνιο και ισοσκεές τρίωνο ( ˆ 1 ) µε. ιαιρούµε την πευρά σε ν ίσα τµήµατα (ν φυσικός, ν ) και από τα σηµεία διαίρεσης φέρουµε παράηες προς την. Να υποοισθούν ως συνάρτηση του τα εµβαδά των ν σχηµάτων στα οποία διαιρέθηκε το τρίωνο. Χρησιµοποιώντας το ( να αποδείξετε ότι (ν 1) Ρ Ε Ρ -1 Κ Κ -1 Κ Κ 1 Έστω Κ, 1,,..., ν τα σηµεία διαίρεσης και Κ Ρ οι παράηες στην. Θα είναι Κ Κ και 1 ν Κ Ρ +Κ Ρ 1 1 Ε Κ Κ 1 + ( 1) ν ν ν + 1 ν 1 ια 1,,..., ν ν Κ Ρ Κ ν. ν Ε +Ε Ε () 1 ν ν ν ν ν 1 ν + ν ν 1 1 ν (ν 1) ν.

8 8 8. ύο τετράωνα και ΕΖΗ έχουν κοινή την κορυφή και εµβαδόν 6 το καθένα. ν οι πευρές και ΕΖ έχουν κοινό µέσο Μ, να βρεθεί το εµβαδόν του σχήµατος ΜΖΗ. Το κάθε τετράωνο έχει πευρά 6, αφού έχει εµβαδόν 6. (ΜΖΗ) (Μ) + (ΜΖΗ) (1) Ε M Η +Μ 6+ (Μ) 6 7 (ΜΖΗ) 7 Ζ (1) (ΜΖΗ) Τρία τετράωνα, των οποίων τα µήκη των πευρών είναι ακέραιοι αριθµοί, έχουν κοινή κορυφή και είναι τοποθετηµένα το να πάνω στο άο, όπως δείχνει το σχήµα. ν και η ραµµοσκιασµένη περιοχή έχει εµβαδόν 17, να βρεθεί το εµβαδόν του µικρότερου και του µεαύτερου τετραώνου. y x x Θέτουµε y ακέραιος και x µε y + x ακέραιο, άρα και x ακέραιος. Η διαφορά των εµβαδών µεσαίου-µικρού τετραώνου είναι 17, άρα y+ x y 17 y + xy+ x y 17 ( + x) 17 (1) x y Επειδή x, y θετικοί ακέραιοι, θα είναι και ο y + x θετικός ακέραιος µε y + x > x (1) x 1 και y + x 17 y y 8 Εµβαδόν του µικρότερου τετραώνου y 8 64 Εµβαδόν του µεαύτερου τετραώνου y+ x

9 9 10. ίνεται τρίωνο και τρεις θετικοί αριθµοί, µ, ν. Να φέρετε δύο ευθείες παράηες προς τη, που να χωρίζουν το τρίωνο σε τρία µέρη ανάοα των αριθµών, µ, ν. ν Ε, ΖΗ είναι οι ζητούµενες, θα είναι Ζ Ε Η τρ.ε όµοιο του τρ. ( Ε) ( ΖΗΕ) ( ΖΗ) ( ) µ ν +µ+ν (1) Ε ( Ε) ( ) +µ+ν Ε +µ+ν () (αεβρική ύση) +µ+ν +µ+ν ια τη εωµετρική ύση, πρέπει το τµήµα να κατασκευασθεί. () (1) Κατασκευή του. Σε ευθεία θεωρούµε τµήµα ΤΣ µε µέτρο και τµήµα ΡΤ µε µέτρο + µ + ν. Ρ +µ+ν Τ Σ Με διάµετρο ΡΣ ράφουµε ηµικύκιο. Φέρουµε Τ ΡΣ. Πάνω στην Ρ θεωρούµε σηµείο. πό το φέρουµε παράηη στη ΡΣ, που τέµνει την Σ στο. Το είναι το ζητούµενο. πόδειξη Τρίωνο ΣΡ ορθοώνιο µε ύψος Τ Θ. Θαή (1), () Σ Ρ Σ Ρ +µ+ν Σ ΤΣ Ρ () ΤΡ +µ+ν (1)

10 Έστω τρίωνο και εσωτερικό του σηµείο Μ. ν η Μ τέµνει τη στο, να αποδείξετε ότι: α) Ζ ( Μ) Μ Μ Μ Μ Μ Ε β) Μ ( Μ ) ( ) Έστω τρίωνο και εσωτερικό του σηµείο Μ. ν οι ευθείες Μ, Μ και Μ τέµνουν τις πευρές, και στα, Ε και Ζ αντίστοιχα, να Ε αποδείξετε ότι να αποδείξετε ότι Ε + Ζ Ζ Μ Μ α) β) α) Άρα Επειδή τα τρίωνα, που µας ενδιαφέρουν, έχουν ίδια βάση Μ, φέρουµε τα αντίστοιχα ύψη τους,. ( Μ) Τότε Μ (1) Τρ. όµοιο µε το τρ. Η (1) ( Μ) Μ Επειδή τα τρίωνα, που µας ενδιαφέρουν, έχουν ίδια βάση, φέρουµε τα αντίστοιχα ύψη τους ΜΜ, ( Μ) Τότε ΜΜ () Τρ,ΜΜ όµοιο µε το τρ. Η () ( Μ) Μ ΜΜ Μ Ε Ε ( Μ ) Ζ και ( Μ) Ζ ( Μ ) ( Μ) Ε Ε + Ζ Ζ ( Μ ) ( Μ ) + ( Μ ) ( Μ ) ( Μ ) + ( Μ) ( ) ( Μ ) ( Μ) ( Μ) ( ) ( Μ) 1 ( β) Μ 1 Μ Μ Μ Μ